微观经济学 数学基础 第10章 随机过程II
合集下载
随机过程第二章
第二章 随机过程的基本概念和基本类型
§2.1 基本概念
一、实际背景
在许多实际问题中,不仅需要对随机现象做特 定时间点上的一次观察,且需要做多次的连续不 断的观察,以观察研究对象随时间推移的演变过 程. Ex.1 对某城市的气温进行n年的连续观察, 记录得 { X ( t ), a t b},
当T=(1,2, … ,n,…),
时间序列
随机过程是n 维随机变量，随机变量序列的
一般化,是随机变量X(t), t T 的集合. 用 E表示随机过程X T X t , t T 的值域,称E为 过程的状态空间. Ex.5 设(Ω,F, P)是对应于抛均匀硬币的概
率空间: Ω ω1 ,ω2 ,
Байду номын сангаас
tn ) P X (t1 ) x1 , X (t2 ) x2 ,
X (t n ) xn ，
称为随机变量 X (t ), t T 的n维分布函数
FX ( x1 , x2 ,
tn ) ti T 称为 X (t ), t T 的n维分布函数族
xn ; t1 , t2 , tn ), n 1, 2, ti T
T ( t ,ω) 是一个 2)当固定ω Ω ,作为 t T 的函数，
定义在T上的普通函数.
X(t1,ω)
X(t2,ω)
X(t,ω1) X(t,ω2) X(t,ω3)
t1
t2
tn
定义 对每一固定ω Ω，称 X t ω是随机过程 { X ( t , ), t T } 的一个样本函数. 也称轨道, 路径,现实.
互相关函数
互协方差函数
如果二维随机过程 X (t ), Y (t ) 对任意的t1 , t2 T , 恒有CXY (t1 , t2 ) 0, 称X (t )和Y (t )是不相关的。
§2.1 基本概念
一、实际背景
在许多实际问题中,不仅需要对随机现象做特 定时间点上的一次观察,且需要做多次的连续不 断的观察,以观察研究对象随时间推移的演变过 程. Ex.1 对某城市的气温进行n年的连续观察, 记录得 { X ( t ), a t b},
当T=(1,2, … ,n,…),
时间序列
随机过程是n 维随机变量，随机变量序列的
一般化,是随机变量X(t), t T 的集合. 用 E表示随机过程X T X t , t T 的值域,称E为 过程的状态空间. Ex.5 设(Ω,F, P)是对应于抛均匀硬币的概
率空间: Ω ω1 ,ω2 ,
Байду номын сангаас
tn ) P X (t1 ) x1 , X (t2 ) x2 ,
X (t n ) xn ，
称为随机变量 X (t ), t T 的n维分布函数
FX ( x1 , x2 ,
tn ) ti T 称为 X (t ), t T 的n维分布函数族
xn ; t1 , t2 , tn ), n 1, 2, ti T
T ( t ,ω) 是一个 2)当固定ω Ω ,作为 t T 的函数，
定义在T上的普通函数.
X(t1,ω)
X(t2,ω)
X(t,ω1) X(t,ω2) X(t,ω3)
t1
t2
tn
定义 对每一固定ω Ω，称 X t ω是随机过程 { X ( t , ), t T } 的一个样本函数. 也称轨道, 路径,现实.
互相关函数
互协方差函数
如果二维随机过程 X (t ), Y (t ) 对任意的t1 , t2 T , 恒有CXY (t1 , t2 ) 0, 称X (t )和Y (t )是不相关的。
随机过程课件第二章
复随机过程的性质
复随机过程{XT,,t∈T}的协方差函数B(s,t)具有性质： （1）对称性（埃米特性）， B(s, t ) = B(t, s) （2）非负定性，对任意ti ∈T及复数ai，i=1,2, …,n，n≥1，有
n i , j =1
∑ B (t Βιβλιοθήκη tij)ai a j ≥ 0
说明： 1. 如果函数f(s,t)具有非负定性，那么它必具有埃米特性。 2. 若f(s,t)为一非负定函数，则必存在一个二阶矩过程（并可要 求它为正态过程）以给定的f(s,t)为协方差函数。
两个复随机过程{Xt}，{Yt}的互相关函数定义为
R XY ( s , t ) = E ( X s Yt )
互协方差函数定义为
B XY ( s , t ) = E [ X s m X ( s )] [Yt m Y ( t )]
例题2.9 2.9 设随机过程 Zt =
n
∑
k =1
X k ei kt , t ≥ 0 ，其中X1,X2, …,Xn是相互独立的，且
两个随机过程{X(t),t∈T}与{Y(t), t∈T}的互不相关定义
B XY ( s , t ) = 0
互协方差函数与互相关函数之间的关系
B XY ( s , t ) = R XY ( s , t ) m X ( s ) m Y ( t )
例题2.7 设有两个随机过程X(t)=g1(t+ε)和Y(t)=g2(t+ε)，其中g1(t)和g2(t)都是周期 为L的周期方波，ε是在(0,L)上服从均匀分布的随机变量，求互相关函 数RXY(t,t+τ)的表达式。 例题2.8： 设X(t)为信号过程，Y(t)为噪声过程，令W(t)=X(t)+Y(t)，求W(t)的均值 函数和相关函数。
随机过程
说明：一维分布函数族只能描述随 机过程在某一时刻的统计特性；n维 分布函数族才能描述随机过程的整
体统计特性。
3 、 n维分布函数族
设n（n≥2)个不同时刻t1,t2,…,tn 所对应的n个随机变量 X(t1),X(t2),…,X(tn) 的联合分布函数为 F(t1,t2,…,tn;x1,x2,…,xn) = P{X(t1)≤x1,…,X(tn)≤ xn}
σX
2(t)=D[X(t)]=
[ x X (t )] d F (t; x）
2
为随机过程的方差函数，简称均值
和方差。
μ X(t)表示随机过程X(t)的波动中 心,而均方差σ X(t)则表示随机过程 X(t)在时刻t对于均值的平均偏离 程度。
同样可以定义随机过程X(t)的 二阶原点矩: Ψ2x(t)=E[X2(t)]
最常见的参数集有：{0,1,2…} 与[a, b]，其中a, b可以为±∞。易 见：我们在概率论中所学的随机变量 序 列就是随机过程。
当T为整数集时，则称随机过 程{X(t), n= 1,2,…}为随机序列 或时间序列，随机序列常写成 {X(n),n≥0}, 或简记成X(n)。
对随机过程X(t)进行一次观察, 得到的便是一个确定的普通意义下 的函数X(t),它称为相应随机过程 X(t)的一个”现实”或”样本函 数”.
