已用-1.2正弦余弦定理应用举例
1.2正弦、余弦定理的应用举例(1)
最大角度
C
A B
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
6020 已知△ABC中AB＝1.95m，AC＝1.40m，
1.2正弦、余弦定理的应用举例（1）
距离
高度
角度
例1、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。 测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C， 测出AC的距离是55cm，∠BAC＝51o， ∠ACB ＝75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m）
分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形
AB ＝ AC sin C sin B
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
6020
（1）什么是最大仰角？
（2）例题中涉及一个怎样的三角 形？ 在△ABC中已知什么，要求什么？
一位一直跟着孩子一起听课的家长在留言中写道，升级思维方式,把握本质规律,找到人生的使命与内驱力,混沌大学打破现有的围墙,以一种引领时代的先锋精神,刷新了全社会的认知,而这也是混沌大学创 办的初心陪伴这个时代最有梦想的人,早半步认知这个混沌的世界，人工智能系统下的精准教育，是基于大数据分析的一种教育理念和行为，是人工智能系统变革课堂教学的重要途径，， VIPKID的小学员英语水平高、能力强，已在多次实战中被验证，在课件评审过程中,主要分学段和分科进行,评委及希沃讲师分别对参赛作品的课件质量、设计内容等各种形式进行评估打分，人机互动 彰 显智能时代新智能在论坛云动育人，一起致远环节，天津市南开区教育局副局长来颖分享了天津市南开区教育信息化发展成果
25正弦定理、余弦定理应用举例PPT课件
.
8
又又∠∠DDBBCC＝＝∠∠DDBBAA＋＋∠∠AABBCC＝＝3300°＋°＋(9(09°0－°－606°0)°＝)＝606°0, °B,CB＝C＝20203 ∠时里C＝DDD)D3)B．B6，×2点＝A＝0C又在∴故在∴故在∴故又在∴故∴°＋12需3,B又在∴故＝∠△C救△C救0B△C救需∠△C救∠D要0D∠△C救DDC9DDD援＋2D援D援要DD援AD＝＋0＝＝＝DD援＝1BBBB0＝BB船1船的船船BB小BCC3，C3船C32CC320CC3到0C＝00到0时到＝0到中＝时0(中到中＝((中(2海中0(海海海达－∠海间达达3－达,．∠3达∠,,,,里0C里(里C里C2里DCC°2海DDDDtDDBDD＋D＝D×D)DB)))B)，BD，2点，里，2，点＝2点A2点＝2＝＝点A(＝＝3＝3＝1A＝＝·9∴＋B∴00∴0需)需∴需∴30＋33B需需，B＝33CBB0°00需需∠需0D0要要－D要0需0需3∠·0DD要要1c00＋2＋×2＋要2A要oA＋(要＋＋＋226＋1要要A小1＋1＋sB10B1121的1小B的B的∠1小CB1°小B0的2的时C小B小B2C)2C时＝0C时2C＝2时＝时00D时C2时C0时)＝时003－时202时0间．3－．－B2－602×0间间3－－0．－．－间03－2间－C．0．°2t2B2°0＋12＝°2×22tt,2BB°2＋＝D＝2＝××tBtB＋B＝(×331D＝D×·9BD00C09(D333110··9(＝3310BCB003030＝1°·9·0B0000－B＝＝300·0CC01°c＝，×C2＝°－Co(33··61c小1－0c3s·××03·21co(o(1c×6∠°小小×0o(时ss6o()023小2s＝小∠0s∠D2°0(0时)时23∠海°)．0时∠B6＝0×)时DD)0＝)3C3D里．．°B)D12B3×6×)．,3B＝6．×0CCB)×0，12°C12C9C,°＝12＝012,＝B＝0B＝9C9，20C90＝09000＝0，0，230，20(，海0 3里
余弦定理和正弦定理的应用
余弦定理和正弦定理的应用余弦定理和正弦定理是解决三角形问题中常用的数学定理。
它们可以帮助我们求解三角形的边长、角度和面积等。
本文将分别介绍余弦定理和正弦定理的应用，并通过实例来说明它们的具体使用方法。
一、余弦定理的应用余弦定理是一个用来描述三角形边长和夹角之间关系的定理。
在任意三角形ABC中，假设边长分别为a、b、c，而对应的夹角为A、B、C，则余弦定理可以表示为：c² = a² + b² - 2ab·cosC1. 求解三角形边长假设我们已知一个三角形的两个边长a和b，以及它们夹角C的大小。
我们可以通过余弦定理来求解第三个边长c。
例如，已知三角形ABC中，边AB的长度为5，边AC的长度为8，而夹角B的大小为60度。
按照余弦定理，我们可以用下式来计算边BC的长度：BC² = AB² + AC² - 2·AB·AC·cosB代入具体数值，即可求得：BC² = 5² + 8² - 2·5·8·cos60°BC² = 25 + 64 - 80·0.5BC² = 89 - 40BC² = 49BC = √49 = 7因此，边BC的长度为7。
2. 求解三角形夹角在某些情况下，我们已知三角形的三个边长，但需要求解其中一个夹角的大小。
余弦定理同样可以解决这个问题。
例如，已知三角形ABC的边长分别为a=4、b=7、c=9。
我们想要求解夹角C的大小。
根据余弦定理，我们可以得到：c² = a² + b² - 2ab·cosC代入具体数值，我们可以得到：9² = 4² + 7² - 2·4·7·cosC81 = 16 + 49 - 56·cosC16 + 49 - 81 = 56·cosC-16 = 56·cosCcosC = -16 / 56 = -0.2857由于余弦函数的定义域为[-1, 1]，该结果无解，即无法构成三角形。
正弦定理余弦定理应用举例
。 三角形的面积公式
1 1 SABC 1 absinC bcsin A 2 2 2 acsin B
正弦定理和余弦定理在实际测量中有许 多应用 :
(1)测量距离. (2)测量高度. (3)测量角度.
