南京外国语学校学生家长整理

异曲同工奏响菱形的凯歌

探索菱形的判定条件，我们常常有2条思路：Ⅰ、若已经知道是平行四边形，可再证明①有一组邻边相等；或②对角线互相垂直.Ⅱ、若已知是一般的四边形，可直接证明它的4条边相等；或先证明是平行四边形，再按Ⅰ的思路，下面举例说明.

例1、（06济南市）在Rt △ABC Rt △ABD ∠ABC=∠ABD=90°，AD=BC ，AC 、BD 相交于点G ，过点A 作AE//DB 交CB 的延长线于点E ，过点B 作BF//CA 交DA 的延长线于点F ，AE 、BF 相交于点H.（1）图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；（不添加任何辅助线）.（2）证明四边形AHBG 是菱形；（3）若使四边形AHBG 是正方形，还需在 Rt △ABC 的

边长之间再添加一个什么条件？请你写出这个条件. 分析：（1）虽然题目要求比较人性化是任选一对进行证明，但考虑

第（2）问，因此全等三角形的选取应具有前瞻性，因而选△ABC ≌△BAD ，这样就为利用“一组邻边相等的平行四边形”证明四边形AHBG 是菱形埋下了伏笔.至于（3）添加条件，考虑到“一个角为直角的菱形”是正方形，只要补充∠AGB=90°，结合GA=GB 可以推得Rt △ABC 为等腰三角形即可，故补充为AB=BC.

（1）△ABC ≌△BAD

证明：∵BC=AD ，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BA ∴△ABC ≌△BAD （SAS ）

（2）∵AE//DB ，BF//CA ∴四边形AHBG 是平行四边形，又∵△ABC ≌△BAD ∴∠BAC ∠ABD ∴GA=GB ∴平行四边形AHBG 是菱形.

（3）需添加的条件是AB=BC

例2（06黄岗）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE 垂直平分BC ，垂足为D ，交AB 于点E ，又点F 在DE 的延长线上，且AF=CE ，求证：四边形ACEF 是菱形. 分析：∵DE 垂直平分BC ，∴EB=EC ，又∵∠BAC=60°

∴∠ECB=∠ABC=30°，∴∠ACE=60°∴△ACE 为等边三角形（有2个角为60°的三角形是等边三角形），∴AC=CE=AE ，又CE=AF ，∴AC=CE

=AF=AE ，又DF//AC ，∴∠AEF=∠BAC=60°∴△AEF 为等边三角形（有一个角为60°三角形是等边三角形）∴AF=EF ∴AC=CF=EF=FA ，∴四边形

ACEF 是菱形.（4条边相等的四边形是菱形）.

例3、（06太原市）如图，在四边形ABCD 中，点E 、F 是对角线BD 上的两点，且BE=DF

（1）若四边形AECF 是平行四边形，求证：四边形ABCD 是平行四边形；

（2）若四边形AECF 是菱形，那么四边形ABCD 也是菱形吗，为什么？ 分析：（1）因为四边形AECF 是平行四边形，连接AC 交BD 于点O ，则有OA=OC ，OE=OF ，又BE=DF ，∴OB=OC ，根据“对

角线互相平分的四边形是平行四边形”，所以四边形ABCD 是平行四边形

（2）因为四边形AECF 是菱形，所以四边形AECF 必是平行四边形，由（1）可知四边形ABCD 是平行四边形，又根据菱形AECF 的对角线互相垂直，所以AC ⊥BD ，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以四边形ABCD 也是菱形. 请同学们思考：若四边形AECF 是矩形，那么四边形ABCD 也

是矩形吗，为什么？ 例4、（06徐州市）将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起

得 D C

A B

图

3

F E D C B A H G

到如图3所示的四边形ABCD.

（1） 求证：四边形ABCD 是菱形；

（2）如果两张矩形纸片的长都是8，宽都是2.那么菱形ABCD 的周长是否存在最大值或最小值？如果存在请求出来；如果不存在，请简要说明理由。

分析：（1）由于是两张矩形纸片叠放在一起，容易发现四边形的对边是平行的，故ABCD 为平行四边形，只需再证一组邻边相等即可.（2）观察图4，要使菱形ABCD 的周长最小，即两矩形纸片重合部分边长最小，显然只有边长为矩形的宽时，此时菱形变为正方形；同样的道理，当两矩形纸片重叠的边长最大时（即如图5位置叠放在一起时），菱形的周长取得最大值.

解：(1)解法一：如图4，∵AD ∥BC ，AB ∥DC ，∴四边形

ABCD 是平行四边形.分别过B 、D 作BF ⊥AD ，DE ⊥AB ，垂足为点F 、E ，则DE=BF ，∵∠DAE=∠BAF ，∴Rt △DAE ≌Rt △BAF ，∴AD=AB ，∴四边形ABCD 是菱形. 解法二：根据同一个平行四边形ABCD 的面积不变，可得：分

别过B 、D 作BF ⊥AD ，DE ⊥AB ，垂足为点F 、E ，则DE=BF （矩

形纸片的宽度），又∵ABCD S 平行四边形=DE ·AB=BF ·AD ，∴AB=AD ，∴四边形ABCD 是菱形.

(2)存在最小值和最大值.

①当∠DAE=90°时，菱形ABCD 为正方形，周长最小

值为8；

②当AC 为矩形纸片的对角线时，设AB=x ，如图5，在Rt △BCG 中，x 2=(8-x)2+22，x=417，∴周长最大值为17. 评注：本题以两个宽度相等的矩形纸片为道具创设了一个特殊的四边形——菱形的判定及变化的菱形周长取值问题的探究的数学情景，通过纸片不同位置的放置把平行四边形、菱形、正方形有机的融合在一起.（1）问即可以通过构造全等三角形，也可以利用同一个图形的面积不变证明.（2）如果同学们能够自制道具，动手操作容易发现重合部分为正方形时，周长最小.当纸片如图5放置时重叠的菱形的边长最大，因而周长取得最大值.这充分说明了动手实践进行“数学实验”是我们探究问题，发现结论的一种重要手段，通过“做”数学的过程，可使我们直观感悟产生心理体验，为合理地猜想数学结论，培养合情推理、及逻辑推理提供可靠的保证.

例5、(贵州省)如图，以△ABC 的三边为边，在BC 的同恻作三个等边三角形△ABD 、△BCE 、△ACF ，请回答下列问题(1)四边形ADEF 是什么四边形？

(2)当△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是菱形？是矩形？

(3) 当△ABC 满足什么条件时，以A 、D 、E 、F 为顶点的四边形不存在？ 分析：(1) 观察图形，再结合已知条件，不难发现将△ABC 分别绕

点B 、C 旋转60°便可得到△DBE 、△FEC ，因而可知△ABC ≌△DBE ≌△FEC ，从而有DE=AC=AF 、FE=AB=AD ；根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可知四边形ADEF 是平行四边形；

(2)若要平行四边形ADEF 是菱形，只要AD=AF.由（1）可知，只要AB=AC 即可，所以当△ABC 满足AB=AC 时，平行四边形ADEF 是菱形. D C A B F E 图4 A

B C D 图5 G

A B C D E F