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2021年中考数学专项训练： 动态型问题(含答案)

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2021年中考数学专题训练：平移与旋转(含答案)

2021年中考数学专题训练：平移与旋转(含答案)

2021中考数学专题训练：平移与旋转一、选择题1. 观察图，其中可以看成是由“基本图案”通过旋转形成的共有()A．1个B．2个C．3个D．4个2. 在平面直角坐标系中，点P(－4，2)向右平移7个单位长度得到点P1，点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2，则点P2的坐标是()A．(－2，3) B．(－3，2)C．(2，－3) D．(3，－2)3. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1.把△ABC分别绕直线AB 和BC旋转一周，所得几何体的底面圆的周长分别记作l1，l2，侧面积分别记作S1，S2，则()A. l1∶l2＝1∶2，S1∶S2＝1∶2B. l1∶l2＝1∶4，S1∶S2＝1∶2C. l1∶l2＝1∶2，S1∶S2＝1∶4D. l1∶l2＝1∶4，S1∶S2＝1∶44. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边AB在x轴上，AB边的中点是坐标原点O，将正方形绕点C按逆时针方向旋转90°后，点B的对应点B'的坐标是()A.(-1，2)B.(1，4)C.(3，2)D.(-1，0)5. 如图，Rt△OCB的斜边在y轴上，OC＝3，含30°角的顶点与原点重合，直角顶点C在第二象限，将Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC′B′，则点B的对应点B′的坐标是()A．(3，－1) B．(1，－3)C．(2，0) D．(3，0)6. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，3)，以原点为中心，将点A顺时针旋转30°得到点A′，则点A′的坐标为()A．(3，1) B．(3，－1) C．(2，1) D．(0，2)7. 如图，为了监控一不规则多边形艺术走廊内的活动情况，现已在A，B两处各安装了一个监控探头(走廊内所用探头的观测区域为圆心角最大可取到180°的扇形)，图中的阴影部分是A处监控探头观测到的区域．要使整个艺术走廊都能被监控到，还需再安装一个监控探头，则安装的位置是()A. E处B. F处C. G处D. H处8. 如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为()A．90°－αB．αC．180°－αD．2α二、填空题9. 在如图所示的方格纸(1格长为1个单位长度)中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C'，各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是.10. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10 cm，点D为△ABC内一点，∠BAD=15°，AD=6 cm，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB 与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为cm.11. 如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE=EF，则AB的长为.12. 如图，在正方形网格中，格点△ABC绕某点顺时针旋转角α(0＜α＜180°)得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点，则α＝________°.13. 如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′＝________°.14. 问题背景:如图①，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论:P A+PC=PE.问题解决:如图②，在△MNG中，MN=6，∠M=75°，MG=4.点O是△MNG 内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是.三、解答题15. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2：(1)将△ABC先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1；(2)以图中的O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2.16. 如图，P为正方形ABCD内一点，若PA＝a，PB＝2a，PC＝3a(a＞0)．(1)求∠APB的度数；(2)求正方形ABCD的面积．17. △ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：△BPE≌△CQE；(2)如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，①求证：△BPE∽△CEQ；②当BP＝2，CQ＝918. 将一副三角尺按图①摆放，等腰直角三角尺的直角边DF恰好垂直平分AB，与AC相交于点G，BC＝2 3.(1)求GC的长；(2)如图②，将△DEF绕点D顺时针旋转，使直角边DF经过点C，另一直角边DE与AC相交于点H，分别过点H，C作AB的垂线，垂足分别为M，N.通过观察，猜想MD与ND的数量关系，并验证你的猜想；(3)在(2)的条件下，将△DEF沿DB方向平移得到△D′E′F′，当D′E′恰好经过(1)中的点G时，请直接写出DD′的长度．2021中考数学专题训练：平移与旋转-答案一、选择题1. 【答案】D2. 【答案】A[解析] 点P(－4，2)向右平移7个单位长度得到点P1(3，2)，点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2(－2，3)．故选A.3. 【答案】A【解析】∵∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝1，∴勾股定理得，AC＝ 5.①当△ABC绕AB旋转时，则底面周长l1＝2π×BC＝2π，侧面积为S1＝π×BC×AC ＝5π；②当△ABC绕BC旋转时，则底面周长l2＝2π×AB＝4π，侧面积为S2＝π×AB×AC＝25π，∴l1∶l2＝2π∶4π＝1∶2，S1∶S2＝5π∶25π＝1∶2.4. 【答案】C[解析]如图，由旋转得:CB'=CB=2，∠BCB'=90°，D，C，B'三点共线.∵四边形ABCD是正方形，且O是AB的中点，∴OB=1，∴B'(2+1，2)，即B'(3，2)，故选C.5. 【答案】A6. 【答案】A[解析] 如图，过点A作AE⊥y轴于点E，过点A′作A′F⊥x轴于点F，∴∠AEO＝∠A′FO＝90°.∵点A的坐标为(1，3)，∴AE＝1，OE＝3，∴OA＝2，∠AOE＝30°，由旋转可知∠AOA′＝30°，OA′＝OA＝2，∴∠A′OF＝90°－30°－30°＝30°，∴A′F＝12OA′＝1，OF＝3，∴A′(3，1)．故选A.7. 【答案】D【解析】根据题意可知，在A，B处安装监控探头后，E，F，G 处均有探查不到的区域，而探头放在E，F处时同样存在这样的问题，放在H处恰好不存在．8. 【答案】C[解析] 由题意可得∠CBD＝α，∠C＝∠EDB.∵∠EDB＋∠ADB＝180°，∴∠C＋∠ADB＝180°.由四边形的内角和定理，得∠CAD＋∠CBD＝180°.∴∠CAD＝180°－∠CBD＝180°－α.故选C.二、填空题9. 【答案】90°【解析】找到一组对应点A，A'，分别与旋转中心连接起来，则∠AOA'为旋转角，为90°.10. 【答案】(10-2)[解析]∵∠BAC=90°，∠BAD=15°，∴∠DAF=75°.由旋转可知，△ADE为等腰直角三角形，∠ADF=45°，过点A作AM⊥DF于点M，∠F AM=∠DAF-∠DAM=75°-45°=30°，∴AM=AD=3，∴AF=AM=2.∵AC=AB=10，∴FC=AC-AF=10-2.11. 【答案】3[解析]∵DE=EF=AD=3，∠D=90°，∴AE2=AD2+DE2=18，∴AB=AE==3.12. 【答案】90[解析] 连接AA1，CC1，分别作AA1和CC1的垂直平分线，两直线相交于点D，则点D即为旋转中心，连接AD，A1D，则∠ADA1＝α＝90°.13. 【答案】20[解析] ∵AB＝AB′，∠BAB′＝40°，∴∠ABB′＝70°.∵B′C′⊥AB，∴∠BB′C′＝20°.14. 【答案】2[解析]由题意构造等边三角形MFN，等边三角形MHO，则△MFH≌△MNO，∴OM+ON+OG=HO+HF+OG，∴距离和最小值为FG=2.三、解答题15. 【答案】解：(1)正确图形如解图．(2)正确图形如解图．解图16. 【答案】解：(1)将△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBQ，连接PQ，如图，则∠APB＝∠BQC，PB⊥QB，PB＝QB＝2a，AP＝QC＝a，∴PQ＝2 2a.在△PQC中，∵PC2＝9a2，PQ2＋QC2＝9a2，∴PC2＝PQ2＋QC2，∴△PQC 为直角三角形且∠PQC ＝90°. ∵△PBQ 是等腰直角三角形， ∴∠BPQ ＝∠BQP ＝45°，故∠APB ＝∠CQB ＝90°＋45°＝135°. (2)连接AC.∵∠APQ ＝∠APB ＋∠BPQ ＝135°＋45°＝180°， ∴A ，P ，Q 三点在同一条直线上．在Rt △AQC 中，AC 2＝AQ 2＋QC 2＝(a ＋2 2a)2＋a 2＝(10＋4 2)a 2，∴正方形ABCD 的面积S ＝AB 2＝AC22＝(5＋2 2)a 2.17. 【答案】(1)证明：∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴AB ＝AC ，∠B ＝∠C ＝45°， 又∵AP ＝AQ ， ∴BP ＝CQ ，∵E 是BC 的中点， ∴BE ＝EC .与△CQE 中，CQE (SAS)；(2)①证明：∵∠BEF ＝∠C ＋∠CQE ，∠BEF ＝∠BEP ＋∠DEF ， ∠C ＝∠DEF ＝45°， ∴∠CQE ＝∠BEP ， ∵∠B ＝∠C ，∴△BPE ∽△CEQ ；BPE ∽△CEQ ， BP ·CQ ， 又∵BE ＝EC ， ∴BE 2＝BP ·CQ ， ∵BP ＝2，CQ ＝9， ∴BE 2＝2×9＝18， ∴BE ＝32，∴BC ＝2BE ＝6 2.18. 【答案】13解：(1)在Rt△ABC中，∵∠B＝60°，BC＝2 3，∴AB＝43，AC＝6.∵DF垂直平分AB，∴AD＝2 3.又∵∠DAG＝30°，∴DG＝2，AG＝4，∴GC＝AC－AG＝6－4＝2.(2)MD＝ND.证明：∵D是AB的中点，∠ACB＝90°，∴CD＝DB＝AD.又∵∠B＝60°，∴△CDB是等边三角形，∴∠CDB＝60°.∵CN⊥DB，∴ND＝12DB.∵∠EDF＝90°，∴∠EDA＝180°－∠EDF－∠CDB＝30°. 又∵∠A＝30°，∴∠A＝∠EDA，∴HA＝HD.∵HM⊥AD，∴MD＝12AD.又∵AD＝DB，∴MD＝ND.(3)连接DG，则DG⊥AD′.由(2)知∠A＝∠EDA，由平移知∠E′D′A＝∠EDA，∴∠A＝∠E′D′A.∵D′E′恰好经过(1)中的点G(此时点D′与点B重合)，∴D′G＝AG，∴DD′＝AD＝2 3.。

2021年中考数学真题(全国通用)专题33 几何综合压轴问题(解答题)-(原卷版)

2021年中考数学真题(全国通用)专题33 几何综合压轴问题(解答题)-(原卷版)

专题33几何综合压轴问题（解答题）一、解答题1．（湖南省郴州市2021年中考数学试卷）如图1，在等腰直角三角形中，．点，ABC 90BAC ∠=︒E F 分别为，的中点，为线段上一动点（不与点，重合），将线段绕点逆时针方向AB AC H EF E F AH A 旋转得到，连接，．90︒AG GC HB（1）证明：；AHB AGC A A ≌（2）如图2，连接，，交于点．GF HC AF AF Q ①证明：在点的运动过程中，总有；H 90HFG ∠=︒②若，当的长度为多少时，为等腰三角形？4AB AC ==EH AQG A 2．（2021·湖北中考真题）问题提出 如图（1），在和中，，ABC A DEC A 90ACB DCE ∠=∠=︒，，点在内部，直线与交于点，线段，，之间存BC AC =EC DC =E ABC A AD BE F AF BF CF 在怎样的数量关系？问题探究 （1）先将问题特殊化．如图（2），当点，重合时，直接写出一个等式，表示，，D F AF BF 之间的数量关系；CF （2）再探究一般情形．如图（1），当点，不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．D F 问题拓展 如图（3），在和中，，，（是ABC A DEC A 90ACB DCE ∠=∠=︒BC kAC =EC kDC =k 常数），点在内部，直线与交于点，直接写出一个等式，表示线段，，E ABC A AD BEF AF BF CF 之间的数量关系．3．（2021·浙江中考真题）（证明体验）（1）如图1，为的角平分线，，点E 在上，．求证：平分AD ABC A 60ADC ∠=︒AB AE AC =DE ．ADB ∠（思考探究）（2）如图2，在（1）的条件下，F 为上一点，连结交于点G ．若，，AB FC AD FB FC =2DG =，求的长．3CD =BD （拓展延伸）（3）如图3，在四边形中，对角线平分，点E 在上，ABCD AC ,2BAD BCA DCA ∠∠=∠AC．若，求的长．EDC ABC ∠=∠5,2BC CD AD AE ===AC 4．（2021·浙江中考真题）如图1，四边形内接于，为直径，上存在点E ，满足ABCD O A BD A AD ，连结并延长交的延长线于点F ，与交于点G ．A A AE CD =BE CD BE AD（1）若，请用含的代数式表列．DBC α∠=αAGB ∠（2）如图2，连结．求证；．,CE CE BG =EF DG =（3）如图3，在（2）的条件下，连结，．CG 2AD =①若，求的周长．tan ADB ∠=FGD A ②求的最小值．CG 5．（2021·浙江中考真题）在扇形中，半径，点P 在OA 上，连结PB ，将沿PB 折叠AOB 6OA =OBP A 得到．O BP 'A （1）如图1，若，且与所在的圆相切于点B ．75O ∠=︒BO 'A AB ①求的度数．APO ∠'②求AP 的长．（2）如图2，与相交于点D ，若点D 为的中点，且，求的长．BO 'A AB A AB //PD OB AAB 6．（2021·浙江中考真题）已知在中，是的中点，是延长线上的一点，连结ACD △РCD B AD ,BC AP ．（1）如图1，若，求的长．90,60,,ACB CAD BD AC AP ︒∠=︒∠===BC （2）过点作，交延长线于点，如图2所示．若，求证：D //DE AC AP E 60,CAD BD AC ∠︒==．2BC AP =（3）如图3，若，是否存在实数，当时，？若存在，请直接写出45CAD ∠=︒m BD mAC =2BC AP =的值；若不存在，请说明理由．m 7．（2021·安徽中考真题）如图1，在四边形ABCD 中，，点E 在边BC 上，且ABC BCD ∠=∠，，作交线段AE 于点F ，连接BF ．//AE CD //DE AB CF //AD （1）求证：；ABF EAD △≌△（2）如图2，若，，，求BE 的长；9AB =5CD =ECF AED ∠=∠（3）如图3，若BF 的延长线经过AD 的中点M ，求的值．BEEC 8．（2021·四川中考真题）在等腰中，，点是边上一点（不与点、重合），连ABC A AB AC =D BC B C 结．AD（1）如图1，若，点关于直线的对称点为点，结，，则60C ∠=°D AB E AE DE BDE ∠=________；（2）若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结．60C ∠=°AD A 60︒AE BE ①在图2中补全图形；②探究与的数量关系，并证明；CD BE （3）如图3，若，且，试探究、、之间满足的数量关系，并证AB AD kBC DE ==ADE C ∠=∠BE BD AC 明．9．（2021·山东中考真题）如图1，O 为半圆的圆心，C 、D 为半圆上的两点，且．连接并A A BD CD =AC 延长，与的延长线相交于点E ．BD （1）求证：；CD ED =（2）与，分别交于点F ，H ．AD OC BC ①若，如图2，求证：；CF CH =CF AF FO AH ⋅=⋅②若圆的半径为2，，如图3，求的值．1BD =AC10．（2021·江苏中考真题）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．（1）是边长为3的等边三角形，E 是边上的一点，且，小亮以为边作等边三角形ABC A AC 1AE BE ，如图1，求的长；BEF CF（2）是边长为3的等边三角形，E 是边上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，ABC A AC BE BEF 如图2，在点E 从点C 到点A 的运动过程中，求点F 所经过的路径长；（3）是边长为3的等边三角形，M 是高上的一个动点，小亮以为边作等边三角形ABC A CD BM BMN ，如图3，在点M 从点C 到点D 的运动过程中，求点N 所经过的路径长；（4）正方形的边长为3，E 是边上的一个动点，在点E 从点C 到点B 的运动过程中，小亮以ABCD CB B 为顶点作正方形，其中点F 、G 都在直线上，如图4，当点E 到达点B 时，点F 、G 、H 与BFGH AE 点B 重合．则点H 所经过的路径长为______，点G 所经过的路径长为______．11．（2021·吉林中考真题）实践与探究操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD ，将正方形纸片沿过点A 的直线折叠，使点B 落在正方形ABCD 的内部，点B 的对应点为点M ，折痕为AE ，再将纸片沿过点A 的直线折叠，使AD 与AM 重合，折痕为AF ，则 度．EAF ∠=操作二：如图②，将正方形纸片沿EF 继续折叠，点C 的对应点为点N ．我们发现，当点E 的位置不同时，点N 的位置也不同．当点E 在BC 边的某一位置时，点N 恰好落在折痕AE 上，则 ∠=AEF 度．在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：（1）设AM 与NF 的交点为点P ．求证：．ANP FNE △≌△（2）若，则线段AP 的长为 ．AB =12．（2021·湖南中考真题）如图，在中，，N 是边上的一点，D 为的中点，过ABC A AB AC =BC AN 点A 作的平行线交的延长线于T ，且，连接．BC CD AT BN =BT（1）求证：；BN CN =（2）在如图中上取一点O ，使，作N 关于边的对称点M ，连接、、、AN AO OC =AC MT MO OC 、得如图．OT CM ①求证：；TOM AOC A A ∽②设与相交于点P ，求证：．TM AC 1//,2PD CM PD CM =13．（2021·浙江台州市·中考真题）如图，BD 是半径为3的⊙O 的一条弦，BD ＝，点A 是⊙O 上的一个动点（不与点B ，D 重合），以A ，B ，D 为顶点作平行四边形ABCD ．（1）如图2，若点A 是劣弧的中点．A BD ①求证：平行四边形ABCD 是菱形；②求平行四边形ABCD 的面积．（2）若点A 运动到优弧上，且平行四边形ABCD 有一边与⊙O 相切．ABD ①求AB 的长；②直接写出平行四边形ABCD 对角线所夹锐角的正切值．14．（2021·青海中考真题）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角尺，又需要作等大小的角，可以采用如下方法：60,30,15︒︒︒操作感知：第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开（如图13-1）．ABCD AD BC EF 第二步：再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段A EF B BM BN （如图13-2）．猜想论证：（1）若延长交于点，如图13-3所示，试判定的形状，并证明你的结论．MN BC P BMP A 拓展探究：（2）在图13-3中，若，当满足什么关系时，才能在矩形纸片中剪出符AB a BC b ==，a b ，ABCD （1）中的等边三角形？BMP 15．（2021·海南中考真题）如图1，在正方形中，点E 是边上一点，且点E 不与点重ABCD BC B C ≌合，点F 是的延长线上一点，且．BA AF CE =（1）求证：；DCE DAF A A ≌（2）如图2，连接，交于点K ，过点D 作，垂足为H ，延长交于点G ，连接EF AD DH EF ⊥DH BF ．,HB HC ①求证：；HD HB =②若，求的长．DK HC ⋅=HE 16．（2021·甘肃中考真题）问题解决：如图1，在矩形中，点分别在边上，ABCD ,E F ,AB BC 于点．,DE AF DE AF =⊥G（1）求证：四边形是正方形；ABCD （2）延长到点，使得，判断的形状，并说明理由．CB H BH AE =AHF △类比迁移：如图2，在菱形中，点分别在边上，与相交于点，ABCD ,E F ,AB BC DE AF G ，求的长．,60,6,2DE AF AED AE BF =∠=︒==DE 17．（2021·四川中考真题）如图1，在中，，，点D 是边上一点（含ABC A 90ACB ∠=︒AC BC =AB 端点A 、B ），过点B 作垂直于射线，垂足为E ，点F 在射线上，且，连接、BE CD CD EF BE =AF ．BF（1）求证：；ABF CBE A A ∽（2）如图2，连接，点P 、M 、N 分别为线段、、的中点，连接、、．求AE AC AE EF PM MN PN 的度数及的值；PMN ∠MNPM（3）在（2）的条件下，若面积的最大值．BC =PMN A 18．（2021·山西中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，为的中点，连接，，试猜想与的数量关ABCD A BE AD ⊥E F CD EF BF EF BF系，并加以证明；独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如ABCD A BF F CD 图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断与的数量关系，并加以证C 'C 'DC AB G AG BG 明；问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将沿过点的直线折叠，如图③，点A 的对应点为，ABCD A B 'A 使于点，折痕交于点，连接，交于点．该小组提出一个问题：若此'A B CD ⊥H AD M 'A M CD N 的面积为20，边长，，求图中阴影部分（四边形）的面积．请你思ABCD A 5AB=BC =BHNM考此问题，直接写出结果．19．（2021·浙江中考真题）问题：如图，在中，，，，的平分线ABCD A 8AB =5AD =DAB ∠ABC ∠AE ，BF 分别与直线CD 交于点E ，F ，求EF 的长．答案：．2EF =探究：（1）把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变．8AB =①当点E 与点F 重合时，求AB 的长；②当点E 与点C 重合时，求EF 的长．（2）把“问题”中的条件“，”去掉，其余条件不变，当点C ，D ，E ，F 相邻两点间的距离相8AB =5AD =等时，求的值．ADAB20．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形绕点顺时针旋转，得到矩形ABCD A ()090αα︒<≤︒'''AB C D [探究1]如图1，当时，点恰好在延长线上．若，求BC 的长．90α=︒'C DB 1AB =[探究2]如图2，连结，过点作交于点．线段与相等吗？请说明'AC 'D '//'D M AC BD M 'D M DM 理由．[探究3]在探究2的条件下，射线分别交，于点，（如图3），，存在一定的DB 'AD 'AC P N MN PN 数量关系，并加以证明．21．（2021·浙江中考真题）如图，在菱形中，是锐角，E 是边上的动点，将射线绕ABCD ABC ∠BC AE 点A 按逆时针方向旋转，交直线于点F ．CD （1）当时，AE BC EAF ABC ，^Ð=Ð①求证：；AE AF =②连结，若，求的值；BD EF ，25EF BD =ABCD A ＡＥＦ菱形ＳＳ（2）当时，延长交射线于点M ，延长交射线于点N ，连结12EAF BAD ∠=∠BC AF DC AE AC MN，，若，则当为何值时，是等腰三角形．42AB AC ==，CE AMN A 22．（2017·山东德州市·中考真题）如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝5cm ，折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ ，过点E 作EF AB 交PQ 于F ，连接BF ．//（1）求证：四边形BFEP 为菱形；（2）当点E 在AD 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动；①当点Q 与点C 重合时（如图2），求菱形BFEP 的边长；②若限定P 、Q 分别在边BA 、BC 上移动，求出点E 在边AD上移动的最大距离．23．（2020·广西中考真题）已知：在矩形中，，是边上的一个动点，将ABCD 6AB =AD =P BC 矩形折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．ABCD A P D G EF （1）如图1，当点与点重合时，则线段_______________，_____________；P C EB =EF =（2）如图2，当点与点，均不重合时，取的中点，连接并延长与的延长线交于点P B C EF O PO GF ，连接，，．M PF ME MA ①求证：四边形是平行四边形：MEPF②当时，求四边形的面积．1tan 3MAD ∠=MEPF 24．（2020·山东中考真题）在等腰△ABC 中，AC ＝BC ，是直角三角形，∠DAE ＝90°，∠ADE ＝ADE A 12∠ACB ，连接BD ，BE ，点F 是BD 的中点，连接CF ．（1）当∠CAB ＝45°时．①如图1，当顶点D 在边AC 上时，请直接写出∠EAB 与∠CBA 的数量关系是 ．线段BE 与线段CF 的数量关系是 ；②如图2，当顶点D 在边AB 上时，（1）中线段BE 与线段CF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：思路一：作等腰△ABC 底边上的高CM ，并取BE 的中点N ，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；思路二：取DE 的中点G ，连接AG ，CG ，并把绕点C 逆时针旋转90°，再利用旋转性质、三角形CAG A 全等或相似有关知识来解快问题．（2）当∠CAB ＝30°时，如图3，当顶点D 在边AC 上时，写出线段BE 与线段CF 的数量关系，并说明理由．25．（2021·天津中考真题）已知内接于，点D 是上一点．ABC A ,,42O AB AC BAC =∠=︒A O A（Ⅰ）如图①，若为的直径，连接，求和的大小；BD O A CD DBC ∠ACD ∠（Ⅱ）如图②，若//，连接，过点D 作的切线，与的延长线交于点E ，求的大CD BA AD O A OC E ∠小．26．（2021·浙江中考真题）如图，锐角三角形内接于，的平分线交于点，交ABC O A BAC ∠AG O A G 边于点，连接．BC F BG(1)求证：．ABG A AFC ∽△(2)已知，，求线段的长（用含，的代数式表示）．AB a =AC AF b ==FG a b (3)已知点在线段上（不与点，点重合），点在线段上（不与点，点重合），E AF A F D AE A E ，求证：．ABD CBE ∠=∠2BG GE GD =⋅27．（2021·山东中考真题）如图，已知正方形ABCD ，点E 是BC 边上一点，将△ABE 沿直线AE 折叠，点B 落在F 处，连接BF 并延长，与∠DAF 的平分线相交于点H ，与AE ，CD 分别相交于点G ，M ，连接HC（1）求证：AG ＝GH ；（2）若AB ＝3，BE ＝1，求点D 到直线BH 的距离；（3）当点E 在BC 边上（端点除外）运动时，∠BHC 的大小是否变化？为什么？28．（2021·甘肃中考真题）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知是弦上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．A ,ABC AB（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：①作线段的垂直平分线，分别交于点于点，连接；AC DE A AB ,D AC E ,AD CD ②以点为圆心，长为半径作弧，交于点（两点不重合），连接．D DA AAB F ,F A ,,DF BD BF （2）直接写出引理的结论：线段的数量关系．,BC BF 29．（2021·北京中考真题）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于点和线段，给出如下xOy O A A BC 定义：若将线段绕点旋转可以得到的弦（分别是的对应点），则称线段是BC A O A B C '',B C '',B C BC 的以点为中心的“关联线段”．O A A（1）如图，点的横､纵坐标都是整数．在线段中，的以点112233,,,,,,A B C B C B C 112233,,B C B C B C O A A 为中心的“关联线段”是______________；（2）是边长为1的等边三角形，点，其中．若是的以点为中心的“关联线ABC A ()0,A t 0t ≠BC O A A 段”，求的值；t （3）在中，．若是的以点为中心的“关联线段”，直接写出的最小值ABC A 1,2AB AC ==BC O A A OA 和最大值，以及相应的长．BC 30．（2021·湖北中考真题）如图，在菱形中，是对角线上一点（），，ABCD O BD BO DO >OE AB ⊥垂足为，以为半径的分别交于点，交的延长线于点，与交于点．E OE O A DC H EO F EF DC G（1）求证：是的切线；BC O A （2）若是的中点，，．G OF 2OG =1DG =①求的长；AHE ②求的长．AD 31．（2021·山东中考真题）如图，在中，是直径，弦，垂足为，为上一点，O A AB CD AB ⊥H E A BC 为弦延长线上一点，连接并延长交直径的延长线于点，连接交于点，若F DC FE AB G AE CD P ．FE FP =（1）求证：是的切线；FE O A （2）若的半径为8，，求的长．O A 3sin 5F =BG 32．（2021·四川中考真题）如图，⊙O 的半径为1，点A 是⊙O 的直径BD 延长线上的一点，C 为⊙O 上的一点，AD ＝CD ，∠A ＝30°．（1）求证：直线AC 是⊙O 的切线；（2）求△ABC 的面积；（3）点E 在上运动（不与B 、D 重合），过点C 作CE 的垂线，与EB 的延长线交于点F ． ¼BND ①当点E 运动到与点C 关于直径BD 对称时，求CF 的长；②当点E 运动到什么位置时，CF 取到最大值，并求出此时CF 的长．33．（2021·重庆中考真题）在中，，是边上一动点，连接，将绕点逆ABC A AB AC =D BC AD AD A 时针旋转至的位置，使得．AE 180DAE BAC ∠+∠=︒（1）如图，当时，连接，交于点．若平分，，求的190BAC ∠=︒BE AC F BE ABC ∠2BD =AF 长；（2）如图，连接，取的中点，连接．猜想与存在的数量关系，并证明你的猜2BE BE G AG AG CD 想；（3）如图，在（2）的条件下，连接，．若，当，3DG CE 120BAC ∠=︒BD CD >150AEC ∠=︒时，请直接写出的值．BD DGCE -34．（2021·四川中考真题）如图，点D 在以AB 为直径的⊙O 上，过D 作⊙O 的切线交AB 延长线于点C ，于点E ，交⊙O 于点F ，连接AD ，FD ．AE CD ⊥（1）求证：；DAE DAC ∠=∠（2）求证：；DF AC AD DC ⋅=⋅（3）若，，求EF 的长．1sin 4C ∠=AD =35．（湖南省益阳市2021年中考数学真题）如图，在等腰锐角三角形中，，过点B 作ABC AB AC =于D ，延长交的外接圆于点E ，过点A 作于F ，的延长线交于BD AC ⊥BD ABC A AF CE ⊥,AE BC 点G ．（1）判断是否平分，并说明理由；EA DEF ∠（2）求证：①；②．BD CF =22BD DE AE EG =+⋅36．（2021·湖南中考真题）如图①，是等腰的斜边上的两动点，E F 、Rt ABC A BC 且．45,EAF CD BC ∠=︒⊥CD BE =（1）求证：；ABE ACD △≌△（2）求证：；222EF BE CF =+（3）如图②，作，垂足为H ，设，不妨设，请利用AH BC ⊥,EAH FAH αβ∠=∠=AB =（2）的结论证明：当时，成立．45αβ+=︒tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-⋅37．（2021·黑龙江中考真题）如图所示，四边形为正方形，在中，ABCD A ECH 的延长线与的延长线交于点，点在同一条直线上．90,,ECH CE CH HE ∠=︒=CD F D B H 、、（1）求证：；CDE CBH A A ≌（2）当时，求的值；15HB HD =FD FC（3）当时，求的值．3,4HB HG ==sin CFE ∠38．（2021·四川中考真题）如图，为的直径，C 为上一点，连接，D 为延长线AB O A O A ,AC BC AB 上一点，连接，且．CD BCD A ∠=∠（1）求证：是的切线；CD O A（2）若，的面积为的长；O A ABC A CD （3）在（2）的条件下，E 为上一点，连接交线段于点F ，若，求的长．O A CE OA 12EF CF =BF 39．（2021·湖南中考真题）如图，在中，点为斜边上一动点，将沿直线折Rt ABC △P BC ABP △AP 叠，使得点的对应点为，连接，，，．B B 'AB 'CB 'BB 'PB '（1）如图①，若，证明：．PB AC '⊥PB AB ''=（2）如图②，若，，求的值．AB AC =3BP PC =cos B AC '∠（3）如图③，若，是否存在点，使得．若存在，求此时的值；若不存30ACB ∠=︒P AB CB '=PCBC 在，请说明理由．40．（2021·浙江中考真题）（推理）如图1，在正方形ABCD 中，点E 是CD 上一动点，将正方形沿着BE 折叠，点C 落在点F 处，连结BE ，CF ，延长CF 交AD 于点G ．（1）求证：．BCE CDG △△≌（运用）（2）如图2，在（推理）条件下，延长BF 交AD 于点H ．若，，求线段DE 的长．45HD HF =9CE =（拓展）（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE 折叠，连结CF ，延长CF ，BF 交直线AD 于G ，两点，若AB k BC =，，求的值（用含k 的代数式表示）．45HD HF =DE EC 41．（2021·江苏中考真题）已知正方形ABCD 与正方形AEFG ，正方形AEFG 绕点A 旋转一周．(1)如图①，连接BG 、CF ，求的值；CFBG(2)当正方形AEFG 旋转至图②位置时，连接CF 、BE ，分别去CF 、BE 的中点M 、N ，连接MN 、试探究：MN 与BE 的关系，并说明理由；(3)连接BE 、BF ，分别取BE 、BF 的中点N 、Q ，连接QN ，AE =6，请直接写出线段QN 扫过的面积．42．（2021·湖北中考真题）在矩形中，，，是对角线上不与点，重合ABCD 2AB =4=AD F AC A C 的一点，过作于，将沿翻折得到，点在射线上，连接．F FE AD ⊥E AEF A EF GEF △G AD CG （1）如图1，若点的对称点落在上，，延长交于，连接．A G AD 90FGC ∠=︒GF AB H CH①求证：；CDG GAH △∽△②求．tan GHC ∠（2）如图2，若点的对称点落在延长线上，，判断与是否全等，A G AD 90GCF ∠=︒GCF A AEF A 并说明理由．。