实际应用问题中有关的名称、术语 1.仰角、俯角、视角。
（1）当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角叫 仰角。 （2）当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角叫 俯角。 （3）由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。（一般 这两条视线过被观察物的两端点） 视线 仰角 俯角 视线 水平线
【变式练习3】 如图，甲船以每小时30 2海里的速度向正北方 向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲 船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向 的B1处，此时两船相距20海里．当 甲船航行20分钟到达A2处时，乙船 航行到甲船的北偏西120方向的B2 处，此时两船相距10 2海里．问乙 船每小时航行多少海里？
答：A,B两点间的距离为 20 6米.
练习2.一货轮在海上由西向东航行，在A处望见灯塔C在货轮的东北 方向，半小时后在B处望见灯塔C在货轮的北偏东30°方向．若货 轮的速度为30 n mile/h，当货轮航行到D处望见灯塔C在货轮的 西北方向时，求A，D两处的距离．
[解] 如图8所示，在△ABC中，∠A＝45° ，∠ABC＝ 90° ＋30° ＝120° ，∴∠ACB＝180° －45° －120° ＝15° ，AB＝ 30×0.5＝15(n AB ， sin∠ACB AB· sin∠ABC 15×sin120° 3 2＋ 6 ∴AC＝ ＝ ×15(n sin15° ＝ 2 sin∠ACB mile)． 在△ACD中，∵∠A＝∠D＝45° ， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∴AD＝ 2AC＝15(3＋ 3)(n mile)． ∴A，D两处的距离是15(3＋ 3) n mile. mile)．由正弦定理，得 AC sin∠ABC ＝
正弦定理与余弦定理的应用
正弦定理与余弦定理的应用正弦定理和余弦定理是中学数学中重要的几何定理，它们在解决三角形相关问题时起着关键作用。
本文将以实际例子为基础，详细介绍正弦定理和余弦定理的应用。
一、正弦定理的应用正弦定理是解决三角形边长和角度之间关系的重要工具。
它的表达式为：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，其中$a$、$b$、$c$分别为三角形的边长，$A$、$B$、$C$为对应的角度。
例子一：已知三角形$ABC$中，$AB=5$，$BC=8$，$\angle B=45^\circ$，求$\angle A$和$\angle C$的大小。
解析：根据正弦定理可得：$\frac{5}{\sin A}=\frac{8}{\sin 45^\circ}$。
通过求解可得$\sin A=\frac{5\sin 45^\circ}{8}$，进而得到$\angle A=\sin^{-1}\left(\frac{5\sin 45^\circ}{8}\right)$。
同理，可以求得$\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B$。
通过计算可得$\angle A\approx 28.07^\circ$，$\angle C\approx106.93^\circ$。
例子二：已知三角形$ABC$中，$AB=6$，$BC=9$，$\angle A=30^\circ$，求$AC$的长度。
解析：根据正弦定理可得：$\frac{6}{\sin 30^\circ}=\frac{AC}{\sin C}$。
通过求解可得$\sin C=\frac{AC\sin 30^\circ}{6}$，进而得到$AC=\frac{6\sin C}{\sin30^\circ}$。
由于$\sin C=\sin (180^\circ-\angle A-\angle B)$，可以通过计算得到$AC\approx 10.39$。
1.2 正弦、余弦定理的应用举例
的坐标为（30,20），从而求得直线BC的方程
为2x-y-40=0，再判断圆心E到直线BC的距离为
3 5
d=
<7。所以该船若不改变航行方向，会进入
警戒水域。方法2：利用解三角形的方法求出点E
到直线BC的距离，再进行判断。
求A点离地面的高度AB。
)
2：在一座20m高的观测台顶测得对面一水塔塔顶 的仰角为 6 0 ，塔底的俯角为 4 5 ，求水塔的
0 0
高度。
三：测量角度
在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海 域被设为警戒水域。点E正北55海里处有一个雷达 观测站A，某时刻测得一艘以每小时1 5 5 海里匀 速直线行驶的船只位于点A北偏东 4 5 且与点A相
0
距 40 2 海里的位置B，经过40分钟又测得该船已
行驶到点A北偏东 45 0 (0 0 90 0 ) 且与点A
相距 1 0 1ห้องสมุดไป่ตู้3 的位置C。
（1）求 sin 的值；
（2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是
否会进入警戒水域，并说明理由。
方法1：以点A位圆心，东西方向作为x轴，建立平
1.2 正弦、余弦定理的应用举例
一：测量两点间的距离（可分为三类）
1：测量的两点都是可到达；
2：测量的两点只有一点可到达；
3：测量的两点都不可到达。 思考：如何利用经纬仪及钢卷尺解决这三类问题？ 请写出每一类问题的解决方法及步骤。
二：测量高度
1：如图，B、C、D三点在地面同一直线上，DC=a
从C、D两点测得A点的仰角分别为 , (
1.2 正余弦定理应用举例
9 3 (2) km. 13
P
B C
D
A
例3.如图,海中小岛A周围38海里内有暗 礁.一船正在向南航行,在B处测得小岛A 在船的南偏东300,航行30海里后,在C处测 得小岛在船的南偏东450,如果此船不改变 航向, 继续向南航行, 有无触礁的危险? B 300
航海问题 例1.甲船在A处,乙船在A处的南偏东450方向, 距A有9海里的B处,并以20海里/小时的速度沿 南偏西150方向行驶,若甲船以28海里/小时的 速度行驶,应沿什么方向,用多少小时能尽快追 北 上乙船? (已知 sin 38 5 3 ) 14 由余弦定理得(28t ) 9 (20t ) 2 9 20t cos120 ,A 450
