椭圆与双曲线方程的几种形式
圆椭圆双曲线抛物线知识点汇总
圆椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、圆椭圆双曲线抛物线的定义1. 圆：圆是平面上到定点距离相等的所有点的集合。
圆由圆心和半径唯一确定。
2. 椭圆：椭圆是平面上到两个定点的距离之和为常数的所有点的集合。
椭圆由两个焦点和两个半轴唯一确定。
3. 双曲线：双曲线是平面上到两个定点的距离之差为常数的所有点的集合。
双曲线由两个焦点和两个实轴唯一确定。
4. 抛物线：抛物线是平面上到定点距离等于到定直线的距离的所有点的集合。
抛物线由焦点和直线唯一确定。
二、圆椭圆双曲线抛物线的方程1. 圆：圆的标准方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中圆心为(a, b)，半径为r。
2. 椭圆：椭圆的标准方程为x²/a² + y²/b² = 1，其中a和b分别为x轴和y轴上的半轴长。
3. 双曲线：双曲线的标准方程为x²/a² - y²/b² = 1或者y²/a² - x²/b² = 1，取决于焦点的位置。
4. 抛物线：抛物线的标准方程为y² = 4ax或者x² = 4ay，取决于抛物线开口的方向。
三、圆椭圆双曲线抛物线的性质1. 圆：圆的直径是圆上任意两点之间的最大距离，且所有直径相等。
2. 椭圆：椭圆的离心率介于0和1之间，离心率越接近0，椭圆越接近于圆。
3. 双曲线：双曲线分为两支，每一支的焦点到定点的距离之差相等。
4. 抛物线：抛物线的焦点在抛物线上方，开口方向取决于系数a的正负号。
四、圆椭圆双曲线抛物线的应用1. 圆：在几何中常常与角度和三角函数结合，用于描述正弦和余弦函数的周期性。
2. 椭圆：在天体力学中用于描述行星轨道的形状，以及通信中的极化椭圆。
3. 双曲线：在光学和电磁学中用于描述折射和反射现象。
4. 抛物线：在物理学中用于描述自由落体运动和抛物线运动。
2022年高考复习 椭圆、双曲线、抛物线的方程与性质
轴,则△FAB的周长的取值范围为
圆
锥
曲
线
的
几
何
性
质
(8,12);
抛物线的准线l：直线x=-2, 焦点F(2,0),
由抛物线定义可得|AF|=xA+2,
圆(x-2)2+y2=16的圆心为(2,0),半径为4,
所以△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=xA+2+(xB-xA)+4=6+xB,
2
);有相同离心率的椭圆方程为
=1(k>-b
+
2
2
a k b k
y 2 x2
x2 y2
+ 2 =λ1(λ1>0,焦点在 x 轴上)或 2 + 2 =λ2(λ2>0,
2
b
a
a
b
焦点在 y 轴上).
核心考点
(5)等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,
常用
结论
其方程为 x2-y2=λ(λ≠0),离心率 e= 2 ,
2022
高考复习
椭圆、双曲线、抛物线的方程与性质
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核心考点
1.圆锥曲线的定义
(1)椭圆: |MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|);
(2)双曲线: ||MF1|-|MF2||=2a(2a<|F1F2|);
(3)抛物线: |MF|=d(d为M点到准线的距离且定点M在准线外).
cfd椭圆型方程 双曲线方程
椭圆型方程和双曲线方程在数学和物理学中都是重要的方程形式。
它们在描述各种自然现象和工程问题中起着非常重要的作用。
本文将分别介绍椭圆型方程和双曲线方程的相关知识和应用。
一、椭圆型方程1.1 椭圆型方程的定义椭圆型方程是指二次型方程中的常对称阵为正定的方程。
具体而言，一个椭圆型方程可以写成如下形式：a(x^2) + 2bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0其中a，b，c为实数且满足a*c - b^2>0。
当a*c - b^2=0时，方程表示一个退化的椭圆。
1.2 椭圆型方程的性质椭圆型方程描述的图形是一个椭圆，其性质包括但不限于：（1）椭圆对称性：椭圆与x轴和y轴对称。
（2）离心率：椭圆的长轴和短轴之比称为椭圆的离心率，是一个重要的椭圆参数。
（3）焦点、直径、面积等椭圆的相关性质。
1.3 椭圆型方程的应用椭圆型方程在物理学、工程学和金融学等领域有着广泛的应用。
在天体力学中，行星公转的轨道可以用椭圆型方程描述；在工程学中，椭圆型方程可以用于描述声波在二维介质中的传播等。
二、双曲线方程2.1 双曲线方程的定义双曲线方程是指二次型方程中的常对称阵为否定定的方程。
具体而言，一个双曲线方程可以写成如下形式：a(x^2) - c(y^2) = 1其中a，c为实数且满足a*c - 1<0。
当a*c - 1=0时，方程表示一个退化的双曲线。
2.2 双曲线方程的性质双曲线方程描述的图形是一个双曲线，其性质包括但不限于：（1）双曲线的渐近线：双曲线有两条渐近线，分别与曲线的两支趋向于并成的方向平行。
（2）双曲线的焦点、直径、面积等相关性质。
2.3 双曲线方程的应用双曲线方程在物理学、工程学和经济学等领域也有着广泛的应用。
在电磁学中，电磁波的传播可以用双曲线方程描述；在经济学中，需求曲线和供给曲线的交点通常可以用双曲线方程来表示。
椭圆型方程和双曲线方程是数学中重要的方程形式，它们在各个领域都有着广泛的应用。
双曲线和椭圆的标准方程
双曲线和椭圆的标准方程双曲线和椭圆是常见的二次曲线，它们具有重要的数学应用和丰富的几何性质。
本文将介绍双曲线和椭圆的标准方程，以及它们的基本性质和图像特征。
一、双曲线的标准方程双曲线是平面直角坐标系中的一种曲线，它与直线的距离之差等于常数的点的集合。
它的标准方程分为两种形式，即横轴双曲线和纵轴双曲线。
1. 横轴双曲线的标准方程横轴双曲线的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a>0，b>0）其中，a和b分别为横轴和纵轴的半轴长度。
双曲线的中心位于坐标原点，对称轴平行于横轴，焦点在横轴上。
横轴双曲线的图像呈现出两条分离的曲线，称为左、右支，两支曲线均向外扩张。
2. 纵轴双曲线的标准方程纵轴双曲线的标准方程为：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$（a>0，b>0）其中，a和b分别为横轴和纵轴的半轴长度。
双曲线的中心位于坐标原点，对称轴平行于纵轴，焦点在纵轴上。
纵轴双曲线的图像呈现出两条分离的曲线，称为上、下支，两支曲线均向外扩张。
二、椭圆的标准方程椭圆也是平面直角坐标系中的一种曲线，它与两个定点的距离之和等于常数的点的集合。
和双曲线一样，椭圆的标准方程也分为两种形式，即横轴椭圆和纵轴椭圆。
1. 横轴椭圆的标准方程横轴椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a>0，b>0）其中，a和b分别为横轴和纵轴的半轴长度。
椭圆的中心位于坐标原点，对称轴平行于横轴，长轴在横轴上。
横轴椭圆的图像呈现出一个类似于圆形的形状，但是在两端被“压扁”，长的轴变为短的轴。
2. 纵轴椭圆的标准方程纵轴椭圆的标准方程为：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$（a>0，b>0）其中，a和b分别为横轴和纵轴的半轴长度。
椭圆的中心位于坐标原点，对称轴平行于纵轴，长轴在纵轴上。
高中数学—16—椭圆双曲线(A)-教师版