1.一维分布函数族 设X(t)为随机过程，对于给定的时 刻t∈T,称随机变量X(t)的分布函数 F(t; x)=P{X(t) ≤ x}
为随机过程的一维分布函数。 对所有不同的t∈T, 便得到一 族分布函数, 称之为一维分布函数 族。
2. 一维概率分布密度 若分布函数F(t; x)对x的偏导数存 在，则称偏导数 f(t; x)=∂ F(t; x)/∂ x 为随机过程的一维概率分布密度。
随机过程Ch2随机过程的概念与基本类型
X(t)也Z0 DX(t)D(YZt) DYt2DZ1t2 BX (s,t) E[X(s)X(t)]mX (s)mX(t) XE(t)[～(YN(0,Z1s+)t2)(YZt) ]E[Y2 ZYsYZt Z2st]
100st 1st
2.2 随机过程的分布律和数字特征
B(s,t)B(t,s) (2)非负定性
n
B(ti,tj)aiaj 0
i,j1
ti T,ai C,I1,2,,n, n1
2.3 复随机过程
例 设复随机过程
n
Z t X keiw kt,t0,X k~N (0, k 2)
X1, X2, k ,1Xn独立，w1, w2, , wn为参数， 求{Zt, t0}的均值函数m(t)和相关函数R(s, t)
s,t T
R X ( s , Y t) E [ X ( s ) Y ( t),] s ,t T ☆ 显然有关系式
B X ( s , t Y ) R X ( s , t Y ) m X ( s ) m Y ( t ) ,s , t T
2.2 随机过程的分布律和数字特征
例 设X(t)为信号过程，Y(t)为噪声过程， W(t)=X(t)+Y(t)，求W(t)的均值函数和相 关函数。
• 均值函数
m Z ( t ) E t E Z t iX E t m X ( t Y ) iY m ( t ) • 方差函数
DZ(t)E[|Zt mZ(t)|2]
E(Zt mZ(t)()Zt mZ(t))
2.3 复随机过程
• 相关函数 R Z (s,t) E Z sZ t
• 协方差函数
• 例：X(t)=tV,-∞<t< ∞,其中V为随机变量。 P(V=1)=0.6,P(V=-1)=0.4,
随机过程课程讲义
对每一固定的时刻t, X (t) cos(t )是随机变量的函数, 从而也是随机变量。它的状态空间是[- , ]. 在(0, 2 )内随机取一数 ,相应的就得到一个样本函数 x(t) cos(t ), 这族样本函数的差异在于它们相位的不同,
故这一过程称为随机相位正弦波。
6
例3：设X (t) Vcost t , 其中是常数；
一般地，FX (x1, x2 , xn;t1, t2 , tn ), n 1, 2, ti T 称为随机过程X (t),t T的有限维分布函数族
它完全确定了随机过程的统计特性
下面分别给出它们的一条样本函数：
xn
6
(1)
5
4
3
2
yn
6
xn
5
4
3
2
(2)
yn
1
1
1 2 3 45 678
n
1 2 3 45 678
n
随机过程的分类：
随机过程可根据参数集T和任一时刻的状态分为四类，参数集T 可分为离散集和连续集两种情况，任一时刻的状态分别为离散型随 机变量和连续型随机变量两种：
10
§2 随机过程的统计描述
两种描述
分布函数 特征数
(一) 随机过程的分布函数族
设随机过程X (t),t T, 对每一固定的t T , FX (x,t) PX (t) x，x R，称为随机过程X (t),t T的一维分布函数 FX (x,t),t T称为一维分布函数族
一般地，对任意n(n 2,3, )个不同的时刻，t1,t2, tn T
1. 连续参数连续型的随机过程，如例2，例3 2. 连续参数离散型的随机过程，如例1，例4 3. 离散参数离散型的随机过程，如例5 4. 离散参数连续型的随机过程时间集T t, 2 t, n t, 上观察X (t)，就得到 随机序列X1, X 2 , , X n , , X n X (n t)是连续型随机变量。
故这一过程称为随机相位正弦波。
6
例3：设X (t) Vcost t , 其中是常数；
一般地，FX (x1, x2 , xn;t1, t2 , tn ), n 1, 2, ti T 称为随机过程X (t),t T的有限维分布函数族
它完全确定了随机过程的统计特性
下面分别给出它们的一条样本函数：
xn
6
(1)
5
4
3
2
yn
6
xn
5
4
3
2
(2)
yn
1
1
1 2 3 45 678
n
1 2 3 45 678
n
随机过程的分类：
随机过程可根据参数集T和任一时刻的状态分为四类，参数集T 可分为离散集和连续集两种情况，任一时刻的状态分别为离散型随 机变量和连续型随机变量两种：
10
§2 随机过程的统计描述
两种描述
分布函数 特征数
(一) 随机过程的分布函数族
设随机过程X (t),t T, 对每一固定的t T , FX (x,t) PX (t) x，x R，称为随机过程X (t),t T的一维分布函数 FX (x,t),t T称为一维分布函数族
一般地，对任意n(n 2,3, )个不同的时刻，t1,t2, tn T
1. 连续参数连续型的随机过程，如例2，例3 2. 连续参数离散型的随机过程，如例1，例4 3. 离散参数离散型的随机过程，如例5 4. 离散参数连续型的随机过程时间集T t, 2 t, n t, 上观察X (t)，就得到 随机序列X1, X 2 , , X n , , X n X (n t)是连续型随机变量。
随机过程第二章
2.2 随机过程的分类和举例
2、离散参数、连续状态的随机过程 这类过程的特点是参数集是离散的，对于固定的t∈T， X(t)是连续性随机变量。
例 设Xn，n=…,-2,-1,0,1,2,…是相互独立同服从标准正态 分布的随机变量，则{Xn，n=…,-2,-1,0,1,2,…}为一随机
过程，其参数集T={…,-2,-1,0,1,2,…}，状态空间 S=(﹣∞,+∞)
2.3 随机过程的有限维分布函数族
例2.3.2 令X(t)=Acost,﹣∞<t<+∞,其中A是随机变量，其
分布律为 试求
P(A=i)= 1 , i=1,2,3 3
(1) 随机过程{X(t),﹣∞<t<+∞}的一维分布函数
(x)
2,
1 2
0,其他
x
0
时X( )Vcos V，故 X
(
)
的概率密度
1,1x0 fX()(x)0,其他
2.1 随机过程的定义
(3) 当t
2
时，X(2)Vcos20，不论V取何值,
均有 X ( ) 0，因此，P(X( )0)1，从而X ( ) 的
2
2
2
分布函数为
1,x0
F
X(
(x)
…
exp[
j(u1x(t1)
u2x(t2)
…
unx(tn))]dF(t1,t2,? ,tn;x1,x2,…,xn) ui∈R,ti∈T,i=1,2,…,n,j= 1
为随机过程{X(t), t ∈T }的n维特征函数.
