角平分线遇见平行线6题
角平分线与平行线结合的等腰三角形问题
角平分线与平行线构造等腰三角形问题基本图形1已知：AB∥CD, （1）CE平分∠ACD交AB于E.问⊿ACE是什么特殊三角形（2）反过来，若AC＝AE,问CE是∠ACD的平分线吗基本图形2已知：△ABC,AB＝AC,（1）AE是外角∠BAD的平分线.问AE与BC平行吗（2）若AE∥BC，问∠DAE＝∠BAE吗（3）若AE是外角∠BAD的平分线，且AE∥BC，AB＝AC吗!问题举例1.已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形AEDF 是菱形。
2．（2016•泰安）如图，在□ABCD中，AB=6，BC=8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F ，则AE+AF的值等于（）A．2 B．3 C．4 D．63．如图，CD、BD平分∠BCA及∠ABC，EF过D点且EF∥BC，AB＝8，AC＝6 。
则△AEF的周长是______4.（2013泰安）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（）A．2B．4C．4 D．85.（2013菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP 交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=3CE时，EP+BP= ．（6.如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边C D上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC ＝3．其中正确结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．47.已知：□ABCD,BE平分∠ABC, CF平分∠BCD,BE、CF分别交AD于E、F，BE与CF交于点G．(1)求证：BE⊥CF．(2)若AB=5，BC=8，求EF的长．&8.（2013•张家界）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB 的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.求证：OE=OF；|9.（2013泰安）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB•AD；（2）求证：CE∥AD；^10.已知：△ABC ，AB ＝AC ，AE 是外角∠BAD 的平分线，点D 为BC 的中点，DE ∥AC 交AE 于E,连接BE.求证：四边形AEBD 是矩形.~~11.（2017.岱岳区）如图，已知一次函数y=23x-3与反比例函数y=x k的图象相交于点A （4，n ），与X轴相交于点B.（1）求反比例函数的表达式；（2）将线段AB 沿X 轴向右平移5个单位到DC ，设DC 与双曲线交于点E ，求点E 到x 轴的距离.、。
数学七年级下册 第5章 《相交线与平行线》 常考题型训练(四)(含答案)
七年级下册《相交线与平行线》常考题型训练（四）1．如图，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E．（1）AD与BC平行吗？请说明理由；（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？（3）若AF平分∠BAD，试说明：∠E+∠F＝90°．2．如图1，已知点A，点D在BC上方，过点A，D分别作CD，AB的平行线，两条平行线交于点M（点M在BC下方），且与BC分别交于E，F两点，连结AD．（1）∠BAM与∠CDM相等吗？请说明理由．（2）根据题中条件，判断∠AEF，∠DFE，∠BAE三个角之间的数量关系，并说明理由；（3）如图2，Q是AD下方一点，连结AQ，DQ，且∠DAQ＝∠BAD，∠ADQ＝∠ADC，若∠AQD＝112°，请直接写出∠BAE的度数．3．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，AC∥BD，点E为直线AC上方一点，连接CE、DE，猜想∠C、∠D、∠E的数量关系，并证明．小明发现，可以过点E作MN∥AC来解决问题，如图2，请你完成解答；用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：如图3，AB∥CD，P是平面内一点，连接AP、CP，使AP∥BD，∠APC＝100°，BM、CM分别平分∠ABD、∠DCP交于点M，求∠M的度数．4．（1）已知：如图1，直线AB∥CD，点E是AB、CD之间的一点，连接BE、DE得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D，（提示：过E作EF平行AB）（2）已知：直线AB∥CD，直线MN分别与AB、CD交于点E、F．①如图2，∠BEF和∠EFD的平分线交于点G．猜想∠G的度数，并证明你的猜想；②如图3，EG1和EG2为∠BEF内满足∠1＝∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G1和G2．求证：∠FG1E+∠G2＝180°．5．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3＝180°，试说明：∠GDC ＝∠B．请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由．解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）∴∠ADB＝∠EFB＝90°（），∴EF∥AD（），∴+∠2＝180°（）．又∵∠2+∠3＝180°（已知），∴∠1＝∠3（），∴AB∥（），∴∠GDC＝∠B（）．6．如图，直线AB、CD相交于O，∠EOC＝90°，OF是∠AOE的角平分线，∠COF＝34°，求∠BOD的度数．其中一种解题过程如下：请在括号中注明根据，在横线上补全步骤．解：∵∠EOC＝90°∠COF＝34°（）∴∠EOF＝°∵OF是∠AOE的角平分线∴∠AOF＝＝56°（）∴∠AOC＝°∵∠AOC+＝90°∠BOD+∠EOB＝90°∴∠BOD＝∠AOC＝°（）7．如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE＝90°，OF平分∠AOE．（1）写出∠BOE的余角；（2）若∠COF的度数为29°，求∠BOE的度数．8．如图，已知，BC∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，试回答下列问题：（1）如图1，求证：OC∥AB；（2）如图2，点E、F在线段BC上，且满足∠EOB＝∠AOB，并且OF平分∠BOC：①若平行移动AB，当∠BOC＝6∠EOF时，求∠ABO；②若平行移动AB，那么的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值．9．如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点，（1）若∠1与∠2都是锐角，如图甲，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系；（2）若把一块三角尺（∠A＝30°，∠C＝90°）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数；（3）将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，求的值．10．平面内两条直线EF、CD相交于点O，OA⊥OB，OC恰好平分∠AOF．（1）如图1，若∠AOE＝40°，求∠BOD的度数；（2）在图1中，若∠AOE＝x°，请求出∠BOD的度数（用含有x的式子表示），并写出∠AOE和∠BOD的数量关系；（3）如图2，当OA，OB在直线EF的同侧时，∠AOE和∠BOD的数量关系是否会发生改变？若不变，请直接写出它们之间的数量关系；若发生变化，请说明理由．参考答案1．解：（1）AD∥BC，理由是：∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°，∴∠ADF＝∠BCF，∴AD∥BC；（2）AB∥EF，理由是：∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABE，∵∠ABC＝2∠E，∴∠ABE＝∠E，∴AB∥EF；（3）∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∵BE平分∠ABC，AF平分∠BAD，∴∠ABE＝ABC，∠BAF＝∠BAD，∴∠ABE+∠BAF＝90°，∴∠AOB＝180°﹣90°＝90°＝∠EOF，∴∠E+∠F＝180°﹣∠EOF＝90°．2．解：（1）∵AB∥DF，CD∥AM，∴∠BAM＝∠M，∠CDM＝∠M，∴∠BAM＝∠CDM；（2）∵∠AEF+∠MEF＝180°，∠DFE+∠MFE＝180°，∴∠AEF+∠MEF+∠DFE+∠MFE＝360°，又∴∠MEF+∠MFE＝180°﹣∠M，∴∠AEF+∠DFE+180°﹣∠M＝360°，即∴∠AEF+∠DFE﹣∠M＝180°，∵∠M＝∠BAE，∴∠AEF+∠DFE﹣∠BAE＝180°，（3）∵∠DAQ+∠ADQ+∠AQD＝180°，∠AQD＝112°，∴∠DAQ+∠ADQ＝180°﹣112°＝68°，∵∠DAQ＝∠BAD，∠ADQ＝∠ADC，∴∠BAD+∠ADC＝68°×3＝204°，又∵∠BAD+∠ADC+∠B+∠C＝360°，∵∠B+∠C＝360°﹣204°＝156°，∵∠B＝∠DFC，∴∠CDF＝180°﹣156°＝24°，∴∠CDF＝∠M＝∠BAE＝24°．3．证明：（1）∠D═∠C+∠E（图）∠D═∠C+∠DEC（图2）过点E作MN∥AC，∴∠C═∠CEN．又∵AC∥BD，∴MN∥BD，∴∠D═∠DEN又∵∠DEN═∠DEC+∠CEN，．∴∠D═∠C+∠DEC（2）如图所示，AP与CD，CD与BM分别相交于点E、F两点，∵BM、CM分别平分∠ABD、∠DCP，∴∠MBD＝∠MBA＝∠ABD，∠MCP＝∠MCD═∠PCE．又∵AB∥CD，∴∠D+∠DBA＝180°．又∵AP∥BD，∴∠AED+∠D＝180°，∵∠DBA＝∠AED，又∵∠AED＝∠PEC∴∠CEP＝∠DBA∴∠MBA═∠CEP．又∵∠ABF＝∠BFD，∠BFD＝∠CFM，∴∠ABF＝∠CFM＝∠ABD＝∠CEP．又∵△CEP中，∠P＝100°∴∠PCE+∠PEC＝180°﹣100°＝80°，∴∠CEP+∠PCE＝（∠PCE+∠PEC）＝×80°＝40°，∴∠MCF+∠MFC＝40°，∴∠M＝180°﹣（∠MCF+∠MFC）＝180°﹣40°＝140°．4．（1）证明：如图1过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B．∵AB∥CD，∴EF∥CD．∴∠FED＝∠D．∴∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．即∠BED＝∠B+∠D；（2）①解：如图2所示，猜想：∠EGF＝90°；证明：由材料中的结论得∠EGF＝∠BEG+∠GFD，∵EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，∴∠BEF＝2∠BEG，∠EFD＝2∠GFD，∵BE∥CF，∴∠BEF+∠EFD＝180°，∴2∠BEG+2∠GFD＝180°，∴∠BEG+∠GFD＝90°，∵∠EGF＝∠BEG+∠GFD，∴∠EGF＝90°；②解法一：证明：如图3，过点G1作G1H∥AB，∵AB∥CD，∴G1H∥CD，由结论可得∠G2＝∠1+∠3，∠EG1F＝∠BEG1+∠G1FD，∴∠3＝∠G2FD，∵FG2平分∠EFD，∴∠4＝∠G2FD，∵∠1＝∠2，∴∠G2＝∠2+∠4，∵∠EG1F＝∠BEG1+∠G1FD，∴∠EG1F+∠G2＝∠2+∠4+∠BEG1+∠G1FD＝∠BEF+∠EFD，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD＝180°，∴∠EG1F+∠G2＝180°．解法二：证明：由结论可得∠G2＝∠1+∠G2FD∵FG2平分∠EFD，∴∠EFG2＝∠G2FD，∵∠EG1F+∠EG1G2＝∠EG1F+∠2+∠EFG2＝180°，∴∠EG1G2＝∠2+∠EFG2，∵∠1＝∠2，∴∠G2＝∠EG1G2，∴∠EG1F+∠G2＝180°5．解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）∴∠ADB＝∠EFB＝90°（垂直的定义），∴EF∥AD（同位角相等两直线平行），∴∠1+∠2＝180°（两直线平行同旁内角互补），又∵∠2+∠3＝180°（已知），∴∠1＝∠3 （同角的补角相等），∴AB∥DG（内错角相等两直线平行），∴∠GDC＝∠B（两直线平行同位角相等）．故答案为：垂直的定义，同位角相等两直线平行，∠1，两直线平行同旁内角互补，同角的补角相等，DG，内错角相等两直线平行，两直线平行同位角相等．6．解：∵∠EOC＝90°，∠COF＝34°（已知），∴∠EOF＝56°，∵OF是∠AOE的角平分线，∴∠AOF＝∠EOF＝56°（角平分线的定义），∴∠AOC＝22°，∵∠AOC+∠EOB＝90°，∠BOD+∠EOB＝90°，∴∠BOD＝∠AOC＝22°（同角的余角相等），故答案为：已知；56；∠EOF；角平分线的定义；22；∠EOB；同角的余角相等．7．解：（1）∵直线AB和CD相交于点O，∠COE＝90°，∴∠BOD＝∠AOC，∠DOE＝90°，∴∠BOE+∠BOD＝90°，∴∠BOE+∠AOC＝90°，∴∠BOE的余角是∠BOD和∠AOC；（2）∵∠COF＝29°，∠COE＝90°，∴∠EOF＝90°﹣29°＝61°，又OF平分∠AOE，∴∠AOE＝122°，∵∠BOE+∠AOE＝180°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝58°．8．（1）证明：∵BC∥OA，∴∠C+∠COA＝180°，∠BAO+∠ABC＝180°，∵∠C＝∠BAO＝100°，∴∠COA＝∠ABC＝80°，∴∠COA+∠OAB＝180°，∴OC∥AB；（2）①如图②中，设∠EOF＝x，则∠BOC＝6x，∠BOF＝3x，∠BOE＝∠AOB＝4x，∵∠AOB+∠BOC+∠OCB＝180°，∴4x+6x+100°＝180°，∴x＝8°，∴∠ABO＝∠BOC＝6x＝48°．如图③中，设∠EOF＝x，则∠BOC＝6x，∠BOF＝3x，∠BOE＝∠AOB＝2x，∵∠AOB+∠BOC+∠OCB＝180°，∴2x+6x+100°＝180°，∴x＝10°，∴∠ABO＝∠BOC＝6x＝60°．综上所述，满足条件的∠ABO为48°或60°；②∵BC∥OA，∠C＝100°，∴∠AOC＝80°，∵∠EOB＝∠AOB，∴∠COE＝80°﹣2∠AOB，∵OC∥AB，∴∠BOC＝∠ABO，∴∠AOB＝80°﹣∠ABO，∴∠COE＝80°﹣2∠AOB＝80°﹣2（80°﹣∠ABO）＝2∠ABO﹣80°，∴＝＝2，∴平行移动AB，的值不发生变化．9．解：（1）∠C＝∠1+∠2．理由：如图，过C作CD∥PQ，∵PQ∥MN，∴PQ∥CD∥MN，∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠1+∠2．（2）∵∠AEN＝∠A＝30°，∴∠MEC＝30°，由（1）可得，∠C＝∠MEC+∠PDC＝90°，∴∠PDC＝90°﹣∠MEC＝60°，∴∠BDF＝∠PDC＝60°；（3）设∠CEG＝∠CEM＝x，则∠GEN＝180°﹣2x，由（1）可得，∠C＝∠CEM+∠CDP，∴∠CDP＝90°﹣∠CEM＝90°﹣x，∴∠BDF＝90°﹣x，∴＝＝2．10．解：（1）∵∠AOE＝40°，∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝140°，∵OC平分∠AOF，∴，∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOB﹣∠AOC＝20°；（2）∵∠AOE＝x°，∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝（180﹣x）°，∵OC平分∠AOF，∴，∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴；∴∠AOE＝2∠BOD；（3）不变，∠AOE＝2∠BOD．。
平行线的判定练习题(有答案)
平行线的判定练习题(有答案)平行线的判定专项练习60题（有答案)1．已知：如图，BE平分∠ABC，∠1=∠2．求证：BC∥DE．2．如图，已知∠A=∠F，∠C=∠D，试说明BD∥CE．3．如图所示，AB⊥BC，BC⊥CD，BF和CE是射线，并且∠1=∠2，试说明BF∥CE．4．如图，AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3，求证：BE∥DF．5．如图，OP平分∠MON，A、B分别在OP、OM上，∠BOA=∠BAO，那么AB平行于ON吗？若平行，请写出证明过程；若不平行，请说明理由．6．已知：如图，∠1=∠2，∠A=∠C．求证：AE∥BC．平行线的判定--- 第 1 页共 1 页7．已知，如图B、D、A在一直线上，且∠D=∠E，∠ABE=∠D+∠E，BC是∠ABE的平分线，求证：DE∥BC．8．如图，已知∠AEC=∠A+∠C，试说明：AB∥CD．9．如图，已知AC∥ED，EB平分∠AED，∠1=∠2，求证：AE∥BD．10．如图，直线AB、CD与直线EF相交于E、F，已知：∠1=105°，∠2=75°，求证：AB∥CD．11．如图，∠D=∠A，∠B=∠FCB，求证：ED∥CF．12．如图，已知AB⊥BC，CD⊥BC，∠1=∠2，求证：EB∥FC．平行线的判定---第 2 页共 2 页13．如图所示所示，已知BE是∠B的平分线，交AC于E，其中∠1=∠2，那么DE∥BC吗？为什么？14．如图，已知∠C=∠D，DB∥EC．AC与DF平行吗？试说明你的理由．15．如图，AC⊥AE，BD⊥BF，∠1=35°，∠2=35°，求证：AE∥BF．16．如图，已知AB∥CD，∠1=∠2，求证：BE∥CF．17．已知∠BAD=∠DCB，∠1=∠3，求证：AD∥BC．18．如图，AD是三角形ABC的角平分线，DE∥CA，并且交AB与点E，∠1=∠2，DF与AB是否平行？为什么？平行线的判定---第 3 页共 3 页19．如图，已知：∠C=∠DAE，∠B=∠D，那么AB平行于DF吗？请说明理由．20．如图，已知点B在AC上，BD⊥BE，∠1+∠C=90°，问射线CF与BD平行吗？说明理由．21．已知∠1的度数是它补角的3倍，∠2等于45°，那么AB∥CD吗？为什么？22．已知：如图，BDE是一条直线，∠ABD=∠CDE，BF平分∠ABD，DG平分∠CDE，求证：BF∥DG．23．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC．判断DE、BF是否平行，并说明理由．24．如图，若∠CAB=∠CED+∠CDE，求证：AB∥CD．25．如图，CD⊥AB，GF⊥AB，∠1=∠2．试说明DE∥BC．平行线的判定---第 4 页共 4 页26．如图所示，∠CAD=∠ACB，∠D=90°，EF⊥CD．试说明：∠AEF=∠B．27．已知：如图所示，C，P，D三点在同一条直线上，∠BAP+∠APD=180°，∠E=∠F，求证：∠1=∠2．28．如图，∠D=∠1，∠E=∠2，DC⊥EC．求证：AD∥BE．29．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，试说明BE∥DF．30．已知：如图，∠1=∠2，∠A=∠F，则∠C与∠D相等吗？试说明理由．31．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BE∥DF．平行线的判定---第 5 页共 5 页平行线测姓名：一、选择题1．下列命题中，不正确的是____ [ ]A．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行B．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行C．两条直线被第三条直线所截，那么这两条直线平行D．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行2．如图，可以得到DE∥BC的条件是______ [ ]（2题）（5题）（3题）(7题) （8题）A．∠ACB=∠BAC B．∠ABC+∠BAE=180° C．∠ACB+∠BAD=180°D．∠ACB=∠BAD3．如图，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件: (1)∠1=∠2(2)∠3=∠6(3)∠4+∠7=180° (4)∠5+∠8=180°，其中能判定a∥b的条件是_________[ ]A．(1)(3) B．(2)(4)C．(1)(3)(4) D．(1)(2)(3)(4)4．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是________[ ]A．第一次向右拐40°，第二次向左拐40° B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C．第一次向右拐50°，第二次向右拐130° D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°5．如图，如果∠1=∠2，那么下面结论正确的是_________．[ ]A．AD∥BC B．AB∥CD C．∠3=∠4 D．∠A=∠C6．同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则直线c、d的位置关系为（）A．互相垂直 B．互相平行 C．相交 D．无法确定7．如图，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是（）A．∠1+∠2=180° B．∠2+∠3=180° C．∠3+∠4=180° D．∠2+∠4=180°8．如图，AD∥BC，∠B=30°，DB平分∠ADE，则∠DEC的度数为（）A．30° B．60° C．90° D．120°二、填空题 9．如图，由下列条件可判定哪两条直线平行，并说明根据．(1)∠1=∠2，．(2)∠A=∠3，．(3)∠ABC+∠C=180°．10．如果两条直线被第三条直线所截，一组同旁内角的度数之比为3∶2，差为36°，那么这两条直线的位置关系是________．11．同垂直于一条直线的两条直线_______．同一平面内，不重合的两直线的位置关系是。
平行四边形——常用模型(二) 平行线、角平分线和等腰三角形.doc
平行四边形——常用模型（二）平行线、角平分线和等腰三角形
“三兄弟”——平行线、角平分线和等腰三角形经常会在平行四边形这一章进行运用，是必须要熟练掌握的模型，作为组合类辅助线，看见其二，还要想到构造另外一个，考察最多的是平行线+角平分线，延长法构造等腰三角形.
下面让我们一起来研究下：
一、平行线+角平分线
如图，AD∥BC，AE平分∠BAD，则AB=BE.
∵AD∥BC
∴∠EAD=∠BEA
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE=∠EAD
∴∠BAE=∠BEA
∴AB=BE
二、角平分线+等腰三角形
如图，AE平分∠BAD，AB=BE，则AD∥BC.
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE=∠EAD
∵AB=BE
∴∠BEA=∠BAE
∴∠BEA=∠EAD
∴AD∥BC
三、平行线+等腰三角形
如图，AD∥BC，AB=BE，则AE平分∠BAD.
∵AD∥BC
∴∠BEA=∠EAD
∵AB=BE
∴∠BAE=∠BEA
∴∠BAE=∠EAD
∴AE平分∠BAD
四、平行线+角平分线（辅助线）
延长法（延长角平分线）构造等腰三角形
如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，则
延长CE交AB于点F，
易得：△ACF是等腰三角形.