0 0
C
例2.在海岛A上有一座海拔1千米的山,山顶设有一 个观察站P,上午11时,测得一轮船在岛北300东,俯角 为300的B处,到11时10分,又测得该船在岛北600西, 俯角为600的C处,如图.(1)求船的航行速度是每小时 多少千米?(2)又经过一段时间后,船到达海岛的正西 方向的D处,问此时船距岛A有多远?
(2) PQ 48t 24t 7(t 0);
2
0
Y Q Q O P
60
1 当t 时, PQmin 2km. 4
1 2 (3) PQ 48(t ) 4, 4
B 0 P A Z
练习2.某观测站C在城A的南偏西200的方向,由A 城出发有一条公路, 走向是南偏东40 ,由观测站 C测得距C为31km的公路上的B处, 有人正沿公 路向A城走去, 走了20km后到达D处, 此时C , D间 的距离为21km.问此人还要走多远才到达A城 ?
正、余弦定理应用举例
正、余弦定理应用举例正弦定理、余弦定理沟通了三角形中边与角的关系，用这两个定理可以实现边与角的互化，从而简化过程，指明解题方向．下面举例说明正、余弦定理在解题中的具体应用．（以下例题中角A B C ，，所对应的边分别为a b c ，，）1．判断三角形的形状对于同时含有边角关系的条件式，可用余弦定理化角为边，通过熟知的代数式变形来求解；也可用正弦定理化边为角，再用相应的三角公式求解．例1 在ABC △中，已知22(cos cos )()cos a b B c C b c A -=- ，试判断ABC △的形状． 解：根据余弦定理，得22222222222()222a c b a b c b c a a b c b c ac ab bc ⎛⎫+-+-+--=- ⎪⎝⎭， 整理得22222()()0b c b c a -+-=，因此b c =或222b c a +=，所以三角形为等腰三角形或直角三角形．例2 在ABC △中，如果cos cos a B a C b c +=+，试判断ABC △的形状． 解：根据正弦定理，得sin (cos cos )sin sin A B C B C +=+， 即2sincos 2cos cos 2sin cos 222222A ABC B C B C B C +-+-= ， 在ABC △中，∵cos sin 22A B C +=，sin cos 22A B C +=， 上式可化简为22sin 12A =，∴2cos 12sin 1102A A =-=-=． 又0πA <<，∴π2A =． 故ABC △为直角三角形． 2．求三角函数的值对于三角形中的求值问题，通常将各三角函数式化为正弦、余弦的形式，为运用正弦定理和余弦定理创造条件．例3 在ABC △中，如果222225a b c +=，求cot cot cot C A B+的值． 解：cos cot sin cos cos cot cot sin sin CC C A B A B A B=++ 2sin sin cos sin sin cos sin cos cos sin sin sin A B C A B C B A B A C C==+ ， 由正弦定理和余弦定理可知22222222cot cot cot 22C ab a b c a b c A B c ab c +-+-==+ ，将已知条件222225a b c +=代入上式得2225cot 32cot cot 24c c C A B c -==+． 3．证明三角恒等式对于三角形中边角关系的证明问题，可以用正弦定理、余弦定理，实现边的关系与角的关系的相互转化，从而达到证明的目的．例4 在ABC △中，若2()a b b c =+，求证：2A B =． 证明：∵2222cos 2222a c b bc c b c a B ac ac a b+-++====， ∴22222222222cos 22cos 1214222a a b b bc b c b B B b b b b -+--=-=⨯-===． 又222222()cos 222b c a b c bc b c b A bc bc b+-+-+-===， ∴cos cos 2A B =，而A B ，是三角形的内角，∴2A B =．4．在解析几何中的应用例5 已知点P 到两定点(10)M -，、(10)N ，点N 到直线PM 的距离为1，求直线PN 的方程．分析：如右图，求出直线PN 的斜率即可，问题转化为在PMN △中求PNM ∠，由正弦定理易求得sin PNM ∠． 解：因为2MN =，点N 到直线PM 的距离为1，∴30PMN ∠=． 由正弦定理，得sin sin PM PN PNM PMN =∠∠，又PMPN =sin PNM ∠=， ∴45PNM ∠= 或135 ，∴直线PN 的倾斜角为45 或135 ，∴1PN k =±，∴直线PN 的方程为1y x =-或1y x =-+．。
正弦定理和余弦定理应用举例
正弦定理和余弦定理的应用举例考点梳理1. 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.2. 实际问题中的常用角⑴仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①).(2) 方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°北偏西45°西偏北60 等；(3) 方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为a如图②). (4) 坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数.【助学微博】解三角形应用题的一般步骤(1) 阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系.侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力.(2) 根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型.(3) 根据题意选择正弦定理或余弦定理求解.(4) 将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.解三角形应用题常有以下两种情形(1) 实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.