导数在初等数学中的应用毕业论文
导数在初等数学中的应用刘永祥
导数在初等数学中的应用刘永祥 荔堡中学摘 要 本文研究的是导数在初等数学中的应用，主要应用在函数问题、不等式问题、解析几何问题以及综合应用问题，导数为这些问题的研究提供了新的视角，新的方法，同时也改变了我们的思维习惯. 关键词 导数;极值;切线;单调性;不等式;目标函数中图分类号 O172.1 文献标识码 A导数是高中数学新课程新增的重点内容之一，是连接初等数学与高等数学的桥梁.导数进入中学数学教材，给传统的中学数学内容注入生机与活力，为中学数学中的问题(如函数问题，不等式问题，解析几何问题等)的研究提供了新的视角，新的方法，新的途径，拓宽了高考的命题空间，也在一定程度上改变了我们的思维习惯.本文就导数在初等数学中的应用举例说明.1 导数在函数中的应用1.1 利用导数研究函数的单调性例1 （2003年全国高考题）设0a >,求函数()()ln f x x a =+,()0,x ∈+∞的单调区间.分析 本题求函数的单调区间,即求()0f x '> 或()0f x '<的x 的取值集合. 解 因为()1f x x a'=-+，由0,0x a >>得()0f x '>等价于()22240x a x a +-+>.下面对进行分类讨论：(1) 当1a >时，()0f x '>在()0,+∞上恒成立.此时函数()f x 在()0,+∞上单调递增. (2) 当1a =时，当1x ≠时有()0f x >.此时函数()f x 在()0,1上单调递增；在()1,+∞上也单调递增.又函数()f x 在1x =处连续，因此函数()f x 在()0,+∞上单调递增.(3) 当01a <<时,由()0f x '>解得2x a <--或2x a >-+因此函数()f x在(()0,22a a ---++∞和内单调递增;在(2a a ---+内单调递减.点评 利用导数求函数的单调区间,其解题方法固定,但它比用单调性的定义证明要简单,也容易理解与掌握.1.2 利用导数求函数的极值、最值.例2 已知()326f x ax ax b =-+在[]1,2-上的最大值为3,最小值为-29.求,.a b分析 求得极值后再与()()1,2f f -比较得最值.在比较和判断最值时，还要对a 进行讨论.解 因为()()2231234f x ax ax a x x '=-=-,令()0f x '=得0x =.又易知0a ≠.于是当0a >时,函数()[]12f x -在，上先增后减,且在0x =处取得极大值.再比较()()1,2f f -得()()12f f ->.所以()()0323229f a b f =⎧=⎧⎪⇒⎨⎨==-⎩⎪⎩ 当0a <时()0f x x '=在处取得极小值.又()()12f f -<.所以()()02922923f a b f =-⎧=-⎧⎪⇒⎨⎨=-=⎩⎪⎩.点评 此题的思路属逆向思维,但仍可根据求函数最值的步骤求,但在判断最值时要分类讨论,避免解题时出现不完整的现象.例3 已知,x y 为正实数,且22240x x y -+=,求xy 的最大值.分析 题中有两个变量,x y 首先应选择一个主要变量,把其表示为某一变量的函数关系,实现问题转化,同时还要根据题设确定变量的取值范围,再利用导数函数的最值.解 由已知等式变形得()221204y x x =->,结合0x >得02x <<.设 ()2t xy =()()22223412412,4x y x x x x x ==-=- 则3232t x x '=-+.令0t '=得1230,2x x ==.又02x <<,当32x =时,34max 1332422t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2764=.所以 ()max xy =点评 (1)当连续函数的极值点只有一个时,相应的极值必为函数的最值(此时区间为开区间);(2)解题的关键在于将求二次函数的最值问题转化为求一元函数的最值问题,另外不能忘记先确定()x y 或的取值范围;(3)实际问题中需建立目标函数,其解决策略与本题类似.1.3 求函数的值域例4求函数y .解 因为240230x x x +≥⎧⇒≥-⎨+≥⎩,所以函数的定义域为[2,).-+∞又因为y '===所以当2x >-时0y '>.所以y =在(2,)-+∞内单调递增.又()21,f -=-且当x →+∞=→+∞.所以函数的值域为[1,)-+∞.2 在解几中的应用2.1 求切线方程,法线方程,公切线方程例5 求过曲线215y x x =++上的点192,2p ⎛⎫⎪⎝⎭的切线方程.解 因为212y x x '=-,所以2154x y ='=,故切线斜率154k =.所以切线方程为()19152,24y x -=-即15480x y -+=.点评 函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线()y f x =在点()0(,)x f x 处的切线斜率,即()0.k f x '=例6 证明()1f x x x =在处可微,则曲线()()11,y f x p x y =在点处的切线、法线方程()()()111y f x f x x x '-=-.()()()1111y f x x x f x -=--' (设()10f x '≠). 证明 如图,曲线()()11,y f x p x y =在点处的切线的斜率等于()1f x ',因为切线通过p 点,故所求的切线方程是()()()111y f x f x x x '-=-.其次因为法线与切线(斜率()1f x ')垂直,故()10f x '≠时法线斜率等于()11f x -',因为法线也通过p 点,故所求的法线是()()()1111y f x x x f x -=--' (设()10f x '≠).例7 (2003年全国高考题)已知抛物线1:2c y x x =+和抛物线22:c y x a =-+,当a 取什么值时,12c c 和有且仅有一条公切线?写出公切线的方程.解 设公切线()1111,l c p x y 切于,()2222,l c p x y 切于,则l 的方程有两种表达式:()()11122y y x x x -=+- ① 或 ()2222y y x x x -=-- ②因为22111222,y x x y x a =+=-+,所以①, ②变为()21122y x x x =+-.或 222y x x x a =-++.于是有122212222x x x x a+=-⎧⎨-=+⎩,消去2x 得2112210x x a +++=.由题意得()4810,a ∆=-+=所以12a =-.此时121213,24x x y y ==-==-.即12,p p 重合.故当1212a c c =-时和有且仅有一条公切线,且公切线方程为14y x =-. 点评 (1)此三例主要考察导数的几何意义,切线方程、公切线方程的表示法及方程的相关知识,这是导数的一种最基本的应用;(2)()0f x '的几何意义是曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线斜率,其切线方程可以表示为()()()000y f x f x x x '-=-.2.2 求函数的解析式例8 设函数()32y f x ax bx cx d ==+++的图象与y 轴的交点为点p ,且曲线在p 点处的切线方程为24120x y +-=,若函数在2x =处取得极值-16,试求函数的解析式,并确定函数的单调递增区间.解 已知切线的方程为2412y x =-+,它与y 轴的交点为()0,12p ,将()0,12p 代入()32f x ax bx cx d =+++得12d =.因为()232f x ax bx c '=++,所以()024k f c '===-切线,所以()322412f x ax bx x =+-+.又因为函数()f x 在2x =处取得极值-16,所以()()20216f f '=⎧⎪⎨=-⎪⎩.即12424018436163a b a a b b +-==⎧⎧⇒⎨⎨+-=-=⎩⎩. 所以()3232412f x x x x =+-+.对()f x 求导数得()23624f x x x '=+-.令()0f x '<得42x -<<.所以函数的单调递增区间为()4,2-.点评 若可导函数()y f x =在0x 处取得极值m,则必有()()00f x mf x =⎧⎪⎨'=⎪⎩.3 在不等式中的应用3.1 处理不等式证明问题例9 (2001年全国高考题)已知,m n 是正整数,且1m n <<.证明()()11nmm n +>+.分析 此题用二项式定理结合排列组合知识解决较难,若构造函数利用其单调性证明,思路简洁,方法更胜一筹.解 所证不等式两边取自然对数得()()l n 1l n 1n m m n +>+,即()()ln 1ln 1m n m n++>.令()()ln 1x f x x+=,考察()f x 的单调性,有()()2ln 11xx x f x x -++'=. 当2x ≥时,()1,ln 1 1.1xx x<+>+所以()0f x '<.又函数()f x 在[2,)+∞上为减函数,得()()ln 1ln 1m n m n++>,所以()()11nmm n +=+.点评 (1)本题构造函数是解题的关键, “构造”是一种重要而灵活的思维方式,解题时要弄清条件的本质特征,有一个明确的方向,以便重新进行逻辑组合;(2)不等式常常与函数联系在一起,因此处理不等式问题离不开导数的应用,特别要注意利用函数的单调性及极(最)值证明不等式.例10 已知,,,a b c R +∈且a+b+c=1,求证45<.分析 此题利用微分中值定理比初等方法简单,拉格朗日中值定理：如果()f x 满足:(1)在闭区间[,]a b 上连续;(2)在开区间(,)a b 内可导,则在(,)a b 内至少有一点,ξ使()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立.证明 由已知条件得0,,1,a b c <<设()f x =(01)x <<,则()f x =1.x >>=+又因为()()()0f x f f x ξ'-= (01)ξ<<,所以()()() 0f x f f x ξ'=+112.x =+<+所以()112x f x x +<<+.分别令,,x a b c =,然后三个不等式相加得3a b c +++()32a b c <+++.所以45<. 3.2 处理含参数的恒成立不等式问题例11 已知不等式42220x ax a +-+>对任意实数x 恒成立,求实数a 的取值范围.分析 本题主要考察求函数极值、最值的方法以及导数的应用意识.解 令()4222f x x ax a =+-+,则()()32444f x x ax x x a '=+=+,下面对a 进行分类讨论：①当0a ≥时,由()0f x '=得0x =,且当0x >时,()0f x '>;当0x <时,()0f x '<.所以()02f a =-+是()f x 的最小值.()0(,)f x >-∞+∞在上恒成立()020f a ⇔=-+>,即2,a <所以02a ≤<.②当0a <时,由()0f x '=得1230,x x x ==从上表可知,()02f a =-+是()f x 的极大值;(f 是极小值,且为()f x 在(),-∞+∞上的最小值.因此()0(,)f x >-∞+∞在内恒成立(22021f aa a ⇔=--+>⇔-<<.所以 20a -<<.综合①, ②可知实数a 的取值范围22a -<<.4 利用导数证明一类组合恒等式例12 求证123123...2nn n n n n C C C nC n -++++=.证明 因为()012233...1nn nn n n n n C C x C x C x C x x +++++=+,两边对x 求导数得()11232123...1n n n n n n n C C x C x nC x n x --++++=+ (1)令1x =得123123...2nn n n n n C C C nC n -++++=.例13 求证()122332223...12nn n n n n C C C n C n n -++++=+. 证明 对例12中的(1)式两边同乘以x 得()11223323...1n n nn n n n C x C x C x nC x nx x -++++=+.两边对x 求导数得()()()121222322123...111n n n n n n n n C C x C x n C x n x n n x x ---++++=++-+. (2)令1x =得()12233212 23...212 nn n n n n n C C C n C n n n --++++=+-()212n n n -=+.5 以导数为切入点的综合应用题例14 向高为h 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量v 与水深h 的函数关系如图1，则水瓶的形状可以是（ ）解我们用v h ∆∆表示体积随高度的变化率,当0h ∆→时,v h∆∆的值就是函数的导数,其几何意义是曲线的切线斜率,题中曲线先陡后平,体现出：vh∆∆先快后慢.故选（B ）.点评 此题属于导数在函数图象中的应用问题,应紧紧抓住两变量的变化关系，结合导数的几何意义解决,更显自然.另外也可求位移函数对时间的导数等其它的物理意义.例15 用总长为14.8m 的钢条制成一个长方形容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m ,那么高为多少时，容器的容积最大？并求出它的最大容积.分析 应建立目标函数,并利用导数求其最大值.