2.3 随机过程的有限维分布函数族
称 { ( t 1 , t 2 , … , t n ; u 1 , u 2 , … , u n ) , u i R , t i T , i 1 , 2 , … , n , n N }
随机过程讲义（第二章）（PDF）
第二章 随机过程的一般概念2.1 随机过程的基本概念和例子定义2.1.1：设(P ,,F )Ω为概率空间，T 是某参数集，若对每一个，是该概率空间上的随机变量，则称为随机过程(Stochastic Process)。
T t ∈),(w t X ),w t (X 随机过程就是定义在同一概率空间上的一族随机变量。
随机过程可以看成定义在),(w t X Ω×T 上的二元函数，固定Ω∈0w ，即对于一个特定的随机试验，称为样本路径(Sample Path)，或实现(realization)，这是通常所观测到的过程；另一方面，固定，是一个随机变量，按某个概率分布随机取值。
),(0w t X T t ∈0),(0w t X抽象一点：令，即∏∈=Tt T R R T R 中的元素为),(T t x X t t ∈=,为其Borel域(插乘)(T R B σ域)，随机过程实质上是()F ,Ω到())(,T T R R B 上的一个可测映射，在())(,T TR RB 上诱导出一个概率测度：T P ()B X P B P R B T T T ∈=∈∀)(),(B 。
一般代表的是时间。
根据参数集T 的性质，随机过程可以分为两大类： t 1)为可数集，如T {}L ,2,1,0=T 或{}L L ,1,0,1,−=T ，称为离散参数随机过程，也称为随机序列；2)为不可数集，如T {}0≥=t t T 或{}∞<<∞−=t t T ，称为连续参数随机过程。
随机过程的取值称为过程所处的状态(State)，所有状态的全体称为状态空间(State Space)。
通常以表示随机过程的状态空间。
根据状态空间的特征，一般把随机过程分为两大类：T t t X ∈),(S 1) 离散状态，即取一些离散的值； )(t X 2)连续状态，即的取值范围是连续的。
)(t X离散参数离散状态随机过程： Markov 链 连续参数离散状态随机过程： Poisson 过程 离散参数连续状态随机过程： *Markov 序列连续参数连续状态随机过程： Gauss 过程，Brown 运动例2.1.1：一醉汉在路上行走，以的概率向前迈一步，以q 的概率向后迈一步，以p r 的概率在原地不动，1=++r q p ，选定某个初始时刻，若以记它在时刻的位置，则就是直线上的随机游动(Random Walk)。
随机过程第二章
例2.8利用掷一枚硬币的试验定义一个随机过程 2.8
cosπt,出现正面 X (t) = 2t, 出现反面
0 ≤ t < +∞
已知出现正面与反面的概率相等. ⑴ 求X(t)的一维分布函数F(1/2; x),F(1; x). F(1/2; ),F(1; ). ⑵ 求X(t) 的二维分布函数F(1/2,1; x1,x2).
A, 例2.5 设 S.P.X (t) = A+ Bt，其中 B 相互独 S 立同服从正态分布 (0,1) ，求.P.X (t) 的一 N 维和二维分布．
例2.6 设 其中
S.P.X (t) = Acos t, t ∈ R ，
A是 r.v. ， 而且具有概率分布
A P 1 1/3 2 1/3 3 1/3
由于初位相的随机性， 由于初位相的随机性，在某时刻t = t0 , X (t0 )是一 个随机变量． 个随机变量． 若要观察任一时刻 描述. 变量 X (t ) 描述
t
的波形， 的波形，则需要用一族随机
为随机过程． 则称 { X (t ), t ∈ [0, +∞)}为随机过程．
例2 .4样本曲线与状态 样本曲线与状态 X(t) = Acos(ωt + Φ)
2.1： 热噪声电压） 例2.1：（热噪声电压）电子元件或器件由于内部微观粒子
（如电子）的随机热骚动所引起的端电压称为热噪声电压， 如电子）的随机热骚动所引起的端电压称为热噪声电压， 时刻的值是随机变量， 它在任一确定 t 时刻的值是随机变量，记为 V (t ) ． 不同时刻对应着不同的随机变量，当时间在某区间， 不同时刻对应着不同的随机变量，当时间在某区间，譬如 [0, +∞)上推移时，热噪声电压表现为一簇随机变量．在无 上推移时，热噪声电压表现为一簇随机变量． 线电通讯技术中，接收机在接收信号时， 线电通讯技术中，接收机在接收信号时，机内的热噪声电 压要对信号产生持续的干扰，为消除这种干扰（假设没有 压要对信号产生持续的干扰，为消除这种干扰（ 其它干扰因素）， ），就必须考虑热噪声电压随时间变化的过 其它干扰因素），就必须考虑热噪声电压随时间变化的过 为此， 程.为此，我们通过某种装置对电阻两端的热噪声电压进
随机过程-第二章 随机过程
Ft j ,,t j ( x j1 , , x jn )
1
P X (t j1 ) x j1 , , X (t jn ) x jn P X (t1 ) x1 , , X (tn ) xn Ft1 ,,tn ( x1 , , xn )
（2）相容性 对于 m n ，有
1, X (t ) x Y (t ) 0, X (t ) x
1 n
j1 ,,t jn
(u j1 ,, u jn )
（2）相容性 对于 m n ，有
t ,,t
1
m ,tm1 ,,tn
(u1 ,, um ,0,,0) t1 ,,tm (u1 ,, um )
注：有限维分布族与有限维特征函数族互相唯一决定。
定理 2.1： 存在定理 （Kolmogorov 定理） ： 设分布函数族 Ft1 ,,tn ( x1 ,, xn ), t1 ,, tn , n 1
CXY (s, t ) E[( X (s) X (s))(Y (t ) Y (t ))], s, t T
互相关函数
def
RXY (s, t ) E[ X (s)Y (t )], s, t T
二维随机过程的独立性 若满足
Ft ,,t
1
' ' n ;t1 ,,tm
( x1 ,, xn ; y1 ,, ym ) Ft1 ,,tn ( x1 ,, xn ) Ft ' ,,t ' ( y1 ,, ym ), m 1, n 1
