数学第一章补充习题
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Xi −0= Xi
0.3 0.3
~N(0,1)
因而
10 i =1
Xi 0 .3
2
~χ2 10 , 于是有
P{
10 i =1
Xi2
>
1.44}=P{
10 Xi2 i=1 0.32
>
1.44 0 .32
}=P{χ2
10
> 16}
由χ2分布的上侧分位数定义
有 P{χ2 10 > χ∝2 10 = 16}=α (因而要求 P{χ2 10 > 16,只需求出满足上式的 ∝})
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第一章 补充习题
材料学院李冬晓整理,谬误难免,敬请谅解
E[���������∗��� (������)]=F(x),D[���������∗���(������)]=������������ ������ ������ [������ − ������(������)].
n 应取多大? 解:∵X~N(μ,4),∴X~N(μ,4)
n
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第一章 补充习题
材料学院李冬晓整理,谬误难免,敬请谅解
∴P{ X − μ
<
0.1}=P{μ -0.1< X
<
μ
+
0.1}=Φ(
μ
+0 .1
2
−μ
)-Φ(
μ
−0 .1
2
−μ
)=2Φ(0.0
5
n)-1
n
n
=0.95.
π
π
∴D(d)= 1 − 2 σ2.
πn
设(x1,x2,…,xn)是总体 X 的一个样本值,将它们按由小到大的排列为:x(1)≤x(2)≤…≤x(n),
∀x∈R,令
���������∗��� ������ =
������, ������ < ������(������) ������ ������ , ������(������) ≤ ������ ≤ ������(������+������), ������ = ������, ������, … , ������ − ������
第一章 补充习题
材料学院李冬晓整理,谬误难免,敬请谅解
例3
样本(X1,X2…,Xn)来自总体
X~(-������,������������),令
d=������
������
������ ������ =������
������ ������,
−
������
,
证明:E(d)= ������ ������,D(d)= ������ − ������ ������������ .
Sn=
n i =1
Zi
=
n i =1
Xi2
近似服从正态分布
Sn=
n i =1
Xi2~N(nμ,
nσ2)
=
N
na2, n a4 − a22
,
从而
Yn=1n
sn
=1
n
n i =1
Xi2的近似分布为:
Yn=1n
n i =1
Xi2
~N(a2
,
a4
−a n
2 2
).
2. 设 X1,X2,…,X10 为总体 X~N(μ,������������)的一个样本,试求:
查表得χ02.1 10 = 15.987,不χ∝2 10 = 16 比较知 ∝≈ 0.1
于是由 P{χ2 10 > χ02.1(10)}=0.1 得
P{
10 i =1
Xi2
>
1.44}=P{χ2
10
> 16}=P{χ2
10
> χ02.1
10 }=0.1
Th3(5)设 X1,X2,…,Xn(n≥2)是来自正态总体 N(μ,������������)的样本,则 r.v. Γ=���������∗���−������ ~������ ������ − ������ .
1, x ≥ 6
(3)X= 1 2 × 20 + 3 × 30 + ⋯ + 6 × 15 = 3.85
100
S2=1100 22 × 20 + 32 × 30 + ⋯ + 62 × 15 − X2 = 1.9275
S*2=100 s2 = 1.95 …
99
设总体 X~N(μ,4),若要以 95%的概率保证样本均值������与总体均值 μ 的偏差小于 0.1,问样本容量
)
~t(n-1)
即sX∗−μ ~t n − 1 .
n
补充习题:
材料学院李冬晓整理,谬误难免,敬请谅解
1. 设 X1,X2,…,Xn 是来自总体 X 的样本,已知 E(Xk)=ak(k=1,2,3,4), 证明当 n 充分大时,
Yn=������������
������ ������=������
������
∴r.v.nFn∗ (x)~B(n,F(x))
∴E[nFn∗ (x)]=nF(x),D[nFn∗ (x)]=nF(x)[1-F(x)]⇒E[Fn∗ (x)]=F(x),D[Fn∗ (x)]=
1F
n
x
[1 − F(x)].