解 设容器底面短边长为x m ，则另一边长为(0.5)x +m ，高为14.844(0.5)3.224x x x --+=-.由3.22x ->0和x >0得0<x <1.6.设容器的容积为3ym ,所以(0.5)(3.22)y x x x =+-.(A) (B) (C)(D)令'(0.5)(3.22)(3.22)2(0.5)0y x x x x x x =+-+--+=,得2151140x x --=.解得11x =,2415x =-（不合题意,舍去）.又因为0 1.6,x <<所以当1 1.6x <<时,'0y <.从而知1x =是函数y 的极大值点,且极大值为1 1.5 1.2 1.8⨯⨯=.又因为0x =或 1.6x =时,0y =.所以当1x =时,函数y 有最大值1.83m .这时容器的高为1.2.m点评 本题是传统内容的考题,若用求二次函数的一般方法难以解决,如果用分解因式后配项再用三个数的均值定理也是很难解决的,引导学生用求导的方法解决,以旧代新.在实际问题中,有时会遇到函数在某区间内只有一个极值点,那么可不与端点比较即可断定该极值为最值.例16 有一杠杆的支点在它的一端,而在距支点1m 处挂一个490kg 的物体,同时加力于杆的另一端,使杠杆保持水平,若杠杆本身每米重为5kg ,求最省力的杆长?解 设杆长为x m ,则杆重为5x kg ,杆AB 的中点D 即为重力作用点,由杠杆原理知：49052xFx x =+⋅.所以249055490,22x F x F x x'=+=-. 令0x F '=得14x =.从以上几例我们不难发现,对导数的考察,高考中往往用新旧结合,以旧代新或以新方法去解决问题的方法去进行命题,在新课程高考试卷中应用了求导数的方法处理函数的极值、最值、函数的单调性和有关不等式问题及相关综合应用的问题,将新增内容和传统内容有机结合设问,已形成高考命题的一道独特的风景线.这一命题思路应引起广大师生的注意,使学生能够获到最佳解题途径.参 考 文 献[1]华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M]. 第三版.北京:高等教育出版社.[2]导函数的应用微积分学辞典[M].上海:上海教育出版社.[3]沈志刚.导数的应用[J],中学数学研究[A], 2003年第11-12期:32-33. [4]杨爱国.利用导数解初等数学问题[J],中学数学研究[A],2004(4):23-25. [5]李昭平.导数应用的“六大”亮点[J],数学教学研究[A],2004(9):32-34. [6]高俊宇.导数题型分析解析[J],数学教学研究[A],2004(4):22-25.[7]徐永忠.新课程高考命题的热点-导数的应用[J],中学数学研究[A],2003(10):13-14. [8]李昭平.高考对导数问题考察的五大特点[J],中学数学研究[A],2004(5):16-19.。
数学论文导数及应用
数学论文导数及应用导数作为微积分知识的一个重要组成部分，在人们的生活中占据着举足轻重的地位。
接下来店铺为你整理了数学论文导数及应用，一起来看看吧。
数学论文导数及应用篇一【摘要】导数是联系高等数学与初等数学的纽带，高中阶段引进导数的学习有利于学生更好地理解函数的形态，掌握函数思想，搞清曲线的切线问题，学好其他学科并发展学生的思维能力。
因而在中学数学教学及解题过程中，可以利用导数思想解决诸如函数(解析式、值域、最(极)值、单调区间等)问题、切线问题、不等式问题、数列问题以及实际应用等问题。
【关键词】导数;新课程;应用导数在现行的高中数学教材中处于一种特殊的地位，是联系高等数学与初等数学的纽带，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具。
一、导数在高中数学新课程中的地位《普通高中数学课程标准》指出：高中数学课程是由必修课程和选修课程两部分构成的。
必修课程是整个高中数学课程的基础，选修课程是在完成必修课程学习的基础上，希望进一步学习数学的学生根据自己的兴趣和需求选修。
选修课程由系列1、系列2、系列3、系列4等组成。
在系列1和系列2中都选择了导数及其应用。
显然，导数的重要性不言而喻。
二、导数在解题中的应用导数作为高中新教材的新增内容，有广泛的应用性，为解决函数、切线、不等式、数列、实际等问题带来了新思路、新方法，使它成为新教材高考试题的热点和命题新的增长点。
(一)利用导数解决函数问题利用导数可以求函数的解析式，求函数的值域，求函数的最(极)值，求函数的单调区间。
例1 设函数y=ax3+bx2+cx+d的图像与y轴交点为P点，且曲线在P点处的切线方程为12x-y-4=0，若函数在x=2处取得极值0，确定函数的解析式。
解因为函数y=ax3+bx2+cx+d的图像与y轴交点为P点，所以P点的坐标为(0，d)，又曲线在P点处的切线方程为y=12x-4，P点坐标适合方程，从而d=-4，又切线斜率k=12，故在x=0处的导数y′|x=0=12，而y′=3ax2+2bx+c，y′|x=0=c，从而c=12，又函数在x=2处取得极值0，所以解12a+4b+12=0，8a+4b+20=0。
浅谈导数及其应用 毕业论文
河北师范大学本科毕业论文（设计）任务书论文（设计）题目：浅谈导数及其应用学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学班级：2008级A班学生姓名：学号： 2008011414 指导教师：职称：教授1、论文（设计）研究目标及主要任务研究目标:通过对微分学中导数概念及其应用的研究，体会导数在数学思想史和科学思想史的应用价值。
主要任务:（1）系统了解微积分理论。
（2）认识微积分的创立的重要意义，挖掘导数概念产生背景。
（3）结合所学专业知识，探索导数的应用价值。
2、论文（设计）的主要内容（1）微积分学产生的时代背景和历史意义。
（2）导数概念产生的背景。
（3）导数在解决相关知识问题中的重要应用。
3、论文（设计）的基础条件及研究路线基础条件：（1）数学学科专业知识（2）英语阅读能力（3）材料分析汇总能力研究路线：导数概念的产生背景——导数的性质——导数的应用4、主要参考文献[1] 史宁中.中学概率与微积分研究.北京：高等教育出版社，2010.[2] 张天德.高等数学同步辅导（上）.济南：山东科学技术出版社，2009.[3] 施光燕.高等数学讲稿.大连：大连理工大学出版社，2008.[4] 数学分析.上册.华东师范大学数学系.北京：高等教育出版社，2001.5、计划进度指导教师: 年月日教研室主任: 年月日河北师范大学本科生毕业论文（设计）开题报告书附页河北师范大学本科生毕业论文（设计）文献综述河北师范大学本科生毕业论文（设计）翻译文章本科生毕业论文设计浅谈导数及其应用作者姓名：王丽娜指导教师：雷建国所在学院：数学与信息科学学院专业（系）：数学与应用数学班级（届）：2012届数学A班二〇一二年五月一日目录中文摘要、关键词 (1)1. 引言 (2)2. 导数 (3)2.1 导数的概念 (3)2.1.1 导数定义 (3)2.1.2 单侧导数 (3)2.1.3 导函数 (3)2.1.4 高阶导数 (4)2.2 导数的意义 (4)2.3 可导函数的性质 (5)2.4 求导法则 (5)2.4.1 基本初等函数的求导公式 (5)2.4.2 导数的四则运算法则 (5)2.4.3 复合函数的求导法则 (6)2.4.4 反函数求导法则 (6)2.4.5 高阶导数的求导法则 (6)2.4.6 隐函数的求导 (6)3. 导数的应用 (8)3.1 导数在解决函数问题中的应用 (8)3.1.1 利用导数可以判定函数的单调性 (8)3.1.2 导数解决函数的极值与最值问题 (9)3.1.3 利用导数可以作出函数的图形 (11)3.1.4 利用导数求函数的值域 (12)3.1.5 利用导数可以求解函数的解析式 (13)3.1.6 利用导数可以判定函数的凸凹性及拐点 (13)3.2 导数在几何上的应用 (13)3.3 用导数解决不等式的证明问题 (15)3.4 用导数研究方程的根的情况 (15)3.4.1 求方程的近似解的方法 (17)3.4.2 判断方程的根的个数问题 (17)3.5 用导数求解极限 (19)3.5.1 0型不定式极限 (19)3.5.2 ∞∞型不定式极限 (20)3.5.3 其他类型的不定式极限 (20)3.6 用导数解决数列中的问题 (21)3.6.1 数列求和 (21)3.6.2 求数列中的最大或最小项 (22)3.7 用导数解决实际问题 (22)4. 结语 (24)参考文献 (25)英文摘要、关键词 (26)浅谈导数及其应用数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导教师雷建国作者王丽娜摘要：导数是微分学的一个基本的概念。
导数在研究初等函数上的应用
其次研 究函数 的单调性 、 极值 、 最值 、 凸凹性 、 点及 函数 作 图等 。最后 选取一 些典 型 的问题 ， 拐 用导数 进行刻 画。
关键词 ： 导数 ； 单调 性 ； 极值 ； 凸凹一 ； 点 ｌ 拐 ＃ －
引 言
ｆ± ２ 二 ！ 兰 （ ！
’
导数是数学分析课程 中最重要 的基本概念之一 ，它反映 了
０
（ ） 出 ｆｘ在 区间 （ ，） １求 （） ａｂ 内的所有驻点 ， 导数不存在 的点 ，
并计算各点 的函数值 ；
（） ２ 求出端点处的函数值 ｆａ和 “ｂ ； （） ） （） ３ 比较以上所有 函数值 ， 中最大 的就是 函数在ｆ，】 的 其 ａｂ上
最大值 ， 的就是函数 在【， 上的最小值。 最小 ａｂ ］
一０一 ） ０ １ 。 已越来越广泛 了，已逐渐 由解决 问题 的辅助地位上升为分析和 区 间 为 （ Ｏ，１ 和 （ ， ） 从 以上二例 可以看出 ， 函数 ｆｘ 的单调性是 函数 的局部状 （） 解决 问题 时 的必 不 可 少 的工 具 。
应先求 出 ｆ ｘ ＝ ， ）Ｏ的点或 ｒ ｘ不存在的 （ （） 导数是依照实际问题为背景提出的概念 。利用 函数 的导数 态 。研究函数 的单调性 ， 这些点把定义域分为若干个小 区间 ， 考查 ｆ ｘ 在各个 区间内 ，） （ 可以用来研究 函数分析性 质， 诸如单调性 、 极值点 、 凹凸性 、 函数 点， 然后根据定理判断 “ｘ在各个小 区间内的单调性。 ） 的渐进线 、 图象等许多性质。着重 阐述运用 导数来研究中学中 的符号 ， 画 ． ２ 常见 的因式分解 、 明恒等式 、 证 曲线 的切线 和法线方程 、 方程根 １ 函数的最值 的讨论等 ， 目的是可 以给中学里解决数学 问题拓展新的思路 ， 可 在生产实践 中， 常会遇到一类 “ 最大 ” “ 、最小” “ 、 最省” 等问 例如厂家生产一种 圆柱形杯 子 ， 就要考 虑在 一定条件下 ， 杯 以使有些数学问题得 到简化 ，希望能给中学 的老师和 同学提供 题 ， 子 的直径和高取多大时 ， 用料最省等。这类 问题就是数学上最值 些可借鉴 的东西。下面就讨论 一下导数在初等数学 中的应用。 １ 导数在研究 函数上的应用 １ 函数 的单调性 ． １ 问题。如何求最大值 、 小值 问题呢？ 最 设 函数 ｙ ｆｘ 在闭 区间【，］ ＝（ ） ａｂ上连续 ， 由闭区间上连续 函数
导数在初等数学中的应用
导数在初等数学中的应用[摘要]导数是微积分的一部分,是微积分中的一个重要概念,是以极限为基础的。
在初等数学中给出了极限、导数的概念和一些相关的结论,但并没有用系统的理论知识推导及证明。
但导数在初等数学中确实处于一中特殊的地位,也可以说是一种解决某些问题的重要工具。
本文就是利用导数的基本知识来解决初等数学中不等式证明方面的几个问题。
[关键词]导数函数不等式初等数学应用许多人认为,大学学习的数学分析对今后我们的从教无任何帮助,而事实上数学分析中的观点可以加深对中学数学课本中概念的理解,可以提高教师自身水平。
在微积分这一章中,可以透彻地学习导数的由来、概念、几何意义。
导数在初等数学里内容虽然不多,但应用广泛,涉及到了函数方面、不等式证明方面、恒等式证明方面、数列方面等实际问题中的应用。
下面就主要探讨一下导数在初等数学不等式证明方面具体的一些应用。
一、求解不等式在中学里我们学习了不等式的解法,在求解的过程中有的计算起来比较麻烦,不容易求解。
但如果我们从函数的出发,将不等式问题转化成函数问题,进一步利用导数来求解,问题将大大简化。
二、证明不等式在中学里学习的不等式证明方法有换元法、分析法、归纳法等基本方法。
但对于部分不等式的证明,从函数的角度出发,通过研究其函数值的大小或其导函数值的大小将不等式转化成函数问题进行证明。
三、求解不等式中参数的范围总之,导数在初等数学中确实处于一种特殊的地位,也可以说是一种解决某些问题的重要工具。
参考文献:[1]华东师范大学数学系.数学分析[M](上).北京:高等教育出版社.[2]耿玉明.导函数法求解与证明不等式例说[J].中学数学研究.[3]高群安.运用导数巧解题[J].中学数学,2022,(4):22-23.[4]秦学锋.微积分在数列求和中的应用[J].数学通报,2001,(2):36.[5]阮体旺.数学方法论.高等教育出版社,1994,1.[6]鲁又文.数学古今谈.天津科学技术出版社,1984,9.[7]林婷.研究性学习在高中数学课堂教学中的实践与思考[J].2022.[8]陶理民.对探究式数学的理解与实践[J].数学通报,2022,(9).。
导数在高中数学的应用论文