i 1
1 k k Ft1 ,,t1 ;;t 2 ,,t 2 ( x1 ,, x1 n1 ; , x1 , , xnk )
1 n1 1 nk
《随机过程》课件
f1(x1, t1)
F1(x1, t1) x1
4
● 随机过程 (t) 的二维分布函数：
F2 (x1, x2 ;t1,t2 , ) P (t1) x1, (t2 ) x2
● 随机过程 (t)的二维概率密度函数：
f2
(x1,
x2 ; t1, t2
)
2F2 (x1, x2;t1,t2 ) x1 x2
Dξ t Eξ 2 t 2atξ t a2 t
E[ξ 2 (t)] 2at Eξ t a2 (t)
E[ξ 2 (t)] a2 (t)
于
均
值
所以 a(t
，) 的方偏差离等程于x度2均f。1方(
x值,
t与)d均x值平[a方(t之)]差2
，
它
表
示
随
机
过
程
在
时
刻
t
对
均方值
均值平方
8
● 相关函数
在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。 因此，研究平稳随机过程有着很大的实际意义。
13
● 2.2 各态历经性 ● 问题的提出：我们知道，随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随 机过程的所有样本函数的统计平均，但在实际中常常很难测得大量的样本， 这样，我们自然会提出这样一个问题：能否从一次试验而得到的一个样本 函数x(t)来决定平稳过程的数字特征呢? ● 回答是肯定的。平稳过程在满足一定的条件下具有一个有趣而又非常有用 的特性，称为“各态历经性”（又称“遍历性”）。具有各态历经性的过 程，其数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的时间 平均值来代替。 ● 下面，我们来讨论各态历经性的条件。
R(t1,t2 ) E[ (t1) (t2 )]
02第二讲随机过程概念及数字特征精品PPT课件
'
dt
'
E
1 T
T
2 T
2
T
2 T
2
(t)
(t
'
)e
j
(t t '
)dtdt
'
1 T
T
2 T
2
T
2 T
R(t
t ' )e
j(tt' )dtdt '
2
E[ FT () 2 ] 1
2
R(0)R()Fra bibliotek0二、功率谱密度
付氏变换（能量谱密度）F () f (t)e jtdt 沟通了确定信号时域和频
域的关系，随机过程在频率域中要讨论功率谱密度 ，主要原因有二 ：
1. 对于随机过程来说，它由许许多多个样本函数来构成, 所以无法求其付氏 变换，可以说,随机过程不存在付氏变换。 2. 随机过程属于功率信号而不属于能量信号，所以讨论功率谱密度。
自相关遍历
R( )
遍历过程即指宽遍历过程.
四、严遍历过程或窄义遍历过程
的所有统计平均特性和其样函数所有相应的时间平 均特性以概率为一相等 1.遍历过程必定是平稳过程,但平稳过程不一定是遍历过程。
2.若 是平稳高斯过程, 且
；
:
则 是遍历过程
3.对于遍历过程,只要根据其一个样函数,便可得到其数字特征。
x1x2
10 x1 100
x2
dx1dx2
5
5 x2
5 5
x1
10
x1 100
x2
dx1dx2
5
5 x2
320500dx2
0
CX (t1,t2 ) E{[ X (t1) E[ X (t1)]][X (t1) E[ X (t1)]]} E[ X (t1) X (t1)] 0
微观金融学及其数学基础10
第10章随机过程II：鞅本章的学习目标Ø 了解信息结构和信息一致性的数学表述方式和经济含义；Ø 明确鞅的定义（离散和连续），以及连续时间情形下的一些技术性要求；Ø 熟悉二项过程和布朗运动等常见鞅和它们的轨道特征；Ø 了解鞅的几个重要子类：一致可积鞅和平方可积鞅；Ø 了解停时概念和最优停止定理；Ø 了解由停止一个鞅产生的局部鞅以及其他鞅型随机过程；Ø 了解多布-迈耶分解定理，以及二次变差和协变差过程的概念；Ø 了解各种被积函数和积分算子情况下，定义随机积分的方法；Ø 掌握随机伊藤积分的定义和主要性质；Ø 掌握拉登-尼科迪姆导数的各种形式和性质；Ø 掌握凯麦隆-马丁-哥萨诺夫定理，并熟练应用该定理进行测度变换；Ø 掌握鞅表示定理，并理解该定理在分析交易策略的可行性和构造完备市场模型中的作用。
鞅这个术语早在二十世纪30年代首先由威勒（Ville，1939）引进，但是其基本概念来自于法国概率学家列维（Levy，1934）。
真正把鞅理论发扬光大的则是美国数学家多布（Doob），他在1953年的名著《随机过程》一书中介绍了（包括上鞅分解问题在内的）他对于鞅理论的系统研究成果。
它随即引起了概率学家们对一般随机过程理论研究的兴趣，并逐渐使得鞅成为现代概率和随机过程理论的基石。
鞅在微观金融分析中的应用是随着哈里森（Harrison J.M）同克里普斯（Kreps D.M.）1979年，以及哈里森和帕里斯卡（Pliska S.R.）1981年两篇经典论文的发表开始的。
他们第10章随机过程II：鞅证明了所谓的资产定价基本定理：当而仅当金融市场上不存在“免费午餐”（free lunch），所有金融资产的贴现价格都是一个鞅①。
这就使得鞅就成为了研习现代金融资产定价技术所必须的主流数学工具。
相对于上一章的随机微积分而言，由于较多地借助测度理论，鞅显得更加抽象，但令人惊奇的是，它的引入不仅使得微观金融理论分析（例如期权定价）变得更加简洁和优雅；并且由于可以借助现代数值计算技术，它还提供了更为强大的运算能力，而这对于实际工作又是至关重要的。
随机过程1-2
一、 随机过程的数学期望和方差
m X ( t ) = EX ( t ) = ∫ xdF ( x , t ), t ∈ T
−∞ ∞
第1章 随机过程基本概念 随机过程的均值函数
第2页
m X ( t ) 表示 X ( t ) 的
所有样本函数在时刻 t 的理论平均值，如 的理论平均值， 图1－8（a）。 － （ ）。 需要指出 m X ( t )是一条 固定的曲线。 固定的曲线。 而样本曲 线绕 m X ( t ) 曲线上下波 动。