结语：
平行线，角平分线，等腰三角形就像三兄弟，他们形影不离，题目中出现其中二个，要想到另外一个，如果没有，可以通过添加辅助线得到另外一个。
只有熟练掌握了，我们才能提高做题效率。
练习：。
初二数学角的平分线试题
初二数学角的平分线试题1.如图，已知AB∥CD，OA平分∠BAC，OC平分∠AOD，OE⊥AC于点E，且OE=2，则两平行线间的距离为【答案】4【解析】要求二者的距离，首先要作出二者的距离，作OF⊥AB，OG⊥CD，根据角平分线的性质可得，OE=OF=OG，即可求得AB与CD之间的距离．作OF⊥AB，延长FO与CD交于G点，∵AB∥CD，∴FG垂直CD，∴FG就是AB与CD之间的距离．∵∠ACD平分线的交点，OE⊥AC交AC于E，∴OE=OF=OG，∴AB与CD之间的距离等于2OE=4．【考点】本题主要考查了角平分线的性质点评：作出AB与CD之间的距离是正确解决本题的关键．2.如图，在△ABC中，∠C＝，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=20，BD:CD=5:3，则D到AB的距离DE是【答案】【解析】根据角平分线的性质，可得DC=DE，又因为BC=20，BD:CD=5:3，即可求得DE的长. ∵AD平分∠BAC∴DC=DE∵BC=20，BD:CD=5:3，∴DC=，∴DE=DC=.【考点】本题主要考查了角平分线的性质点评：解答本题的关键是掌握好角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．3.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝，BD是角平分线，DE⊥BC，若BC＝10，则△DEC的周长为【答案】10【解析】由∠A＝，BD是角平分线，DE⊥BC，可得AD=DE，AB=BE，则DE+DC=AD+DC=AC，再由△ABC是等腰直角三角形，∠A＝，可得AB=AC，即可求得结果。
∵∠A＝，BD是角平分线，DE⊥BC，∴AD=DE，AB=BE，∵△ABC是等腰直角三角形，∠A＝，∴AB=AC，∴DE+DC+EC=AD+DC+EC=AC+EC=BE+EC=BC＝10.【考点】本题考查的是等腰直角三角形的性质，角平分线的性质点评：解答本题的关键是掌握好角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．4.如图，已知在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，若∠A＝，则∠BOC＝【答案】【解析】利用角平分线的性质求出∠BCO+∠CBO的度数，再由三角形的内角和定理便可求出∠BOC．∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，∠A＝，∴∠BCO+∠CBO=,∴∠BOC＝【考点】本题考查了三角形内角和定理，三角形的角平分线点评：关键是由三角形内角和定理，角平分线性质对所求角进行转化．5.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则下列结论中错误的是（）A．PC=PD B．OC=OD C．∠CPO=∠DPO D．OC=PC【答案】D【解析】由已知条件认真思考，首先可得△POC≌△POD，进而可得PC=PD、OC=OD、∠CPO=∠DPO；而OC、PC是无法证明是相等的，于是答案可得．∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，OP=OP∴△POC≌△POD∴PC=PD，OC=OD，∠CPO=∠DPO，而OC、PC是无法证明是相等的故选D．【考点】本题主要考查角平分线的性质点评：由已知能够得到△POC≌△POD是解决的关键．6.下列说法中，错误的是（）A．三角形任意两个角的平分线的交点在三角形的内部B．任意两个角的平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等C．三角形两个角的平分线的交点到三边的距离相等D．三角形两个角的平分线的交点在第三个角的平分线上【答案】B【解析】根据三角形角平分线的性质依次分析各项即可。
平行线的判定专项练习题有答案
平行线的判定专项练习题有答案Last revised by LE LE in 20211．已知：如图，BE平分∠ABC，∠1=∠2．求证：BC∥DE．2．如图，已知∠A=∠F，∠C=∠D，试说明BD∥CE．3．如图所示，AB⊥BC，BC⊥CD，BF和CE是射线，并且∠1=∠2，试说明BF∥CE．4．如图，AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3，求证：BE∥DF．5．如图，OP平分∠MON，A、B分别在OP、OM上，∠BOA=∠BAO，那么AB平行于ON吗若平行，请写出证明过程；若不平行，请说明理由．6．已知：如图，∠1=∠2，∠A=∠C．求证：AE∥BC．7．已知，如图B、D、A在一直线上，且∠D=∠E，∠ABE=∠D+∠E，BC是∠ABE的平分线，求证：DE∥BC．8．如图，已知∠AEC=∠A+∠C，试说明：AB∥CD．9．如图，已知AC∥ED，EB平分∠AED，∠1=∠2，求证：AE∥BD．10．如图，直线AB、CD与直线EF相交于E、F，已知：∠1=105°，∠2=75°，求证：AB∥CD．11．如图，∠D=∠A，∠B=∠FCB，求证：ED∥CF．12．如图，已知AB⊥BC，CD⊥BC，∠1=∠2，求证：EB∥FC．13．如图所示所示，已知BE是∠B的平分线，交AC于E，其中∠1=∠2，那么DE∥BC吗为什么14．如图，已知∠C=∠D，DB∥EC．AC与DF平行吗试说明你的理由．15．如图，AC⊥AE，BD⊥BF，∠1=35°，∠2=35°，求证：AE∥BF．16．如图，已知AB∥CD，∠1=∠2，求证：BE∥CF．17．已知∠BAD=∠DCB，∠1=∠3，求证：AD∥BC．18．如图，AD是三角形ABC的角平分线，DE∥CA，并且交AB与点E，∠1=∠2，DF与AB是否平行为什么19．如图，已知：∠C=∠DAE，∠B=∠D，那么AB平行于DF吗请说明理由．20．如图，已知点B在AC上，BD⊥BE，∠1+∠C=90°，问射线CF与BD平行吗说明理由．21．已知∠1的度数是它补角的3倍，∠2等于45°，那么AB∥CD吗为什么22．已知：如图，BDE是一条直线，∠ABD=∠CDE，BF 平分∠ABD，DG平分∠CDE，求证：BF∥DG．23．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC．判断DE、BF是否平行，并说明理由．24．如图，若∠CAB=∠CED+∠CDE，求证：AB∥CD．25．如图，CD⊥AB，GF⊥AB，∠1=∠2．试说明DE∥BC．26．如图所示，∠CAD=∠ACB，∠D=90°，EF⊥CD．试说明：∠AEF=∠B．27．已知：如图所示，C，P，D三点在同一条直线上，∠BAP+∠APD=180°，∠E=∠F，求证：∠1=∠2．28．如图，∠D=∠1，∠E=∠2，DC⊥EC．求证：AD∥BE．29．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，试说明BE∥DF．30．已知：如图，∠1=∠2，∠A=∠F，则∠C与∠D相等吗试说明理由．31．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BE∥DF．32．如图，已知∠1=∠2求证：a∥b．33．如图，D E⊥AO于E，BO⊥AO于O，FC⊥AB于C，∠1=∠2，找出图中互相平行的线，并加以说明．34．如图，已知∠1=∠2，∠C=∠CDO，求证：CD∥OP．35．如图，已知DE平分∠BDF，AF平分∠BAC，且∠1=∠2．求证（1）DF∥AC；（2）DE∥AF．36．如图，AD平分∠BAC，EF平分∠DEC，且∠1=∠2，试说明DE与AB的位置关系．37．如图，在△ABC中，点D在AB上，∠ACD=∠A，∠BDC的平分线交BC于点E．求证：DE∥AC．38．如图，AB与CD相交于点O，并且∠A=∠1，试问∠2与∠B满足什么关系时，AC∥BD说明理由．39．如图，已知∠1=∠A，∠2=∠B，那么MN与EF平行吗如果平行，请说明理由．40．如图，直线AB、CD被直线EF所截，∠1+∠4=180°，求证：AB∥CD．41．如图所示，已知：∠1=∠2，∠E=∠F．试说明AB∥CD．42．如图，已知EF⊥CD于F，∠GEF=25°，∠1=65°，则AB与CD平行吗请说明理由．43．如图，已知∠1=∠2=90°，∠3=30°，∠4=60°，图中有几对平行线说说你的理由．44．直线AB，CD被直线EF所截，∠1=∠2，直线AB 和CD平行吗为什么45．已知：如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2．求证：AB∥GF．46．如图，已知B、C、D三点在同一条直线上，∠B=∠1，∠2=∠E，试说明AD∥CE．47．直线AB、CD与GH交于E、F，EM平分∠BEF，FN 平分∠DFH，∠BEF=∠DFH，求证：EM∥FN．48．如图所示，∠ABC=∠BCD，BE、CF分别平分∠ABC 和∠BCD，请你说出BE与CF的位置关系，并说出你的理由．49．如图，若∠1=∠2，请判断DB与EC的位置关系，并说明理由．50．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC 上，EF⊥AB，垂足为F．（1）CD与EF平行吗为什么（2）如果∠1=∠2，DG∥BC吗为什么51．如图，已知：HG平分∠AHM，MN平分∠DMH，且∠AHM=∠DMH．问：GH与MN有怎样的位置关系，请说明理由．（请注明每一步的理由）52．已知：如图，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD 于点G．求证：AB∥CD．53．如图，直线AB，CD被EF所截，∠3=∠4，∠1=∠2，EG⊥FG．求证：AB∥CD．54．已知：如图，CD是直线，E在直线CD上，∠1=130°，∠A=50°，求证：AB∥CD．55．如图，已知∠1=∠2，∠DAB=∠DCA，且DE⊥AC，BF⊥AC，问：（1）AD∥BC吗（2）AB∥CD吗为什么56．如图，四边形ABCD，∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC，则AD与BC一定平行吗AB与CD呢若平行请说明理由，反之则不用说明理由．57．已知：如图，∠A=∠F，∠C=∠D．求证：BD∥CE．58．如图，AD⊥BC于点D，∠1=2，∠CDG=∠B，请你判断EF与BC的位置关系，并加以证明，要求写出每步证明的理由．59．已知：如图，CE平分∠ACD，∠1=∠B，求证：AB∥CE．60．如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，可以判定哪两条直线平行。
平行线典型例题
一．解答题（共21小题）
1．如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E=∠1，可得AD平分∠BAC．
理由如下：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，（已知）
∴∠ADC=∠EGC=90°，（垂直的定义），
∴AD∥EG，（同位角相等，两直线平行）
∴∠1=∠2，（两直线平行，内错角相等）
∠E=∠3，（两直线平行，同位角相等）
解答：
解：AD与BC平行；理由如下：
∵BE∥DF，
∴∠B+∠BCD=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠B=∠D，
∴∠D+∠BCD=180°，
点评：
本题考查了平行线的性质及判定，熟记定理是正确解题的关键．
4．如图，已知BE∥DF，∠B=∠D，则AD与BC平行吗？试说明理由．
考点：
平行线的判定与性质．
专题：
探究型．
分析：
利用两直线平行，同旁内角互补可得∠B+∠C=180°，即∠C+∠D=180°；根据同旁内角互补，两直线平行可证得AD∥BC．
这是一道结论开放的探究性问题，由于E点位置的不确定性，可引起对E点不同位置的分类讨论。本题可分为AB，CD之间或之外。
结论：①∠AEC＝∠A＋∠C②∠AEC＋∠A＋∠C＝360°③∠AEC＝∠C－∠A④∠AEC＝∠A－∠C⑤∠AEC＝∠A－∠C⑥∠AEC＝∠C－∠A．
例、如图，将三角板的直角顶点放在直角尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为（ ）
（3）如图3，点 、 是直线CM、DN内部的一个点，连结 、 、 ．
试求 的度数；
（4）若按以上规律，猜想并直接写出 … 的度数（不必写出过程）．
例、如图，已知直线l1∥l2，且l3和l1、l2分别交于A、B两点，点P在AB上．
初一数学下学期培优训练小专题10 平行线中的角平分线综合问题
初一数学下学期培优训练小专题10 平行线中的角平分线综合问题【例题讲解】如图1，AB∥CD，点E，F分别在直线CD，AB上，∠BEC＝2∠BEF，过点A作AG⊥BE的延长线交于点G，交CD于点N，AK平分∠BAG，交EF于点H，交BE于点M．（1）直接写出∠AHE，∠FAH，∠KEH之间的关系：________；（2）若∠BEF＝12∠BAK，求∠AHE；（3）如图2，在（2）的条件下，将△KHE绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当KE 边与射线ED重合时停止，则在旋转过程中，当△KHE的其中一边与△ENG的某一边平行时，直接写出此时t的值．解：（1）∵AB∥CD∴∠KEH=∠AFH∵∠AHE=∠AFH+∠FAH∴∠AHE=∠KEH+∠FAH故答案为：∠AHE=∠KEH+∠FAH（2）设∠BEF=x∵∠BEF= 12∠BAK，∠BEC=2∠BEF∴∠BAK=∠BEC=2x∵AK平分∠BAG∴∠BAK=∠KAG=2x由（1）的结论可得：∠AME=2x+2x=4x，∠AHE=2x+3x=5x∵AG⊥BE∴∠G=90°∴∠AME+∠KAG=2x+4x=90°∴x=15°∴∠AHE=5x=75°；（3）由（2）可得，∠KHE=105°，∠BEF=15°，∠HEK=45°，∠NEG=30°，∠ENG=60°①当KH∥NG时5°×t=60°-30°=30°∴t=6②当KE∥GN时5°×t=60°∴t=12③当HE∥GN时5°×t=45°+60°=105°∴t=21④当HK∥EG时，5°×t=180°-30°-30°=120°∴t=24⑤当HK∥EN时，5t=150°∴t=30综上所述，t的值为：6或12或21或24或30．【综合演练】1．如图，直线PQ∥MN，一副直角三角板ABC、DEF中∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE ＝30°，∠DEF ＝60°．(1)若△ABC ，△DEF 如图1摆放时，则∠PDE ＝ ．(2)若图1中△ABC 固定，将△DEF 沿着AC 方向平移，边DF 与直线PQ 相交于点G ，作∠FGQ 和∠GF A 的角平分线GH 、FH 相交于点H （如图2），求∠GHF 的度数．(3)若图1中△DEF 固定，（如图3）将ABC 绕点A 顺时针旋转，30秒转半圈，旋转至AC 与直线AN 首次重合的过程中，当线段BC 与DEF 的一条边平行时，求旋转的时间．2．已知，直线AB ∥CD ，AD 与BC 交于点E ．(1)如图1，100AEC ∠=︒，则ABC ADC ∠+∠=_________°；(2)如图2，ABC ADC ∠∠，的平分线交于点F ，则F ∠与AEC ∠有怎样的数量关系，请说明理由；(3)如图3，(),3AEC ABC αβαβ∠=∠=>，在ADC ∠的平分线上任取一点P ，连接PB ，当12ABP PBC ∠=∠时，请直接写出BPD ∠的度数（用含有αβ、的式子表示）．3．已知AB ∥CD ，∠ABE 的角分线与∠CDE 的角分线相交于点F ．（1）如图1，若BM 、DM 分别是∠ABF 和∠CDF 的角平分线，且∠BED ＝100°，求∠M 的度数；（2）如图2，若∠ABM ＝13∠ABF ，∠CDM ＝13∠CDF ，∠BED ＝α°，求∠M 的度数； （3）若∠ABM ＝1n ∠ABF ，∠CDM ＝1n∠CDF ，请直接写出∠M 与∠BED 之间的数量关系．4．阅读下面材料：小亮遇到这样问题：如图1，已知AB CD ∥，EOF 是直线AB 、CD 间的一条折线．判断CFO ∠、BEO ∠、DFO ∠三个角之间的数量关系．小亮通过思考发现：过点O 作OP AB ∥，通过构造内错角，可使问题得到解决．(1)请回答：EOF ∠、BEO ∠、DFO ∠三个角之间的数量关系是__________．(2)如图2，将ABC 沿BA 方向平移到DEF （B 、D 、E 共线），50B ∠=︒，AC 与DF 相交于点G ，GP 、EP 分别平分CGF ∠、FEA ∠相交于点P ，求P ∠的度数；(3)如图3，直线m n ∥，点B 、F 在直线m 上，点E 、C 在直线n 上，连接FE 并延长至点A ，连接BA 、BC 和CA ，做CBF ∠和CED ∠的平分线交于点M ，若ADC α∠=，则M ∠=__________（直接用含α的式子表示）．5．如图1，已知两条直线AB ，CD 被直线EF 所截，分别交于点E ，点F ，EM 平分∠AEF 交CD 于点M ，且∠FEM ＝∠FME ．(1)判断直线AB 与直线CD 是否平行，并说明理由；(2)如图2，点G 是射线MD 上一动点（不与点M ，F 重合），EH 平分∠FEG 交CD 于点H ，过点H 作HN ⊥EM 于点N ，设∠EHN ＝α，∠EGF ＝β．①当点G 在点F 的右侧时，若β＝56°，求α的度数；②当点G 在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．6．已知AB CD ∥，连接A ，C 两点．(1)如图1，CAB ∠与ACD ∠的平分线交于点E ，则AEC ∠等于__________度；(2)如图2，点M 在射线AB 反向延长线上，点N 在射线CD 上．AMN ∠与ACN ∠的平分线交于点E ．若45AMN ∠=︒，70ACN ∠=︒，求MEC ∠的度数；(3)如图3，图4，M ，N 分别为射线AB ，射线CD 上的点，AMN ∠与ACN ∠的平分线交于点E ．设AMN α∠=，()ACN βαβ∠=≠，请直接写出图中MEC ∠的度数（用含α，β的式子表示）．7．（1）【问题情境】小明翻阅自己数学学习笔记时发现，数学老师在讲评七下《伴你学》第6页“迁移应用”第1题时，曾做过如下追问：如图1，已知AB CD ，点E 、F 分别在AB 、CD 上，点G 为平面内一点，当点G 在AB 、CD 之间，且在线段EF 左侧时，连接EG 、FG ，则一定有AEG CFG G ∠+∠=∠，为什么？请帮助小明再次说明理由；（2）【变式思考】如图2，当点G 在AB 上方时，且90EGF ∠=︒，请直接写出BEG ∠与DFG ∠之间的数量关系______；（3）【迁移拓展】①如图3，在（2）的条件下，过点E 作直线HK 交直线CD 于K ，使HEG ∠与GEB ∠互补，作EKD ∠的平分线与直线GE 交于点L ，请你判断FG 与KL 的位置关系，并说明理由；②在①的条件下，第一次操作；分别作∠BEL 和∠DKL 的平分线，交点为L 1；第二次操作，分别作∠BEL 1和∠DKL 1的平分线，交点为L 2；……第n 次操作，分别作∠BEL n-1和∠DKL n-1的平分线，交点为L 、则∠L n =______．8．已知：直线AB ∥CD ，一块三角板EFH ，其中∠EFH =90°，∠EHF =60°．(1)如图1，三角板EFH 的顶点H 落在直线CD 上，并使EH 与直线AB 相交于点G ，若∠2=2∠1，求∠1的度数；(2)如图2，当三角板EFH 的顶点F 落在直线AB 上，且顶点H 仍在直线CD 上时，EF 与直线CD 相交于点M ，试确定∠E 、∠AFE 、∠MHE 的数量关系；(3)如图3，当三角板EFH 的顶点F 落在直线AB 上，顶点H 在AB 、CD 之间，而顶点E 恰好落在直线CD 上时得△EFH ，在线段EH 上取点P ，连接FP 并延长交直线CD 于点T ，在线段EF 上取点K ，连接PK 并延长交∠CEH 的角平分线于点Q ，若∠Q -∠HFT =15°，且∠EFT =∠ETF ，求证：PQ ∥FH ． 9．对于平面内的M ∠和N ∠，若存在一个常数0k >，使得360M k N ∠+∠=︒，则称N ∠为M ∠的k 系补周角，若90,45M N ∠=∠=︒︒，则N ∠为M ∠的6系补周角．(1)若80H ∠=︒，则H ∠的4系补周角的度数为__________︒．(2)在平面内AB CD ，点E 是平面内一点，连接BE DE 、．①如图1，60D ∠=︒，若B ∠是E ∠的3系补周角，求B ∠的度数．②如图2，ABE ∠和CDE ∠均为钝角，点F 在点E 的右侧，且满足ABF n ABE ∠=∠，CDF n CDE ∠=∠（其中n 为常数且1n >），点P 是ABE ∠角平分线BG 上的一个动点，在P 点运动过程中，请你确定一个点P 的位置，使得BPD ∠是F ∠的k 系补周角，写出你的解题思路并求出此时的k 值（用含n 的式子表示）． 10．如图，直线,AB CD EF CD ⊥∥分别交AB 、CD 于点E 、F ，射线EP 、EQ 分别从EC 、EF 同时开始绕点E 顺时针旋转，分别与直线AB 交于点M 、N ，射线EP 每秒转10︒，射线EQ 每秒转5︒，点O 是PMN ∠、MNQ ∠角平分线的交点．设旋转时间为t 秒（08t <<）．(1)①用含t 的代数式表示：AMP ∠=___________︒，QNB ∠=__________︒；②当4t =时，OMN ∠=____________︒；(2)试探索MON ∠与ONM ∠的数量关系，并说明理由；(3)MEF ∠的角平分线与直线MO 交于点K ，直接写出MKE ∠的度数为___________．11．已知点C 在线段AE 上，AB CD ∥，EAB ∠的角平分线交CD 于点F ，M 为线段CF 上一动点，连接EM ．(1)如图①，当40FAB ∠=︒，25E ∠=︒时，求EMF ∠的度数．(2)如图②，N 为射线AB 上一动点，连接FN ，使得FN EM ∥，作CFN ∠的角平分线交AB 于点G ，猜想E ∠与AFG ∠的数量关系，并说明理由．(3)如图③，在（2）的条件下，作GH GF ⊥，并延长FN 交GH 于点H ，已知3426E AFG ∠-∠=︒，求EAF GHF ∠+∠的度数．12．已知：AB //CD ，点E 在直线AB 上，点F 在直线CD 上．（1）如图①，EM 平分∠BEF ， FN 平分∠CFE ，试判断EM 与FN 的位置关系，并说明理由；（2）如图②，EG平分∠MEF，EH平分∠AEM，试判断∠GEH与∠EFD的数量关系，并说明理由；答案与解析【例题讲解】如图1，AB∥CD，点E，F分别在直线CD，AB上，∠BEC＝2∠BEF，过点A作AG⊥BE的延长线交于点G，交CD于点N，AK平分∠BAG，交EF于点H，交BE于点M．（1）直接写出∠AHE，∠FAH，∠KEH之间的关系：________；（2）若∠BEF＝12∠BAK，求∠AHE；（3）如图2，在（2）的条件下，将△KHE绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当KE 边与射线ED重合时停止，则在旋转过程中，当△KHE的其中一边与△ENG的某一边平行时，直接写出此时t的值．解：（1）∵AB∥CD∴∠KEH=∠AFH∵∠AHE=∠AFH+∠FAH∴∠AHE=∠KEH+∠FAH故答案为：∠AHE=∠KEH+∠FAH（2）设∠BEF=x∵∠BEF= 12∠BAK，∠BEC=2∠BEF∴∠BAK=∠BEC=2x∵AK平分∠BAG∴∠BAK=∠KAG=2x由（1）的结论可得：∠AME=2x+2x=4x，∠AHE=2x+3x=5x∵AG⊥BE∴∠G=90°∴∠AME+∠KAG=2x+4x=90°∴x=15°∴∠AHE=5x=75°；（3）由（2）可得，∠KHE=105°，∠BEF=15°，∠HEK=45°，∠NEG=30°，∠ENG=60°①当KH∥NG时5°×t=60°-30°=30°∴t=6②当KE∥GN时5°×t=60°∴t=12③当HE∥GN时5°×t=45°+60°=105°∴t=21④当HK∥EG时，5°×t=180°-30°-30°=120°∴t=24⑤当HK∥EN时，5t=150°∴t=30综上所述，t的值为：6或12或21或24或30．【综合演练】1．如图，直线PQ∥MN，一副直角三角板ABC、DEF中∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE ＝30°，∠DEF ＝60°．(1)若△ABC ，△DEF 如图1摆放时，则∠PDE ＝ ．(2)若图1中△ABC 固定，将△DEF 沿着AC 方向平移，边DF 与直线PQ 相交于点G ，作∠FGQ 和∠GF A 的角平分线GH 、FH 相交于点H （如图2），求∠GHF 的度数．(3)若图1中△DEF 固定，（如图3）将ABC 绕点A 顺时针旋转，30秒转半圈，旋转至AC 与直线AN 首次重合的过程中，当线段BC 与DEF 的一条边平行时，求旋转的时间． 