导数在高中数学的应用[摘 要]导数是联系高等数学与初等数学的纽带，高中阶段引进导数的学习有利于学生更好地理解函数的性态，掌握函数思想，搞清曲线的切线问题，学好其他学科并发展学生的思维能力．因而在中学数学教学及解题过程中，可以利用导数思想解决诸如函数（解析式、值域、最（极）值、单调区间等）问题、切线问题、不等式问题、数列问题以及实际应用等问题．[关键词]导数 新课程 应用导数在现行的高中数学教材中处于一种特殊的地位，是联系高等数学与初等数学的纽带，是高中数学知识的一个重要交汇点，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具．本课题期望通过对导数在新课程中的地位以及在中学数学解题应用中的探讨，拓展学生的解题思路，提高学生分析问题和解决问题的能力．一、 导数在高中数学新课程中的地位《普通高中数学课程标准(实验)》指出：高中数学课程是由必修课程和选修课程两部分构成的．必修课程是整个高中数学课程的基础，选修课程是在完成必修课程学习的基础上，希望进一步学习数学的学生根据自己的兴趣和需求选修．选修课程由系列1、系列2、系列3、系列4等组成．在系列1和系列2中都选择了导数及其应用．显然，导数的重要性不言而喻．（一）有利于学生更好地理解函数的性态在高中阶段学习函数时，为了理解函数的性态，学生主要学习函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、有界性等．我们知道，函数的这些性质都可以通过函数的图像表示出来，因而，如果能准确地作出函数的图像，函数的性质就一目了然，函数的性态也容易掌握了．如果所涉及的函数是基本初等函数，用描点法就可以作出函数的图像．但是，如果所涉及的函数是非基本初等函数，比如1223-+-=x x x y ，1--=x e y x 等函数，仅用描点法就很难较为准确地作出图像．但是，掌握了导数的知识之后，学生就可以利用函数的一阶导数判定函数的单调区间、极值点、最值点；利用函数的二阶导数判定函数的凹凸区间、拐点；利用极限的思想找出其水平渐近线和垂直渐近线，然后再结合描点法，就能较为准确地作出函数的图像．这样就有利于学生更好地理解函数的性态，同时也拓宽了学生的知识面．（二）有利于学生更好地掌握函数思想数学上的许多问题，用初等数学方法是不能解决的，或者难以解决，而通过数学模型建立函数关系，利用函数思想，然后用导数来研究其性质，充分发挥导数的工具性和应用性的作用，可以轻松简捷地获得问题的解决，这也正体现和显示了新课程的优越性．其实我们不难发现，函数是建立在中学数学知识和导数之间的一座桥梁，不管是在证明不等式，解决数列求和的有关问题，以及解决一些实际应用问题，我们都可以构造函数模型，并且利用导数，来解决相关问题．（三）有利于学生弄清曲线的切线问题学生由于受“圆上某点的切线”的定义的影响，误认为曲线在某点处的切线，就是与曲线有一个公共点的直线．如果学习了导数的定义及其几何意义后，学生就知道)(x f 在点0x x =的切线斜率k ，正是割线斜率在0x x →时的极限，即0)()(lim 0x x x f x f k x x --=→． 由导数的定义，)(x f k '=，所以曲线)(x f y =在点),(00y x 的切线方程是))((000x x x f y y -'=-．这就是说：函数f 在点0x 的导数)(0x f '是曲线)(x f y =在点),(00y x 处的切线斜率[1]．从而，学生就掌握了切线的一般定义：设有曲线C 及C 上的一点P ，在点P 外另取曲线C 上一点Q ，作割线PQ ，当点Q 沿曲线C 趋向点P 时，如果割线PQ 绕点P 旋转而趋向极限位置PT ，那么直线PT 就称为曲线C 在点P 处的切线． （四）有利于学生学好其他学科高中的物理、化学等课程都与数学紧密相关，我们所学的导数是微分学的核心概念，它在物理、化学、生物、天文、工程以及地质学等中都有着广泛的应用．微积分所讨论的基本对象是函数，而且以函数的极限为基础．作为微积分的一个重要的分支——微分学，主要涉及变量的“变化率”问题，对于)(x f y =，导数)(x f '可以解释为y 关于x 的变化率．在学习并且掌握了导数及其应用以后，学生就可以很容易地根据做变速直线运动物体的运动方程：)(t S S =，算出物体的瞬时速度：dt ds t V =)(、瞬时加速度：22)(dt s d t A =；对化学中的反应速度、冷却速度等也都可以通过微积分的方法来解决了．（五）有利于发展学生的思维能力在以前的课程标准中，无论是导数的概念还是应用，更多的是作为一种规则来教、来学．这样造成的后果是：不仅使学生感受不到学习导数有什么好处，反而加重了他们的学习负担．而《普通高中数学课程标准(实验)》就对这一部分内容的教育价值、定位和处理做了一定的变化：即在高中阶段，应通过大量的实例，让学生理解从“平均变化到瞬时变化”、从“有限到无限”的思想，认识和理解这种特殊的极限，通过它了解这种认识世界的思维方式，提高学生的思维能力[2]．再者，还可以让学生体会研究导数所用的思想方法：先研究函数在某一点处的导数，再过渡到一个区间上；在应用导数解决实际问题时，利用函数在某个区间上的性质来研究曲线在某一点处的性质．这种从局部到整体，再由整体到局部的思想方法是很值得学生学习的[2]．总之，通过学习导数，使学生学会以动态的、变化的、无限的变量数学观点来研究问题，而不仅仅是停留在静态的、不变的、有限的常量数学观点上．在学习过程中逐步体会常量与变量、有限与无限、近似与准确、动与静、直与曲的对立与统一，发展学生的辩证思维能力．二、 导数在解题中的应用导数作为高中新教材的新增内容之一，它给高中数学增添了新的活力，特别是导数广泛的应用性，为解决函数、切线、不等式、数列、实际等问题带来了新思路、新方法，为我们展现出了一道亮丽的风景线，也使它成为新教材高考试题的热点和命题新的增长点．这几年的高考命题趋势表明：导数已经由以往的“配角”地位上升到“主角”，成为分析问题和解决问题的重要工具．将导数与传统内容结合，不仅能加强能力的考查力度，而且也使试题具有更广泛的实践意义．下面举例探讨导数的应用．（一）利用导数解决函数问题⒈利用导数求函数的解析式用解析式表示函数关系，便于研究函数的性质，而利用导数求函数的解析式，函数的一些基本性质就会显得更加的明了．例1 设函数d cx bx ax y +++=23的图像与y 轴交点为P 点，且曲线在P 点处的切线方程为0412=--y x ，若函数在2=x 处取得极值0，试确定函数的解析式．解 因为函数d cx bx ax y +++=23的图像与y 轴交点为P 点，所以P 点的坐标为()d ,0，又曲线在P 点处的切线方程为412-=x y ，P 点坐标适合方程，从而4-=d ，又切线斜率12=k ，故在0=x 处的导数120='=x y ，而c bx ax y ++='232，c y x ='=0，从而12=c ，又函数在2=x 处取得极值0，所以⎩⎨⎧=++=++．，020********b a b a 解得2=a ，9-=b ，所以所求函数解析式为4129223-+-=x x x y ．⒉利用导数求函数的值域求函数的值域是中学数学中的重点，也是难点，方法因题而异，不易掌握．但是，如果采用导数来求解，则较为容易，且一般问题都可行．例2 求函数212)(+-+=x x x f 的值域．分析 先确定函数的定义域，然后根据定义域判断)(x f '的正负，进而求出函数)(x f 的值域．解 显然，)(x f 定义域为[)∞+-，21，由于12221222221121)(+++-+=+-+='x x x x x x x f ， 又 1222721222++++=+-+x x x x x ，可见当21->x 时，0)(>'x f ．所以212)(+-+=x x x f 在[)∞+-，21上是增函数．而26)21(-=-f ，所以函数212)(+-+=x x x f 的值域是)⎡+∞⎣，． ⒊利用导数求函数的最（极）值求函数的最（极）值是高中数学的重点，也是难点，是高考经常要考查的内容之一，它涉及到了函数知识的很多方面，用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，也容易掌握，从而进一步明确了函数的性态．一般地，函数)(x f 在闭区间[]b a ,上可导，则)(x f 在[]b a ,上的最值求法：(1) 求函数)(x f 在()b a ,上的极值点；(2) 计算)(x f 在极值点和端点的函数值；(3) 比较)(x f 在极值点和端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值．例3 求函数x x x f 3)(3-=在[]233，-上的最大值和最小值． 分析 先求出)(x f 的极值点，然后比较极值点与区间端点的函数值，即可得该函数在区间[]233，-上的最大值和最小值．解 由于)1)(1(3)1(333)(22-+=-=-='x x x x x f ，则当[)1,3--∈x 或(]23,1∈x 时，0)(>'x f ，所以[]13--，，[]231，为函数)(x f 的单调增区间；当()1,1-∈x 时，0)(<'x f ，所以[]11，-为函数)(x f 的单调减区间． 又因为18)3(-=-f ，2)1(=-f ，2)1(-=f ，89)23(-=f ，所以，当3-=x 时，)(x f 取得最小值18-；当1-=x 时，)(x f 取得最大值2．⒋利用导数求函数的单调区间函数的单调性是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质．函数的单调性与函数的导数密切相关，运用导数知识来讨论函数单调性时，结合导数的几何意义，只需考虑)(x f '的正负即可，当0)(>'x f 时，)(x f 单调递增；当0)(<'x f 时，)(x f 单调递减．此方法简单快捷而且适用面广．例4 求x x x f 3)(3+=的单调区间．分析 应先确定函数)(x f 的定义域，再利用导数讨论其单调区间．解 显然，)(x f 定义域为()()+∞⋃∞-,00,，又2222)1)(1)(1(333)(x x x x x x x f -++=-='， 由0)(>'x f ，得1-<x 或1>x ；又由0)(<'x f ，得01<<-x 或10<<x ，所以)(x f 的增区间为()1-∞-，和()∞+，1，减区间为()01，-和()10，． （二）利用导数解决切线问题⒈求过某一点的切线方程此种题型分为点在曲线上和点在曲线外两种情况，)(0x f '的几何意义就是曲线在点))(,(00x f x P 处切线的斜率，过P 点的切线方程为))(()(000x x x f x f y -'=-，但应注意点))(,(00x f x P 在曲线)(x f y =上，否则易错．例5 求曲线x e y =在原点处的切线方程．分析 此类题型为点不在曲线上求切线方程，应先设出切点坐标，表示出切线方程，把已知点代入方程，求出切点坐标后，再求切线方程．解 显然点)0,0(不在曲线x e y =上，由于x e y ='，则设切点坐标为),(00y x P ，所以00x e y =，则过P 点的切线方程为)(000x x e e y x x -=-．因为点)0,0(在切线上，所以)(000x e e x x -=-，即10=x ，所以),1(e P ，故切线方程为)1(-=-x e e y ，即0=-y ex ．⒉求两曲线切线方程例6 已知抛物线x x y C 221+=：和a x y C +-=22：，如果直线l 同时是1C 和2C 的切线，称l 是1C 和2C 的公切线，求公切线l 的方程．分析 本题也可用常规方法求解，但运算量大，过程烦琐，而利用导数知识无疑为解决这类问题提供了新的，简捷的方法，即先分别求出两曲线的切线，利用它们是同一直线来建立关系求解．解 由x x y C 221+=：，得22+='x y ，所以曲线1C 在点)2,(1211x x x P +的切线方程是))(22()2(11121x x x x x y -+=+-，即211)22(x x x y -+=． (1) 由a x y +-=2，得x y 2-='，所以曲线2C 在点),(222a x x Q +-的切线方程是)(2)(2222x x x a x y --=+--， 即a x x x y ++-=2222． (2) 若l 是过P 与Q 的公切线，则(1)(2)表示的是同一直线，所以⎩⎨⎧+=--=+．，a x x x x 222121222 消去2x ，得0122121=+++a x x ， 由题意知0)1(244=+⨯-=∆a ，所以21-=a ，则2121-==x x ，即点P 与Q 重合，此时曲线1C 和2C 有且仅有一条公切线，且公切线方程为014=+-y x ．（三）利用导数解决不等式问题纵观这几年的高考，凡涉及到不等式证明的问题，其综合性强、思维量大，因此历来是高考的难点．利用导数证明不等式，就是利用不等式与函数之间的联系，直接或间接等价变形后，结合不等式的结构特征，构造相应的函数．通过导数运算判断出函数的单调性，将不等式的证明转化为函数问题．例7 求证：不等式)1(2)1ln(222x x x x x x +-<+<-在()+∞∈,0x 上成立． 分析 通过作差，构造函数)2()1ln()(21x x x x f --+=， 和)1ln()1(2)(22x x x x x f +-+-=， 再通过对)(1x f 和)(2x f 求导来判断．证明 构造函数)2()1ln()(21x x x x f --+=，则 01111)(21>+=+-+='x x x x x f ．得知)(1x f y =在[)∞+，0上单调递增，又因为0>x ，所以0)0()(11=>f x f ，即2)1ln(2x x x ->+成立． 又构造函数)1ln()1(2)(22x x x x x f +-+-=，则 0)1(4211)1(42441)(222222>+=+-+-+-='x x x x x x x x f ． 得知)(2x f y =在[)∞+，0上单调递增，又因为0>x ，所以0)0()(22=>f x f ，即)1ln()1(22x x x x +>+-成立．