高考数学第二章函数与导数第7课时指数函数对数函数及幂函数

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第二章函数与导数第7课时指数函数、对数函数及幂函数

(1)

第三章 (对应学生用书(文)、(理)20~21页)

,

1. (必修1P63习题2改编)用分数指数幂表示下列各式(a>0,b>0):

(1) 3a 2

=________;(2) a a a =________;

(3) ⎝⎛⎭

⎫3a 2·ab 3

=________.

答案:(1) a 23 (2) a 78 (3) a 76b 3

2

2. (必修1P 80习题6改编)计算:(lg5)2

+lg2×lg50=________. 答案:1

解析:原式=(lg5)2

+lg2×(1+lg5)=lg5(lg2+lg5)+lg2=1.

3. (必修1P 80习题12改编)已知lg6=a ,lg12=b ,则用a 、b 表示lg24=________. 答案:2b -a

解析:lg24=lg 144

6

=2lg12-lg6=2b -a.

4. (必修1P 63习题6改编)若a +a -1

=3,则a 3

2-a -3

2

=______.

答案:±4

解析:a 32-a -32=(a 12-a -12)(a +a -1+1).∵ (a 12-a -12)2=a +a -1

-2=1,∴ (a 1

2-

a -1

2

)=±1,∴ 原式=(±1)×(3+1)=±4. 5. 已知实数a 、b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a =⎝ ⎛⎭

⎪⎫13b

,下列五个关系式:

① 0<b <a ;② a<b <0;③ 0<a <b ;④ b<a <0;⑤ a=b. 其中所有不可能成立的关系式为________.(填序号) 答案:③④

解析:条件中的等式⇔2a =3b

⇔a lg2=b lg3.若a ≠0,则lg 2lg3b a =∈(0,1).

(1)当a >0时,有a >b >0,即关系式①成立,而③不可能成立; (2)当a <0时,则b <0,b >a ,即关系式②成立,而④不可能成立; 若a =0,则b =0,故关系式⑤可能成立.

1. 根式

(1) 根式的概念

① n a n

=⎩⎪⎨⎪⎧a (n 为奇数),|a|=⎩⎪⎨⎪⎧a (a≥0),-a (a<0)(n 为偶数); ② (n a)n =a(注意a 必须使n

a 有意义). 2. 有理指数幂

(1) 分数指数幂的表示

① 正数的正分数指数幂是a m

n ,m 、n∈N *

,n>1); ② 正数的负分数指数幂是a -m n =1a m n =1(a>0,m 、n∈N *

,n>1);

③ 0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义.

(2) 有理指数幂的运算性质

① a s a t =a s +t

(a>0,t 、s∈Q );

② (a s )t =a st

(a>0,t 、s∈Q );

③ (ab)t =a t b t

(a>0,b >0,t∈Q ). 3. 对数的概念 (1) 对数的定义

如果a b

=N ,那么就称b 是以a 为底N 的对数,记作log a N =b ,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数.

(2) 几种常见对数

4. (1) 对数的性质

① alog a N =N ;② log a a N

=N(a>0且a≠1). (2) 对数的重要公式

① 换底公式:log b N =log a N log a b (a 、b 均大于零且不等于1);② log a b =1

log b a .

(3) 对数的运算法则

如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么 ① log a (MN)=log a M +log a N ; ② log a M

N =log a M -log a N ;

③ log a M n

=nlog a M (n∈R ); ④ log am M n

=n m log a M.

[备课札记]

题型1 指数幂的运算

例1 化简下列各式(其中各字母均为正数): (1) 1.5-13×⎝ ⎛⎭⎪⎫-760+80.25×42+(32×3)6

⎝ ⎛⎭

⎪⎫232

3; (2) (a 23·b -1

)-12·a -12

·b 1

3

6a ·b 5

(3) a 43-8a 1

3b 4b 23+23

ab +a 23

÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1-23b a ×3

a.

解:(1) 原式=⎝ ⎛⎭⎪⎫2313+234×214+22×33

-⎝ ⎛⎭

⎪⎫231

3=2+108=110.

(2) 原式=a -13·b 12·a -12

·b 13a 16·b 56

=a -13-12-16·b 12+13-56=1a

.

(3) 原式=a 13(a -8b )(2b 13)2+2b 13a 13+(a 13)2

×a 13a 13-2b 13×a 13=a 1

3(a -8b )a -8b

×a 13×a 1

3=a.

备选变式(教师专享) 化简下列各式:

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