数学第一章补充习题

)
~t(n-1)
即sX∗−μ ~t n − 1 .
n
补充习题：
材料学院李冬晓整理，谬误难免，敬请谅解
1. 设 X1,X2,…,Xn 是来自总体 X 的样本，已知 E（Xk）=ak(k=1,2,3,4), 证明当 n 充分大时，
Yn=������������
������ ������=������
������
2πσ
=2
+∞ 0
u
1 e−2uσ22 du =
2π σ
2σ
π
∴E（d）= 2 σ,
π
D(d)=
1 n2
n i =1
D
Xi − μ
=
1 n2
n i =1
D
X− μ
= 1 D( X − μ )
n
而 D( X − μ )=E( Xi − μ 2)- E X − μ
2 = σ2 − 2 σ2 = （1 − 2 ）σ2
π
π
∴D(d)= 1 − 2 σ2.
πn
设（x1,x2,…,xn）是总体 X 的一个样本值，将它们按由小到大的排列为：x(1)≤x(2)≤…≤x(n),
∀x∈R,令
���������∗��� ������ =
������, ������ < ������(������) ������ ������ , ������(������) ≤ ������ ≤ ������(������+������), ������ = ������, ������, … , ������ − ������
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第一章 补充习题
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E[���������∗��� (������)]=F(x)，D[���������∗���(������)]=������������ ������ ������ [������ − ������(������)].
]5=1-[Φ(
3)]5=0.294
2
(2) 记 X（1）=min(X1,X2,…X5),刚
P（X（1）<10）=1-[1-F（1 0）]5=1- [1-Φ (-1) ]5=0.5804
例 4 分别从方差为 20 和 35 的正态总体抽取容量为 8 和 10 的两个样本，（求）估计第一个修正样本
方差���������∗���������不小于第二个修正样本方差���������∗���������两倍的概率。 解：由 Th4 的（1）可知
~χ 10
i =1
X
i
−
X2
2
σ2
9
.
P(0.26σ2 ≤ 1
10
10 i =1
(Xi
−
X)2
≤
2.3σ2=P(2.6≤
1i =0 1(Xi −X )2 σ2
≤
23)
=P(2.6≤χ2(9) ≤ 23)=P（χ2 9 > 2.6) − ������(χ2 9 > 23)=0.975-0.005=…
(2)关键是利用
1, x ≥ 6
(3)X= 1 2 × 20 + 3 × 30 + ⋯ + 6 × 15 = 3.85
100
S2=1100 22 × 20 + 32 × 30 + ⋯ + 62 × 15 − X2 = 1.9275
S*2=100 s2 = 1.95 …
99
设总体 X~N(μ，4)，若要以 95%的概率保证样本均值������与总体均值 μ 的偏差小于 0.1，问样本容量
������, ������ ≥ ������
（������）
称���������∗��� (������)为样本的经验分布函数。
注：（1）Fn∗ (x)表示在这 n 次独立重复试验中，事件｛X≤x｝发生的频率，由（频率不概率的关
系可知）Bernonlli 大数定律Fn∗
x
P ,n → ∞
F
x
.∴n>>1 时，Fn∗ (x) ≈ F
n 应取多大？ 解：∵X~N（μ，4），∴X~N（μ，4）
n
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∴P{ X − μ
<
0.1}=P{μ -0.1< X
<
μ
+
0.1}=Φ(
μ
+0 .1
2
−μ
)-Φ(
μ
−0 .1
2
−μ
)=2Φ(0.0
5
n)-1
n
n
=0.95.
（1） P｛0.26������������ ≤ ������
������������
������������=������������(������������ − ������)������ ≤ ������. ������������������｝;
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Sn=
n i =1
Zi
=
n i =1
Xi2
近似服从正态分布
Sn=
n i =1
Xi2~N(nμ,
nσ2)
=
N
na2, n a4 − a22
,
从而
Yn=1n
sn
=1
n
n i =1
Xi2的近似分布为：
Yn=1n
n i =1
Xi2
~N(a2
,
a4
−a n
2 2
).
2. 设 X1,X2,…,X10 为总体 X~N（μ，������������）的一个样本，试求：
证明: 因为对于固定的 x 值 ，Fn∗ x 作为随机样本的函数，Fn∗ x 是一个 r. v. Fn∗ x 表示在 n 次
独立重复试验中，事件 X ≤ x 发生的概率，从而 nFn∗ x 表示在 n 次独立重复试验中，
事件 X ≤ x 发生的次数，而在每一次试验中，事件 X ≤ x 发生的概率 P X ≤ x = F x ，
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例3
样本（X1,X2…,Xn）来自总体
X~（-������，������������），令
d=������
������
������ ������ =������
������ ������,
−
������
,
证明：E（d）= ������ ������,D(d)= ������ − ������ ������������ .
即 Φ（0.05 n）=0.975 反查表得 0.05 n=1.96
故 n=1536.64,可取 n=1537.
设总体 X~P（λ），（X1,X2,…,Xn）是 X 的样本，试求样本的联合概率分布，并计祘样本均值的期望
E������和方差 D������。
解：（1）由于 X~P(λ),故 P{X=x}=λx e−λ,x=0,1,2…
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（2） P｛0.26������������ ≤ ������
������������
������������=������������(������������ − ������)������ ≤ ������. ������������������ ｝.
解：（1）关键是利用
~χ 10
i=1
(X
i
−μ)2
2
σ2
10
.
P(0.26≤ 1
10
10 i =1
(Xi
−
μ)2
≤
2.3σ2)=P(2.6≤
10 i=1
(Xi
−μ)2
σ2
≤
23)
=P(2.6≤χ2(10) ≤ 23)=P(χ2 10 > 2.6)-P(χ2 10 > 23)=0.99-0.01=…
x!
因此（X1，X2，…,Xn）的概率分布为
P{X1=x1,X2=x2,…Xn=xn}=
n i=1
λ
xi
e−λ xi!
=
λ
n i=1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
xi
e−nλ
(
n i=1
xi
!)−1
(2)∵E(X)=λ,D(X)=λ
∴E（X = E
1 n
n i =1
Xi
=1
n
n i =1
EXi
=
EX
=
λ）
D(X)=D(1n
n i =1
故 0.025≤P{s1∗2 ≥ 2s2∗2}≤0.05
例 5，设 X1,X2,…,X10 是 N(0，0.32)的一个样本，求 P｛
������������ ������=������
������
������ ������
>
������.
������������｝
解：∵Xi~N(0,0.
32),∴
≥
2}=P{
σ12 σ2∗2
≥2×
35}=P{F≥3.5}=α
20
σ22
查 F 分布表得 Fα(7,9)有如下数值：
F0.05（7，9）=3.2 9，F0.025（7，9）= 4.20
因 F0.05（7，9）=3.29<3.5<4.20= F0.025（7，9）
从而 0.025<α <0.05(即事件 A 的概率介于 0.025 和 0.05 之间)
查表得χ02.1 10 = 15.987，不χ∝2 10 = 16 比较知 ∝≈ 0.1