已用-1.2正弦余弦定理应用举例

S 1bcsinA 1b2 sinCsinA,
2
2 sinB
A180 (BC) 180 (62.7 65.8) 51.5,
S
13.162 2
sin6s5i.n86 s2i.7n5 1.5
4.0(cm2).
（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm.
（3）根据余弦定理的推论，得
AC 54 . 0 sin 137
113 . 15 0 . 3255 ,
所以，∠CAB=19.0°, 75°－∠CAB=56.0°.
答：此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15n mile.
例2: 在⊿ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S(精确到 0.1cm²) (1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5°; (2)已知B=62.7°,C=65.8°,b=3.16cm; (3)已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm.
同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是 45和
60，CD间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高.
想一想
图中给出了怎样的一个 几何图形？已知什么， 求什么？
实例讲解
分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又
B
已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可.
解：在BC 1D1中，C 1BD1 600 450 150
解：在ASB中，SBA＝115，
S 45，由正弦定理得
SB ABsin 20 16.1sin 20 7.787(n mile)
sin 45
sin 45
设点S到直线A B的距离为h, 则
h SB sin 65 7.06(n mile) h 6.5n mile此船可以继续沿正北方向航行 答：此船可以继续沿正北方向航行
定理s，iB n(C )si9 nA0 ( B)
所A 以 B B s s， C ii 9 n n ) 0 (( ) s B ic n C o )(s
解RtABD,得
BD ABsin BAD BC cos sin sin( )
27.3 cos 501' sin(5440'
夹角∠CAB＝66°20′，求BC． 解：由余弦定理，得
最大角度
B2C A2B A2C 2AB AC co As 1.925 1.420 21.9 5 1.4 0 co 6s 2 6 0 3.571
B 1 C .8 ( m 9 ) 答：顶杆BC约长1.89m。
A
C B
高度
实例讲解
高度
例1: 如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在
例2: A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测 量两点间的距离的方法.
分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一 点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小， 借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离.
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a,并 且在C、D两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ.在⊿ADC和⊿BDC中，应用正弦定理得
A A 2 B B 2 C 2 A C B c C C os
练习1:一艘船以32.2n mile / hr的速度向正 北航行在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方 向，30min后航行到B处，在B处看灯塔在 船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔 6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这 艘船可以继续沿正北方向航行吗？
由正弦定理可得：
A1
C1D1 BC1
C1
D1
sin C 1BD1 sin BD1C 1
C
D
A
BC1
C1D1 sin BD1C1 sin C 1BD1
12 sin 1200 sin150
18
26
6
A 1B22B1C 1 8632.8 4 A A 1 B B A 1 2 . 4 A 1 . 5 8 2 . 9 ( m ) 9 答：烟囱的高为 29.9m.
复习
1、三角形的一些基本性质：
1）在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°;
2）大边对大角，即 a>b ∠A>∠B.
2、正弦定理
a b c 2R sin A sin B sin C
正弦定理应用的两种类型：
C
b
a
1）已知两角和任一边，求其它元素；A
c
B
2）已知两边和其中一边的对角，求其他元素.
最大角度
C
A B
练习2: 自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角 为 6，02A0C 长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）． 已知△ABC中AB＝1.95m，AC＝1.40m，
例2： 在山顶铁塔上B处测得地面 上一点A的俯角α＝54°40′，在塔 底C处测得A处的俯角β＝50°1′。 已知铁塔BC部分的高为27.3m， 求出山高CD(精确到1m).
分析：根据已知条件，应该设 法计算出AB或AC的长.
解：在⊿ABC中， ∠BCA=90°+β, ∠ABC=90°-α, ∠BAC=α-β, ∠BAD=α.根据正弦
解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，
cos B c2 a2 b2 1272 682 882 0.7532,
2ca
2127 68
sin B 1 0.75322 0.6578.
3、方向角：指北或指南 方向线与目标方向线所成 的小于90°的水平角，叫 方向角.它是方位角的另 一种表示形式.
4、坡角：坡面与水平面的夹角. 坡比：坡面的铅直高度与水平宽度之比， 即
i h tan
l
5、基线：在测量上，根据测量需要适当确定的 线段叫做基线.