第1章 随机过程基本概念
第5页
C X ( t1 , t 2 ) = cov( X ( t1 ), X ( t 2 )) = E[ X ( t1 ) − m X ( t1 )][ X ( t 2 ) − m X ( t 2 )], t1 , t 2 ∈ T
如果两个随机过程的方差相同， 如果两个随机过程的方差相同，可以用协方差函数绝对值 状态的线性联系密切程度。 的大小比较两个过程在时刻 t1 , t2 状态的线性联系密切程度。 如图1-9(a)、(b)为具有相同数学期望和方差的两个随机过程。 、 为具有相同数学期望和方差的两个随机过程。 为具有相同数学期望和方差的两个随机过程 如图
对连续概率分布情形， 对连续概率分布情形，有
CX (t1 , t2 ) = ∫
∞
−∞ −∞
∫
∞
( x1 − mX (t1 )( x2 − mX (t2 )) f ( x1 , x2 , t1 , t2 )dx1dx2
(2.1)
第1章 随机过程基本概念 和
第8页
∞
RX ( t1 , t 2 ) = ∫
∞
−∞ −∞
∫
x1 x2 f ( x1 , x2 , t1 , t 2 )dx1dx2
《随机过程》课件 (2)
随机过程在实际应用中的重要 性
随机过程在许多领域中起到重要的作用，例如金融学、通信工程、物理学、 天气预报等。通过建立和分析随机过程模型，我们可以更好地理解和预测复 杂系统中的随机变化。
2 连续时间
随机过程在连续的时间范围内进行观测和分析。这包括连续的时间流逝和可能具有连续 状态值的过程。
随机过程的性质和特征
随机性
随机过程的结果是不确定的，无法预测每个时间点的具体数值。
时序关联
随机过程的值在时间上相互关联，前一时刻的值对后一时刻的值具有一定的影响。
统计稳定
随机过程具有一定的平稳性质，即其统计性质在时间上保持不变。
《随机过程》PPT课件 (2)用随机过程的例子解释概率论基本概念。随机过程的定义
随机过程是指一种随着时间的推移而产生变化的数学模型。它可以描述在不 同时间发生的随机事件，并提供了一种分析和预测的方法。
随机过程的分类
1 离散时间
随机过程在离散时间点上进行观测和分析。这包括离散的时间步长和离散的状态值。
《随机过程》课件
泊松过程
定义
泊松过程是一种计数随机过程，其事件的发生是 相互独立的，且具有恒定的平均发生率。
例子
放射性衰变、电话呼叫次数、交通事故等。
应用领域
物理学、工程学、保险学等。
03
随机过程的变换与函数
随机过程的线性变换
线性变换的定义
线性变换是指对随机过程中的每个时间点，将该点的随机变量或随机向量乘以一个常数 或矩阵，并加上另一个常数或矩阵。
应用
微分在随机过程的理论和应用中非常重要，例如在金融 领域中，可以通过计算股票价格的导数来预测股票价格 的变动趋势。
积分的定义
随机过程的积分是指对随机过程中的每个时间点，将该 点的随机变量进行积分。
积分的性质
积分运算可以改变随机过程的统计特性，例如期望、方 差和协方差等。
应用
积分在随机过程的理论和应用中也有重要应用，例如在 信号处理中，可以通过对信号进行积分来提取信号的特 征或进行信号的合成。
连续随机过程
01
定义
连续随机过程是在时间或空间上 连续取值的随机现象的数学模型 。
02
03
例子
应用领域
电子信号、温度波动、随机漫步 等。
物理、工程、金融等。
马尔可夫过程
定义
马尔可夫过程是一种特殊的随机过程，其未来状态只依赖于当前 状态，与过去状态无关。
例子
赌徒输赢的过程、天气变化等。
应用领域
统计学、计算机科学、人工智能等。
将随机信号视为随时间变化的随机变量序列，具有时间和概率的统 计特性。
随机模型
根据实际需求建立信号的随机模型，如高斯过程、马尔可夫过程等 。
信号的滤波与预测
滤波器设计
根据随机模型设计滤波 器，用于提取有用信号 或抑制噪声。
随机过程_课件
第一章 概率论基础1.从传统的长度概念说起1.1 区间（a,b ）、[a,b]等都有长度，用字母L 表示,而且知道L (a,b)=b-a我们进而认为(*)L 是一种（函数）运算，自变量*为一维数轴上的区间，显然，(*)L 应满足：（1） L(*)0≥非负性；（2）有限可加性；（3）甚至要求满足可列可加性∑∞=∞==11)()(n n n n I L I L我们提出问题1：区间I 作为R 的子集，具有长度，那么R 的一般子集E 也有长度吗？答案是否定的。
因为传统长度是集合的右端点与左端点之差值，而只有区间这种集合才有端点。
问题2：是否可以推广L 为某*L 作为一般点集E 的长度呢？当然可以适当推广L 成为某种运算*L ，用以作为更广泛的一类集合（包含全体区间）的“长度”。
但是，事实表明，无论怎样改进*L ，都无法适应R 的全体子集。
1.2长度L 向某*L 推广的直接动力是，人们发现了Riemann积分的缺陷并希望加以改进。
Riemann 积分的缺陷1：()ba f x dx ⎰也可写成[,]()ab f x dx ⎰，积分符号的右下角就是积分区间，也就是积分范围，此范围不可以是一般的实数点集，只能是区间。
缺陷2：按照黎曼积分的定义（工科高数教材）：（1）分割区间[,]a b 成为若干小区间1[,]k k xx -，1,2,,k n = （2）任意取小区间1[,]k k x x -的点k ξ，求值()k f ξ，进而得到第k 个小矩形的面积()k k x f ξ∆（3）做和1()n k k k x f ξ=∆∑，也即全体小矩形面积之和（4）01lim ()n k k k x f λξ→=∆∑，这一步是对前三步工作的无穷细化。
这种方法的核心思想是微小范围内以直代曲，例如，第k 个小矩形的面积应是()k x f x dx ∆⎰，但这里却以()k k x f ξ∆加以代替，依据是在很小区间1[,]k k x x -上，函数()f x 的变化不大，可以近似看成常数()kf ξ。
第10章 随机过程II：鞅
第 10 章
随机过程 II：鞅
7 基础微积分 7 线性代数 8 概率论 9 随机微积分 11 偏微分方程 10 鞅 11 数值方法