综上所述，原命题成立．（四）利用导数解决数列问题数列是高中数学中的一个重要部分，而数列求和是中学阶段数列部分的重要内容之一，有许多初等解决方法．事实上数列可看作是自变量为正整数的特殊的函数，所以可以利用数列和函数的关系，再运用导数来解决数列求和的有关问题．例8 求和：12321-++++n nx x x (其中0≠x ，1≠x )．解 注意到1-n nx 是n x 的导数，即1)(-='n n nx x ，可先求数列{}n x 的前n 和x x x x x x x x x n n n--=--=+++11)1(12 ， 然后等式两边同时对x 求导，有12321-++++n nx x x2121)1(1)1()1()1]()1(1[x x n nx x x x x x n n n n n -++-=--+-+-=++．例9 求和：n n n n n n nC C C C )1(32321---+- ．解 因为n n n n n n nn x C x C x C x C x )1(1)1(33221--+-+-=- ． 上式两边对x 求导，有123211)1(2)1(---++-+-=--n n n n n n n n x nC x C x C C x n ，再令1=x ，可以得到0)1(32321=---+-n n n n n n nC C C C ．（五）利用导数解决实际问题利用导数，不仅可以解决函数、切线、不等式、数列问题，而且还可以解决一些实际应用问题．学习的最终目的，是要求学生具有运用导数知识解决实际问题的意识、思想方法以及能力．近几年，高考越来越注重对实际问题的考查，比如最优化问题、最低成本问题等，而利用导数解决这些问题非常方便．例10 甲乙两个村子在一条河的同侧，甲村位于河岸的岸边A 处，乙村位于离河岸km 40的B 处，乙村到河岸的垂足D 与A 相距km 50．两村要在岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲村、乙村的水管费用分别为千米元/3a 、千米元/5a ，问供水站C 建在何处才能使水管费用最省？(图1)分析 本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式．技巧与方法主要有：根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化，构造相应的函数关系，随后用导数的知识来解决问题．解 如图1，设点C 距点D xkm ，则 x AC -=50，40=BD ，2240+=x BC ．总的水管费用为22405)50(3)(++-=x a x a x f (500<<x )．又224053)(++-='x axa x f ，令0)(='x f ，则30=x ．在()500，上，)(x f 只有一个极值点，根据实际问题的意义，知30=x 处取得最小值，此时2050=-=x AC ．所以供水站C 建在距甲村km 20处才能使水管费用最省．三、 结束语导数及其应用是微积分学的重要组成部分，是解决许多问题的有力工具，它全面体现了数学的价值：既给学生提供了一种新的方法，又给学生提供了一种重要的思想．总之，开设导数不仅促进学生全面认识了数学的价值，而且发展了学生的辩证思维能力，也为今后进一步学好微积分打下基础．因此，在高中阶段为学生开设导数及其应用具有深刻的意义．[参考文献][1]华东师范大学数学系．数学分析（上册）．第三版．北京：高等教育出版社，2001．91[2]祁丽娟．谈在高中数学课程中开设导数及其应用的必要性．甘肃教育，2006（4）．48[3]李秋凤．导数在函数问题中的应用．中国科技信息，2006（3）．133–153[4]陈斌．弹好用导数证不等式的前奏．数理化学习（高中版），2006（4）．13–15[5]邓亚轩．利用导数巧求和．数理化学习（高中版），2006（4）．24A Simple Comment on the Application of Derivative in the Senior School MathematicsA B C D x 图1CurriculumXu Chunhua[Abstract]Derivative is the link between Higher mathematics and Elementary mathematics. In the senior school stage, to introduce derivative is advantageous to student to understand the function condition well, to grasp the function thought, to clarify the problem of the curve’s tangent, to learn other subjects and to develop student's thinking ability. Thus, in the process of mathematics teaching and problems solving, we may use the derivative thought to solve some problems, such as function problem (algebra, the value territory, (extremely) value, monotonous sector and so on), tangent problem, inequality problem, sequence problem as well as practical application problem, and so on.[Key words]derivative, new curriculum, application选校网高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库(按ctrl 点击打开)选校网（）是为高三同学和家长提供高考选校信息的一个网站。
导数定义及其在中学数学中的应用 毕业论文
导数定义及其在中学数学中的应用毕业论文一、导数的定义导数是微积分中最基本的概念之一，它是指函数在某一点处的变化率。
更具体地说，设函数y=f(x)，x0为区间I内的一点，当x在x0处取近似于x0的值时对应的函数值之差Δy=f(x0+Δx)-f(x0)与x0处的自变量增量Δx之比，即Δy/Δx的极限为：lim Δx→0 Ε0Δy/Δx=dy/dx=f'(x0)如果这个极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，其导数为f'(x0)。
其中f'(x0)表示函数f(x)在x0处的导数，也可以用dy/dx、 y' 或者 df/dx 表示。
二、导数在中学数学中的应用1. 切线与法线导数的最重要的应用之一是用于求函数在某一点处的切线与法线，这也是导数最基本的应用之一。
在求解中，我们首先求出函数在该点处的导数，然后求出该点处的坐标，进而求解出函数在该点处的切线和法线。
例如，对函数y=x^2，求该函数在点(x0, y0)处的切线和法线，其中x0表示点的横坐标，y0表示点的纵坐标。
解法：首先求出函数y=x^2在点(x0, y0)处的导数：f'(x0)=2x0然后代入点(x0, y0)得：y-y0=f'(x0)(x-x0)化简后得：y-y0=2x0(x-x0)这个公式就是函数y=x^2在点(x0, y0)处的切线的方程式。
同样的，可以通过求解出函数在该点处的导数，进而求解出函数在该点处的法线的方程式。
理论上说，导数是极限，但在实际的计算中，我们一般采用微小的增量等量的方法来近似于导数，而这个近似值就可以被用于实际计算中。
2. 最值的求解另一个导数在中学数学中常见的应用就是求解函数的最大值和最小值。
具体来说，如果函数f(x)在区间[a,b]上连续且可导，且函数在区间内的某点x0处的导数f'(x0)=0或不存在，则f(x)在点x0处取得了最大值或最小值。
因此，我们可以通过求出函数的导数，并找到导数等于0的点或导数不存在的点，就可以求解出函数的极大值和极小值。
本科毕业设计论文--导数在初等数学中的应用
江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文导数在初等数学中的应用Application of Derivative inThe Elementary Mathematics姓名：胡磊学号： 200907010052学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学指导老师：陈冬香（教授）完成时间： 2013年4月25号导数在初等数学中的应用胡磊【摘要】导数是高中数学所接触的一个概念，它广泛地应用于众多数学模块中，如在函数的研究中，导数能更直观的形象的反应函数的部分性质，还有在判断方程的根；不等式的证明、恒等式的证明、数列求和、解析几何中都有广泛的应用。
在部分数学模块中，导数的引入给许多常规问题的解决提供了新的方法，突出导数在解决问题的优越性；并且归纳总结导数在应用时应注意的部分问题。
【关键词】导数初等数学解题方法应用Application of Derivative in the Elementary MathematicsHu Lei【Abstract】Derivative is a concept which is studied in high school mathematics. It is widely used in numerous math modules such as the research of the Function, in which Derivative can reflect Function’s partial properties more directly and magically. What’s more, Derivative also apply to the judgment of the Function Root, the certification of the Inequity and Identity, the summation of Number Sequence and the Analytic Geometry. In some math modules, the introduction of the Derivative provides new ways for many conventional problems which highlights its superiority in problem-solving. In addition, the essay also sums up and summarizes some problems in the application of the Derivative.【Key words】Derivative Mathematic Problem solving method Application目录1 引言 (1)2 研究导数在函数中的应用 (1)2.1 导数在研究函数的单调性中的作用 (1)2.2 导数在求函数的极值中的作用 (3)2.3利用导数求函数的值域 (4)3 研究导数在判别方程根中的应用 (4)4 研究导数在不等式中的应用 (6)5 研究导数在恒等式的证明中的应用 (8)6 导数在数列方面的应用 (10)7 研究导数的几何应用 (11)8 导数解决实际生活中的问题 (12)8.1 成本问题 (12)8.2 制作容器 (13)9 导数在应用时注意的部分问题 (14)总结 (15)参考文献 (16)致谢 (16)1 引言导数的思想最初是由法国数学家费马为研究极值问题而引入的，但是于导数概念直接相联系的是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线。
毕业论文答辩导数在中学数学中的应用
4、导数在解决实际问题中的应用 一些以函数为背景的实际问题，可通过函
数建立模型转化为利用倒数法解决最值问题。
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四、总结
前面我们以导数为主要工具,很容易解决了有 关求切线方程及曲线的相切问题、判断函数的单 调性及凹凸性,同时也提出了一些不等式的证明方 法和基本思路. 总之,导数的应用涉及到很多方面, 以上仅仅讨论了其中的几个方面,现在我们在中学 阶段学习导数的有关知识,可以开阔学生的视野, 今后导数的应用领域会越来越广泛,如导数在经济 领域、医学领域、以及在力学、物理、水力、控 制、生物工程、土木工程等的相关领域的应用.
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二、研究意义、研究方法
1、研究意义： 导数在中学数学中的应用非常广泛，涉及到中学
数学的各个方面。导数是我们研究中学数学的一 个有力工具，它使各个章节的内容联系得更紧密 ，有助于我们对中学数学的深入学习。
2、研究方法： 参考文献及经验总结法。
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三、研究内容
2.导数在函 数中的应用
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1.导数在解决
论文题目
导数在中学数学中的应用
答 辩 人：侯翔巧 专 业：数学与应用数学
指导教师：李友君 日 期：2012年6月2日
.