教师日期学生课程编号课型课题椭圆与双曲线教学目标1．理解椭圆的定义，会推导椭圆的标准方程；掌握两种类型的椭圆的标准方程（焦点位于x轴或y 轴）2．掌握椭圆的几何性质和应用3.掌握双曲线的定义和焦距顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程4掌握椭圆的几何性质和应用5.直线被椭圆所截得的弦长公式；与椭圆有关的弦长、中点、垂直等问题的一些重要解题技巧；6.在最值、定值等问题中进一步树立数形结合、函数方程、等价转化、分类讨论等重要数学思想教学重点1．椭圆和双曲线的几何性质和应用；2.直线被椭圆所截得的弦长公式；与椭圆有关的弦长、中点、垂直等问题的一些重要解题技巧；3.在最值、定值等问题中进一步树立数形结合、函数方程、等价转化、分类讨论等重要数学思想教学安排版块时长1 知识梳理152 例题解析503 巩固训练354 师生总结105 课后练习10椭圆与双曲线1．已知点A （2，3）、B （1，5）则直线AB 的倾角为（ ）A.arctan2B.arctan(－2)C.2π+arctan2D. 2π+arctan 21【难度】★ 【答案】D2．下列四个命题中的真命题是（ ）A.经过定点000(,)P x y 的直线都可以用方程00()y y k x x -=-．B.经过任意两个不同的点111222(,),(,)P x y P x y 的直线方程都可以用方程121121()()()()y y x x x x y y --=--表示． C.不经过原点的直线方程都可以用方程1x ya b+=表示．D.经过定点(0,)A b 的直线都可以用方程y kx b =+表示．【难度】★ 【答案】B3．在ABC ∆中，a 、b 、c 为三内角所对的边长，且C 、B 、A sin lg sin lg sin lg 成等差数列，则直线a A y A x =+sin sin 2和c C y B x =+sin sin 2的位置关系是．【难度】★★【答案】两直线重合4．设),(y x P 为圆1)1(22=-+y x 上任意一点，要使不等式m y x ++≥0恒成立，则m 取值范围是（）A ．m ≥0B ．m ≥12-C ．m ≥12+D ．m ≥21-【难度】★★ 【答案】B5．过圆522=+y x 内点⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,25P 有n 条弦，这n 条弦的长度成等差数列{}n a ，如果过P 点的圆的最短的弦长为1a ，最长的弦长为n a ，且公差)31,61(∈d ，那么n 的取值集合为 ．【难度】★★ 【答案】{}7,6,5热身练习一、椭圆1．椭圆定义：平面内到两个定点1F ，2F （12||2F F c =）的距离的和等于常数2(0)a a c >>的 点的轨迹叫做椭圆（ellipse ）．这两个定点1F ，2F 叫做椭圆的焦点（foci of anellipse ），两个焦点的距离12||2F F c =叫做焦距（distance between two foci ）．注意：若设动点为P ，则 （1）当1212||||||PF PF F F +>时，动点P 的轨迹是椭圆． （2）当1212||||||PF PF F F +=时，动点P 的轨迹是线段．（3）当1212||||||PF PF F F +<时，动点P 的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程及性质（Standard equations and properties of ellipse ）：焦点在x 轴上焦点在y 轴上标准方程222222201a b x y b c a a b >>⎛⎫+= ⎪+=⎝⎭222222201a b y x b c a a b >>⎛⎫+= ⎪+=⎝⎭图形焦点坐标 1(,0)F c -，2(,0)F c 1(0,)F c ，2(0,)F c -焦距 2c2c范围 a x a -≤≤，b y b -≤≤b x b -≤≤，a y a -≤≤对称性 x 轴、y 轴和原点对称顶点坐标 (,0)a ，(,0)a -，(0,)b ，(0,)b -(,0)b ，(,0)b -，(0,)a ，(0,)a -两轴 长轴长2a ，短轴长2b3．椭圆的其他性质：①椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点．②椭圆上到焦点距离最大、最小的点是长轴的两个端点，最大距离是a c +，最小距离是a c -．知识梳理③设椭圆的两个焦点为1F ，2F ，P 是椭圆上的点，当点P 在短轴的端点时12F PF ∠最大．④椭圆的焦点的光学性质：从任一焦点发出的光线通过椭圆面反射后，反射光线经过另一焦点． 4．椭圆中的相关结论：①若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是； ②若在椭圆外 ，则过作椭圆的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是； ③ 椭圆 ()的左右焦点分别为，点为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为； ④是椭圆的不平行于对称轴的弦，为的中点，则，即； ⑤已知椭圆，直线交椭圆于，两点，点是椭圆上异于，的任一点，且，均存在，则．⑥过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点F 作直线交y 轴于点P ，交椭圆于点M 和N ，若1PM MF λ=u u u u r u u u u r ，2PN NF λ=u u u r u u u r ，则21222a bλλ+=-．5．直线与椭圆的位置关系(The positional relation between a line and an ellipse) 联立方程，看∆． 0∆>21||k a ∆+（其中a 为二次项系数）； 0∆=，直线与椭圆相切，也即直线与椭圆只有一个公共点；0∆<，直线与椭圆无交点．000(,)P x y 22221x y a b +=0P 00221x x y ya b +=000(,)P x y 22221x y a b +=0P 12P P 、12P P 00221x x y ya b+=22221x y a b+=0a b >>12,F F P 12F PF γ∠=122tan 2F PF S b γ∆=AB 22221x y a b+=00(,)M x y AB 22OM AB b k k a ⋅=-0202y a x b K AB -=22221x y a b+=y kx =A B P A B PA k PB k PA k ⋅PB k 22b a=-二、双曲线1．双曲线定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（12F F <）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola ），这两个定点叫双曲线的焦点（foci of a hyperbola ）．符号语言：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)．当|MF 1|－|MF 2|＝2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的双曲线的一支；当|MF 1|－|MF 2|＝－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的双曲线的一支；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹为分别以F 1，F 2为端点的两条射线；当2a >|F 1F 2|时，动点轨迹不存在．2．双曲线标准方程的两种形式：焦点在x 轴上焦点在y 轴上标准方程222222201a b x y b a c a b >⎛⎫-= ⎪+=⎝⎭， 222222201a b y x b a c a b >⎛⎫-= ⎪+=⎝⎭， 图形焦点坐标 1(,0)F c -，2(,0)F c 1(0,)F c -，2(0,)F c焦距 2c 2c范围 ,x a y R ≥∈ ,y a x R ≥∈对称性 x 轴、y 轴和原点对称顶点坐标 (,0)a ，(,0)a -(,0)b ，(,0)b -两轴 实轴长2a ，虚轴长2b渐近线x ab y ±= a y x b=±3．双曲线中的相关结论：①若在双曲线（）上，则过的双曲线的切线方程是； x yM F 12F xyMF 12F 000(,)P x y 22221x y a b-=0,0a b >>0P 00221x x y ya b-=②若在双曲线（）外 ，则过作双曲线的两条切线切点为，则切点弦的直线方程是； ③双曲线（）的左右焦点分别为，点P 为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为；④是双曲线（）的不平行于对称轴的弦，为的中点，则，即；⑤已知双曲线，直线y kx =交双曲线于A ，B 两点，点是双曲线上异于，的任一点，且，均存在，则．⑥过双曲线22221x y a b-=的右焦点F 作直线交y 轴于点P ，交双曲线于点M 和N ，若1PM MF λ=u u u u r u u u u r ，2PN NF λ=u u u r u u u r ，则21222a bλλ+=．4．直线0=++C By Ax 和双曲线12222=-by a x 的位置关系：将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x 或y 的方程．（1）若方程为一元一次方程，则直线和双曲线的的渐近线平行，直线和双曲线有一个交点，但 不相切不是切点；（2）若为一元二次方程，则 ①若0>∆，则直线和双曲线相交，有两个交点(或两个公共点)； ②若0∆=，则直线和双曲线相切，有一个切点；③若0∆<，则直线和双曲线相离，无公共点．5．