本章的学习目标 了解信息结构和信息一致性的数学表述方式和经济含义； 明确鞅的定义（离散和连续） ，以及连续时间情形下的一些技术性要求； 熟悉二项过程和布朗运动等常见鞅和它们的轨道特征； 了解鞅的几个重要子类：一致可积鞅和平方可积鞅； 了解停时概念和最优停止定理； 了解由停止一个鞅产生的局部鞅以及其他鞅型随机过程； 了解多布-迈耶分解定理，以及二次变差和协变差过程的概念； 了解各种被积函数和积分算子情况下，定义随机积分的方法； 掌握随机伊藤积分的定义和主要性质； 掌握拉登-尼科迪姆导数的各种形式和性质； 掌握凯麦隆-马丁-哥萨诺夫定理，并熟练应用该定理进行测度变换； 掌握鞅表示定理，并理解该定理在分析交易策略的可行性和构造完备市场模 型中的作用。 鞅这个术语早在 20 世纪 30 年代首先由 Ville（1939）引进，但是其基本概念来自于 法国概率学家列维（Levy，1934） 。真正把鞅理论发扬光大的则是美国数学家多布（Doob） ， 他在 1953 年的名著《随机过程》一书中介绍了（包括上鞅分概率学家们对一般随机过程理论研究的兴趣，并逐渐使得 鞅成为现代概率和随机过程理论的基础。 鞅在微观金融分析中的应用是随着哈里森（Harrison J.M）同克里普斯（Kreps D.M.）
+
间的波动情况④。令 ( F n ) n∈Z 代表在不同时点上投资者获得的有关股票价格的历史信息，随
+
着时间的推移， 越来越多的数据被追加到这个信息集合中， 它会越来越丰富。 当 m < n < o 时，
①
② ③
④
还启发我们去考虑这样一些问题：最优停止时刻是什么，有限财富的赌徒必定输光等，现代随机概率理论中的重要概念和定 理。在实际中，现代赌场中明确禁止这种赌博方式，但是金融中却常常存在这样的情况，例如利森的豪赌。此外加倍策略将 干扰资产定价基本定理。 期望收益等于参加费用的赌博也可以认为是统计上公平的。 我们会经常看到这一类技术性的要求，它是保证数学上严密性的需要，在经济分析则往往找不到合适的对应物。幸运的是， 经济分析中大多数问题具有良好的性质。 我们用 Z+表示正整数。
随机过程 II：鞅
7 基础微积分 7 线性代数 8 概率论 9 随机微积分 11 偏微分方程 10 鞅 11 数值方法
本章的学习目标 了解信息结构和信息一致性的数学表述方式和经济含义； 明确鞅的定义（离散和连续） ，以及连续时间情形下的一些技术性要求； 熟悉二项过程和布朗运动等常见鞅和它们的轨道特征； 了解鞅的几个重要子类：一致可积鞅和平方可积鞅； 了解停时概念和最优停止定理； 了解由停止一个鞅产生的局部鞅以及其他鞅型随机过程； 了解多布-迈耶分解定理，以及二次变差和协变差过程的概念； 了解各种被积函数和积分算子情况下，定义随机积分的方法； 掌握随机伊藤积分的定义和主要性质； 掌握拉登-尼科迪姆导数的各种形式和性质； 掌握凯麦隆-马丁-哥萨诺夫定理，并熟练应用该定理进行测度变换； 掌握鞅表示定理，并理解该定理在分析交易策略的可行性和构造完备市场模 型中的作用。 鞅这个术语早在 20 世纪 30 年代首先由 Ville（1939）引进，但是其基本概念来自于 法国概率学家列维（Levy，1934） 。真正把鞅理论发扬光大的则是美国数学家多布（Doob） ， 他在 1953 年的名著《随机过程》一书中介绍了（包括上鞅分概率学家们对一般随机过程理论研究的兴趣，并逐渐使得 鞅成为现代概率和随机过程理论的基础。 鞅在微观金融分析中的应用是随着哈里森（Harrison J.M）同克里普斯（Kreps D.M.）
+
间的波动情况④。令 ( F n ) n∈Z 代表在不同时点上投资者获得的有关股票价格的历史信息，随
+
着时间的推移， 越来越多的数据被追加到这个信息集合中， 它会越来越丰富。 当 m < n < o 时，
①
② ③
④
还启发我们去考虑这样一些问题：最优停止时刻是什么，有限财富的赌徒必定输光等，现代随机概率理论中的重要概念和定 理。在实际中，现代赌场中明确禁止这种赌博方式，但是金融中却常常存在这样的情况，例如利森的豪赌。此外加倍策略将 干扰资产定价基本定理。 期望收益等于参加费用的赌博也可以认为是统计上公平的。 我们会经常看到这一类技术性的要求，它是保证数学上严密性的需要，在经济分析则往往找不到合适的对应物。幸运的是， 经济分析中大多数问题具有良好的性质。 我们用 Z+表示正整数。
《随机过程》PPT课件
2
主要内容
随机过程的定义
随机过程的分类
按统计特性是否变化分为平稳随机过程和非平稳随机过程 按照是否具有记忆性分为纯粹随机过程、Markov过程、独 立增量过程 按照一阶变差是否有限分类：若随机过程{t}t≥0的一阶 变差有限，称为有界变差过程。 按照二阶矩是否有限分类：若随机过程的均值和方差都有 限，称为二阶矩过程，例如前面提到的宽平稳过程。 3 按照概率分布特征分类：如Weiner过程，Poission过程等。
随机过程的分类——平稳随机过程
按统计特性是否变化分为平稳随机过程和
非平稳随机过程
统计特性不随时间变化而变化的随机过程，
称为平稳过程，否则，统计特性随时间变化而变化
的随机过程，称为非平稳过程。
平稳过程的严格定义为：对于时间t 的n个
任意的时刻t1,t2,…,tn 和任意实数C，若随机过程
{t }t≥0的分布函数满足
例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的 变化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义 的关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。
在现实经济生活中：
情况往往是实际的时间序列数据是非平稳的， 而且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现 为一致的上升或下降。这样，仍然通过经典的因果 关系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。12
宽平稳的不变性表现在统计平均的一、二阶
矩上，而平稳过程的不变性表现在统计平均的概率
分布上，所以二者不同，并且不能由平稳随机过程
得到宽平稳随机过程。二阶矩存在的平稳随机过程
一定是宽平稳随机过程。
6