一、研究背景
今天，导数作为研究函数性态的有力工具， 是对学生进行理性思维训练的良好素材，同时也 是我国高考命题的热点，高考中主要考察利用导 数求函数的单调性、单调区间、极值点、凹凸性 、画图像等许多性质。除此之外，导数在现实中 的重要性，也越来越得到人们的认肯，如在物理 运动学中和微观经济学中边值问题的应用。特别 的在中学利用导数建立数学模型解决优化设计问 题，有利于培养学生创新意识，提高学生分析问 题、解决问题的能力。
y-y0=f’(x0)(x-x0) 法线方程：
导数在初等数学中的应用
Ａ：２ ２ ＋２ ｍ＇ ｈ：２ ２ ＋２ ．
‘
２ 求 函数 的最 值
Ｎ２求函数ｆ ＝ ２ ｘ 。 一 ３ ｘ － １ ２ ｘ ＋ １ ４ 在［ ＿ ３ ， ４ ］ 上 的最值。
得 到 的解 析 式 比较 复 杂 时 ， 求 解 过 程 就会 非 常 麻 烦 ， 此 时 若 能
： １ ． 。 ｆ ） 在［ ０ ， ＋ ｏ 。 ） 上连续， 在（ 一 。 。 ， ０ ］ 内 之 比为 １
可导 ， 且ｆ ＞ Ｄ ， 因此ｆ 在［ Ｏ ， ＋ 。 。 ） 上单调增加 。 从而ｘ ＞ Ｏ 时，
关键 词： 导数 ； 初 等数 学； 复杂问题
导数本是高等数学 的内容， 但 自从高中教材引入导数 内容
【 说明】解决高次方程根 的问题 ， 一般 通过 图形法得 出，
后， 却改变 了初等数学中许 多复 杂问题的解法 ， 不仅凸现 了利用 但有些解析 式的图形并不容易画出， 此 时利用求导数的方法 ，
导数方法可以简化初等 数学中复 杂问题 的特点， 而且潜移 默化 根 据函数的性质便 可获解。
中改变了我们 的思维方式。 本文就几个典型题例， 旨在说明导数 ５ 求 曲线 的切线 问题 在初等数学中解题的强大威力。
１讨论 函数的单调性
例１讨论 函数ｆ ＝ ｅ 的单调性。
例５ 已知函数ｆ ＝ 的切 线 方 程 。 解： 对 函数求导ｆ
：２ 刀２ ＋
ｒ
，，∈（ ０ ， ＋ ∞）
Ａ ｒ ：４ 一
ｒ‘
， Ａ一：４ ＋＿『 ４ Ｖ
，
ｒ
ｌ
导数的实际应用论文2000字
导数在实际生活中的最优化应用摘要：在我们的实际生活中，数学知识的应用无处不在，许多领域都与数学密切相关，如经济领域、医学领域、工业领域、天文领域、工程领域等。
数学中的导数知识是在实际生活中应用比较广泛的。
本文就对实际生活中导数最优化应用的相关问题进行分析和探讨。
关键词：导数；实际生活；最优化应用一、引言将数学知识与实际生活进行结合，可以更好地让人们理解一些较难掌握的知识点、公式以及定理等，是提高人们应用数学知识能力的关键。
导数作为数学知识的重要内容之一，其本身具有强大的实际应用价值，在一些生产和生活领域中，导数的应用可以高效地解决对最大值、最小值以及最优化等问题。
本文对导数知识加以理解和应用，真正将其深入到实际生活中，就具体最优化问题进行科学的解决的相关问题。
二、导数知识概念的有关分析导数是指一个函数的因变量对于自变量的变化率，即当自变量的增量趋于零时，因变量的增强和自变量的增量之商的极限就是导数。
在高等数学微积分中，导数一直是其中一个关键且重要的概念，本身具有较强的基础性特点。
早在十七世纪，导数是作为一个新概念由著名的数学家费马所研究并提出的。
在当时，导数本身主要应用于对函数极值的求解上（最大值与最小值），其相关概念还不够完善和系统。
在十七世纪后期，生产力水平的提高也极大地推动了科学技术的发展，很多著名的数学家对微积分进行了系统性的研究，并且对导数的概念也重新进行了定义。
对于社会生产和科学技术的发展来说，导数本身是一个重要的数学知识。
对于实际生活中的很多问题和很多事物之间的数量关系，很难利用一个数值来进行精确表示，这对于相关研究工作来说具有很大的影响。
通过导数的应用，可以将导数其中的变化率，从而解决了很多问题，因此导数在诸多领域中都得到了全面利用。
例如，在物理领域瞬时速度研究、经济领域中变化率问题、统计领域人口增长率等多方面内容的研究上，导数的应用都获得了很大的成效。
对于一个函数来说，如果其本身存在导数，那么这个函数本身就是可微分的，也就是可导的，这是解决一些实际生活中最优化问题的前提。
导数的应用(论文)
导 数 的 应 用武夷山一中张俊玲《导数》位于高中数学第三册（选修Ⅱ）的第三章，内容不多，但应用却十分灵活。
近几年的高考 中出现了大量考查导数的试题，预计今后还会加大考查力度，因此熟练掌握导数的有关应用是十分必 的。
一、预备知识1、导数的定义：若函数f(x)在x=x 0处及附近有定义，则函数f （x ）在x=x 0处的导数为00000()()()limlim x x x x f x x f x yy f x x x=∆→∆→+∆-∆''===∆∆2、导数的几何意义：曲线y=f(x)在点P （x 0 ，f(x 0)）处的切线的斜率为'f (x 0) 二、导数的应用 1、利用导数求极限 由0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 令x 0＋△x 为x则△x=x －x 0 且当△x →0时，x →x 0 故0000()()()limx x f x f x f x x x →-'=-例1：求极限 2sin sin 22limx x x →--解：设f(x)=sinx ，则'f (x)=cosx故原式='f (2)=cos2 2、利用导数求瞬时速度和加速度 若质点的运动方程为()s s t = 则质点的瞬时速度方程为()v s t '= 质点的瞬时加速度方程为()()a v t s t '''==例2：质点的运动方程为s=t 3，（s 的单位:m ，t 的单位：s ） 求质点在t=3时的速度和加速度。
解：∵s=t 3∴s ′=3t 2，s ″=6t∴质点在t=3时的速度为v=s ′/t=3=27m/s ， 加速度为a=s ″/t=3=18m/s 23、利用导数求和例3：当n ↔N*时，求证：1321232-⋅=++++n nn n n n n nC C C C 证明：由n n n n n n n n x C x C x C x C C x +++++=+ 332210)1(两边分别对x 求导得 12321132)1(--++++=+n n n n n n n x nC x C x C C x n 令x=1得 1321232-⋅=+++n n n n n n n nC C C C4、利用导数求切线曲线y=f(x)在点p(x 0 , f(x 0))处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=- 例4：已知曲线1y x=（1）求曲线在点p （1，1）处的切线方程 （2）求曲线在点Q （1，0）处的切线方程 （3）求满足斜率为－31的曲线的切线方程和切点坐标 解：（1）设x x f y 1)(== 则2'1)(xx f -= ∵p 在曲线上 ∴p 为切点 ∴所求切线斜率k =1)1('-=f 故曲线在点p 处的切线方程为y -1 = -(x-1) 即y = - x ＋2 （2）显然Q 不在曲线上设过点Q 且与曲线相切的切线的切点为A （a ,a1） 则该切线的斜率2'1)(aa f k -== 从而切线方程为)(112a x aa y --=-将Q （1、0）代入方程得a =21故所求切线方程为y = －4x ＋4（3）设切点为A(a ,a 1)，则切线的斜率 3112-=-=ak 解得3±=a 即A （3 ，33）或（－3，－33）故切线方程为)3(3133--=-x y 或 )3(3133+-=+x y 即0323=-+y x 或 0323=++y x[归纳总结] 有关曲线在某一点处的切线问题，满足以下三个关系：○1切点在曲线上；○2切点在切线上；○3切线的斜率等于曲线在切点处的导数。
导数应用论文
导数的应用目录[摘要] (2)一.引言 (2)二．导数的概念 (3)三．导数的求法 (4)1．显函数导数 (4)1．1导数的四则运算： (4)1．2复合函数与反函数求导法则 (4)1．3基本初等函数求导公式 (4)2．隐函数导数 (4)3．由参数方程所确定的函数求导法 (5)4．分段函数的导数 (5)四．导数的性质 (5)五．导数的应用 (6)1．导数在函数中的应用 (6)1．1利用导数判断函数的单调性 (6)1．2利用导数判断函数凹凸性及拐点 (8)1．3利用导数求函数的极值和最值 (10)1．4利用导数知识描绘函数图形 (15)1．5利用导数求参数问题 (18)2．导数在曲线中的应用 (18)3．利用导数研究方程的根 (20)4．应用导数证明不等式 (20)5．导数在数列中的应用 (21)6．利用导数求极限——洛必达法则 (23)6．1“0”型和“∞∞”型 (23)6．2其他形式 (23)7．物理学中的导数 (24)8．经济学中的导数应用 (25)结束语： (26)参考文献： (26)（所有）[摘要]导数是新教材的一个亮点，它是连接初等数学与高等数学的桥梁，用它可以解决许多数学问题，它是近年高考的的热点。
它不仅帮助即将进入大学的高三学生奠定进一步学习的基础，而且在解决有关问题已经成为必用工具。
由于导数的广泛应用，现已成为高考的热点知识本文拟对导数知识的全面归纳，然后通过一些实例全面介绍导数在实际数学中的应用，让人们全面了解导数这一工具的利用[关键字]导数初等数学高等数学应用一.引言导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，是高考的热点，高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出现，高考对这部分容的考查将仍会以导数的应用题为主，如利用导数处理函数的极值、最值和单调性问题和曲线的问题等，考题不难，侧重知识之意。
高考考查导数应用主要有以下三个方面：①运用导数的有关知识研究函数的单调性和最值问题，②利用导数的几何意义，研究曲线的切线斜率。
导数在函数中的应用[论文]
![导数在函数中的应用[论文]](https://img.taocdn.com/s3/m/8d8fbe057cd184254b3535a1.png)
导数在函数中的应用【内容摘要】新课标下，随着导数学习的不断深入，高考要求的不断的提高，导数在高考中显得越来越重要，它已经是高考必考内容之一，尤其在曲线切线方程，函数单调性，极值最值，不等式的证明中发挥重要作用。
【关键词】导数；单调性；切线；几何意义；最值。
导数是高中数学中一个重要内容，导数本身已经成为解决数学问题的重要工具，不论是研究函数的性质，还是解决不等式的问题和方程根的问题，还是解决曲线的切线问题，导数都发挥着非常重要的作用，在近几年的高考中，对导数的考查在逐步加强。
一般的高考对导数的考查形式多样，难易均有，可以在选择题和填空题中出现，主要以导数的运输、导数的几何意义、导数的应用为主，也更容易在解答题中出现，有时候作为压轴题，这是主要考查导数的综合应用，往往与函数、方程、不等式、数列、解析几何等联系在一起。
有关导数在函数中的应用主要类型有：求函数的切线，判断函数的单调性，求函数的极值和最值，利用函数的单调性证明不等式，这些类型成为近两年最闪亮的热点，是高中数学学习的重点之一，也是“新课标”下高考的重点。
一、用导数求函数的切线例题1：已知曲线y=13x3+43.（1）求曲线在点p（2，4）处的切线方程；（2）求曲线过点p（2，4）的切线方程；分析：根据导数的几何意义求解。
【解析】（1）∵y′=x2，∴在点p（2，4）处的切线的斜率k=y′|x=2=22=4，∴曲线在点p（2，4）处的切线方程为y-4=4（x-2），即4x-y-4=0；（2）设曲线y=13x3+43与过点p（2，4）的切线相切于点a（x0，13x30+43），则切线的斜率k=y′| x=x0=x20.∴切线方程为y-（13x30+43）=x20（x-x0），即y=x20·x-23x30+43.∵点p（2，4）在切线上，∴4=2x20-23x30+43，即x30-3x20+4=0，解得x0=-1或x0=2.故所求切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0；方法提升：①在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点p处的切线方程和求曲线过点p的切线方程，在点p处的切线，一定是以点p为切点，过点p的切线，不论点p在不在曲线上，点p不一定是切点.②求过点p的曲线的切线方程的步骤为：先设出切点坐标为（x0，y0），然后写出切线方程y-y0=f′（x0）·（x-x0），最后代入点p的坐标，求出（x0，y0）.注意：在解三次关于x0的方程时，学生困难很大，主要不知如何解。
浅谈导数的应用论文-V1
浅谈导数的应用论文-V1正文内容：导数是微积分的重要概念之一，具有广泛的应用场景。
本文通过对导数的应用进行讨论，旨在向读者展示导数在数学和实际应用中的重要性。
一、导数的定义和基本性质导数可以简单地理解为函数在某个点处的切线斜率，它的具体定义如下：$f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$其中，$f(x)$表示函数，$f'(x)$表示函数在$x$处的导数。
导数具有一些基本性质，包括加法法则、倍法法则、链式法则等。