2021年江苏省中考数学真题分类汇编：图形的变化(附答案解析)

2021年江苏省中考数学真题分类汇编：图形的变化(附答案解析)

2021年江苏省中考数学真题分类汇编：图形的变化一．选择题（共10小题）1．（2021•泰州）如图所示几何体的左视图是（）A．B．C．D．2．（2021•常州）观察如图所示脸谱图案，下列说法正确的是（）A．它是轴对称图形，不是中心对称图形B．它是中心对称图形，不是轴对称图形C．它既是轴对称图形，也是中心对称图形D．它既不是轴对称图形，也不是中心对称图形3．（2021•无锡）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．（2021•盐城）如图是由4个小正方形体组合成的几何体，该几何体的主视图是（）A．B．C．D．5．（2021•连云港）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在点D1、C1的位置，ED1的延长线交BC于点G，若∠EFG＝64°，则∠EGB等于（）A．128°B．130°C．132°D．136°6．（2021•南京）如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板．在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（）A．B．C．D．7．（2021•苏州）如图，在方格纸中，将Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A′O′B，则下列四个图形中正确的是（）A．B．C．D．8．（2021•南通）如图，根据三视图，这个立体图形的名称是（）A．三棱柱B．圆柱C．三棱锥D．圆锥9．（2021•宿迁）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在点D处，折痕为MN，已知AB ＝8，AD＝4，则MN的长是（）A．B．2C．D．410．（2021•连云港）如图，△ABC中，BD⊥AB，BD、AC相交于点D，AD＝AC，AB＝2，∠ABC＝150°，则△DBC的面积是（）A．B．C．D．二．填空题（共10小题）11．（2021•常州）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，D、E分别在CA、CB上，点F在△ABC内．若四边形CDFE是边长为1的正方形，则sin∠FBA＝．12．（2021•徐州）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BA、BC上，且＝＝，△DBE与四边形ADEC的面积的比．13．（2021•无锡）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝6，点E在线段AC上，且AE＝1，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时，AF＝．14．（2021•苏州）如图，射线OM，ON互相垂直，OA＝8，点B位于射线OM的上方，且在线段OA的垂直平分线l上，连接AB，AB＝5．将线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段A′B′，若点B′恰好落在射线ON上，则点A′到射线ON的距离d ＝．15．（2021•南通）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为海里（结果保留根号）．16．（2021•常州）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在△ABC中，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，过点A 作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成矩形BCHG．若DE＝3，AF＝2，则△ABC 的面积是．17．（2021•盐城）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E、F分别是边BC、CD上一点，EF⊥AE，将△ECF沿EF翻折得△EC′F，连接AC′，当BE＝时，△AEC′是以AE为腰的等腰三角形．18．（2021•宿迁）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D、E分别在BC、AC上，CD ＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是．19．（2021•连云港）如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D．若BF＝3FE，则＝．20．（2021•南京）如图，将▱ABCD绕点A逆时针旋转到▱A′B′C′D′的位置，使点B′落在BC上，B′C′与CD交于点E．若AB＝3，BC＝4，BB′＝1，则CE的长为．三．解答题（共10小题）21．（2021•盐城）如图，O为线段PB上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O交PB于点A，点C在⊙O上，连接PC，满足PC2＝P A•PB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若AB＝3P A，求的值．22．（2021•南京）如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D．测得CD＝80m，∠ACD＝90°，∠BCD＝45°，∠ADC＝19°17′，∠BDC＝56°19′．设A，B，C，D在同一平面内，求A，B两点之间的距离．（参考数据：tan19°17′≈0.35，tan56°19′≈1.50．）23．（2021•泰州）如图，游客从旅游景区山脚下的地面A处出发，沿坡角α＝30°的斜坡AB步行50m至山坡B处，乘直立电梯上升30m至C处，再乘缆车沿长为180m的索道CD至山顶D处，此时观测C处的俯角为19°30′，索道CD看作在一条直线上．求山顶D的高度．（精确到1m，sin19°30′≈0.33，cos19°30′≈0.94，tan19°30′≈0.35）24．（2021•盐城）某种落地灯如图1所示，AB为立杆，其高为84cm；BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC长为54cm；DE为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度．支杆BC与悬杆DE之间的夹角∠BCD为60°．（1）如图2，当支杆BC与地面垂直，且CD的长为50cm时，求灯泡悬挂点D距离地面的高度；（2）在图2所示的状态下，将支杆BC绕点B顺时针旋转20°，同时调节CD的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点D到地面的距离为90cm，求CD的长．（结果精确到1cm，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）25．（2021•徐州）如图，斜坡AB的坡角∠BAC＝13°，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点A，过其另一端D安装支架DE，DE所在的直线垂直于水平线AC，垂足为点F，E为DF与AB的交点．已知AD＝100cm，前排光伏板的坡角∠DAC＝28°．（1）求AE的长（结果取整数）；（2）冬至日正午，经过点D的太阳光线与AC所成的角∠DGA＝32°，后排光伏板的前端H在AB上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则EH的最小值为多少（结果取整数）？参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45．锐角A13°28°32°三角函数sin A0.220.470.53cos A0.970.880.85tan A0.230.530.6226．（2021•无锡）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AC与BD交于点E，PB切⊙O于点B．（1）求证：∠PBA＝∠OBC；（2）若∠PBA＝20°，∠ACD＝40°，求证：△OAB∽△CDE．27．（2021•宿迁）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）．28．（2021•连云港）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿AB摆成如图1所示．已知AB＝4.8m，鱼竿尾端A离岸边0.4m，即AD＝0.4m．海面与地面AD平行且相距1.2m，即DH＝1.2m．（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线BC与海面HC的夹角∠BCH＝37°，海面下方的鱼线CO与海面HC垂直，鱼竿AB与地面AD的夹角∠BAD＝22°．求点O到岸边DH的距离；（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD＝53°，此时鱼线被拉直，鱼线BO＝5.46m，点O恰好位于海面．求点O到岸边DH的距离．（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）29．（2021•苏州）如图，在矩形ABCD中，线段EF、GH分别平行于AD、AB，它们相交于点P，点P1、P2分别在线段PF、PH上，PP1＝PG，PP2＝PE，连接P1H、P2F，P1H 与P2F相交于点Q．已知AG：GD＝AE：EB＝1：2，设AG＝a，AE＝b．（1）四边形EBHP的面积四边形GPFD的面积（填“＞”、“＝”或“＜”）（2）求证：△P1FQ∽△P2HQ；（3）设四边形PP1QP2的面积为S1，四边形CFQH的面积为S2，求的值．30．（2021•常州）在平面直角坐标系xOy中，对于A、A′两点，若在y轴上存在点T，使得∠ATA′＝90°，且TA＝TA′，则称A、A′两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点M（﹣2，0）、N（﹣1，0），点Q（m，n）在一次函数y＝﹣2x+1的图象上．（1）①如图，在点B（2，0）、C（0，﹣1）、D（﹣2，﹣2）中，点M的关联点是（填“B”、“C”或“D”）；②若在线段MN上存在点P（1，1）的关联点P′，则点P′的坐标是；（2）若在线段MN上存在点Q的关联点Q′，求实数m的取值范围；（3）分别以点E（4，2）、Q为圆心，1为半径作⊙E、⊙Q．若对⊙E上的任意一点G，在⊙Q上总存在点G′，使得G、G′两点互相关联，请直接写出点Q的坐标．2021年江苏省中考数学真题分类汇编：图形的变化参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2021•泰州）如图所示几何体的左视图是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【专题】投影与视图；空间观念．【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定则可．【解答】解：从左边看，是一列两个矩形．故选：C．【点评】本题主要考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，正确掌握观察角度是解题关键．2．（2021•常州）观察如图所示脸谱图案，下列说法正确的是（）A．它是轴对称图形，不是中心对称图形B．它是中心对称图形，不是轴对称图形C．它既是轴对称图形，也是中心对称图形D．它既不是轴对称图形，也不是中心对称图形【考点】轴对称图形；中心对称图形．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．据此判断即可．【解答】解：该图是轴对称图形，不是中心对称图形．故选：A．【点评】此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，熟记相关定义是解答本题的关键．3．（2021•无锡）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】轴对称图形；中心对称图形．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：A．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．（2021•盐城）如图是由4个小正方形体组合成的几何体，该几何体的主视图是（）A．B．C．D．【考点】展开图折叠成几何体；简单组合体的三视图．【专题】投影与视图；空间观念．【分析】根据主视图的意义画出相应的图形，再进行判断即可．【解答】解：该组合体的主视图如下：故选：A．【点评】本题考查简单组合体的主视图，理解主视图的意义是正确判断的前提．5．（2021•连云港）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在点D1、C1的位置，ED1的延长线交BC于点G，若∠EFG＝64°，则∠EGB等于（）A．128°B．130°C．132°D．136°【考点】平行线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【分析】在矩形ABCD中，AD∥BC，则∠DEF＝∠EFG＝64°，∠EGB＝∠DEG，又由折叠可知，∠GEF＝∠DEF，可求出∠DEG的度数，进而得到∠EGB的度数．【解答】解：如图，在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFG＝64°，∠EGB＝∠DEG，由折叠可知∠GEF＝∠DEF＝64°，∴∠DEG＝128°，∴∠EGB＝∠DEG＝128°，故选：A．【点评】本题主要考查平行线的性质，折叠的性质等，掌握折叠前后角度之间的关系是解题的基础．6．（2021•南京）如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板．在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（）A．B．C．D．【考点】正方形的性质；中心投影．【专题】投影与视图；空间观念；几何直观．【分析】根据正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，则在地面上的投影关于对角线对称，因为灯在纸板上方，所以上方投影比下方投影要长．【解答】解：根据正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，∴在地面上的投影关于对角线对称，∵灯在纸板上方，∴上方投影比下方投影要长，故选：D．【点评】本题主要考查中心投影的知识，弄清题目中光源和纸板的相对位置是解题的关键．7．（2021•苏州）如图，在方格纸中，将Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt △A′O′B，则下列四个图形中正确的是（）A．B．C．D．【考点】旋转的性质．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【分析】本题主要考查旋转的性质，旋转过程中图形形状和大小都不发生变化，根据旋转性质判断即可．【解答】解：A选项是原图形的对称图形，故A不正确；B选项是Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A′O′B，故B正确；C选项旋转后的对应点错误，即形状发生了改变，故C不正确；D选项是按逆时针方向旋转90°，故D不正确；故选：B．【点评】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握并应用旋转的性质是解题的关键，重点注意旋转的方向和角度．8．（2021•南通）如图，根据三视图，这个立体图形的名称是（）A．三棱柱B．圆柱C．三棱锥D．圆锥【考点】由三视图判断几何体．【专题】投影与视图；空间观念．【分析】从正视图以及左视图都为一个长方形，俯视图三角形来看，可以确定这个几何体为一个三棱柱．【解答】解：根据三视图可以得出立体图形是三棱柱，故选：A．【点评】本题考查了由几何体的三种视图判断出几何体的形状，应从所给几何体入手分析得出是解题关键．9．（2021•宿迁）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在点D处，折痕为MN，已知AB ＝8，AD＝4，则MN的长是（）A．B．2C．D．4【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；推理能力．【分析】由折叠的性质可得BM＝MD，BN＝DN，∠DMN＝∠BMN，可证四边形BMDN 是菱形，在Rt△ADM中，利用勾股定理可求BM的长，由菱形的面积公式可求解．【解答】解：如图，连接BD，BN，∵折叠矩形纸片ABCD，使点B落在点D处，∴BM＝MD，BN＝DN，∠DMN＝∠BMN，∵AB∥CD，∴∠BMN＝∠DNM，∴∠DMN＝∠DNM，∴DM＝DN，∴DN＝DM＝BM＝BN，∴四边形BMDN是菱形，∵AD2+AM2＝DM2，∴16+AM2＝（8﹣AM）2，∴AM＝3，∴DM＝BM＝5，∵AB＝8，AD＝4，∴BD＝＝＝4，∵S菱形BMDN＝×BD×MN＝BM×AD，∴4×MN＝2×5×4，∴MN＝2，故选：B．【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，菱形判定和性质，勾股定理，求出BM的长是解题的关键．10．（2021•连云港）如图，△ABC中，BD⊥AB，BD、AC相交于点D，AD＝AC，AB＝2，∠ABC＝150°，则△DBC的面积是（）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形．【专题】三角形；几何直观．【分析】过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E，可得△ABD∽△CED，可得＝＝，由AD＝AC，AB＝2，可求出CE的长，又∠ABC＝150°，∠ABD＝90°，则∠CBD＝60°，解直角△BCE，可分别求出BE和BD的长，进而可求出△BCD的面积．【解答】解：如图，过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E，则∠E＝90°，∵BD⊥AB，CE⊥BD，∴AB∥CE，∠ABD＝90°，∴△ABD∽△CED，∴＝＝，∵AD＝AC，∴＝，∴＝＝＝，则CE＝，∵∠ABC＝150°，∠ABD＝90°，∴∠CBE＝60°，∴BE＝CE＝，∴BD＝BE＝，∴S△BCD＝•BD•CE＝×＝．故选：A．【点评】本题主要考查三角形的面积，相似三角形的性质与判定，解直角三角形等，看到面积或特殊角作垂线是常见的解题思路，也是解题关键．二．填空题（共10小题）11．（2021•常州）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，D、E分别在CA、CB上，点F在△ABC内．若四边形CDFE是边长为1的正方形，则sin∠FBA＝．【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】连接AF，过点F作FG⊥AB于G，由四边形CDFE是边长为1的正方形可得AD＝2，BE＝3，根据勾股定理求出AB＝5，AF＝，BF＝，设BG＝x，利用勾股定理求出x＝3，可得FG＝1，即可得sin∠FBA的值．【解答】解：连接AF，过点F作FG⊥AB于G，∵四边形CDFE是边长为1的正方形，∴CD＝CE＝DF＝EF＝1，∠C＝∠ADF＝90°，∵AC＝3，BC＝4，∴AD＝2，BE＝3，∴AB＝＝5，AF＝＝，BF＝＝，设BG＝x，∵FG2＝AF2﹣AG2＝BF2﹣BG2，∴5﹣（5﹣x）2＝10﹣x2，解得：x＝3，∴FG＝＝1，∴sin∠FBA＝＝．故答案为：．【点评】此题综合考查了正方形、锐角三角函数的定义及勾股定理．根据勾股定理求出BG的长是解题的关键．12．（2021•徐州）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BA、BC上，且＝＝，△DBE与四边形ADEC的面积的比．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】三角形；图形的相似；推理能力；应用意识．【分析】先由＝＝，设AD＝3m，DB＝2m，CE＝3k，EB＝2k，证明＝，又∠B＝∠B，可证明△DBE～△ABC．进而可得相似比为，面积比＝＝，从而可得S△DBE：S四边形ADEC＝4：21．【解答】解：∵＝＝，则设AD＝3m，DB＝2m，CE＝3k，EB＝2k，∴＝，＝，∴＝，又∠B＝∠B，∴△DBE～△ABC．相似比为，面积比＝＝，设S△DBE＝4a，则S△ABC＝25a，∴S四边形ADEC＝25a﹣4a＝21a，∴S△DBE：S四边形ADEC＝．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明△DBE～△ABC得出相似比是解题的关键．13．（2021•无锡）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝6，点E在线段AC上，且AE＝1，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时，AF＝．【考点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）．【专题】平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】由折叠的性质可得AB＝FG＝2，AE＝EF＝1，∠BAC＝∠EFG＝90°，在Rt△EFG中，由勾股定理可求EG＝3，由锐角三角函数可求EH，HF的长，在Rt△AHF 中，由勾股定理可求AF．【解答】解：如图，过点F作FH⊥AC于H，∵将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，∴AB＝FG＝2，AE＝EF＝1，∠BAC＝∠EFG＝90°，∴EG＝＝＝3，∵sin∠FEG＝，∴，∴HF＝，∵cos∠FEG＝，∴，∴EH＝，∴AH＝AE+EH＝，∴AF＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了翻折变换，考查了折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，构造直角三角形是解题的关键．14．（2021•苏州）如图，射线OM，ON互相垂直，OA＝8，点B位于射线OM的上方，且在线段OA的垂直平分线l上，连接AB，AB＝5．将线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段A′B′，若点B′恰好落在射线ON上，则点A′到射线ON的距离d＝．【考点】线段垂直平分线的性质；旋转的性质．【专题】综合题；推理填空题；平移、旋转与对称；应用意识．【分析】设OA的垂直平分线与OA交于C，将线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段A′B′，C随之旋转到C'，过A'作A'H⊥ON于H，过C'作C'D⊥ON于D，过A'作A'E⊥DC'于E，由OA＝8，AB＝5，BC是OA的垂直平分线，可得OB＝5，OC＝AC ＝4，BC＝3，cos∠BOC＝＝，sin∠BOC＝＝，证明∠BOC＝∠B'C'D＝∠C'A'E，从而在Rt△B'C'D中求出C'D＝，在Rt△A'C'E中，求出C'E＝，得DE＝C'D+C'E ＝，即可得到A'到ON的距离是．【解答】解：设OA的垂直平分线与OA交于C，将线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段A′B′，C随之旋转到C'，过A'作A'H⊥ON于H，过C'作C'D⊥ON于D，过A'作A'E⊥DC'于E，如图：∵OA＝8，AB＝5，BC是OA的垂直平分线，∴OB＝5，OC＝AC＝4，BC＝3，cos∠BOC＝＝，sin∠BOC＝＝，∵线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段A′B′，C随之旋转到C'，∴B'C'＝BC＝3，A'C'＝AC＝4，∠BOC＝∠B'OC'，∵∠B'C'D＝∠B'C'O﹣∠DC'O＝90°﹣∠DC'O＝∠B'OC'，∴cos∠B'C'D＝，Rt△B'C'D中，＝，即＝，∴C'D＝，∵AE∥ON，∴∠B'OC'＝∠C'A'E，∴sin∠C'AE＝sin∠B'OC'＝sin∠BOC＝，Rt△A'C'E中，＝，即＝，∴C'E＝，∴DE＝C'D+C'E＝，而A'H⊥ON，C'D⊥ON，A'E⊥DC'，∴四边形A'EDH是矩形，∴A'H＝DE，即A'到ON的距离是．故答案为：．方法二：过A作AC⊥OB于C，如图：由旋转可知：点A′到射线ON的距离d＝AC，∵OB•AC＝OA•BD，∴AC＝＝．【点评】本题考查线段的垂直平分线及旋转变换，涉及三角函数及矩形等知识，解题的关键是在Rt△B'C'D中和Rt△A'C'E中，求出求出C'D＝，C'E＝．15．（2021•南通）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为25海里（结果保留根号）．【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【分析】过点P作PC⊥AB，在Rt△APC中由锐角三角函数定义求出PC的长，再在Rt △BPC中由锐角三角函数定义求出PB的长即可．【解答】解：过P作PC⊥AB于C，如图所示：由题意得：∠APC＝30°，∠BPC＝45°，P A＝50海里，在Rt△APC中，cos∠APC＝，∴PC＝P A•cos∠APC＝50×＝25（海里），在Rt△PCB中，cos∠BPC＝，∴PB＝＝＝25（海里），故答案为：25．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题以及锐角三角函数定义；熟练掌握锐角三角函数定义，求出PC的长是解题的关键．16．（2021•常州）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在△ABC中，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，过点A 作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成矩形BCHG．若DE＝3，AF＝2，则△ABC 的面积是12．【考点】数学常识；三角形的面积；三角形中位线定理；矩形的判定；图形的剪拼．【专题】作图题；应用意识．【分析】根据图形的拼剪，求出BC以及BC边上的高即可解决问题．【解答】解：由题意，BG＝CH＝AF＝2，DG＝DF，EF＝EH，∴DG+EH＝DE＝3，∴BC＝GH＝3+3＝6，∴△ABC的边BC上的高为4，∴S△ABC＝×6×4＝12，故答案为：12．【点评】本题考查图形的拼剪，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．17．（2021•盐城）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E、F分别是边BC、CD上一点，EF⊥AE，将△ECF沿EF翻折得△EC′F，连接AC′，当BE＝或时，△AEC′是以AE为腰的等腰三角形．【考点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】分类讨论；推理能力．【分析】设BE＝x，则EC＝4﹣x，由翻折得：EC′＝EC＝4﹣x．当AE＝EC′时，由勾股定理得：32+x2＝（4﹣x）2；当AE＝AC’时，作AH⊥EC’，由∠AEF＝90°，EF平方∠CEC′可证得∠AEB＝∠AEH，则△ABE≌△AHE，所以BE＝HE＝x，由三线合一得EC′＝2EH，即4﹣x＝2x，解方程即可．【解答】解：设BE＝x，则EC＝4﹣x，由翻折得：EC′＝EC＝4﹣x，当AE＝EC′时，AE＝4﹣x，∵矩形ABCD，∴∠B＝90°，由勾股定理得：32+x2＝（4﹣x）2，解得：，当AE＝AC′时，如图，作AH⊥EC′∵EF⊥AE，∴∠AEF＝∠AEC′+∠FEC′＝90°，∴∠BEA+∠FEC＝90°，∵△ECF沿EF翻折得△ECF，∴∠FEC′＝∠FEC，∴∠AEB＝∠AEH，∵∠B＝∠AHE＝90°，AH＝AH，∴△ABE≌△AHE（AAS），∴BE＝HE＝x，∵AE＝AC′时，作AH⊥EC′，∴EC′＝2EH，即4﹣x＝2x，解得，综上所述：BE＝或．故答案为：或．【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，涉及到方程思想和分类讨论思想．当AE＝AC′时如何列方程，有一定难度．18．（2021•宿迁）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D、E分别在BC、AC上，CD ＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是．【考点】平行线分线段成比例．【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．【分析】连接DE．首先证明DE∥AB，推出S△ABE＝S△ABD，推出S△AEF＝S△BDF，可得S＝S△ABD，求出△ABD面积的最大值即可解决问题．△AEF【解答】解：连接DE．∵CD＝2BD，CE＝2AE，∴＝＝2，∴DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∴＝＝，∴＝＝，∵DE∥AB，∴S△ABE＝S△ABD，∴S△AEF＝S△BDF，∴S△AEF＝S△ABD，∵BD＝BC＝，∴当AB⊥BD时，△ABD的面积最大，最大值＝××4＝，∴△AEF的面积的最大值＝×＝，故答案为：【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是证明DE∥AB，推出S△AEF＝S△ABD，属于中考常考题型．19．（2021•连云港）如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D．若BF＝3FE，则＝．【考点】平行线分线段成比例．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】过点E作EG∥DC交AD于G，可得△AGE∽△ADC，所以，得到DC＝2GE；再根据△GFE∽△DFB，得＝＝，所以，即＝．【解答】解：如图，∵BE是△ABC的中线，∴点E是AC的中点，∴＝，过点E作EG∥DC交AD于G，∴∠AGE＝∠ADC，∠AEG＝∠C，∴△AGE∽△ADC，∴，∴DC＝2GE，∵BF＝3FE，∴，∵GE∥BD，∴∠GEF＝∠FBD，∠EGF＝∠BDF，∴△GFE∽△DFB，∴＝＝，∴，∴＝，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，过点E作EG∥DC，构造相似三角形是解题的关键．20．（2021•南京）如图，将▱ABCD绕点A逆时针旋转到▱A′B′C′D′的位置，使点B′落在BC上，B′C′与CD交于点E．若AB＝3，BC＝4，BB′＝1，则CE的长为．【考点】平行四边形的性质；旋转的性质；解直角三角形的应用．【专题】三角形；解直角三角形及其应用；运算能力．【分析】过点A作AM⊥BC于点M，过点B作BN⊥AB′于点N，过点E作EG⊥BC，交BC的延长线于点G．BM＝B′M＝，由勾股定理可得，AM＝＝，由等面积法可得，BN＝，由勾股定理可得，AN＝＝＝，由题可得，△AMB∽△EGC，△ANB∽△B′GE，则＝＝，＝＝，设CG＝a，则EG＝a，B′G＝3+a，则＝，解得a＝．最后由勾股定理可得，EC＝＝＝．【解答】解：法一、如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点B作BN⊥AB′于点N，过点E作EG⊥BC，交BC的延长线于点G．由旋转可知，AB＝AB′＝3，∠ABB′＝∠AB′C′，∴∠ABB′＝∠AB′B＝∠AB′C′，∵BB′＝1，AM⊥BB′，∴BM＝B′M＝，∴AM＝＝，∵S△ABB′＝＝，∴××1＝•BN×3，则BN＝，∴AN＝＝＝，∵AB∥DC，∴∠ECG＝∠ABC，∵∠AMB＝∠EGC＝90°，∴△AMB∽△EGC，∴＝＝＝，设CG＝a，则EG＝a，∵∠ABB′+∠AB′B+∠BAB′＝180°，∠AB′B+∠AB′C′+∠C′B′C＝180°，又∵∠ABB′＝∠AB′B＝∠AB′C′，∴∠BAB′＝∠C′B′C，∵∠ANB＝∠EGC＝90°，∴△ANB∽△B′GE，∴＝＝＝，∵BC＝4，BB′＝1，∴B′C＝3，B′G＝3+a，∴＝，解得a＝．∴CG＝，EG＝，∴EC＝＝＝．故答案为：．法二、如图，连接DD'，由旋转可知，∠BAB′＝∠DAD′，AB′＝AB＝3，AD′＝AD＝4，∴△BAB′∽△DAD′，∴AB：BB′＝AD：DD′＝3：1，∠AD′D＝∠AB′B＝∠B，∴DD′＝，又∵∠D′＝∠AB′C′＝∠B，∠B＝∠AB′B，∴∠D′＝∠B，即点D′，D，C′在同一条直线上，∴DC′＝，又∠C′＝∠ECB′，∠DEC′＝∠B′EC，∴△CEB’∽△C'ED，∴B′E：DE＝CE：C′E＝B′C：DC′，即B′E：DE＝CE：C′E＝3：，设CE＝x，B'E＝y，∴x：（4﹣y）＝y：（3﹣x）＝3：，∴x＝．故答案为：．【点评】本题主要考考查平行四边形的性质，等腰三角形三线合一，相似三角形的性质与判定，解直角三角形的应用等，构造正确的辅助线是解题关键．三．解答题（共10小题）21．（2021•盐城）如图，O为线段PB上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O交PB于点A，点C在⊙O上，连接PC，满足PC2＝P A•PB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若AB＝3P A，求的值．【考点】圆周角定理；点与圆的位置关系；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质．【专题】与圆有关的位置关系；图形的相似；推理能力．【分析】（1）由PC2＝P A•PB得，可证得△P AC∽△PCB，根据相似三角形的性质得∠PCA＝∠B，根据圆周角定理得∠ACB＝90°，则∠CAB+∠B＝90°，由OA＝OC 得∠CAB＝∠OCA，等量代换可得∠PCA+∠OCA＝90°，即OC⊥PC，即可得出结论；（2）由AB＝3P A可得PB＝4P A，OA＝OC＝1.5P A，根据勾股定理求出PC＝2P A，根据相似三角形的性质即可得出的值．【解答】（1）证明：连接OC，∵PC2＝P A•PB，∴，∵∠P＝∠P，∴△P AC∽△PCB，∴∠PCA＝∠B，∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，∵OA＝OC，∴∠CAB＝∠OCA，∴∠PCA+∠OCA＝90°，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；（2）解：∵AB＝3P A，∴PB＝4P A，OA＝OC＝1.5P A，PO＝2.5P A，∵OC⊥PC，∴PC＝＝2P A，∵△P AC∽△PCB，∴＝＝＝．【点评】本题考查三角形相似的判定与性质，考查切线的判定，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理及相似三角形的判定等知识点的综合运用．22．（2021•南京）如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D．测得CD＝80m，∠ACD＝90°，∠BCD＝45°，∠ADC＝19°17′，∠BDC＝56°19′．设A，B，C，D在同一平面内，求A，B两点之间的距离．（参考数据：tan19°17′≈0.35，tan56°19′≈1.50．）【考点】解直角三角形的应用．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【分析】过B作BE⊥CD于E，过A作AF⊥BE于F，由已知△BCE是等腰直角三角形，设CE＝x，则BE＝x，DE＝（80﹣x）m，在Rt△BDE中，可得＝1.5，解得BE＝CE＝48m，在Rt△ACD中，解得AC＝28m，根据四边形ACEF是矩形，可得AF＝CE＝48m，EF＝AC＝28m，BF＝20m，即可在Rt△ABF中，求出AB＝＝52（m）【解答】解：过B作BE⊥CD于E，过A作AF⊥BE于F，如图：∵∠BCD＝45°，∴△BCE是等腰直角三角形，设CE＝x，则BE＝x，∵CD＝80m，∴DE＝（80﹣x）m，Rt△BDE中，∠BDC＝56°19'，∴tan56°19'＝，即＝1.5，解得x＝48（m），∴BE＝CE＝48m，Rt△ACD中，∠ADC＝19°17′，CD＝80m，∴tan19°17'＝，即＝0.35，解得AC＝28m，∵∠ACD＝90°，BE⊥CD于E，AF⊥BE，∴四边形ACEF是矩形，∴AF＝CE＝48m，EF＝AC＝28m，∴BF＝BE﹣EF＝20m，Rt△ABF中，AB＝＝＝52（m），答：A，B两点之间的距离是52m．【点评】本题考查解直角三角形的应用，涉及勾股定理、矩形判定及性质等知识，解题的关键是适当添加辅助线，构造直角三角形．23．（2021•泰州）如图，游客从旅游景区山脚下的地面A处出发，沿坡角α＝30°的斜坡AB步行50m至山坡B处，乘直立电梯上升30m至C处，再乘缆车沿长为180m的索道CD至山顶D处，此时观测C处的俯角为19°30′，索道CD看作在一条直线上．求山顶D的高度．（精确到1m，sin19°30′≈0.33，cos19°30′≈0.94，tan19°30′≈0.35）【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；模型思想．【分析】通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系分别求出DE，FG 即可．【解答】解：如图，过点B、C分别作CE⊥DG，BF⊥DG垂足为E、F，延长CB交AG 于点H，由题意可知，∠DCE＝19°30′，CD＝180m，BC＝EF＝30m，在Rt△ABH中，∠α＝30°，AB＝50m，∴BH＝AB＝25（m）＝FG，在Rt△DCE中，∠DCE＝19°30′，CD＝180m，∴DE＝sin∠DCE•CD≈0.33×180＝59.4（m），∴DG＝DE+EF+FG＝59.4+30+25＝114.4≈114（m），答：山顶D的高度约为114m．【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键..24．（2021•盐城）某种落地灯如图1所示，AB为立杆，其高为84cm；BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC长为54cm；DE为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度．支杆BC与悬杆DE之间的夹角∠BCD为60°．（1）如图2，当支杆BC与地面垂直，且CD的长为50cm时，求灯泡悬挂点D距离地面的高度；（2）在图2所示的状态下，将支杆BC绕点B顺时针旋转20°，同时调节CD的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点D到地面的距离为90cm，求CD的长．（结果精确到1cm，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）。