⑵实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要求的解.考点自测1. （2012江苏金陵中学）已知△ ABC 的一个内角为120°并且三边长构成公差 为4的等差数列，则三角形的面积等于 __________ .解析 记三角形三边长为 a — 4, a , a + 4,则（a + 4）2= （a — 4）2 + a 2— 2a （a — 4）cos1120° 解得 a = 10,故 S = 2X 1°x 6X sin 120 =15/3. 答案15.32. 若海上有A , B , C 三个小岛，测得A , B 两岛相距10海里，/ BAC = 60°/ ABC = 75°则B , C 间的距离是 _________ 里.3. （2013日照调研）如图，一船自西向东匀速航行，上午 10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的 N 处, 则这只船的航行速度为 ________ 里/时.解析 由正弦定理，得MN = 68sin^120 = 34 6（海里），船的航行速度为彳：6 = sin 45 v4海里/时）.4. ____________________________________________________________ 在△ ABC 中，若2(3absin C = a 2 + b 2 +殳，则厶ABC 的形状是 ________________ . 解析 由 2 . 3absin C = a 2 + b 2 + c 2, a 2+ b 2— c 2= 2abcos C 相加，得 a 2 + b 2 = 等边三角形.sinsin C + 6 = 1,且a = b , C = 时等号成立，所以△ ABC 是答案 5 62absin答案等边三角形b a5. (2010•苏卷)在锐角△ ABC 中，角A , B , C 的对边分别为a , b , c.若5 + b解析利用正、余弦定理将角化为边来运算，因为b+器6cos C,由余弦定理 2 2 2sin C . sin C _ c _ 2c _ 2c _ 4 cos C sin Asin B _a 2 +b 2—c 2_ a 2 + b 2— c 2_ 3 2 2 —ab' 2ab 2c — c答案4【例1】 如图所示，A 、B 、C 、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶•测量船于水面 A 处测得B 点和D 点的仰角分别 为75° 30°于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60° AC _0.1 km. (1) 求证：AB _ BD ; ⑵求BD.(1)证明 在厶 ACD 中,/ DAC _ 30° , / ADC _ 60°—/DAC _ 30° ,所以 CD _ AC _ 0.1.又/ BCD _ 180° — 60° — 60°_ 60°, 故CB 是厶CAD 底边AD 的中垂线,所以BD _ BA. ◎ 亠 亠 AB AC⑵解在° ABC中，sin / BCA _ sin / ABC ， ACsin 60 ° 3,2+sin 15 0_ 20 (km)， 因此,BD _6cosC ,则 tan C tan A + tanC tan B的值是2 2 2 2 2 a + b a + b — c得 =6 一 ab 2ab 即 a 2 + b 2 = |c 2.而 tan C tan A tan C tan Bsin C |tos A cos B cos clsin A + sin B 丿_ 即AB _考向一测量距离问题［方法总结］（1）利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中， 建立一个解三角形的模型.（2） 利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解. （3） 应用题要注意作答.【训练1】 隔河看两目标A 与B ,但不能到达，在岸边先选取相距 飞千米的 C,D 两点，同时测得/ ACB = 75° Z BCD = 45°/ ADC = 30°/ ADB = 45°A , B ，C ，D 在同一平面内），求两目标A ，B 之间的距离.解 如题图所示，在△ ACD 中，T Z ADC = 30° Z ACD = 120°,二/ CAD = 30° AC = CD =寸3（千米）.在厶BDC 中，Z CBD = 180°— 45° — 75°60°. 由正弦定理，可得BC = 黑芽―芒严（千米）. 在厶ABC 中，由余弦定理，可得 2 2 2AB 2= AC 2 + BC 2 — 2AC BCcos Z BCA ， 即 AB 2= （ 3）2+ -^2 — 2 3•61p^cos 75 =5，二AB = 5（千米）.所以两目标A ， B 间的距离为'.5千米.考向二 测量高度问题【例2】（2010江苏）某兴趣小组要测量电视塔 AE 的高度H （单位：m ）如图所 示，垂直放置的标杆 BC 的高度h = 4 m ,仰角Z ABE = a, Z ADE = 3 （1）该小组已测得一组 a 3的值，算出了 tan a= 1.24, tan 3= 1.20,请据此算 出H 的值；故B 、D 的距离约为 3 2+ ；620km.(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位: m),使a 与B 之差较大，可以提高测量精度•若电视塔的实际高度为 125 m ,试问d 为多少时，a — B 最大？H htan a 4X 1.24 — tan 以 tan a — tan B 1.24— 1.20因此，算出的电视塔的高度 H 是124 m.H(2)由题设知d _AB ，得tan a_孑h /冃H — h_ tan B tan B 得 tan B d ，tan a — tan Bh h所以—_ —B _冲、2.帛，当且仅当 d _，即 d _ H H — h - , 125X 125— 4 -55 5时，上式取等号•所以当d _55.5时，tan(a — B )最大•因为0< a <2，贝u 0< a — B <2，所 以当d _ 55 5时，a — B 最大.故所求的d 是55 5 m.［方法总结］(1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念.