加法法则表示若$f(x)$和$g(x)$均可导，则$(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)$；倍法法则表示若$f(x)$可导，则$(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$；链式法则表示若$f(x)$和$g(x)$均可导，则$(f\circg)'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)$。
二、导数的应用1. 极值问题导数可以用于判断函数在某个点处的值是否为局部极值，即是否为最大值或最小值。
具体地，若$f'(x_0)=0$且$f''(x_0)>0$（或$f''(x_0)<0$），则$f(x_0)$为函数$f(x)$的一个局部最小值（或最大值）。
2. 函数图像的性质导数可以反映函数图像的一些性质，如函数的单调性、凸凹性等。
具体地，若$f'(x)>0$，则函数$f(x)$在$x$处单调增加；若$f'(x)<0$，则函数$f(x)$在$x$处单调减少；若$f''(x)>0$，则函数$f(x)$在$x$处凹上；若$f''(x)<0$，则函数$f(x)$在$x$处凸上。
3. 最优化问题导数在最优化问题中也有广泛的应用。
例如，在求解函数$f(x)$的最小值时，可以通过求解$f'(x)=0$来找到函数的驻点，然后通过计算二阶导数$f''(x)$来判断是否为最小值。
浅谈导数的应用论文(1)
浅谈导数的应用论文(1)导数，指的是函数在变化过程中的趋势，是微积分中一个重要的概念。
导数的应用十分广泛，包括但不限于优化问题、曲线拟合、函数最值、极值等。
本文将从以下几个方面浅谈导数的应用。
一、优化问题优化问题是导数的一种应用，它旨在获得最优解或最优答案，如最大值或最小值。
导数可以帮助我们确定函数的最值问题。
我们先来看一个例子，求解函数$f(x)=x^2-2x+1$的最小值。
通过对$x$求导数，得到$f'(x)=2x-2$。
然后令$f'(x)=0$，解得$x=1$。
最后将这个$x$值带入原函数中，即可得到$f(1)=0$，因此函数$f(x)$的最小值为0。
二、曲线拟合曲线拟合是导数在物理学和统计学中的一种应用。
在实际生活中，我们常常会遇到需要把某些数据点拟合成函数图形的情况，这就需要用到曲线拟合。
导数可以帮助我们拟合曲线，直观上，导数表示函数变化的速率，这可以用来评估不同点之间的函数斜率，因此我们可以利用导数来构建曲线拟合模型。
三、函数最大值函数最大值是导数在特定应用场景中的一种应用。
我们可以从导数的角度来推导出函数最大值。
求函数最大值时，需要对其求导，找到导数为0的点，然后检查这个点是否是局部最大值。
如果是，则该点就是函数的最大值。
同样的，求函数最小值时，只需找到导数为0的点，检查局部最小值即可。
四、极值问题求解极值问题是导数在微积分学中的一种应用。
极值问题指的是，在指定函数的范围内，如何找到函数的最大值和最小值。
导数可以帮助我们求解这类问题，因为导数能够快速地给出函数的变化趋势和变化率。
因此，可以通过计算导数来确定函数的最值问题，并将其用于求解极值问题。
总之，导数是微积分中的一个重要概念，它在实际问题中具有广泛的应用，如优化问题、曲线拟合、函数最值、极值等。
掌握导数的应用可以帮助我们更好地理解微积分概念，并在解决实际问题时起到重要作用。
论文浅谈导数的应用
浅谈导数的应用摘要：法国数学家费马为研究极值问题而引入了导数的思想，导数是我们进一步学习数学和其他自然科学的基础，是研究现代科学技术中必不可少的工具．我们要明确导数的内涵，知道运用导数思想解题的方法，从而通过提出问题的数学特征，建立导数关系的数学模型．一般地，导数思想是从构造函数利用导数函数的性质，解决不同类型的问题，导数思想在中学数学、高等数学以及我们日常生活中占有极其重要的地位，本文详细介绍导数思想的内涵和本质，使人们对导数的内容有更深的理解，以便在遇到各种问题时能够考虑到导数思想，从而优化解决问题的过程．关键词：极限;导数;微分Shallowly Discusses the Application of DerivativeAbstract:To study extremely problems, French mathematician Fermat brought in derivative idea. Derivative is the basis for us to learn math and other natural science further, an indispensable tool in research of modern science and technology. We should understand the concept and acquire the capacity of solving problems with mathematical ideas and create derivative model according to the mathematical feature of the given problem. On average, we use specific derivative in accordance with definite trait of the various problems. The derivative idea plays an important part in middle school math, advanced math and our daily life. In this chapter, the concept and essence of derivative are introduced to deepen people's understanding in math and help to simplify people's derivative.Key words:Limit; Derivative; Differential0 引言导数]1[来源于人类的社会实践，服务于人类的社会实践，导数是人类进一步学习数学和其他自然科学的基础，用导数来研究函数的性质，是研究现代科学技术中必不可少的工具．导数是在极限概念的基础上建立起来的，是微分学的一个重要概念，也是一个重要的解题方法.学习导数知识可以在实际应用中快速简洁的求曲线的切线方程.导数还是对函数图像与性质的总结和概括，是研究函数单调性的最佳的重要工具，是初等数学和高等数学的重要衔接点．导数还可以解决生产和生活中的最优决策和最优设计问题，即最大值、最小值问题．1 导数的产生和发展导数概念是根据解决实际问题的需要，在极限的基础上建立起来的]9[，它是微分学中最重要的概念．而微分是微分学中又一个重要的概念，它与导数有密切的关系，两者在科学技术中有着广泛的应用．我们知道在一定条件下一个函数在某点可导和可微是等价的，大部分高等数学、经济数学和数学分析课本中都是先引进导数的概念，再引进微分的概念，到底导数和微分这两个概念，哪个概念产生在前，哪个概念产生在后呢？1.1 微分概念的导出背景当一个函数的自变量有微小的改变时，它的因变量一般来说也会有一个相应的改变．微分的原始思想在于寻找一种方法，当因变量的改变也是很微小的时候，能够简便而又比较精确的估计出这个改变量．我们来看一个简单的例子：维持物体围绕地球作永不着地（理论上）的飞行所需要的最低速度称为第一宇宙速度．在中学里利用计算向心加速度的方法已经求出这种速度为7．9千米/秒，现在我们改用另一种思路去推导它．设卫星当前时刻在地球表面附近的A 点沿着水平方向飞行，假如没有外力影响的话，那么它在一秒钟后本应到达B 点，但事实上它要受到地球的引力，因而实际到达的而是C 点．BC =4．9米是自由落体的物体在重力加速度的作用下，第一秒中所走过的距离．容易看出，如果C 点与地心O 的距离是相等的，那么由运动的独立性原理，就可以推断出卫星在沿着地球的一个同心圆轨道运行，也就是作环绕地球飞行了．因此，卫星应具有的最小飞行速度恰好在线段AB 的长度．ABC ∆是直角三角形，OA 和OC 可近似的取为地球的平均半径6371千米，也就是6371000米，于是由勾股定理即可求其加速度． 1.2 产生导数的实际背景从数学的发展历史来看，导数是伴随微分的诞生而顺理成章的产生的．也就是说，人们先有了微分的概念，随后才发现，对于处理微分问题来说，像这么一种特定形式的极限，即导数，是一个有力的工具．从法国数学家费马为研究极值问题而引入了导数的思想，但与导数概念直接联系的是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线．这是由英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在研究力学和几何学过程中建立起来的]3[．用导数思想来处理微分问题]10[．因为一方面，从微分的形式来看，在比较复杂的情况下（比如高阶的微分和导数以及多元函数的微分和导数等），无论是形式的思考还是实际的处理问题由导数入手都要比由微分入手更容易和简单一些，并且导数有它本身的意义，在数学的理论及其实际应用方面都扮演着重要的角色． 1.3 导数的概念1、函数()x f y =在点0x 处的导数可以写成以下形式]4[：()()()0000limx x x f h x f x f x x --+='→2、导数的物理意义和几何意义:函数()x f y =在点x 处的导数是函数在该点处的平均变化率xy∆∆的极限，因而它反映了客观运动的瞬时变化率．在几何学上，()x f y =在某点处的导数()0x f 表示函数()0x f y =的图形在点()00,y x 处的切线斜率，即()0tan x f '=α，其中α是过点()00,y x 的切线的倾角]7[．2 导数的应用2.1 导数在中学数学中的应用在中学数学中，常利用导数的几何意义来求曲线的切线方程，还会用到导数的单调性以及用导数求极值点和最值的问题．由此可见，导数在中学数学中的应用是十分广泛的，不妨通过以下例题来说明．例1]6[ 已知数列{}n a ；()1109+⋅⎪⎭⎫⎝⎛=n a nn ，问数列中是否有最大项？若有，请求出最大项；若没有，请说明理由．解 因为数列是一种特殊的函数关系，是离散的，不能直接求导．所以可设()1109+⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y x()0>x ，同时取对数后求导可得()⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+⎪⎭⎫ ⎝⎛='1110ln 9ln 1109x x y x，令0='y ，得4877.8=x ；当4877.80<<x 时，0>'y ；当4877.8>x 时，0<'y ，且有唯一解；当4877.8=x 时，y '最大；故8=n 或9=n 时，n a 最大； 8981099⎪⎭⎫ ⎝⎛==a a ． 2.11 利用导数求曲线的切线方程归纳起来有两种问题类型，下面我们来系统的分析一下怎么解决这类问题． 情况一：设()x f y =为可导函数，求过()000,y x m 点作C ：()x f y =的切线方程． (1)若()C y x m ∈000,，()x f y =；即()00x f y =．则()0x f k '=，过0m 的切线方程为()()000x x x f y y -'=-．(2)若()C y x m ∉000,，即()00x f y ≠．可设切点()111,y x m ，则()11x f y =过1m 的切线方程为()()()111x x x f x f y -'=-，此切线过0m ．于是可由()()()10110x x x f x f y -'=-解出1x ．因而过0m 的切线方程为 ()()()111x x x f x f y -'=- 或()()010x x x f y y -'=-．情况二：设()x f y =，()x g y =为可导函数，曲线p ：()x f y =与曲线q ：()x g y =相切，求切线方程．解：由于两曲线p ，q 相切，必须假设公切点()000,y x m 满足p m ∈0，q m ∈0，即()00x f y = (1) ()00x g y = (2) 又因为两曲线在公切点0m 处切线的斜率相等，即()()00x g x f '=' (3) 解(1)(2)(3)式，可得公切点()000,y x m 坐标，从而求得公切线方程． 2.12三角函数的问题此类问题同样可以用导数的思想来解决．例如，可以利用导数求三角函数的周期，还可以判断其奇偶性，以及求其单调区间等．下面先考虑两个结论：(1)可导的偶函数的导函数是奇函数，可导的奇函数的导函数是偶函数．证明：设()x f 是可导的偶函数，有()()x f x f =-且()[]()x f x f '='-即()()x f x f '=-'-；所以 ()()x f x f '-=-'；即有()x f 的导数()x f '为奇函数．同理可证奇函数的导函数是偶函数．(2)可导的周期函数，其导数仍是周期函数且原函数的周期是导数的一个周期． 证明：设()x f 为可导的周期函数，其周期为t ，根据周期定义有：()()x f nt x f =+()...2,1,0±±=n ，于是有()()x f nt x f '=+'．