弦长公式：直线:l y kx b =+与椭圆或双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，相交于)()(2211y x B y x A ，，，则 2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=．000(,)P x y 22221x y a b-=0,0a b >>0P 12P P 、12P P 00221x x y ya b-=22221x y a b-=0,0a b >>12,F F 12F PF γ∠=122t 2F PF S b co γ∆=AB 22221x y a b -=0,0a b >>00(,)M x y AB 22OM AB b K K a ⋅=0202y a x b K AB =22221x y a b-=P A B PA k PB k PA k ⋅PB k 22b a=一、椭圆1、椭圆的方程及其基本量运算【例1】根据下列条件分别求椭圆的标准方程．（1）对称轴是坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成正三角形，焦点到椭圆的最短距离是3； （2）椭圆中心在原点，对称轴是坐标轴，长轴长是短轴长的3倍，并且过点(3,0)-． 【难度】★【答案】（1）2213627x y +=或2213627y x +=；（2）2219x y +=或221819y x +=． 【例2】已知方程222222(2)60k x k y k k -++--=表示椭圆，求实数k 的取值范围． 【难度】★★【答案】(2,2)(2,2)(2,3)k ∈--U U【巩固训练】1．（1）ABC △周长为20，(4,0)B -，(4,0)C ，则点A 的轨迹方程为 ；（2）方程22132x y k k+=++表示椭圆，则k 的取值范围是 ； （3）长轴长为短轴长的2倍，且过点(2,3)的椭圆标准方程为 ． 【难度】★【答案】（1）221(0)3620x y y +=≠； （2）2k >-； （3）2214010x y +=或22125254y x += 2．已知：焦点在x 轴上的椭圆焦点与短轴两端点的连线互相垂直，求此焦点与长轴较近的端点距离为105-的椭圆的标准方程． 【难度】★★【答案】221105x y += 例题解析2、椭圆定义的应用【例3】点P 在椭圆22143x y +=上运动，Q 、R 分别在两圆22(1)1x y ++=和22(1)1x y -+=上运动，则||||PQ PR +的最大值为 ，最小值为 ． 【难度】★★ 【答案】6，2【解析】1(1,0)C -，11r =，2(1,0)C -，21r = 把点P 想成定点，max 111(||)||||1PQ PC r PC =+=+， max 222(||)||||1PR PC r PC =+=+ 又12||||24PC PC a +==，∴max (||||)6PQ PR +=； 类似，min 12(||||)||1||12PQ PR PC PC +=-+-=．【例4】椭圆2221x y a+=（a 定值，且1a >）的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，FAB △周长的最大值是8，则椭圆上的点与两焦点连线的最大夹角为 ．【难度】★★ 【答案】120︒【巩固训练】1．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点P 满足12F PF θ∠=（1F ，2F 为椭圆的两个焦点），求12F PF △的面积．【难度】★★ 【答案】2tan2b θ2．已知(1,1)A 为椭圆22195x y +=内一点，1F 为椭圆左焦点，P 为椭圆上一动点，则1||||PF PA +的最大值是 ，最小值是 ． 【难度】★★【答案】62+，62-3．椭圆22143x y +=的右焦点为F ，点P 是椭圆上一动点，点M 是圆22:(3)1C x y +-=上一动点，求||||PM PF +的最大值及此时点P 的坐标． 【难度】★★【答案】max (||||)510PM PF +=+，122103610,1313P ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭ 【解析】利用椭圆定义进行转化||||||4|'|4|||'|4|'|4|'|15|'|510PM PF PM PF PM PF MF CF CF +=+-=+-≤+≤++=+=+此时，122103610,1313P ⎛⎫+--⎪ ⎪⎝⎭3、椭圆的综合问题【例5】在椭圆2214x y +=上求一点P ，使它到直线:2100l x y ++=的距离最大（小），并求最大（小）值． 【难度】★★ 【答案】当22,2P ⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭时，min 210255d =-；当22,2P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，max 210255d =+ 【例6】已知P 为椭圆2214x y +=上任意一点，(,0)()M m m ∈R ，求PM 的最小值． 【难度】★★【答案】22341,[2,2]433m m PM x x ⎛⎫=-+-∈- ⎪⎝⎭，2min 3|2|293333223|2|2m m m PM m m m ⎧+<-⎪⎪⎪-=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩【巩固训练】1．P 是椭圆224312x y +=上任一点，1F 、2F 是它的两个焦点，则12F PF ∠的最大值是（ ）．A ．32arctan 4B ．12arcsin 4C ．3πD ．23π【难度】★★ 【答案】C2．22(40)(40)1259x y ABC A B C C ∆-+=的顶点是，、，、，又是椭圆上异于长轴端点的点，则=+CBA sin sin sin （ ）A ．2B ．54 C D ．12 【难度】★★ 【答案】B3．设点)0,(m M 在椭圆1121622=+y x 的长轴上，点P 是椭圆上任意一点．当MP u u u r 的模最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，求实数m 的取值范围．二、双曲线1、双曲线的方程和基本量计算【例7】点P 在22125144x y -=上，若116PF =，则2PF = ．【难度】★ 【答案】26【例8】平面直角坐标系xoy 中，双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线22:2C x py =()0p >交于点,,O A B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的ca的值为 ．【巩固训练】1．若x k y k22211-+-=表示焦点在y 轴上的双曲线，那么它的半焦距c 的取值范围是（ ）A. ()1，+∞B. （0，2）C. ()2，+∞D. （1，2）【难度】★★ 【答案】A2．0ab <时，方程22ax by c +=表示双曲线的是（ ）A. 必要但不充分条件B. 充分但不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【难度】★★ 【答案】A【解答】若22ax by c +=表示双曲线，则一定有0ab <；若000c ab c ≠⎧<⎨=⎩当时，表示双曲线当时，表示直线∴选A2、双曲线定义的应用【例9】圆C 1：()x y ++=3122和圆C 2：()x y -+=3922，动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程. 【难度】★★A．①②B．①③C．①④D．③④【难度】★★【答案】A【巩固训练】1．设P是双曲线22xa-219y=上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y-=，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，若13PF=，则2PF等于．【难度】★★【答案】72．已知点，，，动圆与直线切于点，过、与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为（ ）A ．B ．C ．（x > 0）D ． 【难度】★ 【答案】B【解析】，点的轨迹是以、为焦点，实轴长为2的双曲线的右支.3．设1F 、2F 是双曲线C ：12222=-by a x （0>a ，0>b ）的两个焦点，P 是C 上一点，若a PF PF 6||||21=+，且△21F PF 最小内角的大小为︒30，则双曲线C 的渐近线方程是（ ）A ．02=±y xB ．02=±y xC ．02=±y xD ．