【答案】(1)15°(2)67.5°(3)5秒或15秒或20秒【分析】（1）如图2，过点E 作EK MN ⊥，利用平行线性质即可求得答案；（2）如图3，分别过点F 、H 作//FL MN ，//HR PQ ，运用平行线性质和角平分线定义即可得出答案； （3）设旋转时间为t 秒，由题意旋转速度为30s 转半圈，即每秒转6︒，分三种情况：①当//BC DE 时，②当//BC EF 时，③当//BC DF 时，分别求出旋转角度后，列方程求解即可．（1）如图2，过点E 作//EK MN ，45BAC ∠=︒，45KEA BAC ∴∠=∠=︒，//PQ MN ，//EK MN ，//PQ EK ∴，PDE DEK DEF KEA ∴∠=∠=∠-∠，又60DEF ∠=︒．604515PDF ∴∠=︒-︒=︒；故答案为：15︒；（2）解：如图3，分别过点F 、H 作//FL MN ，//HR PQ ，45LFA BAC ∴=∠=︒，RHG QGH ∠=∠，//FL MN ，//HR PQ ，//PQ MN ，////∴FL PQ HR ，180QGF GFL ∴∠+∠=︒，RHF HFL HFA LFA ∠=∠=∠-∠，FGQ ∠和GFA ∠的角平分线GH 、FH 相交于点H ，12QGH FGQ ∴∠=∠，12HFA GFA ∠=∠，30DFE ∠=︒，180150GFA DFE ∴∠=-∠=︒，1752HFA GFA ∴∠=∠=︒，754530RHF HFL HFA LFA ∴∠=∠=∠-∠=︒-︒=︒，15045105GFL GFA LFA ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，()1118010537.522RHG QGH FGQ ∴∠=∠=∠=︒-︒=︒，37.53067.5GHF RHG RHF ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒； （3）解：设旋转时间为t 秒，由题意旋转速度为30秒转半圈，即每秒转6︒，分三种情况：当//BC DE 时，如图5，此时//AC DF ，30CAE DFE ∴∠=∠=︒，630t =，解得：5t =；②当//BC EF 时，如图6，//BC EF ，45BAE B ∴∠=∠=︒，454590BAM BAE EAM ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，690t =，解得：15t =；③当//BC DF 时，如图7，延长BC 交MN 于K ，延长DF 交MN 于R ，453075DRM EAM DFE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，75BKA DRM ∴∠=∠=︒，18090ACK ACB ∠=︒-∠=︒，9015CAK BKA ∴∠=︒-∠=︒，1801804515120CAE EAM CAK ∴∠=-∠-∠=︒-︒-︒=︒，6120t ∴=，解得：20t =，综上所述，ABC 绕点A 顺时针旋转的时间为5s 或15s 或20s 时，线段BC 与DEF 的一条边平行．【点评】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，添加辅助线，利用平行线性质是解题关键．2．已知，直线AB ∥CD ，AD 与BC 交于点E ．(1)如图1，100AEC ∠=︒，则ABC ADC ∠+∠=_________°；(2)如图2，ABC ADC ∠∠，的平分线交于点F ，则F ∠与AEC ∠有怎样的数量关系，请说明理由；(3)如图3，(),3AEC ABC αβαβ∠=∠=>，在ADC ∠的平分线上任取一点P ，连接PB ，当12ABP PBC ∠=∠时，请直接写出BPD ∠的度数（用含有αβ、的式子表示）．【答案】(1)100；(2)∠F =12AEC ∠，理由见解析； (3)∠BPD =1126αβ-，证明见解析． 【分析】（1）根据平行线的性质得出∠BAD =∠ADC ，结合图象及三角形外角的性质即可得出结果；（2）设AD 与BF 的交点为G ，BC 与DF 的交点为H ，根据三角形内角和定理及对顶角相等得出∠BAD +∠ABF =∠F +∠ADF ①，∠BCD +∠CDF =∠F +∠CBF ②，结合角平分线可得∠BAD +∠BCD =2∠F ，找准图中各角之间的数量关系即可得出结果；（3）利用三角形外角的性质得出∠ADC=α-∠BCD，由平行线的性质可得∠ABC=∠BCD=β，结合角平分线及各角之间的数量关系进行等量代换求解即可得出结果．(1)解：∵AB∥CD，∴∠BAD=∠ADC，∵∠AEC是∆ABE的一个外角，∴∠AEC=∠ABC+∠BAD，∴∠AEC=∠ABC+∠ADC，∵∠AEC=100°，∴∠ABC+∠ADC=100°，故答案为：100；(2)解：∠F=12AEC，理由如下：设AD与BF的交点为G，BC与DF的交点为H，∵∠BAD+∠ABF+∠AGB=180°，∠AGB=∠DGF，∠F+∠ADF+∠DGF=180°，∴∠BAD+∠ABF=∠F+∠ADF①，∵∠BCD+∠CDF+∠CHD=180°，∠F+∠CBF+∠BHF=180°，∠BHF=∠CHD，∴∠BCD+∠CDF=∠F+∠CBF②，①+②得：∠BAD+∠ABF+∠BCD+∠CDF=2∠F+∠CBF+∠ADF，∵BF平分∠ABC，DF平分∠ACD，∴∠ABF=∠CBF，∠CDF=∠ADF，∴∠BAD+∠BCD=2∠F，∵∠BAD=∠AEC-∠ABC，∠BCD=∠AEC-∠ADC，∴∠BAD+∠BCD=2∠AEC-∠AEC=∠AEC，∴2∠F=∠AEC，∴∠F =12∠AEC ； (3)解：∠BPD =1126αβ-，理由如下： 如图所示，DF 平分ADC ∠，且12ABP PBC ∠=∠，连接AP ，∵∠AEC 是∆ECD 的一个外角，∠AEC =α，∴∠AEC =∠BCD +∠ADC =α，∴∠ADC =α-∠BCD ，∵AB ∥CD ，∠ABC =β，∴∠ABC =∠BCD =β，∴∠ADC =∠DAB =α-β，∵DP 是∠ADC 的角平分线，∴∠ADP =12∠ADC =()12αβ-， ∵∠ABP =12∠PBC ， ∴∠PBC =2∠ABP ，∵∠ABP +∠PBC =∠ABC =β，∴∠ABP +2∠ABP =β，即3∠ABP =β，在∆ADP 中，∠APD +∠DAP +∠ADP =180°，即∠BPD +∠APB +∠DAP +∠ADP =180°，在∆ABP 中，∠BAP +∠APB +∠ABP =180°，即∠DAP +∠DAB +∠APB +∠ABP =180°，∴∠BPD +∠APB +∠DAP +∠ADP =∠DAP +∠DAB +∠APB +∠ABP ，∴∠BPD +∠ADP =∠DAB +∠ABP ，∴∠BPD +()1123αβαββ-=-+， ∴∠BPD =1126αβ-． 【点评】题目主要考查平行线的性质，三角形内角和与外角的性质，角平分线的定义等，理解题意，找准图中各角之间的数量关系是解题关键．3．已知AB ∥CD ，∠ABE 的角分线与∠CDE 的角分线相交于点F ．（1）如图1，若BM 、DM 分别是∠ABF 和∠CDF 的角平分线，且∠BED ＝100°，求∠M 的度数；（2）如图2，若∠ABM ＝13∠ABF ，∠CDM ＝13∠CDF ，∠BED ＝α°，求∠M 的度数； （3）若∠ABM ＝1n ∠ABF ，∠CDM ＝1n∠CDF ，请直接写出∠M 与∠BED 之间的数量关系．【答案】（1）65°（2）3606α︒-︒（3）2n ∠M +∠BED =360° 【分析】（1）首先作EG ∥AB ，FH ∥AB ，利用平行线的性质可得∠ABE +∠CDE =260°，再利用角平分线的定义得到∠ABF +∠CDF =130°，从而得到∠BFD 的度数，再根据角平分线的定义可求∠M 的度数；（2）先由已知得到∠ABE =6∠ABM ，∠CDE =6∠CDM ，由（1）得∠ABE +∠CDE =360°-∠BED ，∠M =∠ABM +∠CDM ，等量代换即可求解；（3）先由已知得到ABF n ABM ∠=∠，CDF n CDM ∠=∠，由（2）的方法可得到2n ∠M +∠BED =360°．【解析】解：（1）如图1，作//EG AB ，//FH AB ，∵AB CD ∥，∴EG AB FH CD ∥∥∥，∴ABF BFH ∠=∠，CDF DFH ∠=∠，180ABE BEG ∠+∠=︒，180GED CDE ∠+∠=︒，4．阅读下面材料：小亮遇到这样问题：如图1，已知AB CD ∥，EOF 是直线AB 、CD 间的一条折线．判断CFO ∠、BEO ∠、DFO ∠三个角之间的数量关系．小亮通过思考发现：过点O 作OP AB ∥，通过构造内错角，可使问题得到解决．(1)请回答：EOF ∠、BEO ∠、DFO ∠三个角之间的数量关系是__________．(2)如图2，将ABC 沿BA 方向平移到DEF （B 、D 、E 共线），50B ∠=︒，AC 与DF 相交于点G ，GP 、EP 分别平分CGF ∠、FEA ∠相交于点P ，求P ∠的度数；(3)如图3，直线m n ∥，点B 、F 在直线m 上，点E 、C 在直线n 上，连接FE 并延长至点A ，连接BA 、BC 和CA ，做CBF ∠和CED ∠的平分线交于点M ，若ADC α∠=，则M ∠=__________（直接用含α的式子表示）． 【答案】(1)EOF BEO DFO ∠=∠+∠(2)65︒(3)1902α︒- 【分析】（1）根据平行线的性质求出∠EOM=∠BEO ，∠FOM=∠DFO ，即可求出答案；（2）由DF ∥BC ，AC ∥EF ，推出∠EDF =∠B =50°，∠F=∠CGF ,推出∠DEF +∠F =180°-50°=130°，再由三角形内角和定理可得∠P +∠FGP =∠F +∠FEP ,由此即可解决问题；（3）由()1111180902222M FBM CEM FBC CEM αα∠=∠+∠=∠+∠=︒-=︒-即可解决问题． (1)如图1中，∵AB ∥OP ，∴∠EOP =∠BEO ，∵AB ∥CD ，∴OP ∥CD ，∴∠FOP =∠DFO ，∴∠EOP +∠FOP =∠BEO +∠DFO ，即∠EOF =∠BEO +∠DFO ．故答案为：∠EOF =∠BEO +∠DFO ．(2)如图2中，∵DF ∥BC ，AC ∥EF ，∴∠EDF =∠B =50°，∠F =∠CGF ，∴∠DEF +∠F =180°-50°=130°∵GP 、EP 分别平分CGF ∠、FEA ∠∴12FEP DEF ∠=∠,12FGP FGC ∠=∠ ∴∠P =∠F +∠FEP -∠FGP =11112222F DEF FGC F DEF F ∠+∠-∠=∠+∠-∠, ∴()11165222P F DEF DEF P ∠=∠+∠=∠+∠=︒． (3)如图3中，由（1）易知∠M =∠FBM +∠CEM ,∵BF ∥EC ，∴∠DCE=∠DBF ，∵∠DEC +∠DCE =180°-α，BM 和EM 平分CBF ∠和CED ∠,∴12FBM FBC ∠=∠,12CEM CED ∠=∠, ∴()1111122222FBM CEM FBC CED DCE CED DCE CED ∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠ ∴()111809022FBM CEM αα∠+∠=︒-=︒-. ∴1902M α∠=︒-. 故答案为：1902α︒-． 【点评】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．5．如图1，已知两条直线AB ，CD 被直线EF 所截，分别交于点E ，点F ，EM 平分∠AEF 交CD 于点M ，且∠FEM ＝∠FME ．(1)判断直线AB 与直线CD 是否平行，并说明理由；(2)如图2，点G 是射线MD 上一动点（不与点M ，F 重合），EH 平分∠FEG 交CD 于点H ，过点H 作HN ⊥EM 于点N ，设∠EHN ＝α，∠EGF ＝β．①当点G 在点F 的右侧时，若β＝56°，求α的度数；②当点G 在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 【答案】(1)AB ∥CD ，理由见解析；(2)①28α=︒；②当点G 在点F 的右侧时，12αβ=；当点G 在点F 的左侧时， 1902βα︒=-；理由见解析【分析】（1）依据角平分线，可得∠AEF =∠FME ，根据∠FEM =∠FME ，可得∠AEF =∠FEM ，进而得出AB ∥CD ；（2）①依据平行线的性质可得∠AEG =124°，再根据EH 平分∠FEG ，EM 平分∠AEF ，即可得到∠MEH =12∠AEG =62°，再根据HN ⊥ME ，即可得到Rt △EHN 中，∠EHN =90°-62°=28°；②分两种情况进行讨论：当点G 在点F 的右侧时，12αβ=．当点G 在点F 的左侧时， 1902βα︒=-． （1）解：∵EM 平分∠AEF ，∴∠AEM =∠MEF ，又∵∠FEM =∠FME ，∴∠AEM =∠EMF ，∴AB ∥CD ；（2）解：①如图2，∵AB∥CD，β=56°，∴∠AEG=124°，又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，∴∠HEF=12∠FEG，∠MEF=12∠AEF，∴∠MEH=12∠AEG=62°，又∵HN⊥ME，∴Rt△EHN中，∠EHN=90°-62°=28°，即α=28°；②分两种情况讨论：如图2，当点G在点F的右侧时，α=12β．证明：∵AB∥CD，∴∠AEG=180°-β，又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，∴∠HEF=12∠FEG，∠MEF=12∠AEF，∴∠MEH=12∠AEG=12（180°-β），又∵HN⊥ME，∴Rt△EHN中，∠EHN=90°-∠MEH=90°1 2（180°-β）=12β，即α=12β；如图3，当点G在点F的左侧时，α=90°-12β．证明：∵AB ∥CD ，∴∠AEG =∠EGF =β，又∵EH 平分∠FEG ，EM 平分∠AEF ，∴∠HEF =12∠FEG ，∠MEF =12∠AEF ，∴∠MEH =∠MEF -∠HEF=12（∠AEF -∠FEG ） =12∠AEG =12β，又∵HN ⊥ME ，∴Rt △EHN 中，∠EHN =90°-∠MEH ，即α=90°12-β． 【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；利用角的和差关系进行推算．6．已知AB CD ∥，连接A ，C 两点．(1)如图1，CAB ∠与ACD ∠的平分线交于点E ，则AEC ∠等于__________度；(2)如图2，点M 在射线AB 反向延长线上，点N 在射线CD 上．AMN ∠与ACN ∠的平分线交于点E ．若45AMN ∠=︒，70ACN ∠=︒，求MEC ∠的度数；(3)如图3，图4，M ，N 分别为射线AB ，射线CD 上的点，AMN ∠与ACN ∠的平分线交于点E ．设AMN α∠=，()ACN βαβ∠=≠，请直接写出图中MEC ∠的度数（用含α，β的式子表示）． 【答案】(1)90；(2)57.5MEC ∠=︒；(3)18022αβ︒-+或18022αβ︒+-【分析】（1）根据平行线的性质可得180CAB ACD ︒∠+∠=，根据角平分线的定义可得90CAE ACE ︒∠+∠=，从而可求出AEC ∠；（2）过E 作EF ∥AB ，利用平行线的性质以及角平分线的定义计算即可．（3）分两种情况，过E 作EF ∥AB ，利用平行线的性质以及角平分线的定义计算即可．（1）,AB CD ∥180,CAB ACD ︒∴∠+∠=∵CAB ∠与ACD ∠的平分线交于点E ，11,,22CAE CAB ACE ACD ∴∠=∠∠=∠ 1()902CAE ACE CAB ACD ︒∴∠+∠=∠+∠= 180()90AEC CAE ACE ︒︒∴∠=-∠+∠=即90AEC ︒∠=故答案为：90︒（2）如图，过点E 作EF AB ∥，∴FEM AME ∠=∠．∵AB CD ∥，∴EF CD ∥．∴FEC ECN ∠=∠．∴MEC FEM FEC AME ECN ∠=∠+∠=∠+∠．∵ME 平分AMN ∠，CE 平分ACN ∠，∴114522.522AME AMN ︒∠=∠=⨯=︒， 11703522ECN ACN ∠=∠==︒⨯︒． ∴22.53557.5MEC ∠=︒+︒=︒；（3）过点E 作,EF AB ∥如图3，∵∠AMN 与∠ACN 的平分线交于点E ，∠,(),AMN ACN αβαβ=∠=≠∴11,22AME AMN α∠=∠=∠1122DCE ACN β=∠= ,B EF A ∥180,MEF AME ︒∴∠+∠=11801802MEF AME α︒︒∴∠=-∠=- ,AB CD ∥,EF CD ∴∥1,2CEF DCE β∴∠=∠= 1118022MEC MEF CEF αβ︒∴∠=∠+∠=-+ 如图4，∵AB //CD,EF CD ∴∥1,2MEF AME α∴∠=∠= ∵AB //CD,EF CD ∴∥180,CEF DCE ︒∴∠+∠=11801802CEF DCE β︒︒∴∠=-∠=- 1118022MEC MEF CEF αβ︒∴∠=∠+∠=+- 综上，MEC ∠的度数为18022αβ︒-+或18022αβ︒+-【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，作出适当的辅助线，结合图形等量代换是解答此题的关键．7．（1）【问题情境】小明翻阅自己数学学习笔记时发现，数学老师在讲评七下《伴你学》第6页“迁移应用”第1题时，曾做过如下追问：如图1，已知AB CD ，点E 、F 分别在AB 、CD 上，点G 为平面内一点，当点G 在AB 、CD 之间，且在线段EF 左侧时，连接EG 、FG ，则一定有AEG CFG G ∠+∠=∠，为什么？请帮助小明再次说明理由；（2）【变式思考】如图2，当点G 在AB 上方时，且90EGF ∠=︒，请直接写出BEG ∠与DFG ∠之间的数量关系______；（3）【迁移拓展】①如图3，在（2）的条件下，过点E 作直线HK 交直线CD 于K ，使HEG ∠与GEB ∠互补，作EKD ∠的平分线与直线GE 交于点L ，请你判断FG 与KL 的位置关系，并说明理由；②在①的条件下，第一次操作；分别作∠BEL 和∠DKL 的平分线，交点为L 1；第二次操作，分别作∠BEL 1和∠DKL 1的平分线，交点为L 2；……第n 次操作，分别作∠BEL n-1和∠DKL n-1的平分线，交点为L 、则∠L n =______．【答案】（1）理由见解析；（2）90BEG DFG ∠-∠=︒；（3）①FG ∥KL ，理由见解析，②902n︒ 【分析】（1）过点G 作GH AB ∥，则AB CD GH ∥∥，根据平行线的性质即可求解；（2）过点G 作GH AB ∥，则AB CD GH ∥∥，根据平行线的性质即可求解；（3）①根据HEG ∠与GEB ∠互补，可得AEG HEG ∠=∠，即GL 平分BEK ∠，根据角平分线的定义，进而可得90BEL LKD ELK ∠+∠=∠=︒，即可得出FG KL ⊥；②根据①的结论，求得12,L L 发现规律，即可求解．【解析】（1）如图，过点G 作GH AB ∥，则AB CD GH ∥∥，,AEG EGH HGF CFG ∠=∠∠=∠，AEG CFG EGH FGH EGF ∴∠+∠=∠+∠=∠；（2）如图，过点G 作GH AB ∥，则AB CD GH ∥∥，180,180BEG EGH HGF DFG ∠+∠=︒∠+∠=︒，180,180BEG EGH DFG FGH ∴∠=︒-∠∠=︒-∠，FGH FGE HGE ∠=∠+∠，()()180180BEG DFG EGH FGH ∴∠-∠=︒-∠-︒-∠180180EGH FGE HGE =︒-∠-︒+∠+∠FGE =∠，90EGF ∠=︒，∴90BEG DFG ∠-∠=︒；（3）①HEG ∠+GEB ∠=180°，180GEB AEG ∠+∠=︒，AEG HEG ∴∠=∠，GE ∴是AEH ∠的角平分线，BEK AEH ∠=∠，EL ∴平分BEK ∠，BEL KEL ∴∠=∠，又KL 平分EKD ∠，EKL DKL ∴∠=∠，AB CD ∥，180BEK EKD ∴∠+∠=︒，同（1）可得ELK BEL DKL ∠=∠+∠1122BEK EKD =∠+∠ 11802=⨯︒ 90=︒，又∵∠EGF =90°，∴∠EGF =∠ELK ,∴FG ∥KL ；②根据题意可得11111902222L BEL DKL ELK ∠=∠+∠=∠=⨯︒ 同理可得21112111119090222222L BEL DKL L ︒∠=∠+∠=∠=⨯⨯︒= ……902n nL ︒∴∠=．故答案为：902n︒ 【点评】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的性质，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．8．已知：直线AB ∥CD ，一块三角板EFH ，其中∠EFH =90°，∠EHF =60°．(1)如图1，三角板EFH的顶点H落在直线CD上，并使EH与直线AB相交于点G，若∠2=2∠1，求∠1的度数；(2)如图2，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，且顶点H仍在直线CD上时，EF与直线CD相交于点M，试确定∠E、∠AFE、∠MHE的数量关系；(3)如图3，当三角板EFH的顶点F落在直线AB上，顶点H在AB、CD之间，而顶点E恰好落在直线CD 上时得△EFH，在线段EH上取点P，连接FP并延长交直线CD于点T，在线段EF上取点K，连接PK 并延长交∠CEH的角平分线于点Q，若∠Q-∠HFT=15°，且∠EFT=∠ETF，求证：PQ∥FH．【答案】(1)∠1=40°(2)∠AFE=∠E+∠MHE，理由见解析(3)见解析【分析】（1）利用两直线平行，同位角相等和平角的意义解答即可；（2）利用平行线的性质和三角形内角和定理的推论解答即可；（3）设∠AFE=x，利用平行线的性质和角平分线的定义在△QEP中，通过计算∠QPE=60°，利用同位角相等，两直线平行判定即可得出结论．（1）解：∵AB∥CD，∴∠1=∠CHG．∵∠2=2∠1，∴∠2=2∠CHG．∵∠CHG+∠EHF+∠2=180°，∴3∠CHG+60°=180°．∴∠CHG=40°．∴∠1=40°；（2）9．对于平面内的M ∠和N ∠，若存在一个常数0k >，使得360M k N ∠+∠=︒，则称N ∠为M ∠的k 系补周角，若90,45M N ∠=∠=︒︒，则N ∠为M ∠的6系补周角．(1)若80H ∠=︒，则H ∠的4系补周角的度数为__________︒．(2)在平面内AB CD ，点E 是平面内一点，连接BE DE 、．①如图1，60D ∠=︒，若B ∠是E ∠的3系补周角，求B ∠的度数．②如图2，ABE ∠和CDE ∠均为钝角，点F 在点E 的右侧，且满足ABF n ABE ∠=∠，CDF n CDE ∠=∠（其中n 为常数且1n >），点P 是ABE ∠角平分线BG 上的一个动点，在P 点运动过程中，请你确定一个点P 的位置，使得BPD ∠是F ∠的k 系补周角，写出你的解题思路并求出此时的k 值（用含n 的式子表示）． 【答案】(1)70︒(2)①75°；②当BG 上的动点P 为CDE ∠的角平分线与BG 的交点时，满足BPD ∠是F ∠的k 系补周角，此时2k n =【分析】（1）根据题中新定义列出方程求解，即可得出答案．（2）①过点E 作EF ∥AB ，得B D BED ∠+∠=∠，由60D ∠=︒，B ∠是E ∠的3系补周角，列出B ∠的方程，即可求出B ∠的度数．②根据k 系补周角的定义先确定点P 的位置，再结合ABF n ABE ∠=∠，CDF n CDE ∠=∠求解与n 的关系即可求解．（1）解：设H ∠的4系补周角为x ，根据题意，有80＋4x ＝360解得x ＝70°．故答案为：70°．（2）①解：如图，过点E 作EF AB ∥，∴B BEF ∠=∠，∵,AB CD EF AB ∥∥∴EF CD ，∵60D ∠=︒，∴60D DEF ∠=∠=︒，∵60B BEF DEF ∠+︒=∠+∠，即60B BED ∠+︒=∠∵B ∠是BED ∠的3系补周角，∴3360BED B ∠+∠=︒，∴603360B B ∠+︒+∠=︒，∴75B ∠=︒．②解：当BG 上的动点P 为CDE ∠的角平分线与BG 的交点时，满足BPD ∠是F ∠的k 系补周角，此时2k n =．若BPD ∠是F ∠的k 系补周角，则F ∠＋k BPD ∠=360°，∴k BPD ∠=360°－F ∠，由图可知360ABF CDF F ∠+∠+∠=︒，即360ABF CDF F ∠+∠=︒-∠，∴k BPD ∠＝ABF CDF ∠+∠，又∵ABF n ABE ∠=∠，CDF n CDE ∠=∠，∴k BPD ∠＝n ABE ∠＋n CDE ∠，∵BPD ∠＝PHD ∠＋PDH ∠，ABCD ，PG 平分ABE ∠，PD 平分CDE ∠， ∴PHD ∠＝ABH ∠＝12ABE ∠，PDH ∠＝12CDE ∠，∴2k ＝()ABE CDE ∠+∠＝n ()ABE CDE ∠+∠ ∴2k n =．