高考数学第二章函数与导数第7课时指数函数对数函数及幂函数

第二章函数与导数第7课时指数函数、对数函数及幂函数

(1)

第三章 (对应学生用书(文)、(理)20～21页)

,

1. (必修1P63习题2改编)用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0)：

(1) 3a 2

＝________；(2) a a a ＝________；

(3) ⎝⎛⎭

⎫3a 2·ab 3

＝________．

答案：(1) a 23 (2) a 78 (3) a 76b 3

2

2. (必修1P 80习题6改编)计算：(lg5)2

＋lg2×lg50＝________． 答案：1

解析：原式＝(lg5)2

＋lg2×(1＋lg5)＝lg5(lg2＋lg5)＋lg2＝1.

3. (必修1P 80习题12改编)已知lg6＝a ，lg12＝b ，则用a 、b 表示lg24＝________． 答案：2b －a

解析：lg24＝lg 144

6

＝2lg12－lg6＝2b －a.

4. (必修1P 63习题6改编)若a ＋a －1

＝3，则a 3

2－a －3

2

＝______．

答案：±4

解析：a 32－a －32＝(a 12－a －12)(a ＋a －1＋1)．∵ (a 12－a －12)2＝a ＋a －1

－2＝1，∴ (a 1

2－

a －1

2

)＝±1，∴ 原式＝(±1)×(3＋1)＝±4. 5. 已知实数a 、b 满足等式⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫13b

，下列五个关系式：

① 0＜b ＜a ；② a＜b ＜0；③ 0＜a ＜b ；④ b＜a ＜0；⑤ a＝b. 其中所有不可能成立的关系式为________．(填序号) 答案：③④

解析：条件中的等式⇔2a =3b

⇔a lg2=b lg3．若a ≠0，则lg 2lg3b a =∈（0，1）．

（1）当a ＞0时，有a ＞b ＞0，即关系式①成立，而③不可能成立； （2）当a ＜0时，则b ＜0，b ＞a ，即关系式②成立，而④不可能成立； 若a =0，则b =0，故关系式⑤可能成立．

1. 根式

(1) 根式的概念

① n a n

＝⎩⎪⎨⎪⎧a （n 为奇数），|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a≥0），－a （a<0）（n 为偶数）； ② (n a)n ＝a(注意a 必须使n

a 有意义)． 2. 有理指数幂

(1) 分数指数幂的表示

① 正数的正分数指数幂是a m

n ，m 、n∈N *

，n>1)； ② 正数的负分数指数幂是a －m n ＝1a m n ＝1(a>0，m 、n∈N *

，n>1)；

③ 0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义．

(2) 有理指数幂的运算性质

① a s a t ＝a s ＋t

(a>0，t 、s∈Q )；

② (a s )t ＝a st

(a>0，t 、s∈Q )；

③ (ab)t ＝a t b t

(a>0，b ＞0，t∈Q )． 3. 对数的概念 (1) 对数的定义

如果a b

＝N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．

(2) 几种常见对数

4. (1) 对数的性质

① alog a N ＝N ；② log a a N

＝N(a>0且a≠1)． (2) 对数的重要公式

① 换底公式：log b N ＝log a N log a b (a 、b 均大于零且不等于1)；② log a b ＝1

log b a .

(3) 对数的运算法则

如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ① log a (MN)＝log a M ＋log a N ； ② log a M

N ＝log a M －log a N ；

③ log a M n

＝nlog a M (n∈R )； ④ log am M n

＝n m log a M.

[备课札记]

题型1 指数幂的运算

例1 化简下列各式(其中各字母均为正数)： (1) 1.5－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋80.25×42＋(32×3)6

－

⎝ ⎛⎭

⎪⎫232

3； (2) （a 23·b －1

）－12·a －12

·b 1

3

6a ·b 5

；

(3) a 43－8a 1

3b 4b 23＋23

ab ＋a 23

÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23b a ×3

a.

解：(1) 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＋234×214＋22×33

－⎝ ⎛⎭

⎪⎫231

3＝2＋108＝110.

(2) 原式＝a －13·b 12·a －12

·b 13a 16·b 56

＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a

.

(3) 原式＝a 13（a －8b ）（2b 13）2＋2b 13a 13＋（a 13）2

×a 13a 13－2b 13×a 13＝a 1

3（a －8b ）a －8b

×a 13×a 1

3＝a.

备选变式（教师专享） 化简下列各式：