(2) 分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形应用正、余弦定理. (3) 注意竖直线垂直于地面构成的直角三角形. 【训练2】如图所示，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个 测点C 与D ，现测得/ BCD _ a, / BDC _ B, CD _ s ,并在点C 测得塔顶AH解⑴由 AB -tan a ，BD -h _ tan厂H 由 AB _ AD — BDHAB + BD -AD 得面；的仰角为9,求塔高AB.解 在厶 BCD 中，/ CBD = n — a — B, BC CDsin Z BDC = sin Z CBD ， CDsin / BDC s sin B所以 BC 二 sin Z CBD 二sin a+ B在 Rt △ ABC 中, AB = BCtan Z ACB =如Bsin ( a+ B)考向三 运用正、余弦定理解决航海应用问题【例3】我国海军在东海举行大规模演习.在海岸A 处，发现北偏东45°方向， 距离A( 3— 1)km 的B 处有一艘“敌舰”.在A 处北偏西75°的方向，距离A 2 km 的C 处的“大连号”驱逐舰奉命以10.3 km/h 的速度追截“敌舰”.此时， “敌舰”正以10 km/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问“大连号”沿 什么方向能最快追上“敌舰”？解 设“大连号”用t h 在D 处追上“敌舰”，则有 CD = 10,3t ，BD = 10t ， 如图在△ ABC 中AB = 3— 1，AC = 2，Z BAC = 120°, •••由余弦定理，得BC 2 = AB 2+ AC 2 — 2AB AC cos Z BAC =(3— 1)2 + 22 — 2 ( .3— 1) 2 cos 120= 6• Z ABC = 45° • BC 与正北方向垂直.• Z CBD = 90° + 30°= 120°,在厶BCD 中，由正弦定理，得• Z BCD = 30°.由正弦定理得• BC = 一 6,且 sin Z ABC = ACBCsin Z BAC = sin Z BCD = BD sin Z CBD C D10ts in _120 =1 10 3t =2,■即“大连号”沿东偏北30°方向能最快追上“敌舰”. ［方法总结］用解三角形知识解决实际问题的步骤： 第一步：将实际问题转化为解三角形问题；第二步：将有关条件和求解的结论归结到某一个或两个三角形中. 第三步：用正弦定理和余弦定理解这个三角形.第四步：将所得结果转化为实际问题的结果. 【训练3】（2013广州二测）如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里， 渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东a 的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上，此时到达C 处. （1）求渔船甲的速度； ⑵求sin a 的值.解 ⑴依题意知，/ BAC = 120°, AB = 12（海里），AC = 10X 2= 20（海里），/ BCA = a 在厶ABC 中，由余弦定理，得 BC 2 = AB 2+ AC 2 — 2AB AC cos / BAC=122 + 202 — 2X 12X 20X cos 120 °784.解得BC = 28（海里）.所以渔船甲的速度为BC = 14海里/时. （2）在厶ABC 中，因为AB = 12（海里）， / BAC = 120°, BC = 28（海里），/ BCA = a,12 X —曲. ABsin 120 ° 2 3p3即 sina = = 14 .高考经典题组训练AB 由正弦定理，得站；=sin 120 .BC BC1. （四川卷改编）如图，正方形ABCD 的边长为1,延长BA 至E ,使AE = 1, 连结 EC 、ED 」sin / CED = __________ .解析 在Rt △ EAD 和Rt A EBC 中，易知ED = 2, EC = 5,在厶DEC 中， 222f _____由余弦定理得 cos / CED = ED2^^°° = 2蔦_ 1怎=卑0••• sin / CED 2ED EC2X Q 2X Q 5 10 _\^0=To -. 答案2. （2011新课标卷）在厶ABC 中，B _60° AC_/3，贝U AB + 2BC 的最大值为AB _ V3 _ BCsin C _ sin 60 _ sin A ，• AB _ 2sin C , BC _ 2sin A.又 A + C _ 120°, • AB + 2BC _2sin C + 4sin(120 -C)_2(sin C + 2sin 120 cos C —2cos 120si n C)_ 2(sin C + 3cos C + sin C)_ 2(2si n C + 3cos C) _2 .7sin(C + a ，其中 tan a_ ~~, a 是第一象限角. 由于0°< C V 120°，且a 是第一象限角, 因此AB + 2BC 有最大值2 7. 答案2 73. （湖北卷改编）若厶ABC 的三边长为连续三个正整数，且 A>B>C,3b _20acos A ,贝U sin A : sin B : sin C _ ________解析 由 A>B>C ,得 a>b>c.设 a _c + 2, b _c + 1,则由 3b _20acos A ,得 3(c得 c _4,所以 a _6, b _5. 答案 6 : 5 : 4解析 由正弦定理知 2 2 2(c + 1 ) + c — (c + 2 )+ 1)_ 20(c + 2)—2++——「2,即 3(c + 1) c _ 10(c + 1)(c + 2)(c — 3),解4.(2陕西卷)如图，A, B是海面上位于东西方向相距5(3+ . 3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45° B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20 3海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船达到D点需要多长时间？解由题意知AB = 5(3 + 3)海里，/ DBA= 90°—60°= 30° / DAB = 90°—45 =45°所以/ ADB= 180°—(45 0+ 30°)= 105°，DB AR*△ADB中，由正弦定理得sin z BAB=sn:ABDB，所以DB = AB sin/ DAB 5（3+£）sin 45 sin/ ADB = sin 105 °____ 5（3+也）sin 45 °sin 45 cos 60 + cos 45 sin 60=10 3(海里)，又/ DBC = / DBA+/ ABC= 30°+ （90。