【点评】本题主要考查平行线的性质与判定、角平分线的定义，理解题意是解题的关键． 10．如图，直线,AB CD EF CD ⊥∥分别交AB 、CD 于点E 、F ，射线EP 、EQ 分别从EC 、EF 同时开始绕点E 顺时针旋转，分别与直线AB 交于点M 、N ，射线EP 每秒转10︒，射线EQ 每秒转5︒，点O 是PMN ∠、MNQ ∠角平分线的交点．设旋转时间为t 秒（08t <<）．(1)①用含t 的代数式表示：AMP ∠=___________︒，QNB ∠=__________︒；②当4t =时，OMN ∠=____________︒；(2)试探索MON ∠与ONM ∠的数量关系，并说明理由；(3)MEF ∠的角平分线与直线MO 交于点K ，直接写出MKE ∠的度数为___________． 【答案】(1)①10t ，(90−5t )；70(2)MON ∠=ONM ∠，理由见解析(3)45°【分析】（1）①由平行线的性质及垂直关系、旋转关系即可求得结果；②由①得∠AMP 的度数，再由互补关系、角平分线的意义即可求得；（2）两者相等，由（1）中①可得∠PMN 及∠QNM ，再由角平分线的性质可得∠OMN 、∠ONM ，由三角形内角和得∠MON ，即可判断∠MON 与∠ONM 的数量关系；（3）由题意可求得∠MEK 与∠KME 的度数，由三角形内角和即可求得∠MKE 的度数．(1)①由题意得：∠CEP =10°t =(10t )°，∠FEQ =5°t ．∵AB ∥CD ，∴∠AMP =∠CEP = (10t )°，∠QNB =∠DEQ ．∵EF ⊥CD ，∴∠DEQ =90°−∠FEQ =90°−5°t =(90−5t )°．∴∠QNB =(90−5t )°．故答案为：10t ，（90-5t ）；②当t =4时，由①得：∠AMP =10°×4=40°，∴∠PMN =180°−∠AMP =140°．∵MO 平分∠PMN ，∴111407022OMN PMN ∠=∠=⨯︒=︒． 故答案为：70；(2)MON ∠=ONM ∠，理由如下：由（1）中①知：∠AMP = (10t )°，∠QNB =(90−5t )°，∴∠PMN =180°−∠AMP =(180−10t )°，∠QNM =180°−∠QNB =(90+5t )°．∵MO 平分∠PMN ， NO 平分∠MNQ ，∴1(905)2OMN PMN t ∠=∠=-︒，11(905)22ONM QNM t ∠=∠=+︒． ∴1180(905)2MON OMN ONM t ∠=︒-∠-∠=+︒． ∴∠MON =∠ONM ．(3)∵EF ⊥CD ，∠CEP = (10t )°，∴∠MEF =90°−∠CEP =(90-10t )°．∵EK 平分∠MEF ，∴11(9010)45(5)22MEK MEF t t ∠=∠=-︒=︒-︒． ∵()(905)1090(5)KME OMN EMF OMN AMP t t t ∠=∠+∠=∠+∠=-︒+︒=︒+︒，∴在△EMK 中，18045MKE KME MEK ∠=︒-∠-∠=︒．故答案为：45°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的意义，垂直的意义，三角形内角和定理，关键是熟练掌握它们并灵活运用．11．已知点C 在线段AE 上，AB CD ∥，EAB ∠的角平分线交CD 于点F ，M 为线段CF 上一动点，连接EM ．(1)如图①，当40FAB ∠=︒，25E ∠=︒时，求EMF ∠的度数．(2)如图②，N 为射线AB 上一动点，连接FN ，使得FN EM ∥，作CFN ∠的角平分线交AB 于点G ，猜想E ∠与AFG ∠的数量关系，并说明理由．(3)如图③，在（2）的条件下，作GH GF ⊥，并延长FN 交GH 于点H ，已知3426E AFG ∠-∠=︒，求EAF GHF ∠+∠的度数． 【答案】(1)105︒(2)2E AFG ∠=∠，理由见解析(3)77︒【分析】（1）先由AF 平分EAB ∠得出80EAB ∠=︒，再根据平行线的性质得出80ECD EAB ∠=∠=︒，进而根据EMF E ECM ∠=∠+∠得出答案．（2）首先设CAF FAG x ∠=∠=，得2ECF x ∠=，再设CFG GFN y ∠=∠=，得2EMF CFN y ∠=∠=，最后根据三角形外角定理用x ，y 的代数式表示出E ∠和AFG ∠即可得出答案．（3）设AFG α∠=，则E ∠为2α，根据题目所给条件得出13AFG ∠=︒，进而由（2）中条件得出答案．（1）∵AF 平分EAB ∠，∴224080EAB FAB ∠=∠=⨯︒=︒，∵AB CD ∥，∴80ECD EAB ∠=∠=︒，∵在ECM ∆中，EMF E ECM ∠=∠+∠，∴8025105EMF ∠=︒+︒=︒．（2）猜想：2E AFG ∠=∠理由：设CAF FAG x ∠=∠=，∴2ECF x ∠=，∵GF 平分CFN ∠，∴设CFG GFN y ∠=∠=，∵AB CD ∥，∴FGN CFG y ∠=∠=，∵EM FN ∥，∴2EMF CFN y ∠=∠=，在ECM ∆中，()222E EMF ECF y x y x ∠=∠-∠=-=-，在AGF ∆中，AFG FGN FAG y x ∠=∠-∠=-，∴2E AFG ∠=∠．（3）设AFG α∠=，则E ∠为2α，∵3426E AFG ∠-∠=︒，∴6426αα-=︒，∴13α=︒，∴13AFG ∠=︒，由（2）得()90909077EAF GHF x y y x AFG ∠+∠=+-=--=-∠=︒．【点评】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质以及三角形外角定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形外角定理并能灵活运用．12．已知：AB //CD ，点E 在直线AB 上，点F 在直线CD 上．（1）如图①，EM 平分∠BEF ， FN 平分∠CFE ，试判断EM 与FN 的位置关系，并说明理由；（2）如图②，EG 平分∠MEF ，EH 平分∠AEM ，试判断∠GEH 与∠EFD 的数量关系，并说明理由；【答案】（1）//EM FN ，见解析；（2）2EFD GEH ∠=∠，见解析【分析】（1）由平行线的性质可得∠BEF =∠CFE ，再根据角平分线的定义得到∠MEF =∠EFN ，则EM //FN ；。
专题：平行线与中点,全等三角形会出现 角平分线与平行线,等腰三角形会出现
专题：平行线与中点，全等三角形会出现角平分线与平行线，等腰三角形会出现平行线与中点：① 有时通过两直线垂直于同一直线得出平行，有时通过特殊四边形得出平行；② 中点有时题目中直接告诉我们，有时通过平行四边形对角线的交点得出 角平分线与平行线：通常题目会直接告诉我们该条件 剪刀模型与双剪刀模型：例1、（2008年北京）问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A 、B 、E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG 、PC 。
若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG 与PC 的位置关系及PCPG的值。
小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决。
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及比值； （2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明； （3）若图1中∠ABC=∠BEF=2ɑ（0°＜ɑ＜90°），将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PCPG的值（用含ɑ的式子表示）。
解：（1）线段PG 与PC 的位置关系是PG ⊥PC ；PCPG=3（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化．证明：如图，延长GP 交AD 于点H ，连结CH ，CG ∵ P 是线段DF 的中点∴ FP=DP 由题意可知AD ∥FG ∴ ∠GFP=∠HDP∵ ∠GPF=∠HPD ∴ △GFP ≌△HDP∴ GP=HP ，GF=HD∵ 四边形ABCD 是菱形∴ CD=CB ，∠HDC=∠ABC=60°D AB E FC PG 图1D C G P ABF 图2 DC GP AB EF H∴ ∠HDC=∠GBC∵ 四边形BEFG 是菱形 ∴ GF=GB ∴ DH=BG∴ △HDC ≌△GBC∴ CH=CG ，∠DCH=∠BCG∴ ∠DCH+∠HCB=∠BCG+∠HCB=120°，即∠HCG=120° ∵ CH=CG ，PH=PG∴ PG ⊥PC ，∠GCP=∠HCP=60°∴PC PG=3 （3）PCPG =tan(90°-ɑ)类题演练1、如图1所示，在菱形ABCD 和菱形AEFG 中，点A ，B ，E 在同一条直线上，P 是线段CF 的中点，连接PD ，PG ．（1）若∠BAD=∠AEF=120°，请直接写出∠DPG 的度数及的值．（2）若∠BAD=∠AEF=120°，将菱形ABCD 绕点A 顺时针旋转，使菱形ABCD 的对角线AC 恰好与菱形AEFG 的边AE 在同一直线上，如图2，此时，（1）中的两个结论是否发生改变？写出你的猜想并加以说明． （3）若∠BAD=∠AEF=180°﹣2α（0°＜α＜90°），将菱形ABCD 绕点A 顺时针旋转到图3的位置，求出的值．2、（2016年黑龙江龙东地区）已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．（1）当点P与点O重合时如图1，求证OE=OF（不需证明）（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．3、（2013•烟台）已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系式；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．4、（2016年黄冈中学自主招生）已知，△ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC ，四边形CDEF 是正方形，连接AE ，G 是线段AE 的中点。
相交线与平行线常考题目及答案(绝对经典)
相交线与平行线一．选择题（共3小题）1．在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是（）A．平行B．垂直C．平行或垂直D．无法确定2．如图，直线AB、CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD，则与∠1互为余角的有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个3．如图所示，同位角共有（）A．6对 B．8对 C．10对D．12对二．填空题（共4小题）4．一块长方体橡皮被刀切了3次，最多能被分成块．5．如图，P点坐标为（3，3），l1⊥l2，l1、l2分别交x轴和y轴于A点和B点，则四边形OAPB的面积为．6．如图，直线l1∥l2，∠1=20°，则∠2+∠3=．7．将一副学生用三角板按如图所示的方式放置．若AE∥BC，则∠AFD的度数是．三．解答题（共43小题）8．已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点F，E，EM平∠FED，AB∥CD，H，P分别为直线AB和线段EF上的点．（1）如图1，HM平分∠BHP，若HP⊥EF，求∠M的度数．（2）如图2，EN平分∠HEF交AB于点N，NQ⊥EM于点Q，当H在直线AB上运动（不与点F重合）时，探究∠FHE与∠ENQ的关系，并证明你的结论．9．我们知道，两条直线相交，有且只有一个交点，三条直线相交，最多只有三个交点，那么，四条直线相交，最多有多少个交点？一般地，n条直线最多有多少个交点？说明理由．10．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．（1）若∠EOC=70°，求∠BOD的度数．（2）若∠EOC：∠EOD=4：5，求∠BOD的度数．11．如图，直线EF，CD相交于点0，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，（1）若∠AOE=40°，求∠BOD的度数；（2）若∠AOE=α，求∠BOD的度数；（用含α的代数式表示）（3）从（1）（2）的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系？12．如图1，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE、BE交于点E，∠CBN=100°．（1）若∠ADQ=130°，求∠BED的度数；（2）将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若∠ADQ=n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）．13．如图，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=26°（1）求∠2的度数（2）若∠3=19°，试判断直线n和m的位置关系，并说明理由．14．如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P 在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明．15．如图，已知AB∥PN∥CD．（1）试探索∠ABC，∠BCP和∠CPN之间的数量关系，并说明理由；（2）若∠ABC=42°，∠CPN=155°，求∠BCP的度数．16．如图，AD∥BC，∠EAD=∠C，∠FEC=∠BAE，∠EFC=50°（1）求证：AE∥CD；（2）求∠B的度数．17．探究题：（1）如图1，若AB∥CD，则∠B+∠D=∠E，你能说明理由吗？（2）反之，若∠B+∠D=∠E，直线AB与直线CD有什么位置关系？简要说明理由．（3）若将点E移至图2的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？直接写出结论．（4）若将点E移至图3的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？直接写出结论．（5）在图4中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D之间有何关系？直接写出结论．18．如图1，AB∥CD，在AB、CD内有一条折线EPF．（1）求证：∠AEP+∠CFP=∠EPF．（2）如图2，已知∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，试探索∠EPF与∠EQF之间的关系．（3）如图3，已知∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，则∠P与∠Q有什么关系，说明理由．（4）已知∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，有∠P与∠Q的关系为．（直接写结论）19．如图所示，L1，L2，L3交于点O，∠1=∠2，∠3：∠1=8：1，求∠4的度数．20．如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由．21．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．（1）若∠AOC=70°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数；（2）若OF平分∠COE，∠BOF=15°，若设∠AOE=x°．①则∠EOF=．（用含x的代数式表示）②求∠AOC的度数．22．如图，直线AB、CD相交于点O，已知∠AOC=75°，OE把∠BOD分成两个角，且∠BOE：∠EOD=2：3．（1）求∠EOB的度数；（2）若OF平分∠AOE，问：OA是∠COF的角平分线吗？试说明理由．23．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=72°，射线OE在∠BOD的内部，∠DOE=2∠BOE．（1）求∠BOE和∠AOE的度数；（2）若射线OF与OE互相垂直，请直接写出∠DOF的度数．24．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，且∠EOC：∠EOD=2：3．（1）求∠BOD的度数；（2）如图2，点F在OC上，直线GH经过点F，FM平分∠OFG，且∠MFH﹣∠BOD=90°，求证：OE∥GH．25．如图，直线AB．CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠COF=90°．（1）若∠BOE=70°，求∠AOF的度数；（2）若∠BOD：∠BOE=1：2，求∠AOF的度数．26．几何推理，看图填空：（1）∵∠3=∠4（已知）∴∥（）（2）∵∠DBE=∠CAB（已知）∴∥（）（3）∵∠ADF+ =180°（已知）∴AD∥BF（）27．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．（1）若∠AOC=68°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数．（2）若OF平分∠COE，∠BOF=30°，求∠AOC的度数．28．将一副三角板拼成如图所示的图形，∠DCE的平分线CF交DE于点F．（1）求证：CF∥AB．（2）求∠DFC的度数．29．看图填空，并在括号内注明说理依据．如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1=35°，∠2=35°，AC与BD平行吗？AE与BF平行吗？解：因为∠1=35°，∠2=35°（已知），所以∠1=∠2．所以∥（）．又因为AC⊥AE（已知），所以∠EAC=90°．（）所以∠EAB=∠EAC+∠1=125°．同理可得，∠FBG=∠FBD+∠2=°．所以∠EAB=∠FBG（）．所以∥（同位角相等，两直线平行）．30．已知如图所示，∠B=∠C，点B、A、E在同一条直线上，∠EAC=∠B+∠C，且AD平分∠EAC，试说明AD∥BC的理由．31．如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分；（1）直接写出图中∠AOC的对顶角为，∠BOE的邻补角为；（2）若∠AOC=70°，且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE的度数．32．如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P=90°，PM交AB于点E，PN交CD 于点F（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为；（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM=90°；（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON=30°，∠PEB=15°，求∠N的度数．33．阅读下面的推理过程，在括号内填上推理的依据，如图：因为∠1+∠2=180°，∠2+∠4=180°（已知）所以∠1=∠4，（）所以a∥c．（）又因为∠2+∠3=180°（已知）∠3=∠6（）所以∠2+∠6=180°，（）所以a∥b．（）所以b∥c．（）34．已知：如图，AB∥CD，FG∥HD，∠B=100°，FE为∠CEB的平分线，求∠EDH的度数．35．已知：如图，AB∥CD，FE⊥AB于G，∠EMD=134°，求∠GEM的度数．36．如图，∠B和∠D的两边分别平行．（1）在图1 中，∠B和∠D的数量关系是，在图2中，∠B和∠D的数量关系是；（2）用一句话归纳的命题为：；并请选择图1或图2中一种情况说明理由；（3）应用：若两个角的两边分别互相平行，其中一个角是另一个角的2倍，求这两个角的度数．37．已知AD∥BC，AB∥CD，E为射线BC上一点，AE平分∠BAD．（1）如图1，当点E在线段BC上时，求证：∠BAE=∠BEA．（2）如图2，当点E在线段BC延长线上时，连接DE，若∠ADE=3∠CDE，∠AED=60°．①求证：∠ABC=∠ADC；②求∠CED的度数．38．如图，已知a∥b，ABCDE是夹在直线a，b之间的一条折线，试研究∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的大小之间有怎样的等量关系？请说明理由．39．如图，AB∥DC，增加折线条数，相应角的个数也会增多，∠B，∠E，∠F，∠G，∠D之间又会有何关系？40．已知直线AB∥CD，（1）如图1，点E在直线BD上的左侧，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是．（2）如图2，点E在直线BD的左侧，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，直接写出∠BFD和∠BED的数量关系是．（3）如图3，点E在直线BD的右侧BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？请说明理由．41．（1）如图，直线a，b，c两两相交，∠3=2∠1，∠2=155°，求∠4的度数．（2）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD：∠BOE=4：1，求∠AOF 的度数．42．如图，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠2．试说明DF∥AE．请你完成下列填空，把解答过程补充完整．解：∵CD⊥DA，DA⊥AB，∴∠CDA=90°，∠DAB=90°．（）∴∠CDA=∠DAB．（等量代换）又∠1=∠2，从而∠CDA﹣∠1=∠DAB﹣．（等式的性质）即∠3=．∴DF∥AE．（）．43．如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．（1）说明：∠O=∠BEO+∠DFO．（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC会满足怎样的关系，证明你的结论．（3）若将折线继续折下去，折三次，折四次…折n次，又会得到怎样的结论？请写出你的结论．44．如图，已知∠1=60°，∠2=60°，∠MAE=45°，∠FEG=15°，EG平分∠AEC，∠NCE=75°．求证：（1）AB∥EF．（2）AB∥ND．45．如图，∠E=∠1，∠3+∠ABC=180°，BE是∠ABC的角平分线．求证：DF∥AB．46．已知，直线AB∥CD，E为AB、CD间的一点，连结EA、EC．（1）如图①，若∠A=30°，∠C=40°，则∠AEC=．（2）如图②，若∠A=100°，∠C=120°，则∠AEC=．（3）如图③，请直接写出∠A，∠C与∠AEC之间关系是．47．如图，已知AB∥CD，EF⊥AB于点G，若∠1=30°，试求∠F的度数．48．生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的：（1）请你计算出图1中的∠ABC的度数．（2）图2中AE∥BC，请你计算出∠AFD的度数．49．如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF对折，延长DE交BF于点G，若∠EFG=50°，求∠1，∠2的度数．50．如图所示，在长方体中．（1）图中和AB平行的线段有哪些？（2）图中和AB垂直的直线有哪些？参考答案及解析一．选择题（共3小题）1．在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是（）A．平行B．垂直C．平行或垂直D．无法确定【分析】如果一条直线垂直于两平行线中的一条，那么它与另一条一定也垂直．再根据“垂直于同一条直线的两直线平行”，可知L1与L8的位置关系是平行．【解答】解：∵l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5，l5⊥l6，l6∥l7，l7⊥l8，∴l2⊥l4，l4⊥l6，l6⊥l8，∴l2⊥l8．∵l1⊥l2，∴l1∥l8．故选A【点评】灵活运用“垂直于同一条直线的两直线平行”是解决此类问题的关键．2．如图，直线AB、CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD，则与∠1互为余角的有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【分析】由OE⊥AB，OF⊥CD可知：∠AOE=∠DOF=90°，而∠1、∠AOF都与∠EOF互余，可知∠1=∠AOF，因而可以转化为求∠1和∠AOF的余角共有多少个．【解答】解：∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴∠AOE=∠DOF=90°，即∠AOF+∠EOF=∠EOF+∠1，∴∠1=∠AOF，∴∠COA+∠1=∠1+∠EOF=∠1+∠BOD=90°．∴与∠1互为余角的有∠COA、∠EOF、∠BOD三个．本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