设某商店 100 天销售电脑的情况有如下统计资料:
日售出台数 k 2 3 4 5 6 合计
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第一章 补充习题
材料学院李冬晓整理,谬误难免,敬请谅解
s1∗ 2
F= σ12 σ2∗2
=
s1∗ 2 20 σ2∗2
=
1.75
s1∗ 2 s2∗ 2
~F
8 − 1,10 − 1
σ22
35
= F(7,9)
又设事件 A={s1∗2≥2s2∗2 },下求 P(A)。
s1∗ 2
因 P{s1∗2≥2s2∗2}=P{ss12∗∗22
Xi
)=
1 n2
n i=1
DXi
=
1 n
ຫໍສະໝຸດ Baidu
DX
=
λ n
设(X1,X2,…,X5)是正态总体 N(12,4)的样本,求概率:(1)P(max(X1,X2,…,X5)>15).
(2)P (min(X1,X2,…,X5)<10).
解:(1)记 X(5)=max(X1,X2,…X5),刚
P(X(5)>15)=1-[F(15)
即 Φ(0.05 n)=0.975 反查表得 0.05 n=1.96
故 n=1536.64,可取 n=1537.
设总体 X~P(λ),(X1,X2,…,Xn)是 X 的样本,试求样本的联合概率分布,并计祘样本均值的期望
E������和方差 D������。
解:(1)由于 X~P(λ),故 P{X=x}=λx e−λ,x=0,1,2…
~χ 10
i=1
(X
i
−μ)2
2
σ2
10
.
P(0.26≤ 1
10
10 i =1
(Xi
−
μ)2
≤
2.3σ2)=P(2.6≤
10 i=1
(Xi
−μ)2
σ2
≤
23)
=P(2.6≤χ2(10) ≤ 23)=P(χ2 10 > 2.6)-P(χ2 10 > 23)=0.99-0.01=…
(1) P{0.26������������ ≤ ������
������������
������������=������������(������������ − ������)������ ≤ ������. ������������������};
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第一章 补充习题
x!
因此(X1,X2,…,Xn)的概率分布为
P{X1=x1,X2=x2,…Xn=xn}=
n i=1
λ
xi
e−λ xi!
=
λ
n i=1
xi
e−nλ
(
n i=1
xi
!)−1
(2)∵E(X)=λ,D(X)=λ
∴E(X = E
1 n
n i =1
Xi
=1
n
n i =1
EXi
=
EX
=
λ)
D(X)=D(1n
n i =1
天数 fk
20 30 10 25 15 100
求样本容量 n,样本方差 s2,经验分布函数���������∗��� ������ ,样本修正方差 s*2,样本均值������. 解:(1)n=100
(2)经验分布函数
0,x < 2
Fn∗ x =
0.2,2 ≤ x ≤ 3 0.5,3 ≤ x < 4 0.6,4 ≤ x < 5 0.85,5 ≤ x < 6
������, ������ ≥ ������
(������)
称���������∗��� (������)为样本的经验分布函数。
注:(1)Fn∗ (x)表示在这 n 次独立重复试验中,事件{X≤x}发生的频率,由(频率不概率的关
系可知)Bernonlli 大数定律Fn∗
x
P ,n → ∞
F
x
.∴n>>1 时,Fn∗ (x) ≈ F
≥
2}=P{
σ12 σ2∗2
≥2×
35}=P{F≥3.5}=α
20
σ22
查 F 分布表得 Fα(7,9)有如下数值:
F0.05(7,9)=3.2 9,F0.025(7,9)= 4.20
因 F0.05(7,9)=3.29<3.5<4.20= F0.025(7,9)
从而 0.025<α <0.05(即事件 A 的概率介于 0.025 和 0.05 之间)
故 0.025≤P{s1∗2 ≥ 2s2∗2}≤0.05
例 5,设 X1,X2,…,X10 是 N(0,0.32)的一个样本,求 P{
������������ ������=������
������
������ ������
>
������.
