(完整word版)高中文科数学导数练习题.doc

专题 8：导数（文）

经典例题剖析

考点一：求导公式。

例 1. f (x) 是 f (x) 1 x3 2x 1 的导函数，则 f ( 1) 的值是。

3

解析： f ' x x 2 2 ，所以 f ' 1 1 2 3

答案： 3

考点二：导数的几何意义。

例 2. 已知函数 y f ( x) 的图象在点 M (1， f (1)) 处的切线方程是 y 1

x 2 ，则2

f (1) f (1) 。

解析：因为 k 1

，所以2

5

，所以 f 1 5 ，所以2 2

1

f ' 1，由切线过点M (1，f (1))，可得点M的纵坐标为

2

f 1 f ' 1 3

答案： 3

例 3.曲线y x3 2x2 4x 2 在点 (1， 3) 处的切线方程是。

解析： y' 3x2 4x 4 ，点 (1， 3) 处切线的斜率为k 3 4 4 5 ，所以设切线方程为 y 5x b ，将点 (1， 3) 带入切线方程可得 b 2 ，所以，过曲线上点(1，3) 处的切线方程为：5x y 2 0

答案： 5x y 2 0

点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。

考点三：导数的几何意义的应用。

例 4.已知曲线 C ：y x3 3x 2 2x ，直线 l : y kx ，且直线l 与曲线C相切于点x0 , y0 x0 0 ，求直线l的方程及切点坐标。

解析：直线过原点，则 k y

0 x0 0 。由点x0, y0

在曲线 C 上，则x0

y 0 x 0 3 3x 0 2

2x 0 ， y 0

x 0 2

3x 0 2。又 y' 3x 2

6x 2 ，

在

x 0

x 0 , y 0

处 曲 线 C 的 切 线 斜 率 为 k f ' x 0

3x 0 2 6x 0

2 ，

2

3x 0 2

2

6x 0 2 ，整理得： 2 x 0 3x 0 0 ，解得： x 0

3 0

x 0

3x 0

或 x 0

2

（舍），此时， y 0

3 ， k

1 。所以，直线 l 的方程为 y

1

x ，切点坐标是

8

4

4

3 , 3 。

2

8

答案：直线 l 的方程为 y

1

x ，切点坐标是 3 , 3

4

2 8

点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在

切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不

是必要条件。

考点四：函数的单调性。

例 5.已知 f x

ax 3 3x 2 x 1在 R 上是减函数，求 a 的取值范围。

解析：函数

f x 的导数为

f '

x

3 26 x 1 。对于 x R 都有 f ' x

0 时，

f x

ax

为减函数。由 3ax 2

6x 1

0 x R 可得 a

12a

，解得 a

3 。所以，

36 0

当 a

3 时，函数 f x 对 x R 为减函数。

x 1 3 x

1

3

8 。 （ 1） 当 a

3时， f x

3x 3 3x 2

3

9

由函数 y x 3 在 R 上的单调性，可知当

a

3 是，函数 f x 对 x R 为减函数。

（ 2） 当 a

3 时，函数 f x 在 R 上存在增区间。 所以， 当 a 3 时，函数 f x 在

R 上不是单调递减函数。

综合（ 1）（ 2）（ 3）可知 a 3 。

答案： a

3

点评：本题考查导数在函数单调性中的应用。

对于高次函数单调性问题， 要有求导意识。

考点五：函数的极值。

例 6. 设函数 f (x)

2x 3 3ax 2 3bx 8c 在 x 1 及 x 2 时取得极值。

（1）求 a 、b 的值；

（2）若对于任意的 x [0，3] ，都有 f ( x) c 2 成立，求 c 的取值范围。

解析： （ 1 ） f (x)

6x 2

6ax 3b ，因为函数 f (x) 在 x 1 及 x 2 取得极值，则有

6 6a 3b

，

f (1) 0 ， f (2) 0 0

3 ， b

4 。

．即

12a 3b ，解得 a

24 0．

（2）由（Ⅰ）可知， f (x) 2x 3 9x 2 12 x 8c ， f ( x) 6x 2

18x 12 6( x 1)(x 2) 。

当 x (01)， 时， f (x) 0 ；当 x (12)， 时， f ( x) 0 ；当 x (2，3) 时， f ( x) 0 。所以，

当 x

1 时， f ( x) 取得极大值 f (1)

5

8c ，又 f (0) 8c ， f (3) 9 8c 。则当 x 0，3

时， f (x) 的最大值为 f (3) 9

8c 。因为对于任意的 x

0，3 ，有 f (x) c 2 恒成立，

所以

9 8c c 2 ，解得

c

1 或 c 9 ，因此 c 的取值范围为 (

， 1) U (9， ) 。

答案：（ 1 ） a 3 ， b 4 ；（ 2） (

， 1) U (9， ) 。

点评：本题考查利用导数求函数的极值。 求可导函数 f x 的极值步骤： ①求导数 f ' x ；

②求 f ' x

0 的根；③将 f ' x

0的根在数轴上标出，得出单调区间，

由

f ' x 在各

区间上取值的正负可确定并求出函数

f x 的极值。

考点六：函数的最值。

例 7. 已知 a 为实数， f

x

x 2 4 x a 。求导数 f ' x ；（ 2）若 f '

1 0 ，求 f x

在区间

2,2 上的最大值和最小值。

解析： （ 1） f x x 3 ax 2 4x 4a ，f ' x 3x 2 2ax 4 。 （2） f ' 1 3

2a 4 0 ， a

1

。 f ' x

3x 2

x 4

3x 4 x 1

2