灵活运用角平分线、平行线、等腰三角形知二推一解中考题
回回
画
４ ｃ ｍ， ＡＤ ＝ ５ ｃ ｍ， ￣ Ｉ Ｉ Ｊ Ａ曰 ＝
—
决 问题 。
由点Ｄ、 盼 别是Ｂ Ｃ、 ＡＢ 的中点 ，利用 三角形 中
位 线的 性质， ｇ ｈ ； ｔ ． ￣ Ｄ Ｆ ＝ Ｌ Ａ Ｃ ＝ ÷６ ，Ｆ Ｇ ＝ Ｂ Ｇ — Ｂ Ｆ ， 可
求 得Ｄ Ｆ ＝ Ｆ Ｇ，又 由 Ｄ Ｅ＃Ａ Ｂ， 即 可 求 得 Ｄ Ｃ平 分
‘ ．
衙 旧 凰
—
ｃｍ
。
角 对 等边 ， Ｂ Ｄ ： Ｄ Ｇ ： ｃ Ｄ， 即可 证 明 。
【 分析】 这个 图形 中 出现 了角平 分线Ａ Ｃ 和平 行
【 解答 】 （ １ ） ・ ． ・ Ｄ、 Ｃ、 盼 别是 ＡＡ Ｂ Ｃ ￣ 边中点 ， ＿
・
Ｄ Ｅ ／ ／ Ａ Ｂ ＤＦ ／ ／ Ａ Ｃ
厶Ｆ ＤＧ ＝ ／Ｅ Ｄ ＧＩ Ｏ Ｄ Ｇ 平 分 厶Ｅ ＤＦ
（ ３ ） 在 △Ｄ Ｆ Ｇ 中， ／Ｆ ＤＧ ＝ Ｆ Ｇ Ｄ，
・ ．
． ・
・ ．
【 例２ 】 （ ２ ０ １ ２ 年 安徽 省 第 ２ ２
△Ｄ １ Ｇ 是等腰三角形 ， △Ｂ ＤＧ 与 ＡＤ Ｆ Ｇ ￣ Ｉ 似， ＡＢ ＤＧ 是等腰 三角形 ，
题可以结合前面问题来做 。这里证 明 ＡＤ Ｆ Ｇ为等腰 三 角 形 是 关键 。
（ 作 者单 位 ： 贵 州 省 安 顺 市教 育科 学研 究所 ）
备考方 略
囝
厨 碴 厕 厕
■ 李 志均
２
国 画 量 厕
Ｂ Ｇ ＝ （ Ａ 曰 “ Ｃ） ＝ （ ｃ ＋ ｂ ）
２
（ ２ ） 由于这里 要证 明 的是Ｄ Ｇ平 分 ／ ＿Ｅ Ｄ Ｆ， 而由
七年级下册相交线与平行线练习题及答案
七年级下册相交线与平行线练习题及答案第五章相交线与平行线一、典型例题例1.如图1，直线a与b平行，∠1=(3x+70)°，∠2=(5x+22)°，求∠3的度数。
图1例2.已知：如图2，AB∥EF∥CD，EG平分∠XXX，∠B+∠BED+∠D=192°，求∠EGD的度数。
图2例3.如图3，已知AB∥CD，且∠B=40°，∠D=70°，求∠DEB的度数。
图3例4.平面上n条直线两两相交且无3条或3条以上直线共点，有多少个不同交点？例5.6个不同的点，其中只有3点在同一条直线上，2点确定一条直线，问能确定多少条直线？例6.10条直线两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？例7.两条直线相交于一点，所形成的角中有2对对顶角，4对邻补角，那么，三条直线相交于一点时，有多少对对顶角，多少对邻补角？四条直线相交于一点时，有多少对对顶角，多少对邻补角？n条直线相交于一点时，有多少对对顶角，多少对邻补角？二、巩固练1.平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（）条。
A。
6B。
7C。
8D。
92.平面上三条直线相互间的交点个数是（）。
A。
3B。
1或3C。
1或2或3D。
不一定是1，2，33.平面上6条直线两两相交，其中仅有3条直线过一点，则截得不重叠线段共有（）。
A。
36条B。
33条C。
24条D。
21条4.已知平面中有n个点，A、B、C三个点在一条直线上，A、D、F、E四个点也在一条直线上，除这些之外，再没有三点共线或四点共线，以这n个点作一条直线，一共可以画出38条不同的直线，这时n等于（）。
A。
9B。
10C。
11D。
125.若平行直线AB、CD与相交直线EF、GH相交成如图所示的图形，则共得同旁内角（）。
A。
4对B。
8对C。
12对D。
16对6.如图，已知FD∥BE，则∠1+∠2-∠3=()。
图4A。
90°B。
135°C。
人教版七年级数学下册平行线的判定同步练习题（含解析）
人教版七年级数学下册平行线的判定同步练习题（含解析）人教版七年级数学下册平行线的判定同步练习题（含解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图所示，点E在线段AC的延长线上，下列条件中能判断的是（?）A．∠3＝∠AB．∠1＝∠2C．∠D＝∠DCED．∠D+∠ACD＝180°2．为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，小聪把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，，则∠E的度数是（?）A．30°B．40°C．60°D．70°3．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件不能判定直线a 与b平行的是（）A．∠1＝∠3B．∠2+∠3＝180°C．∠1＝∠4D．∠1+∠4＝180°4．如图，点E在AC的延长线上，下列条件能判断ABCD的是（?）A．∠3=∠4B．∠D=∠DCEC．∠D+∠ACD=180°D．∠1=∠25．如图，下面条件不能判断的是（?）A．B．C．D．6．如图，要使，则需要添加的条件是（?）A ．B．C．D．二、填空题7．如图，请你添加一个条件________，使AB∥CD.8．两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等．简称：两直线平行，内错角_________．如图，因为a∥b （已知），所以∠1＝_____（两直线平行，内错角相等）． 9．如图所示，在下列条件中，不能判断的有___________．①．?②．③．?④．10．a、b、c是直线，且a∥b，b⊥c，则a与c的位置关系是________．11．如图，已知∠1＝30°，∠2或∠3满足条件_________，则a∥b．三、解答题12．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，F，E分别是AD及其延长线上的点．(1)如果CFBE，说明：△BDE≌△CDF；(2)若CF，BE是△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E、F，请猜想BF与CE的位置关系？并说明理由．13．如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠A BC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．(1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）______（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；(2)利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．14．下列推理是否正确?为什么?（1）如图，∵，∴；（2）如图，∵，∴；（3）如图，∵，∴；（4）如图，∵，∴．15．如图，将绕点B顺时针旋转60度得到，点C的对应点E 恰好落在AB的延长线上，连接AD．（1）求证：；（2）若AB=4，BC=1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和．16．如图，已知△ABC≌△DEF，∠A=85°，∠B=60°，AB=8，EH=2(1)求角F的度数与DH的长；(2)求证：．17．如图，在四边形中，与有怎样的位置关系？为什么？与呢？18．已知：如图，BE平分∠ABC，∠1＝∠2．求证：BC//DE．19．请补全证明过程及推理依据．已知：如图，BC//ED，BD平分∠ABC，EF平分∠AED．求证：BD∥EF．证明：∵BD平分∠ABC，EF平分∠AED，∴∠1=∠AED，∠2=∠ABC（______________）∵BC∥ED（________）∴∠AED=________（________________）∴∠AED=∠ABC∴∠1=________∴BD∥EF（________________）．参考答案：1．B【分析】根据平行线的判定条件逐一判断即可．【详解】A.由∠3＝∠A无法判断，故A不符合题意；B.由∠1＝∠2能判断，故B符合题意；C.由∠D＝∠DCE可以判断，不能判断，故C不符合题意；D.∠D+∠ACD＝180°可以判断，不能判断，故D不符合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查平行线的判定，熟知平行线的判定条件，是解题的关键．2．A【分析】过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论、平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得．【详解】解：如图，过点作，，，，，，，，，故选：A．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．3．D【分析】同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，根据平行线的判定方法逐一分析即可.【详解】解：（同位角相等，两直线平行），故A不符合题意；∠2+∠3＝180°，（同旁内角互补，两直线平行）故B不符合题意；（同位角相等，两直线平行）故C不符合题意；∠1+∠4＝180°，不是同旁内角，也不能利用等量代换转换成同旁内角，所以不能判定故D符合题意；故选D【点睛】本题考查的是平行线的判定，对顶角相等，掌握“平行线的判定方法”是解本题的关键.4．D【分析】根据平行线的判定条件逐一判断即可．【详解】解：A、由∠3=∠4，可以利用内错角相等，两直线平行得到，不能得到，不符合题意；B、由∠D=∠DCE，可以利用内错角相等，两直线平行得到，不能得到，不符合题意；C、由∠D+∠ACD=180°，可以利用内错角相等，两直线平行得到，不能得到，不符合题意；D、由∠1=∠2，可以利用内错角相等，两直线平行得到得到，符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟知内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．5．B【分析】根据平行线的判定条件逐一判断即可．【详解】解：A、由∠1=∠2，可以判断（内错角相等，两直线平行），故此选项不符合题意；B、由∠1+∠3=180°，可以判断（同旁内角互补，两直线平行），不能判断，故此选项符合题意；C、由，可以判断（同位角相等，两直线平行），故此选项不符合题意；D、由，可以判断（同旁内角互补，两直线平行），故此选项不符合题意；故选B．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟知平行线的判定条件是解题的关键．6．A【分析】依据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，即可得到添加的条件．【详解】解：A．∵∠A=∠CBE，∴AD∥BC，符合题意；B．由∠A=∠C无法得到AD∥BC，不符合题意；C．由∠C=∠CBE，只能得到AB∥CD，无法得到AD∥BC，不符合题意；D．由∠A+∠D =180°，只能得到AB∥CD，无法得到AD∥BC，不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．7．∠1＝∠5.【分析】根据平行线的判定进行解答，可以考虑同位角相等，或内错角相等，或同旁内角互补．【详解】添加∠1=∠5∵∠1=∠5，∴AB∥CD．故答案为∠1=∠5【点睛】本题属于开放题，主要考查了平行线的判定，解决问题的关键是掌握平行线的判定方法．8．相等 ∠2【解析】略9．②③##③②【分析】根据平行线的判定进行解答即可得．【详解】解：①∵，∴（内错角相等，两直线平行），说法正确，不符合题意；②∵和既不是同位角，也不是内错角，∴不能根据判定，说法错误，符合题意；③∵为同位角，∴不一定平行，符合题意；④∵，∴（同旁内角互补，两直线平行），说法正确，不符合题意；故答案为：②③．【点睛】本题考查了平行线的判定，解题的关键是熟记并理解平行线的判定．10．互相垂直【详解】且a∥b，b⊥c，a⊥c.故答案为互相垂直.11．∠2＝150°或∠3＝30°【解析】略12．(1)见解析(2)BFCE，证明见解析【分析】（1）根据已知条件，通过两角及其夹边对应相等即可证明△BDE≌△CDF；（2）先证CFBE，利用（1）中结论得△BDE≌△CDF，推出，利用SAS证明△BDF≌△CDE，推出，利用内错角相等，两直线平行，可得BFCE．（1）证明：∵CFBE，∴∠FCD﹦∠EBD．∵AD是BC边上的中线，∴．在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF．（2）解：BFCE．理由如下：如图，连接BF,CE．∵ C F⊥AD于F，BE⊥AD于E，∴CFBE．由（1）的结论可知△BDE≌△CDF，∴．∵AD是BC边上的中线，∴BD =CD．在△B DF和△CDE中，，∴△BDF≌△CDE．∴，∴BFCE．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质与判定，三角形中线的定义等，熟练掌握全等三角形的判定方法、平行线的性质定理和判定定理是解题的关键．13．(1)①，SSS(2)见解析【分析】(1)根据SSS即可证明△ABC≌?DEF，即可解决问题；(2)根据全等三角形的性质可得可得∠A=∠EDF，再根据平行线的判定即可解决问题．（1）解：在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF，选取的条件为①，判定△ABC≌△DEF的依据是SSS．（注意：只需选一个条件，多选不得分）故答案为：①，SSS；（2）证明：∵△ABC ≌△DEF．∴∠A＝∠EDF，∴AB∥DE．【点睛】本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质，和判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．14．（1）正确；理由见解析；（2）不正确；理由见解析；（3）正确；理由见解析；（4）正确；理由见解析．【分析】（1）是被所截形成的同位角，再利用同位角相等，两直线平行可判断；（2）是被所截形成的同旁内角，再利用同旁内角互补，两直线平行可判断；（3）是被所截形成的内错角，再利用内错角相等，两直线平行可判断；（4）是被所截形成的同旁内角，再利用同旁内角互补，两直线平行可判断；【详解】解：（1）正确，理由：同位角相等，两直线平行；（2）不正确，因为由“”只能推出“”，推不出“”；（3）正确，理由：内错角相等，两直线平行；（4）正确，理由：同旁内角互补，两直线平行．【点睛】本题考查的是平行线的判定，掌握“平行线的判定方法”是解题的关键.15．（1）见解析；（2）【分析】（1）先利用旋转的性质证明△ABD为等边三角形，则可证，即再根据平行线的判定证明即可．（2）利用弧长公式分别计算路径，相加即可求解．【详解】（1）证明：由旋转性质得：是等边三角形所以∴；（2）依题意得：AB=BD=4，BC=BE=1，所以A，C两点经过的路径长之和为．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定、弧长公式等知识，熟练掌握这些知识点之间的联系及弧长公式是解答的关键．16．(1)35°；6(2)见解析【分析】(1)根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据全等三角形的性质得出AB=DE，∠F=∠ACB，即可得出答案；(2)根据全等三角形的性质得出∠B=∠DEF，再根据平行线的判定即可证得结论．（1）解：∵∠A=85°，∠B=60°，∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-85°-60°=35°，∵△ABC≌△DEF，AB=8，∴∠F=∠ACB=35°，DE=AB=8，∵EH=2，∴DH=DE-EH=8-2=6；（2）证明：∵△ABC≌△DEF，∴∠B=∠DEF，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定的应用，解此题的关键是能根据全等三角形的性质得出AB=DE，∠B=∠DEF，∠ACB=∠F，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．17．，见解析【分析】四边形ABCD内角和360°，即，因为，所以，所以，同理．【详解】四边形ABCD内角和360°同理可得：【点睛】本题主要考查了四边形内角和以及平行线的判定，掌握该性质判定是解题的关键．18．见解析【分析】由BE平分∠ABC，可得∠1＝∠3，再利用等量代换可得到一对内错角相等，即∠2＝∠3，即可证明结论．【详解】证明：∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴B C//DE．【点睛】本题主要利用了角平分线的性质以及内错角相等、两直线平行等知识点，灵活运用平行线的判定定理成为解答本题的关键．19．角平分线的定义；已知；∠ABC；两直线平行，同位角相等；∠2；同位角相等，两直线平行【分析】根据角平分线的定义得出∠1=∠AED，∠2=∠ABC，根据平行线的性质定理得出∠AED=∠ABC，求出∠1=∠2，再根据平行线的判定定理推出即可．【详解】证明：∵BD平分∠ABC，EF平分∠AED，∴∠1=∠AED，∠2=∠ABC（角平分线的定义）∵BC∥ED（已知）∴∠AED=∠ABC（两直线平行，同位角相等）∴∠AED=∠ABC∴∠1=∠2 ∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行）．故答案为：角平分线的定义；已知；∠ABC；两直线平行，同位角相等；∠2；同位角相等，两直线平行．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质定理和判定定理等知识点，能熟记平行线的性质定理和判定定理是解此题的关键．答案第1页，共2页答案第1页，共2页试卷第1页，共3页试卷第1页，共3页。
平行线的判定专项练习60题(有答案)
1．已知：如图，BE平分∠ABC，∠1=∠2．求证：BC∥DE．2．如图，已知∠A=∠F，∠C=∠D，试说明BD∥CE．3．如图所示，AB⊥BC，BC⊥CD，BF和CE是射线，并且∠1=∠2，试说明BF∥CE．4．如图，AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3，求证：BE∥DF．5．如图，OP平分∠MON，A、B分别在OP、OM上，∠BOA=∠BAO，那么AB平行于ON吗？若平行，请写出证明过程；若不平行，请说明理由．6．已知：如图，∠1=∠2，∠A=∠C．求证：AE∥BC．7．已知，如图B、D、A在一直线上，且∠D=∠E，∠ABE=∠D+∠E，BC是∠ABE的平分线，求证：DE∥BC．8．如图，已知∠AEC=∠A+∠C，试说明：AB∥CD．9．如图，已知AC∥ED，EB平分∠AED，∠1=∠2，求证：AE∥BD．10．如图，直线AB、CD与直线EF相交于E、F，已知：∠1=105°，∠2=75°，求证：AB∥CD．11．如图，∠D=∠A，∠B=∠FCB，求证：ED∥CF．12．如图，已知AB⊥BC，CD⊥BC，∠1=∠2，求证：EB∥FC．13．如图所示所示，已知BE是∠B的平分线，交AC 于E，其中∠1=∠2，那么DE∥BC吗？为什么？14．如图，已知∠C=∠D，DB∥EC．AC与DF平行吗？试说明你的理由．15．如图，AC⊥AE，BD⊥BF，∠1=35°，∠2=35°，求证：AE∥BF．16．如图，已知AB∥CD，∠1=∠2，求证：BE∥CF．17．已知∠BAD=∠DCB，∠1=∠3，求证：AD∥BC．18．如图，AD是三角形ABC的角平分线，DE∥CA，并且交AB与点E，∠1=∠2，DF与AB是否平行？为什么？19．如图，已知：∠C=∠DAE，∠B=∠D，那么AB平行于DF吗？请说明理由．20．如图，已知点B在AC上，BD⊥BE，∠1+∠C=90°，问射线CF与BD平行吗？说明理由．21．已知∠1的度数是它补角的3倍，∠2等于45°，那么AB∥CD吗？为什么？22．已知：如图，BDE是一条直线，∠ABD=∠CDE，BF平分∠ABD，DG平分∠CDE，求证：BF∥DG．23．如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BF、DE 分别平分∠ABC、∠ADC．判断DE、BF是否平行，并说明理由．24．如图，若∠CAB=∠CED+∠CDE，求证：AB∥CD ．25．如图，CD⊥AB，GF⊥AB，∠1=∠2．试说明DE∥BC．26．如图所示，∠CAD=∠ACB，∠D=90°，EF⊥CD．试说明：∠AEF=∠B．27．已知：如图所示，C，P，D三点在同一条直线上，∠BAP+∠APD=180°，∠E=∠F，求证：∠1=∠2．28．如图，∠D=∠1，∠E=∠2，DC⊥EC．求证：AD∥BE．29．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，试说明BE∥DF．30．已知：如图，∠1=∠2，∠A=∠F，则∠C与∠D相等吗？试说明理由．31．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：BE∥DF．32．如图，已知∠1=∠2求证：a∥b．33．如图，DE⊥AO于E，BO⊥AO于O，FC⊥AB于C，∠1=∠2，找出图中互相平行的线，并加以说明．34．如图，已知∠1=∠2，∠C=∠CDO，求证：CD∥OP．35．如图，已知DE平分∠BDF，AF平分∠BAC，且∠1=∠2．求证（1）DF∥AC；（2）DE∥AF．36．如图，AD平分∠BAC，EF平分∠DEC，且∠1=∠2，试说明DE与AB的位置关系．37．如图，在△ABC中，点D在AB上，∠ACD=∠A，∠BDC的平分线交BC于点E．求证：DE∥AC．38．如图，AB与CD相交于点O，并且∠A=∠1，试问∠2与∠B满足什么关系时，AC∥BD？说明理由．39．如图，已知∠1=∠A，∠2=∠B，那么MN与EF平行吗？如果平行，请说明理由．40．如图，直线AB、CD被直线EF所截，∠1+∠4=180°，求证：AB∥CD．41．如图所示，已知：∠1=∠2，∠E=∠F．试说明AB∥CD．42．如图，已知EF⊥CD于F，∠GEF=25°，∠1=65°，则AB与CD平行吗？请说明理由．43．如图，已知∠1=∠2=90°，∠3=30°，∠4=60°，图中有几对平行线？说说你的理由．44．直线AB，CD被直线EF所截，∠1=∠2，直线AB 和CD平行吗？为什么？45．已知：如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2．求证：AB∥GF．46．如图，已知B、C、D三点在同一条直线上，∠B=∠1，∠2=∠E，试说明AD∥CE．47．直线AB、CD与GH交于E、F，EM平分∠BEF，FN平分∠DFH，∠BEF=∠DFH，求证：EM∥FN．48．如图所示，∠ABC=∠BCD，BE、CF分别平分∠ABC 和∠BCD，请你说出BE与CF的位置关系，并说出你的理由．49．如图，若∠1=∠2，请判断DB与EC的位置关系，并说明理由．50．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．（1）CD与EF平行吗？为什么？（2）如果∠1=∠2，DG∥BC吗？为什么？51．如图，已知：HG平分∠AHM，MN平分∠DMH，且∠AHM=∠DMH．问：GH与MN有怎样的位置关系，请说明理由．（请注明每一步的理由）52．已知：如图，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD 于点G．求证：AB∥CD．53．如图，直线AB，CD被EF所截，∠3=∠4，∠1=∠2，EG⊥FG．求证：AB∥CD．54．已知：如图，CD是直线，E在直线CD上，∠1=130°，∠A=50°，求证：AB∥CD．55．如图，已知∠1=∠2，∠DAB=∠DCA，且DE⊥AC，BF⊥AC，问：（1）AD∥BC吗？（2）AB∥CD吗？为什么？56．如图，四边形ABCD，∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC，则AD与BC一定平行吗？AB与CD呢？若平行请说明理由，反之则不用说明理由．57．已知：如图，∠A=∠F，∠C=∠D．求证：BD∥CE．58．如图，AD⊥BC于点D，∠1=2，∠CDG=∠B，请你判断EF与BC的位置关系，并加以证明，要求写出每步证明的理由．59．已知：如图，CE平分∠ACD，∠1=∠B，求证：AB∥CE．60．如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，可以判定哪两条直线平行？。