02=±y x 【难度】★★ 【答案】B【解析】12112112||||2()||=4||||6||=22||PF PF a PF aPF PF a PF a c F F -=⎧⎧⇒⎨⎨+=<=⎩⎩双曲线定义∵△21F PF 最小内角的大小为︒30，∴1230PF F ∠=︒ 易知3c a =，∴2b a =，∴渐近线方程为2by x x a=±=±3、双曲线的综合问题【例11】已知12,F F 分别为双曲线C ：221927x y -=的左、右焦点，点C A ∈，点M 的坐标为)0,2(，AM 为21AF F ∠的平分线，则2AF = .【难度】★★ 【答案】6【解析】 根据角平分线的性质，211212==MF MF AF AF ，又621=-AF AF ，故26AF =.(3,0)M -(3,0)N (1,0)B C MN B M N C P P 221(1)8y x x -=<-221(1)8y x x -=>1822=+y x 221(1)10y x x -=>2=-=-BN BM PN PM P M N【例12】如图，已知点P 为双曲线221169x y -=右支上一点，12,F F 分别为双曲线的左、右焦点，I 为21F PF ∆的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ∆∆∆=+成立，则λ的值为 .【例13】已知双曲线的焦点在x 轴上，且过点)0,1(A 和)0,1(-B ，P 是双曲线上异于A 、B 的任一点，如果APB ∆的垂心H 总在此双曲线上，求双曲线的标准方程.【巩固训练】1．已知椭圆和双曲线有公共的焦点， （1）求双曲线的渐近线方程；（2）直线过焦点且垂直于x 轴，若直线与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为，求双曲线的方程. 1532222=+n y m x 1322222=-n y m x l l 43三、椭圆与双曲线的综合问题1、椭圆双曲线混合问题【例14】曲线11622=--ky k x 与曲线22525922=+y x 的焦距相等的充要条件是（ ） A ．016≠<k k 且 B ．160≠>k k 且 C ．160<<k D ．160><k k 或 【难度】★★ 【答案】A【例15】已知曲线C ：22||||1x x y y a b-=，下列叙述中错误的是（ ）． A ．垂直于x 轴的直线与曲线C 只有一个交点B ．直线y kx m =+（,k m ∈R ）与曲线C 最多有三个交点 C ．曲线C 关于直线y x =-对称D ．若111(,)P x y ，222(,)P x y 为曲线C 上任意两点，则有12120y y x x ->-【难度】★★ 【答案】C【巩固训练】1．如果函数2y x =-的图像与曲线22:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实 数λ的取值范围是（ ）A ．[1,1)-B ．{}1,0-C ．(,1][0,1)-∞-UD ．[1,0](1,)-+∞U 【难度】★★【答案】A 【解析】①两平行直线：0λ=（符合） ②圆：1λ=（符合） ③椭圆ⅰ）焦点在x 轴的椭圆： (1,)λ∈+∞（不符合） ⅱ）焦点在y 轴的椭圆： (0,1)λ∈（符合） ④双曲线 ⅰ）等轴双曲线：1λ=-（符合）ⅱ）渐近线较陡： (1,0)λ∈-（符合） ⅲ）渐近线较平：(,1)λ∈-∞-（不符合）2、直线与椭圆【例16】设1F ，2F 是椭圆22132x y +=的左、右焦点，弦AB 过2F ，求1ABF △的面积的最大值． 【难度】★★ 【答案】433【例17】已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b >>的左焦点为(,0)F c -，33c a =，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆2224b x y +=截得的线段的长为c ，43||=3FM ．（1）求直线FM 的斜率； （2）求椭圆的方程；（3）设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围． 【难度】★★【巩固训练】1．过点(0,2)P 作直线l 与椭圆2212x y +=交于A 、B 两点，O 为坐标原点， （1）当AOB △面积为23时，求直线l 的方程； （2）当AOB △面积取得最大值时，求直线l 的方程．2．已知椭圆2222:1x y C a b+= （0>>b a ）的一个焦点坐标为(1,0)，且长轴长是短轴长的2倍．（1）求椭圆C 的方程；（2） 设O 为坐标原点，椭圆C 与直线1y kx =+相交于两个不同的点A 、B ，线段AB 的中点为P ，若直线OP 的斜率为1-，求△OAB 的面积．3、直线与双曲线【例18】在双曲线1222=-y x 上，是否存在被点)1,1(M 平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.这里16240∆=-<，故方程（2）无实根，也就是所求直线不合条件. 所以不存在符合题设条件的直线.【例19】已知双曲线2213y x -=，曲线上存在关于直线:4l y kx =+对称的两点，求k 的范围. 【难度】★★ 【答案】3113(,)(,0)(0,)(,)3223-∞--+∞U U U 【解析】当0k =时，不满足条件设1122(,),(,)A x y B x y 及其中点坐标为00(,)x y ，则22112222113113x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩:相减2121212113y y x x x x y y ++⋅=--即 0031x k y -=，又004y kx =+所以001,3x y k =-= )1(13:kx k y l AB +-=-∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+-=13131222y x k x k y 联立03)13()13(2)13(22222=----+-⇒k x k k x k 0]3)13)[(13(4)]13(2[22222>+--+-=∆kk k k Θ 2211043k k ⇒<<>或),33()21,0()0,21()33,(+∞---∞∈∴Y Y Y k【例20】已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为，右顶点为.（1）求双曲线C 的方程（2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点A 和B 且2OA OB ⋅>u u u r u u u r （其中为原点），求k 的取值范围. 【难度】★★【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设双曲线方程为,由已知得，再由，得()2,0(3,0:2=+l y kx O 2213-=x y 33(1,),133⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭U 22221-=x y a b3,2==a c 2222+=a b 21=b【巩固训练】1．直线1:+=kx y m 和双曲线122=-y x 的左支交于B A ,两点，直线过点)0,2(-P 和线段AB 的中点M ，求在y 轴上的截距b 的取值范围．l l2．已知双曲线方程x y 22421-= （1）过点)1,1(M 的直线交双曲线于B A ,两点，若M 为AB 的中点，求直线AB 的方程；（2）是否存在直线l ，使点N 112，⎛⎝⎫⎭⎪为直线l 被双曲线截得的弦的中点，若存在求出直线l 的方程，若不存在说明理由．（1）根据条件确定椭圆双曲线的标准方程．在解这类问题时，常常先明确椭圆的焦点是在哪一条坐标轴上，选择相应的标准方程，根据题意，利用待定系数法确定相关系数；或者利用定义法求得方程．（2）灵活运用定义解决有关问题，当某点在已知椭圆上时，不仅意味着点的坐标满足椭圆的方程，而且该点到两个焦点的距离和等于椭圆的长轴长，所以在处理与焦点相关的长度问题时多想想定义．（3）在处理与圆锥曲线相关的最值问题时通常化归成求函数最值．（4）在处理弦长问题时注意应用弦长公式．（5）点差法解决与中点相关的问题．（6）注意“设而不求”在解析几何中的应用：不需解方程只需通过韦达定理中根与系数的关系解决问题，在此，要注意韦达定理之前首先要保证有解，要考虑判别式大于零．（7）在处理与椭圆双曲线性质相关的综合问题时，不仅常常应用数形结合法、方程思想，而且还常用到消元思想、类比思想．1．已知方程22132x yk k+=+-表示椭圆，则k的取值范围是．