例2]6[ 设函数()()ϕ+=x x f 2sin ()0<<-ϕπ，()x f y =图像上一条对称轴是直线8π=x ， (1)：求ϕ;(2)：求函数()x f y =的单调区间;(3)：证明直线025=+-c y x与函数()x f y =的图像不相切．解 (1)因为()()ϕ+='x x f 2cos 2，又因为图像的一条对称轴是直线8π=x ；知08=⎪⎭⎫ ⎝⎛'πf ，则有04cos =⎪⎭⎫⎝⎛+ϕπ．所以24ππϕπ+=+k ； k =1，2…，又0πϕ-<< ，所以πϕ43-=．(2)由前问()⎪⎭⎫ ⎝⎛-='π432cos 2x x f 而0y '>考虑到端点值有322242k x k ππππ≤-≤+，即函数()x f y =的斜率的取值范围为[2,2]-，而直线520x y c -+=的斜率为522>，则直线与曲线的图像不相切．数学是具有高度抽象性和概括性的学科，通过导数可以培养学生的科学概括、深入钻研、自觉纠错的良好的思维品质，可以使学生养成严格的推理习惯和全面分析问题的能力．2.2 导数在高等数学中的应用2.21 利用洛必达法则、泰勒公式求极限例3]2[ 求极限()xxx e x 1101lim -→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+解 因为1110020(1)1(1)lim lim exp ln ln(1)lim exp xx xx x x x x ex e x x x -→→→⎧⎫⎡⎤++⎪⎪⎢⎥=-⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭-+⎧⎫=⎨⎬⎩⎭而利用洛必达法则()()ee x x x xx x xxx x x =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=+-=+--→→→1100201lim 212111lim 1ln lim利用洛必达法则求极限要注意以下几点：验证所求的极限式是不是00或∞∞型．如果不是，要将其转化为00或∞∞型；在求极限之前，应首先利用等价无穷小代换或通过其他变形（如有理化、变量代换）把未定式代换成最简式；洛必达法则可以反复多次使用，只要满足其前提条件即可；如果()()x g x f ''lim 不存在，不能判定()()x g x f lim 也不存在．2.22 利用函数单调性、中值定理、泰勒公式、最值证明不等式此类问题的解决方法两种思路：(1)利用函数的单调性将要证明的不等式的右端的所有项全部移到左端，把其中的某个字母（比如a ）改为x ，并把左端的函数记为()x F ，利用函数的单调性证明()0>x F 或()0<x F ．若要证明的不等式是()()x g x f >，一般是构造函数()()()x g x f x F -=，利用()x F '的符号判断它的单调性．(2)证明数列极限形式，须将离散变量转换为连续变量，再用洛必达法则．如下所示：例4]5[ 求极限211lim(1)nx n n→∞++解 先求函数极限xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→2111lim ，取对数后的极限式为()112lim 12112lim 1ln 1ln lim 111ln lim 2222222=+++=--+++=-++=⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→+∞→+∞→+∞→x x x x xx x x x xx x x x x x x x x x 所以有归结原则可得211lim(1)n x n n →∞++=e x x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→2111lim2.23 函数极值及相关问题例5]7[ 设()x f 在()+∞∞-,上二阶可导且()1≤x f ，()[]()[]40022='+f f ;证明 存在ξ，使得()()0=+''ξξf f ．证明 有题设和欲证的结论，可以将辅助函数设成()()[]()[]22x f x f x F '+=,那么就存在()0,2-∈ξ,使得()()()()2020----='f f f η,同理存在()2,0∈η使得()()()12020≤---='f f f ξ, 则()()()2,40,2≤=≤ηξF F F ，故()x F 在()ηξ,内取得最大值．2.3 导数在经济学中的应用 2.31 常见的经济函数需求函数是指消费者在一定价格条件下对商品的需求，一种商品的需求量Q 与该商品的价格P 密切相关．如果不考虑其他因素的影响，则商品的需求量可以看作是价格P 的函数．即需求函数()P Q Q =．需求量随价格的上升而减少．供给函数是指在某一时期内，生产者在一定价格条件下，愿意并可能出售的产品；一种商品由生产者向社会提供的数量Q 与该商品价格P 有关．在不考虑其他因素的条件下，商品的供给量Q 也可以看作是价格P 的函数．也就是供应函数()p Q Q =．例6]8[ 厂商的总收益函数和总成本函数分别为()230Q Q Q R -=和()122++=Q Q Q C ， 政府对产品的征税.求:(1)厂商纳税前的最大利润及此时的产量和价格？(2)征税收益的最大值及此时的税率t ．(3)厂商纳税后的最大利润及此时的产品价格．解 (1)纳税前的利润函数为()12821230222-+-=++--=Q Q Q Q Q Q L ， 当7=Q 时，利润最大；且()977=L ;此时价格30723p =-=．(2)T tQ =．纳税后的总成本函数为221t C Q Q tQ =+++;税后利润函数为()()()Q C Q R Q L t -=;获得最大利润的条件是()()dQQ dC dQ Q dR t =，由30222Q Q t -=++ 得0284tQ -=;经过纳税后的最大利润的产量为0Q ;于是征税的收益函数为()202841t t tQ T -==，求最大值即可．当014t =（此时072Q =）征税的收益最大，其值为0049T t Q ==．(3)纳税后利润函数()()()tQ Q Q Q C Q R Q L t ---=-=12282．当14=t ，72Q =时，最大利润max 1232L = 此时产品的价格为532．例7]8[ 新产品的推销与广告.1新产品的推销：一种新产品问世，经营者要关心产品的卖出情况，下面我们根据两种不同的假设来估算两种推销的速度：假设1：假设产品以自然推销的方式卖出．换句话说，被卖出的产品实际上起着宣传作用，吸引着未购买的消费者．设产品总数与时刻t 的关系为()t x ，再假设每一产品在单位时间内平均吸引k 位顾客，则()x t 满足微分方程()kx t x =' (4) 设初始条件为()00x x = (5) 则易得到上述微分方程的解为()kt e x t x 0= (6) 这是指数假设，下面我们对结果(6)式进行分析与验证：经过与实际情况比较，发现(6)式的结果与真实销量在初始阶段的增长情况比较相符；在产品卖出之初，0=t 时，显然0=x ，这是由(6)式得的()0=t x ，这一结果与事实不符，产生这一错误结果的原因在于我们假设产品是自然推销的，便不可能进行任何推销．事实上，厂家在产品销售之初，往往是通过宣传等各种方式来推销其产品的；令t →+∞，若针对某种耐用商品而言，这显然与事实不符，事实上，)(t x 往往是有上界的．针对假设1的上述分析的缺陷，我们用下面的假设2来改进．假设2：设需求量的上界为M ，假设经营者可通过其他方式推销产品．这样产品的增长也与尚未购买产品的顾客有关．故()t x '与()x M x -成正比，比例系数为k ，则()t x 满足()()x M kx t x -=' (7) 再加上初始条件()00x x = (8) 利用分离变量方法易求得上述微分方程的解 ()()kMte x M x Mx t x --+=000(9)当0=t 时，若00x ≠，则易从(9)式中得到()0≠t x ，另外在(9)中令t →+∞，易得到()M t x →，这样从根本上解决了假设1的不足．由(7)式易得()0>'t x ，即()t x 是关于时刻t 的单调增加函数，实际情况自然如此，产品的卖出量不可能越来越少，另外对(7)式两端求导得：()()()t x x M k t x '-=''2．故令()0=''t x 得到()20Mt x =；当0t t <时，由()0>'t x ，()()0t x t x <，得()0>''t x ．即函数()t x '单调增加．同理，当0t t >时()t x '单调递减，这说明在销售量小于最大需求量的一半时，销售速度是不断增加的，销售量恰好达到最大需求量的一半时，该产品最为畅销，其后销售速度开始下降． 2.32 广告在当今社会中，广告在商品推销中起着极其重要的作用．当生产者生产出一批产品后，下一步便是思考更快更多的买出产品，由于广告的大众性和快捷性，其在促销活动中备受经营者的青睐．当然，经营者在利用广告这一手段时自然要关心广告与促销到底有何关系，广告在不同时期的效果如何？假设1：独家销售的广告：首先，如下假设：(1)商品的销售速度会因做广告而增加，但当商品在市场上趋于饱和时，销售速度会趋于极限值，这是销售速度将开始下降．(2)自然衰减是销售速度的一种性质，商品销售速度的变化率随着商品销售率的增加而减少．(3)设()S t 为t 时刻商品的销售速度．M 表示销售速度的上限；0λ>为衰减因子常数，即广告作用随时间增加而自然衰减的速度．()A t 为t 时刻的广告水平（以费用表示）.根据上面的假设，我们可以得到：()()()()t S M t S t A p t S λ-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⋅='1 (10)其中p 为响应系数，即()t A 对()t S 的影响力，p 为常数．假设(1)当销售进行到某个时刻时，无论怎样做广告．都无法阻止销售速度的下降，故选择如下广告策略：()0()(0)t A t A t ττ>⎧=⎨<<⎩ 其中A 为常数在[]τ,0时间内，设用于广告的花费为a ，则aA τ=，代入(10)式有()ττλa P S a M P t S ⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++' 令,P a Pa b r c M ττ=+⋅= ;则有()c bS t S =+' (11) 解(11)式得()b cke t S bt +=- (12)给定初始值0(0)S S =，则(12)式成为 ()()bt bt e S e bct S --+-=01 (13) 当t τ>时，由()A t 的表达式，则(10)式变为()S t S λ-=' (14)其解为()()t ket S -=τλ (15)为保证销售速度()S t 不间断，我们在(13)式中取t τ=而得到()S τ，将其作为(14)式的初始值，故(15)式解为()()()t e S t S -=τλτ (16) 这样，联合(13)式与(16)式，我们得到()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤+-=---)()0(10ττττλt e S t e S e b c t S t btbt假设2: 竞争销售的广告 我们做如下假设，(1)两家公司销售同一产品，而市场量()t M 有限.(2)每一公司增加它的销售量是与可获得的市场成正比的，比例系数为i C ，1,2i =. (3)设()i t S 是销售量，1,2i =.()t N 是可获得的市场． 分析：根据题意显然有：()()()()t S t S t M t N 21--=． 由假设(2)有()N C t S 1=' (17)()N C t S 22=' (18) 将上述二式相除，易得()()t S C t S 132'=' (19) 其中231C C C =为常数，对（19）式积分得 ()()4132C t S C t S += (20)4C 为积分常数，假设市场容量()()t e t M βα--=1 ,αβ为常量.则()()()()41311C t S C e t N t -+--=-βα (21) 再将(19)式代入(17)式得()C Be AS t S t ++-='-β11 (22) 其中()311C C A +=；α1C B -=；()41C C C -=α解方程(22)易得()3211k e k e k t S Bt At ++=--代入(20)式，得()3212m e m e m t S Bt At ++=-- (23) 其中i k 及i m (i =1，2，3)均为常数．3结束语导数在数学发展、教学和生活中有其重要的地位，若能在教学中充分发挥导数的作用，对于提高教学质量，培养学生的能力，都是非常有益的；若能在生活中恰当的应用导数，很容易就能解决一些棘手的问题；当然在数学的各个不同分支的教学中如何运用导数，必然会有许多各自不同的特点，就需要我们发挥自己的创造思维，并在实践中不断地用心体会和总结．致谢辞感谢学校培养和教育，院系领导提供的良好的研究条件，以及这三年来各科老师的悉心培育。
数学论文导数及应用范文
数学论⽂导数及应⽤范⽂ 导数的⼏何意义伴随着导数进⼊⾼中数学教材后，给函数图象及性质的研究开辟了⼀条新的途径.下⾯是店铺为你整理的数学论⽂导数及应⽤，⼀起来看看吧。