2021年上海中考数学母题讲次13 动态几何题-(教师版)

2021年上海中考数学母题讲次13 动态几何题-(教师版)

专题13动态几何题【母题来源1】（2019•上海中考真题）如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点．将△ABE沿直线BE翻折，点A落在点F处，联结DF，那么△EDF的正切值是．【答案】由折叠可得AE＝FE，△AEB＝△FEB，由折叠的性质以及三角形外角性质，即可得到△AEB＝△EDF，进而得到tan△EDF＝tan△AEB＝＝2．【解析】解：如图所示，由折叠可得AE＝FE，△AEB＝△FEB＝△AEF，△正方形ABCD中，E是AD的中点，△AE＝DE＝AD＝AB，△DE＝FE，△△EDF＝△EFD，又△△AEF是△DEF的外角，△△AEF＝△EDF+△EFD，△△EDF＝△AEF，△△AEB＝△EDF，△tan△EDF＝tan△AEB＝＝2．故答案为：2．【母题来源2】（2017•上海中考真题）一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C与F重合，边CA与边FE叠合，顶点B、C、D在一条直线上）．将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后（0＜n＜180 ），如果EF△AB，那么n的值是．【答案】分两种情形讨论，分别画出图形求解即可．【解析】解：△如图1中，EF△AB时，△ACE＝△A＝45°，△旋转角n＝45时，EF△AB．△如图2中，EF△AB时，△ACE+△A＝180°，△△ACE＝135°△旋转角n＝360﹣135＝225，△0＜n＜180，△此种情形不合题意，故答案为45【母题来源3】（2016•上海中考真题）如图所示，梯形ABCD中，AB△DC，△B＝90°，AD＝15，AB＝16，BC＝12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且△AGE＝△DAB．（1）求线段CD的长；（2）如果△AEG是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长；（3）如果点F在边CD上（不与点C、D重合），设AE＝x，DF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．【答案】（1）作DH△AB于H，如图1，易得四边形BCDH为矩形，则DH＝BC＝12，CD＝BH，再利用勾股定理计算出AH，从而得到BH和CD的长；（2）分类讨论：当EA＝EG时，则△AGE＝△GAE，则判断G点与D点重合，即ED＝EA，作EM△AD于M，如图1，则AM＝AD＝，通过证明Rt△AME△Rt△AHD，利用相似比可计算出此时的AE长；当GA＝GE 时，则△AGE＝△AEG，可证明AE＝AD＝15，（3）作DH△AB于H，如图2，则AH＝9，HE＝|x﹣9|，先利用勾股定理表示出DE＝，再证明△EAG△△EDA，则利用相似比可表示出EG＝，则可表示出DG，然后证明△DGF△△EGA，于是利用相似比可表示出x和y的关系．【解析】解：（1）作DH△AB于H，如图1，易得四边形BCDH为矩形，△DH＝BC＝12，CD＝BH，在Rt△ADH中，AH＝＝＝9，△BH＝AB﹣AH＝16﹣9＝7，△CD＝7；（2）△EA＝EG时，则△AGE＝△GAE，△△AGE＝△DAB，△△GAE＝△DAB，△G点与D点重合，即ED＝EA，作EM△AD于M，如图1，则AM＝AD＝，△△MAE＝△HAD，△Rt△AME△Rt△AHD，△AE：AD＝AM：AH，即AE：15＝：9，解得AE＝；△GA＝GE时，则△GAE＝△AEG，△△AGE＝△DAB，而△AGE＝△ADG+△DAG，△DAB＝△GAE+△DAG，△△GAE＝△ADG，△△AEG＝△ADG，△AE＝AD＝15．综上所述，△AEC是以EG为腰的等腰三角形时，线段AE的长为或15；（3）作DH△AB于H，如图2，则AH＝9，HE＝|x﹣9|，在Rt△HDE中，DE＝＝，△△AGE＝△DAB，△AEG＝△DEA，△△EAG△△EDA，△EG：AE＝AE：ED，即EG：x＝x：，△EG＝，△DG＝DE﹣EG＝﹣，△DF△AE，△△DGF△△EGA，△DF：AE＝DG：EG，即y：x＝（﹣）：，△y＝（9＜x＜）．1、抓住图形运动后角度和长度等性质的特点；2、寻找几何模型突破点；3、主要有以下几点思路：数量关系突破：1、勾股定理（比较初级，实用）；2、锐角三角比；3、相似；角度关系突破：平行，全等，相似，其他几何性质；4、分类讨论多种情况（可以以某一种情况切入），记得验证是否均满足题意，有些需要舍去；5、综合分析法，从已知和结果同时出发往中间靠（也就是寻找第3点的突破点）。

2021年中考数学压轴题专项训练06规律问题含解析

2021年中考数学压轴题专项训练06规律问题含解析

规律问题1．某种球形病毒的直径约是0.01纳米，一个该种病毒每经过一分钟就能繁殖出9个与自己完全相同的病毒，假如这种病毒在人体内聚集到一定数量，按这样的数量排列成一串，长度达到1分米时，人体就会感到不适．（1米9=10纳米）（1）从感染到第一个病毒开始，经过5分钟，人体内改种病毒的总长度是多少纳米？（2）从感染到第一个病毒开始，经过多少分钟，人体会感到不适？【答案】（1）从感染到第一个病毒开始，经过5分钟，人体内改种病毒的总长度是1000纳米；（2）从感染到第一个病毒开始，经过10分钟，人体会感到不适．【解析】解：（1）由题意可知：经过5分钟，人体内改种病毒的总长度是0.01×1×105=1000（纳米） 答：从感染到第一个病毒开始，经过5分钟，人体内改种病毒的总长度是1000纳米； （2）1分米=110米8=10纳米 而810÷（0.01×1）=1010∴从感染到第一个病毒开始，经过10分钟，人体会感到不适答：从感染到第一个病毒开始，经过10分钟，人体会感到不适．2．你会求()()20182017201621?··1a a a a a a -++++++的值吗？这个问题看上去很复杂，我们可以先考虑简单的情况，通过计算，探索规律：()()2111a a a -+=-()()23111a a a a -++=-()()324111a a a a a -+++=-（1）由上面的规律我们可以大胆猜想，得到()()201920182017211a a a a a a -+++⋅⋅⋅+++=_____；（2）利用上面的结论求2019201820172222221++++++的值． （3）求201920182017255554+++⋅⋅⋅++的值【答案】（1）20201a -；（2）202021-；（3）()20201594-． 【解析】（1）由题可以得到()()12211n n n a a a a a a ---++++++11n a +=-()()20192018211a a a a a ∴-+++++20201a =-（2）由结论得：2019201820172222221++++++()()2019201822122221=-⋅+++++ 202021=-（3）201920182017255554+++++()()2019201820172515555+5+1-24-+++=()202015124=-- ()20201594=- 3．计算|1﹣12|+|12﹣13|+|13﹣14|+…+|199﹣1100|． 【答案】99100【解析】解：111111112233499100-+-+-++- 111111=1223499100-+--++- 1=1100-99=100． 4．观察下列等式：第1个等式：11111212a ==-⨯；第2个等式：21112323a ==-⨯； 第3个等式：31113434a ==-⨯；第4个等式：41114545a ==-⨯； ……解答下列问题：（1）按以上规律写出第5个等式：5a =—————— = ——————．（2）求1232020a a a a ++++的值．（3）求111148812121620162020++++⨯⨯⨯⨯的值． 【答案】（1）156⨯，1156-；（2）20202021；（3）631010． 【解析】解：（1）第1个等式：11111212a ==-⨯； 第2个等式：21112323a ==-⨯； 第3个等式：31113434a ==-⨯；第4个等式：41114545a ==-⨯；…… 第5个等式：51115656a ==-⨯； 故答案为：156⨯；1156-； （2）12320201111111112233420202021a a a a ++++=-+-+-++- 112021=- 20202021=； （3）111148812121620162020++++⨯⨯⨯⨯ 812111111144820162020⎛⎫=⨯-+-++- ⎪⎝⎭111442020⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭150442020=⨯ 631010=． 5．阅读材料：求2342015122222+++++⋯+的值．解：设234201420151222222S =+++++⋯++，将等式的两边同乘以2，得234201520162222222S =++++⋯++将下式减去上式得，2016221S S -=-即201621S =-．即2342015201612222221+++++⋯+=-请你仿照此法计算：（1）填空：231222+++= ．（2）求2341012222+++++…+2的值．（3）求234111111()()()()33333n +++++⋯+的值．（其中n 为正整数） 【答案】（1）15；（2）2047；（3）311()223n -⨯． 【解析】解：（1）由题意可得，1+2+22+23=24-1=16-1=15，故答案为：15；（2）由题意可得，2341012222+++++…+2 1121=- 20481=- 2047=；（3）设234111111()()()()33333n S =+++++⋯+， 则23411111111()()()()()3333333n n S +=++++⋯++， 1111()33n S S +∴-=-， 1211()33n S +∴=-， 解得，311()223n S =-⨯， 即234111111()()()()33333n +++++⋯+的值是311()223n -⨯． 6．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，图是2020年1月份的日历，我们用如图所示的四边形框出五个数．2020年1月：（1）将每个四边形框中最中间位置的数去掉后，将相对的两对数分别相减，再相加，例如：(108)(162)16-+-=，(2119)(2713)16-+-=．不难发现，结果都是16．若设中间位置的数为n ，请用含n 的式子表示发现的规律，并写出验证过程．（2）用同样的四边形框再框出5个数，若其中最小数的2倍与最大数的和为56，求出这5个数中的最大数的值．（3）小明说：我用同样的四边形框也框出了5个数，其中最小数与最大数的积是120．请判断他的说法是否正确，并说明理由．【答案】（1）(1)(1)(7)(7)16n n n n +--++--=，见解析；（2）28；（3）正确，见解析【解析】（1）设中间位置的数为n ，左边数为1n -，右边数1n +，上面数7n -，下面数为7n +， 则(1)(1)(7)(7)16n n n n +--++--=（2）2(7)(7)56n n -++=，21n =，21728∴+=．（3）正确(7)(7)120n n -+=，13n ∴=- (舍去)或者13n =，可以存在．7．材料：若一个正整数，它的各个数位上的数字是左右对称的，则称这个正整数是对称数．例如：正整数22是两位对称数；正整数797是三位对称数；正整数4664是四位对称数；正整数12321是五位对称数． 根据材料，完成下列问题：（1）最大的两位对称数与最小的三位对称数的和为___________（2）若将任意一个四位对称数拆分为前两位数字顺次表示的两位数和后两位数字顺次表示的两位数，则这两个两位数的差一定能被9整除吗？请说明理由．（3）如果一个四位对称数的个位数字与十位数字的和等于10，并且这个四位对称数能被7整除，请求出满足条件的四位对称数．【答案】（1）200；（2）一定可以，理由见解析；（3）3773【解析】解：（1）最大的两位对称数是99，最小的三位对称数是101，99101200+=，故答案是：200；（2）设个位和千位上的数字是a ，十位和百位上的数字是b ，则这两位数分别是10a b +、10b a +，()101099a b b a a b +-+=-， 它们的差是99a b -，这个数是9的倍数，所以这个数一定可以被9整除；（3）设这个四位数的个位数是x ，则十位数是()10x -，这个数可以表示为()()1010100101000x x x x +-+-+，化简得8911100x +，令1x =，则这个数是1991，x=，则这个数是2882，令2x=，则这个数是3773，令3……x=，则这个数是9119，令9其中只有3773能够被7整除，∴满足条件的四位数是3773．8．用棱长为2cm的若干小正方体按如所示的规律在地面上搭建若干个几何体．图中每个几何体自上而下分别叫第一层、第二层，，第n层（n为正整数)（1）搭建第④个几何体的小立方体的个数为．（2）分别求出第②、③个几何体的所有露出部分（不含底面）的面积．1cm需要油漆0.2克，求喷涂（3）为了美观，若将几何体的露出部分都涂上油漆（不含底面），已知喷涂2第20个几何体，共需要多少克油漆？【答案】（1）30；（2）第②个几何体露出部分（不含底面）面积为264cm，第③个几何体露出部分（不含132cm；（3）992克．底面）面积为2【解析】（1）搭建第①个几何体的小立方体的个数为1，搭建第②个几何体的小立方体的个数为2+=+，1412搭建第③个几何体的小立方体的个数为22149123++=++，归纳类推得：搭建第④个几何体的小立方体的个数为22212341491630+++=+++=， 故答案为：30；（2）第②个几何体的三视图如下：由题意，每个小正方形的面积为2224()cm ⨯=，则第②个几何体的所有露出部分（不含底面）面积为()232324464()cm ⨯+⨯+⨯=； 第③个几何体的三视图如下：则第③个几何体的所有露出部分（不含底面）面积为()2626294132()cm ⨯+⨯+⨯=； （3）第20个几何体从第1层到第20层小立方体的个数依次为221,2,,20，则第20个几何体的所有露出部分（不含底面）面积为()()2221220212202044960()cm ⎡⎤⨯++++⨯++++⨯=⎣⎦，因此，共需要油漆的克数为49600.2992⨯=（克），答：共需要992克油漆．9． 阅读下列解题过程：=====请回答下列回题：（1）观察上面的解答过程，请写出= ； （2）请你用含n （n 为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律；（3）利用上面的解法，请化简： ......【答案】（1）10-（21=-（3）9．【解析】（1===10=-；故答案为：10-（21=-（31=-......=......=......=1-．10．先化简，再求值：(2x+x)2−(2x−x)(2x+x)−5xx，其中x=2019，x=−1.【答案】2021.【解析】原式=4x2+4xx+x2−（4x2−x2）−5xx=4x2+4xx+x2−4x2+x2−5xx，=2x2−xx，当x=2019，x=−1时，原式=2×（−1）2−2019×（−1）=202111．观察下列三行数，回答问题：-1、+3、-5、 +7、-9、 +11、……-3、 +1、-7、 +5、-11、+9、……+3、-9、 +15、-21、+27、-33、……（1）第①行第9个数是___________第②行第9个数是___________第③行第9个数是___________（2）在第②行中，是否存在连续的三个数，使其和为83？若存在，求这三个数；若不存在，说明理由．（3）是否存在第m列数（每行取第m个数），这三个数的和正好为-99？若存在，求m；若不存在，说明理由．【答案】（1）-17；-19；51．（2）存在，85，-91，89；（3）第m 列数不存在，理由见解析．【解析】（1）观察到第①行的规律是()()121n n --，第②行的规律是将第①行的数-2，第③行的规律是()()1163n n +--，因此当n=9时，第①行的数为-17∴第②行的数为-17-2=-19，第③行的数为()17351-⨯-=；（2）设第②行存在连续的三个数和为83，且第一个数为x ，若0x >，即x 在第②行中的偶数次列，满足第n 列的数为23n -（其中n 为正偶数），则()()6483x x x +--++=，得85x =，即2385,44n n -==，符合题意，x 在第②行第44列， 此时，连续的三个数依次为85，-91，89．若0x <，即x 在第②行中的奇数次列，满足第n 列的数为21n --（其中n 为正奇数），则()()2483x x x +--+-=，得89x =，即2189n --=，45n =-，不符合题意，故舍去，综上所述，存在这样连续的三个数使和为83，依次为85，-91，89．（3）设存在第m 列数使三个数的和为-99，且此列第①行的数为y ，则第m 列第②行的数为2y -，第③行的数为3y ，()2399y y y +-+-=-，得97y ，又第①行中奇数次列为负，偶数次列为正，()971249+÷=，即97在第①行第49列，应为负，故假设不成立， 所以，这样的第m 列数不存在．12．回答下列问题：（1）填空：()()a b a b -+=___________________；()()22a b a ab b -++=_____________________；()()3223a b a a b ab b -+++=______________________．（2）猜想：()()1221n n n n a b a a b ab b -----++++=___________________．（其中n 为正整数，且2n ≥）；（3）利用（2）猜想的结论计算：①10987322222222+++++++； ②10987322222222-+-+-+-．【答案】（1）22a b -；33a b -；44a b -；（2）n n a b -；（3）①2046；②682【解析】解：()()22a b a b a b -+=-； ()()22a b a ab b -++322223=++---a a b ab a b ab b33=-a b ；()()3223a b a a b ab b -+++4322332234=+++----a a b a b ab a b a b ab b44a b =-；故答案为：22a b -；33a b -；44a b -；（2）根据（1）中的规律，可得猜想：()()1221-----++++=-n n n n n b a b a a b ab b a b （其中n 为正整数，且2n ≥），故答案为：n n a b -； （3）①10987322222222+++++++1098732222222211=++++++++-10982733728910(21)(22121212121211)1=-+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯+- 11211=--204811=--2046=；②10987322222222-+-+-+-1098732222222211=-+-+-+-+-109827337289101[2(1)][22(1)2(1)2(1)2(1)2(1)2(1)(1)]13=⨯--+⨯-+⨯-+⨯-++⨯-+⨯-+⨯-+--11111[2(1)]13=⨯---1=⨯-20491 3=-6831 =．682。

2021年九年级中考数学 专题训练：全等三角形(含答案)

2021年九年级中考数学 专题训练：全等三角形(含答案)

2021中考数学专题训练：全等三角形一、选择题1. 如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，且PD＝PE，则△APD与△APE 全等的理由是()A．SAS B．AAA C．SSS D．HL2. 如图，△ABC≌△EDF，DF=BC，AB=ED，AC=15，EC=10，则CF的长是()A.5B.8C.10D.153. 如图，AB⊥CD，且AB=CD.E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE=a，BF=b，EF=c，则AD的长为()A.a+cB.b+cC.a-b+cD.a+b-c4. 如图所示，△ABD≌△CDB，下列四个结论中，不正确的是()A.△ABD和△CDB的面积相等B.△ABD和△CDB的周长相等C.∠A+∠ABD=∠C+∠CBDD.AD∥BC，AD=BC5. 在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件不能判定Rt△ABC≌Rt△DEF的是()A．AC＝DF，∠B＝∠E B．∠A＝∠D，∠B＝∠EC．AB＝DE，AC＝DF D．AB＝DE，∠A＝∠D6. 如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC ＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是()A．24 B．30C．36 D．427. 如图所示，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于点F，∠B=∠D=25°，∠ACB=∠AED=105°，∠DAC=10°，则∠DFB的度数为 ()A.40°B.50°C.55°D.60°8. 现已知线段a，b(a<b)，∠MON=90°，求作Rt△ABO，使得∠O=90°，OA=a，AB=b.小惠和小雷的作法分别如下:小惠:①以点O为圆心、线段a的长为半径画弧，交射线ON于点A;②以点A为圆心、线段b的长为半径画弧，交射线OM于点B，连接AB，△ABO即为所求.小雷:①以点O为圆心、线段a的长为半径画弧，交射线ON于点A;②以点O为圆心、线段b的长为半径画弧，交射线OM于点B，连接AB，△ABO即为所求.则下列说法中正确的是()A.小惠的作法正确，小雷的作法错误B.小雷的作法正确，小惠的作法错误C.两人的作法都正确D.两人的作法都错误二、填空题9. 将两块完全相同的三角尺在∠AOB的内部如图摆放，两块三角尺较短的直角边分别与∠AOB的两边重合，且含30°角的顶点恰好也重合于点C，则射线OC 即为∠AOB的平分线，理由是______________________．10. △ABC的周长为8，面积为10，若其内部一点O到三边的距离相等，则点O 到AB的距离为________．11. 如图，要测量河岸相对两点A，B之间的距离，从B点沿与AB成90°角方向，向前走50米到C处立一根标杆，然后方向不变继续向前走50米到D处，在D 处转90°沿DE方向再走17米到达E处，这时A，C，E三点在同一直线上，则A，B之间的距离为________米．12. 要测量河岸相对两点A，B之间的距离，已知AB垂直于河岸BF，先在BF 上取两点C，D，使CD＝CB，再过点D作BF的垂线段DE，使点A，C，E在一条直线上，如图，测出DE＝20米，则AB的长是________米．13. 如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，BD交于点O，则∠AOB的度数为.14. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E.若△DBE的周长为20，则AB＝________．15. 如图所示，已知AD∥BC，则∠1＝∠2，理由是________________；又知AD ＝CB，AC为公共边，则△ADC≌△CBA，理由是______，则∠DCA＝∠BAC，理由是__________________，则AB∥DC，理由是________________________________．16. (2019•南通)如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，则∠ACF=__________度．三、解答题17. 如图，C是线段BD的中点，AB＝EC，∠B＝∠ECD.求证：△ABC≌△ECD.18. 如图，BM平分∠ABC，D是BM上一点，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC 于点F，P是BM上的另一点，连接PE，PF.(1)若∠EDF＝124°，求∠ABC的度数；(2)求证：PE＝PF.19. (2019•黄石)如图，在ABC △中，90BAC ∠=︒，E 为边BC 上的点，且AB AE =，D 为线段BE 的中点，过点E 作EF AE ⊥，过点A 作AF BC ∥，且AF 、EF 相交于点F ．(1)求证：C BAD ∠=∠； (2)求证：AC EF =．20. 如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，sin ∠ABD ＝55，点P 是射线BC 上一点，连接AP 交菱形对角线BD 于点E ，连接EC . (1)求证：△ABE ≌△CBE ；(2)如图①，当点P 在线段BC 上时，且BP ＝2，求△PEC 的面积；(3)如图②，当点P 在线段BC 的延长线上时，若CE ⊥EP ，求线段BP 的长．2021中考数学 专题训练：全等三角形-答案一、选择题 1. 【答案】D2. 【答案】A[解析] ∵△ABC≌△EDF，AC=15，∴EF=AC=15.∵EC=10，∴CF=EF-EC=15-10=5.3. 【答案】D[解析]∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠CED=∠AFB=90°，∠A=∠C，又∵AB=CD，∴△CED≌△AFB，∴AF=CE=a，DE=BF=b，DF=DE-EF=b-c，∴AD=AF+DF=a+b-c，故选D.4. 【答案】C[解析] A.∵△ABD≌△CDB，∴△ABD和△CDB的面积相等，故本选项不符合题意;B.∵△ABD≌△CDB，∴△ABD和△CDB的周长相等，故本选项不符合题意;C.∵△ABD≌△CDB，∴∠A=∠C，∠ABD=∠CDB.∴∠A+∠ABD=∠C+∠CDB≠∠C+∠CBD，故本选项符合题意;D.∵△ABD≌△CDB，∴AD=BC，∠ADB=∠CBD.∴AD∥BC，故本选项不符合题意.故选C.5. 【答案】B[解析] 选项A，D均可由“AAS”判定Rt△ABC≌Rt△DEF，选项C 可由“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DEF，只有选项B不能判定Rt△ABC≌Rt△DEF.6. 【答案】B[解析] 过点D作DH⊥AB交BA的延长线于点H.∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，∴DH＝CD＝4.∴四边形ABCD的面积＝S△ABD＋S△BCD＝12AB·DH＋12BC·CD＝12×6×4＋12×9×4＝30.7. 【答案】D [解析] 因为△ABC ≌△ADE ，∠B=∠D=25°，∠ACB=∠AED=105°，所以∠CAB=∠EAD=180°-105°-25°=50°.所以∠DAB=∠CAB+∠DAC=60°.由图易得∠DFB=∠DAB=60°.8. 【答案】A[解析] AB=b ，AB 是斜边，小惠作的斜边长是b 符合条件，而小雷作的是一条直角边长是b.故小惠的作法正确，小雷的作法错误.二、填空题9. 【答案】角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上10. 【答案】2.5[解析] 设点O 到AB ，BC ，AC 的距离均为h ，∴S △ABC ＝12×8·h＝10，解得h ＝2.5，即点O 到AB 的距离为2.5.11. 【答案】17[解析] 在△ABC 和△EDC 中，⎩⎨⎧∠ABC ＝∠EDC ＝90°，BC ＝DC ，∠ACB ＝∠ECD ， ∴△ABC ≌△EDC(ASA)． ∴AB ＝ED ＝17米．12. 【答案】2013. 【答案】120°[解析]如图，设AC ，DB 的交点为H.∵△ACD ，△BCE 都是等边三角形， ∴CD=CA ，CB=CE ，∠ACD=∠BCE=60°， ∴∠DCB=∠ACE ， 在△DCB 和△ACE 中，∴△DCB ≌△ACE ，∴∠CAE=∠CDB ，又∵∠DCH +∠CHD +∠BDC=180°，∠AOH +∠AHO +∠CAE=180°，∠DHC=∠OHA ，∴∠AOH=∠DCH=60°， ∴∠AOB=180°-∠AOH=120°.14. 【答案】20[解析] 由角平分线的性质可得CD ＝DE.易证Rt △ACD ≌Rt △AED ，则AC ＝AE ，DE ＋DB ＝CD ＋DB ＝BC ＝AC ＝AE ，故DE ＋DB ＋EB ＝AE ＋EB ＝AB.15. 【答案】两直线平行，内错角相等SAS 全等三角形的对应角相等 内错角相等，两直线平行16. 【答案】70【解析】∵∠ABC=90°，AB=AC ，∴∠CBF=180°–∠ABC=90°，∠ACB=45°，在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，AB CB AE CF=⎧⎨=⎩，∴Rt △ABE ≌Rt △CBF ，∴∠BCF=∠BAE=25°，∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=45°+25°=70°，故答案为：70．三、解答题17. 【答案】证明：∵C 是线段BD 的中点，∴BC ＝CD.在△ABC 与△ECD 中，⎩⎨⎧BC ＝CD ，∠B ＝∠ECD ，AB ＝EC ，∴△ABC ≌△ECD.18. 【答案】解：(1)∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ， ∴∠DEB ＝∠DFB ＝90°. ∵∠EDF ＝124°，∴∠ABC ＝360°－90°－90°－124°＝56°.(2)证明：∵BM 平分∠ABC ，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴∠ABM ＝∠CBM ，DE ＝DF.∵∠BDE ＝90°－∠ABM ，∠BDF ＝90°－∠CBM ， ∴∠BDE ＝∠BDF. ∴∠EDP ＝∠FDP.在△EDP 和△FDP 中，⎩⎨⎧DE ＝DF ，∠EDP ＝∠FDP ，DP ＝DP ，∴△EDP ≌△FDP(SAS)．∴PE ＝PF.19. 【答案】(1)如图，∵AB AE =，∴ABE △是等腰三角形， 又∵D 为BE 的中点，∴AD BE ⊥， 在Rt ABC △和Rt DBA △中，∵B 为公共角，90BAC BDA ∠=∠=︒， ∴C BAD ∠=∠．(2)∵AF BC ∥，∴EAF AEB ∠=∠， ∵AB AE =，∴ABE AEB ∠=∠， ∴EAF ABC ∠=∠，又∵90BAC AEF ∠=∠=∠︒， ∴BAC AEF △≌△， ∴AC EF =．20. 【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBE .在△ABE 和△CBE 中，AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBE ，BE ＝BE ， ∴△ABE ≌△CBE (SAS)；(2)解：如解图①，连接AC 交BD 于点O ，分别过点A 、E 作BC 的垂线，垂足分别为点H 、F ，解图①∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，∵AB ＝5，sin ∠ABD ＝55， ∴AO ＝OC ＝5， ∴BO ＝OD ＝25， ∴AC ＝25，BD ＝45，∵12AC ·BD ＝BC ·AH ， 即12×25×45＝5AH ， ∴AH ＝4， ∵AD ∥BC ，∴△AED ∽△PEB ， ∴AE PE ＝AD BP ，∴AE ＋PE PE ＝AD ＋BP BP ， 即AP PE ＝5＋22＝72，∴AP ＝72PE ， 又∵EF ∥AH ，∴△EFP ∽△AHP ， ∴EF AH ＝PE AP， ∴EF ＝PE AP ·AH ＝PE 72PE×4＝87，∴S △PEC ＝12PC ·EF ＝12×(5－2)×87＝127； (3)解：如解图②，连接AC 交BD 于点O ，解图②∵△ABE ≌△CBE ，CE ⊥PE ，∴∠AEB ＝∠CEB ＝45°，∴AO ＝OE ＝5，∴DE ＝OD －OE ＝25－5＝5，BE ＝3 5. ∵AD ∥BP ，∴△ADE ∽△PBE ，∴AD BP ＝DE BE ，∴5BP ＝535， ∴BP ＝15.。

