等腰三角形应用(讲义)

等腰三角形应用（讲义）
➢ 课前预习
1. 直角三角形全等的判定定理：_________________________．
2. 线段垂直平分线上的点到_____________________________．
3. 角平分线上的点到___________________________________．
4. 已知：如图，线段AB 的端点A 在直线l 上（AB 与l 不垂直），请在直线l
上另找一点C ，使△ABC 是等腰三角形．这样的点能找几个？请你找出所有符合条件的点．
l
A
➢ 知识点睛
1. 垂直平分线相关定理：
①________________________________________________；
②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 已知：如图，P A =PB ．
求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上． 证明：
2. 角平分线相关定理：
①________________________________________________；
②在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
P
B
已知：如图，点P 在∠AOB 内部，PC ⊥OA 于点C ，PD ⊥OB 于点D ，且PC =PD ． 求证：点P 在∠AOB 的平分线上． 证明：
3. 在等腰三角形中，_________________，________________，______________
重合（也称“__________”），这是等腰三角形的重要性质．若在一个三角形中，当中线，高线，角平分线“三线”中有“两线”重合时，则尝试构造___________．
➢ 精讲精练
1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，O 是△ABC 内一点，且OB =OC ． 求证：直线AO 垂直平分线段BC ．
2. 如图，已知PA ⊥OM 于A ，PB ⊥ON 于B ，且PA =PB ．
∠MON =50°，∠OPC =30°，求∠PCA 的大小．
C B O
A
M
N
P
C
B
O
A
3. 如图，已知BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，且交BE 于E ．
求证：AE 平分∠F AC ．
4. 已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ，DF 分别是△ABD 和△ACD 的
高．
求证：AD 垂直平分EF ．
O
F E
A F
E D C A
5. 如图，在△ABC 中，点E 在AB 上，AE =AC ，连接CE ，点G 为EC 的中点，
连接AG 并延长交BC 于D ，连接ED ，过点E 作EF ∥BC 交AC 于F ．求证：EC 平分∠DEF ．
6. 已知：如图，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，
CD ，BE 交于点O ．
求证：AB =AC ．
G F
E C A
O
E
C
7.已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交
BD的延长线于E，若CE=5 cm，求BD
8.如图，在△ABC中，延长BC到D，使CD=AC，连接AD，CE平分∠ACB，
交AB于E，且AE=BE．
A
求证：BC=CD．
E
B
C
D
9. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，若要在直线BC 或AC 上取一点P ，使
△ABP 是等腰三角形，符合条件的点P 有________个．
C B
A
10. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A ，B 是两个格点，
若点C 也是图中的格点，且使得△ABC 为等腰三角形，则符合条件的点C 有________个．
【参考答案】
➢课前预习
1．SAS，SSS，ASA，AAS，HL
2．这条线段的两个端点的距离相等
3．这个角的两边的距离相等
4．这样的点有4个
➢知识点睛
1．线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等2．角平分线上的点到这个角的两边距离相等
3．顶角的平分线底边上的中线底边上的高三线合一等腰三角形
➢精讲精练
1.证明略（提示：利用等腰三角形“三线合一”）
2. 55°，证明略
3. 证明略（提示：过点E 作EM ⊥BF 于M ，EN ⊥BD 于N ，EP ⊥AC 于P ，证EP =EM ）
4. 证明略（提示：利用等腰△DEF “三线合一”，证明AD 垂直平分EF ）
5. 证明略
6. 证明略（提示：连接BC ，证△ABC 是等边三角形）
7. BD =10 cm （提示：延长BA 交CE 的延长线于F ，先证△BCF 是等腰三角形，
再证△ADB ≌△AFC ）
8. 证明略（提示：过点E 作EF ⊥AC 于F ，EG ⊥BC 于G ，证明
△ABC 是等腰三角形） 9. 6个，作图略（两圆一线） 10. 8个，作图略（两圆一线）
等腰三角形应用（随堂测试）
1. 如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB ，BD ⊥CD ，∠A =∠ABD ．若AC =5，
BC =3，则BD 的长为___________．
A
B C
D
2. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是边BC ，AC 上的点，AE =DE ， DF ⊥AB
于点F ，DG ⊥AC 于点G ，且DF =DG ． 求证：DE ∥AB ．
G
F
E A B D
C
【参考答案】
1．1
2．证明略（提示：连接AD，证明AD是∠BAC的角平分线，再根据等腰对等角倒角相等，最后根据内错角相等，得到两直线平行）。