注：1)基线越长，测量的精确度越高； 2)测一量般一定要选取基线，因为无论是应用正弦定理还是余
分析：要测出高CD,只要 测出高所在的直角三角形 的另一条直角边或斜边的 长.根据已知条件，可以计 算出BC的长.
Fra Baidu bibliotek
例3： 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测 得公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向上，行驶5km后 到达B处，测得此山顶在东偏南25°的方向上，仰角8°，求此 山的高度CD.
sin 5440' 501' )
177(m)
CD=BD-BC≈177-27.3=150(m) 答：山的高度约为150米.
例3：一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得 公路南侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5km后到 达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此 山的高度CD.（精确到1m）
弦定理解三角形时，至少应已知一边的长度.
距离
实例讲解
距离
例1:设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离.
测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C，测 出AC的距离是55cm，∠BAC＝51o，
∠ACB＝75o，求A、B两点间的距离（精确到 0.1m）.
分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形
3、余弦定理
a2 b2 c2 2bccos A b2 a2 c2 2accos B c2 a2 b2 2abcosC
b2 c2 a2 cos A
2bc cos B a2 c2 b2
2ac cos C a2 b2 c2
2ab
利用余弦定理可解决一下两类解三角形问题
（1）已知三边，求三角；
解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意， 正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三 角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来 求解.
距离
高度
角度
解斜三角形的问题，通常都要根据题意，从实际问题中抽象 出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出所要求的量， 从而得到实际问题的解.
练习2: 自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角6为020 AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
（1）什么是最大仰角？
（2）例题中涉及一个怎样的三角 形？ 在△ABC中已知什么，要求什么？
A s C 1 ia s n 8 ( i n 0 ) ( ) s a s i i n n ) ) (( B s C 1 i n a 8 s ( i0 n ) sa is n i) n (
计算出AC和BC后，再在⊿ABC中，应用余弦定理计 算出AB两点间的距离
(1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5°;
解(1： )应用 S1casinB,得 2
S123.514.8si1n4.58 90.9(cm 2) 2
(2)已知B=62.7°,C=65.8°,b=3.16cm;
(2)根据正弦定理b， c ,c bsinC, sinB sinC sinB
解：在⊿ABC中，
∠ABC＝180°－75°＋32°＝137°，
根据余弦定理，
AC A2BBC 22A BBC co sABC 6.7 525.4 0226.7 55.4 0co1s3 7 11.135
根据正弦定理， BC AC
sin CAB sin ABC sin CAB BC sin ABC
角度
实例讲解
角度
例1： 一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5n mile 后到达海岛B,然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该 沿怎样的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到0.1°,距 离精确到0.01n mile）?
解：在⊿ABC中， ∠A=15°,
∠C=25°-15°=10°.
根据正弦定理，
BC AB sinA sinC
B C A ssiC B iA nn 5 s s1 i1 in n 0 5 7 .45 (k2 )m .
CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1047(m)
答：山的高度约为1047米.
C
（2）已知两边和它们的夹角，求其他元素. b
a
A
c
B
创设情境: “遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？” 在 古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离， 是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知 的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以 应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等 等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方 法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的 方法来测量，所以，有些方法会有局限性.于是上面介绍的问题 是用以前的方法所不能解决的.今天我们开始学习正弦定理、余 弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离.
在这个过程中，贯穿了数学建模的思想. 这种思想即是从实际 问题出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学模型， 然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解.
解应用题中的几个相关概念: 1、仰角、俯角： 在测量时，视线与水平线
所成的角中，视线在水平线 上方的角叫仰角，在水平线 下方的角叫做俯角. 2、方位角：指北的方向线顺时针旋转到目标方向 线所成的水平角.
AB ＝ AC sinC sinB
解：根据正弦定理，得
AB AC si nACB si nABC AB AC si nACB55 si nACB
si nABC si nABC sin15(85 s 0i57n15 75)5s5 si5in7n456.57(m)
答：A,B两点间的距离为65.7米。
cos B c2 a2 b2 38.72 41.42 27.32 0.7679
2ca
238.7 41.4
sin B 1 cos2 B 1 0.76972 0.6384
应用S 1 casin B,得 2
S 1 38.7 41.4 0.6384 511.4(cm2). 2
例3: 在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成 市内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为 68m,88m,127m，这个区域的面积是多少（精确到0.1cm²）?