【难度】★【答案】113,,222⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U课后练习反思总结2．经过点(2,3)-且与椭圆229436x y +=有公共焦点的椭圆方程为 ． 3．已知21,F F 是双曲线1222=-y x 的左、右焦点，P 、Q 为右支上的两点，直线PQ 过2F ，且倾斜角为α，则PQ QF PF -+11的值为 ． 4．已知(0,3)A -、(0,3)B 两点，若动点P 满足||||6PA PB +=，则点P 的轨迹为（ ）． A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．x 轴上的线段D ．y 轴上的线段【难度】★★ 【答案】D5．椭圆221164x y +=上的点到直线20x y +=的最大距离是 ． 6．如果过椭圆2249144x y +=内的点(3,2)P 的弦恰好以P 为中点，那么这条弦所在直线的方程为 ．8．若椭圆1252222=-+m y m x 上至少存在一点P ，使得它与两焦点连线互相垂直，则正实数m 的 取值范围为____________．9．设点P 到点)0,1(-M ，)0,1(-N 距离之差为m 2，到x 轴、y 轴距离之比为2，求m 的取值范围.10．已知定点)0,(a A 和椭圆8222=+y x 上的动点),(y x P ．（1）若2=a 且223||=PA ，计算点P 的坐标； （2）若30<<a 且||PA 的最小值为1，求实数a 的值．11．经过双曲线)0>,0>(1=2222b a b y a x －上任一点M ，作平行于两渐近线的直线，与渐近线交于Q P ,两点，则平行四边形OPMQ 的面积S 为定值，ab S 21=．。
椭圆和双曲线知识点表格
椭圆和双曲线知识点表格椭圆和双曲线知识点表格椭圆和双曲线是高中数学中比较重要的内容之一，它们在数学、物理、工程和经济学中都有广泛的应用。
下面我们将针对椭圆和双曲线的相关知识点进行详细的说明和比较。
椭圆椭圆是一个平面上的闭合曲线，它的形状像一个拉长的圆形。
下面是椭圆的主要特点：1. 焦点性质：椭圆有两个焦点，所有到这两个焦点的距离之和是常数。
2. 中心性质：椭圆的中心位于椭圆的长轴和短轴的交点处，也就是它的几何中心。
3. 离心率性质：离心率是用来描述椭圆形状的一个参数，它等于焦距与长轴长度之比。
4. 方程性质：椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中 $a$ 和 $b$ 分别为椭圆长轴和短轴的长度。
双曲线双曲线也是一个平面上的闭合曲线，不同于椭圆的是，它的两条渐近线永远不会相交。
下面是双曲线的主要特点：1. 焦点性质：双曲线同样有两个焦点，所有到这两个焦点的距离之差是常数。
2. 中心性质：和椭圆一样，双曲线的中心位于它的几何中心，也就是它的两条渐近线的交点处。
3. 离心率性质：离心率也是用来描述双曲线形状的一个参数，它等于焦距与渐近线距离之比。
4. 方程性质：双曲线的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$ 和$b$ 分别为双曲线横轴和纵轴的长度。
椭圆和双曲线的比较虽然椭圆和双曲线都是平面上的闭合曲线，但它们之间还是有一些明显的差异。
下面是椭圆和双曲线的比较：1. 形状差异：椭圆形状更加圆润，而双曲线则更倾向于沿着两个方向无限延伸。
2. 焦点性质差异：椭圆的焦点距离和为常数，而双曲线的焦点距离差为常数。
3. 离心率性质差异：椭圆的离心率范围是 $0 \le e \lt 1$，而双曲线的离心率范围是 $e \gt 1$。
4. 应用领域差异：椭圆在天文学、植物学和热力学等领域有广泛应用，而双曲线则在光学、电磁学和近代物理学等领域有广泛应用。
椭圆与双曲线
椭圆与双曲线椭圆与双曲线是数学中重要的曲线类型，它们在几何学、物理学等领域拥有广泛的应用。
椭圆和双曲线的定义以及特性是我们接下来要探讨的主题。
一、椭圆的定义与特性椭圆是由一个固定点F（焦点）和到该点的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
该常数2a被称为椭圆的长轴，2b被称为椭圆的短轴，且b^2 = a^2 - c^2。
其中，焦距c等于椭圆的长轴与短轴之间的距离。
椭圆具有以下的特性：1. 椭圆上的任意一点到焦点F及到另一个焦点F'的距离之和相等，等于常数2a。
2. 椭圆的离心率等于焦距与长轴之比，即e = c/a，且e < 1。
3. 椭圆的中点为原点O，对称轴为x轴和y轴。
4. 椭圆可以通过参数方程(x = a cosθ, y = b sinθ) 来表示。
二、双曲线的定义与特性双曲线是由一个固定点F（焦点）和到该点的距离之差等于常数2a的点P的轨迹。
该常数2a被称为双曲线的距离差，也是双曲线的长轴。
双曲线具有以下的特性：1. 双曲线上的任意一点到焦点F及到另一个焦点F'的距离之差相等，等于常数2a。
2. 双曲线的离心率大于1，即e = c/a，且e > 1。
3. 双曲线的中点为原点O，对称轴为x轴和y轴。
4. 双曲线可以通过参数方程(x = a secθ, y = b tanθ) 来表示。
三、椭圆与双曲线的应用椭圆与双曲线在几何学、物理学和工程学等领域有广泛的应用，下面列举几个例子：1. 天体的轨道：行星、彗星等天体的轨道大多为椭圆或双曲线。
椭圆轨道表示行星等天体绕着太阳运动，而双曲线轨道表示彗星等天体从远离太阳的地方接近太阳，然后再远离。
2. 天体测量：椭圆和双曲线在测量天体的位置、速度和质量等方面有着广泛的应用。
例如，通过观测行星轨道的椭圆形状和参数，可以计算出行星的质量和轨道周期等信息。
3. 摄影测量：在航空摄影和卫星影像解译中，椭圆与双曲线用于描述地球表面的特征、地物形态和地形测量等。
椭圆与双曲线知识点总结
椭圆与双曲线知识点总结（一）椭圆1.椭圆的定义如果平面内一动点到两定点距离之和等于正的常数（大于两定点的距离），则动点的规迹是椭圆即|PF1|+|PF2|=2a 其中P是动点，F1,F2是定点且|F1F2|=2C当a>c时表示当a=c时表示当a<c时第二定义：动点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(0<e<1)时，这个点的规迹是椭圆。
定点是，定直是e是2.椭圆的标准方程参数方程（1）标准方程（2）参数方程3.椭圆的性质（1）焦点在x标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心长半轴的长短半轴的长焦距离心率e= 范围e越大椭圆越e越小椭圆越准线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为椭圆的左右两焦点，P为椭圆上的一点) 椭圆的通径（过椭圆的一个焦点F且垂直于它过焦点的对称轴的弦）|P1P（2）焦点在y轴上的椭圆标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心长半轴的长短半轴的长焦距离心率e= 范围e越大椭圆越e越小椭圆越准线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为椭圆的下上两焦点，P为椭圆上的一点)4.椭圆系（1）共焦点的椭圆系方程为2221x yk k c+=-(其中k>c2,c为半焦距)（2 ）具有相同离心率的标准椭圆系的方程2222(0) x ya bλλ+=>(二) 双曲线1.双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F1，F2为两定点，P为一动点，(1)若||PF1|-|PF2||=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是(2) 若|P F1|-|PF2|=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是2.双曲线的标准方程3.双曲线的性质（1）焦点在x轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e= 范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的一点)（3）焦点在y轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e= 范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为双曲线的下上两焦点，P为椭圆上的一点)4.等轴双曲线22(0)x yλλ-=≠特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直y x=±③离心率为5.共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线特点①有共同的渐近线②四焦点共圆双曲线22221x ya b+=的共轭双曲线是6.双曲线系（1）共焦点的双曲线的方程为2221x yk k c+=-(0<k<c2,c为半焦距)（2）共渐近线的双曲线的方程为2222(0) x ya bλλ-=≠。