2021年山东中考数学真题分类汇编之图形的变化

2021年山东中考数学真题分类汇编之图形的变化

2021年山东中考数学真题分类汇编之图形的变化一．选择题（共12小题）1．（2021•淄博）下列几何体中，其俯视图一定是圆的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2021•临沂）如图，点A，B都在格点上，若BC＝，则AC的长为（）A．B．C．2D．33．（2021•淄博）如图，AB，CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上．已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，则p，q，r之间满足的数量关系式是（）A．+＝B．+＝C．+＝D．+＝4．（2021•枣庄）如图，三角形纸片ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E为AB中点，沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕交BC于点F．已知EF＝，则BC的长是（）A．B．3C．3D．35．（2021•东营）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝42°，BC＝8，若用科学计算器求AC的长，则下列按键顺序正确的是（）A．B．C．D．6．（2021•东营）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图圆心角的度数为（）A．214°B．215°C．216°D．217°7．（2021•东营）如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B 的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是（）A．﹣2a+3B．﹣2a+1C．﹣2a+2D．﹣2a﹣28．（2021•菏泽）如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为（）A．12πB．18πC．24πD．30π9．（2021•枣庄）小明有一个呈等腰三角形的积木盒，现在积木盒中只剩下如图的九个空格，下面有四种积木的搭配，其中不能放入的有（）A．搭配①B．搭配②C．搭配③D．搭配④10．（2021•聊城）如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标为A（0，2），B（﹣1，0），将△ABO绕点O按顺时针旋转得到△A1B1O，若AB⊥OB1，则点A1的坐标为（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）11．（2021•泰安）如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B 在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1：2.4．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为（参考数据：≈1.732）（）A．136.6米B．86.7米C．186.7米D．86.6米12．（2021•淄博）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB 交AC于点F．若BC＝4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为（）A．B．C．D．二．填空题（共10小题）13．（2021•烟台）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A 处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD为米．14．（2021•枣庄）如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P 的坐标为．15．（2021•东营）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，点F是AD上一点，将△CDF沿CF折叠，点D落在点G处，连接DG并延长交AB于点E．若AE＝5，则GE的长为．16．（2021•聊城）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为．17．（2021•菏泽）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝5，BC＝10，四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形，且点E、F、G、N、M都在△ABC的边上，那么△AEM与四边形BCME的面积比为．18．（2021•烟台）数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°，则旗杆的高度约为米．（结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）19．（2021•烟台）综合实践活动课上，小亮将一张面积为24cm2，其中一边BC为8cm的锐角三角形纸片（如图1），经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形BCDE（如图2），则矩形的周长为cm．20．（2021•东营）如图，正方形ABCB1中，AB＝，AB与直线l所夹锐角为60°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4…，依此规律，则线段A2020A2021＝．21．（2021•泰安）如图，将矩形纸片ABCD折叠（AD＞AB），使AB落在AD上，AE为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E点不动，将BE边折起，使点B落在AE上的点G处，连接DE，若DE＝EF，CE＝2，则AD的长为．22．（2021•威海）如图，先将矩形纸片ABCD沿EF折叠（AB边与DE在CF的异侧），AE交CF于点G；再将纸片折叠，使CG与AE在同一条直线上，折痕为GH．若∠AEF＝α，纸片宽AB＝2cm，则HE＝cm．三．解答题（共8小题）23．（2021•威海）在一次测量物体高度的数学实践活动中，小明从一条笔直公路上选择三盏高度相同的路灯进行测量．如图，他先在点B处安置测倾器，于点A处测得路灯MN顶端的仰角为10°，再沿BN方向前进10米，到达点D处，于点C处测得路灯PQ顶端的仰角为27°．若测倾器的高度为1.2米，每相邻两根灯柱之间的距离相等，求路灯的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin27°＝0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）24．（2021•聊城）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE是直径，交BC于点H，点D在上，连接AD，CD过点E作EF∥BC交AD的延长线于点F，延长BC交AF于点G．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若BC＝2，AH＝CG＝3，求EF和CD的长．25．（2021•菏泽）某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于A处的济南舰突然发现北偏西30°方向上的C处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向200海里B处的西安舰，西安舰测得C处位于其北偏西60°方向上，请问此时两舰距C处的距离分别是多少？26．（2021•临沂）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来，已知CM＝3m，CO＝5m，DO＝3m，∠AOD＝70°，汽车从A处前行多少米才能发现C处的儿童（结果保留整数）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75；sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）27．（2021•枣庄）2020年7月23日，我国首次火星探测“天问一号”探测器，由长征五号遥四运载火箭在中国文昌航天发射场发射成功，正式开启了中国的火星探测之旅．运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°.3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°．O，C，D在同一直线上，已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.732，≈1.414）28．（2021•聊城）时代中学组织学生进行红色研学活动．学生到达爱国主义教育基地后，先从基地门口A处向正南方向走300米到达革命纪念碑B处，再从B处向正东方向走到党史纪念馆C处，然后从C处向北偏西37°方向走200米到达人民英雄雕塑D处，最后从D处回到A处．已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东65°方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离（精确到1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）29．（2021•济宁）研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．（1）阅读材料立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．例如，正方体ABCD﹣A′B′C′D′（图1），因为在平面AA′C′C中，CC′∥AA'，AA′与AB 相交于点A，所以直线AB与AA′所成的∠BAA′就是既不相交也不平行的两条直线AB与CC′所成的角．解决问题如图1，已知正方体ABCD﹣A′B′C′D'，求既不相交也不平行的两直线BA′与AC所成角的大小．（2）如图2，M，N是正方体相邻两个面上的点；①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是；②在所选正确展开图中，若点M到AB，BC的距离分别是2和5，点N到BD，BC的距离分别是4和3，P是AB上一动点，求PM+PN的最小值．30．（2021•东营）已知点O是线段AB的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过点A和点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D．我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”．（1）[猜想验证]如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC和OD 的数量关系是．（2）[探究证明]如图2，当点P是线段AB上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）[拓展延伸]如图3，①当点P是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；②若∠COD＝60°，请直接写出线段AC、BD、OC之间的数量关系．2021年山东中考数学真题分类汇编之图形的变化参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2021•淄博）下列几何体中，其俯视图一定是圆的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】简单几何体的三视图．【专题】投影与视图；空间观念．【分析】根据视图的意义，从上面看该几何体，所得到的图形进行判断即可．【解答】解：其俯视图一定是圆的有：球，圆柱，共2个．故选：B．【点评】本题考查简几何体的三视图，理解视图的意义，掌握俯视图的画法是正确判断的前提．2．（2021•临沂）如图，点A，B都在格点上，若BC＝，则AC的长为（）A．B．C．2D．3【考点】相似三角形的应用．【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力；应用意识．【分析】根据相似三角形的判定和性质可以得到AB的长，然后由图可知AC＝AB﹣BC，然后代入数据计算即可．【解答】解：作CD⊥BD于点D，作AE⊥BD于点E，如右图所示，则CD∥AE，∴△BDC∽△BEA，∴，∴＝，解得BA＝2，∴AC＝BA﹣BC＝2﹣＝，故选：B．【点评】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出AB的长，利用数形结合的思想解答．3．（2021•淄博）如图，AB，CD相交于点E，且AC∥EF∥DB，点C，F，B在同一条直线上．已知AC＝p，EF＝r，DB＝q，则p，q，r之间满足的数量关系式是（）A．+＝B．+＝C．+＝D．+＝【考点】平行线分线段成比例．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】根据平行线分线段成比例，可证得，，两式相加即可得出结论．【解答】解：∵AC∥EF，∴，∵EF∥DB，∴，∴＝+＝＝＝1，即＝1，∴．故选：C．【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理的运用，通过平行线分线段成比例定理得出线段的比是解题的关键．4．（2021•枣庄）如图，三角形纸片ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，点E为AB中点，沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕交BC于点F．已知EF＝，则BC的长是（）A．B．3C．3D．3【考点】等腰直角三角形；翻折变换（折叠问题）．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】由题意可得点F是BC的中点，△ABF是等腰直角三角形，再根据EF的长度，可求出BF 的长度，进而得出结论．【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，由折叠可知，EF⊥AB，BE＝AE，AF＝BF，∴∠B＝∠BAF＝45°，∴∠AFB＝90°，即AF⊥BC，∴点F是BC的中点，∴BC＝2BF，在△ABF中，∠AFB＝90°，BE＝AE，∴BE＝EF＝，∴BF＝，∴BC＝3．故选：C．【点评】本题主要考查折叠的性质，等腰直角三角形的性质与判定，得出△ABF是等腰直角三角形是解题关键．5．（2021•东营）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝42°，BC＝8，若用科学计算器求AC的长，则下列按键顺序正确的是（）A．B．C．D．【考点】计算器—三角函数．【专题】解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力．【分析】根据正切函数的定义，可得tan∠B＝，根据计算器的应用，可得答案．【解答】解：在△ABC中，因为∠C＝90°，所以tan∠B＝，因为∠B＝42°，BC＝8，所以AC＝BC•tan B＝8×tan42°．故选：D．【点评】本题考查了计算器．能够正确利用锐角三角函数进行计算，熟练运用计算器是解题的关键．6．（2021•东营）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图圆心角的度数为（）A．214°B．215°C．216°D．217°【考点】几何体的展开图；圆心角、弧、弦的关系；由三视图判断几何体．【专题】投影与视图；空间观念．【分析】由常见几何体的三视图可得该几何体为圆锥，根据三视图知圆锥的底面圆的直径为6、半径为3，高为4，得出母线长为5，再根据扇形的弧长公式可得答案．【解答】解：由三视图可知，该几何体为圆锥；由三视图数据知圆锥的底面圆的直径为6、半径为3，高为4，则母线长为＝5，所以则该几何体的侧面展开图圆心角的度数为π×6÷（π×5×2）×360°＝216°．故选：C．【点评】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图及扇形的弧长计算．7．（2021•东营）如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B 的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是（）A．﹣2a+3B．﹣2a+1C．﹣2a+2D．﹣2a﹣2【考点】坐标与图形性质；位似变换．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】设点B′的横坐标为x，根据数轴表示出BC、B′C的水平的距离，再根据位似比列式计算即可．【解答】解：设点B′的横坐标为x，则B、C间的水平距离为a﹣1，B′、C间的水平距离为﹣x+1，∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，∴2（a﹣1）＝﹣x+1，解得：x＝﹣2a+3，故选：A．【点评】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的水平距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．8．（2021•菏泽）如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为（）A．12πB．18πC．24πD．30π【考点】由三视图判断几何体．【专题】投影与视图；几何直观．【分析】直接利用三视图得出几何体的形状，再利用圆柱体积求法得出答案．【解答】解：由三视图可得，几何体是空心圆柱，其小圆半径是1，大圆半径是2，则大圆面积为：π×22＝4π，小圆面积为：π×12＝π，故这个几何体的体积为：6×4π﹣6×π＝24π﹣6π＝18π．故选：B．【点评】此题主要考查了由三视图判断几何体，正确判断出几何体的形状是解题关键．9．（2021•枣庄）小明有一个呈等腰三角形的积木盒，现在积木盒中只剩下如图的九个空格，下面有四种积木的搭配，其中不能放入的有（）A．搭配①B．搭配②C．搭配③D．搭配④【考点】图形的剪拼．【专题】几何图形；应用意识．【分析】把这四种搭配进行组合，可得出如图的九个空格的形状，即为本题的选项．【解答】解：搭配④中，有10个小正方形，显然不符合9个小正方形的条件，故选：D．【点评】本题考查图形的拼剪，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．10．（2021•聊城）如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标为A（0，2），B（﹣1，0），将△ABO绕点O按顺时针旋转得到△A1B1O，若AB⊥OB1，则点A1的坐标为（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）【考点】勾股定理；坐标与图形变化﹣旋转．【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；推理能力．【分析】如图，设AB交OB1于T，过点A1作A1R⊥x轴于R．解直角三角形求出OT，AT，再利用相似三角形的性质求出OR，RA1即可．【解答】解：如图，设AB交OB1于T，过点A1作A1R⊥x轴于R．∵A（0，2），B（﹣1，0），∴OB＝1，OA＝2，∴AB＝＝＝，∵•OB•OA＝•AB•OT，∴OT＝＝，∴AT＝＝＝，∵∠AOR＝∠A OB＝90°，∴∠AOT＝∠A1OR，∵∠ATO＝∠A1RO＝90°，∴△ATO∽△A1RO，∴＝＝，∴1＝＝，∴OR＝，RA1＝，∴A1（，），故选：A．【点评】本题考查坐标与图形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．11．（2021•泰安）如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B 在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1：2.4．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为（参考数据：≈1.732）（）A．136.6米B．86.7米C．186.7米D．86.6米【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【分析】作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F．则四边形DHBF是矩形，在Rt△ADH中求出DH，再在Rt△EFB中求出EF，在Rt△EFC中求出CF即可解决问题．【解答】解：如图作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F．在Rt△ADH中，AD＝130米，DH：AH＝1：2.4，∴DH＝50（米），∵四边形DHBF是矩形，∴BF＝DH＝50（米），在Rt△EFB中，∠BEF＝45°，∴EF＝BF＝50（米），在Rt△EFC中，FC＝EF•tan60°，∴CF＝50×≈86.6（米），∴BC＝BF+CF＝136.6（米）．故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形，坡度，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．12．（2021•淄博）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB 交AC于点F．若BC＝4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为（）A．B．C．D．【考点】三角形的面积；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形．【专题】图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【分析】根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半可得CE＝AE＝BE＝AB，进而得到∠BEC＝2∠A＝∠BFC，从而有∠CEF＝∠CBF，根据三角形的面积公式求出AF，由勾股定理，在Rt△BCF 中，求出CF，再根据锐角三角函数的定义求解即可．【解答】解：连接BF，∵CE是斜边AB上的中线，EF⊥AB，∴EF是AB的垂直平分线，∴S△AFE＝S△BFE＝5，∠FBA＝∠A，∴S△AFB＝10＝AF•BC，∵BC＝4，∴AF＝5＝BF，在Rt△BCF中，BC＝4，BF＝5，∴CF＝＝3，∵CE＝AE＝BE＝AB，∴∠A＝∠FBA＝∠ACE，又∵∠BCA＝90°＝∠BEF，∴∠CBF＝90°﹣∠BFC＝90°﹣2∠A，∠CEF＝90°﹣∠BEC＝90°﹣2∠A，∴∠CEF＝∠FBC，∴sin∠CEF＝sin∠FBC＝＝，故选：A．【点评】本题考查折叠轴对称的性质，直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的关键．二．填空题（共10小题）13．（2021•烟台）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A 处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝1米，AC＝1.6米，AE＝0.4米，那么CD为3米．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】由题意知：△ABE∽△CDE，得出对应边成比例即可得出CD．【解答】解：由题意知：AB∥CD，则∠BAE＝∠C，∠B＝∠CDE，∴△ABE∽△CDE，∴，∴，∴CD＝3米，故答案为：3．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意得出△ABE∽△CDE是解决问题的关键．14．（2021•枣庄）如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P 的坐标为（1，﹣1）．【考点】坐标与图形变化﹣旋转．【分析】连接AA′，CC′，线段AA′、CC′的垂直平分线的交点就是点P．【解答】解：连接AA′、CC′，作线段AA′的垂直平分线MN，作线段CC′的垂直平分线EF，直线MN和直线EF的交点为P，点P就是旋转中心．∵直线MN为：x＝1，设直线CC′为y＝kx+b，由题意：，∴，∴直线CC′为y＝x+，∵直线EF⊥CC′，经过CC′中点（，），∴直线EF为y＝﹣3x+2，由得，∴P（1，﹣1）．故答案为（1，﹣1）．【点评】本题考查旋转的性质，掌握对应点连线段的垂直平分线的交点就是旋转中心，是解题的关键．15．（2021•东营）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，点F是AD上一点，将△CDF沿CF折叠，点D落在点G处，连接DG并延长交AB于点E．若AE＝5，则GE的长为．【考点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】图形的全等；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】由“ASA”可证△ADE≌△DCF，可得AE＝DF＝5，由锐角三角函数可求DO的长，即可求解．【解答】解：设CF与DE交于点O，∵将△CDF沿CF折叠，点D落在点G处，∴GO＝DO，CF⊥DG，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠A＝∠ADC＝90°＝∠FOD，∴∠CFD+∠FCD＝90°＝∠CFD+∠ADE，∴∠ADE＝∠FCD，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（ASA），∴AE＝DF＝5，∵AE＝5，AD＝12，∴DE＝＝＝13，∵cos∠ADE＝，∴，∴DO＝＝GO，∴EG＝13﹣2×＝，故答案为：．【点评】本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，证明△ADE≌△DCF是解题的关键．16．（2021•聊城）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为（﹣，0）．【考点】坐标与图形性质；矩形的性质；轴对称﹣最短路线问题．【专题】一次函数及其应用；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；推理能力．【分析】在BC上截取BH＝3，可证四边形BHEF是平行四边形，可得BF＝EH，由对称性可得DE ＝D'E，则四边形BDEF的周长＝EH+ED'+BD+EF，由EF和BD是定值，则当EH+D'E有最小值时，四边形BDEF的周长有最小值，即当点E，点H，点D'共线时，EH+D'E有最小值，利用待定系数法可求HD'解析式，即可求解．【解答】解：在BC上截取BH＝3，作点D关于x轴的对称点D'，连接D'H交AO于点E，∴BH＝EF＝3，BC∥AO，∴四边形BHEF是平行四边形，∴BF＝EH，∵点D与点D'关于x轴对称，∴DE＝D'E，点D'坐标为（0，﹣4），∵四边形BDEF的周长＝EF+BF+BD+DE，∴四边形BDEF的周长＝EH+ED'+BD+EF，∵EF和BD是定值，∴当EH+D'E有最小值时，四边形BDEF的周长有最小值，∴当点E，点H，点D'共线时，EH+D'E有最小值，∵点B（﹣4，6），∴点H（﹣1，6），设直线D'H的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线D'H的解析式为y＝﹣10x﹣4，∴当y＝0时，x＝﹣，∴点E（﹣，0），故答案为：（﹣，0）．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，坐标与图形，平行四边形的判定和性质，一次函数的性质等知识，确定点E的位置是解题的关键．17．（2021•菏泽）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝5，BC＝10，四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形，且点E、F、G、N、M都在△ABC的边上，那么△AEM与四边形BCME的面积比为1：3．【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】矩形菱形正方形；图形的相似；推理能力．【分析】通过证明△AEM∽△ABC，可得，可求EF的长，由相似三角形的性质可得＝（）2＝，即可求解．【解答】解：∵四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形，∴EF＝EH＝HM，EM∥BC，∴△AEM∽△ABC，∴，∴，∴EF＝，∴EM＝5，∵△AEM∽△ABC，∴＝（）2＝，∴S四边形BCME＝S△ABC﹣S△AEM＝3S△AEM，∴△AEM与四边形BCME的面积比为1：3，故答案为：1：3．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，利用相似三角形的性质求出EF的长是解题的关键．18．（2021•烟台）数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°，则旗杆的高度约为14米．（结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；几何直观．【分析】过O点作OC⊥AB于C点，利用直角三角形的解法得出OC，进而解答即可．【解答】解：过O点作OC⊥AB于C点，∵当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°，∴AC＝45米，∠CAO＝30°，∴OC＝AC•tan30°＝（米），∴旗杆的高度＝40﹣15≈14（米），故答案为：14．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角、俯角的问题，以及解直角三角形方法，解题的关键是从实际问题中构造出直角三角形，难度不大．19．（2021•烟台）综合实践活动课上，小亮将一张面积为24cm2，其中一边BC为8cm的锐角三角形纸片（如图1），经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形BCDE（如图2），则矩形的周长为22cm．【考点】矩形的性质；图形的剪拼．【专题】作图题；矩形菱形正方形；推理能力．【分析】延长AT交BC于点P，利用三角形的面积公式求出AP，求出BE，CD，DE，可得结论．【解答】解：延长AT交BC于点P，∵AP⊥BC，∴•BC•AP＝24，∴×8×AP＝24，∴AP＝6（cm），由题意，AT＝PT＝3（cm），∴BE＝CD＝PT＝3（cm），∵DE＝BC＝8cm，∴矩形BCDE的周长为8+8+3+3＝22（cm）．故答案为：22．【点评】本题考查图形的拼剪，矩形的性质，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．20．（2021•东营）如图，正方形ABCB1中，AB＝，AB与直线l所夹锐角为60°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4…，依此规律，则线段A2020A2021＝2×（）2020．【考点】规律型：图形的变化类；相似三角形的判定与性质．【专题】推理填空题；推理能力．【分析】根据题意可知图中斜边在直线l上的直角三角形都是含30度角的直角三角形，根据其性质得出三边的长度，以此类推可找到规律：A n B n＝（）n﹣1，A n﹣1A n＝2A n B n＝2×（）n﹣1．【解答】解：根据题意可知AB1＝AB＝，∠B1AA1＝90°﹣60°＝30°，∴tan∠B1AA1＝＝，∴A1B1＝AB1×＝×＝1，AA1＝2A1B1＝2，A2B2＝A1B2×＝A1B1×＝，A1A2＝2A2B2＝2×，A3B3＝A2B3×＝A2B2×＝×＝（）2，A2A3＝2A3B3＝2×（）2，∴A2021B2021＝A2020B2021×＝（）2020，A2020A2021＝2A2021B2021＝2×（）2020，故答案为：2×（）2020．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质及规律型中图形的变化类，要根据题意寻找三角形各条边分别的规律，从而求解．21．（2021•泰安）如图，将矩形纸片ABCD折叠（AD＞AB），使AB落在AD上，AE为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E点不动，将BE边折起，使点B落在AE上的点G处，连接DE，若DE＝EF，CE＝2，则AD的长为4+2．【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】证明Rt△EBF≌Rt△EB′D（HL），推出BF＝DB′，再证明DB′＝EC＝BF＝2，想办法求出AB′，可得结论．【解答】解：由翻折的性质可知，EB＝EB′，∠B＝∠AB′E＝∠EB′D＝90°，在Rt△EBF和Rt△EB′D中，，∴Rt△EBF≌Rt△EB′D（HL），∴BF＝DB′，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠CDB′＝∠EB′D＝90°，∴四边形ECDB′是矩形，∴DB′＝EC＝2，∴BF＝EC＝2，由翻折的性质可知，BF＝FG＝2，∠F AG＝45°，∠EGF＝∠B＝∠AGF＝90°，∴AG＝FG＝2，∴AF＝2．∴AB＝AB′＝2+2，∴AD＝AB′+DB′＝4+2，故答案为：4+2．【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．22．（2021•威海）如图，先将矩形纸片ABCD沿EF折叠（AB边与DE在CF的异侧），AE交CF于点G；再将纸片折叠，使CG与AE在同一条直线上，折痕为GH．若∠AEF＝α，纸片宽AB＝2cm，则HE＝cm．【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】多边形与平行四边形；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；推理能力；应用意识．【分析】根据题意，先证明四边形GHEF为平行四边形，运用∠AEF的正弦和余弦的关系以及等腰三角形的性质，求出HE，【解答】解：如图，分别过G、E作GM⊥HE于M，EN⊥GH于N，延长GF、延长HE至点P，则GM＝AB＝2cm，由题意，∠AEF＝α，由折叠性质可得∠PEF＝∠AEF＝α，∵四边形ABCD为矩形，∴GF∥HE，∴∠GFE＝∠PEF＝α，∴GE＝GF．同理可得：GE＝HE．∴HE＝GF，∴四边形GHEF为平行四边形．∴∠GFE＝∠GHE＝α，∵EN⊥GH于N，HE＝GE，∴由等腰三角形三线合一性质可得：HN＝GN＝，∵sin∠GHE＝sinα＝＝，∴HG＝，在Rt△HEN中，cos∠GHE＝cosα＝，∴HE＝＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了轴对称的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的性质，锐角三角函数，理解题意并作出辅助线是解题关键．三．解答题（共8小题）23．（2021•威海）在一次测量物体高度的数学实践活动中，小明从一条笔直公路上选择三盏高度相同的路灯进行测量．如图，他先在点B处安置测倾器，于点A处测得路灯MN顶端的仰角为10°，再沿BN方向前进10米，到达点D处，于点C处测得路灯PQ顶端的仰角为27°．若测倾器的高度为1.2米，每相邻两根灯柱之间的距离相等，求路灯的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin27°＝0.45，cos27°≈0.89，tan27°。

2021届中考数学专题复习训练——二次函数 专题2.2函数动点图象问题

2021届中考数学专题复习训练——二次函数 专题2.2函数动点图象问题

函数图象解题思路起点：动点从何处出发，何时出发，何速度运动，运动方向是什么，形成的是何图形？起点有没有意义？点运动的路程（边长）中间点：分阶段运动，中间的位置是什么？终点：何时何地结束运动，停止时是否有先后？特殊点：运动过程中特殊的位置。

类型一、实际问题【经典例题1】已知A ，B 两地相距120千米，甲、乙两人沿同一条公路从A 地出发到B 地，乙骑自行车，甲骑摩托车，图中DE ，OC 分别表示甲、乙离开A 地的路程s （单位：千米）与时间t （单位：小时）的函数关系的图象，设在这个过程中，甲、乙两人相距y （单位：千米），则y 关于t 的函数图象是（ ）A.B. C. D.【解析】 由题意和图象可得，乙到达B 地时甲距A 地120km ，开始时两人的距离为0； 甲的速度是：120÷(3−1)=60km/h ，乙的速度是：80÷3=380km/h ，即乙出发1小时后两人距离为380km ；设乙出发后被甲追上的时间为x h ，则60(x −1)=380x ，得x =1.8，即乙出发后被甲追上的时间为1.8h.所以符合题意的函数图象只有选项B.故选：B.练习1-1甲、乙两位同学进行长跑训练，甲和乙所跑的路程S （单位：米）与所用时间t （单位：秒）之间的函数图象分别为线段OA 和折线OBCD ，则下列说法正确的是（ ）A.两人从起跑线同时出发，同时到达终点B.跑步过程中，两人相遇一次C.起跑后160秒时，甲、乙两人相距最远D.乙在跑前300米时，速度最慢练习1-2小明在书上看到了一个实验：如图，一个盛了水的圆柱形容器内，有一个顶端拴了一根细绳的实心铁球，将铁球从水面下沿竖直方向慢慢地匀速向上拉动．小明将此实验进行了改进，他把实心铁球换成了材质相同的别的物体，记录实验时间t 以及容器内水面的高度h ，并画出表示h 与t 的函数关系的大致图象，如下图所示．小明选择的物体可能是（ ）A．B．C．D．练习1-3如图，在一个盛水的圆柱形容器的水面以下，有一个用细线吊着的下端开了一个很小的孔的充满水的薄壁小球，当慢慢地匀速将小球从水下向水面上拉动时，圆柱形容器内水面的高度与时间的函数图象大致是（）类型二：几何动态①动点图形面积【经典例题2】如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4cm，△B=30°，点P从点B 出发，以3cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（）A. B. C. D.【解析】作AH ⊥BC 于H ，∵AB=AC=4cm ，∴BH=CH ，∵∠B=30°，∴AH=12AB=2，BH=3AH=23，∴BC=2BH=43，∵点P 运动的速度为3m/s ，Q 点运动的速度为1cm/s ，∴点P 从B 点运动到C 需4s ，Q 点运动到C 需8s ，当0△x △4时，作QD ⊥BC 于D ，如图1，BQ=x ，BP=3x ，在Rt △BDQ 中，DQ=21BQ=21x ， ∴y=21⋅21x ⋅3x =43x 2，当4<x △8时，作QD ⊥BC 于D ，如图2，CQ=8−x ，BP=43在Rt △BDQ 中，DQ=21CQ=21(8−x )，∴y=21⋅21(8−x )⋅43=−3+83， 综上所述，⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤=)84(383)40(432x x x x y ，，，.故选D.练习2-1四边形ABCD 为直角梯形，CD△AB ，CB△AB 且CD=BC=21AB ，若直线l △AB ，直线l 截这个梯形所得的位于此直线左方的图形面积为y ，点A 到直线L 的距离为x ，则y 与x 关系的大致图象为（ ）A.B. C. D.练习2-2如图，四边形ABCD 是矩形，AB=8，BC=4，动点P 以每秒2个单位的速度从点A 沿线段AB 向B 点运动，同时动点Q 以每秒3个单位的速度从点B 出发沿B −C −D 的方向运动，当点Q 到达点D 时P 、Q 同时停止运动，若记△PQA 的面积为y ，运动时间为x ，则下列图象中能大致表示y 与x 之间函数关系图象的是( )练习2-3如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C移动至终点C．设P点经过的路径长为x，△CPE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（）A. B. C. D.练习2-4如图，四边形ABCD为正方形，若AB=4，E是AD边上一点（点E与点A、D不重合），BE的中垂线交AB于M，交DC于N，设AE=x，则图中阴影部分的面积S与x的大致图象是（）A. B. C. D.练习2-5如图，正方形ABCD中，AB=4cm，点E、F同时从C点出发，以1cm/s 的速度分别沿CB﹣BA、CD﹣DA运动，到点A时停止运动．设运动时间为t （s），△AEF的面积为S（cm2），则S（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（）练习2-6如图，在△ABCD中，AB=6，BC=10，AB△AC，点P从点B出发沿着B→A→C的路径运动，同时点Q从点A出发沿着A→C→D的路径以相同的速度运动，当点P到达点C时，点Q随之停止运动，设点P运动的路程为x，y=PQ2，下列图象中大致反映y与x之间的函数关系的是（）A．B．C．D．练习2-7如图，在平面直角坐标系x Oy中，A(2，0)，B(0，2)，点M在线段AB 上，记MO+MP最小值的平方为s，当点P沿x轴正向从点O运动到点A时(设点P的横坐标为x)，s关于x的函数图象大致为（）A. B. C. D.练习2-8木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（）A. B. C. D.练习2-9数学课上，老师提出一个问题：如图△，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，1)，点B是x轴正半轴上一动点，以AB为边作等腰直角三角形ABC，使△BAC=90°，点C在第一象限，设点B的横坐标为x，设……为y，y与x之间的函数图象如图△所示，题中用“……”表示的缺失的条件应补为( )A. 点C的横坐标B. 点C的纵坐标C. △ABC的周长D. △ABC的面积练习2-10如图，在平面直角坐标系x Oy中，以点A(2，3)为顶点作一直角∠PAQ，使其两边分别与x轴，y轴的正半轴交于点P，Q.连接PQ，过点A作AH⊥PQ 于点H.设点P的横坐标为x，AH的长为y，则下列图象中，能表示y与x函数关系的图象大致是（）.②动点图形边长【经典例题3】如图△，在矩形ABCD中，AB<AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动.设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图△所示，则AD边的长为( )A. 3B. 4C. 5D. 6【解析】当P 点在AB 上运动时，△AOP 面积逐渐增大，当P 点到达B 点时，△AOP 面积最大为3． ∴21AB •21=3，即AB •BC=12． 当P 点在BC 上运动时，△AOP 面积逐渐减小，当P 点到达C 点时，△AOP 面积为0，此时结合图象可知P 点运动路径长为7，∴AB+BC=7．则BC=7-AB ，代入AB •BC=12，得AB 2-7AB+12=0，解得AB=4或3， 因为AB<AD ，即AB<BC ，所以AB=3，BC=4．故选：B ．练习3-1如图1，动点P 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿以1cm/s 的速度运动到点D ，设点P 的运动时间为x （s ），△PAB 的面积为y(cm 2)，表示y 与x 的函数关系的图象如图2所示，则a 的值为（ ） A.25 B.5 C. 2 D.52练习3-2如如图△，菱形ABCD中，∠B=60°，动点P以每秒1个单位的速度自点A出发沿线段AB运动到点B，同时动点Q以每秒2个单位的速度自点B--运动到点D.图△是点P、Q运动时，△BPQ的面积S随时出发沿折线B C D间t变化关系图象，则a的值是（）A.2B.2.5C.3D.练习3-3如如图1，四边形ABCD中，AB△CD，△B＝90°，AC＝AD．动点P从点B出发沿折线B﹣A﹣D﹣C方向以1单位/秒的速度运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则AD等于（）A．10B．C．8D．练习3-4如如图1，点P 从ABC △的顶点B 出发，沿B C A →→匀速运动到点A ，图2是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 为曲线部分的最低点，则ABC △的面积是______．练习3-5如图1，在矩形ABCD 中，动点E 从A 出发，沿AB →BC 方向运动，当点E 到达点C 时停止运动，过点E 做FE ⊥AE ，交CD 于F 点，设点E 运动路程为x ，FC=y ，如图2所表示的是y 与x 的函数关系的大致图象，当点E 在BC 上运动时，FC 的最大长度是52，则矩形ABCD 的面积是() A.523 B. 5 C. 6 D. 425【经典例题4——圆】如图，在平面直角坐标系x Oy中，以(3，0)为圆心作△P，△P与x轴交于A. B，与y轴交于点C(0，2)，Q为△P上不同于A. B的任意一点，连接QA、QB，过P点分别作PE△QA于E，PF△QB于F. 设点Q的横坐标为x，PE2+PF2=y.当Q 点在△P上顺时针从点A运动到点B的过程中，下列图象中能表示y与x的函数关系的部分图象是( )【解析】△P(3，0)，C(0，2)，△PC2=13.△AC是直径，△△Q=90°.又PE△QA于E，PF△QB于F，△四边形PEQF是矩形。

