线性代数发展史

线性代数发展史

一行列式

行列式的出现已有300余年，1683年日本数学家关孝和在＜解伏题之法)中首先引人此概念。

1693年，莱布尼兹(G．W．工ezbniz)著作中亦有行列式叙述，世人们仍认为此概念在西方源于数学家柯西(A．L CaMchy)

1750年，克莱姆(G cramer)出版的(线性代数分析导言＞一书中已给出行列式的今日形式。

1841年，雅谷比(c．G JaMM在(论行列式形成与性质)一书中对行列式及其性质、计算作了较系统的阐述

此后．范德蒙(A．T vandeMondl)、裴蜀(E．Be肋Mt)、拉普拉斯(P．s M de I品PLace)等人在行列式研究中也作了许多工作，

但行列式在当今线性代数中似已被淡化，原因是：首先它的大多数功能已被矩阵运算取代，而矩阵(代数)理论与计算已相当成熟；再者是电子计算机的出现与飞速发展，已省去人们许多机械而繁琐的计算．然而行列式也有其自身的魅力：技巧性强、形式漂亮，因而它在历年考研中不断出现．

行列式的主要应用是：求矩阵(或向量组)的秩；解线性方程组；求矩阵特征多项式等行列式与矩阵有着密不可分的连带关系，尽管它们本质上不是一回事(短阵是数表，而行列式是数)．

二矩阵代数

矩阵一词系1850年英国数学家薛尔维斯特(J—J sylves贮r)首先倡用，它原指组成行列式的数字阵列。

矩阵的性质研究是在行列式理论研究中逐渐发展的．

凯莱(A cayley)于1858年定义了矩阵的某些运算，发表＜矩阵论研究报告＞，因而他成了矩阵论的创始人。德国数学家弗罗伯尼(F．G．Fmbenius)于1879年引进矩阵秩的概念，且做了较丰富的工作(发表在(克雷尔杂志＞上)

尔后矩阵作为一种独立的数学分支迅速发展起来．

20世纪40年代，为响应电子计算机出现而诞生厂短阵数值分析，1947年冯·纽曼(Ven Neumann)等人提出分析误差的条件数，1948年图灵(A．Turing)给出厂矩阵的Lu分解，矩阵的另一种分解QR分解的实际应用在上世纪50年代末得以实现．这一切使矩阵计算得以迅猛发展。

如今，矩阵已成为一种重要的数学工具，它的理论和方法在数学和其他科技领域(如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、运筹学、控制论、系统工程、数量经济等)都有广泛应用，甚至经济管理、社会科学等方而亦然。

三向量

向量概念是由复数概念扩张而来。1843年哈密顿(w．R Hsmil仍n)的“四元数”概念引入的同时，引入了向量概念，从而开创它的计算与理论研究

1844年，德国数学家格拉斯(G．H．Grassmann)发表＜线性扩张论＞，提出“n维超复数”概念．即n元有序数组，相当于今天的向量概念．此外他还定义了超复数的运算，且将Euclid几何的许多概念拓广至高维空间.

向量空间的现代定义是内皮亚诺(G Peano)于1888年引入的。不久，以函数乃至线性变换为元素的抽象向量空间随之建立，即1906午法国数学家费雷歇(M．Frechet)开创了抽象空间研究*包括无穷维向量空间(如今空间维数概念已拓至分数，产生“分形”这门新的数学分枝）

四线性方程组

我国古算书＜九章算术＞中已有“方程”概念，对于线性方程组，书中给出如何用“算筹”去演解(今人称筹算)，而书中方程组系数排列成的数阵，实际上相当于今天的矩阵，而其中的算法相当于今天的矩阵运算。

宋、元时期的数学家秦九韶于1247年完成的＜数书九章＞，已给出相当于今天的对增广短阵实施初等变换解方程组的方法

莱布尼兹(G W．Leibniz)于1693年曾用行列式法解二元线性方程组；麦克劳林(C Maclaurin)创立了解三、四元线性方程组的方法．

1750年，瑞士数学家克莱姆(C.Cramer)建方了解线性方程组的“克莱姆(Crsmer)法则”

1820年前后，高斯(c F Gauss)给出解线性方程组的消元法(它常作为大地测量学发展的一部分)．

如今矩阵理论已成为解线性方程组的有力工具．

五矩阵的特征问题

柯西(A L Cauchy)在1826年，研究二次型在直角坐标变换下的形变问题时，首先使用了特征方程概念即│A-λI│＝0，且证明了其不变性．1892年他从二次型束入手研究了特征方程的一般问题，1851年给出了│ A +λB │的初等因子、不变因子概念，且证明了—些有关结论。

1852年，希尔维斯特(J J Sylvester)给出n元二次型化成标准型的“惯性定律”

1870午，约当(M E c Jordan)证明了n阶复阵可通化相似变换化成约当标准形的结论尔后，弗罗伯尼(F．G．Fmbenius)引进了矩阵的最小多项式(由特征多项式因子形成的满足矩阵化零的次数最低的多项式)概念，此外还证明凯莱一哈密顿(Cayley—Hamilton)定理．

六二次型

如上章所述，二次型理论与行列式(确切地讲与矩阵)密切相关，人们对它的研究是从其系数矩阵的特征问题人手的，而这一问题系柯西(A．L Cauchy)首先系统提出的．1852年，希尔维斯持(J J Sylvester)利用短阵特征理论证明了二次型的惯性定律，此后，维尔斯持拉斯(K．weirstrass)完成了二次型的一般理论(他利用了J J Sylvester的某些成果) 尔后，人们又找到了它们的几何应用．

由此可看出，：二次齐次多项式(二次型)的研究与矩阵研究对应起来。