������������}
解:∵Xi~N(0,0.
32),∴
������
������ ������
证:∵X~N(μ,σ2),(X1,X2…,Xn)来自 X,
∴ Xi ~N(μ,σ2),∴Xi-μ~N(0, σ2 ),i=1,2…,n 且相互独立
∴E d =1
n
n i =1
E
Xi
−
μ
=1
n
n i =1
E
X
−
μ
=E X−μ
而E X − μ
=
+∞ −∞
u
1 e−2μu22 du, (u = X − μ, u~N(0, σ2 ))
2πσ
=2
+∞ 0
u
1 e−2uσ22 du =
2π σ
2σ
π
∴E(d)= 2 σ,
π
D(d)=
1 n2
n i =1
D
Xi − μ
=
1 n2
n i =1
D
X− μ
= 1 D( X − μ )
n
而 D( X − μ )=E( Xi − μ 2)- E X − μ
2 = σ2 − 2 σ2 = (1 − 2 )σ2
x 。这正是用样本
推断总体的理论依据。
(2)对于丌同的样本值(x1,x2,…,xn),所得到经验分布函数Fn∗ x 是丌同的。
(3)对于 x 的每一个固定值 x, Fn∗ x 的值作为随机样本的函数,它是一个 r. v.
ex. 设总体 X 的分布函数为 F(x),样本的经验分布函数为���������∗��� ������ ,证:
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(2) P{0.26������������ ≤ ������
������������
������������=������������(������������ − ������)������ ≤ ������. ������������������ }.
解:(1)关键是利用
]5=1-[Φ(
3)]5=0.294
2
(2) 记 X(1)=min(X1,X2,…X5),刚
P(X(1)<10)=1-[1-F(1 0)]5=1- [1-Φ (-1) ]5=0.5804
例 4 分别从方差为 20 和 35 的正态总体抽取容量为 8 和 10 的两个样本,(求)估计第一个修正样本
方差���������∗���������不小于第二个修正样本方差���������∗���������两倍的概率。 解:由 Th4 的(1)可知
������ ������
近似服从正态分布,并指出其分布参数
。
证: 令 Zi=Xi2 i = 1,2, … , n , 则, Z1, Z2, … , Zn 是来自总体X2的样本,故 Z1,Z2,…,Zn 是相互独立且
不总体 X2 同分布的随机变量。
由题设
μ=E(Zi)=E(Xi2)=a2, σ2 = D Zi = E Zi2 − [E(Zi)]2 = E Xi4 − [E(Xi2)]2=a4-a22(i=1,2,…). 由独立同分布中心极限定理知,当 n 充分大时,
������
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第一章 补充习题
证:∵ X −μ ~N
σn
0,1
,
( n −1) s∗ 2 σ2
~χ2(n
−
1)
且X不s∗2相互独立,(由 Th3(2)(2))
故X
σ
−μ n
不(n
−1 ) s∗ σ2
2
也相互独立
由 t 分布的定义知
X −μ
(n
σ
−1 )s σ2
∗2
n
( n −1
~χ 10
i =1
X
i
−
X2
2
σ2
9
.
P(0.26σ2 ≤ 1
10
10 i =1
(Xi
−
X)2
≤
2.3σ2=P(2.6≤
1i =0 1(Xi −X )2 σ2
≤
23)
=P(2.6≤χ2(9) ≤ 23)=P(χ2 9 > 2.6) − ������(χ2 9 > 23)=0.975-0.005=…
(2)关键是利用
证明: 因为对于固定的 x 值 ,Fn∗ x 作为随机样本的函数,Fn∗ x 是一个 r. v. Fn∗ x 表示在 n 次
独立重复试验中,事件 X ≤ x 发生的概率,从而 nFn∗ x 表示在 n 次独立重复试验中,
事件 X ≤ x 发生的次数,而在每一次试验中,事件 X ≤ x 发生的概率 P X ≤ x = F x ,