中考数学复习专题讲：动点型问题(含答案)

中考数学复习专题讲：动点型问题(含答案)

中考数学复习专题讲座：动点型问题（建立动点问题的函数解析式（或函数图像）、动态几何型压轴题）一、中考专题诠释所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.“动点型问题” 题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。

二、解题策略和解法精讲解决动点问题的关键是“动中求静”.从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

三、中考考点精讲考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像）函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.（一）应用勾股定理建立函数解析式（或函数图像）例1 （2012•嘉兴）如图，正方形ABCD的边长为a，动点P从点A出发，沿折线A→B→D→C→A的路径运动，回到点A时运动停止．设点P运动的路程长为长为x，AP 长为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．思路分析：根据题意设出点P运动的路程x与点P到点A的距离y的函数关系式，然后对x从0到2a+2a时分别进行分析，并写出分段函数，结合图象得出答案．解：设动点P按沿折线A→B→D→C→A的路径运动，∵正方形ABCD的边长为a，∴BD=a，则当0≤x＜a时，y=x，当a≤x＜（1+）a时，y=，当a（1+）≤x＜a（2+）时，y=，当a（2+）≤x≤a（2+2）时，y=a（2+2）﹣x，结合函数解析式可以得出第2，3段函数解析式不同，得出A选项一定错误，根据当a≤x＜（1+）a时，函数图象被P在BD中点时，分为对称的两部分，故B选项错误，再利用第4段函数为一次函数得出，故C选项一定错误，故只有D符合要求，故选：D．点评：此题主要考查了动点问题的函数图象问题；根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系式是解决本题的关键．对应训练1．（2012•内江）如图，正△ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（秒），y=PC2，则y关于x的函数的图象大致为（）A．B．C．D．（二）应用比例式建立函数解析式（或函数图像）例2 （2012•攀枝花）如图，直角梯形AOCD的边OC在x轴上，O为坐标原点，CD垂直于x轴，D（5，4），AD=2．若动点E、F同时从点O出发，E点沿折线OA→AD→DC 运动，到达C点时停止；F点沿OC运动，到达C点是停止，它们运动的速度都是每秒1个单位长度．设E 运动秒x 时，△EOF 的面积为y （平方单位），则y 关于x 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．思路分析： 首先根据点D 的坐标求得点A 的坐标，从而求得线段OA 和线段OC 的长，然后根据运动时间即可判断三角形EOF 的面积的变化情况． 解：∵D （5，4），AD=2． ∴OC=5，CD=4 OA=5 ∴运动x 秒（x ＜5）时，OE=OF=x ， 作EH ⊥OC 于H ，AG ⊥OC 于点G ， ∴EH ∥AG ∴△EHO ∽△AGO即：∴EH=x∴S △EOF =OF •EH=×x ×x=x 2，故A 、B 选项错误；当点F 运动到点C 时，点E 运动到点A ，此时点F 停止运动，点E 在AD 上运动，△EOF 的面积不变，点在DC 上运动时，如右图， EF=11﹣x ，OC=5∴S △EOF =OC •CE=×（11﹣x ）×5=﹣x+是一次函数，故C 正确，故选C ．点评：本题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是根据动点确定分段函数的图象．对应训练2．（2012•贵港）如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点P在射线AC上运动，过点P作PH⊥AB，垂足为H．（1）直接写出线段AC、AD及⊙O半径的长；（2）设PH=x，PC=y，求y关于x的函数关系式；（3）当PH与⊙O相切时，求相应的y值．（三）应用求图形面积的方法建立函数关系式例3 （2012•桂林）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，D为BC的中点．（1）若E、F分别是AB、AC上的点，且AE=CF，求证：△AED≌△CFD；（2）当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B时停止；设△DEF的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式．思路分析：（1）利用等腰直角三角形的性质得到∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°，进而得到AD=BD=DC，为证明△AED≌△CFD提供了重要的条件；（2）利用S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=9 即可得到y与x之间的函数关系式；（3）依题意有：AF=BE=x﹣6，AD=DB，∠ABD=∠DAC=45°得到∠DAF=∠DBE=135°，从而得到△ADF≌△BDE，利用全等三角形面积相等得到S△ADF=S△BDE从而得到S△EDF=S△EAF+S△ADB即可确定两个变量之间的函数关系式．解：（1）证明：∵∠BAC=90° AB=AC=6，D为BC中点∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°∴AD=BD=DC （2分）∵AE=CF∴△AED≌△CFD（2）解：依题意有：FC=AE=x，∵△AED≌△CFD∴S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=9∴∴；（3）解：依题意有：AF=BE=x﹣6，AD=DB，∠ABD=∠DAC=45°∴∠DAF=∠DBE=135°∴△ADF≌△BDE∴S△ADF=S△BDE∴S△EDF=S△EAF+S△ADB=∴．点评：本题考查了等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质，考查的知识点虽然不是很多但难度较大．对应训练3．（2012•桂林）如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t，△APQ的面积为S，则S与t的函数关系的图象是（）A．B．C．D．考点二：动态几何型压轴题点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

中考数学中的动态问题

中考数学中的动态问题

中考数学中的动态问题
吴瑞芝
【期刊名称】《新课程.中学》
【年(卷),期】2016(0)11
【摘要】近几年，中考数学考查学生能力的题目是越来越灵活，而当中的一个动
态问题却更是能够反映出学生的知识水平，理解能力和研究能力，有较好的区分度，同时依托图形的变换能很好地考查学生学习数学的探究能力和综合素质．这类“动态型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，往往是有多种答案，是一种开放性的问题，要求学生多方面，多角度地去思考此类问题，并且解决这类问题的关键是灵活运用有关数学知识解决问题，
【总页数】1页(P2-2)
【作者】吴瑞芝
【作者单位】江西省宜春市上高中学,336400
【正文语种】中文
【中图分类】G632
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动态问题
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中考数学专题：例+练——第9课时 动态型问题(含答案)

中考数学专题：例+练——第9课时 动态型问题(含答案)

第9课时动态型问题动态型试题比较侧重图形的旋转、平移、对称、翻折，在这里重点考察学生几何图形的认识，对称、全等、相似，是对数学综合能力的考察动态型试题.对学生的思维要求比较高，对题目的理解要清晰，明确变化的量之间的关系，同时还要明确不变的量有那些，抓住关键，理清思路。

动态几何型问题体现的数学思想方法是数形结合思想，这里常把函数与方程、函数与不等式联系起来，实际上是一般化与特殊化方法．当求变量之间关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解；当求特殊位置关系和值时，常建立方程模型求解．类型之一探索性的动态题探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断。

探索型问题一般没有明确的结论，没有固定的形式和方法，需要学生自己通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需要的结论或方法或条件，用考察学生的分析问题和解决问题的能力和创新意识。

1.（宜昌市）如图，在Rt△ABC中，AB=AC，P是边AB（含端点）上的动点，过P作BC的垂线PR，R为垂足，∠PRB的平分线与AB相交于点S，在线段RS上存在一点T，若以线段PT为一边作正方形PTEF，其顶点E、F恰好分别在边BC、AC上.（1）△ABC与△SBR是否相似？说明理由；（2）请你探索线段TS与PA的长度之间的关系；（3）设边AB=1，当P在边AB（含端点）上运动时，请你探索正方形PTEF的面积y的最小值和最大值.O A C B xy 2.（南京市）如图，已知O 的半径为6cm ，射线PM 经过点O ，10cm OP =，射线PN 与O 相切于点Q ．A B ，两点同时从点P 出发，点A 以5cm/s 的速度沿射线PM 方向运动，点B 以4cm/s 的速度沿射线PN 方向运动．设运动时间为t s ．（1）求PQ 的长；（2）当t 为何值时，直线AB 与O 相切？类型之二 存在性动态题存在性动态题运用几何计算进行探索的综合型问题，要注意相关的条件,可以先假设结论成立，然后通过计算求相应的值，再作存在性的判断.3.如图，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）． （1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S =4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．4．(湖州市) 已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数(0)k y k x=>的图象与AC 边交于点E ． （1）求证：AOE △与BOF △的面积相等；（2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．5.（白银市）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点B 的坐标为（4，3）．平行于对角线AC 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m 与矩形OABC 的两边．．分别交于点M 、N ，直线m 运动的时间为t （秒）． (1) 点A 的坐标是__________，点C 的坐标是__________；(2) 当t = 秒或 秒时，MN =21AC ； (3) 设△OMN 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；(4) 探求(3)中得到的函数S 有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由．类型之三 开放性动态题开放性问题的条件或结论不给出，即条件开放或结论开放，需要我们充分利用自己的想像，大胆猜测，发现问题的结论，寻找解决问题的方法，正确选择解题思路。

初中数学_中考专题复习 动态探究型问题教学设计学情分析教材分析课后反思

初中数学_中考专题复习 动态探究型问题教学设计学情分析教材分析课后反思

动态探究型问题练习题型一图形运动与函数图象〖课前预习1〗如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其中一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，.大正方形内去掉小正方形后的面积为s，那么s与t的大致图象应为（）题型二点的运动与几何图形〖课前预习2〗△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点P是BC边上的动点,过点P作PD⊥AB 于点D,PE⊥AC于点E,则PD+PE的长是( ）.A. 4.8B. 4.8或3.8C. 3.8D. 5题型 三 动态问题中存在探究〖课前预习3〗如图,在平面直角坐标系中,点C(−3,0),点A,B 分别在x 轴,y 轴的正半轴上,且满足0132=-+-OA OB .(1) 求点A ，点B 的坐标.(2)若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB 运动，连结AP.设△ABP 的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围.(3)在(2)的条件下，是否存在点P ，使以点A ，B ，P 为顶点的三角形与△AOB 相似?若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.〖举一反三1〗如图,点P是▱ABCD边上一动点,沿A→D→C→B的路径移动,设P点经过的路径长为x,△BAP的面积是y,则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是( )．〖举一反三2〗如图,Rt△ABC中,∠ACB=90∘,∠ABC=60∘,BC=2cm,D为BC的中点,若动点E以1cm/s的速度从A点出发,沿着A→B→A的方向运动,设E点的运动时间为t秒(0≤t<6)，连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（）.A 2 B2.5或3.5C3.5或4.5 D2或3.5或4.5中考链接达标检测1.（2017.济宁）如图,A,B是半径为1的⊙O上两点,且OA⊥OB,点P从点A出发,在⊙O上以每秒一个单位长度的速度匀速运动,回到点A运动结束,设运动时间为x(单位：s),弦BP的长为y,那么下列图象中可能表示y与x函数关系的是( ).)0(62>+-=a c ax ax y 2721+-=x y2.（2016•济宁）如图，已知抛物线m ：的顶点A 在x 轴上，并过点B （0，1），直线n ： 与x 轴交于点D ，与抛物线m 的对称轴L 交于点F ，过B 点的直线BE 与直线n 相交于点E （﹣7，7）．（1）求抛物线m 的解析式．（2）P 是对称轴L 上的一个动点，若以B ，E ，P 为顶点的三角形的周长最小，求点P 的坐标．（3）抛物线m 上是否存在一动点Q ，使以线段FQ 为直径的圆恰好经过点D ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．《动态探究型问题》学情分析动态探究型问题这类题目多出现在压轴题题目中，题目难度较大，试题信息量大，对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高，是近年来中考数学的热点题型，学生遇到这类题目时都会感到恐惧。

专练01 三角形中的动点问题-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练(全国通用)(解析版)

专练01 三角形中的动点问题-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练(全国通用)(解析版)

专练01三角形中的动点问题1.已知等边△ABC的边长为4cm，点P，Q分别从B，C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA，AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x(s) ，（1）如图1，若PQ∥AB，则x的值为________(s)。

（2）如图2，若PQ⊥AC，求x的值。

（3）如图3，当点Q在AB上运动时，PQ与△ABC的高AD交于点0，0Q与OP是否总是相等？请说明理由。

【答案】（1）43（2）解：依题意得：PC=4-x，CQ=2x，∵PQ⊥AC，∠C=60°，∴∠QPC= 30°，∴CQ= 12PC，即2x= 12(4-x)，解得：x= 45（3）解：OQ=PO，理由如下：作QH⊥AD于H，如图3，∵△ABC为等边三角形，AD⊥BC ，∴∠QHO=∠PDO=90°，∠QAH=30°，BD= 12BC=2，∴QH= 12AQ= 12(2x-4)=x-2，∵DP=BP-BD=x-2， ∴QH= DP ，在△OQH 和△OPD 中， {∠QOH =∠POD ∠QHO =∠PDO QH =PD ，∴△OQH ≌△OPD(AAS)， ∴OQ=OP2.如图①，已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8cm ，BC=6cm ，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，同时点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为2 cm/s 。

以AQ 、PQ 为边作四边形AQPD ，连接DQ ，交AB 于点E ，设运动的时间为t(单位： s)(0<t≤4)，解答下列问题：（1）用含有t 的代数式表示AE=________；（2）如图②，当t 为何值时，四边形AQPD 为菱形； （3）求运动过程中，四边形AQPD 的面积的最大值。

【答案】解：（1）在直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6 ∴由勾股定理，BA=10∵点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为2 ∴BP=2∴AP=AB-BP=10-2t∵四边形AQPD 为平行四边形 ∴AE=12AP=5-t （2）解：如图①，当四边形AQPD是菱形时，DQ⊥AP，则AEAQ =ACAB即5−t2t =810，解得t= 2513∴当t= 2513时，四边形AQPD是菱形；（3）解：如解图②，作PM⊥AC于M，设平行四边形AQPD的面积为S∵PM∥ BC，∴△APM∽△ABC，∴APAB =PMBC即10−2t10=PM6∴PM= 65(5-t)，∴S=AQ·PM=2t·65(5-t)= −125t2+12t= −125(t- 52)2+15 (0<t≤4)，∵−125<0，∴当t= 52时，S有最大值，最大值为15cm23.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8m ，BC=6m ，点P由C点出发以2m/s的速度向终点A 匀速移动，同时点Q由点B出发以1m/s的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．（1）经过几秒△PCQ的面积为△ACB的面积的13？（2）经过几秒，△PCQ与△ACB相似？（3）如图2，设CD为△ACB的中线，那么在运动的过程中，PQ与CD有可能互相垂直吗？若有可能，求出运动的时间；若没有可能，请说明理由．【答案】（1）解：设经过x秒△PCQ的面积为△ACB的面积的13，由题意得：PC=2xm，CQ=（6﹣x）m，则12×2x（6﹣x）= 13×12×8×6，解得：x=2或x=4．故经过2秒或4秒，△PCQ的面积为△ACB的面积的13；（2）解：设运动时间为ts，△PCQ与△ACB相似．当△PCQ与△ACB相似时，则有CPCA =CQCB或CPBC=CQCA,所以2t8=6−t6或2t6=6−t8,解得t= 125，或t= 1811.因此，经过125秒或1811.秒，△OCQ与△ACB相似；（3）解：有可能．由勾股定理得AB=10．∵CD为△ACB的中线，∴∠ACD=∠A，∠BCD=∠B，又PQ⊥CD，∴∠CPQ=∠B，∴△PCQ∽△BCA，∴CPBC =CQCA, 2y6=6−y8,解得y= 1811.因此，经过1811秒，PQ⊥CD．4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=5cm,BC=3cm,D为边AB的中点.P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→C→A匀速运动，回到点A时停止运动，同时点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿C→B向终点B匀速运动，连结PQ、DP、DQ.设点P的运动时间为t（s).（1）当点P沿A→C运动，且DP ⊥AB时，求t的值.（2）当△CPQ与△ABC相似时，求t的值【答案】（1）解：∵DP⊥AB，∠C=90°∴∠C=∠ADP=90°根据勾股定理可得，AC=√AB2−BC2=4∵∠A=∠A∴△APD∽△ABC∴APAB =ADAC∴2t5=2.54∴t=2516（2）解：当△CPQ∽△CAB时，CPCA =CQCB∴4−2t4=t3∴t=65当△CPQ∽△CBA时，CPCB =CQCA∴4−2t3=t4∴t=16115.已知在Rt△ABC中，∠ACB=90 °，AC=4、BC=3，CD⊥AB于D，点M从点D出发，沿线段DC向点C 运动，点N从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，运动速度都是每秒1个单位长度。

【2021中考数学】四边形综合：动点与相似(三)含答案

【2021中考数学】四边形综合：动点与相似(三)含答案

2021年九年级中考数学考点提升训练—几何专题：《四边形综合之动点与相似》1．如图，△ABD、△ACE、△A′CD′、△A′BE′是平行四边形ABA′C外的四个等边三角形．（1）在图1中，用旋转知识说明△ACE和△A′BE′成中心对称；（2）在图2中，点N、N′分别是△ACE、△A′BE′的中心，证明：DD′⊥NN′．2．如图1，E，F分别是正方形ABCD的边AD和对角线AC的中点，（1）的值为；（2）①将△AEF绕点A旋转，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情况进行证明；如果不成立，请说明理由；②如果AB＝2，当以点E，F，C在一条直线上时，请直接写出CF的值．3．四边形ABCD是菱形，∠B≤90°，点E为边BC上一点，联结AE，过点E作EF⊥AE，EF 与边CD交于点F，且EC＝3CF．（1）如图1，当∠B＝90°时，求S△ABE 与S△ECF的比值；（2）如图2，当点E是边BC的中点时，求cos B的值；（3）如图3，联结AF，当∠AFE＝∠B且CF＝2时，求菱形的边长．4．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在CD边上，tan∠EAD＝．点F是线段AE上一点，联结BF，CF．（1）如图1，如果tan∠CBF＝，求线段AF的长；（2）如图2，如果CF＝BC，①求证：∠CFE＝∠DAE；②求线段EF的长．5．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝6．延长BC到点E，使CE＝3，连结DE．动点P 从点B出发，沿着BE以每秒1个单位的速度向终点E运动，点P运动的时间为t秒．（1）DE的长为．（2）连结AP，求当t为何值时，△ABP≌△DCE．（3）连结DP．①求当t为何值时，△PDE是直角三角形．②直接写出当t为何值时，△PDE是等腰三角形．6．将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（8，0），点C（0，6）．P是边OC上的﹣一点（点P不与点O，C重合），沿着AP折叠该纸片，得点O的对应点O'．（Ⅰ）如图①，当点O'落在边BC上时，求点O'的坐标；（Ⅱ）若点O'落在边BC的上方，O'P，O'A与分别与边BC交于点D，E．①如图②，当∠OAP＝30°时，求点D的坐标；②当CD＝O'D时，求点D的坐标（直接写出结果即可）．7．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝90°，且AD＝9cm，AB＝4cm，延长BC至点E，使CE＝3cm，连接DE．若动点P从A点出发，以每秒2cm的速度沿线段AD向点D运动；动点Q从E点出发以每秒3cm的速度沿EB向B点运动，当点P、Q有一个到达指定位置时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题：（1）求DE的长；（2）当t为多少时，四边形PQED成为平行四边形；（3）请直接写出使得△DQE是等腰三角形时t的值．8．如图1，在正方形ABCD（正方形四边相等，四个角均为直角）中，AB＝8，P为线段BC 上一点，连接AP，过点B作BQ⊥AP，交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交AD于点N．（1）求证：BP＝CQ；（2）若BP＝PC，求AN的长；（3）如图2，延长QN交BA的延长线于点M，若BP＝x（0＜x＜8），△BMC'的面积为S，求S与x之间的函数关系式．9．已知，如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA 的中点，动点P在线段BC上以每秒2个单位长的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒（1）当t为何值时，四边形PODB是平行四边形？（2）在直线CB上是否存在一点Q，使得O、D、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在线段PB上有一点M，且PM＝5，当P运动秒时，四边形OAMP的周长最小，并画图标出点M的位置．10．四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转2α（0°＜α＜45°），得到线段CE，连接DE，过点B作BF⊥DE交DE的延长线于F，连接BE．（1）依题意补全图1；（2）直接写出∠FBE的度数；（3）连接AF，用等式表示线段AF与DE的数量关系，并证明．参考答案1．解：（1）如图1，连接AA'，BC相交于O，连接OE'，OE，∵四边形ABA'C是平行四边形，∴AC∥BA'，OA＝OA'，AC＝A'B，将△ACE绕点O顺时针旋转180°得到△A'BF，∵△ACE和△A'BE'是等边三角形，∴AE＝A'E'，∠CAE＝∠BA'E'＝60°，∵AC∥BA'，∴∠OAC＝∠OA'B，∴∠CAE+∠OAC＝BA'E'+∠OA'B，∴∠OAE＝∠OA'E，∴△OAE≌△OA'E'（SAS），∴OE＝OE'，∠AOE＝∠A'OE'，∵∠AOE+∠A'OE＝180°，∴∠A'OE'+∠A'OE＝180°，∴点E，O，E'在同一条线上，∴点F与点E'重合，即△ACE和△A′BE′成中心对称；（2）如图2，连接AN，BN'，DN，DN'，D'N'，D'N，A'N'，由（1）知，△ACE和△A′BE′成中心对称，∵点N，N'分别是等边△ACE和等边△A'BE'的中心，∴AN＝BN'，∠CAN＝∠A'BN'＝30°，设∠ABA'＝α，∵四边形ABA'C是平行四边形，∴AC∥BA'，∴∠ABA'+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣α，∵△ABD是等边三角形，∴BD＝AD，∠BAD＝∠ABD＝60°，∴∠DBN'＝∠ABD+∠ABA'+∠A'BN'＝90°+α，∠DAN＝360°﹣（∠BAD+∠BAC+∠CAN）＝360°﹣（60°+180°﹣α+30°）＝90°+α，∴∠DBN'＝∠DAN，∴△DBN'≌△DAN（SAS），∴DN＝DN'，同理：D'N＝D'N'，同理：∠D'A'N'＝90°+α，∴∠DBN'＝∠D'A'N'，∵四边形ABA'C是平行四边形，∴AB＝A'C，∵△ABD和△A'CD'是等边三角形，∴AB＝DB，AC＝A'D'，∴DB＝D'A'，∵点N'是△A'BE'的中心，∴BN'＝A'N'，∴△DBN'≌△D'A'N'（SAS），∴DN'＝D'N'，∴DN'＝D'N'＝D'E＝DN，∴四边形DN'D'N是菱形，∴DD′⊥NN′．2．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠D＝90°，∴AC＝AD，∵E，F分别是正方形ABCD的边AD和对角线AC的中点，∴EF是△ACD的中位线，AE＝AD，AF＝AC，∴EF∥CD，∴＝＝＝，故答案为：；（2）①（1）中的结论仍然成立，理由如下：由（1）得：＝＝，△AFE和△ACD都是等腰直角三角形，∴∠FAE＝∠CAD＝45°，∴∠FAE+∠CAE＝∠CAD+∠CAE，即∠FAC＝∠EAD，∴△ACF∽△ADE，∴＝＝；②如图3所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝AB＝2，∠ADC＝90°，∴AC＝AD＝2，同②得：EF＝AE＝AD＝1，∠AEF＝90°，∵点E，F，C在一条直线上，∴∠AEC＝90°，∴CE＝＝＝，∴CF＝CE+EF＝+1．3．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠B＝90°，∴四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∵EF⊥AE，∴∠AEB+∠CEF＝∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△ABE≌△CEF，∴，∵EC＝3CF，设CF＝x，AB＝a，则EC＝3x，BE＝a﹣3x，∴，解得，a＝4.5x，∴；（2）过点A作AM⊥BC于点M，过点F用FN⊥BC于点H，如图2，则∠AME＝∠CNF＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AB∥CD，∴∠B＝∠FCN，设CF＝x，则CE＝3x，∵E是BC的中点，∴BE＝CE＝3x，AB＝BC＝2CE＝6x，∴BM＝AB•cos B＝6x cos B，AM＝AB•sin B＝6x sin B，CN＝CF•cos∠FCN＝x cos B，FN＝CF•sin ∠FCN＝x sin B，∴ME＝BE﹣BM＝3x﹣6x cos B，EN＝EC+CN＝3x+x cos B，∵∠AEF＝90°，∴∠AEM+∠NEF＝∠AEM+∠MAE＝90°，∴∠MAE＝∠NEF，∴△AME∽△ENF，∴，即，即，整理得，2sin2B＝3﹣5cos B﹣2cos2B，∴2＝3﹣5cos B，∴cos B＝；（3）过点A作AM⊥BC于点M，过点F用FN⊥BC于点H，如图3，则∠AME＝∠CNF＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AB∥CD，∴∠B＝∠FCN，∵∠AEF＝90°，∴∠AEM+∠NEF＝∠AEM+∠MAE＝90°，∴∠MAE＝∠NEF，∴△AME∽△ENF，∴＝，∵∠AFE＝∠B，tan B＝，tan∠AFE＝，∴，∴，∴BM＝EN，设菱形ABCD的边长为a，则AB＝BC＝a，∴BM＝a cos B，CN＝CF•cos∠FCN＝CF•cos B，∴a cos B＝EC+CF•cos B，∵CF＝2，EC＝3CF，∴EC＝6，∴a cos B＝6+2cos B，∴cos B＝，∵，AM＝AB•sin B＝a sin B，EN＝6+2cos B，ME＝a﹣a cos B﹣6，NF＝CF•sin∠FCN＝2sin B，∴，化简得，2a（sin2B+cos2B）＝6a﹣4a cos B﹣12cos B﹣36，2a＝6a﹣4a cos B﹣12cos B﹣36，a﹣a cos B﹣3cos B﹣9＝0，∵cos B＝，∴a﹣﹣﹣9＝0，解得，a＝17，或a＝0（舍），∴菱形的边长为17．4．解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAC＝∠ABC＝90°，过点F作FG⊥AB于G，∴AD∥GF∥BC，∴∠DAE＝∠AFG，∵tan∠EAD＝，∴tan∠AFG＝，在RtAGF中，tan∠AFG＝＝，设AG＝m，则FG＝2m，∵FG∥BC，∴∠BFG＝∠CBF，∵tan∠CBF＝，∴tan∠BFG＝，在RtBGF中，tan∠BFG＝＝，∴，∴BG＝m，∵AB＝AG+BG＝6，∴m+m＝6，∴m＝，∴AG＝，FG＝2m＝，根据勾股定理得，AF＝＝＝；（2）①如图2，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，BC＝AD＝8，CD＝AB＝6，∠D＝90°，在Rt△ADE中，tan∠DAE＝＝，∴DE＝AD＝×8＝4，∴CE＝CD﹣DE＝2，延长AE，BC相交于点H，∵AD∥BC，∴△ADE∽△HCE，∴，∴，∴CH＝4，∵CF＝BC＝4，∴CF＝CH，∴∠H＝∠CFE，∵AD∥BC，∴∠H＝∠DAE，∴∠CFE＝∠DAE；②如图3，过点F作FP⊥CD于P，∴AD∥FP，∴∠PFE＝∠DAE，∵tan∠DAE＝，∴tan∠PFE＝，在Rt△EPF中，tan∠PFE＝＝，设PE＝n，则PF＝2n，由①知，CE＝2，∴CP＝n+2，在Rt△CPF中，CF＝4，根据勾股定理得，CF2＝PF2+CP2，∴42＝（2n）2+（n+2）2，∴n＝﹣2（舍）或n＝，∴PE＝，PE＝2n＝，根据勾股定理得，EF＝＝＝．5．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，CD⊥BC，在Rt△DCE中，DE＝＝＝5，故答案为 5．（2）如图1，在长方形ABCD中，AB＝DC，∠B＝∠DCB＝90°，∴∠DCE＝∠B＝90°，∵△ABP≌△DCE，∴BP＝CE，∴1×t＝3，∴t＝3；（3）①当∠PDE＝90°时，如图2，在Rt△PDE中，PD2＝PE2﹣DE2，在Rt△PCD中，PD2＝PC2+CD2，∴PE2﹣DE2＝PC2+CD2，∴（9﹣t）2﹣52＝（6﹣t）2+42，∴t＝．当∠DPE＝90°时，此时点P与点C重合，∴BP＝BC，∴t＝6．综上所述，当t＝或t＝6时，△PDE是直角三角形；②若△PDE为等腰三角形，则PD＝DE或PE＝DE或PD＝PE，当PD＝DE时，如图3，∵PD＝DE，DC⊥BE，∴PC＝CE＝3，∵BP＝BC﹣CP＝3，∴t＝＝3，当PE＝DE＝5时，如图4，∵BP＝BE﹣PE，∴BP＝9﹣5＝4，∴t＝＝4，当PD＝PE时，如图5，∴PE＝PC+CE＝3+PC，∴PD＝3+PC，在Rt△PDC中，DP2＝CD2+PC2，∴（3+PC）2＝16+PC2，∴PC＝，∵BP＝BC﹣PC，∴BP＝，∴t＝＝，综上所述：当t＝3秒或4秒或秒时，△PDE为等腰三角形．6．解：（Ⅰ）∵点A（8，0），点C（0，6），OABC为矩形，∴AB＝OC＝6，OA＝CB＝8，∠B＝90°．根据题意，由折叠可知△AOP≌△AO'P，∴O'A＝OA＝8．在Rt△AO'B中，BO'＝＝2．∴CO'＝BC﹣BO'＝8﹣2．∴点O'的坐标为（8﹣2，6）．（Ⅱ）①∵∠OAP＝30°，∴∠OPA＝60°，∵∠OPA＝∠O'PA，∴∠CPD＝180°﹣∠OPA﹣∠O'PA＝60°．∵OA＝8，∴OP＝OA•tan30°＝．∴CP＝6﹣OP＝6﹣．∴CD＝CP•tan60°＝6﹣8．∴点D的坐标为（6﹣8，6）．②连接AD，如图：设CD＝x，则BD＝BC﹣CD＝8﹣x，O'D＝CD＝x，根据折叠可知AO'＝AO＝8，∠PO'A＝∠POA＝90°，∴在Rt△ADO'中，AD2＝AO'2+DO'2＝82+x2＝x2+64；在Rt△ABD中，AD2＝BD2+AB2＝（8﹣x）2+62＝x2﹣16x+100；∴x2+64＝x2﹣16x+100，解得：x＝，∴D（，6）．7．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝4，AB∥CD，∴∠DCE＝∠B＝90°，在Rt△DCE中，CE＝3，根据勾股定理得，DE＝＝5cm；（2）根据题意得，AP＝2t，PD＝9﹣2t，EQ＝3t，∵四边形PQED是平行四边形，∴PD＝EQ，∴9﹣2t＝3t，∴t＝，即：当t为秒时，四边形PQED成为平行四边形；（3）根据题意得，EQ＝3t，由（1）知，DE＝5，∵△DQE是等腰三角形，∴①当DQ＝DE时，∵∠DCE＝90°，∴CQ＝CE，∴EQ＝2CE＝6，∴3t＝6，∴t＝2；②当DQ＝EQ时，如图，则DQ＝3t，CQ＝EQ﹣CE＝3t﹣3，在Rt△DCE中，根据勾股定理得，CD2+CQ2＝DQ2，∴42+（3t﹣3）2＝（3t）2，③当DE＝EQ时，∴3t＝5，∴t＝；即：△DQE是等腰三角形时，t的值为2秒或秒或秒．8．解：（1）证明：∵∠ABC＝90°∴∠BAP+∠APB＝90°∵BQ⊥AP∴∠APB+∠QBC＝90°，∴∠QBC＝∠BAP，在△ABP于△BCQ中，，∴△ABP≌△BCQ（ASA），∴BP＝CQ，（2）由翻折可知，AB＝BC'，连接BN，在Rt△ABN和Rt△C'BN中，AB＝BC'，BN＝BN，∴Rt△ABN≌△Rt△C'BN（HL），∴AN＝NC'，∵BP＝PC，AB＝8，∴BP＝2＝CQ，CP＝DQ＝6，设AN＝NC'＝a，则DN＝8﹣a，∴在Rt△NDQ中，（8﹣a）2+62＝（a+2）2解得：a＝4.8，即AN＝4.8．（3）解：过Q点作QG⊥BM于G，由（1）知BP＝CQ＝BG＝x，BM＝MQ．设MQ＝BM＝y，则MG＝y﹣x，∴在Rt△MQG中，y2＝82+（y﹣x）2，∴．∴S△BMC′＝S△BMQ﹣S△BC'Q＝＝，＝．9．解：（1）∵四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），∴BC＝OA＝10，AB＝OC＝4，∵点D是OA的中点，∴OD＝OA＝5，由运动知，PC＝2t，∴BP＝BC﹣PC＝10﹣2t，∵四边形PODB是平行四边形，∴PB＝OD＝5，∴10﹣2t＝5，∴t＝2.5；（2）①当Q点在P的右边时，如图1，∵四边形ODQP为菱形，∴OD＝OP＝PQ＝5，∴在Rt△OPC中，由勾股定理得：PC＝3∴2t＝3；∴t＝1.5，∴Q（8，4）②当Q点在P的左边且在BC线段上时，如图2，同①的方法得出t＝4，∴Q（3，4），③当Q点在P的左边且在BC的延长线上时，如图3，同①的方法得出，t＝1，∴Q（﹣3，4），（3）如图4，由（1）知，OD＝5，∵PM＝5，∴OD＝PM，∵BC∥OA，∴四边形OPMD时平行四边形，∴OP＝DM，∵四边形OAMP的周长为OA+AM+PM+OP＝10+AM+5+DM＝15+AM+DM，∴AM+DM最小时，四边形OAMP的周长最小，∴作点A关于BC的对称点E，连接DE交PB于M，∴AB＝EB，∵BC∥OA，∴BM＝AD＝，∴PC＝BC﹣BM﹣PM＝10﹣5﹣＝，∴t＝÷2＝，10．解：（1）补全图形，如图所示：（2）∠FBE＝45°．设DF与AB交于点G，如图所示：由题意得，CD＝CE＝CB，∠ECD＝2α，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，∴∠EDC＝90°﹣α，∠BCE＝90°﹣2α，∴∠CBE＝45°+α，∠ADF＝α，∴∠ABE＝45°﹣α．∵BF⊥DE，∴∠BFD＝90°．∵∠AGD＝∠FGB，∴∠FBG＝α∴∠FBE＝∠FEB＝45°．（3）DE＝AF．证明：如图，作AH⊥AF，交BF的延长线于点H，由（2）得∠FBE＝∠FEB＝45°．∴FB＝FE．∵AH⊥AF，∠BAD＝90°，∴∠HAB＝∠FAD，∵∠BFG＝∠DAG＝90°，∠BGF＝∠DGA，∴∠FBG＝∠ADG，即∠ABH＝∠ADF，∴△HAB≌△FAD（ASA），∴HB＝FD，AH＝AF，∴HF＝DE，∠H＝45°．∴HF＝AF．∴DE＝AF．。