正弦定理和余弦定理应用举例 Microsoft Word 文档
1、一艘轮船按照北偏西30度,的方向以每小时45海里的速度航行,一个灯塔M原来在轮船的北偏东10度的方向,经过20分钟后,灯塔在轮船的北偏东70度方向上,求灯塔和轮船原来的距离.现在这样可以用余弦定理了cos60°=(AB^2+BC^2-AC^2）/2AB*BCBC=2a，AC=15，这样肯定能用含有a的式子表示AB然后在左边那个三角形里就能根据勾股定理求出a。
但是我这种算法特别不好算，你再等等，我想一想还有什么办法。
【同步教育信息】一. 本周教学内容：1. 正弦定理和余弦定理应用举例2. 解三角形全章总结教学目的：1. 能够正确运用正弦定理、余弦定理等知识、方法解决一些与测量以及几何计算有关的实际问题。
2. 通过对全章知识的总结提高，帮助学生系统深入地掌握本章知识及典型问题的解决方法。
二. 重点、难点：重点：解斜三角形问题的实际应用；全章知识点的总结归纳。
难点：如何在理解题意的基础上将实际问题数学化。
知识分析：一. 正弦定理和余弦定理应用举例 1. 解三角形应用题的基本思路 （1）建模思想解三角形应用问题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出三角形的边角的大小，从而得出实际问题的解。
这种数学建模思想，从实际问题出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学模型，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解，用流程图可表示为：（2）解三角形应用题的基本思路：−−−→−−−−→−−−−→画图解三角形检验、结论实际问题数学问题（解三角形）数学问题的解实际问题的解2. 解三角形应用题常见的几种情况：（1）实际问题经抽象概括，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解。
（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个（或两个以上）三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的解，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解。
正、余弦定理及应用举例
判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是 正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意 “等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．依据已知条件中 的边角关系判断时，主要有如下两条途径： (1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出 边的相应关系，从而判断三角形的形状； (2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函 数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用 A＋B＋C＝π这个结论．
由正弦定理，得 由①、②得
变式3： (2009·山东卷)已知函数f(x)＝2sin xcos2 ＋cos xsin φ－sin x (0＜φ＜π)在x＝π处取最小值． (1)求φ的值； (2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边．已知a＝1，b＝ ， f(A)＝ ，求角C.
解：(1)f(x)＝2sin x·
(2)方位角 指从 正北 方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
(3)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数． 提示：在解决与三角形有关的实际问题时，首先要明确题意，正确画出平 面图形或空间图形，然后根据条件和图形特点将问题归结到三角形中解决．
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c＝ ，b＝ 则a等于( )
确定三角形的条件之一就是知道三角形的两个内角的大小(实际上就是知 道了三个内角的大小)及一个边长，在解题中要善于利用确定三角形的条 件分析解决问题，如本题中由第(1)问的结果，实际上就是知道了该三角 形的三个内角的大小，第(2)问中又给出了一个边长，根据正弦定理可以 求出另外两边的长，这样使用三角形的面积公式 S＝ absin C＝ bcsin A＝ acsin B中的任何一个都可以解决问题．
正弦定理余弦定理应用举例
sin A B cos C , cos A B sin C
2
2
2
2
(4)在ABC中，A B a b sin A sin B
(即大边对大角，大角对大边）
(5)正弦定理和余弦定理
二. 判断三角形形状
(1)a cos A b cos B; 等腰三角形或直角三角形
∠ACD=120°，∠CAD=∠ADC=30°，
∴AC=CD= 3km.
在△BCD中，∠BCD=45°，
∠BDC=75°，∠CBD=60°.
BC
3 sin 75 sin 60
6 2
2.
在△ABC中，由余弦定理，得
AB2 ( 3)2 ( 6 2 )2 2 3 6 2 cos 75
题型分类 深度剖析
题型一 与距离有关的问题 【例1】要测量对岸A、B两点之间的距离，选取
相距 3 km的C、D两点,并测得∠ACB=75°,
∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,求 A、B之间的距离.
思维启迪 分析题意，作出草图，综合运用正、
余弦定理求解.