双曲线基本知识点
双曲线基本知识点1. 什么是双曲线？在数学中，双曲线是平面上的一种特殊曲线，它与椭圆和抛物线类似，都是由焦点和直角的性质定义的。
双曲线有许多重要的应用，特别是在几何学、物理学和工程学中。
2. 双曲线的方程双曲线的一般方程可以写成：其中a和b分别是椭圆的半轴长度。
当a和b相等时，我们得到一个标准形式的双曲线：3. 双曲线的性质对称轴双曲线有两条对称轴：x轴和y轴。
对称轴通过焦点，并且与直角垂直。
焦点焦点是双曲线上最重要的点之一。
对于标准形式的双曲线，焦点位于原点的左右两侧。
焦点与直角的距离由半轴长度决定。
集中距离集中距离是指从原点到双曲线上任意一点的距离与该点到焦点的距离之差。
对于标准形式的双曲线，集中距离等于半轴长度。
渐近线双曲线有两条渐近线，分别与双曲线无限接近但永远不会相交。
渐近线的斜率等于b/a或-a/b，取决于椭圆的方程形式。
离心率离心率是描述椭圆形状的一个重要参数。
对于标准形式的双曲线，离心率等于根号下(a^2 + b^2)/a。
4. 双曲线的类型根据椭圆方程中a和b的关系，可以将双曲线分为以下几种类型：横向双曲线当a^2 > b^2时，我们得到一个横向双曲线。
这意味着双曲线在x轴上延伸，并且在y轴上收敛。
纵向双曲线当a^2 < b^2时，我们得到一个纵向双曲线。
这意味着双曲线在y轴上延伸，并且在x轴上收敛。
等轴双曲线当a^2 = b^2时，我们得到一个等轴双曲线。
这意味着双曲线在两个方向上都延伸，并且对称于原点。
5. 双曲函数与双曲线相关的函数被称为双曲函数。
常见的双曲函数包括双曲正弦、双曲余弦和双曲正切。
双曲正弦（sinh）双曲余弦（cosh）双曲正切（tanh）%3D-%20i+%20tan(i x))6. 双曲线的应用由于其特殊的性质，双曲线在许多领域中都有重要的应用。
物理学双曲线经常用于描述电磁波、粒子运动和引力场等物理现象。
例如，电磁波在空间中传播的路径可以由双曲线方程表示。
圆锥曲线(抛物线、椭圆、双曲线)标准方程推导
圆锥曲线(抛物线、椭圆、双曲线)标准方程推导几何定义是在平面中，由所有满足到一定点与到一定直线距离相等的点所组成的图形，把这个定点称为焦点(focus)、定直线称为准线(directrix)。
为了方便推导，把这一定点放在x轴正方向上，定直线垂直x 轴放在x轴负半轴上，且原点刚好在两者中间。
上面这些都仅仅是为了推导方便而已。
设曲线上的点坐标为(x,y)，于是，\begin{aligned} d(F, P) &=d(P, D) \\ \sqrt{(x-a)^{2}+(y-0)^{2}} &=|x+a| \\ (x-a)^{2}+y^{2}&=(x+a)^{2} \\ x^{2}-2 a x+a^{2}+y^{2} &=x^{2}+2 ax+a^{2} \\ y^{2} &=4 a x \end{aligned}四种不同开口的标准型：二、椭圆(Ellipse)几何意义是在平面中，由所有到两个顶点距离之和为定值的点所组成的图形，把这两个定点称为焦点(foci)，也是为了推导的方便，把这两个焦点对称放在x轴正负半轴上，令两段距离之和为2a，根据两点之间距离公式进行如下推导：\begin{aligned} d\left(F_{1}, P\right)+d\left(F_{2}, P\right) &=2 a \\ \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} &=2 a \\ \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=& 2 a-\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ (x+c)^{2}+y^{2}=& 4 a^{2}-4 a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ &+(x-c)^{2}+y^{2} \\x^{2}+2 c x+c^{2}+y^{2}=& 4 a^{2}-4 a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ &+x^{2}-2 c x+c^{2}+y^{2} \\ 4 c x-4 a^{2}=&-4 a \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ c x-a^{2}=&-a\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} \\ \left(c x-a^{2}\right)^{2}=& a^{2}\left[(x-c)^{2}+y^{2}\right] \\ c^{2} x^{2}-2a^{2} c x+a^{4}=& a^{2}\left(x^{2}-2 cx+c^{2}+y^{2}\right) \\ \left(c^{2}-a^{2}\right)x^{2}-a^{2} y^{2} &=a^{2} c^{2}-a^{4} \\ \left(a^{2}-c^{2}\right) x^{2}+a^{2} y^{2} &=a^{2}\left(a^{2}-c^{2}\right) \end{aligned}令 b^2=a^2-c^2 （根据三角形两边之和大于第三边推出c<a）所以，\begin{aligned} b^{2} x^{2}+a^{2} y^{2} &=a^{2} b^{2} \\ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} &=1\end{aligned}常见的两种椭圆标准方程，一种是横躺在x轴上，一种是“站立”着，关键就是看x和y下面哪个数值比较大，哪个大，那么长的对称轴就在哪个方向上。
高考数学中的椭圆与双曲线相关知识点详解
高考数学中的椭圆与双曲线相关知识点详解椭圆和双曲线是高中数学中非常重要的概念，它们在解决几何问题和代数问题中都有广泛的应用。
在高考数学中，椭圆和双曲线都是重点考查的内容，因此对于这两个概念，学生需要掌握其相关知识点。
一、椭圆的定义与特征椭圆是平面上一点集合，其到两个不同定点的距离之和等于常数，这两个定点叫做椭圆的焦点。
椭圆上任意一点到这两个定点的距离之和等于椭圆上任意一点到其所在直线的垂足的距离之和。
根据椭圆的定义，我们可以得出以下特征：1. 椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a；2. 椭圆的两个直径的长度之和为常数2a；3. 椭圆的两条焦弦的长度之和为常数2a；4. 椭圆的中心点位于两个焦点的中垂线上，中心到两个焦点的距离之和等于常数2a。
二、双曲线的定义与特征双曲线是平面上一点集合，其到两个不同定点的距离之差等于常数。
这两个定点叫做双曲线的焦点。
在双曲线上任意一点到这两个定点的距离之差等于椭圆上任意一点到其所在直线的垂足的距离之差。
双曲线的定义可以得出以下特征：1. 双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差等于常数2a；2. 双曲线的两个直径的长度之差为常数2a；3. 双曲线的两条焦弦的长度之差为常数2a。
三、椭圆和双曲线的方程椭圆和双曲线都可以用方程表示。
以椭圆为例，如果椭圆的中心点为（h，k），椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b，那么椭圆的标准方程为：（x-h）²/a² + (y-k)²/b² = 1而双曲线的标准方程为：（x-h）²/a² - (y-k)²/b² = 1其中，a和b分别代表长轴的长度和短轴的长度。
当a²> b²时，方程表示的是椭圆；当a² < b²时，方程表示的是双曲线；当a² = b²时，方程表示的是圆。
四、椭圆和双曲线的参数方程椭圆和双曲线的参数方程也可以帮助我们更好地了解它们的特征。
椭圆与双曲线的区别与计算
椭圆与双曲线的区别与计算椭圆和双曲线是二次曲线的两种基本形式，它们在数学和几何学中具有重要的地位和应用。
本文将介绍椭圆和双曲线的区别，并探讨如何进行椭圆和双曲线的计算。
一、椭圆的定义和特点椭圆是平面上一条封闭曲线，其定义为平面上到两个给定点（焦点）距离之和等于常数的点的轨迹。
椭圆的特点如下：1. 椭圆是一个封闭曲线，起点和终点相同。
2. 椭圆的中心是两个焦点的中点，称为椭圆的中心。
3. 椭圆的长轴是连接两个焦点的直线段，短轴是与长轴垂直并通过中心的直线段。
4. 椭圆的离心率小于1，离心率越小，椭圆形状越圆。