数学论⽂导数及应⽤篇⼀ ⼀. 利⽤导数的⼏何意义求光滑曲线切线的斜率 函数y=f(x)在点的导数表⽰曲线y=f(x)在点处切线的斜率,这就是导数的⼏何意义。
我们通过例题看⼀下,如何利⽤导数的⼏何意义求光滑曲线切线的斜率。
例题1 求曲线y=x2在点(1,1)处切线的⽅程。
解:由导函数定义 应⽤点斜式⽅程,可得曲线在(1,1)处的切线⽅程:y-1=2(x-1) 即2x-y-1=0 . ⼆. 利⽤导数的物理意义求瞬时速度、加速度、电流强度等。
导数的物理意义没有统⼀的解释,对于不同的物理量,导数有不同的物理意义。
例如,变速直线运动路程函数S对时间t的导数就是瞬时速度;瞬时速度V对时间t的导数就是加速度;通过导体某截⾯的电量Q对时间t 的导数就是电流强度。
下⾯我们看⼀个具体的例题。
例题2 已知物体的运动规律为s=t3(⽶) ,求这个物体在t=2秒时的速度。
解:有导函数的定义 有运动物体运动路程对时间的物理意义可知 将t=2,带⼊上式,得 三. 利⽤导数的符号判别函数在某⼀区间的单调性及利⽤导数证明不等式 导数是对函数的图像与性质的总结与拓展,导数是研究函数单调性极佳、最佳的重要⼯具,⼴泛运⽤在讨论函数图像的变化趋势及证明不等式等⽅⾯。
具体例题如下: 例题3 讨论函数的单调性。
解: ,当x>0时, >0 ;当x<0时, <0 .函数的定义域为 ,因为在内 <0,所以函数在上单调减少;因为在内 >0,所以函数在上单调增加。
例题4 证明当x>0时, 解:设则 , 在x=0时为零,在内均⼤于零,故函数在上单调增加,对于任何x>0,有 .即 所以 四. 利⽤导数研究函数的极值 根据导数在驻点两侧的符号,可以判断函数在该驻点是极⼤值还是极⼩值。
导数在初等数学中的应用
导数在初等数学中的应用
微积分是高等教育学生涉及的一大难关，其中最重要的元素之一就是导数。
想
要理解微积分，最基础却又最重要的，就是要掌握导数。
导数定义为函数的微小变化与其解的微小变化之比，是深入推进大数学的核心
基石，广泛应用于初等数学中，可以为处理一些局部性问题提供有力的支持。
例如，在函数求最大值、最小值时，可以通过求导数计算，直接求得x值，从
而确定函数取最大值或最小值时，其函数值是多少。
另外，空间直线，抛物线，圆，椭圆，曲线等，也可以通过导数的值来判断其函数的特征，比如正弦函数的导数值为cosf(x)，可以用来判断该函数的波峰波谷。
另外，大学生在复数上经常用到极坐标的知识，在极坐标中用到的很多函数及
其求导，如极坐标的关系式到普通坐标的关系式都可以通过求导计算出来，这样可以使得大学生能够更加精准地计算出不同坐标系下函数值之间的关系。
另外，当大学生在求函数的积分时，也需要对导数有深入的研究，以推导出相
关积分公式，比如伽马函数或正弦函数，通过积分求出不定积分，甚至数列的求和等，都是无法绕过导数的计算。
由此可见，导数是初等数学中不可缺少的元素，也是高等教育学生掌握的重中
之重，其应用十分普遍，在数学文章中不可或缺。
对于想要了解微积分相关内容的大学生来说，要想在学习中通过关，对导数的
理解和掌握程度，便正是可以决定是否捱过微积分这一扇大门的重要指标和因素。
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导数在初等数学中的应用毕业论文目录1 引言 (1)2 研究导数在函数中的应用 (1)2.1 导数在研究函数的单调性中的作用 (1)2.2 导数在求函数的极值中的作用 (3)2.3利用导数求函数的值域 (4)3 研究导数在判别方程根中的应用 (4)4 研究导数在不等式中的应用 (6)5 研究导数在恒等式的证明中的应用 (8)6 导数在数列方面的应用 (10)7 研究导数的几何应用 (11)8 导数解决实际生活中的问题 (12)8.1 成本问题 (12)8.2 制作容器 (13)9 导数在应用时注意的部分问题 (14)总结 (15)参考文献 (16)致谢 (16)1 引言导数的思想最初是由法国数学家费马为研究极值问题而引入的，但是于导数概念直接相联系的是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线。
这是由英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在研究力学和几何学过程中建立起来的。
高中数学新课程打破先讲极限后讲导数的顺序，直接通过实际背景和具体应用实例，即通过与社会生活联系紧密的速度、膨胀率、增长率等变化率引入导数，旨在用导数反映的变化率研究初等函数的性质。
导数是高等数学的重要概念之一, 它不仅是研究可导函数的重要工具，也是解决数学问题的一个新的重要工具，不仅有利于学生加深对导数概念的理解，突出导数方法简化初等数学复杂问题的特点，加深导数在高中数学特别在高考数学中的应用，拓宽高中数学教学的视野，以达到抛砖引玉的作用。
在初等函数中，导数可以解决函数中的极值、最值问题；证明函数的单调性；证明不等式；还可以和解析几何相联系，解决切线问题以及判别方程根的问题等。
下面就通过一些实例来谈谈导数在初等数学中的应用。
2 研究导数在函数中的应用2.1 导数在研究函数的单调性中的作用过去研究函数的单调性时，一般是根据增函数、减函数的定义来研究，即所谓的“定义法”，学习了导数以后就可以利用函数的一阶导数的符号来研究函数的单调性，即“求导法”.求导法还可以比较简单地确定函数的单调区间。
一般地，若函数()y f x =的某一个区间可导，当()0f x '> 时，()f x 在此区间为单调增函数，当()0f x '< 时，()f x 为此区间为单调减函数。
例1 证明函数3()1f x x =-+在(,0)-∞上是减函数证明：2()3f x x '=-，(,0)x ∈-∞，()0f x '∴<，∴3()1f x x =-+在(,0)-∞上是减函数。
例2 求函数22ln y x x =-的单调区间?解：1(21)(21)4x x y x x x-+'=-=， 当102x <<时，0y '<，故函数在1(0,)2单调递减，当12x >时，0y '>故函数在1(,)2+∞骨单调递增， 即函数的单减区间为1(0,)2，单调递增区间为1(,)2+∞， 由以上两例可以看出，利用求导法可以使解题过程更简单。
例3 求下列函数的单调区间：1．32)(24+-=x x x f ；2．22)(x x x f -=；3．).0()(>+=b xb x x f 分析：为了提高解题的准确性，在利用求导的方法确定函数的单调区间 时，也必须先求出函数的定义域，然后再求导判断符号，以避免不该出 现的失误．解：1．函数)(x f 的定义域为R ，x x x x x x f )1)(1(44)(4+-=-='，令0)(>'x f ，得01<<-x 或1>x ，∴函数)(x f 的单调递增区间为（－1，0）和),1(+∞；令0)(<'x f ，得1-<x 或10<<x ，∴函数)(x f 的单调递减区间为)1,(--∞和（0，1）．2．函数定义域为.20≤≤x .2122)2()(222x x x x x x x x f --=-'-='令0)(>'x f ，得10<<x ，∴函数)(x f 的递增区间为（0，1）；令0)(<'x f ，得21<<x ，∴函数)(x f 的单调递减区间为（1，2）。
3．函数定义域为).)((11)(,022b x b x x x b x f x +-=-='≠ 令0)(>'x f ，得b x >或b x -<，∴函数)(x f 的单调递增区间为),(b --∞和),(+∞b ；令0)(<'x f ，得b x b <<-且0≠x ，∴函数)(x f 的单调递减区间是)0,(b -和),0(b 。
说明：依据导数在某一区间的符号来确定函数的单调区间，体现了形象 思维的直观性和运动性．解决这类问题，如果利用函数单调性定义来确定 函数的单调区间，运算显得繁琐，区间难以找准．学生易犯的错误是将两 个以上各自独立单调递增（或递减）区间写成并集的形式。
2.2 导数在求函数的极值中的作用可导函数()f x 在某一点取得极值的充要条件是该点两侧的导数异号.定义在闭区间上的初等函数必存在最值，它只能在区间的端点或区间的极值点取得。
一般地，函数)(x f 在闭区间[]b a ,上可导，则)(x f 在[]b a ,上的最值求法：(1) 求函数)(x f 在()b a ,上的极值点；(2) 计算)(x f 在极值点和端点的函数值；(3) 比较)(x f 在极值点和端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值。
例4 求函数32()231213f x x x x =--+的极大值、极小值?解：()f x 的导数2()6(2)f x x x '=--，令()0f x '=解得121,2x x =-=，()f x 在(,1)-∞-区间单调递增，()f x 在(1,2)-区间单调递增，()f x 在(2,)+∞区间单调递减，因此当1x =-时函数有极大值20，当2x =时函数有极小值9。
例5 求函数32()1f x x x x =--+在区间[1,2]-的最大值与最小值。
解：2()321(31)(1)f x x x x x '=--=+-，令()0f x '=，则得极值点121,13x x =-=，又115(1)0;()327f f -=-=；(1)0;(2)3f f ==， ()f x ∴的最大值为3，最小值为0 。
例6 求函数x x x f 3)(3-=在[]233，-上的最大值和最小值。
分析:先求出)(x f 的极值点，然后比较极值点与区间端点的函数值，即可 得该函数在区间[]233，-上的最大值和最小值。
解:由于)1)(1(3)1(333)(22-+=-=-='x x x x x f ，则当[)1,3--∈x 或(]23,1∈x 时，0)(>'x f ，所以[]13--，，[]231，为函数)(x f 的单调增区间； 当()1,1-∈x 时，0)(<'x f ，所以[]11，-为函数)(x f 的单调减区间． 又因为18)3(-=-f ，2)1(=-f ，2)1(-=f ，9)23(-=f ，所以，当3-=x 时，)(x f 取得最小值18-；当1-=x 时，)(x f 取得最大值2。
2.3利用导数求函数的值域求函数的值域是中学数学中的重点，也是难点，方法因题而异，不易掌握．但是，如果采用导数来求解，则较为容易，且一般问题都可行。
例7 求函数212)(+-+=x x x f 的值域。
分析:先确定函数的定义域，然后根据定义域判断)(x f '的正负，进而求出函 数)(x f 的值域。
解:显然，)(x f 定义域为[)∞+-，21，由于 12221222221121)(+++-+=+-+='x x x x x x x f ，又 1222721222++++=+-+x x x x x ， 可见当21->x 时，0)(>'x f ， 所以212)(+-+=x x x f 在[)∞+-，21上是增函数， 而26)21(-=-f ，所以函数212)(+-+=x x x f 的值域是)⎡+∞⎣，。
3 研究导数在判别方程根中的应用利用导数研究方程根的问题，不但使解题过程变得简捷，而且还可以提高同学们对新题型的适应能力。
例8 关于x 的方程0333=-+-m x x 有三个不同的实数根，则m 的取值围 是（ ）A 、（-∞，-1]B 、（-1，5）C 、（1，5）D 、（-∞，1]∪[5，+∞） 分析：首先设x x x f 3)(3-=．求出函数的导数，然后根据导数与单调区间 的关系确定函数的单调区间，再分析可知)(x f y =图象的大致形状及走向， 可知函数图象的变化情况，可知方程有三个不同的实根，求得实数m 的围。
解：原方程化为：m x x -=-333，设x x x f 3)(3-=，)1)(1(333)3()(23-+=-='-='∴x x x x x x f ，令0)(>'x f ，解得：1>x 或1-<x ，0)(<'x f ，解得：11<<-x ，∴)(x f ）在1-=x 取极大值4，在1=x 时取极小值-2，根据)(x f 的大致图象的变化情况，有三个不同的实数解时，-2＜m -3＜4，解得a 的取值围是-1＜m ＜5，故选B 。
例9 设函数f(x)=−+6x −a⑴对于任意的实数x ,(x)≥m 恒成立,求m 的最大值。
⑵若方程f(x)=0有且仅有一个实根,求a 的取值围。
解: ⑴ 略⑵(x)=3−9x+6=3(x−1)(x−2) ，因为当x<1时,(x)>0 ;当1<x<2时 ,(x)<0 ;当x>2时,(x)>0，所以当x=1时, f(x)取得极大值,f(1)= − a ;当x=2时f(x)取得极小值 f(2)=2−a，y=f(x)草图如下:要使f(x)=0有且仅有一个实根,必须且只需f(x)取得极小值 f(2)>0或f(x) ，取得极大值f(1)<0 解得,a>或a<2 。
变式引申①若方程f(x)=0有且仅有两个实根,求a的取值围y=f(x)草图如下:要使f(x)=0或f(x) 取得极小值 f(2)=0 解得a=2，变式引申②要使f(x)=0有且仅有三个实根, 求a的取值围y=f(x)草图如下要使f(x)=0有且仅有三个实根,必须且只需解得2从上题的解答我们可看出:用导数来探讨y= f(x)图像与x轴的交点问题,有以下几个步骤:1、构造函数y= f(x)。