平行线与角平分线专题
1．如图1，点E在直线BH，CD之间，点A为BH上一点，且AE⊥CE，∠DCE－∠HAE＝90°
（1）求证：BH∥CD
（2）如图2，直线AF交CD于F，AM平分∠EAF，AN平分∠BAE，试探究∠MAN，∠AFG的数量关系．
2．如图，点E在DA的延长线上，CE、AB交于F点，AD∥BC，∠B＝∠D．
（1）说明AB与CD的位置关系
（2）如图2，若∠EAF，∠BCF的平分线交于G，∠ECD＝40°，求∠G．
3．已知AB∥CD．
（1）如图1，点E在AB，CD之间，连接并延长AE，与∠ECD的平分线交于点G，连接并延长CE，与∠EAB的角平分
线交于点F，请探究∠F，∠G与∠FEG的数量关系；
（2）如图2，E为AB，CD外的一点，连接AE，EC，∠EAB和∠ECD的角平分线交于点F，且∠AEC比∠AFC多20°，
求∠AFC．
4．如图，已知AD∥BC，AB∥CD，点E为BA延长线上一点，∠EAD与∠BCD的角平分线交于点P．
（1）求∠APC的度数；
（2）连接DP，若∠PDC＝55°，求∠DPC－ ∠B．
5．如图1所示，已知∠DAB＋∠ABC＋∠BCE＝360°．
（1）写出AD与CE的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，若∠F的余角等于2∠B的补角，求∠BAH
的度数；
（3）在（2）条件下，如图3，P是AB上一点，Q是CE上任意一点，QR平分∠PQG，PM∥QR，PN平分
∠APQ，下列结论：①∠APQ＋∠NPM的值不变；②∠NPM的值不变，其中只有一个正确，请判断并证明．1）如图1，Q是GE上一点，QR平分∠PQG，PN平分∠APQ，QN平分∠PQE，探究∠HAP与∠N的数量关系；
角平分线专项练习30题(有答案)ok
角平分线专项练习30题（有答案）1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，AD平分∠BAC，求证：点D在AB的垂直平分线上．2．如图，在△ABC中，PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD=PE=PF，求证：∠BPC=90°+∠BAC．3．如图已知：BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别是D、E，BD、CE交于F，且CF=FB，求证：AF平分∠BAC．4．如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若AB=AC．求证：AD平分∠BAC．5．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BE平分∠ABC，DE⊥BC于D，DE=DC．求证：BC=AB+AE．6．已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠BAD；（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．7．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F．（1）求证：△ACF∽△ABE；（2）若AC=6cm，AF=3cm，AB=10cm，求出AE的长度．8．如图，CD∥AB，∠ABC，∠BCD的角平分线交于E点，且E在AD上，CE交BA的延长线于F点．（1）BE与CF互相垂直吗？若垂直，请说明理由；（2）若CD=3，AB=4，求BC的长．9．如图，直线MN分别交直线AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠1=50°，∠2=65°，（1）求证：AB∥CD；（2）在（1）的条件下，求∠AEM的度数．10．如图，AD平分∠MAN，BD⊥AM，CD⊥AN，垂足分别为B、C，E为线段AB上一点，（1）用尺规在射线AN上找一点F，使△CDF与△BDE全等（保留作图痕迹）；（2）若BE=3，请写出此时线段AE与AF的数量关系，并说明理由．11．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，（1）分别作出D到BA、BC的距离DE、DF；（2）求证：∠A+∠C=180°．12．已知：如图，△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，AE平分∠BAC，EF∥DC，交BC于F，求证：BE=FC．13．如图，四边形AOBC中，AC=BC，∠A+∠OBC=180°，CD⊥OA于D．（1）求证：OC平分∠AOB；（2）若OD=3DA=6，求OB的长．14．如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠DAB内一点，AB=AD，BC=CD，CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，求证：CE=CF．15．如图，已知：在四边形ABCD中，过C作CE⊥AB于E，并且CD=CB，∠ABC+∠ADC=180°，（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若AE=3BE=9，求AD的长；（3）△ABC和△ACD的面积分别为36和24，求△BCE的面积．16．如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．17．如图，AE平分∠BAC，BD=DC，DE⊥BC，EM⊥AB，EN⊥AC．求证：BM=CN．18．如图，△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角的平分线交于P点，PD⊥AC于D，PH⊥BA于H，求证：AP平分∠HAD．19．如图，△ABC中，若AD平分∠BAC，过D点作DE⊥AB，DF⊥AC，分别交AB、AC于E、F两点．求证：AD⊥EF．（2）若∠MON=80°，求∠PAB的度数．21．如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．（1）求证：∠PCB+∠BAP=180°；（2）若BC=12cm，AB=6cm，PA=5cm，求BP的长．22．如图，△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上的一点，PE∥AB交BC与E，PF∥AC交BC与F．求证：D 到PE的距离与D到PF的距离相等．23．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC于点G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．证明：BE=CF；（提示：连接线段BD、CD）25．如图，已知∠ABC=40°，∠ACB=60°，BO，CO平分∠ABC和∠ACB，DE过O点，且DE∥BC，求∠BOC的度数．26．四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠B=180°求证：2AE=AB+AD．27．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的长．（2）ED=BC+BD．29．如图，在△ABC中，∠C=90°，M为AB的中点，DM⊥AB，CD平分∠ACB，求证：MD=AM．30．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，M为OP上任一点，连接CM、DM，则有CM与DM相等，试说明你的理由．参考答案：1．证明：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴CD=DE，在△ADC和△ADE中，，∴△ADC≌△ADE（HL），∴AE=AC，∵AB=2AC，∴BE=AB﹣AE=2AC﹣AE=AE，∴点D在AB的垂直平分线上．2．证明：连接AP，且延长至G，∵PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD=PE=PF，∴点P是△ABC三角平分线的交点，∴AP平分∠BAC，∴∠CAG=∠BAG=∠BAC，∵CP平分∠ACB，BP平分∠ABC，∴∠ACP=∠ACB，∠ABP=∠ABC，∴∠CPG=∠BAG+∠ABP=（∠BAC+∠ACB），∠BPG=∠BAG+∠ABP=（∠BAC+∠BC），∴∠BPC=∠CPG+∠BPG=（∠BAC+∠ACB）+（∠BAC+∠ABC）=∠BAC+（180°﹣∠BAC）=90°+∠BAC．3．证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∠CDF=∠BEF=90°，在△CDF与△BEF中，，∴DF=EF，又∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴AF平分∠BAC（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）4．解：方法一：连接BC，∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∴∠CFB=∠BEC=90°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，在△BCF和△CBE中∵∴△BCF≌△CBE（AAS），∴BF=CE，在△BFD和△CED中∵，∴△BFD≌△CED（AAS），∴DF=DE，∴AD平分∠BAC．方法二：先证△AFC≌△AEB，得到AE=AF，再用（HL）证△AFD≌△三AED，得到∠FAD=∠EAD，所以AD平分∠BAC．5．解：∵∠BAC=90°，BE平分∠ABC，DE⊥BC于D，∴AE=DE，∵BE是公共边，∴△BDE≌△BAE（HL），∴BD=BA，AE=DE=DC，∴BC=BD+DC=AB+AE6．（1）证明：作ME⊥AD于E，∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，∴ME=MC，∵M为BC中点，∴MB=MC，又∵ME=MC，∴ME=MB，又∵ME⊥AD，MB⊥AB，∴AM平分∠DAB．（2）解：DM⊥AM，理由是：∵DM平分∠CDA，AM平分∠DAB，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠3=90°，∴∠DMA=180°﹣（∠1+∠3）=90°，即DM⊥AM．（3）解：CD+AB=AD，理由是：∵ME⊥AD，MC⊥CD，∴∠C=∠DEM=90°，在Rt△DCM和Rt△DEM中∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），∴CD=DE，同理AE=AB，∵AE+DE=AD，∴CD+AB=AD．7．（1）证明：∵∠ACB=90°，∠CDB=90°，∴∠ACD=90°﹣∠DCB，∠B=90°﹣∠DCB，∴∠ACD=∠B，（2分）∵AE平分∠CAB，∴∠CAE=∠EAB，（3分）∴△ACF∽△ABE；（7分）（2）解：∵△ACF∽△ABE，∴，（9分）∴AE===5cm8．解：（1）垂直．∵CD∥AB，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵∠ABC，∠BCD的角平分线交于E点，∴∠ABE=∠EBC，∠DCE=∠ECB，∴∠EBC+∠ECB=∠ABC+∠BCD=（∠ABC+∠BCD）=90°，∴∠CEB=90°，∴BE与CF互相垂直．（2）∵∠CEB=90°，∴∠FEB=90°，在△FBE和△CBE中，∵，∴△FBE≌△CBE（ASA），∴BF=BC，EF=EC，∵CD∥AB，∴∠DCE=∠AFE，∵∠FEA=∠CED，∴△DCE≌△AFE，∴DC=AF，∵CD=3，AB=4，BF=AF+AB，∴BF=BC=7．9．（1）证明：∵∠1+∠2+∠FEG=180°，∵∠1=50°，∠2=65°，∴∠FEG=65°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEF=2∠FEG=130°，∴∠BEF+∠1=180°，∴AB∥CD．（2）∵∠AEM=∠BEF，∵∠BEF=130°，∴∠AEM=130°，答：∠AEM的度数是130°10．解：（1）以D为圆心，DE为半径交AN于F1或F2，如图，∵AD平分∠MAN，BD⊥AM，CD⊥AN，∴DB=DC，∵DE=DF，∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL）；（2）∵DB=DC，DA=DA，∴Rt△DBA≌Rt△DCA（HL）；∴AB=AC，∵Rt△CDF≌Rt△BDE，∴BE=CF，∴当F点在F1时，AF=AE；当F点在F2时，AF2=AC+CF2=AB+CF2=AE+BE+BE，∴AF﹣AE=2BE=6．11．解：（1）如图所示：．（2）证明：∵BD平分∠ABC，DE⊥BA，DF⊥BC，∴DE=DF，∠E=∠DFC=90°，∴在Rt△DEA和Rt△DFC中∴Rt△DEA≌Rt△DFC（HL），∴∠C=∠EAD，∵∠BAD+∠EAD=180°，∴∠BAD+∠C=180°12．证明：过点E作EG⊥AB于点G，过F点作FH⊥AC于点H，∵△ABC中，∠ABC=90°，∴∠C+∠BAC=90°，∵BD⊥AC于D，∴∠ADB=90°，∴∠BAC+∠ABD=90°，∴∠C=∠ABD，∵点E在∠BAC的平分线上，∴GE=DE，∵EF∥DC且BD⊥AC于D，FH⊥AC于D∴ED=FH，∴GE=FH，在△BEG与△CFH中，，∴△BEG≌△CFH（AAS），∴BE=CF．13．证：（1）作CE⊥OB于E，∵∠A+∠OBC=180°，∠OBC+∠CBE=180°∴∠A=∠CBE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（AAS），∴CD=CE，∴OC平分∠AOB．（2）∵OD=3DA=6，∴AD=BE=2，在Rt△ODC和Rt△OEC中∵∴Rt△ODC≌Rt△OEC（HL），∴OE=OD=6，∴OB=OE﹣BE=4．14．证明：在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC=∠BAC，∵CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，∴CE=CF15．解：（1）作CF⊥AD的延长线于F，∴∠F=90°．∵CE⊥AB，∴∠CEA=∠CEB=90°，∴∠F=∠CEA=∠CEB．∵∠ADC+∠CDF=180°，且∠ABC+∠ADC=180°∴∠CDF=∠B．在△CDF和△CEB中，∴△CDF≌△CEB（AAS），∴CF=CE．∵CF⊥AD，CE⊥AB，∴AC平分∠BAD；（2）在Rt△CAF和Rt△CAE中，∴Rt△CAF≌Rt△CAE（HL），∴AF=AE．∵△CDF≌△CEB，∴DF=EB．∵3BE=9，∴BE=3，∴DF=3．∵AD=AF﹣DF，∴AD=AE﹣DF．∵AE=9，∴AD=9﹣3=6；（3）∵△CAF≌△CAE，△CDF≌△CEB，∴S△CAF=S△CAE，S△CDF=S△CEB．．设△BCE的面积为x，则△CDF的面积为x，由题意，得24+x=36﹣x，∴x=6，答：△BCE的面积为6．16．证明：延长FE至Q，使EQ=EF，连接CQ，∵E为BC边的中点，∴BE=CE，∵在△BEF和CEQ中，∴△BEF≌△CEQ，∴BF=CQ，∠BFE=∠Q，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，∵EF∥AD，∴∠CAD=∠G，∠BAD=∠GFA，∴∠G=∠GFA，∴∠GFA=∠BFE，∵∠BFE=∠Q（已证），∴∠G=∠Q，∴CQ=CG，∵CQ=BF，∴BF=CG．17．证明：连接BE、EC，∵BD=DC，DE⊥BC∵BE=EC．∵AE平分∠BAC，EM⊥AB，EN⊥AC，EM=EN，∠EMB=∠ENC=90°．在Rt△BME和Rt△CNE中，∵BE=EC，EM=EN，∴Rt△BME≌Rt△CNE（HL）∴BM=CN．18．证明：过P作PF⊥BE于F，∵BP平分∠ABC，PH⊥BA于H，PF⊥BE于F，∴PH=PF（角平分线上的点到角的两边距离相等）．又∵CP平分∠ACE，PD⊥AC于D，PF⊥BE于F，∴PF=PD（角平分线上的点到角的两边距离相等）．∴PD=PH（等量代换）．∴AP平分∠HAD（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．19．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°，∵∠AED+∠EAD+∠EDA=180°，∠FAD+∠AFD+∠ADF=180°，∴∠EDA=∠FDA，∵DE=DF，∴AD⊥EF三线合一）20．（1）证明：∵∠PAB=∠PBA，∴PA=PB，∵PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，∴OP平分∠MON（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；（2）解：∵∠MON=80°，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，∴∠APB=360°﹣90°×2﹣80°=100°，∵∠PAB=∠PBA，∴∠PAB=（180°﹣100°）=40°21．证明：（1）如图，过点P作PE⊥AB于E，∵∠1=∠2，PF⊥BC，∴PE=PF，在△APE和△CPF中，，∴△APE≌△CPF（HL），∴∠PAE=∠PCB，∵∠PAE+∠PAB=180°，∴∠PCB+∠BAP=180°；（2）∵△APE≌△CPF，∴AE=FC，∵BC=12cm，AB=6cm，∴AE=×（12﹣6）=3cm，BE=AB+AE=6+3=9cm，在Rt△PAE中，PE==4cm，在Rt△PBE中，PB==cm．22．证明：∵PE∥AB，PF∥AC，∴∠EPD=∠BAD，∠DPF=∠CAD，∵△ABC中，AD是它的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EPD=∠DPF，即DP平分∠EPF，∴D到PE的距离与D到PF的距离相等23．证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD=CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE=CF．24．证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED=∠CFD，∴△BDE与△CDE是直角三角形，∵，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE=DF，∴AD是∠BAC的平分线25．解：∵∠ABC=40°，∠ACB=60°，BO，CO平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=（∠ACB+∠ABC）=50°；∴∠BOC=180°﹣50°=130°26．证明：过C作CF⊥AD于F，∵AC平分∠BAD，∴∠FAC=∠EAC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠DFC=∠CEB=90°，∴△AFC≌△AEC，∴AF=AE，CF=CE，∵∠ADC+∠B=180°∴∠FDC=∠EBC，∴△FDC≌△EBC∴DF=EB，∴AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE∴2AE=AB+AD27．（1）证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD=CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE=CF；（2）解：在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE=AF，设BE=x，则CF=x，∵AB=5，AC=3，AE=AB﹣BE，AF=AC+CF，∴5﹣x=3+x，解得：x=1，∴BE=1，AE=AB﹣BE=5﹣1=4．28．证明：（1）由三角形的外角性质，∠BAD+∠ABD=∠1+∠EDC，∵∠1=90°﹣∠EDC，∴∠BAD+90°=90°﹣∠EDC，∴∠BAD=∠EDC，延长DB至F，使BF=BD，则AB垂直平分DF，∴∠BAD=∠DAF，AD=AF，∴∠DAF=∠EDC，∠2=∠F，在△ADF中，∠F+∠DAF=∠1+∠EDC，∴∠1=∠F，∴∠1=∠2；（2）在△AED和△ACF中，，∴△AED≌△ACF（ASA），∴ED=CF，∵CF=BC+BF=BC+DB，∴ED=BC+BD．29．证明：如图，连接CM，设AB、CD相交于点E，则CM是斜边上的中线，MC=MB=AM，∴∠MCB=∠B，∵CD平分∠ACB，∠C=90°，∴∠BCD=×90°=45°，∴∠MCD=∠MCB﹣45°=∠B﹣45°，又∵∠DEM=∠BEC=180°﹣∠B﹣45°=135°﹣∠B，∴∠D=90°﹣∠DEM=∠B﹣45°，∴∠D=∠MCD，∴MD=MC，∴MD=AM．30．解：∵OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，∴PC=PD，∵OM是公共边，∴△POC≌△POD（HL），∴OC=OD，∴△COM≌△DOM（SAS），∴CM=DM。
平面几何的垂直平分线与平行线与角平分线与相交角练习题
平面几何的垂直平分线与平行线与角平分线与相交角练习题平面几何的垂直平分线、平行线、角平分线与相交角练习题一、垂直平分线1. 已知线段AB的中点为M，延长线段AB的垂直平分线相交于点O。
若AM = 4cm，MB = 6cm，求线段AO和线段OB的长度。
解析：由于垂直平分线将线段AB等分，所以线段AO和线段OB 的长度相等，设其长度为x，则有AO = OB = x。
又因为线段AM和线段MB的长度已知，根据线段分割定理可得，AM : MB = AO : OB。
代入已知数据可得4 : 6 = x : x，化简得2 : 3 = 1 : x，解得x = 3。
故线段AO和线段OB的长度均为3cm。
2. 已知四边形ABCD中，线段AB的中点为O，垂直平分线AC和BD相交于点E。
若AE = 6cm，DE = 10cm，求线段AB的长度。
解析：由于垂直平分线将线段AC和线段BD等分，所以线段AE和线段DE的长度相等，设其长度为x，则有AE = DE = x。
又因为线段AB的中点为O，根据线段分割定理可得，AE : EC = BO : OD。
代入已知数据可得6 : x = BO : 10，化简得6x = 10BO，再代入AE = DE = x得6x = 10x，解得x = 0，这显然不符合实际。
因此，题目中所给的条件是矛盾的，无解。
二、平行线1. 已知平行线l和m分别与线段AB相交于点C和点D，若AC =3cm，BC = 5cm，CD = 6cm，求BD的长度。
解析：由于平行线l和m与线段AB相交，根据平行线分割定理可得，AC : CB = CD : BD。
代入已知数据可得3 : 5 = 6 : BD，化简得3BD = 30，解得BD = 10。
故BD的长度为10cm。
2. 已知平行线l和m分别与线段AB相交于点C和点D，且AC =2BC，CD = 4cm，求BD的长度。
解析：由于平行线l和m与线段AB相交，根据平行线分割定理可得，AC : CB = CD : BD。
基本图形分析法：角平分线和平行线的组合图形.doc
基本图形分析法：角平分线和平行线的组合图形【分析方法导引】当几何问题中出现角平分线和平行线的组合关系式，就可以想到要应用等腰三角形的基本图形进行证明。
然后就应用将角的边的平行线与角平分线及角的另一边相交或将角平分线的平行线与角的一边及另一边的反向延长线相交的方法找到等腰三角形的基本图形。
再应用角平分线、平行线、等腰三角形中任何两个性质成立就可以推得第三个性质成立的方法来完成分析。
例13 如图3-40，已知：△ABC中，AD是角平分线，M 是BC的中点，MF∥DA交AB和CA的延长线于E、F。
求证：BE=CF=1/2（AB+AC）。
图3-40分析：本题的条件中出现了AD是角平分线，MF∥DA，构成了角平分线和平行线的组合关系，所以可得到一个等腰三角形的基本图形，由于MF是角平分线的平行线，所以它应和角的一边（AB）以及另一边（AC）的反向延长线相交构成等腰三角形，于是就可以找到这个等腰三角形应是△AEF（如图3-41），于是由∠EAD=∠CAD和MF∥DA，∠AEF=∠EAD，∠F=∠CAD，可得∠AEF=∠F，AE=AF。
图3-41由于AF是结论中出现的线段CF的一部分，这样AF就可以看作是折过来成为AE，所以CF就转化成CA+AF=CA+AE，问题就成为要证BE=CA+AE。
现在出现的问题就是要证明一条线段等于两条线段的和，所以可根据线段和的定义将两条线段接起来，或者也就是将其中的一条线段接到另一条线段上去。