§3.1 时间序列的平稳性及其检验
一、问题的引出：非平稳变量与经典回归模型 二、时间序列数据的平稳性 三、平稳性的单位根检验 四、单整、趋势平稳与差分平稳随机过程
主要内容
随机过程的定义
随机过程的分类
按统计特性是否变化分为平稳随机过程和非平稳随机过程 按照是否具有记忆性分为纯粹随机过程、Markov过程、独 立增量过程 按照一阶变差是否有限分类：若随机过程{t}t≥0的一阶 变差有限，称为有界变差过程。 按照二阶矩是否有限分类：若随机过程的均值和方差都有 限，称为二阶矩过程，例如前面提到的宽平稳过程。 3 按照概率分布特征分类：如Weiner过程，Poission过程等。
随机过程的分类——平稳随机过程
按统计特性是否变化分为平稳随机过程和
非平稳随机过程
统计特性不随时间变化而变化的随机过程，
称为平稳过程，否则，统计特性随时间变化而变化
的随机过程，称为非平稳过程。
平稳过程的严格定义为：对于时间t 的n个
任意的时刻t1,t2,…,tn 和任意实数C，若随机过程
{t }t≥0的分布函数满足
例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的 变化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义 的关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。
在现实经济生活中：
情况往往是实际的时间序列数据是非平稳的， 而且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现 为一致的上升或下降。这样，仍然通过经典的因果 关系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。12
宽平稳的不变性表现在统计平均的一、二阶
矩上，而平稳过程的不变性表现在统计平均的概率
分布上，所以二者不同，并且不能由平稳随机过程
得到宽平稳随机过程。二阶矩存在的平稳随机过程
一定是宽平稳随机过程。
6
§3.1 时间序列的平稳性及其检验
一、问题的引出：非平稳变量与经典回归模型 二、时间序列数据的平稳性 三、平稳性的单位根检验 四、单整、趋势平稳与差分平稳随机过程
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
10．1．1 离散时间 简单的说，一个随机变量的时间序列没有表现出任何的趋势性(trend)，就可以称之为鞅； 而如果它一直趋向上升，则称之为下鞅(submartingale)；反之，如果该过程总是在减少，则 称之为上鞅(supermartingale)。因此实际上鞅是一种用条件数学期望定义的随机运动形式， 或者说是具有某种可以用条件数学期望来进行特征描述的随机过程。 我们循序渐进地分成 4 个步骤来正式定义鞅： 1)首先，描述概率空间。存在一概率空间{Ω, F , P} ，要求σ-代数 F 是 P -完备的，即 对于任何 A ∈ F 且 P(A) = 0 ，对一切 N ⊂ A 都有 N ∈ F 成立5。接下来，
F b 集合表示股票价格两次变动以后所有可能发生的情况，它仅仅说明了事物发展的 未来潜在可能性，它相当于位于二项树上的 0 点。在 0 时刻信息结构是最平凡的，即： F 0 = {∅, Ω}。而 F a 则刚好相反，它完全揭示出所有的世界状态，正是在最终的 2 时刻， 究竟哪种状态会发生已经成为了事实。 F c 则代表了一种中间状态，好比在 1 时刻，我们 知道如果状态{uu,ud} 发生，即前进到 d[1] 点后，{dd} 或者{ud} 之一必定会发生，到底是
10．1．1
F m ⊆ F n ⊆ F o ……
实际上 F n 就是 n 时刻的分割产生的σ-代数，这样的σ-增族记为：
F = (F n ) n∈Z+
我们称它为滤子(filter)或者滤波7。给定一个滤波就决定了在给定概率空间中的历史演化 和信息传播过程(见金融相关点 10-1)。四位一体的{Ω, F , P, F} 被称为滤过(filtered)的概率空
10．3．2 多布-迈耶定理 10．3．3 二次变差过程 10．4 再论随机积分 10．4．1 鞅变换和随机积分 10．4．2 简单过程随机积分 10．4．3 再论伊藤积分 10．5 测度变换和鞅表示 10．5．1 直观理解 10．5．2 拉登-尼科迪姆导数 10．5．3 哥萨诺夫定理 10．5．4 鞅表示定理
2)描述滤波(filtration)。设想我们在一些时点上观察一种股票的价格 (Sn )n∈Z+ 随时间的波
动情况6。令 (F )n n∈Z+ 代表在不同时点上投资者获得的有关股票价格的历史信息，随着时间的
推移，越来越多的数据被追加到这个信息集合中，它会越来越丰富。当 m < n < o 时，这一
族信息集合必然满足：
谁，仍然不能够确定；而 u[1] 点以后的发生的情况则不清楚或者不重要了。因此这些分割
就适当地代表了一个动态系统中的 0、完全和部分的信息。我们知道 F a 比 F c 精细，而 F b 是最粗糙的分割，把它们串联起来就有：
Fb < Fc < Fa 因此从粗到细排列这些分割，还代表了信息的传递过程。 正式一些，假定同一状态空间中存在 N + 1 个分割，它们满足下列 3 个条件： 1)第一个分割是最粗糙的，即： F 0 = {Ω,∅} = {{ω1,ω 2 ,...,ω n}} ； 2)最后一个分割是最精细的，即： F N = {{ω1},{ω2},...,{ωn}} ； 3)对于任何 s < t ， F t 分割比 F s 要精细。 这样定义的分割序列，就是一个“过目不忘”的学习过程。在最初的 0 时刻，未来 世界视野一片模糊，唯一可知的是 Ω 中的某种状态会发生。下一个时刻有一些新的信息 来临，即有一个比较粗的分割，在任意时刻，我们对于(价格)信息知识的了解始终在增 长。最后时刻一切都昭然若揭，我们完全了解了从 0 到 N 时刻哪一个状态发生了，它又 是如何演化的。这在实际中是容易做到的，只要投资者有一个好记性或者容量足够大的 硬盘就可以了。符合上述 3 个条件的一组分割就被称为信息结构，它的数学对应物就是 滤波。