解 如图所示在△ACD中，
cos A b2 c2 a2 2bc
cos B c2 a2 b2
2ca
角化边公式
cosC a2 b2 c2
2ab
斜三角形的解法
已知条件 定理选用
一般解法
一边和两角 (ASA或AAS)
正弦定理
由A+B+C=180˚,求出另一角，再 用正弦定理求出两边。
两边和夹角 (SAS)
400 3
.
变式2 如图所示，测量河对岸的
1.2正弦、余弦定理的应用举例
由AC、BC、 δ可求出AB长.
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D ，测得CD = a , 两点分别测得, 并且在 C、D 两点分别测得 ∠BCA = δ , ∠ACD = γ
∠CDB = β , ∠BDA = α .在 ∆ADC和 ∆BDC 中，应用正弦定理 在
得
B
C
计算出 AC 和 BC 后，再在 ∆ABC 中，应用余弦定理计 算出 AB 两点间的距离
AB = AC 2 + BC 2 − 2 AC × BC cos δ
在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线， 在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线， 基线 如例1中的 在测量过程中， 如例 中的 AC ，例2中的 CD .在测量过程中，要根据实际 中的 在测量过程中 需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.一 需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度 一 般来说，基线越长，精确度越高. 般来说，基线越长，精确度越高 例如，早在 例如，早在1671年，两位法国天文学家为了测量地球与 年 月球之间的距离， 月球之间的距离，利用几乎位于同一子午线的柏林与好 望角， 望角，测量计算 α , β 的大小和两地之间的距离 AB ，从 而算出了地球与月球之间的距离约为385400km.（如图） 而算出了地球与月球之间的距离约为 （如图） 我们在地球上所能用的最长的基线是地球椭圆轨道的长轴 当然， 长.当然，随着科学技术的发展，还有一些更加先进与准确 当然 随着科学技术的发展， A 的测量距离的方法. 的测量距离的方法
a sin(α + β ) a sin(α + β ) A AC = = sin 180 − (β + γ + α ) sin(β + γ + α )
1.2 正、余弦定理应用举例
D
因此需要再选择一个测点D。构造一个能 测出其一条边长的△BCD.
要求出AB，还应先求出AC和BC，为此 应先解△ACD和△BCD.
解：如图，在海边适当选
A
取两个测点C，D，使A，
B，C，D在一个平面内，
测得CD=a，∠ACB=α，
B
∠ADC=β，∠BCD=θ， ∠BDC=δ，
C
a
D
在△BCD中，由正弦定理，得
1.2 正、余弦定理应用举例
实际问题应用模型
实际问题
抽象概括 数学模型 示意图 演 推
算理
实际问题的解
数学模型的解
还原说明
问题1. 怎样测量一个底部不能到达的建筑物 的高度？ 如图，在北京故宫的四个角上各矗立着一座 角楼，如何通过测量，求得角楼的高度？
分析：如图，设线段AB表示角楼的高度，在 宫墙外护城河畔的马路边，选位置C对角楼进 行测量.
设CC’为测量仪器的高，过点 C’的水平面与AB相交于点B’， 这时由测点C’，可测得点A的仰 角α的大小.在△AB’C’中，三条 边的长度都无法测出，因而A量仪高度不
变），想想看，我们能测得哪些数据，使问题
得以解决.
事实上，如图所示，在点B’， C’，D’构成的三角形中，可以 测得∠β和∠γ的大小，又可测 得B’C’的长.这样，我们就可以 根据正弦定理求出边B’C’的长， 从而求出AB’的长，使得问题得 到解决.
即F+F1+F2=0.
解：如图作
uuur OE
F
，将F沿A到O，O到B两个
方向进行分解，作□OCED，则
uuur OD
uuur CE
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∠ABC＝180°－75°＋32°＝137°，
根据余弦定理，
AC A2BBC 22A BBC co sABC 6.7 525.4 0226.7 55.4 0co1s3 7 11.135
根据正弦定理， BC AC
sin CAB sin ABC sin CAB BC sin ABC
解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意， 正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三 角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来 求解.
距离
高度
角度
解斜三角形的问题，通常都要根据题意，从实际问题中抽象 出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出所要求的量， 从而得到实际问题的解.
(1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5°;
解(1： )应用 S1casinB,得 2
S123.514.8si1n4.58 90.9(cm 2) 2
(2)已知B=62.7°,C=65.8°,b=3.16cm;
(2)根据正弦定理b， c ,c bsinC, sinB sinC sinB
cos B c2 a2 b2 38.72 41.42 27.32 0.7679
2ca
238.7 41.4
sin B 1 cos2 B 1 0.76972 0.6384
应用S 1 casin B,得 2
S 1 38.7 41.4 0.6384 511.4(cm2). 2
例3: 在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成 市内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为 68m,88m,127m，这个区域的面积是多少（精确到0.1cm²）?
3、方向角：指北或指南 方向线与目标方向线所成 的小于90°的水平角，叫 方向角.它是方位角的另 一种表示形式.
4、坡角：坡面与水平面的夹角. 坡比：坡面的铅直高度与水平宽度之比， 即
i h tan
l
5、基线：在测量上，根据测量需要适当确定的 线段叫做基线.