二、双曲线的定义和特点双曲线是平面上一条开放曲线，其定义为平面上到两个给定点（焦点）距离之差等于常数的点的轨迹。
双曲线的特点如下：1. 双曲线是一个开放曲线，起点和终点无限远。
2. 双曲线的中心是两个焦点的中点，称为双曲线的中心。
3. 双曲线的长轴是连接两个焦点的直线段，短轴是与长轴垂直并通过中心的直线段。
4. 双曲线的离心率大于1，离心率越大，双曲线形状越尖。
三、椭圆和双曲线的计算1. 椭圆的计算椭圆的计算包括椭圆的面积和周长的计算。
- 椭圆的面积计算公式为：S = πab，其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。
- 椭圆的周长计算公式为：C = 4aE(e)，其中a是椭圆的长轴的长度，E(e)是椭圆的第二类椭圆积分，e是椭圆的离心率。
2. 双曲线的计算双曲线的计算包括双曲线的面积和焦点到顶点的距离的计算。
- 双曲线的面积计算公式为：S = πab，其中a和b分别是双曲线的长轴和短轴的长度。
- 焦点到顶点的距离计算公式为：d = a√(e^2-1)，其中a是双曲线的长轴的长度，e是双曲线的离心率。
四、椭圆和双曲线的区别椭圆和双曲线的区别主要体现在以下几个方面：1. 形状：椭圆是一个封闭曲线，形状类似于圆，而双曲线是一个开放曲线，形状类似于两个分离的抛物线。
2. 离心率：椭圆的离心率小于1，离心率越小，形状越圆；双曲线的离心率大于1，离心率越大，形状越尖。
双曲线方程推导过程
双曲线方程推导过程双曲线是一种常见的二次曲线，具有独特的形状和性质。
在数学中，我们可以用方程来描述双曲线，并通过推导过程来了解其形成原因和特征。
本文将详细介绍双曲线方程的推导过程。
1. 双曲线的定义双曲线是平面上一组点的集合，满足以下几个条件：•点F1和F2称为焦点，两个焦点之间的距离为2c。
•直线l称为准直线，与双曲线有两个交点A和B。
•点M是双曲线上任意一点，其到焦点F1和F2的距离之差等于到准直线l的距离。
2. 双曲线方程的一般形式我们可以用坐标系中的方程来表示双曲线。
首先，我们需要定义坐标系中两个坐标轴x和y。
以原点O为中心建立直角坐标系。
对于椭圆来说，其方程通常可以表示为：(x - h)²/a² - (y - k)²/b² = 1其中(h, k)是椭圆的中心坐标，a和b分别表示椭圆在x轴和y轴上的半长轴。
对于双曲线来说，其方程通常可以表示为：(x - h)²/a² - (y - k)²/b² = 1或者(x - h)²/b² - (y - k)²/a² = 1其中(h, k)是双曲线的中心坐标，a和b分别表示双曲线在x轴和y轴上的半长轴。
3. 双曲线方程的推导过程接下来，我们将通过推导过程来得到双曲线方程。
假设焦点F1的坐标为(-c, 0)，焦点F2的坐标为(c, 0)，准直线l与x轴交于点A(-a, 0)，点M(x, y)是双曲线上任意一点。
根据双曲线的定义，我们可以得到以下关系式：MF1 - MF2 = 2a MA + MB = 2a根据距离公式，我们可以计算出MF1、MF2、MA和MB的值：MF1 = √((x + c)² + y²) MF2 = √((x - c)² + y²) MA = √((x+ a)² + y²) MB = √((x - a)² + y²)将以上关系式代入距离公式，我们得到以下等式：√((x + c)² + y²) - √((x - c)² + y²) = 2a √((x + a)² + y²) + √((x - a)² + y²) = 2a为了简化计算，我们可以对上述两个等式进行平方处理：(x + c)² + y² - 2√((x + c)² + y²)√((x - c)² + y²) + (x - c)² + y² =4a² (x + a)² + y² + 2√((x + a)² + y²)√((x - a)² + y²) + (x - a)² + y² = 4a将上述等式进行整理，我们得到以下结果：(x + c)² - (x - c)² = 4a√((x + c)²+y^2) (x - a)^2 - (x+a)^2 =4a√((y2+b2)继续整理以上结果，我们得到以下形式：4cx = 4ay -4ax = 4by将上述两个等式除以4，我们得到最终的双曲线方程：cx = ay ax = by4. 双曲线方程的性质通过双曲线方程的推导过程，我们可以得到以下关于双曲线的性质：•双曲线是沿着两个对称轴展开的。
椭圆与双曲线的比较
双曲线的性质在许多领域中都有应用。例如，在声学中，声音的传播路径可以用 双曲线来描述。在光学中，双曲线用于描述光的折射和反射。此外，双曲线还用 于描述电子的运动轨迹以及某些化学反应的动力学。
图像与性质应用的比较
相同点
椭圆和双曲线都是二次曲线，具有一些共同的性质。例如，它们都具有两个焦点，且都满足特定的数学方程。
双曲线的焦点与离心率
焦点
双曲线有两个焦点，位于双曲线 的两侧，与双曲线相切。
离心率
双曲线的离心率是衡量双曲线开 口程度的指标，其值大于1。离心 率越大，双曲线的开口程度越大 。
焦点与离心率比较
焦点数量
焦点位置
离心率范围
几何特性
椭圆和双曲线都有两个焦点。
椭圆的焦点位于椭圆中心两侧 ，而双曲线的焦点位于双曲线 的两侧。
椭圆的参数 $a$、$b$ 和 $c$ 之间满足 $a^2 = b^2 + c^2$。
双曲线的标准方程与几何特性
标准方程
双曲线的标准方程为 $frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a$ 和 $b$ 是双曲线的半实轴和半虚轴。
焦点位置
双曲线的两个焦点位于副轴上，距离 原点的距离分别为 $c$ 和 $-c$，其 中 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。
02
标准方程与几何特性
椭圆的标准方程与几何特性
标准方程
几何特性
椭圆的标准方程为 $frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a$ 和 $b$ 是 椭圆的半长轴和半短轴。
椭圆是一个封闭的曲线，它有两个焦点， 并且有一个主轴和一条副轴。
椭圆和双曲线的其它形式方程
若 椭 圆 经 过 点 Ｐ（ 。 。 ， 心 率 为 ｅ 则 － ， ）离 ｚ ，
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中 学生 数 学 ・ ０ １ １ 上 ・ ４ ７ （ 中 ） ２ １ 年 Ｏ月 第 ２期 高
有 与直线 斜 截 式 方 程 类 似 的“ 截 式 ” 程 离 方
一 （ １ Ｐ 一 ）・ｚ ＋６ 。或 Ｙ 一 （ ）・ ＋ （ － ｇ 一１ １
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椭 圆 的二 元 二 次 方 程 的过 渡 竟 是 如 此 的 完 美
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般 式 ： ＋Ｂｙ － ＝Ｏ 大 胆类 ｔ ， Ａｘ ｑＣ ， ： 椭 １ ４
圆是否 也 有 类 似 的 其 它 形 式 的 方 程 呢 ？经 研 究 答 案是 肯定 的．
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１ 椭 圆 标 准 方 程 为 Ｉ 一 ・ ｘ １ ｙ
与 ｚ 轴 交 于 点 （ 口， ）， ａ ＞ 椭 ± ０ 与
Ｙ ） 起代 入 “ 一 点离 式 ” 方程 整 理就 得椭 圆 的“ 两
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椭圆双曲线知识点总结
