2412垂直于弦的直径ppt
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新人教版九年级数学上册24.1.2《垂直于弦的直径》PPT课件
DC
O
O
E DC
D
A
【解析】定理中两个条件（直径垂直于弦）缺一不可，故
前三个图均不能，仅第四个图可以！
中小学课件
例题
A
E
B
例1：如图，已知在圆O中，弦AB的
长为8㎝，圆心O到AB的距离为3 ㎝，
O
求圆O的半径。
【解析】根据题意得， AE=4cm OE⊥AB OE=3cm 在Rt△OEA中，根据勾股定理得： AO2=OE2+AE2=32+42=25 AO=5cm
【解析】提示作OM 垂直 B
MA
于PB ，连接OA.
P
O
答案： 17
关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一 条非常重要的辅助线.
中小学课件
画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论.
题设 ①直线CD经过圆心O ②直线CD垂直弦AB
结论 ③直线CD平分弦AB
④直线CD平分弧ACB
⑤直线CD平分弧AB
A
C
D
O
B
中小学课件
证明猜想
垂径定理
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足 为E.求证：AE＝BE，弧AC＝弧BC，弧AD＝弧BD.
A
垂径定理 垂直于弦的直径平分这
条弦，并且平分弦所对的两条弧. C
O
ED
B
中小学课件
定理辨析
判断下列图形，能否使用垂径定理？
B
B
B
O
O
C A
DC A
（3）平分弦所对的一条弧的直径， 垂直平分弦并且平分弦所对的另 一条弧.
A
E
O
D
B
中小学课件
人教版初中数学九年级上册 24.1.2垂直于弦的直径 教学课件PPT
7.2m
37.4m
A 18.7 r
C D
r-7.2
OLeabharlann B∵ OA2 OD2 AD2
∴ r 2 18.72 r 7.22
解得r=27.9（m）
1、知道垂径定理的内容 （直径垂直于弦 平分弦、平分弧）
2、思考：直径平分弦 平分弧正确吗？
垂直于弦并
3、方法提炼：涉及圆中半径、弦长、圆心到 弦距离的计算时，常通过作半径，作垂线 构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定 理解决。
A
EB
· O
3、如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，
⊙O的半径为5cm，则圆心O到AB的距离
是 3cm 。
AEB
O·
4、如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为
13cm,OE=5cm,则AB=24 cm。
AE
B
·O
方法提炼：涉及圆中半径、弦长、圆心到弦距离的 计算时，常通过作半径，作垂线构造直角三角形，
交⊙O于点B，垂足为E
1、点A与点B有什么位置关系？
点A与点B关于CD对称
C
2、你能发现图中有那些相等的
线段和弧?
线段：AE=BE, 弧: A⌒C=⌒BC, ⌒ ⌒ AD=BD
·O
AE
B
D
1、点A与点B有什么位置关系？ 2、你能发现图中有那些相等的线段和弧?
C
1、点A与点B关于CD对 称
·O
2、弧线: A段⌒C：=B⌒ACE, =AB⌒DE=, B⌒D A E B
1、在半径为5的⊙O中，弦AB∥CD， 弦AB和CD的距离为4，若AB=8，
求CD的长。
2、如图，水平放置的圆柱形下水管道 ，其截面为圆O，直径为1米，管道内有 少量的污水，水面宽AB为0.6米，求此 时的水深（弧的中点到弦的距离）
人教版数学九年级上册24.1.2垂直于弦的直径课件 (共22张PPT)
A
E
B
O
·
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的 跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到 弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
你能利用垂径定理解决求 赵州桥拱半径的问题吗?
7.2m37.4mCAE
B
O
解：用 弧AB表示主桥拱，设弧AB 所在圆的圆心为O， 半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足， OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点， C是弧AB的中点，CD 就是拱高．
，
C
AC BC
AB 及 ACB
E
A
即直径CD平分弦AB，并且平分
我们就得到下面的定理：
·
B
D
O
垂直于弦的直径平分弦，并 且平分弦所对的两条弧．
即：如果CD过圆心(直径) ，且垂直于 （垂直于弦），则AE=BE （平分弦） AB ，
AC= BC, AD= BD （平分劣弧和优弧）
注意:过圆心和垂直于弦两个条件缺一不可
课 堂 小 结
C
1.圆的对称性
2.垂径定理
A
O
E D
B
3.技巧：重要辅助线是过圆心作弦 的垂线。
4.思路：（由）垂径定理——构造Rt△ ——（结合）勾股定理——解题
1、如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，
AB=30cm，CD=16cm，圆心O位于AB，CD的上
方，求AB和CD的距离．
2、如图，直径为10 cm的圆中，圆心到弦AB 的距离为4 cm．求弦AB的长．
AB
在图中
AB=37.4，CD=7.2，
人教版初中数学九年级上册 24.1.2垂直于弦的直径 教学课件PPT
谢谢
D
B
R的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
A
E
B
O·
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边 形ADOE是正方形．
C
E ·O
A
D
B
3.如图，已知在两同心圆⊙O 中，大圆弦 AB 交小圆 于 C，D，则 AC 与 BD 间可能存在什么关系？
24.1.2垂直于弦的直径
创设情境，导入新知
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥 主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m， 拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 0.1 m）．
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
D
C
E
A
O
B
归纳小结
内容： 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所
对的两条弧． ①构造直角三角形，垂径定理和勾股定理有机结合 是计算弦长、半径和弦心距等问题的方法．
②技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线．
重要思路：（由）垂径定理—构造直角三角形— （结合）勾股定理—建立方程．
布置作业
1.教科书习题 24.1 第 1，2 题． 2. 补充：已知圆心到圆内两条平行弦的距离分别 为6和8，圆的半径为10 ，求两条弦之间的距离
可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条
直径所在直线都是它的对称轴．
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为 E． 你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
C
线段：AE=BE OA=OB
人教版(2012)九年级数学上册24.1.2垂直于弦的直径 课件(29张ppt)
B D
在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2, ∴R2=18.52+（R-7.23）2,解得R≈27.3.
即赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.
O
例题变式
如图，在⊙O中，弦AB的长为 6 cm，圆心O到AB的距离（弦心距）为 4 cm，
求⊙O的半径．
解： 过圆心O 作OE⊥AB于E， A
,(垂径定理）
3E B
4
O
在Rt △ AOE 中 ,
垂径定理 圆是轴对称图形
知识小结 内容
推论
垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平 分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧; ⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就 可以推出其他三个结论（“知二推三”）
5)
y
.
C 3
A O 2M D
Hale Waihona Puke 5B x达标练习4.如图，⊙O 的直径CD⊥AB于E，AB＝6cm，CE＝9㎝.
求⊙O 的半径.
C
O
r 9-r
3E
A
B
D
角形全等. 要证 ⌒AC =A⌒D,⌒BC =⌒BD ，只需证明C点与D点
C
关于直径AB对称.
A
O ED B
同位讨论
CD是⊙O的一条弦，直径AB⊥CD，垂足为E. 求证：CE=DE,⌒AC = A⌒D, ⌒BC =⌒BD.
证明：连接OC,OD,则OC=OD 在Rt△OCE和Rt△ODE中：
A O
__O_E_=_O_E_____________
1.半径为4cm的⊙O 中，弦AB=2 cm,
那么圆心O 到弦AB 的距离是
人教版数学九年级上册24.1.2垂直于弦的直径教学配套课件(共16张PPT)
3.在⊙O中，弦AB＝12厘米，OC⊥AB于 点D，CD＝2cm， 求⊙O的半径。
等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是______________________.
在⊙O中，弦AB＝12厘米，OC⊥AB于点D，CD＝2cm， 求⊙O的半径。
请大家围绕以下两个问题谈谈这节课你有哪些收获？有何体会？
⑤平分AB所对的劣弧（
（AC=BC ）
⑤平分AB所对的劣弧 A
（AD=BD ）
C
·O
E B
D
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直
于弦，并且平分弦所对的两条弧．
试 在下列图形中，你能否利用垂径定
一 理找到相等的线段或相等的圆弧。
试
D
C
A
O
AE B C
A
O
AE B
D
CE O
B
O
E
C
BD
B EA
O
例1已知，如图，在⊙O中，圆心O到
把一个圆沿着它的任意一条直径对 折，重复几次，你发现了什么？由此你 能得到什么结论？
发现： 圆是轴对称图形，它的对称轴是任意 一条直径所在的直线.
实践探究2
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，
使CD⊥AB，垂足为E． （1）此图是轴对称图形吗？如果是，它
的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和
OD⊥AB于D，OE⊥AC于E。
E
Hale Waihona Puke 求证：四边形ADOE是正方形． A
·O
DB
课后拓展
1.已知P为⊙O内一点，且OP＝2cm， 如果⊙O的半径是3cm,那么过P点的最短 的弦长。
2.如图是一个输水管道的横
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中，弦AB的长为8厘米，
A
圆心O到AB的距离为3厘米，
求⊙O的半径。
E
∟
B
.
O
解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E， 则OE＝3厘米，AE＝BE。 ∵AB＝8厘米 ∴AE＝4厘米 在RtAOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米。
例2：已知：如图，在 以O为圆心的两个同心 圆中，大圆的弦AB交 小圆于C，D两点。
必平分此弦所对的弧
1.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱 桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧 所对是弦的长)为 37 m,拱高(弧的中点 到弦的距离,也叫弓形高)为7.23m,求桥 拱的半径(精确到0.1m).
37m
7.23m
A
C
D
B
R
O
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⌒AC＝⌒BC，A⌒D＝B⌒D。
C
●O A M┐ B
D
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
｝ （1）过圆心
（2）垂直于弦
C
｛（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
●O A M┐ B
D
∵ CD是直径, CD⊥AB,
∴AM=BM,
⌒⌒
AC =BC,
A⌒D=B⌒D.
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？
可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所 在直线都是它的对称轴，它有无数条对称轴．
看一看CBiblioteka C.OA E B D
AE≠BE
.O
A
E
B
D
AE＝BE
已知：在⊙O中，CD是直径， AB是弦，CD⊥AB，垂足为M。 求证：AM＝BM，
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦， 并且平分弦所对的另一条弧
注意
根据垂径定理与推论可知对于一个 圆和一条直线来说。如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦（4） 平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都 可以推出其他三个结论
例1 ：如图，已知在⊙O
求证：AC＝BD。
O.
E AC
DB
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。 AE－CE＝BE－DE。 所以，AC＝BD
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦
（4）平分弦所对优弧 （5）平分弦所对的劣弧
（3） （1）
（2） （4） （5）
（2） （3）
（1） （4） （5）
（1） （4）
（3） （2） （5）
（1） （5）
（3） （4） （2）
推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分
弦所对的两条弧 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