2021年中考数学 压轴专题训练之动点问题(含答案)

2021年中考数学 压轴专题训练之动点问题(含答案)

2021中考数学 压轴专题训练之动点问题1. 如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC 各顶点的坐标分别为O (0，0)，A (3，33)，B (9，53)，C (14，0)．动点P 与Q 同时从O 点出发，运动时间为t 秒，点P 沿OC 方向以1单位长度/秒的速度向点C 运动，点Q 沿折线OA －AB－BC 运动，在OA ，AB ，BC 上运动的速度分别为3，3，52(单位长度/秒)．当P ，Q 中的一点到达C 点时，两点同时停止运动． (1)求AB 所在直线的函数表达式．(2)如图2，当点Q 在AB 上运动时，求△CPQ 的面积S 关于t 的函数表达式及S 的最大值．(3)在P ，Q 的运动过程中，若线段PQ 的垂直平分线经过四边形OABC 的顶点，求相应的t 值．图1 图22. 如图，抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴交于A ，B 两点(A 在B 的左侧)，与y 轴交于点N ，过A 点的直线l :y=kx+n 与y 轴交于点C ，与抛物线y=-x 2+bx+c 的另一个交点为D ，已知A (-1，0)，D (5，-6)，P 点为抛物线y=-x 2+bx+c 上一动点(不与A ，D 重合).(1)求抛物线和直线l 的解析式;(2)当点P 在直线l 上方的抛物线上时，过P 点作PE ∥x 轴交直线l 于点E ，作PF ∥y 轴交直线l 于点F ，求PE+PF 的最大值;(3)设M 为直线l 上的点，探究是否存在点M ，使得以点N ，C ，M ，P 为顶点的四边形为平行四边形.若存在，求出点M 的坐标;若不存在，请说明理由.3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－2, －4 )、O (0, 0)、B (2, 0)三点．（1）求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式；（2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM ＋OM 的最小值．4. 设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2，若l 1⊥l 2，垂足为H ，则称直线l 1与l 2是点H 的直角线．（1）已知直线①122y x =-+；②2y x =+；③22y x =+；④24y x =+和点C (0，2)，则直线_______和_______是点C 的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A (3，0)、B (2，7)、C (0，7)，P 为线段OC 上一点，设过B 、P 两点的直线为l 1，过A 、P 两点的直线为l 2，若l 1与l 2是点P 的直角线，求直线l 1与l 2的解析式．5. 如图①，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=ax 2-2ax -8a 与x 轴相交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C (0，-4).(1)点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ，线段AC 的长为 ，抛物线的解析式为 .(2)点P 是线段BC 下方抛物线上的一个动点.如果在x 轴上存在点Q ，使得以点B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点Q 的坐标.①6. 如图，已知抛物线211(1)444by x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．7. 如图，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设x AB =． （1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值； （3）探究：△ABC 的最大面积？8. 如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点．（1）求抛物线的解析式；（2）求tan∠ABO的值；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．9. 在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k)．（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．10. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋4(a≠0)的对称轴为直线x＝3，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，已知B点的坐标为(8，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)点M为线段BC上方抛物线上的一点，点N为线段BC上的一点，若MN∥y 轴，求MN的最大值；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．11. 如图，直线y＝2x＋6与反比例函数y＝kx(k＞0)的图象交于点A(m，8)，与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n(0＜n＜6)交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM.(1)求m的值和反比例函数的解析式；(2)观察图象，直接写出当x＞0时不等式2x＋6－kx＞0的解集；(3)直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．13. 在直角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝35分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求点B的坐标；（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．14. 如图，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x 的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．15. 如图，二次函数y ＝a (x 2－2mx －3m 2)（其中a 、m 是常数，且a ＞0，m ＞0）的图像与x 轴分别交于A 、B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C (0,－3)，点D 在二次函数的图像上，CD //AB ，联结AD ．过点A 作射线AE 交二次函数的图像于点E ，AB 平分∠DAE ． （1）用含m 的式子表示a ； （2）求证：ADAE为定值； （3）设该二次函数的图像的顶点为F ．探索：在x 轴的负半轴上是否存在点G ，联结GF ，以线段GF 、AD 、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G 即可，并用含m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．16. 如图，二次函数y=-x2+4x+5的图象的顶点为D，对称轴是直线l，一次函数y=x+1的图象与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B.(1)点D的坐标是.(2)直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点(不与点D，C重合)，点N 的纵坐标为n.过点N作直线与线段DA，DB分别交于点P，Q，使得△DPQ与△DAB相似.①当n=时，求DP的长;②若对于每一个确定的n的值，有且只有一个△DPQ与△DAB相似，请直接写出n的取值范围.17. 已知直线y＝3x－3分别与x轴、y轴交于点A，B，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A，B．（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l，点B关于直线l的对称点为C，若点D在y 轴的正半轴上，且四边形ABCD为梯形．①求点D的坐标；②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P，其对称轴与直线y＝3x－3交于点E ，若73tan =∠DPE ，求四边形BDEP 的面积．18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝－x 2＋2x ＋8的图象与一次函数y ＝－x ＋b 的图象交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为－7.点P 是二次函数图象上A 、B 两点之间的一个动点(不与点A 、B 重合)，设点P 的横坐标为m ，过点P 作x 轴的垂线交AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点D . (1)求b 及sin ∠ACP 的值；(2)用含m 的代数式表示线段PD 的长；(3)连接PB ，线段PC 把△PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m 值，使这两个三角形的面积之比为1∶2？如果存在，直接写出m 的值；如果不存在，请说明理由．19. 如图，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．20. 已知平面直角坐标系中两定点A (－1, 0)、B (4, 0)，抛物线y ＝ax 2＋bx －2（a≠0）过点A 、B ，顶点为C ，点P (m , n )（n ＜0）为抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式和顶点C 的坐标； （2）当∠APB 为钝角时，求m 的取值范围；（3）若m ＞32，当∠APB 为直角时，将该抛物线向左或向右平移t （0＜t ＜52）个单位，点C 、P 平移后对应的点分别记为C ′、P ′，是否存在t ，使得顺次首尾连接A 、B 、P ′、C ′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t 的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．2021中考数学 压轴专题训练之动点问题-答案一、解答题（本大题共20道小题）1. 【答案】【思维教练】(1)设一次函数解析式，将已知点A 、B 的坐标值代入求解即可；(2)S △CPQ ＝12·CP·Q y ，CP ＝14－t ，点Q 在AB 上，Q y 即为当x ＝t 时的y 值，代入化简得出S 与t 的函数关系式，化为顶点式得出最值；(3)垂直平分线过顶点需以时间为临界点分情况讨论，当Q 在OA 上时，过点C ；当Q 在AB 上时，过点A ；当Q 在BC 上时，过点C 和点B ，再列方程并求解．解图1解：(1)把A(3，33)，B(9，53)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧3k ＋b ＝33，9k ＋b ＝53，解得⎩⎨⎧k ＝33，b ＝23，∴y ＝33x ＋23；(3分)(2)在△PQC 中，PC ＝14－t ，∵OA ＝32＋（33）2＝6且Q 在OA 上速度为3单位长度/s ， AB ＝62＋（23）2＝43且Q 点在AB 上的速度为3单位长度/s ， ∴Q 在OA 上时的横坐标为t ，Q 在AB 上时的横坐标为32t ， PC 边上的高线长为33t ＋2 3.(6分)所以S ＝12(14－t )(32t ＋23)＝－34t 2＋532t ＋143(2≤t ≤6)．当t ＝5时，S 有最大值为8134.(7分)解图2(3)①当0＜t ≤2时，线段PQ 的中垂线经过点C(如解图1)．可得方程(332t )2＋(14－32t )2＝(14－t )2.解得t 1＝74，t 2＝0(舍去)，此时t ＝74.(8分)解图3②当2＜t ≤6时，线段PQ 的中垂线经过点A(如解图2)． 可得方程(33)2＋(t －3)2＝[3(t －2)]2.解得t 1＝3＋572，∵t 2＝3－572(舍去)，此时t ＝3＋572. ③当6＜t ≤10时，(1)线段PQ 的中垂线经过点C(如解图3)．可得方程14－t ＝25－52t ，解得t ＝223.(10分)解图4(2)线段PQ 的中垂线经过点B(如解图4)．可得方程(53)2＋(t －9)2＝[52(t －6)]2. 解得t 1＝38＋2027，t 2＝38－2027(舍去)． 此时t ＝38＋2027.(11分) 综上所述，t 的值为74，3＋572，223，38＋2027.(12分)【难点突破】解决本题的关键点在于对PQ 的垂直平分线过四边形顶点的情况进行分类讨论，在不同阶段列方程求解．2. 【答案】[分析] (1)将点A ，D 的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式，即可求解; (2)设出P 点坐标，用参数表示PE ，PF 的长，利用二次函数求最值的方法.求解; (3)分NC 是平行四边形的一条边或NC 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可.解:(1)将点A ，D 的坐标代入y=kx +n 得:解得:故直线l 的表达式为y=-x -1.将点A ，D 的坐标代入抛物线表达式， 得解得故抛物线的表达式为:y=-x 2+3x +4. (2)∵直线l 的表达式为y=-x -1，∴C (0，-1)，则直线l 与x 轴的夹角为45°，即∠OAC=45°， ∵PE ∥x 轴，∴∠PEF=∠OAC=45°.又∵PF ∥y 轴，∴∠EPF=90°，∴∠EFP=45°.则PE=PF .设点P 坐标为(x ，-x 2+3x +4)， 则点F (x ，-x -1)，∴PE +PF=2PF=2(-x 2+3x +4+x +1)=-2(x -2)2+18，∵-2<0，∴当x=2时，PE +PF 有最大值，其最大值为18. (3)由题意知N (0，4)，C (0，-1)，∴NC=5，①当NC 是平行四边形的一条边时，有NC ∥PM ，NC=PM. 设点P 坐标为(x ，-x 2+3x +4)，则点M 的坐标为(x ，-x -1)， ∴|y M -y P |=5，即|-x 2+3x +4+x +1|=5， 解得x=2±或x=0或x=4(舍去x=0)，则点M 坐标为(2+，-3-)或(2-，-3+)或(4，-5);②当NC 是平行四边形的对角线时，线段NC 与PM 互相平分. 由题意，NC 的中点坐标为0，，设点P 坐标为(m ，-m 2+3m +4)， 则点M (n'，-n'-1)， ∴0==，解得:n'=0或-4(舍去n'=0)， 故点M (-4，3).综上所述，存在点M ，使得以N ，C ，M ，P 为顶点的四边形为平行四边形，点M 的坐标分别为: (2+，-3-)，(2-，-3+)，(4，-5)，(-4，3).3. 【答案】（1）212y x x =-+。

中考数学中的动态几何综合题例析

中考数学中的动态几何综合题例析
例 １如 图① ， △Ｐ ． 在 ＭＮ 中 ， Ｐ＝ ０ ，Ｍ ＝ Ａ， Ｎ ＝ ｃ ９ 。Ｐ Ｐｌ Ｍ ８ｍ，
矩形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ的长和宽分别为 ８ｍ和 ２ｍ， ｃ ｃ Ｃ点和 Ｍ 点重合 ，Ｃ和 Ｂ ＭＮ在一条直线上。令 △Ｐ ＭＮ不动， 矩形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ沿 ＭＮ所在直 线 向右 以每秒 ｌ ｃ ｍ的速度移动如 图② ， 直到 ｃ点与 Ⅳ点重合为 止 。设移动 秒 后 ， 形 Ａ Ｃ 与 ＡＰ 矩 ＢＤ ＭＮ重 叠部 分 的面 积为 ｙ ｍ２ ｃ 求 ）与 之间的关系式。（ ， 河南省中考题 ）
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④ 若点 Ｐ在 Ｃ 上运 动 ， 点 Ｐ在 点 Ｑ的右 侧 。当 ｃ Ｄ 且 ｑ Ｃ ４时 ， Ｐ＝ ｏＰ与０９外 切。
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示 ， Ｃ 交 Ｐ 于 点 设 Ｄ Ｎ Ｑ 则重 叠 部 分 图 形是 ， 五边 形 Ｃ Ｈ ＭＣ ｑ。’ ＭＣ Ｂ ． Ｍ ２ＦｘＣ ’
中考 数 学 中 的动 态 几 何 综 合 题 例 析
江 苏省 东 台 市三 仓 镇 新 农 ｅ 学 ｌ ， 黄 杰
近几年来 ， 动态几何综合题成为全国各地在中考命题中多次 出现的热门考点．也是中考复习最后阶段的重点和难点 ， ， 它所考 查的内容涉及初中代数 Ｊ 何中若干不同的知识点， ． ＵＬ 需要学生扎 实地掌握好数学基础知识 ， 又具备灵活综合运用数学知识解决问 题的能力。在解决此类问题时， 首先要弄清几何图形在运动过程 中各部分的位置变化情况 ， 特别是关键的点、 线段和角的位置变 化规律 ， 从而探 索到解决 问题 的突破 口。下面以几道 中考题为 例， 来寻求解答这类题型的 些规律。
１
＝
分析与解答 ： （当 Ａ Ｄ １ ） Ｐ＝ ｐ时 ， 四边形 Ａ Ｑ Ｐ Ｄ为矩形 ．４ ＝ ０一ｔ ’ ｔ２ ． 解得

专题55：第12章压轴题之动态几何类-备战2021中考数学解题方法系统训练(全国通用)(解析版)

专题55：第12章压轴题之动态几何类-备战2021中考数学解题方法系统训练(全国通用)(解析版)

