人教A版高中数学高二必修5练习 2.1 数列的概念与简单表示法(一)

第二章 数 列
§2.1 数列的概念与简单表示法(一)
课时目标
1．理解数列及其有关概念；
2．理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；
3．对于比较简单的数列，会根据其前n 项写出它的通项公式．
1．按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列
中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，…，排在第n 位的数称为这个数列的第n 项．
2．数列的一般形式可以写成a 1，a 2，…，a n ，…，简记为{a n }．
3．项数有限的数列称有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．
4．如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
一、选择题
1．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( )
A ．a n ＝n
B ．a n ＝n ＋1
C ．a n ＝n ＋2
D ．a n ＝2n
答案 B
2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(－1)n ＋1
2
，则该数列的前4项依次为( ) A ．1,0,1,0 B ．0,1,0,1
C.12，0，12
，0 D ．2,0,2,0 答案 A
3．若数列的前4项为1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是( )
A ．a n ＝12
[1＋(－1)n －1] B ．a n ＝12
[1－cos(n ·180°)] C ．a n ＝sin 2(n ·90°)
D ．a n ＝(n －1)(n －2)＋12
[1＋(－1)n －1] 答案 D
解析 令n ＝1,2,3,4代入验证即可．
4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，则－8是该数列的( )
A ．第5项
B ．第6项
C ．第7项
D ．非任何一项
答案 C
解析 n 2－n －50＝－8，得n ＝7或n ＝－6(舍去)．
5．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( )
A ．a n ＝n 2－n ＋1
B ．a n ＝n (n －1)2
C ．a n ＝n (n ＋1)2
D ．a n ＝n 2＋1 答案 C
解析 令n ＝1,2,3,4，代入A 、B 、C 、D 检验即可．排除A 、B 、D ，从而选C.
6．设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3
＋…＋12n (n ∈N *)，那么a n ＋1－a n 等于( ) A.12n ＋1 B.12n ＋2
C.12n ＋1＋12n ＋2
D.12n ＋1－12n ＋2
答案 D
解析 ∵a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3
＋…＋12n ∴a n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2
， ∴a n ＋1－a n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2
. 二、填空题
7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
3n ＋1(n 为正奇数)4n －1(n 为正偶数).则它的前4项依次为____________．
答案 4,7,10,15
8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋2)
(n ∈N *)，那么1120是这个数列的第______项． 答案 10
解析 ∵1n (n ＋2)＝1120
， ∴n (n ＋2)＝10×12，∴n ＝10.
9．用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是
______________．
答案 a n ＝2n ＋1
解析 a 1＝3，a 2＝3＋2＝5，a 3＝3＋2＋2＝7，a 4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴a n ＝2n ＋1.
10．传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras ，约公元前570年—公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是______．
答案 55
解析 三角形数依次为：1,3,6,10,15，…，第10个三角形数为：1＋2＋3＋4＋…＋10
＝55.
三、解答题
11．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
(1)－1,7，－13,19，…
(2)0.8,0.88,0.888，…
(3)12，14，－58，1316，－2932，6164
，… (4)32，1，710，917
，… (5)0,1,0,1，…
解 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n ＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)(n ∈N *)．
(2)数列变形为89(1－0.1)，89
(1－0.01)， 89(1－0.001)，…，∴a n ＝89⎝
⎛⎭⎫1－110n (n ∈N *)． (3)各项的分母分别为21,22,23,24，…易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1
项变为－2－32，因此原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…， ∴a n ＝(－1)n ·2n －32n (n ∈N *)． (4)将数列统一为32，55，710，917
，…对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16…即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，
∴可得它的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1
(n ∈N *)． (5)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
0 (n 为奇数)1 (n 为偶数)
或a n ＝1＋(－1)n 2(n ∈N *) 或a n ＝1＋cos n π2
(n ∈N *)． 12．已知数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1； (1)求这个数列的第10项；
(2)98101
是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；
(4)在区间⎝⎛⎭⎫13，23内有、无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．
(1)解 设f (n )＝9n 2－9n ＋29n 2－1
＝(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －23n ＋1. 令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831
. (2)解 令3n －23n ＋1＝98101
，得9n ＝300. 此方程无正整数解，所以98101
不是该数列中的项．
(3)证明 ∵a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1
， 又n ∈N *，∴0<33n ＋1
<1，∴0<a n <1. ∴数列中的各项都在区间(0,1)内．
(4)解 令13<a n ＝3n －23n ＋1<23，则⎩⎪⎨⎪⎧
3n ＋1<9n －69n －6<6n ＋2， 即⎩⎨⎧ n >76
n <83.∴76<n <83
. 又∵n ∈N *，∴当且仅当n ＝2时，上式成立，故区间⎝⎛⎭⎫13，23上有数列中的项，且只有一
项为a 2＝47
. 能力提升
13．数列a ，b ，a ，b ，…的一个通项公式是______________________．
答案 a n ＝a ＋b 2＋(－1)n ＋1⎝⎛⎭⎫a －b 2
解析 a ＝a ＋b 2＋a －b 2，b ＝a ＋b 2－a －b 2
， 故a n ＝a ＋b 2＋(－1)n ＋1⎝ ⎛⎭
⎪⎫a －b 2. 14．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有多少个点．
解 图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜测第n 个图中除中间一个点外，有n 个分支，每个分支有(n －1)个点，故第n 个图中点的个数为1＋n (n －1)＝n 2－n ＋1.
1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：
(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．
(2)可重复性：数列中的数可以重复．
(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关．
2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141，…，它没有通项公式．
3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．例如：数列－1,1，－1,1，－1,1，…的通项公式可写成a n ＝(－1)n ，也可以写成a n ＝(－1)n ＋2，还可以写成
a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－1 (n ＝2k －1)，1 (n ＝2k )，其中k ∈N *.。