椭圆知识点【知识点1】椭圆的概念:在平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．当动点设为M 时，椭圆即为点集P ={}12|2M MF MF a +=【知识点2】椭圆的标准方程焦点在x 轴上椭圆的标准方程:()222210x ya b a b+= >>，焦点坐标为（c ，0)，（-c ，0) 焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为：()222210x y a b b a+= >>焦点坐标为（0，c ，）(o ，-c )【知识点3】椭圆的几何性质:规律:(1)椭圆焦点位置与x 2，y 2系数间的关系：焦点在分母大的那个轴上.(2)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .(3)在椭圆中，离心率22222221a b a b a a c a c e -=-===(4)椭圆的离心率e 越接近１椭圆越扁；e 越接近于０，椭圆就接近于圆；【知识点4】椭圆中的焦点三角形:定 义:∣PF 1∣+∣PF 2∣＝2a ∣F 1F 2∣＝2c余弦定理:∣F 1F 2∣2=∣PF 1∣2+∣PF 2∣2-2∣PF 1∣∣PF 2∣cosθ(∠F 1PF 2=θ)面积公式:在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点，θ=∠21PF F ，则2tan 221θb S PF F =∆【知识点5】点(x 0,y 0)与椭圆22221x y a b+=(a >b >0)的位置关系:点P 在椭圆上⇔2200221x y a b+=点P 在椭圆内部⇔2200221x y a b +< 点P 在椭圆外部⇔2200221x y a b+>【知识点6】直线与椭圆位置关系的判断：① 直线斜率存在时221y kx bmx ny =+⎧⎨+=⎩⇒222()210m k n x kbnx b +++-=直线与椭圆相交0>∆⇔ 直线与椭圆相切0=∆⇔ 直线与椭圆相离0<∆⇔② 直线斜率不存在时22221x m x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩判断y 有几个解标准方程()222210x y a b a b += >> ()222210x y a b b a+= >> 图形性质范围 a x a -≤≤b y b -≤≤对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点A 1(－a,0)， A 2(a,0)B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )B 1(－b,0)，B 2(b,0)轴 长轴A 1A 2的长为2a ；短轴B 1B 2的长为2b焦距 ∣F 1F 2 |=2c离心率 e=ca∈(0,1) a ，b ，c 的关系c 2＝a 2－b 2双曲线知识点【知识点1】双曲线的概念:在平面内到两定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫双曲线．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．当动点设为M 时，椭圆即为点集P ={}12|2M MF MF a -=【知识点2】双曲线的标准方程焦点在x 轴上双曲线的标准方程: ()222210,0x y a b a b-= >>，焦点坐标为（c ，0)，（-c ，0)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为：()222210,0y x a b b a-= >>焦点坐标为（0，c ，）(o ，-c )【知识点3】双曲线的几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图 形性 质范 围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线y ＝±b a x y ＝±a b x离心率e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 实虚轴 线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a 、b 、c 的关系 c 2＝a 2＋b 2(c ＞a ＞0，c ＞b ＞0)规律:1.双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．2.区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.(2)双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e ∈(0,1)． (3)在双曲线中，离心率22222221c c a b be a a a a+====+ (4)双曲线的离心率e 越接近大,开口越阔.【知识点4】双曲线中的焦点三角形:定 义:∣PF 1∣-∣PF 2∣＝±2a ∣F 1F 2∣＝2c余弦定理:∣F 1F 2∣2=∣PF 1∣2+∣PF 2∣2-2∣PF 1∣∣PF 2∣cosθ(∠F 1PF 2=θ)面积公式:在双曲线12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是双曲线上任意一点，θ=∠21PF F ，则122tan2F PF b S θ∆=【知识点5】直线与双曲线的位置关系的判断：设直线)0(:≠+=m m kx y l ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b（1）若0222=-k a b 即a bk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； （2）若0222≠-k a b 即ab k ±≠时，))((4)2(222222222b a m a k a b mk a -----=∆①0>∆⇒直线与双曲线相交，有两个交点； ②0=∆⇒直线与双曲线相切，有一个交点； ③0<∆⇒直线与双曲线相离，无交点；【知识点6】弦长公式:│AB │=2221212121||1()4k x x k x x x x +⋅-=+⋅+-⋅21ka∆=+， 12211AB y y k ==+-211k a∆=+ （其中k 为直线斜率） 【知识点7】中点弦问题（点差法）：遇到弦中点，两式减一减。
双纽线方程的几种形式
双纽线方程的几种形式双曲线(Hyperbola)是微积分学中的一类双参函数，它在复平面中以椭圆两轴为轴向定义，属于双曲线函数的椭圆类型。
它的几何形状是一条由中心弦分割的抛物线，它的几何形状表示为双纽线方程。
双纽线方程有多种形式，其中常用的形式有：一、椭圆本征形式：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$二、双纽线形式：$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$三、标准双纽线形式：$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-1=0$$四、极坐标形式：$$r=\frac{a^2}{b} \cdot\cos^2 \theta$$双纽线方程涉及到的几何图形实际上是一个学科，该学科分析以及求解双纽线方程所表示的圆或椭圆的形状，它是一种重要的研究内容，也是互联网上问题解决的基础。
双纽线方程的重要性在于它具有实际意义，它能够解决许多实际问题，如：动力学中的坐标系统轨迹、钟表作为参考系统在轨道运行中的使用、空间要素、通信领域中传输速率最大化和最小化等。
在人类推进科学发展的过程中，双纽线方程发挥了重要作用。
由于双纽线方程的复杂性以及其应用的广泛性，因此它数值模拟的方法广泛应用于解决双纽线方程的问题。
在互联网上，可以通过构建数据库，为用户提供快速有效的双纽线方程求解服务，同时通过数字建模和可视化方式，让用户能够更直观的理解双纽线方程的形状、结构以及参数变化，这大大提高了互联网上科学研究的成效。
总之，双纽线方程是一类重要的数学方程，它在实际应用中发挥了重要作用，而互联网则提供了丰富的双纽线方程解决方案，使得双纽线的研究得到进一步深入和拓展。
椭圆双曲线的形成
a.b.c 的关系 a>b>0，a2=b2+c2
（±c，0） （0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
一、椭圆的定义:
我们把平面内 与两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数 （大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
结论：若常数大于|F1F2|,则点M的轨迹是椭圆
若常数等于|F1F2|，则点M的轨迹是线段F1F2； 若常数小于|F1F2|，则点M的轨迹不存在。
50页第二 题
r=PC+PB，且PB=PA
B
∴r=PC+PA=6
PC+PA>AC
AP
∴动点P的轨迹是以A,C为焦点的椭圆
C
且2a=6,2c=4
a 2 -c2 =b2 =5
∴动点P的轨迹方程为：x2 + y2 =1 59
• 两焦点的距离叫做焦距(2c)。
符号表述： MF1 MF2 2a(0 2a F1F2 )
M
F1
F2
试分别讨论当常数等于F1F2和大于F1F2时点的轨迹. 当2a = 2c时,点M的轨迹是两条射线；
F1
F2 M
当2a > 2c时,点M的轨迹不存在．
一动圆与圆 x2 y2 6x 5 0
率之积是－4/9，求 点M的轨迹方程. A
y M
x
O
B
[例] 如图，设点A，B的坐标分别
为(－5, 0)，(5, 0).直线AM，BM相交于
点M，且它们的斜
率之积是4/9，求 点M的轨迹方程. A
y M
x本第52页第5题
例1.点 M x, y 与定点F 4, 0 的距离和它到直线 y