但将AE接到CA 上，则问题又回到了原来的性质，所以只能考虑将AC接到EA上，即延长BA到G使AG=AC（如图3-42），于是要证的结论又进一步化为BE=CA+AE=AG+AE=EG，即要证E是BG的中点。
图3-42又因为在作了AG=AC后，这就是两条具有公共端点的相等线段，它们就可以组成一个等腰三角形，但这个等腰三角形只有两条腰而没有底边，所以应考虑将底边添上，于是连接CG（如图3-43）。
专题06 平行线(期末必刷压轴题)(浙江精编)-2020-2021学年七年级数学下浙教版)(解析版)
专题06平行线（期末必刷压轴题）一、解答题1．（2020·浙江七年级期末）（1）如图1，已知直线12//l l ，且3l 和1l ，2l 分别交于A ，B 两点，点P 在AB 上，则1∠，2∠，3∠之间的等量关系是______；如图2，点A 在B 处北偏东40︒方向，在C 处的北偏西45︒方向，则BAC ∠=_____︒．（2）如图3，ABD ∠和BDC ∠的平分线交于E ，BE 交CD 于点F ，1290∠+∠=︒，试在说明：//AB CD ；并探究2∠与3∠的数量关系．【答案】（1）∠1+∠2=∠3，85°；（2）证明见解析，∠2+∠3=90°【解析】（1）在图1中，作PM ∥AC ，利用平行线性质即可证明；利用①结论即可求得∠BAC 的度数．（2）根据BE 、DE 平分∠ABD 、∠BDC ，且∠1+∠2=90°，可得∠ABD+∠BDC=180°，根据同旁内角互补，可得两直线平行．根据∠1+∠2=90°，即∠BED=90°；那么∠3+∠FDE=90°，将等角代换，即可得出∠3与∠2的数量关系．解：（1）如图1中，作PM ∥AC ，∵AC ∥BD ，∴PM ∥BD ，∴∠1=∠CPM ，∠2=∠MPD ，∴∠1+∠2=∠CPM+∠MPD=∠CPD=∠3．由题可知：∠BAC=∠B+∠C ，∵∠B=40°，∠C=45°，∴∠BAC=40°+45°=85°．故答案为：∠1+∠2=∠3，85°．（2）证明：∵BE 、DE 平分∠ABD 、∠BDC ，∴∠1=12∠ABD ，∠2=12∠BDC ， ∵∠1+∠2=90°，∴∠ABD+∠BDC=180°；∴AB ∥CD ；（同旁内角互补，两直线平行）∵DE 平分∠BDC ，∴∠2=∠FDE ；∵∠1+∠2=90°，∴∠BED=∠DEF=90°；∴∠3+∠FDE=90°；∴∠2+∠3=90°．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的判定，正确添加辅助线是解决问题的关键．2．（2020·浙江七年级期末）如图1，已知两条直线AB ，CD 被直线EF 所截，分别交于点E ，点F ，EM 平分AEF ∠交CD 于点M ，且FEM FME ∠=∠．（1）判断直线AB 与直线CD 是否平行，并说明理由；（2）如图2，点G 是射线MD 上一动点（不与点M ，F 重合），EH 平分FEG ∠交CD 于点H ，过点H 作HN EM ⊥于点N ，设EHN α∠=，EGF β∠=．①当点G 在点F 的右侧时，若50β=，求α的度数；②当点G 在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．【答案】（1）平行，理由见解析；（2）①25°；②12αβ=或1902βα︒=- 【解析】 （1）依据角平分线，可得AEF FME ∠=∠，根据FEM FME ∠=∠，可得AEF FEM ∠=∠，进而得出//AB CD ；（2）①依据平行线的性质可得130AEG ∠=︒，再根据EH 平分FEG ∠，EM 平分AEF ∠，即可得到1652MEH AEG ∠=∠=︒，再根据HN ME ⊥，即可得到Rt EHN ∆中，906525EHN ∠=︒-︒=︒； ②分两种情况进行讨论：当点G 在点F 的右侧时，12αβ=．当点G 在点F 的左侧时，1902βα︒=-．解：（1）EM 平分AEF ∠，AEM MEF ∴∠=∠，又FEM FME ∠=∠，AEM EMF ∴∠=∠，//AB CD ∴；（2）①如图2，//AB CD ，50β=︒，130AEG ∴∠=︒，又EH 平分FEG ∠，EM 平分AEF ∠，12HEF FEG ∴∠=∠，12MEF AEF ∠=∠， 1652MEH AEG ∴∠=∠=︒， 又HN ME ⊥，Rt EHN ∴∆中，906525EHN ∠=︒-︒=︒，即25α=︒；②分两种情况讨论：如图2，当点G 在点F 的右侧时，12αβ=．证明：//AB CD ，180AEG β∴∠=︒-，又EH 平分FEG ∠，EM 平分AEF ∠，12HEF FEG ∴∠=∠，12MEF AEF ∠=∠，11(180)22MEH AEG β∴∠=∠=︒-，又HN ME ⊥，Rt EHN ∴∆中，119090(180)22EHN MEH ββ∠=︒-∠=︒-︒-=，即12αβ=；如图3，当点G 在点F 的左侧时，1902βα︒=-．证明：//AB CD ，AEG EGF β∴∠=∠=，又EH 平分FEG ∠，EM 平分AEF ∠，12HEF FEG ∴∠=∠，12MEF AEF ∠=∠，MEH MEF HEF ∴∠=∠-∠1()2AEF FEG =∠-∠ 12AEG =∠ 12β=， 又HN ME ⊥，Rt EHN ∴∆中，90EHN MEH ∠=︒-∠， 即1902βα︒=-．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；利用角的和差关系进行推算．3．（2020·义乌市稠州中学教育集团七年级月考）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，如图，灯A 射线自AM 顺时针旋转至AN 便立即回转，灯B 射线自BP 顺时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，若灯A 转动的速度是a °/秒，灯B 转动的速度是b °/秒，且a 、b 满足()2450a b a b -++-=．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即//PQ MN ，且60BAN ∠=︒（1）求a 、b 的值；（2）若灯B 射线先转动45秒，灯A 射线才开始转动，当灯B 射线第一次到达BQ 时运动停止，问A 灯转动几秒，两灯的光束互相平行?（3）如图，两灯同时转动，在灯A 射线到达AN 之前．若射出的光束交于点C ，过C 作CD AC ⊥交PQ 于点D ，则在转动过程中，BAC ∠与BCD ∠的数量关系是否发生变化?若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．【答案】（1）4a =，1b =；（2）15秒或63秒；（3）不发生变化，34BAC BCD ∠=∠【解析】（1）利用非负数的性质解决问题即可．（2）分三种情形，利用平行线的性质构建方程即可解决问题．（3）由参数t 表示BAC ∠，BCD ∠即可判断．解：（1）∵()2450a b a b -++-=,∴4050a b a b -=⎧⎨+-=⎩,4a ∴=，1b =；（2）设A 灯转动t 秒，两灯的光束互相平行，①当045t <<时，4(45)1t t =+⨯，解得15t =；②当4590t <<时，()418018045t t -=-+，解得63t =；③当90135t <<时，436045t t -=+，解得135t =，（不合题意）综上所述，当t =15秒或63秒时，两灯的光束互相平行；（3）设A 灯转动时间为t 秒，1804CAN t ∠=︒-，60(1804)4120BAC t t ∴∠=︒-︒-=-︒，又//PQ MN ，18041803BCA CBD CAN t t t ∴∠=∠+∠=+︒-=︒-，而90ACD ∠=︒，9090(1803)390BCD BCA t t ∴∠=︒-∠=︒-︒-=-︒，:4:3BAC BCD ∴∠∠=，即34BAC BCD ∠=∠．【点睛】本题考查平行线的性质和判定，非负数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．4．（2020·浙江七年级期末）如图1，O 为直线AB 上一点，过点O 作射线,30OC AOC ︒∠=，将一直角三角板（30M ︒∠=）的直角顶点放在点O 处，一边ON 在射线OA 上，另一边OM 与OC 都在直线AB 的上方，将图1中的三角板绕点O 以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．（1）几秒后ON 与OC 重合？（2）如图2，经过t 秒后，//MN AB ，求此时t 的值．（3）若三角板在转动的同时，射线OC 也绕O 点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间OC 与OM 重合？请画图并说明理由．（4）在（3）的条件下，求经过多长时间OC 平分MOB ∠？请画图并说明理由．【答案】（1）10秒；（2）20秒；（3）20秒，画图见解析；（4）703秒，画图见解析 【解析】（1）用角的度数除以转动速度即可得；（2）求出∠AON=60°，结合旋转速度可得时间t；（3）设∠AON=3t，则∠AOC=30°+6t，由题意列出方程，解方程即可；（4）根据转动速度关系和OC平分∠MOB，由题意列出方程，解方程即可．解：（1）∵30÷3=10，∴10秒后ON与OC重合；（2）∵MN∥AB∴∠BOM=∠M=30°，∵∠AON+∠BOM=90°，∴∠AON=60°，∴t=60÷3=20∴经过t秒后，MN∥AB，t=20秒．（3）如图3所示：∵∠AON+∠BOM=90°，∠BOC=∠BOM，∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，设∠AON=3t，则∠AOC=30°+6t，∵OC与OM重合，∵∠AOC+∠BOC=180°，可得：（30°+6t）+（90°-3t）=180°，解得：t=20秒；即经过20秒时间OC与OM重合；（4）如图4所示：∵∠AON+∠BOM=90°，∠BOC=∠COM ，∵三角板绕点O 以每秒3°的速度，射线OC 也绕O 点以每秒6°的速度旋转，设∠AON=3t ，∠AOC=30°+6t ，∵∠BOM+∠AON=90°，∴∠BOC=∠COM=12∠BOM=12（90°-3t ）， 由题意得：180°-（30°+6t ）=12（ 90°-3t ）， 解得：t=703秒， 即经过703秒OC 平分∠MOB ． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，角的计算以及方程的应用，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键．5．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）已知：如图1，//AB CD ，点E ，F 分别为AB ，CD 上一点．（1）在AB ，CD 之间有一点M （点M 不在线段EF 上），连接ME ，MF ，探究AEM ∠，EMF ∠，∠MFC 之间有怎样的数量关系，请补全图形，并在图形下面写出相应的数量关系，选其中一个进行证明．（2）如图2，在AB ，CD 之两点M ，N ，连接ME ，MN ，NF ，请选择一个图形写出AEM ∠，EMN ∠，MNF ∠，NFC ∠存在的数量关系（不需证明）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）过点M 作MP ∥AB ．根据平行线的性质即可得到结论；（2）根据平行线的性质即可得到结论．解：（1）∠EMF=∠AEM+∠MFC ．∠AEM+∠EMF+∠MFC=360°． 证明：过点M 作MP ∥AB ．∵AB ∥CD ，∴MP ∥CD ．∴∠4=∠3．∵MP ∥AB ，∴∠1=∠2．∵∠EMF=∠2+∠3，∴∠EMF=∠1+∠4．∴∠EMF=∠AEM+∠MFC ；证明：过点M 作MQ ∥AB ．∵AB ∥CD ，∴MQ ∥CD ．∴∠CFM+∠1=180°；∵MQ ∥AB ，∴∠AEM+∠2=180°．∴∠CFM+∠1+∠AEM+∠2=360°．∵∠EMF=∠1+∠2，∴∠AEM+∠EMF+∠MFC=360°；（2）如图2第一个图：∠EMN+∠MNF-∠AEM-∠NFC=180°；过点M 作MP ∥AB ，过点N 作NQ ∥AB ，∴∠AEM=∠1，∠CFN=∠4，MP ∥NQ ，∴∠2+∠3=180°，∵∠EMN=∠1+∠2，∠MNF=∠3+∠4，∴∠EMN+∠MNF=∠1+∠2+∠3+∠4，∠AEM+∠CFN=∠1+∠4，∴∠EMN+∠MNF-∠AEM-∠NFC=∠1+∠2+∠3+∠4-∠1-∠4 =∠2+∠3 =180°；如图2第二个图：∠EMN-∠MNF+∠AEM+∠NFC=180°． 过点M 作MP ∥AB ，过点N 作NQ ∥AB ， ∴∠AEM+∠1=180°，∠CFN=∠4，MP ∥NQ ， ∴∠2=∠3，∵∠EMN=∠1+∠2，∠MNF=∠3+∠4，∴∠EMN-∠MNF=∠1+∠2-∠3-∠4，∠AEM+∠CFN=180°-∠1+∠4， ∴∠EMN-∠MNF+∠AEM+∠NFC =∠1+∠2-∠3-∠4+180°-∠1+∠4 =180°．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．6．（2020·浙江杭州市·）如图1，已知//AB CD ，30B ∠=︒，120D ∠=︒；（1）请探索E ∠与F ∠之间满足的数量关系，并说明理由；（2）如图2，若EP 平分BEF ∠，FG 平分EFD ∠，反向延长FG 交EP 于点P ，求P ∠的度数． 【答案】（1）30EFD BEF ∠=∠+︒，理由见解析；（2）15°【解析】（1）如图1，根据平行线的性质得到30B BEM∠=∠=︒，MEF EFN ∠=∠，由//AB CD ，//AB FN ，得到//CD FN ，根据平行线的性质得到180D DFN ∠+∠=︒，于是得到结论；（2）如图2，过点F 作//FH EP ，设2BEFx ∠=︒，则(230)EFD x ∠=+︒，根据角平分线的定义得到12PEF BEF x ∠=∠=︒，1(15)2EFG EFD x ∠=∠=+︒，根据平行线的性质得到PEF EFH x ∠=∠=︒，P HFG ∠=∠，于是得到结论．解：（1）如图1，分别过点E ，F 作//EM AB ，//FN AB ， ////EM AB FN ∴，30B BEM ∴∠=∠=︒，MEF EFN ∠=∠，又//AB CD ，//AB FN ，//CD FN ∴，180D DFN ∴∠+∠=︒，又120D ∠=︒，60DFN ∴∠=︒，30BEF MEF ∴∠=∠+︒，60EFD EFN ∠=∠+︒， 60EFD MEF ∴∠=∠+︒， 30EFD BEF ∴∠=∠+︒；（2）如图2，过点F 作//FH EP ， 由（2）知，30EFD BEF ∠=∠+︒， 设2BEFx ∠=︒，则(230)EFD x ∠=+︒，EP 平分BEF ∠，GF 平分EFD ∠，12PEF BEF x ∴∠=∠=︒，1(15)2EFG EFD x ∠=∠=+︒，//FH EP ，PEF EFH x ∴∠=∠=︒，P HFG ∠=∠， 15HFG EFG EFH ∠=∠-∠=︒， 15P ∴∠=︒．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．7．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）（1）如图1，已知//MN PQ ，B 在MN 上，D 在PQ 上，点E 在两平行线之间，求证：BED PDE MBE ∠=∠+∠（2）如图2，已知//MN PQ ，B 在MN 上，C 在PQ 上，A 在B 的左侧，D 在C 的右侧，DE 平分ADC ∠，BE 平分ABC ∠，直线DE 、BE 交于点E ，100CBN ∠=︒．①若130ADQ ∠=︒，求BED ∠的度数．②将线段AD 沿DC 方向平移，使得点D 在点C 的左侧，其他条件不变，如图3所示．若ADQ n ∠=︒，则BED ∠的度数是________度（用关于n 的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2）①65°；②12202n ︒-︒ 【解析】（1）如图1中，作//EH PQ ．利用平行线的性质和判定求解即可． （2）①利用（1）中结论只要求出PDE ∠，MBE ∠即可．②利用（1）中结论只要求出PDE ∠，MBE ∠即可．解：（1）如图1中，作//EH PQ ．//EH PQ ，//PQ MN ，//EH MN ∴，PDE DEH ∴∠=∠，MBE BEH ∠=∠， DEB DEH BEH PDE MBE ∴∠=∠+∠=∠+∠．（2）①如图2中，100CBN ∠=︒，80MBC ∴∠=︒，BE 平分MBC ∠，1402MBE MBC ∴∠=∠=︒，130ADQ ∠=︒， 50PDA ∴∠=︒，ED 平分PDA ∠，1252PDE PDA ∴∠=∠=︒，254065BED PDE MBE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．②如图3中，ADQ n ∠=︒，ED 平分ADC ∠， 1122CDE ADQ n ∴∠=∠=︒，11802PDE n ∴∠=︒-︒，40ABE ∠=︒，111804022022BED PDE ABE n n ∴∠=∠+∠=︒-︒+︒=︒-︒．故答案为12202n ︒-︒． 【点睛】本题考查平移的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．8．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）已知：ABC 和同一平面内的点D ．（1）如图1，点D 在BC 边上，过D 作//DE BA 交AC 于E ，//DF CA 交AB 于F ．根据题意，在图1中补全图形，请写出EDF ∠与BAC ∠的数量关系，并说明理由； （2）如图2，点D 在BC 的延长线上，//DF CA ，EDF BAC ∠=∠．请判断DE 与BA 的位置关系，并说明理由．（3）如图3，点D 是ABC 外部的一个动点．过D 作//DE BA 交直线AC 于E ，//DF CA 交直线AB 于F ，直接写出EDF ∠与BAC ∠的数量关系，并在图3中补全图形．【答案】（1）图见解析，EDFBAC ∠=∠，理由见解析；（2）//DE BA ，理由见解析；（3）图见解析，EDF BAC ∠=∠或180EDF BAC ∠+∠=︒．【解析】（1）根据平行线的画法补全图形即可得，根据平行线的性质可得,EDF BFD B B D AC F ∠=∠∠∠=，由此即可得；（2）如图（见解析），先根据平行线的性质可得BAC BOD ∠=∠，再根据等量代换可得EDF BOD ∠=∠，然后根据平行线的判定即可得；（3）先根据点D 的位置画出如图（见解析）的两种情况，再分别利用平行线的性质、对顶角相等即可得．（1）由题意，补全图形如下：∠=∠，理由如下：EDF BACDE BA，//∴∠=∠，EDF BFDDF CA，//∴∠=∠，BABFD C∴∠=∠；EDF BACDE BA，理由如下：（2）//如图，延长BA交DF于点O，DF CA，//∴∠=∠，BAC BOD∠=∠，EDF BAC∴∠=∠，EDF BOD∴；DE BA//（3）由题意，有以下两种情况：∠=∠，理由如下：①如图3-1，EDF BACDE BA，//∴∠+∠=︒，180E EAFDF CA，//180E EDF ∴∠+∠=︒，EAF EDF ∴∠=∠，由对顶角相等得：BAC EAF ∠=∠，EDF BAC ∴∠=∠；②如图3-2，180EDF BAC ∠+∠=︒，理由如下：//DE BA ，180EDF F ∴∠+∠=︒， //DF CA ，BAC F ∴∠=∠，180EDF BAC ∴∠+∠=︒．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键．9．（2020·浙江金华市·七年级期中）如图1，AB CD ∥ ，130PAB ∠=︒ ，120PCD ∠=︒ ，求APC ∠的度数．小明的思路是：过P 作//PE AB ，通过平行线性质来求APC ∠． （1）按小明的思路，求APC ∠的度数； （问题迁移）（2）如图2，//AB CD ，点P 在射线OM 上运动，记PAB α∠=，PCD β∠=，当点P 在B 、D 两点之间运动时，问APC ∠与α、β之间有何数量关系？请说明理由； （问题应用）：（3）在（2）的条件下，如果点P 在B 、D 两点外侧运动时（点P 与点O 、B 、D 三点不重合），请直接写出APC ∠与α、β之间的数量关系．【答案】（1）110°；（2）∠APC=∠α+∠β，理由见解析；（3）∠CPA=∠α-∠β或∠CPA=∠β-∠α 【解析】（1）过P 作PE ∥AB ，通过平行线性质可得∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°再代入∠PAB=130°，∠PCD=120°可求∠APC 即可；（2）过P 作PE ∥AD 交AC 于E ，推出AB ∥PE ∥DC ，根据平行线的性质得出∠α=∠APE ，∠β=∠CPE ，即可得出答案；（3）分两种情况：P 在BD 延长线上；P 在DB 延长线上，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α=∠APE ，∠β=∠CPE ，即可得出答案．解：（1）过点P 作PE ∥AB ， ∵AB ∥CD ， ∴PE ∥AB ∥CD ，∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°， ∵∠PAB=130°，∠PCD=120°， ∴∠APE=50°，∠CPE=60°， ∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°． （2）∠APC=∠α+∠β，理由：如图2，过P 作PE ∥AB 交AC 于E ，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE，∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β；（3）如图所示，当P在BD延长线上时，∠CPA=∠α-∠β；如图所示，当P在DB延长线上时，∠CPA=∠β-∠α．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用．10．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）小明同学在完成七年级下册数学第1章的线上学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下．（1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC=∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由．（2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．BE、DE所在直线交于点E，若∠F AD=50°，∠ABC=40°，求∠BED的度数．（3）将图2中的线段BC沿DC所在的直线平移，使得点B在点A的右侧，若∠F AD=m°，∠ABC=n°，其他条件不变，得到图3，请你求出∠BED的度数(用含m，n的式子表示)．【答案】（1）成立，理由见解析；（2）45°；（3）∠BED的度数改变，∠BED=180°﹣12n°+12m°．【解析】（1）根据平行线的性质即可得到结论；（2）先过点E作EH∥AB，根据平行线的性质和角平分线的定义，即可得到结论；（3）过E作EG∥AB，根据平行线的性质和角平分线的定义，即可得到结论．解：（1）如图1中，作EF∥AB，则有EF∥CD，∴∠1=∠BAE，∠2=∠DCE，∴∠AEC=∠1+∠2=∠BAE+∠DCE．（2）如图2，过点E作EH∥AB，∵AB∥CD，∠F AD=50°，∴∠F AD=∠ADC=50°．∵DE平分∠ADC，∠ADC=50°，∴∠EDC=12∠ADC=25°．∵BE平分∠ABC，∠ABC=40°，∴∠ABE =12∠ABC =20°． ∵AB ∥CD ，∴AB ∥CD ∥EH ，∴∠ABE =∠BEH =20°，∠CDE =∠DEH =25°，∴∠BED =∠BEH +∠DEH =45°．（3）∠BED 的度数改变．过点E 作EG ∥AB ．∵BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，∠ABC =n °，∠ADC =∠GAD =m °，∴∠ABE =12∠ABC =12n °，∠CDE =12∠ADC =12m ° ∵AB ∥CD ，∴AB ∥CD ∥EG ，∴∠BEG =180°﹣∠ABE =180°﹣12n °，∠CDE =∠DEG =12m °， ∴∠BED =∠BEG +∠DEG =180°﹣12n °+12m °． 故答案为：180°﹣12n °+12m °． 【点睛】 本题主要考查了平移的性质，平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是正确的作出辅助线．11．