55第12章压轴题之动态几何类一、单项选择题1．如图,在四边形ABCD 中,//AD BC ,6AD =,16BC =,E 是BC 的中点．点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发,沿AD 向点D 运动；点Q 同时以每秒3个单位长度的速度从点C 出发,沿CB 向点B 运动．点P 停止运动时,点Q 也随之停止运动．假设以点,,,P Q E D 为顶点的四边形是平行四边形,那么点P 运动的时间为〔 〕A ．1B ．72C ．2或72D ．1或72【答案】D【分析】要使得以P 、Q 、E 、D 为顶点的四边形是平行四边形,//AD BC ,即要使PD=EQ 即可,设点P 的运动时间为t (0≤t ≤6) 秒,分别表示出PD,EQ 的长度,根据PD=EQ 列方程求解即可．【解答】设点P 的运动时间为t (0≤t ≤6) 秒,那么AP=t ,CQ=3t ,由E 是BC 的中点可得：BE=EC=8,要使得以P 、Q 、E 、D 为顶点的四边形是平行四边形,//AD BC ,即要使PD=EQ 即可．〔1〕如图：点Q 位于点E 右侧时,PD=6－t ,CQ=3t ,EQ=8－3t ,6－t =8－3t ,t =1〔秒〕；〔2〕如图：点Q 位于点E 左侧时,PD=6－t ,CQ=3t ,EQ=3t －8,6－t =3t －8,t =72〔秒〕． 综上所述：P 的运动时间为1或72秒． 应选：D ．【点评】此题主要考查平行四边形的判定方法以及一元一次方程的应用,熟记平行四边形的判定方法,根据对应边相等列方程是解题关键．2．如图,如图,在等腰ABC 中,4AB AC m ==,30B ∠=︒,点P 从点B 出发,以3/cm s 的速度沿BC 方向运动到点C 停止,同时点Q 从点B 出发以2cm 的速度沿B A C →→运动到点C 停止．假设BQP ∆的面积为y,运动时间为()x s ,那么以下图象中能大致反映y 与x 之间关系的是〔 〕A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】作AH ⊥BC 于H,根据等腰三角形的性质得BH=CH,利用∠B=30°可计算出AH=12AB=2,BH=3AH=23,BC=2BH=43,利用速度公式可得点P 从B 点运动到C 需4s,Q 点运动到C 需4s,然后分0≤x ≤2和2＜x ≤4两种情况进行计算,即可得到答案．【解答】解：如图,作AH ⊥BC 于H,∵AB=AC=4cm,∴BH=CH,∵∠B=30°, ∴AH=12AB=2,BH=3AH=23, ∴BC=2BH=43,∵点P 运动的速度为3cm/s,Q 点运动的速度为2cm/s,∴点P 从B 点运动到C 需4s,Q 点运动到C 需4s,当0≤x ≤2时,如图,作QD ⊥BC 于D, BQ=2x ,BP=3x ,在Rt △BDQ 中,DQ=12BQ=x , ∴213322y x x x =⋅⋅=,开口向上； 当2＜x ≤4时,如图,作QE ⊥BC 于E, CQ=8－2x ,BP=3x ,在Rt △CEQ 中,∠C=∠B=30°,EQ=12CQ =()1822x -,∴()211338223222y x x x x =⋅⋅-=-+,开口向下, 综上所述,223,022323,242x x y x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩．应选：D ．【点评】此题考查了动点问题的函数图象,通过分类讨论,利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系,然后根据二次函数的图象与性质解决问题．3．如图,点A 〔a,1〕,B 〔b,3〕都在双曲线3y x=-上,点P,Q 分别是x 轴,y 轴上的动点,那么四边形ABQP 周长的最小值为〔 〕A ．42B ．62C ．21022+D ．82【答案】B【分析】先把A 点和B 点的坐标代入反比例函数解析式中,求出a 与b 的值,确定出A 与B 坐标,再作A 点关于x 轴的对称点D,B 点关于y 轴的对称点C,根据对称的性质得到C 点坐标为〔1,3〕,D 点坐标为〔-3,-1〕,CD 分别交x 轴、y 轴于P 点、Q 点,根据两点之间线段最短得此时四边形ABPQ 的周长最小,然后利用两点间的距离公式求解可得．【解答】解：∵点A 〔a,1〕,B 〔b,3〕都在双曲线y=-3x上,∴a×1=3b=-3,∴a=-3,b=-1,∴A〔-3,1〕,B〔-1,3〕,作A点关于x轴的对称点D〔-3,-1〕,B点关于y轴的对称点C〔1,3〕,连接CD,分别交x轴、y轴于P点、Q点,此时四边形ABPQ的周长最小,∵QB=QC,PA=PD,∴四边形ABPQ周长=AB+BQ+PQ+PA=AB+CD,∴AB=2222()()311322()(3)13142CD-++-==+++=，,∴四边形ABPQ周长最小值为22+42=62,应选：B．【点评】此题考查反比例函数的综合题,勾股定理,掌握反比例函数图象上点的坐标特征、熟练运用两点之间线段最短解决有关几何图形周长最短的问题是解题的关键．4．如图,菱形ABCD中,AB=2,∠B=120°,点M是AD的中点,点P由点A出发,沿A→B→C→D作匀速运动,到达点D停止,那么△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系的图象大致是〔〕A．B．C．D．【答案】B【分析】分类讨论：当0≤x≤2,如图1,作PH⊥AD于H,AP=x,根据菱形的性质得∠A=60°,AM=1,那么∠APH=30°,根据含30度的直角三角形三边的关系得到在RtAH=12x,PH=32x,然后根据三角形面积公式得y=123；当2＜x≤4,如图2,作BE⊥AD于E,AP+BP=x,根据菱形的性质得∠A=60°,AM=1,AB=2,BC∥AD,那么∠ABE=30°,在Rt△ABE中,根据含30度的直角三角形三边的关系得AE=1,PH=3,然后根据三角形面积公式得y=12AM•BE=32；当4＜x≤6,如图3,作PF⊥AD于F,AB+BC+PC=x,那么PD=6-x,根据菱形的性质得∠ADC=120°,那么∠DPF=30°,在Rt△DPF中,根据含30度的直角三角形三边的关系得DF=12〔6-x〕,PF=3DF=32〔6-x〕,那么利用三角形面积公式得y=12AM•PF=-34x+332,最后根据三个解析式和对应的取值范围对各选项进行判断．【解答】当点P在AB上运动时,即0≤x≤2,如图1,作PH⊥AD于H,AP=x,∵菱形ABCD中,AB=2,∠B=120°,点M是AD的中点, ∴∠A=60°,AM=1,∴∠APH=30°,在Rt△APH中,AH=12AP=12x,PH=3AH=32x,∴y=12AM•PH=12×1×32x=34x；当点P在BC上运动时,即2＜x≤4,如图2,作BE⊥AD于E,AP+BP=x,∵四边形ABCD为菱形,∠B=120°, ∴∠A=60°,AM=1,AB=2,BC∥AD, ∴∠ABE=30°,在Rt△ABE中,AE=12AB=1,PH=3AE=3,∴y=12AM•BE=12×1×3=32；当点P在CD上运动时,即4＜x≤6,如图3,作PF⊥AD于F,AB+BC+PC=x,那么PD=6-x, ∵菱形ABCD中,∠B=120°,∴∠ADC=120°,∴∠DPF=30°,在Rt△DPF中,DF=12DP=12〔6-x〕,3326-x〕,∴y=12AM•PF=12×1×36-x〕36-x〕333,∴△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系的图象为三段：当0≤x≤2,图象为线段,满足解析式y=34x；当2≤x≤4,图象为平行于x轴的线段,且到x轴的距离为32；当4≤x≤6,图象为线段,且满足解析式333．应选B ．【点评】此题考查了动点问题的函数图象：利用点运动的几何性质列出有关的函数关系式,然后根据函数关系式画出函数图象,注意自变量的取值范围．5．如图,在菱形ABCD 中,5AB cm =,120ADC =∠︒,点E 、F 同时由A 、C 两点出发,分别沿AB 、CB 方向向点B 匀速移动〔到点B 为止〕,点E 的速度为1/cm s ,点F 的速度为2/cm s ,经过t 秒DEF ∆为等边三角形,那么t 的值为〔 〕A ．34B ．43C ．32D ．53 【答案】D【分析】连接BD,证出△ADE ≌△BDF,得到AE=BF,再利用AE=t,CF=2t,那么BF=BC -CF=5-2t 求出时间t 的值．【解答】解：连接BD ,∵四边形ABCD 是菱形,∠ADC =120°, ∴AB =AD ,∠ADB =12∠ADC =60°, ∴△ABD 是等边三角形,∴AD =BD ,又∵△DEF 是等边三角形,∴∠EDF =∠DEF =60°, 又∵∠ADB =60°, ∴∠ADE =∠BDF ,在△ADE和△BDF中,AD BDA DBCADE BDF=⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE≌△BDF(ASA), ∴AE=BF,∵AE=t,CF=2t,∴BF=BC−CF=5−2t,∴t=5−2t∴t=5 3 ,应选：D.【点评】此题考查全等三角形,等边三角形,菱形等知识,熟练掌握全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,菱形的性质为解题关键．6．：如图①,长方形ABCD中,E是边AD上一点,且AE=6cm,AB=8cm,点P从B出发,沿折线BE﹣ED﹣DC匀速运动,运动到点C停止．P的运动速度为2c m/s,运动时间为t〔s〕,△BPC的面积为y〔cm2〕,y与t的函数关系图象如图②,那么以下结论正确的有〔〕①a=7；②b=10；③当t=3s时△PCD为等腰三角形；④当t=10s时,y=12cm2A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】根据点P运动的速度,可以确定某时刻点P的具体位置,再结合△BPC的面积与时间t函数关系的图象,可以得到问题的解答．【解答】当P点运动到E点时,△BPC面积最大,结合函数图象可知当t=5时,△BPC面积最大为40,∴BE=5×2=10．∵12•BC•AB=40,∴BC=10．那么ED=10﹣6=4．当P点从E点到D点时,所用时间为4÷2=2s,∴a=5+2=7．故①正确；P点运动完整个过程需要时间t=〔10+4+8〕÷2=11s,即b=11,②错误；当t=3时,BP=AE=6,又BC=BE=10,∠AEB=∠EBC〔两直线平行,内错角相等〕,∴△BPC≌△EAB,∴CP=AB=8,∴CP=CD=8,∴△PCD是等腰三角形,故③正确；当t=10时,P点运动的路程为10×2=20cm,此时PC=22﹣20=2,△BPC面积为12⨯10×2=10cm2,④错误,∴正确的结论有①③．应选：B．【点评】此题考查矩形性质与函数图象的综合应用,正确理解函数图象各点意义、综合应用等腰三角形和平行线的性质是解题关键．7．如图,正方形ABCD中,点E、F、G分别为边AD、CD、BC中点,动点P从E点出发,沿E D F→→方向移动,连接PG,过G作GQ PG⊥交边AB于点Q；连接PQ,点O为PQ中点,连接AO；设BQ为x,AOQ△的面积为y；那么y与x之间函数图象大致为〔〕A．B．C．D．【答案】A【分析】分两种情况讨论,当点P 在线段ED 上移动时,证得Rt △QBG ~Rt △PEG,求得2131242y x x =-++(102x ≤≤),当点P 在线段FD 上移动时,易求得112y x =-+(112x <≤),根据图象的性质即可判断．【解答】不妨设正方形ABCD 的边长为2,那么BC=AD=AB=CD=2,AE=DF=BG=1,当点P 在线段ED 上移动时,连接EG ,如下图： ∵GQ PG ⊥, ∴∠PGQ=∠B=90︒,∴∠QGB+∠QGE =90︒,∠QGE +∠EGP =90︒,∴∠QGB=∠EGP,∴Rt △QBG ~Rt △PEG,∵BQ x =,BG=1,EG ＝2,∴PE=2BQ=2x ,∴AQ=AB-BQ=2x -,AP=AE+PE=12x +,∵点O 为PQ 中点,∴()()2AOQ APQ 11111312122224242y S S AQ AP x x x x ===⨯⋅=-+=-++, 取值范围是：当P 、E 重合时,由PE=2x =0,得0x =,当P 、D 重合时,由PE=2x =1,得12x =, ∴2131242y x x =-++(102x ≤≤), ∵102-<,∴图象是开口向下的在区间(102x ≤≤)r 的一段抛物线； 排除选项B 和C ； 当点P 在线段FD 上移动时,连接AP,如下图：∴AQ=AB-BQ=2x -,∵点O 为PQ 中点,∴()AOQ APQ 111112122222y S S AQ AD x x ===⨯⋅=-=-+, 取值范围是：当P 、F 重合时,1x =, ∴112y x =-+(112x <≤), ∵102-<, ∴图象是经过一、二、四象限在区间(112x <≤)的一条线段； 综上,只有A 符合题意,应选：A ．【点评】此题考查了动点问题的函数图象,涉及的知识点有正方形的性质,相似三角形的判定和性质,有一定难度．8．如图ABO 的顶点分别是()3,1A ,()0,2B ,()0,0O ,点C ,D 分别为BO ,BA 的中点,连AC ,OD 交于点G ,过点A 作AP OD ⊥交OD 的延长线于点P ．假设APO △绕原点O 顺时针旋转,每次旋转90︒,那么第2021次旋转结束时,点P 的坐标是〔 〕A ．()2,1B ．()2,2C ．()1,2D ．()1,1A【答案】B【分析】利用三角形的重心和等腰直角三角形的性质确定P 〔2,2〕,确定每4次一个循环,由于2021=4×55,所以第2021次旋转结束时,P 点返回原地,即可求出旋转后的点P 的坐标．【解答】∵点C,D 分别为BO,BA 的中点,∴点G 是三角形的重心,∴AG=2CG ,∵B 〔0,2〕,∴C 〔0,1〕,∵A 〔3,1〕,∴AC=3,AC ∥x 轴,∴CG=1,AG=2,∵OC=1,∴OC=CG ,∴△COG 是等腰直角三角形,∴∠CGO=45°, ∴∠AGP=45°, ∵AP ⊥OD,∴△AGP 是等腰直角三角形,∴AG 边上的高为1,∵等腰直角三角形△AGP 的斜边AG 边上的高也是中线,∴P 〔2,2〕,∵2021=4×55,∴每4次一个循环,第2021次旋转结束时,P 点返回原处,∴点P 的坐标为〔2,2〕．应选：B ．【点评】此题考查了三角形重心的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质,坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°,45°,60°,90°,180°．9．如图1,在矩形ABCD 中,动点M 从点A 出发,沿A B C -->-->方向运动,当点M 到达点C 时停止运动,过点M 作MN AM ⊥交CD 于点N ,设点M 的运动路程为,x CN y =,图2表示的是y 与x 的函数关系的大致图象,那么函数图象中a 的值为〔 〕A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】C【分析】由图2知：AB=6,当点M 在BC 上时,画出图形根据MAB NMC ,得出比例式BM CN AB CM =,根据二次函数图象对称性可得E 在BC 中点时,CF 有最大值,列出方程式即可解题．【解答】解：由图2知：AB=6,那么CN=BM=6-x,即y=6-x ；如下图,当点M 在BC 上时,AB=6那么BM=x-6,NC=y,在矩形ABCD 中,∵MN ⊥AM,∴∠AMN=90°, ∴∠CMN+∠AMB=90°,∵∠MAB+∠AMB=90°,∴∠CMN=∠MAB,∵在△CMN和△BAM中,∠CMN=∠MAB,∠C=∠B=90°, ∴△CMN∽△BAM,∴BM CN AB CM=由二次函数图象对称性可得M在BC中点时,y=CN有最大值83,此时BM=CM=x-6∴863 66 xx-=-,∴x=10或2〔不合题意舍去〕∴BM=CM=4,∴BC=8∴a=6+8=14应选：C【点评】此题考查了二次函数动点问题,考查了相似三角形的判定和性质,考查了矩形面积的计算,此题中由图象得出E为BC中点是解题的关键．10．如图,在平面直角坐标系中,Q是直线y=﹣12x+2上的一个动点,将Q绕点P(1,0)顺时针旋转90°,得到点Q',连接OQ',那么OQ'的最小值为()A．455B5．523D．655【答案】B【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形,求出旋转后Q′的坐标,然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．【解答】解：作QM ⊥x 轴于点M,Q′N ⊥x 轴于N,设Q(m ,122m -+),那么PM=1m ﹣,QM=122m -+, ∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°,∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′,∴∠QPM=∠PQ′N,在△PQM 和△Q′PN 中,'90''PMQ PNQ QPM PQ N PQ Q P ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△PQM ≌△Q′PN (AAS),∴PN=QM=122m -+,Q′N=PM=1m ﹣, ∴ON=1+PN=132m -, ∴Q′(132m -,1m ﹣), ∴OQ′2=(132m -)2+(1m ﹣)2=54m 2﹣5m+10=54(m ﹣2)2+5, 当m=2时,OQ′2有最小值为5,∴OQ′5应选：B ．【点评】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征,一次函数的性质,三角形全等的判定和性质,坐标与图形的变换-旋转,二次函数的性质,勾股定理,表示出点的坐标是解题的关键．二、填空题11．如图,O 是正方形ABCD 的外接圆,2,AB =点E 是劣弧AD 上的任意一点,连接BE ,作CF BE ⊥于点F ,连接,AF 那么当点E 从点A 出发按顺时针方向运动到点D 时,AF 长的取值范围为________________．【答案】512AF -≤≤【分析】首先根据题意可知,当点F 与点B 重合时AF 最长,AF 的最大值为2；再证实点F 的运动轨迹为以BC 为直径的'O ,通过添加辅助线连接'AO 交'O 于点M ,连接'O F ,由线段公理可知,当点F 与点M 重合时AF 最短,AF 的最小值为51-．即可得解．【解答】解：∵由题意可知,当点F 与点B 重合时AF 最长∴此时2AF AB ==,即AF 的最大值为2∵CF BE ⊥∴90CFB ∠=︒∴点F 的运动轨迹为以BC 为直径的'O ,连接'AO 交'O 于点M ,连接'O F ,如图：∵2AB =∴11'122BO BC AB === ∴在'Rt ABO 中,22''5AO AB BO =+∴''51AM AO O M =-=∴由两点之间,线段最短可知,当点F 与点M 重合时AF 最短∴AF 的最小值为51-∴512AF -≤≤．【点评】此题考查了正多边形和圆的动点问题、90︒的圆周角所对的弦为直径、勾股定理、线段公理等知识点,解题的关键是确定AF 取最大值和最小值时点F 的位置,属于中考常考题型,难度中等．12．如图,CA AB ⊥,垂足为点A ,24AB =,12AC =,射线BM AB ⊥,垂足为点B ,一动点E 从A 点出发以3厘米/秒沿射线AN 运动,点D 为射线BM 上一动点,随着E 点运动而运动,且始终保持ED CB =,当点E 经过___秒时,DEB ∆与BCA ∆全等．【答案】0,4,12,16【分析】设点E 经过t 秒时,△DEB ≌△BCA ；由斜边ED=CB,分类讨论BE=AC 或BE=AB 或AE=0时的情况,求出t 的值即可．【解答】分情况讨论：〔1〕设点E 经过t 秒时,△DEB ≌△BCA,此时AE=3t,①当点E 在点B 的左侧时,BE=AC,∴AE=AB-BE=24-12=12,∴3t=12,∴t=4；②当点E 在点B 的右侧时,BE=AC,∴AE=AB+BE=24+12=36,∴3t=36,∴t=12；〔2〕设点E经过t秒时,△EDB≌△BCA,此时AE=3t,①当点E在点B的左侧时,BE=AB,即24-3t=24,∴t=0；②当点E在点B的右侧时,BE=AB,∴AE=AB+BE=24+24=48,∴3t=48,∴t=16．综上所述,当点E经过0秒或4秒或12秒或16秒时,△DEB与△BCA全等．故答案为：0,4,12,16．【点评】此题考查了全等三角形的性质；分类讨论各种情况下的三角形全等是解决问题的关键．13．如图,点C在线段BD上,AB⊥BD于B,ED⊥BD于D．∠ACE＝90°,且AC＝5cm,CE＝6cm,点P以2cm/s 的速度沿A→C→E向终点E运动,同时点Q以3cm/s的速度从 E 开始,在线段EC上往返运动〔即沿E→C→E→C→…运动〕,当点P到达终点时,P,Q同时停止运动．过P,Q分别作BD的垂线,垂足为M,N．设运动时间为ts,当以P,C,M为顶点的三角形与△QCN全等时,t的值为_____．【答案】1或115或235【分析】根据全等三角形的性质可得PC＝CQ,然后分三种情况根据PC＝CQ分别得出关于t的方程,解方程即得答案．【解答】解：当点P在AC上,点Q在CE上时,如图,∵以P,C,M为顶点的三角形与△QCN全等,∴PC＝CQ,∴5﹣2t＝6﹣3t,解得：t＝1；当点P在AC上,点Q第一次从点C返回时,∵以P,C,M为顶点的三角形与△QCN全等,∴PC＝CQ,∴5﹣2t＝3t﹣6,解得：t＝11 5；当点P在CE上,点Q第一次从E点返回时, ∵以P,C,M为顶点的三角形与△QCN全等, ∴PC＝CQ,∴2t﹣5＝18﹣3t,解得：t＝235；综上所述：t 的值为1或115或235． 故答案为：1或115或235． 【点评】此题考查了全等三角形的应用,正确分类、灵活应用方程思想、熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．14．如图,矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上,OA=8,点D 为对角线OB 的中点,假设反比例函数1k y x=在第一象限内的图象与矩形的边BC 交于点F,与矩形边AB 交于点E,反比例函数图象经过点D,且tan ∠BOA=12,设直线EF 的表达式为y=k 2x+b ．将矩形折叠,使点O 与点F 重合,折痕与x 轴正半轴交于点H,与y 轴正半轴交于点G,直接写出线段OG 的长_______．【答案】52【分析】利用正切的定义计算出AB 得到B 点坐标为〔8,4〕,那么可得到D 〔4,2〕,然后利用待定系数法确定反比例函数表达式；利用反比例函数图象上点的坐标特征确定F 〔2,4〕,连接GF,如图,设OG ＝t,那么CG ＝4−t,利用折叠的性质得到GF ＝OG ＝t,那么利用勾股定理得到22＋〔4−t 〕2＝t 2,然后解方程求出t 得到OG 的长．【解答】在Rt △AOB 中,∵tan ∠BOA ＝AB OA ＝12, ∴AB ＝12OA ＝12×8＝4, ∴B 点坐标为〔8,4〕,∵点D 为对角线OB 的中点,∴D 〔4,2〕,把D 〔4,2〕代入y ＝1k y x=,得k 1＝4×2＝8, ∴反比例函数表达式为8y x =；当y＝4时,8x＝4,解得x＝2,那么F〔2,4〕,∴CF=2,连接GF,如图,设OG＝t,那么CG＝4−t,∵将矩形折叠,使点O与点F重合, ∴GF＝OG＝t,在Rt△CGF中,22＋〔4−t〕2＝t2,解得t＝5 2 ,即OG的长为52．故答案为：52．【点评】此题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、折叠的性质和矩形的性质；会运用待定系数法求反比例函数解析式；会运用三角函数的定义和勾股定理进行几何计算．15．如图,在矩形ABCD中,AB＝6,AD＝23,E是AB边上一点,AE＝2,F是直线CD上一动点,将AEF沿直线EF折叠,点A的对应点为点A',当点E,A',C三点在一条直线上时,DF的长为_____．【答案】6﹣7或7【分析】利用勾股定理求出CE,再证实CF=CE即可解决问题,〔注意有两种情形〕．【解答】解：如图,由翻折可知,∠FEA＝∠FEA′,∵CD ∥AB,∴∠CFE ＝∠AEF,∴∠CFE ＝∠CEF,∴CE ＝CF,在Rt △BCE 中,EC ＝22BC EB +=22(23)427+=,∴CF ＝CE ＝27,∵AB ＝CD ＝6,∴DF ＝CD ﹣CF ＝6﹣27,当点F 在DC 的延长线上时,易知EF ⊥EF′,CF ＝CF′＝27,∴DF ＝CD+CF′＝6+27故答案为：6﹣27或6+27．【点评】此题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识,此题的突破点是证实△CFE 的等腰三角形,属于中考常考题型．16．如图,有一张矩形纸条ABCD ,AB ＝5cm ,BC ＝2cm ,点M ,N 分别在边AB ,CD 上,CN ＝1cm ．现将四边形BCNM 沿MN 折叠,使点B ,C 分别落在点B ',C '上．当点B '恰好落在边CD 上时,线段BM 的长为_____cm ；在点M 从点A 运动到点B 的过程中,假设边MB '与边CD 交于点E ,那么点E 相应运动的路径长为_____cm ．【答案】5 352- 【分析】第一个问题证实BM ＝MB ′＝NB ′,求出NB 即可解决问题．第二个问题,探究点E 的运动轨迹,寻找特殊位置解决问题即可．【解答】如图1中,∵四边形ABCD 是矩形,∴AB ∥CD ,∴∠1＝∠3,由翻折的性质可知：∠1＝∠2,BM ＝MB ′,∴∠2＝∠3,∴MB ′＝NB ′,∵NB ′22B C NC '''+2221+5cm 〕,∴BM ＝NB ′5cm 〕． 如图2中,当点M 与A 重合时,AE ＝EN ,设AE ＝EN ＝xcm ,在Rt △ADE 中,那么有x 2＝22+〔4﹣x 〕2,解得x ＝52, ∴DE ＝4﹣52＝32〔cm 〕, 如图3中,当点M 运动到MB ′⊥AB 时,DE ′的值最大,DE ′＝5﹣1﹣2＝2〔cm 〕,如图4中,当点M 运动到点B ′落在CD 时,DB ′〔即DE ″〕＝5﹣1545〔cm 〕,∴点E 的运动轨迹E →E ′→E ″,运动路径＝EE ′+E ′B ′＝2﹣32+2﹣〔45352〕〔cm 〕．故答案为5,〔352 〕．【点评】此题考查翻折变换,矩形的性质,解直角三角形等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题,属于中考填空题中的压轴题．17．如图①,在菱形ABCD中,∠B=60°,M为AB的中点,动点P从点B出发,沿B→C→D的路径运动,到达点D时停止．连接MP,设点P运动的路程为x,MP2=y,假设y与x的函数图象大致如图②所示,那么菱形ABCD 的周长为____________．【答案】8【分析】先从图②分析p的运动过程中MP的变化,再从(4,7)这个点入手求解菱形的边长,再计算周长即可得到答案；【解答】解：如图1,过M 点作ME ⊥BC 与E,结合图像二得到,P 点从B 运动到E,MP 的长度一直在减小,P 点从E 运动到C,MP 的长度一直在增大,P 点从C 运动到D,MP 的长度也在增大,所以在D 点,MP 的长度最大,∴当P 运动到D 时,x=4,y=7,即：27MP = ,4BC CD +=,又∵ABCD 是菱形,∴BC=CD=2〔菱形四边相等〕,∴菱形的周长为：428⨯= ,故答案为：8．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及从图像中获取信息得水平,掌握菱形四边相等是解题的关键； 18．如图,在平面直角坐标系中,将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形111OA B C ,以此方式,绕点O 旋转2021次得到正方形201820182018OA B C ,如果点A 的坐标为〔1,0〕,那么那么点2019B 的坐标为_____．【答案】〔2,0〕【分析】根据图形可知：点B 在以O 为圆心,以OB 为半径的圆上运动,由旋转可知：将正方形OABC 绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA 1B 1C 1,相当于将线段OB 绕点O 逆时针旋转45°,可得对应点B 的坐标,根据规律发现是8次一循环,可得结论．【解答】∵四边形OABC 是正方形,且OA ＝1,∴B 〔1,1〕,连接OB,由勾股定理得：OB ＝22112+=,由旋转得：OB ＝OB 1＝OB 2＝OB 3＝ (2)∵将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形OA 1B 1C 1,相当于将线段OB 绕点O 逆时针旋转45°,依次得到∠AOB ＝∠BOB 1＝∠B 1OB 2＝…＝45°, ∴B 1〔0,2〕,B 2〔−1,1〕,B 3〔−2,0〕,…,发现是8次一循环,所以2021÷8＝252…余3, ∴点B 2021的坐标为〔−2,0〕故答案为：〔−2,0〕．【点评】此题考查了旋转的性质：对应点到旋转中央的距离相等；对应点与旋转中央所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识,解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法,属于中考常考题型．19．四边形ABCD 中,45ABC ∠=︒,90C D ∠=∠=︒,含30角〔30P ∠=︒〕的直角三角板PMN 〔如图〕在图中平移,直角边MN BC ⊥,顶点M 、N 分别在边AD 、BC 上,延长NM 到点Q ,使QM PB =,假设10BC =,3CD =,那么点M 从点A 平移到点D 的过程中,点Q 的运动路径长为__________．【答案】72【分析】当点P 与B 重合时,推出△AQK 为等腰直角三角形,得出QK 的长度,当点M′与D 重合时,推出△KQ′M′为等腰直角三角形,得出KQ′的长度,根据题意分析出点Q 的运动路径为QK+KQ′,从而得出结果.【解答】解：如图当点M与A重合时,∵∠ABC=45°,∠ANB=90°,PN=3MN=3CD=33,BN=MN=3,∴此时PB=33-3,∵运动过程中,QM=PB,当点P与B重合时,点M运动到点K, 此时点Q在点K的位置,AK即AM的长等于原先PB和AQ的长,即33-3,∴△AQK为等腰直角三角形,∴QK=2AQ=36-32,当点M′与D重合时,P′B=B C-P′C=10-33=Q′M′,∵AD=BC-BN=BC-AN=BC-DC=7,KD=AD-AK=7-〔33-3〕=10-33,Q′M′=BP′=BC-P′C= BC-PN =10-33,∴△KQ′M′为等腰直角三角形,-,∴KQ′=2Q′M′=2〔10-33〕=10236当点M从点A平移到点D的过程中,点Q的运动路径长为QK+KQ′,-〕=72,∴QK+KQ′=〔36-32〕+〔10236故答案为72.【点评】此题考查平移变换、运动轨迹、解直角三角形等知识,解题的关键是理解题意,学会用转化的思想思考问题,属于中考常考题型．20．如图,在Rt ABC ∆中,90B ∠=︒,60A ∠=︒,4AC =,M 是AC 的中点,E 是AB 边上的一个动点,连接ME ,过M 作ME 的垂线,与BC 边交于点F ．在E 从A 运动到B 的过程中,EF 的中点N 运动的路程为_______．【答案】233【分析】连接,BN MN ,做射线AN ,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可得BN MN =,结合条件可证ABN AMN ≅,那么BAN MAN ∠=∠,故动点N 始终在BAC ∠的平分线上,找到点N 起点与终点,求长度即可.【解答】解：如图,连接,BN MN ,做射线AN ,BEF 与MEF 都是直角三角形,且N 为斜边EF 的中点,∴12BN EF MN ==, 在Rt ABC ∆中,90B ∠=︒,9030C BAC ∠=︒-∠=︒, ∴12AB AC AM ==, 在ABN 与AMN 中,BN MN AN AN AB AM =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴()ABN AMN SSS ≅,∴BAN MAN ∠=∠,可见点N 始终在BAC ∠的平分线上,当E 从A 出发时,如以下图,点N 运动的起点在AF 的中点,终点即为此时的F , 那么12NF AF =. 在Rt ABF ∆中,AB=2,∠FAB=30°,利用勾股定理求得AF=433 23312NF AF == 故点N 运动的路程为233. 故答案为：233. 【点评】此题是结合了含30°的直角三角形,全等三角形的判定与应用,角平分线的性质等知识点的动点问题,根据题意作出适宜的辅助线,找到动点的起点与终点是解答关键．三、解做题21．如图,在数轴上有三个点A 、B 、C ,O 是原点,满足20OA cm =,60AB cm =,BC 10cm =,动点P 从点O 出发向右以每秒1cm 的速度匀速运动；同时,动点Q 从点C 出发,在数轴上向左运动．〔1〕假设点Q 的速度为每秒0.8cm ,求P ,Q 相遇时,运动的时间．〔2〕假设Q 的运动速度为每秒3cm 时,经过多长时间P ,Q 两点相距70cm ？〔3〕当2PA PB =时,点Q 运动的位置恰好是线段AB 的三等分点,求Q 的速度．【答案】〔1〕50s ；〔2〕经过5秒和40秒时P 、Q 两点相距7Ocm ；〔3〕当点P 在A 、B 两点之间时,点Q 的运动速度为0.5/cm s 或5/6cm s ；当点P 在线段AB 的延长线上时,点Q 的运动速度为314/cm s 或514/cm s ． 【分析】〔1〕 设P 、Q 相遇时,运动的时间为t ,列出方程即可解决问题；〔2〕原本P 、Q 之间距离大于70cm,那么分两种情况讨论,第一相距70cm 跟相遇后两者相距70cm,根据路程=速度×时间,即可求得,不过第二次相距70cm 时,Q 点早已到达O 点停止运动；〔3〕 PA=2PB 分两种情况,一种P 在线段AB 内,一种P 在线段AB 的延长线上,根据速度=路程÷时间,即可求得点Q 的速度．【解答】〔1〕设P 、Q 相遇时,运动的时间为t ,由题知：20601090OC OA AB BC cm =++=++=,∴当P 、Q 相遇时,OP CQ OC +=,即0.890t t +=．∴解得：50t s =,故P 、Q 相遇时的运动时间为50s ．〔2〕∵9070OA AB BC cm cm ++=>,∴分两种情况,①Q 在P 的右侧时,经过时间为9070513s -=+, ②Q 在P 的左侧时,设经过时间1t ,P 、Q 两点相距70cm ,此时1:P t ,1:903Q t -,∴()1190370t t --=,解得：140t s =,综合①②得知,经过5秒和40秒时P 、Q 两点相距70cm ．〔3〕2PA PB =,分两种情况,①当点P 在A 、B 两点之间时,∵2PA PB =, ∴2403PA AB cm ==, 此时运动的时间为601OA PA s += ∵点Q 运动的位置恰好是线段AB 的三等分, ∴1203BQ AB cm ==或2403BQ AB cm ==,点Q 的运动速度为0.5/60BC BQ cm s +=或5/6cm s ； ②当点P 在线段AB 的延长线上时,∵2PA PB =,∴2120PA AB cm ==, 此时运动的时间为1401OA PA s +=, ∵点Q 运动的位置恰好是线段AB 的三等分, ∴1203BQ AB cm ==或2403BQ AB cm ==, 点Q 的运动速度为3/14014BC BQ cm s +=或514/cm s ； 综合①②得知,当点P 在A 、B 两点之间时,点Q 的运动速度为0.5/cm s 或5/6cm s ； 当点P 在线段AB 的延长线上时,点Q 的运动速度为314/cm s 或514/cm s ． 【点评】考查了两点间的距离和方程,解题关键是〔1〕根据关系列出方程；〔2〕PQ 相距70cm 分两种情况,第一次相距70cm 和相遇后再次相距70cm ；〔3〕当PA=2PB 时,分两种情况,一种点P 在线段AB 之间和点P 在线段AB 的延长线上．22．数轴上点A 表示的有理数为20,点B 表示的有理数为-10,点P 从点A 出发以每秒5个单位长度的速度在数轴上往左运动,到达点B 后立即返回,返回过程中的速度是每秒2个单位长度,运动至点A 停止,设运动时间为t 〔单位：秒〕．〔1〕当t =5时,点P 表示的有理数为 ．〔2〕在点P 往左运动的过程中,点P 表示的有理数为 〔用含t 的代数式表示〕．〔3〕当点P 与原点距离5个单位长度时,t 的值为 ．【答案】〔1〕5-；〔2〕205t -；〔3〕3或5或8.5或13.5．【分析】〔1〕先根据运动速度和时间求出PA 的长,再根据数轴的定义即可得；〔2〕先求出在点P 往左运动的过程中,5PA t =,再根据数轴的定义即可得；〔3〕分点P 从点A 运动到点B 和点P 从点B 返回,运动到点A 两种情况,再分别求出点P 表示的有理数,然后根据数轴的定义建立绝对值方程,最后解方程即可得．【解答】〔1〕由题意得：()201030AB =--=,点P 从点A 运动到点B 所需时间为30655AB ==〔秒〕,点P 从点B 返回,运动到点A 所需时间为301522AB ==〔秒〕, 那么当56t =<时,5525PA =⨯=,因此,点P 表示的有理数为20255-=-,故答案为：5-； 〔2〕在点P 往左运动的过程中,5PA t =,那么点P 表示的有理数为205t -,故答案为：205t -；〔3〕由题意,分以下两种情况：①当点P 从点A 运动到点B,即06t ≤≤时,由〔2〕可知,点P 表示的有理数为205t -, 那么2055t -=,即2055t -=或2055t -=-,解得3t =或5t =,均符合题设；②当点P 从点B 返回,运动到点A,即615t <≤时,()26PB t =-,点P 表示的有理数为()2610222t t --=-, 那么2225t -=,即2225t -=或2225t -=-,解得13.5t =或8.5t =,均符合题设；综上,当点P 与原点距离5个单位长度时,t 的值为3或5或8.5或13.5时,故答案为：3或5或8.5或13.5．【点评】此题考查了数轴、绝对值方程、一元一次方程的应用等知识点,较难的是题〔3〕,正确分两种情况讨论,并建立方程是解题关键．23．如图,等边△ABC 的边长为8,动点M 从点B 出发,沿B →A →C →B 的方向以3的速度运动,动点N 从点C 出发,沿C →A →B →C 方向以2的速度运动．〔1〕假设动点M 、N 同时出发,经过几秒钟两点第一次相遇？〔2〕假设动点M、N同时出发,且其中一点到达终点时,另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时,点A、M、N以及△ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形？求出时间t并请指出此时点D的具体位置．【答案】〔1〕165秒；〔2〕运动了85秒或245秒时,A、M、N、D四点能够成平行四边形,此时点D在BC上,且BD=245或325．【分析】〔1〕设经过t秒钟两点第一次相遇,然后根据点M运动的路程+点N运动的路程=AB+CA列方程求解即可；〔2〕首先根据题意画出图形：如图②,当0≤t≤83时,DM+DN=AN+CN=8；当83＜t≤4时,此时A、M、N三点在同一直线上,不能构成平行四边形；4＜t≤163时,MB+NC=AN+CN=8；当163＜t≤8时,△BNM为等边三角形,由BN=BM可求得t的值．【解答】解：〔1〕设经过t秒钟两点第一次相遇,由题意得：3t+2t=16,解得：t=16 5,所以,经过165秒钟两点第一次相遇；〔2〕①当0≤t≤83时,点M、N、D的位置如图2所示：∵四边形ANDM为平行四边形,∴DM=AN,DM//AN．DN//AB∴∠MDB=∠C=60°,∠NDC=∠B=60°∴∠NDC=∠C．∴ND=NC。

2020年中考数学动态问题-折叠中图形存在性问题(含答案)

2020年中考数学动态问题-折叠中图形存在性问题(含答案)

