电磁感应双杆问题

电磁感应双杆问题（排除动量畴）

1.导轨间距相等

例3. （04）如图所示，在水平面上有两条平行导电导轨MN 、PQ ，导轨间距离为l 。匀强磁场垂直于导轨所在平面（纸面）向里，磁感应强度的大小为B 。两根金属杆1、2摆在导轨上，与导轨垂直，它们的质量和电阻分别为1m 、2m 和1R 、2R ，两杆与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为μ。已知：杆1被外力拖动，以恒定的速度0υ沿导轨运动，达到稳定状态时，杆2也以恒定速度沿导轨运动，导轨的电阻可忽略。求此时杆2克服摩擦力做功的功率。

解法1：设杆2的运动速度为v ，由于两杆运动时，两

杆间和导轨构成的回路中的磁通量发生变化，产生感

应电动势 )(0v v Bl E -= ①

感应电流 2

1R R E

I += ②

杆2作匀速运动，它受到的安培力等于它受到的摩擦力，g m BlI 2μ= ③ 导体杆2克服摩擦力做功的功率 gv m P 2μ= ④ 解得 )]([212

2202R R l B g

m v g m P +-

=μμ ⑤

解法2：以F 表示拖动杆1的外力，以I 表示由杆1、杆2和导轨构成的回路中的电流，达到稳定时，对杆1有 01=--BIl g m F μ ①

对杆2有 02=-g m BIl μ ② 外力F 的功率 0Fv P F = ③

以P 表示杆2克服摩擦力做功的功率，则有01212)(gv m R R I P P F μ-+-= ④ 由以上各式得 )]([212

202R R l

B g m v g m P g +-

=μμ ⑤

2. 导轨间距不等

例4. （04全国）如图所示中1111d c b a 和2222d c b a 为在同一竖直平面的金属导轨，处在磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨所在的平面（纸面）向里。导轨的11b a 段与22b a 段是竖直的，距离为1l ；11d c 段与22d c 段也是竖直的，距离为2l 。11y x 和22y x 为两根用不可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆，质量分别为1m 和2m ，它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触。两杆与导轨构成的回路的总电阻为R 。F 为作用于金属杆11y x 上的竖直向上的恒力。已知两杆运动到图示位置时，已匀速向上运动，求此时作用于两杆的重力的功率的大小和回路上的热功率。

解：设金属杆向上运动的速度为υ，因杆的运动，两杆与导轨构成的回路的面积减少，从而磁通量也减少。由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势的大小υ)(21l l B E -=

回路中的电流R

E

I =

方向沿着顺时针方向 两金属杆都要受到安培力的作用，作用于杆11y x 的安培力为11BIL f =，方向向上；作用于杆22y x 的安培力为22BIL f =，方向向下。当金属杆作匀速运动时，根据牛顿第二定律有

0f f g m g m F 2121=-+--

2

1

0v

解以上各式，得)

()(1221l l B g m m F I -+-= 2

12221l l B gR m m F )()(-+-=

υ

作用于两杆的重力的功率g

m m l l B gR m m F P 212

12221)()()(+-+-=

电阻上的热功率R l l B g m m F R I Q 2

12212

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-+-==)()(

3两导体棒切割磁感线引起的“双电源”问题 ①．两导体棒反向运动

例5：（95高考）两根相距20m 0d .=的平行金属长导轨固定在同一水平面,并处于竖直方向的匀强磁场中,磁场的磁感应强度20T 0B .=,导轨上面横放着两条金属细杆,构成矩形回路,每条金属细杆的电阻为Ω=250r .,回路中其余部分的电阻可不计.已知两金属细杆在平行于导轨的拉力的作用下沿导轨朝相反方向匀速平移,速度大小都是s 0m 5/.=υ,如图所示.不计导轨上的摩擦.

(1)求作用于每条金属细杆的拉力的大小.

(2)求两金属细杆在间距增加40m 0.的滑动过程中共产生的热量.

解（1）当两杆都以速度υ向相反方向匀速运动时，每杆所受的安培力和拉力平衡。每个金属杆产生的感应电动势分别为υBd E E 21==

由闭合电路的欧姆定律，回路的电流强度r

Bd 2r E E I 21υ

=+= 拉力N 1023BId F F 221-⨯===.

（2）设两个金属杆之间增加的距离为△L ，增加△L 所用的时间υ

2L

t ∆=

； 由焦耳定律，两金属杆共产生的热量为J 102812L

2r I t 2r I Q 222-⨯=∆⋅

⋅==.)(υ

②．两导体棒同向运动

例7：（03全国）两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感强度50T 0B .=的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计。导轨间的距离20m 0l .=。两根质量均为10kg 0m .=的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过

程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为Ω=500R .，在t =0时

刻，两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行、大小为20N 0.的恒力F 作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动。经过0s 5t .=，金属杆甲的加速度为2s 37m 1a /.=，问此时两金属杆的速度各为多少？ 解：设任一时刻t 两金属杆甲、乙之间的距离为x ，速度分别为1υ和2υ,经过很短的时间t ∆，杆甲移动距离t 1∆υ，杆乙移动距离t 2∆υ，回路面积改变t l S 21∆-=∆)(υυ 由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势t

S

B E ∆∆= 电流 2R E I =

杆甲的运动方程 ma BIl F =-

由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等、方向相反，所以两杆的动量等于外力F 的冲

量 21m m Ft υυ+=

乙