导数在初等数学中的应用毕业论文

导数在初等数学中的应用毕业论文

目录

1 引言 (1)

2 研究导数在函数中的应用 (1)

2.1 导数在研究函数的单调性中的作用 (1)

2.2 导数在求函数的极值中的作用 (3)

2.3利用导数求函数的值域 (4)

3 研究导数在判别方程根中的应用 (4)

4 研究导数在不等式中的应用 (6)

5 研究导数在恒等式的证明中的应用 (8)

6 导数在数列方面的应用 (10)

7 研究导数的几何应用 (11)

8 导数解决实际生活中的问题 (12)

8.1 成本问题 (12)

8.2 制作容器 (13)

9 导数在应用时注意的部分问题 (14)

总结 (15)

参考文献 (16)

致谢 (16)

1 引言

导数的思想最初是由法国数学家费马为研究极值问题而引入的，但是于导数概念直接相联系的是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线。这是由英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在研究力学和几何学过程中建立起来的。

高中数学新课程打破先讲极限后讲导数的顺序，直接通过实际背景和具体应用实例，即通过与社会生活联系紧密的速度、膨胀率、增长率等变化率引入导数，旨在用导数反映的变化率研究初等函数的性质。

导数是高等数学的重要概念之一, 它不仅是研究可导函数的重要工具，也是解决数学问题的一个新的重要工具，不仅有利于学生加深对导数概念的理解，突出导数方法简化初等数学复杂问题的特点，加深导数在高中数学特别在高考数学中的应用，拓宽高中数学教学的视野，以达到抛砖引玉的作用。在初等函数中，导数可以解决函数中的极值、最值问题；证明函数的单调性；证明不等式；还可以和解析几何相联系，解决切线问题以及判别方程根的问题等。下面就通过一些实例来谈谈导数在初等数学中的应用。

2 研究导数在函数中的应用

2.1 导数在研究函数的单调性中的作用

过去研究函数的单调性时，一般是根据增函数、减函数的定义来研究，

即所谓的“定义法”，学习了导数以后就可以利用函数的一阶导数的符号来研究函数的单调性，即“求导法”.求导法还可以比较简单地确定函数的单调区间。

一般地，若函数()y f x =的某一个区间可导，当()0f x '> 时，()f x 在此区间为单调增函数，当()0f x '< 时，()f x 为此区间为单调减函数。

例1 证明函数3()1f x x =-+在(,0)-∞上是减函数

证明：2()3f x x '=-，

(,0)x ∈-∞，

()0f x '∴<，

∴3()1f x x =-+在(,0)-∞上是减函数。

例2 求函数22ln y x x =-的单调区间?

解：1(21)(21)4x x y x x x

-+'=-=， 当102

x <<时，0y '<，故函数在1(0,)2单调递减，

当12x >

时，0y '>故函数在1(,)2

+∞骨单调递增， 即函数的单减区间为1(0,)2，单调递增区间为1(,)2+∞， 由以上两例可以看出，利用求导法可以使解题过程更简单。

例3 求下列函数的单调区间：

1．32)(24+-=x x x f ；

2．22)(x x x f -=；

3．).0()(>+=b x

b x x f 分析：为了提高解题的准确性，在利用求导的方法确定函数的单调区间 时，也必须先求出函数的定义域，然后再求导判断符号，以避免不该出 现的失误．

解：1．函数)(x f 的定义域为R ，x x x x x x f )1)(1(44)(4+-=-='，

令0)(>'x f ，得01<<-x 或1>x ，

∴函数)(x f 的单调递增区间为（－1，0）和),1(+∞；

令0)(<'x f ，得1-

∴函数)(x f 的单调递减区间为)1,(--∞和（0，1）．

2．函数定义域为.20≤≤x .2122)2()(222x x x x x x x x f --=-'

-='

令0)(>'x f ，得10<

∴函数)(x f 的递增区间为（0，1）；

令0)(<'x f ，得21<

∴函数)(x f 的单调递减区间为（1，2）。

3．函数定义域为).)((11)(,02

2b x b x x x b x f x +-=-='≠ 令0)(>'x f ，得b x >或b x -<，

∴函数)(x f 的单调递增区间为),(b --∞和),(+∞b ；

令0)(<'x f ，得b x b <<-且0≠x ，

∴函数)(x f 的单调递减区间是)0,(b -和),0(b 。

说明：依据导数在某一区间的符号来确定函数的单调区间，体现了形象 思维的直观性和运动性．解决这类问题，如果利用函数单调性定义来确定 函数的单调区间，运算显得繁琐，区间难以找准．学生易犯的错误是将两 个以上各自独立单调递增（或递减）区间写成并集的形式。

2.2 导数在求函数的极值中的作用

可导函数()f x 在某一点取得极值的充要条件是该点两侧的导数异号.定义在闭区间上的初等函数必存在最值，它只能在区间的端点或区间的极值点取得。

一般地，函数)(x f 在闭区间[]b a ,上可导，则)(x f 在[]b a ,上的最值求法：

(1) 求函数)(x f 在()b a ,上的极值点；

(2) 计算)(x f 在极值点和端点的函数值；

(3) 比较)(x f 在极值点和端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值。

例4 求函数32()231213f x x x x =--+的极大值、极小值?

解：()f x 的导数2()6(2)f x x x '=--，

令()0f x '=解得121,2x x =-=，

()f x 在(,1)-∞-区间单调递增，()f x 在(1,2)-区间单调递增，

()f x 在(2,)+∞区间单调递减，

因此当1x =-时函数有极大值20，当2x =时函数有极小值9。

例5 求函数32()1f x x x x =--+在区间[1,2]-的最大值与最小值。 解：2()321(31)(1)f x x x x x '=--=+-，

令()0f x '=，则得极值点121,13

x x =-=，