专题06 动点折叠类问题中图形存在性问题一、基础知识点综述动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线、抛物线、双曲线、弧线等上运动的一类非常具有开放性的题目. 而从其中延伸出的折叠问题，更能体现其解题核心——动中求静，灵活运用相关数学知识进行解答，有时需要借助或构造一些数学模型来解答.实行新课标以来，各省（市）的中考数学试卷都会有此类题目，这些题目往往出现在选择、填空题的压轴部分，题型繁多，题意新颖，具有创新力. 其主要考查的是学生的分析问题及解决问题的能力.要求学生具备：运动观点；方程思想；数形结合思想；分类讨论思想；转化思想等等.存在性问题主要有等腰三角形存在性、直角三角形存在性、特殊落点存在性等问题，常用的数学解题模型有“一线三直角”等模型，作图方法是借助圆规化动为静找落点.解题思路：分析题目→依据落点定折痕→建立模型→设出未知数列方程求解→得到结论.解题核心知识点：折叠性质；①折叠前后图形大小、形状不变；②折痕是折叠前后对应点连线的垂直平分线；勾股定理；相似图形的性质、三角函数等.★等腰三角形存在性问题解题思路：依据圆规等先确定落点，再确定折痕；★直角三角形存在性问题解题思路：依据不同直角顶点位置分类讨论，作出图形求解.二、精品例题解析题型一：折叠问题中等腰三角形存在性问题例1.（2019·金水区校级模拟）如图，∠AOB=90°，点P为∠AOB内部一点，作射线OP，点M在射线OB上，且OM= ，点M与点M’关于射线OP对称，且直线MM’与射线OA交于点N，当△ONM’为等腰三角形时，ON的长为例2.（2017·蜀山区期末）如图所示，△ABC 中，∠ACB =90°，AC ≤BC ，将△ABC 沿EF 折叠，使点A 落在直角边BC 上的D 点，设EF 与AB 、AC 分别交于点E 、点F ，如果折叠后△CDF 与△BDE 均为等腰三角形，则∠B =.题型二：折叠问题中直角三角形存在性问题例3.（2017·营口）在矩形纸片ABCD 中，AD ＝8，AB ＝6，E 是边BC 上的点，将纸片沿AE 折叠，使点B 落在点F 处，连接FC ，当△EFC 为直角三角形时，BE 的长为 ．例4.（2019·唐河县三模）矩形ABCD 中，AB =4，AD =6，点E 为AD 的中点，点P 为线段AB 上一个动点，连接EP ，将△APE 沿PE 折叠得到△FPE ，连接CE ，CF ，当△CEF 为直角三角形时，AP 的长为.例5.（2019·许昌二模）如图，已知平行四边形ABCD 中，AB =16, AD =10，sinA =, 点M 为AB 边上35一动点，过点M 作MN ⊥AB 交AD 边于点N ，将∠A 沿直线MN 翻折，点A 落在线段AB 上的点E 处. 当△CDE 为直角三角形时，AM 的长为.例6.（2019·金水区校级一模）如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，点P为AC上一点，过点P 作PD⊥BC于点D，将△PCD沿PD折叠，得到△PED，连接AE．若△APE为直角三角形，则PC ＝．例7.（2019·卧龙区一模）如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，点D为斜边AB上一点，DE⊥AB 交AC于点E，将△AED沿DE翻折，点A的对应点为点F．如果△EFC是直角三角形，那么AD的长为．例8.（2019·河南模拟）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E，F分别为BC，AC上的两个动点，将△CEF沿EF折叠，点C的对应点为G，若点G落在射线AB上，且△AGF恰为直角三角形，则线段CF 的长为 二、精品例题解析题型一：折叠问题中等腰三角形存在性问题例1.（2019·金水区校级模拟）如图，∠AOB=90°，点P为∠AOB内部一点，作射线OP，点M在射线OB上，且OM=M与点M’关于射线OP对称，且直线MM’与射线OA交于点N，当△ONM’为等腰三角形时，ON的长为.【分析】分三种情况讨论：①当M’落在线段ON的垂直平分线上时，即M’N=M’O，设∠ONM=x°，通过三角形外角定理及三角形内角和定理求得x=30°，进而利用三角函数求得ON的长；②当M’N=ON时，作出图形，得到∠ONM’度数，利用三角函数求解；③当M’O=ON=OM，此时M、M’、N点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在.【答案】1或3.【解析】解：由△ONM’为等腰三角形，分以下三种情况讨论：①当M’落在线段ON的垂直平分线上时，即M’N=M’O，如图所示，ANH设∠ONM’=x°，则∠OM’M=∠OMM’ =2x°,∵∠AOB=90°，∴x+2x=90，解得：x=30，在Rt △NOM 中，ON =；°=3tan 30OM ②当M ’N =ON 时，如下图所示，NH由①知：∠NOM ’=30°，过M ’作M ’H ⊥OA 于H ，∴HM ’=,12在Rt △HNM ’中，NM ’=，°'=1cos30HM 即ON =1；③当M ’O =ON =OM ，N 此时M 、M ’、N 点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在.故答案为：1或3.例2.（2017·蜀山区期末）如图所示，△ABC 中，∠ACB =90°，AC ≤BC ，将△ABC 沿EF 折叠，使点A 落在直角边BC 上的D 点，设EF 与AB 、AC 分别交于点E 、点F ，如果折叠后△CDF 与△BDE 均为等腰三角形，则∠B =.【分析】由题意知，△CDF 是等腰三角形，则CD =CF ，△BDE 是等腰三角形时，分三种情况讨论：①当DE =BD 时，设∠B =x °，通过翻折性质及三角形内角和定理求得x =45；②当BD =BE 时，作出图形，设∠B =x °，通过翻折性质及三角形内角和定理求得x =30；③当BE =DE 时，得∠FDB =90°，∠FDB +∠CDF =135°≠180°，此时C 、D 、B 点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在.【答案】45°或30°.【解析】解：由题意知，△CDF 是等腰三角形，则CD =CF ，∠CDF =∠CFD =45°，∴∠FDB =135°，△BDE 是等腰三角形时，分以下三种情况讨论：①当DE =BD 时，见下图，A设∠B =x °，则∠DEB =x ，∠EDB =180°－2x ，由折叠知：∠A =∠FDE =90°－x ，∴180－2x +90－x =135，解得：x =45，即∠B =45°；②当BD =BE时，如下图所示，A设∠B =x °，则∠EDB = ，°1802x 由折叠知：∠A =∠FDE =90°－x ，∴+90－x =135，解得：x =30，1802x -即∠B =30°；③当BE =DE 时，得∠B =∠EDB ，∴∠FDB =∠FDE +∠EDB =∠A +∠B =90°，∠FDB +∠CDF =135°≠180°，此时C 、D 、B 点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在.故答案为：45°或30°.题型二：折叠问题中直角三角形存在性问题例3.（2017·营口）在矩形纸片ABCD 中，AD ＝8，AB ＝6，E 是边BC 上的点，将纸片沿AE 折叠，使点B 落在点F 处，连接FC ，当△EFC 为直角三角形时，BE 的长为 ．【分析】根据题意作出图形，通过分析可知：点E 、F 均可为直角顶点，因此分两种情况讨论，作出图形后，根据勾股定理等知识求得结果.【答案】3或6.【解析】解：∵AD ＝8，AB ＝6，四边形ABCD 为矩形，∴BC ＝AD ＝8，∠B ＝90°，根据勾股定理得：AC ＝10．由分析知，△EFC 为直角三角形分下面两种情况：①当∠EFC ＝90°时，如下图所示，由折叠性质知：∠AFE ＝∠B ＝90°，∠EFC ＝90°，AF =AB =6,∴A 、F 、C 三点共线，又AE 平分∠BAC ，∴CF =AC －AF =4，设BE =x ，则EF =x ，EC =8－x ，在Rt △EFC 中，由勾股定理得：，()22248x x +=-解得：x =3，即BE =3；②当∠FEC ＝90°时，如下图所示．由题意知：∠FEC ＝90°，∠FEB ＝90°，∴∠AEF ＝∠BEA ＝45°，∴四边形ABEF 为正方形，∴BE ＝AB ＝6．综上所述：BE 的长为3或6．故答案为：3或6．例4.（2019·唐河县三模）矩形ABCD 中，AB =4，AD =6，点E 为AD 的中点，点P 为线段AB 上一个动点，连接EP ，将△APE 沿PE 折叠得到△FPE ，连接CE ，CF ，当△CEF 为直角三角形时，AP 的长为.【分析】当△CEF 为直角三角形时，通过分析知：∠FCE <90°，不可能为直角顶点，故分两种情况讨论：∠EFC =90°或∠FEC =90°，作出图形求解；【答案】或1.94【解析】解：分以下两种情况讨论：（1）∠EFC =90°，如下图所示，由折叠性质知：∠A =∠PFE =90°，AP =PF所以点P 、F 、C 在一条直线上，∵EF =ED =3，∴Rt △CEF ≌Rt △CED ，由勾股定理得：CE =5，∴CD =CF =4，设AP =x ，则PF =x ，PC =x +4，BP =4－x ，在Rt △BCP 中，由勾股定理得：，()()222446x x +=-+解得：x =，即AP =；9494（2）∠FEC =90°，如下图所示，过F 作FH ⊥AD 于H ，过P 作PG ⊥FH 于G ，易知∠EFH =∠ECD ，∴,FH DE EF CE=∴,335FH =即FH =, ∴EH =,AH =PG =，9512535由∠FPG =∠HFE ，∴cos ∠FPG = cos ∠HFE ，即,PG FH PF EF=,39553PF =解得：PF =1；故答案为：或1.94例5.（2019·许昌二模）如图，已知平行四边形ABCD 中，AB =16, AD =10，sinA =, 点M 为AB 35边上一动点，过点M 作MN ⊥AB 交AD 边于点N ，将∠A 沿直线MN 翻折，点A 落在线段AB 上的点E 处. 当△CDE 为直角三角形时，AM 的长为.【分析】分两种情况讨论：当∠CDE ＝90°，根据折叠的性质及勾股定理求解；当∠DEC ＝90°，过D 作DH ⊥AB 于H ，根据相似三角形的性质：得到DH ＝6，AH ＝8，设EH ＝x ，根据勾股定理得到x ＝8﹣，x ＝（舍去），得AE ＝AH +HE ＝16﹣，于是得到AM ＝8．【答案】4或8.【解析】解：当△CDE 为直角三角形时，①当∠CDE ＝90°，如下图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∴DE ⊥AB ，由折叠知：MN ⊥AB ，AM ＝EM ，∴MN ∥DE ，∴AN ＝DN ＝AD ＝5，12由sinA ＝＝，MN AN 35∴MN ＝3，AM ＝4；②当∠DEC ＝90°，如下图所示，过D 作DH ⊥AB 于H ，由题意知：∠HDC ＝90°，∴∠HDC +∠CDE ＝∠CDE +∠DCE ＝90°，∴∠HDE ＝∠DCE ，∴△DHE ∽△CED ，∴，DE CD EH DE∵sinA ＝，AD ＝10，∴DH ＝6，AH ＝8，35设EH ＝x ，∴DE ＝，由勾股定理得：DH 2+HE 2＝DE 2，62+x 2＝16x ，解得：x ＝8﹣，x ＝（不合题意舍去），∴AE ＝AH +HE ＝16﹣，∴AM ＝8，故答案为：4或8．例6.（2019·金水区校级一模）如图，在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，点P 为AC 上一点，过点P 作PD ⊥BC 于点D ，将△PCD 沿PD 折叠，得到△PED ，连接AE ．若△APE 为直角三角形，则PC ＝ ．【答案】.1516【解析】解：当∠AEP ＝90°时，设PC ＝x ，在Rt △PDC 中，sinC ＝，cosC ＝，3545所以PD ＝x ，CD ＝x ．3545由折叠知：DE ＝CD ＝x ．45∴BE ＝BC ﹣CE ＝x ．125在△ABE 和△EDP 中，∠B ＝∠PDE ，∠BAE +∠AEB ＝90°，∠PED +∠AEB ＝90°，∴∠BAE ＝∠PED ．∴△ABE ∽△EPD ．∴，即，解得x ＝．BE DP AB DE =123534x =1516故答案为:．1516例7.（2019·卧龙区一模）如图，在Rt △ABC 中，AC ＝8，BC ＝6，点D 为斜边AB 上一点，DE ⊥AB 交AC 于点E ，将△AED 沿DE 翻折，点A 的对应点为点F ．如果△EFC 是直角三角形，那么AD 的长为 ．【分析】根据勾股定理得到AB ＝10，分三种情况讨论：∠CFE ＝90°，∠ECF ＝90°，∠CEF ＝90°时，得到结论．【答案】或5.75【解析】解：在Rt △ABC 中，AC ＝8，BC ＝6，由勾股定理得：AB ＝10，（1）若∠CFE ＝90°，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∴∠1+∠2＝∠B +∠A ＝90°，由折叠知：∠A ＝∠2，AE ＝EF ，∴∠1＝∠B ，即CF ＝BC ＝6，在Rt △CEF 中，由勾股定理得：CE 2＝EF 2+CF 2，CE 2＝（8﹣CE ）2+62，∴CE ＝，254∴AE ＝，74由△ADE ∽△ACB ，得：AE AD AB AC ∴AD ＝；75（2）当∠ECF ＝90°时，点F 与B 重合，AD ＝5；（3）当∠CEF ＝90°时，则EF ∥BC ，∠AFE ＝∠B ，∵∠A ＝∠AFE ，∴∠A ＝∠B ，∴AC ＝BC （与题设矛盾），∴这种情况不存在，故答案为：或5．75例8.（2019·河南模拟）在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E ，F 分别为BC ，AC 上的两个动点，将△CEF 沿EF 折叠，点C 的对应点为G ，若点G 落在射线AB 上，且△AGF 恰为直角三角形，则线段CF 的长为 【答案】.202079或【解析】解：（1）当∠AFG =90°时，如下图所示，设CF ＝y可得：△AFG ∽△ABC ∴AF GF AB BC=即534y y -=解得：x ＝；207（2）当∠AGF =90°时，如下图，设CF ＝x在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，由勾股定理得：AC ＝5由折叠知：GF ＝FC ．∵∠AGF ＝∠ABC ＝90°∴GF ∥EC∴△AGF ∽△ABC ∴AF GF AC BC =即554x x -=解得：x ＝；209故答案为：.202079或。

2021年九年级数学中考复习—— 专题：找规律之图形变化类(二)(含答案)

2021年九年级数学中考复习—— 专题：找规律之图形变化类(二)(含答案)

2021年九年级数学中考复习——专题：找规律之图形变化类（二）1．一电子青蛙落在数轴上的原点，第一步向左跳1个单位到点A1，第二步由点A1向右跳2个单位到点A2，第三步由点A2向左跳3个单位到点A3，第四步由点A3向右跳4个单位到点A4，…，按以上规律进行下去．（1）求跳了第五步后得到的点A5所表示的数？（2）求跳了第100步后得到的点A100所表示的数？（3）若电子青蛙的起点不是数轴上的原点，而是A点，跳跃方式不变，当跳了第100步后，落在数轴上的点A100所表示的数恰好是20.07，试求电子青蛙的起点A所表示的数．2．如图所示，用棋子摆成的“上”字：第一个“上”字第二个“上”字第三个“上”字如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：（1）第四、第五个“上”字分别需用和枚棋子．（2）第n个“上”字需用枚棋子．（3）如果某一图形共有102枚棋子，你知道它是第几个“上”字吗？3．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，完成下列题目：（1）填写下表：图案序号 1 2 3 4 …N〇个数 4 7 …（2）若按上面的规律继续摆放，是否存在第n个图形，其中恰好含有2020个〇？4．用同样规格的黑白两种颜色的正方形，按如图所示的规律拼图，请根据图中的信息完成下列的问题．（1）在第5个图中用了块黑色正方形；（2）第n个图形要用块黑色正方形；（3）如果有足够多的白色正方形，能不能恰好用完90块黑色正方形，拼出具有以上规律的图形？如果可以请说明它是第几个图形；如果不能，说明你的理由．5．【规律探索】如图所示的是由相同的小正方形组成的图形，每个图形的小正方形个数为S n ，n 是正整数．观察下列图形与等式之间的关系【规律归纳】（1）S 9﹣S 8＝ ；S n ﹣S n ﹣1＝ ； （2）S 9+S 8＝ ；S n +S n ﹣1＝ ； 【规律应用】 （3）计算的结果为 ．6．观察下列图形：如果按这个规律一直排到第n个图形，请探究下列问题：，问：它们之间（1）设第n个图形和第n﹣1个图形中所有三角形的个数分别为a n、a n﹣1有什么数量关系？请写出这个关系式．（2）请你用含n的代数式来表示a n，并证明你的结论．7．如图所示，将一张矩形纸片对折，可得到一条折痕（图中的虚线），连续对折，对折时每次折痕与上次折痕保持平行，连续操作三次可以得到7条折痕，那么对折n次可得到折痕的条数是．…8．如图所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成6个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推．（1）图1的阴影部分的面积是；（2）受此启发，得到++++的值是；（3）若按这个方式继续分割下去，受前面问题的启发，可求得+++…+的值为；（4）请你利用图2，再设计一个能求+++…+的值的几何图形．9．【问题提出】如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤m），有多少种不同的选择方法？【问题探究】为发现规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的问题入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论探究一：如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择2个连续的自然数，会有多少种不同的选择方法？如图1，当m＝3，n＝2时，显然有2种不同的选择方法；如图2，当m＝4，n＝2时，有1，2；2，3；3，4这3种不同的选择方法；如图3，当m＝5，n＝2时，有种不同的选择方法；……由上可知：从m个连续的自然数中选择2个连续的自然数，有种不同的选择方法．探究二：如果从1，2，3……100，100个连续的自然数中选择3个，4个……n（n≤100）个连续的自然数，分别有多少种不同的选择方法？我们借助下面的框图继续探究，发现规律并应用规律完成填空1 2 3 …93 94 95 96 97 98 99 100 从100个连续的自然数中选择3个连续的自然数，有种不同的选择方法；从100个连续的自然数中选择4个连续的自然数，有种不同的选择方法；……从100个连续的自然数中选择8个连续的自然数，有种不同的选择方法；……由上可知：如果从1，2，3……100，100个连续的自然数中选择n（n≤100）个连续的自然数，有种不同的选择方法．【问题解决】如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤m），有种不同的选择方法．【实际应用】我们运用上面探究得到的结论，可以解决生活中的一些实际问题．（1）今年国庆七天长假期间，小亮想参加某旅行社组织的青岛两日游，在出行日期上，他共有种不同的选择．（2）星期天，小明、小强和小华三个好朋友去电影院观看《我和我的祖国》，售票员李阿姨为他们提供了第七排3号到15号的电影票让他们选择，如果他们想拿三张连号票，则一共有种不同的选择方法．【拓展延伸】如图4，将一个2×2的图案放置在8×6的方格纸中，使它恰好盖住其中的四个小正方形，共有种不同的放置方法．10．图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为．第2层第1层…第n层（1）当图（1）中小圆圈有10层的时候小圆圈的个数是：；（2）图（2）中的小圆圈一共有个（用含n的代数式表示）（3）如果图（1）中的圆圈共有13层，图（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边第三个圆圈中的数是；（4）我们自上往下，在每个圆圈中都按图（4）的方式填上一串连续的整数﹣23，﹣22，﹣21，…，一共填写13层求图（4）中所有圆圈中各数的绝对值之和．参考答案1．解：（1）0﹣1+2﹣3+4﹣5＝﹣3，表示的数是﹣3；∴A5（2）0﹣1+2﹣3+4﹣…﹣99+100＝﹣1×50+100＝﹣50+100＝50，表示的数是50；∴A100所表示的数是x，（3）设电子青蛙的起点A则x﹣1+2﹣3+4﹣…﹣99+100＝20.07，即x+50＝20.07，解得x＝﹣29.93．所表示的数是﹣29.93．故电子青蛙的起点A2．解：（1）∵第一个“上”字需用棋子4×1+2＝6枚；第二个“上”字需用棋子4×2+2＝10枚；第三个“上”字需用棋子4×3+2＝14枚；∴第四个“上”字需用棋子4×4+2＝18枚，第五个“上”字需用棋子4×5+2＝22枚，故答案为：18，22；（2）由（1）中规律可知，第n个“上”字需用棋子4n+2枚，故答案为：4n+2；（3）根据题意，得：4n+2＝102，解得：n＝25，答：第25个上字共有102枚棋子．3．解：（1）观察图形的变化，得第1个图形有1+3×1＝4个〇第2个图形有1+3×2＝7个〇第3个图形有1+3×3＝10个〇第4个图形有1+3×4＝13个〇…第n个图形有1+3×n＝（3n+1）个〇故答案为：10；13；3n+1．（2）∵3n+1＝2020，解得，n＝673，∴第673图恰好含有2020个〇，故存在第n个图形，其中恰好含有2020个〇．4．解：（1）观察如图可以发现，第1个图中，需要黑色正方形的块数为3×1+1＝4，第2个图中，需要黑色正方形的块数为3×2+1＝7；第3个图中，需要黑色正方形的块数为3×3+1＝10；…由此可以发现，第几个图形，需要黑色正方形的块数就等于3乘以几，然后加1．所以，按如图的规律继续铺下去，那么第n个图形要用3n+1块黑色正方形；所以第5个图形中，要用：3×5+1＝16（块）黑色正方形；故答案是：16；（2）由（1）知，第n个图形要用3n+1块黑色正方形；故答案是：（3n+1）；（3）假设第n个图形恰好能用完90块黑色正方形，则3n+1＝90，解得：n＝．因为n不是整数，所以不能．5．解：（1）根据图形与等式之间的关系可知：S 2﹣S1＝2；S 3﹣S2＝3；S 4﹣S3＝4；…发现规律：S n ﹣S n ﹣1＝n ；∴S 9﹣S 8＝9； 故答案为9、n ； （2）S 2+S 1＝22；S 3+S 2＝32； S 4+S 3＝42；… 发现规律：S n +S n ﹣1＝n 2；∴S 9+S 8＝92＝81； 故答案为81、n 2；（3）结合（1）（2）可知：＝＝．故答案为．6．解：（1）按题中图形的排列规律可得：an ＝3a n ﹣1+2．（2）由（1）得：an ＝3a n ﹣1+2，a n ﹣1＝3a n ﹣2+2，两式相减得：an ﹣a n ﹣1＝3（a n ﹣1﹣a n ﹣2）①当n 分别取3、4、5、n 时，由①式可得下列（n ﹣2）个等式：a 3﹣a 2＝3（a 2﹣a 1），a 4﹣a 3＝3（a 3﹣a 2），a 5﹣a 4＝3（a 4﹣a 3）， an ﹣a n ﹣1＝3（a n ﹣1﹣a n ﹣2）．显然an ﹣a n ﹣1≠0，以上（n ﹣2）个等式的左右两边分别相乘约去相同的项后得：an ﹣a n ﹣1＝3n ﹣2（a 2﹣a 1）②∵a 2﹣a 1＝17﹣5＝12，由（1）又可知a n ﹣1＝（a n ﹣2），将它们代入②式即得：a n ＝2×3n ﹣1． 7．解：根据题意可知， 第1次对折，折痕为1， 第2次对折，折痕为1+2，第3次对折，折痕为1+2+22，第n次对折，折痕为1+2+22+…+2n﹣1＝2n﹣1．故答案为：2n﹣1．8．解：（1）∵观察图形发现部分①的面积为：；部分②的面积为＝；…∴图1的阴影部分的面积是；故答案为：；（2）++++＝1﹣＝；故答案为：；（3）+++…+＝1﹣；故答案为：1﹣；（4）如图为+++…+的值的几何图形，9．解：探究1：当m＝5，n＝2时，由图可知有4种不同的选择方法，根据根据规律可知：从m个连续的自然数中选择2个连续的自然数，有（m﹣1）种不同的选择方法；故答案为：4、m﹣1．探究2：选择3个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少2，选择4个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少3，以此类推，选择8个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少7，选择n个连续自然数，选择方法的数量比数的个数少（n﹣1）；故从100个连续的自然数中选择3个连续的自然数，有100﹣2＝98种不同的选择方法；从100个连续的自然数中选择4个连续的自然数，有100﹣3＝97种不同的选择方法；……从100个连续的自然数中选择8个连续的自然数，有100﹣7＝93种不同的选择方法；……由上可知：如果从1，2，3……100，100个连续的自然数中选择n（n≤100）个连续的自然数，有（100﹣n+1）种不同的选择方法．故答案为：98、97、93、100﹣n+1．【问题解决】由规律可知：从m个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤m），有（m﹣n+1）种不同的选择方法．故答案为：（m﹣n+1）．【实际应用】（1）从连续7天选择连续2天，则m＝7，n＝2，总共有（7﹣2+1）＝6种选择；（2）3号到15号总共13张电影票，选择3连号，则m＝13，n＝3，总共有（13﹣3+1）＝11种不同的选择；故答案为：6、11．【拓展延伸】图案向右移动，每次一格，可看作8选2，可得7种放置方法，图案向下移动，每次一格，可看作，6选2，可得5种放置方法，故总共7×5＝35种放置方法．故答案为：35．10．解：（1）如图（1），当小圆圈有10层时，图中共有：1+2+3+…+10＝55个圆圈；故答案为：55；（2）当有n层时，一个正三角形共有：1+2+3+…+n＝个圆圈，∴图（2）中的小圆圈一共有：n（n+1）个，故答案为：n（n+1）；（3）图（1）中，当有12层时，图中共有：1+2+3+…+12＝78个圆圈；∴如果图（1）中的圆圈共有13层，最底层最左边第一个圆圈中的数是79，则第三个圆圈中的数是：78+3＝81，故答案为：81；（4）图4中所有圆圈中共有1+2+3+…+13＝＝91个数，其中23个负数，1个0，67个正数，所以图4中所有圆圈中各数的绝对值之和为：|﹣23|+|﹣22|+...+|﹣1|+0+1+2+ (67)＝（1+2+3+…+23）+（1+2+3+…+67），＝276+2278，＝2554．。

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一、选择题9.（2020·湖北孝感）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AB=4，BC=6，∠BAD=30°，（第9题）动点P沿路径A→B →C→D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动，过点P作PH⊥AD，垂足为H，设点P运动的时间为x(单位：s)，△APH的面积为y，则y关于x的函数图像大致是( ){答案}D{解析}当点P在AB上移动时，AP=x，∵∠A=30°，则AH=√32x，PH=12x，∴y=√32x×12x÷2=√38x2，y是x的二次函数,当x=4时，y=2√3；当点P在BC上移动时，即4＜x≤10时，y=x-4+2√3，y是x的一次函数，当x=10时，y=6+2√3；当点P在CD上移动时，当10＜x≤12时，y=(6+2√3)(12-x)=-( 6+2√3)x+12×（6+2√3），y是x的一次函数，y随x的增大而减小.故选D.9．（2020·南通）矩形ABCD中，E为AD边上的一点，动点P沿着B－E－D运动，到D停止，动点Q沿着B－C运动到C停止，它们的速度都是1cm/s，设它们的运动时间为x s，△BPQ的面积记为y cm2，y与x的关系如图所示，则矩形ABCD的面积为A．96 B．84 C．72 D．56{答案}C{解析}由已知可得当点P运动到与E点重合时，x＝10，过点E作EH⊥BC于H，ABE DCPQ30y/cm211103022y BQ EH EH =⨯=⨯⨯=，得EH ＝AB ＝6，在Rt △ABE 中，由勾股定理求得AB ＝6，由右图可知当x ＝14时，点Q 与点C 重合，所以BC ＝14，所以矩形ABCD 的面积＝12×6＝72，故选C ．（2020·本溪）10．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2√2，CD ⊥AB 于点D ．点P 从点A 出发，沿A →D →C 的路径运动，运动到点C 停止，过点P 作PE ⊥AC 于点E ，作PF ⊥BC 于点F ．设点P 运动的路程为x ，四边形CEPF 的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．{答案}{解析}根据Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2√2，可得AB ＝4，根据CD ⊥AB 于点D ．可得AD ＝BD ＝2，CD 平分角ACB ，点P 从点A 出发，沿A →D →C 的路径运动，运动到点C 停止，分两种情况讨论：根据PE ⊥AC ，PF ⊥BC ，可得四边形CEPF 是矩形和正方形，设点P 运动的路程为x ，四边形CEPF 的面积为y ，进而可得能反映y 与x 之间函数关系式，从而可以得函数的图象． ∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2√2， ∴AB ＝4，∠A ＝45°， ∵CD ⊥AB 于点D ， ∴AD ＝BD ＝2， ∵PE ⊥AC ，PF ⊥BC ，∴四边形CEPF是矩形，∴CE＝PF，PE＝CF，∵点P运动的路程为x，∴AP＝x，则AE＝PE＝x•sin45°=√22x，∴CE＝AC﹣AE＝2√2−√22x，∵四边形CEPF的面积为y，∴当点P从点A出发，沿A→D路径运动时，即0＜x＜2时，y＝PE•CE=√22x（2√2−√22x）=−12x2+2x=−12（x﹣2）2+2，∴当0＜x＜2时，抛物线开口向下；当点P沿D→C路径运动时，即2≤x＜4时，∵CD是∠ACB的平分线，∴PE＝PF，∴四边形CEPF是正方形，∵AD＝2，PD＝x﹣2，∴CP＝4﹣x，y=12（4﹣x）2=12（x﹣4）2．∴当2≤x＜4时，抛物线开口向上，综上所述：能反映y与x之间函数关系的图象是A．9．（2020·东营）如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿A→B→C匀速运动到点C，图2是点P运动时线段CP 的长度y随时间x变化的关系图象，其中点Q为曲线部分的最低点，则△ABC的边AB的长度为（）A.12B. 8C.10D.13{答案}C{解析}本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点．解题的关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．当P点分别与A、B重合时，PC=13，由此可推出：△ABC是等腰三角形，AC=BC=13；当CP⊥AB时，PC的值最小，即△ABC中，AB上的高为12，此时P点恰好运动至AB的中点，∴2213125AP，∴210AB AP．9．（2020·威海）七巧板是大家熟悉的一种益智玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将一块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②）．已知AB＝40cm，则图中阴影部分的面积为（）A．25cm2B．1003cm2C．50cm2D．75cm2【分析】如图：设OF＝EF＝FG＝x，可得EH＝2√2x＝20，解方程即可解决问题．【解析】：如图：设OF＝EF＝FG＝x，∴OE＝OH＝2x，在Rt△EOH中，EH＝2√2x，由题意EH＝20cm，A BC∴20＝2√2x ， ∴x ＝5√2，∴阴影部分的面积＝（5√2）2＝50（cm 2） 故选：C ．11．（2020·淄博）如图1，点P 从△ABC 的顶点B 出发，沿B →C →A 匀速运动到点A ，图2是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 是曲线部分的最低点，则△ABC 的面积是（ ）A ．12B ．24C ．36D ．48【解析】由图2知，AB ＝BC ＝10，当BP ⊥AC 时，y 的值最小，即△ABC 中，BC 边上的高为8（即此时BP ＝8），当y ＝8时，PC =√BC 2−BP 2=√102−82=6，△ABC 的面积=12×AC ×BP =12×8×12＝48，故选：D ． 二、填空题 15．（2020·鄂州）如图，半径为2cm 的O 与边长为2cm 的正方形ABCD 的边AB 相切于E ，点F 为正方形的中心，直线OE 过F 点．当正方形ABCD 沿直线OF 以每秒(2的速度向左运动__________秒时，O 与正方形重叠部分的面积为22cm 3π⎛- ⎝．{答案}1或1163．{解析}本题考查正方形的性质，扇形面积的计算及等边三角形的判定和性质，题目难度不大，注意分情况讨论是本题的解题关键．将正方形向左平移，使得正方形与圆的重叠部分为弓形，根据题目数据求得此时弓形面积符合题意，由此得到OF 的长度，然后结合运动速度求解即可，特别要注意的是正方形沿直线运动，所以需要分类讨论．解：①当正方形运动到如图1位置，连接OA ，OB ，AB 交OF 于点E 此时正方形与圆的重叠部分的面积为S 扇形OAB -S △OAB由题意可知：OA ＝OB ＝AB ＝2，OF ⊥AB ∴△OAB 为等边三角形 ∴∠AOB ＝60°，OE ⊥AB在Rt △AOE 中，∠AOE ＝30°，∴AE ＝112OA =，OE ∴S 扇形OAB -S △OAB 260π212=23π336023∴OF 1∴点F 向左运动3(31)23个单位23=123秒②同理，当正方形运动到如图2位置，连接OC ，OD ，CD 交OF 于点E此时正方形与圆的重叠部分的面积为S 扇形OCD -S △OCD 由题意可知：OC ＝OD ＝CD ＝2，OF ⊥CD ∴△OCD 为等边三角形 ∴∠COD ＝60°，OE ⊥CD在Rt △COE 中，∠COE ＝30°，∴CE ＝1OC 12，OE ∴S 扇形OCD -S △OCD 260π212=23π336023∴OF 1∴点F 向左运动3(31)43个单位43=116323秒 综上，当运动时间为1或1163秒时，⊙O 与正方形重叠部分的面积为22π3(cm )3故答案为：1或1163．17．（2020•湘西州）在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （6，0），点B 在y 轴的正半轴上，∠ABO ＝30°，矩形CODE 的顶点D ，E ，C 分别在OA ，AB ，OB 上，OD ＝2．将矩形CODE 沿x 轴向右平移，当矩形CODE与△ABO 重叠部分的面积为CODE 向右平移的距离为 ．（第17题图）{答案}2{解析}本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平移的性质、直角三角形的性质、梯形面积公式等知识，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质时是解题的关键．∵点A （6，0），∴OA ＝6，∵OD ＝2，∴AD ＝OA ﹣OD ＝6﹣2＝4，∵四边形CODE 是矩形，∴DE ∥OC ，∴∠AED ＝∠ABO ＝30°，在Rt △AED 中，AE ＝2AD＝8，ED ===，∵OD ＝2，∴点E 的坐标为（2，；由平移的性质得：O ′D ′＝2，E ′D ′＝ME ′＝OO ′＝t ，D ′E ′∥O ′C ′∥OB ，∴∠E ′FM ＝∠ABO ＝30°，∴在Rt △MFE ′中，MF ＝2ME ′＝2t ，FE ′===，∴S △MFE ′12=t M E ′•FE ′12=⨯t t22=，∵S 矩形C ′O ′D ′E ′＝O ′D ′•E ′D ′＝2×=，∴S ＝S 矩形C ′O ′D ′E ′﹣S △MFE ′＝22t 1=2，t 2=-2（舍去），因此本题答案是2．17．（2020·通辽）如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，点E 是边AB的中点，点P 是边BC 上一动点，设PC ＝x ，P A +PE ＝y ．图②是y 关于x 的函数图象，其中H 是图象上的最低点．那么a +b 的值为 ．{答案}7{解析}∵点E 是边AB 的中点，∴AE =BE =12AB ．从图象中可以看出，当x 的值最大时，所对应的函数值是此时点P 恰与点B 重合．此时P A +PE ＝AB +12AB =32AB =AB =AC ，AE =BE E 关于BC 的对称点F ，连结AF 交BC 于点P ，此时P A +PE 有最小值，即是AF 长，连结BF ．∵在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠ABC =∠C =30°，由轴对称可得BF =BE ，∠ABC =∠FBP =30°，∴∠EBF =60°，∴△EBF 是等边三角形，∴EF =BE ，∵AE =BE ，∴AE =BE = EF ，易证△ABF 是直角三角形，∴AF =AB ·sin ∠ABF ==，即a =3，在△ABF 中，∠AFB =90°，∠ABF =60°，∴∠BAF =30°，∵∠BAC ＝120°，∴∠P AC =∠BAC －∠BAF =90°，∴cos C =cos30°=AC PC PC 2233=4，即b =4，∴a +b =7．三、解答题 24．（2020·温州）如图,在四边形ABCD 中,∠A ＝∠C ＝90°,DE ,BF 分别平分∠ADC ,∠ABC ,并交线段AB ,CD 于点E ,F (点E ,B 不重合).在线段BF 上取点M ,N (点M 在BN 之间),使BM ＝2FN .当点P 从点D 匀速运动到点E 时,点Q 恰好从点M 匀速运动到点N .记QN ＝x ,PD ＝y ,已知6125y x =-+,当Q 为BF 中点时245y =.(1)判断DE 与BF 的位置关系,并说明理由. (2)求DE ,BF 的长.E(3)若AD＝6.①当DP＝DF时,通过计算比较BE与BQ的大小关系.②连结PQ,当PQ所在直线经过四边形ABCD的一个顶点时,求所有满足条件的x的值.{解析}这是一道四边形动点综合题。

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