注：1)基线越长，测量的精确度越高； 2)测一量般一定要选取基线，因为无论是应用正弦定理还是余
在这个过程中，贯穿了数学建模的思想. 这种思想即是从实际 问题出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学模型， 然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解.
解应用题中的几个相关概念: 1、仰角、俯角： 在测量时，视线与水平线
所成的角中，视线在水平线 上方的角叫仰角，在水平线 下方的角叫做俯角. 2、方位角：指北的方向线顺时针旋转到目标方向 线所成的水平角.
夹角∠CAB＝66°20′，求BC． 解：由余弦定理，得
最大角度
B2C A2B A2C 2AB AC co As 1.925 1.420 21.9 5 1.4 0 co 6s 2 6 0 3.571
B 1 C .8 ( m 9 ) 答：顶杆BC约长1.89m。
A
C B
高度
实例讲解
高度
例1: 如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在
解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，
cos B c2 a2 b2 1272 682 882 0.7532,
2ca
2127 68
sin B 1 0.75322 0.6578.
S 1bcsinA 1b2 sinCsinA,
2
2 sinB
A180 (BC) 180 (62.7 65.8) 51.5,
S
13.162 2
sin6s5i.n86 s2i.7n5 1.5
4.0(cm2).
（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm.
（3）根据余弦定理的推论，得
A A 2 B B 2 C 2 A C B c C C os
练习1:一艘船以32.2n mile / hr的速度向正 北航行在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方 向，30min后航行到B处，在B处看灯塔在 船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔 6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这 艘船可以继续沿正北方向航行吗？
定理s，iB n(C )si9 nA0 ( B)
所A 以 B B s s， C ii 9 n n ) 0 (( ) s B ic n C o )(s
解RtABD,得
BD ABsin BAD BC cos sin sin( )
27.3 cos 501' sin(5440'
复习
1、三角形的一些基本性质：
1）在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°;
2）大边对大角，即 a>b ∠A>∠B.
2、正弦定理
a b c 2R sin A sin B sin C
正弦定理应用的两种类型：
C
b
a
1）已知两角和任一边，求其它元素；A
c
B
2）已知两边和其中一边的对角，求其他元素.
3、余弦定理
a2 b2 c2 2bccos A b2 a2 c2 2accos B c2 a2 b2 2abcosC
b2 c2 a2 cos A
2bc cos B a2 c2 b2
2ac cos C a2 b2 c2
2ab
利用余弦定理可解决一下两类解三角形问题
（1）已知三边，求三角；
练习2: 自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角6为020 AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
（1）什么是最大仰角？
（2）例题中涉及一个怎样的三角 形？ 在△ABC中已知什么，要求什么？
最大角度
C
A B
练习2: 自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角 为 6，02A0C 长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）． 已知△ABC中AB＝1.95m，AC＝1.40m，
AB ＝ AC sinC sinB
解：根据正弦定理，得
AB AC si nACB si nABC AB AC si nACB55 si nACB
si nABC si nABC sin15(85 s 0i57n15 75)5s5 si5in7n456.57(m)
答：A,B两点间的距离为65.7米。
例2： 在山顶铁塔上B处测得地面 上一点A的俯角α＝54°40′，在塔 底C处测得A处的俯角β＝50°1′。 已知铁塔BC部分的高为27.3m， 求出山高CD(精确到1m).
分析：根据已知条件，应该设 法计算出AB或AC的长.
解：在⊿ABC中， ∠BCA=90°+β, ∠ABC=90°-α, ∠BAC=α-β, ∠BAD=α.根据正弦
解：在⊿ABC中， ∠A=15°,
∠C=25°-15°=10°.
根据正弦定理，
BC AB sinA sinC
B C A ssiC B iA nn 5 s s1 i1 in n 0 5 7 .45 (k2 )m .
CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1047(m)
答：山的高度约为1047米.
弦定理解三角形时，至少应已知一边的长度.
距离
实例讲解
距离
例1:设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离.
测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C，测 出AC的距离是55cm，∠BAC＝51o，
∠ACB＝75o，求A、B两点间的距离（精确到 0.1m）.
分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形
C
（2）已知两边和它们的夹角，求其他元素. b
a
A
c
B
创设情境: “遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？” 在 古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离， 是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知 的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以 应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等 等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方 法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的 方法来测量，所以，有些方法会有局限性.于是上面介绍的问题 是用以前的方法所不能解决的.今天我们开始学习正弦定理、余 弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离.
例2: A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测 量两点间的距离的方法.
分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一 点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小， 借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离.
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a,并 且在C、D两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ.在⊿ADC和⊿BDC中，应用正弦定理得
分析：要测出高CD,只要 测出高所在的直角三角形 的另一条直角边或斜边的 长.根据已知条件，可以计 算出BC的长.
例3： 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测 得公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向上，行驶5km后 到达B处，测得此山顶在东偏南25°的方向上，仰角8°，求此 山的高度CD.
解：在ASB中，SBA＝115，
S 45，由正弦定理得
SB ABsin 20 16.1sin 20 7.787(n mile)
sin 45
sin 45
设点S到直线A B的距离为h, 则
h SB sin 65 7.06(n mile) h 6.5n mile此船可以继续沿正北方向航行 答：此船可以继续沿正北方向航行