9-5 数学分析全套课件

b
b
a f ( x)dx a g( x)dx
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gln(imx)
1
在0 f
[(an
,
xb)]d上x 不变号,
f ( )
则 [a, b], 使
b
f (x)g(x)dx
f ( )
b
g( x) d x.
a
a
O
a
b
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§5 微积分学基本定理
一、变限积分与原函数的存在性 二、换元积分法与分部积分法
三、泰勒公式的积分型余项
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Rn( x)
f (n1) ( )
(n 1)!
(
x
x0
)n1
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3. 积分余项
定理9.14 设 f ( x) 在 x0 的某邻域 U( x0 )内有 n 1 阶连续导数, 则
f ( x) Pn( x) Rn( x),
其中 Pn( x) 为 f ( x) 的 n 阶泰勒多项式, 余项为
2
a 0
f ( x)dx ,
a
0
f 为偶 f 为奇
例4
1 2x2
1求1
1
0
ln11(x1cxoxs2x2x) ddxx..
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2. 分部积分法
定理9.13（定积分分部积分法）
若 u(x),v(x)为 [a, b] 上的连续可微函数,则有
b u( x)v( x) d x u( x)v( x) b
一、变限积分与原函数的存在性
定理9.9 ( 变上限定积分的连续性 )若 f 在 [a,b] 上
可积, 则 ( x) x f (t)dt 在 [ a, b]上连续 . a
定理9.10（微积分学基本f 定理) 若 f 在 [a, b] 上
连续,则 ( x) x f (t)dt 在 [a,b]上处处可导,且
( x) d
a x
f (t)dt f ( x), x [a, b].
dx a
y x cos2 tdt 0
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( x) d
x
f (t)dt f ( x), x [a, b].
dx a
例1 求导数 dy
dx
(1) y x2 sin t 2dt
(2)
例2 (3)
求
b
u( x)v( x) d x.
a
a
a
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上次课内容
1. 积分第二中值定理
b
b
a f ( x)g( x)dx g(a)a f ( x)dx g(b) f ( x)dx.
2. 换元积分法
b
a f ( x)dx f ((t))(t)dt.
3. 分部积分法
b u( x)v( x) d x u( x)v( x) b b u( x)v( x) d x.
b
[a
f
,
(x
b]
b
)上dx可 积a g(
x
)dx
则 f (x) g(x)
若f ( x) g( x), 则 b f ( x)dx
b
g( x)dx.
a
a
返回
b
b
a f ( x) d x a f ( x) d x.
例
f在 [a,b] 上连续，f ( x) 0 且
b
f ( x)dx 0
a
求证 f ( x) 0
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二、积分中值定理
定理9.7 ( 积分第一中值定理 )
若 f 在 [a, b]上连续, 则存在 [a,b],使
b
a f ( x)dx f ( )(b a).
y
定理9.8 ( 推广的积分第一中值定理）
例若
f设, g
在f 在[a,[b0,]1上]连连续续，, 且 求
定积分的六个性质 上次课内容
b
b
a k f (x)d x ka f (x)d x.
b
b
b
a ( f ( x) g( x))dx a f (x)dx a g(x)dx.
b
c
b
f
若,ag在ff(,x[ga)d,在bx][上a,a连bf](续上x)，可dfx积 (x)，cf则g( x(fx)dg)x且在
b
a f ( x)dx f ( )(b a).
变限积分
f 在[a,b] 上可积
(x)
x
f (t)dt
连续 .
a
f 在 [a,b] 上连续
(x)
x
f (t)dt
可导
( x) d
a x
f (t)dt f ( x), x [a, b].
dx a
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上次课内容 积分第一中值定理
dx a
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二、积分第二中值定理
定理9.11(积分第二中值定理) 设 f 在[a, b]上可积.
(i) 若函数 g 在 [a, b] 上单调减,且 g( x) 0, 则存
在 [a, b], 使
b
f ( x)g( x)dx g(a) f ( x)dx.
a
a
(ii) 若函数 g 在 [a, b] 上单调增, 且 g( x) 0, 则存
a
a
a
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四、泰勒公式的积分型余项
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x 1!
x0 )
f ( x0 ) ( x 2!
x0 )2
L
f
(n) ( x0 n!
)
(
x
x0
)n
Rn (
x).
1. Peano余项
Rn( x) o(( x x0 )n )
2. Lagrang余项
b
b
在 [a, b], 使 a f ( x)g( x)dx g(b) f ( x)dx.
推论 设 f ( x) 在 [a,b] 上可积,g( x) 在 [a,b] 上单调,
则存在 [a, b], 使
b
b
a f ( x)g( x)dx g(a)a f ( x)dx g(b) f ( x)dx.
ylxim0
x5 tan5 tdt 0ssi0ninx (5x(2xc6o)s3
t )dt
y 2 sin2 xdx 1
x
1
例3
f 在 [0, )上连续，且0
f (t )dt xf ( x) 2
求f (x)
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本次课内容 积分第一中值定理
若 f 在 [a, b]上连续, 则存在 [a,b],使
Rn (
x)
1 n!
x x0
f (n1)(t )( x t )ndt.
4. Chauchy余项
Rn( x)
1 n!
f
(n1) (
)( x
)n( x
x0 ),
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1.定义
可 积性习题课
2.充要条件：
f 在[a,b] 上可积 0 存在[a,b] 的分割T 使
ixi
3.充份条件： T （1）连续函数；（2）单调函数
b
u( x)v( x) d x.
a
a
a
1
例1 求 2 arcsin x dx. 0
π
例2
Jn
2 sinn xdx.
0
求证
Jn
n
n
1
J
n2
,
n
2
.
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本次课内容
1. 换元积分法
b
a f ( x)dx f ((t))(t)dt.
2. 分部积分法
b u( x)v( x) d x u( x)v( x) b
例1 求 (1) 1 1 dx 0 1 3 x
(2)
1
x
1 x2 dx
0
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例2 求证
(1)0 xf (sin x)dx 2 0 f (sin x)dx
(2) 2 f (sin x)dx 2 f (cos x)dx
0
0
例3 f 在 [a, a]上连续，则
a
f
(
x )dx
若 f 在 [a, b]上连续, 则存在 [a,b],使
b
a f ( x)dx f ( )(b a).
变限积分
f 在[a,b] 上可积
(x)
x
f (t)dt
连续 .
a
f 在 [a,b] 上连续
(x)
x
f (t)dt
可导
( x) d
a x
f (t)dt f ( x), x [a, b].
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三、 换元积分法与分部积分法
1. 换元积分法
定理9.12（定积分换元积分法）若 f ( x) 在 [a,b] 上
连续,(t) 在 [ , ] 上连续可微,且
( ) a, ( ) b, a (t) b, t [, ],
则
b
a f ( x)dx f ((t))(t)dt.
（3）只有有限个间断点的有界函数
（4）只有间断点
{an }
且
lim
n
an
存在的有界函数
例1 证明黎曼函数
R(
x
)
1 q
,
x
p q
( p,q 互素 ),
0 , x 0, 1 及 (0, 1) 中的无理数
在 [0, 1] 上可积,且
1
R( x) d x 0.
0
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