（2019·浙江温州市·七年级期中）如图，已知C 为两条相互平行的直线AB ，ED 之间一点，ABC ∠和CDE ∠的角平分线相交于F ，180FDC ABC ∠+∠=︒．（1）求证：//AD BC ；（2）连结CF ，当//CF AB ，且32CFB DCF ∠=∠时，求BCD ∠的度数；（3）若DCF CFB ∠=∠时，将线段BC 沿直线AB 方向平移，记平移后的线段为PQ （B ，C 分别对应P ，Q ，当20PQD QDC ∠-∠=︒时，请直接写出DQP ∠的度数______．【答案】（1）证明见解析；（2）∠BCD ＝108°；（3）70°【解析】（1）根据两直线平行，内错角相等得出∠EDF ＝∠DAB ，由角平线的定义得出∠EDF ＝∠FDC ，最后根据同旁内角互补，两直线平行进行求证；（2）设∠DCF ＝x ，则∠CFB ＝1.5x ，由两直线平行，内错角相等得出∠ABF ＝1.5x ，由角平分线的定义得出∠ABC ＝3x ，最后利用两直线平行，同旁内角互补得出关于x 的方程，求解即可； （3）画出图形，根据两直线平行，同旁内角互补得出∠CDF ＝∠CBF ，由角平分线的定义与已知条件可求出∠ABC 与∠FDC ，由平移的性质与平行公理的推论得出AD ∥PQ ，最后根据两直线平行，同旁内角互补列式求解．解：（1）证明：∵AB ∥DE ，∴∠EDF ＝∠DAB ，∵DF 平分∠EDC ，∴∠EDF ＝∠FDC ，∴∠FDC ＝∠DAB ，∵∠FDC+∠ABC＝180°，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∴AD∥BC；（2）∵32CFB DCF∠=∠，设∠DCF＝x，则∠CFB＝1.5x，∵CF∥AB，∴∠ABF＝∠CFB＝1.5x，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABF＝3x，∵AD∥BC，∴∠FDC+∠BCD＝180°，∵∠FDC+∠ABC＝180°，∴∠BCD＝∠ABC＝3x，∴∠BCF＝2x，∵CF∥AB，∴∠ABC+∠BCF＝180°，∴3x+2x＝180°，∴x＝36°，∴∠BCD＝3×36°＝108°；（3）如图，∵∠DCF＝∠CFB，∴BF∥CD，∴∠CDF +∠BFD＝180°，∵AD∥BC，∴∠CBF +∠BFD＝180°，∴∠CDF＝∠CBF，∵AD，BE分别平分∠ABC，∠CDE，∴∠ABC＝2∠CBF，∠CDE＝2∠FDC，∴∠ABC ＝∠CDE ＝2∠FDC ，∵∠FDC +∠ABC ＝180°，∴∠ABC ＝120°，∠FDC ＝60°，∵线段BC 沿直线AB 方向平移得到线段PQ ，∴BC ∥PQ ，∵AD ∥BC ，∴AD ∥PQ ，∵∠PQD ﹣∠QDC ＝20°，∴∠QDC ＝∠PQD ﹣20°，∴∠FDC +∠QDC +∠PQD ＝60°+∠PQD ﹣20°+∠PQD ＝180°，∴∠PQD ＝70°，即∠DQP ＝70°．故答案为：70°．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，平行公理的推论，角平分线的定义，平移的性质，熟练运用平行线的判定与性质是解题的关键．12．（2019·浙江绍兴市·七年级期末）已知，直线//AB DC ，点P 为平面上一点，连接AP 与CP ．（1）如图1，点P 在直线AB 、CD 之间，当60BAP ∠=︒，20DCP ∠=︒时，求APC ∠．（2）如图2，点P 在直线AB 、CD 之间AC 左侧，BAP ∠与DCP ∠的角平分线相交于点K ，写出AKC ∠与APC ∠之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点P 落在CD 下方，BAP ∠与DCP ∠的角平分线相交于点K ，AKC ∠与APC ∠有何数量关系？并说明理由．【答案】（1）80APC ︒∠=；（2）12AKC APC ∠=∠，见详解；（3）12AKC APC ∠=∠，见详解 【解析】 （1）过点P 作//A PE B ，根据平行线的性质得到,APE BAP CPE DCP ∠=∠∠=∠，再根据APC APE CPE BAP DCP ∠=∠+∠=∠+∠计算即可；（2）过K 作//KE AB ，根据平行线的性质和角平分线的定义可得出AKC ∠与APC ∠的数量关系；（3）过K 作//KE AB ，根据平行线的性质和角平分线的定义可得出AKC ∠与APC ∠的数量关系.（1）(如图1，过点P 作//A PE B//AB CD////PE AB CD ∴,APE BAP CPE DCP ∴∠=∠∠=∠602080APC APE CPE BAP DCP ︒︒︒∴∠=∠+∠=∠+∠=+=（2）12AKC APC ∠=∠ 如图2，过K 作//KE AB//AB CD////KE AB CD ∴,AKE BAK CKE DCK ∴∠=∠∠=∠AKC AKE CKE BAK DCK ∴∠=∠+∠=∠+∠过点P 作//PF AB同理可得APC BAP DCP ∠=∠+∠BAP ∠与DCP ∠的角平分线相交于点K1111() ,2222BAK DCK BAP DCP BAP DCP APC ∴∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠ 12AKC APC ∴∠=∠（3）12AKC APC ∠=∠如图3，过K 作//KE AB//AB CD////KE AB CD ∴,BAK AKE DCK CKE ∴∠=∠∠=∠AKC AKE CKE BAK DCK ∴∠=∠-∠=∠-∠过点P 作//PF AB同理可得APC BAP DCP ∠=∠-∠BAP ∠与DCP ∠的角平分线相交于点K1111()2222BAK DCK BAP DCP BAP DCP APC ∴∠-∠=∠-∠=∠-∠=∠ 12AKC APC ∴∠=∠ 【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键是作出平行线构造内错角相等计算.13．（2020·宁波市镇海区仁爱中学七年级期中）如图 1，直线 MN 与直线 AB ，CD 分别交于点 E ，F ，∠1 与∠2 互补．(1)试判断直线 AB 与直线 CD 的位置关系，并说明理由；(2)如图 2，∠BEF 与∠EFD 的角平分线交于点 P ，EP 与 CD 交于点 G ，点 H 是 MN 上一点，且GH ⊥EG ，求证：PF ∥GH ；(3)如图 3，在(2)的条件下，连结 PH ，在 GH 上取一点 K ，使得∠PKG=2∠HPK ，过点 P 作 PQ 平分∠EPK 交 EF 于点 Q ，问∠HPQ 的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．(温馨提示：三角形的三个内角和为 180°)【答案】（1）//AB CD ，证明见解析 （2）证明见解析 （3）HPQ ∠的大小不会发生变化，一直都是45︒【解析】（1）根据邻补角的定义可得EFD ∠与∠2 互补，再根据同角的邻角相等，可证得EFD =∠1∠，然后利用同位角相等，两直线平行，可证得结论．（2）利用两直线平行，同旁内角互补，可得180BEF EFD ∠+∠=︒，再利用角平分线的定义去证明90EPF∠=︒，可得EG PF ⊥，然后根据同垂直于一条直线的两直线平行，可证得结论．（3）利用垂直的定义可证得90KGP =︒∠，利用邻补角的定义可证得903EPK=︒+∠∠，再由326=∠∠，可得9026EPK =︒+∠∠，再利用角平分线的定义，可推出456QPK =︒+∠∠，由6=45HPQ QPK =-︒∠∠∠，即可求出HPQ ∠的度数．（1）∵∠1 与∠2 互补，EFD ∠与∠2 互补 ∴EFD =∠1∠∴//AB CD ．（2）∵//AB CD∴180BEF EFD ∠+∠=︒∵∠BEF 与∠EFD 的角平分线交于点 P ∴()1902FEP EFP BEF EFD +=⨯+=︒∠∠∠∠∴90EPF ∠=︒，即EG PF ⊥∵GH EG ⊥∴90EPF EGH ==︒∠∠∴//PF GH ．（3）HPQ ∠的大小不发生变化，理由如下∵EG HG ⊥∴90KGP =︒∠∴()18041801803903EPK KGP =︒-=︒-︒--=︒+∠∠∠∠∠ ∵326=∠∠∴9026EPK =︒+∠∠∵PQ 平分EPK ∠ ∴14562QPK EPK ==︒+∠∠∠∴6=45HPQ QPK =-︒∠∠∠∴HPQ ∠的大小不会发生变化，一直都是45︒．【点睛】本题考查了平行线的综合问题，掌握对顶角的定义、邻补角的定义、垂线的定义、平行线的性质以及判定定理是解题的关键．14．（2021·浙江七年级期中）已知直线AB CD ∥．（1）如图1，直接写出ABE ∠，CDE ∠和BED ∠之间的数量关系．（2）如图2，BF ，DF 分别平分ABE ∠，CDE ∠，那么BFD ∠和BED ∠有怎样的数量关系？请说明理由． （3）若点E 的位置如图3所示，BF ，DF 仍分别平分ABE ∠，CDE ∠，请直接写出BFD ∠和BED ∠的数量关系．【答案】（1）ABE CDE BED ∠+∠=∠；（2）12BFD BED ∠=∠，理由见解析；（3）2360BFD BED ∠+∠=︒，理由见解析【解析】 （1）过点E 作EF AB ∥，根据平行线的性质得1ABE ∠=∠，2CDE ∠=∠，进而即可得到结论；（2）由角平分线的定义得12ABF ABE ∠=∠，12CDF CDE ∠=∠，结合第（1）题的结论，即可求证； （3）过点E 作//EG CD ，由平行线的性质得360ABE CDE BED ∠+∠+∠=︒，结合第（1）题的结论与角平分线的定义得1()2BFD ABE CDE ∠=∠+∠，进而即可得到结论．（1）ABE CDE BED ∠+∠=∠，理由如下：如图1，过点E 作EF AB ∥，∵AB CD ∥，∴EF CD ∥，∴1ABE ∠=∠，2CDE ∠=∠，∴12ABE CDE BED ∠+∠=∠+∠=∠，即ABE CDE BED ∠+∠=∠；（2）12BFD BED ∠=∠．理由如下：∵BF ，DF 分别平分ABE ∠，CDE ∠， ∴12ABF ABE ∠=∠，12CDF CDE ∠=∠， ∴111()222ABF CDF ABE CDE ABE CDE ∠+∠=∠+∠=∠+∠，由（1）得，1()2BFD ABF CDF ABE CDE ∠=∠+∠=∠+∠，又∵BED ABE CDE ∠=∠+∠， ∴12BFD BED ∠=∠；（3）2360BFD BED ∠+∠=︒，理由如下： 如图3，过点E 作//EG CD ，∵//AB CD ，//EG CD ，∴////AB CD EG ，∴180ABE BEG ∠+∠=︒，180CDE DEG ∠+∠=︒， ∴360ABE CDE BED ∠+∠+∠=︒， 由（1）知，BFD ABF CDF ∠=∠+∠， 又∵BF ，DF 分别平分ABE ∠，CDE ∠， ∴12ABF ABE ∠=∠，12CDF CDE ∠=∠， ∴1()2BFD ABE CDE ∠=∠+∠，∴2360BFD BED ∠+∠=︒．【点睛】本题主要考查平行线的性质定理与角平分线的定义，添加辅助线，掌握平行线的性质定理，是解题的关键．15．（2020·浙江湖州市·八年级开学考试）问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG(∠EFG＝90°，∠EGF ＝60°)”为主题开展数学活动．操作发现(1)如图(1)，小明把三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；(2)如图(2)，小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC之间的数量关系；结论应用(3)如图(3)，小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上．若∠AEG＝α，则∠CFG等于______(用含α的式子表示)．【答案】(1)∠1＝40°；(2)∠AEF+∠GFC＝90°；(3)60°﹣α．【解析】（1）依据AB∥CD，可得∠1=∠EGD，再根据∠2=2∠1，∠FGE=60°，即可得出∠EGD13=（180°﹣60°）=40°，进而得到∠1=40°；（2）根据AB∥CD，可得∠AEG+∠CGE=180°，再根据∠FEG+∠EGF=90°，即可得到∠AEF+∠GFC=90°；（3）根据AB∥CD，可得∠AEF+∠CFE=180°，再根据∠GFE=90°，∠GEF=30°，∠AEG=α，即可得到∠GFC=180°﹣90°﹣30°﹣α=60°﹣α．（1）如图1．∵AB∥CD，∴∠1=∠EGD．又∵∠2=2∠1，∴∠2=2∠EGD．又∵∠FGE=60°，∴∠EGD13=（180°﹣60°）=40°，∴∠1=40°；（2）如图2．∵AB∥CD，∴∠AEG+∠CGE=180°，即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠FGC=180°．又∵∠FEG +∠EGF =90°，∴∠AEF +∠GFC =90°； （3）如图3．∵AB ∥CD ，∴∠AEF +∠CFE =180°，即∠AEG +∠FEG +∠EFG +∠GFC =180°． 又∵∠GFE =90°，∠GEF =30°，∠AEG =α，∴∠GFC =180°﹣90°﹣30°﹣α=60°﹣α． 故答案为60°﹣α．【点睛】本题考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补．16．（2017·浙江杭州市·七年级期末）如图所示，已知射线//,//,100CB OA AB OC C OAB ︒∠=∠=.点E 、F在射线CB 上，且满足FOB AOB ∠=∠，OE 平分COF ∠ （1）求EOB ∠的度数；（2）若平行移动AB ，那么:OBC OFC ∠∠的值是否随之发生变化？如果变化，找出变化规律.若不变，求出这个比值；（3）在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使OEC OBA ∠=∠？若存在，求出其度数．若不存在，请说明理由.【答案】（1）40°；（2）:OBC OFC ∠∠的值不变，比值为12;（3）∠OEC=∠OBA=60°. 【解析】（1）根据OB 平分∠AOF ，OE 平分∠COF ，即可得出∠EOB=∠EOF+∠FOB=12∠COA ，从而得出答案；（2）根据平行线的性质，即可得出∠OBC=∠BOA，∠OFC=∠FOA，再根据∠FOA=∠FOB+∠AOB=2∠AOB，即可得出∠OBC：∠OFC的值为1：2．（3）设∠AOB=x，根据两直线平行，内错角相等表示出∠CBO=∠AOB=x，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠OEC，然后利用三角形的内角和等于180°列式表示出∠OBA，然后列出方程求解即可．（1）∵CB∥OA∴∠C+∠COA=180°∵∠C=100°∴∠COA=180°-∠C=80°∵∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF∴∠FOB+∠EOF=12（∠AOF+∠COF）=12∠COA=40°;∴∠EOB=40°;（2）∠OBC：∠OFC的值不发生变化∵CB∥OA∴∠OBC=∠BOA，∠OFC=∠FOA∵∠FOB=∠AOB∴∠FOA=2∠BOA∴∠OFC=2∠OBC∴∠OBC：∠OFC=1：2（3）当平行移动AB至∠OBA=60°时，∠OEC=∠OBA．设∠AOB=x，∵CB∥AO，∴∠CBO=∠AOB=x，∵CB∥OA，AB∥OC，∴∠OAB+∠ABC=180°，∠C+∠ABC=180°∴∠OAB=∠C=100°．∵∠OEC=∠CBO+∠EOB=x+40°，∠OBA=180°-∠OAB-∠AOB=180°-100°-x=80°-x，∴x+40°=80°-x，∴x=20°，∴∠OEC=∠OBA=80°-20°=60°．【点睛】本题主要考查了平行线、角平分线的性质以及三角形内角和定理，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．17．（2019·浙江）某学习小组发现一个结论：已知直线a∥b，若直线c∥a，则c∥b，他们发现这个结论运用很广，请你利用这个结论解决以下问题：已知直线AB∥CD，点E在AB、CD之间，点P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ（1）如图1，运用上述结论，探究∠PEQ与∠APE＋∠CQE之间的数量关系，并说明理由；（2）如图2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，当∠PEQ＝140°时，求出∠PFQ的度数；（3）如图3，若点E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延长线交PF于点F，当∠PEQ ＝70°时，请求出∠PFQ的度数.【答案】(1)∠PEQ＝∠APE＋∠CQE，理由见解析；(2)∠PFQ＝110°；(3)∠PFQ＝145°.【解析】(1) 过E点作EH∥AB,再利用平行线性质，两直线平行内错角相等，可得到∠PEQ＝∠APE＋∠CQE.(2)过点E作EM∥AB，利用平行线性质，角平分线定义可以得到角的关系，可得到∠PEQ＝∠APE＋∠CQE＝140°，再作NF∥AB，利用平行线性质，角平分线定义可以得到角的关系，得到，∠PFQ＝∠BPF＋∠DQF的度数.(3)过点E作EM∥CD，如图，设∠CQM＝α，∴∠DQE＝180°－α，再利用角平分线性质得到∠DQH＝90°－12α，∠FQD＝90°＋12α，再利用平行线性质、角平分线定义∠BPF＝12∠BPE＝55°－12α，作NF∥AB，∠PFQ＝∠BPF＋∠DQF即可求出答案.(1)过E点作EH∥AB,∠PEQ＝∠APE＋∠CQE，理由如下：过点E作EH∥AB ∴∠APE＝∠PEH ∵EH∥AB，AB∥CD ∴EH∥CD∴∠CQE＝∠QEH，∵∠PEQ＝∠PEH＋∠QEH ∴∠PEQ＝∠APE＋∠CQE(2)过点E作EM∥AB，如图，同理可得，∠PEQ＝∠APE＋∠CQE＝140°∵∠BPE＝180°－∠APE，∠EQD＝180°－∠CQE，∴∠BPE＋∠EQD＝360°－(∠APE＋∠CQE)＝220°，∵PF平分∠BPE，QF平分∠EQD ∴∠BPF＝12∠BPE，∠DQF＝12∠EQD∴∠BPF＋∠DQF＝12(∠BPE＋∠EQD)＝110°，作NF∥AB，同理可得，∠PFQ＝∠BPF＋∠DQF＝110°(3)过点E作EM∥CD，如图，设∠CQM＝α，∴∠DQE＝180°－α，∵QH平分∠DQE，∴∠DQH＝12∠DQE＝90°－12α，∴∠FQD＝180°－∠DQH＝90°＋12α，∵EM∥CD，AB∥CD ∴AB∥EM，∴∠BPE＝180°－∠PEM＝180°－(70°＋α)＝110°－α∵PF平分∠BPE ∴∠BPF＝12∠BPE＝55°－12α，作NF∥AB，同理可得，∠PFQ＝∠BPF＋∠DQF＝145°【点睛】本题主要考查了平行线的性质定理，根据性质定理得到角的关系．18．（2018·浙江全国·七年级专题练习）如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB、CD 之间有一动点P，满足0°<∠EPF<180°.（1）试问∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系？解：由于点P是平行线AB、CD之间有一动点，因此需要对点P的位置进行分类讨论；如图1，当P点在EF的左侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为______________，如图2，当P点在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为______________．（2）如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧.①若∠EPF=60°，则∠EQF=_______°.②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由.③如图4，若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q1，∠BEQ1与∠DFQ1的角平分线交于点Q2，∠BEQ2与∠DFQ2的角平分线交于点Q3，此次类推，则∠EPF与∠EQ2018F满足怎样的数量关系？（直接写出结果）【答案】（1）∠AEP+∠PFC=∠EPF，∠AEP+∠PFC+∠EPF=360°；（2）①150；②∠EPF与∠EQF的数量关系为∠EPF+2∠EQF=360°，理由详见解析；③∠EPF+22019∠EQ2018F=360°.【解析】（1）如图1，过点P作PH∥AB，证得AB∥PH∥CD，然后根据平行线的性质证得结论，如图2，过点P作PH∥AB，证得AB∥PH∥CD，然后根据平行线的性质证得结论；（2）①如图3，过点P作PH∥AB，过点Q作QG∥AB，然后根据平行线的性质得到∠EPF=∠AEP+∠CFP，∠EQ F=∠BEQ+∠DFQ，由∠EPF=60°，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，即可求得结论；②同①即可得结论；③由（2）②知∠EPF+2∠EQF=360°，进而∠EPF+22∠EQ1F=360°，∠EPF+23∠EQ2F=360°，由规律即可求得结论.（1）如图1，过点P作PH∥AB，∵AB∥CD，PH∥AB，∴AB∥PH∥CD，∴∠AEP=∠EPH，∠PFC=∠FPH，∵∠EPF=∠EPH+∠FPH，∴∠EPF=∠AEP+∠PFC，如图2，过点P作PH∥AB，∵AB∥CD，PH∥AB，∴AB∥PH∥CD，∴∠AEP+∠EPH=180°，∠CFP+∠FPH=180°，∵∠EPF=∠EPH+∠FPH，∴∠AEP+∠PFC+∠EPF=360°.故答案为∠AEP+∠PFC=∠EPF，∠AEP+∠PFC+∠EPF=360°；（2）①如图3，过点P作PH∥AB，过点Q作QG∥AB，∵AB∥CD，PH∥AB，∴AB∥PH∥CD，∴∠AEP=∠EPH，∠PFC=∠FPH，∵∠EPF=∠EPH+∠FPH，∴∠EPF=∠AEP+∠PFC，同理：∠EQF=∠BEQ+∠DFQ，∵∠EPF=60°，∴∠AEP+∠PFC=60°，∴∠BEP+∠DEP=300°，∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，∴∠BEQ+∠DFQ=150°,∴∠EQF=150°；（2）②∠EPF与∠EQF的数量关系为∠EPF+2∠EQF=360°，理由：由（1）和（2）①可知∠EPF+∠BEP+∠DFP=360°，∠EQF=∠BEQ+∠DFQ，∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，∴∠BEP=2∠BEQ，∠DFP=2∠DFQ，∴∠BEP+∠DFP=2（∠BEQ+∠DFQ）=2∠EQF，∴∠EPF+2∠EQF=360°；（3）由（2）②知∠EPF+2∠EQF=360°，同理可证：∠EPF+22∠EQ1F=360°，∠EPF+23∠EQ2F=360°，……∠EPF+22019∠EQ2018F=360°，故答案为∠EPF+22019∠EQ2018F=360°.【点睛】本题需要作辅助线，考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，图形规律问题，难度较大.需要掌握平行线的传递性：如果两条线都与第三条线平行，那么这两条线平行；平行线性质：两直线平行内错角相等，同位角相等，同旁内角互补.通常探究图形规律问题都是从简单入手，总结发现规律得到答案.19．（2018·浙江全国·七年级单元测试）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°．问题迁移：(1)如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；(2)在(1)的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与点A、B、O三点不重合)，请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．∠=∠+∠，理由见解析；【答案】（1）CPDαβ∠=∠-∠；（2）当点P在B、O两点之间时，CPDαβ∠=∠-∠.当点P在射线AM上时，CPDβα【解析】（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；（2）分两种情况：①点P在A、M两点之间，②点P在B、O两点之间，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出结论．解：(1)∠CPD＝∠α＋∠β，理由如下：如图，过P作PE∥AD交CD于E.∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE＋∠CPE＝∠α＋∠β.(2)当点P在A、M两点之间时，∠CPD＝∠β－∠α.理由：如图，过P作PE∥AD交CD于E.∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，。