考虑一个如下图所示的重合(recombining)的二项树模型。
4 期望收益等于参加费用的赌博也可以认为是统计上公平的。 5 我们会经常看到这一类技术性的要求，它是保证数学上严密性的需要，在经济分析则往往找不到合适的 对应物。幸运的是，经济分析中大多数问题具有良好的性质。
6 我们用 Z + 表示正整数。 7 实际上 F = (F n ) n∈Z+ 可以作更为广泛的理解，它也可以是无限维向量，如果仅仅解释为价格或者收益就 和法马(Fama E．)定义的弱的市场效率的基础相吻合，这也是我们这里的定义。这样假定时，我们说滤波 是由价格过程生成的(generated)。 8 这里的描述主要来自于 Dothan(1990)和 Rebonato(1998)。
本章的学习目标为： 了解信息结构和信息一致性的数学表述方式和经济含义 明确鞅的定义(离散和连续)，以及连续时间情形下的一些技术性要求 熟悉二项过程和布朗运动等常见鞅和它们的轨道特征 了解鞅的几个重要子类：一致可积鞅和平方可积鞅 了解停时概念和最优停止定理 了解由停止一个鞅产生的局部鞅以及其它鞅型随机过程 了解多布-迈耶分解定理，以及二次变差和协变差过程的概念 了解各种被积函数和积分算子情况下，定义随机积分的方法 掌握随机伊藤积分的定义和主要性质 掌握拉登-尼科迪姆导数的各种形式和性质 掌握凯麦隆-马丁-哥萨诺夫定理，并熟练应用该定理进行测度变换 掌握鞅表示定理，并理解该定理在分析交易策略的可行性和构造完备市场模型 中的作用
第十章 随机过程 II：鞅
2
资产的贴现价格都是一个鞅1。这就使得鞅就成为了现代金融资产定价技术所必须的主流数 学工具。相对于上一章随机微积分而言，由于较多地借助测度理论，鞅显得更加抽象，但令 人惊奇的是，它的引入不仅使得微观金融理论分析(例如期权定价)变得更加简洁和优雅；并 且由于可以借助现代数值计算技术，它还提供了更为强大的运算能力，而这对于实际工作又 是至关重要的。因此今天，鞅方法及其辅助它的强大数值(模拟)技术成为了当今金融理论研 究者和实践工作者必不可缺的基本装备2。
第十章 随机过程 II：鞅
1
第十章 随机过程 II：鞅
7 基础微积分
7 线性代数
8 概率论
9 随机微积分
10 鞅
11 偏微分方程
11 数值方法
10．1 概述 10．1．1 离散时间 10．1．2 连续时间 10．1．3 鞅的例子 10．1．4 鞅的子类 10．2 停时和鞅型序列 10．2．1 停时定义 10．2．2 最优停止定理 10．2．3 鞅型序列 10．3 多布-迈耶分解 10．3．1 多布分解定理
鞅这个术语早在 20 世纪 30 年代首先由 Ville(1939)引进，但是其基本概念来自于法国 概率学家列维(Levy，1934)。真正把鞅理论发扬光大的则是美国数学家多布(Doob)，他在 1953 年的名著《随机过程》一书中介绍了(包括上鞅分解问题在内的)他对于鞅理论的系统研究成 果。它随即引起了概率学家们对一般随机过程理论研究的兴趣，并逐渐使得鞅成为现代概率 和随机过程理论的基础。
鞅在微观金融分析中的应用是随着哈里森(Harrison J．M)同克里普斯(Kreps D．M．)1979 年，以及哈里森和帕里斯卡(Pliska S．R．)1981 年两篇经典论文的发表开始的。他们证明了 所谓的资产定价基本定理：当而仅当金融市场上不存在“免费午餐”(free lunch)，所有金融
第十章 随机过程 II：鞅
3
计上是公平的4。 在金融分析中，投资者通常会根据过去发生的事件来指导未来的投资决策，我们可以把
X 设想为由于信息发布而产生波动的金融资产价格(过程)，而 EX n 就是对这种价格运动的 预测，而恰好鞅就是用条件数学期望来定义的，这种相似性就激发了使用鞅和与之相关的数 学概念来描述金融资产价格运动过程特征的热情，因此鞅在 20 世纪 80 年代以后迅速成为主 流金融经济学研究中标准的时髦。
10．1 概述 “鞅”一词来源于法文 martingale 的意译，原意是指马的笼套或者船的索具，同时也指 一种逢输就加倍赌注，直到赢为止的恶性赌博方法(double strategy)。为了理解它的原意，不 妨来玩一种纸牌游戏。 在 52 张牌中任意抽取一张，如果抽到一张红色的方块或者红心就赢一笔钱，否则就输 掉这笔钱。采用以下的赌博方法：从一块钱开始，如果抽到的是黑色纸牌就加倍赌注，如果 抽到的是红色纸牌就此收手。假定一个赌徒已经连续输了 4 次，他就失去了 1+2+4+8=15 块 钱。在第 5 次赌的时候，他把赌注加倍到了 16。这次很幸运，出现的确实是红色纸牌。他 赢得了 16 元抵去输掉的 15 元，他还净赚 1 元。这种赌博方法的优点在于：只要你有足够的 资本来不断加倍赌注的话，你总是会赢的。事实是：如果不幸所有 26 张黑色纸牌全让你抽 到了，为了赢一块钱，你需要 6700 万元来下最后一注。很可能在此之前，你已经破产了。 这种赌博方式在理论和实际中含义都十分隽永，它被称为鞅3。 但是这种已经在现代赌场中被严格禁止的赌博方式本身还没有说明鞅在金融学理论研 究中的确切含义。鞅究竟是什么呢？简单的说，鞅是“公平”赌博(fair game)的数学模型。 那么什么又是公平的赌博呢？仍然假设一个人在参加赌博，他已经赌了 n 次，正准备参加第 n +1 次赌博。如果不做什么手脚，他的运气应当是同他以前的赌博经历无关的。用 X n 表示 他在赌完第 n 次后拥有的赌本数，如果对于任何 n 都有
E( X n | X n−1 ) = X n−1 成立，即赌博的期望收获为 0，仅能维持原有财富水平不变，就可以认为这种赌博在统
1 根据这一原则金融市场上的任何资产的价格就可以被合理的决定。因而他们的工作得到积极的响应并开 启了现代金融研究的新时代，鞅这种全新的分析工具被引入了。 2 数值(模拟)技术见 11．4 节。 3 还启发我们去考虑这样一些问题：最优停止时刻是什么，有限财富的赌徒必定输光等等，现代随机概率 理论中的重要概念和定理。在实际中，现代赌场中明确禁止这种赌博方式，但是金融中却常常存在这样的 情况，例如利森的豪赌。此外加倍策略将干扰资产定价基本定理。