高一数学综合测试卷

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2023届山西省朔州市怀仁县第一中学高一数学第一学期期末综合测试试题含解析

若，则，于是，这与矛盾，故舍去.
所以，则，
于是，
两式相减并化简得，由于，
所以，所以 .
综上所述，的取值范围是 .
【点睛】函数在区间上单调，则其值域和单调性有关，若在区间上递增，则值域为；若在区间上递减，则值域为 .
18、（1）；（2） .
【解析】（1）根据对数函数的定义域及单调性求解即可；
【详解】对于A，中位数为和众数相等，故A错误；
对于B，将该组数据从小到大排列为，，则该组数据的分位数为5，故B正确；
对于C，乙组数据，方差为，则这两组数据中较稳定的是乙，故C正确；
对于D，被抽中的30名学生每天平均阅读时间为，故D正确；
故选：A
3、A
【解析】因为，
所以由得
因此，从而的最大值为，故选：A.
因为
，所以
故选：D
11、D
【解析】根据最小正周期判断AC，根据单调性排除B，进而得答案.
【详解】解：对于AC选项，，的最小正周期为，故错误；
对于B选项，最小正周期为，在区间上单调递减，故错误；
对于D选项，最小正周期为，当时，为单调递增函数，故正确.
故选：D
12、C
【解析】代入后根据诱导公式即可求出答案
16．已知函数，若函数的最小值与函数的最小值相等，则实数的取值范围是__________
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．设，函数
（1）若，判断并证明函数的单调性；
（2）若，函数在区间（）上的取值范围是（），求的范围
4、D

2024届湖南省宁乡县第一高级中学数学高一第二学期期末综合测试模拟试题含解析

2024届湖南省宁乡县第一高级中学数学高一第二学期期末综合测试模拟试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数f （x ）＝Asin （ωx +φ）+B （A ＞0，ω＞0，|φ|2π＜）的部分图象如图所示，则f （x ）的解析式为（）A ．f （x ）＝sin （x 6π+）﹣1 B ．f （x ）＝2sin （x 6π+）﹣1 C ．f （x ）＝2sin （x 3π+）﹣1D ．f （x ）＝2sin （2x 3π+）+12．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于5km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东020，灯塔B 在观察站C 的南偏东040，则灯塔A 与灯塔B 的距离为（） A ．52kmB ．3kmC ．5kmD ．10km3．设函数()2sin()f x x ωϕ=+,x ∈R ，其中0ω＞,ϕπ＜.若()26f π=，5()06f π=且()f x 的最小正周期大于2π，则（）A ．34ω=,58πϕ=-B ．34ω=,38πϕ= C ．94ω=,8πϕ=-D ．94ω=,8πϕ=42,3,6，这个长方体的顶点在同一个球面上，则这个球的表面积为（） A ．6πB ．8πC ．12πD ．24π5．已知函数41()x f x e-=，1()ln(2)2g x x =+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（） A ．1ln 24- B ．1ln 24+ C ．2ln 213- D ．12ln 23+ 6．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 ( ) A ．215πB ．320π C ．2115π-D ．3120π-7．若，则向量的坐标是（）A ．（3，－4）B ．（－3，4）C ．（3，4）D ．（－3，－4）8．已知向量a ，b ，且2AB a b =+，56BC a b =-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（） A ．A ，B ，DB ．A ，B ，CC ．B ，C ，DD ．A ，C ，D9．若实数x ，y 满足211x y y x -≥⎧⎨≥+⎩，则z ＝x +y 的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．510．在棱长为1的正方体中1111ABCD A B C D -，点P 在线段1AD 上运动，则下列命题错误的是（）A ．异面直线1C P 和1CB 所成的角为定值 B ．直线CD 和平面1BPC 平行 C ．三棱锥1D BPC -的体积为定值 D ．直线CP 和平面11ABC D 所成的角为定值二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2023-2024学年高一上数学必修一综合测试卷(附答案解析)

解析：当 c＝0 时，A 不成立；当 a＝－1，b＝－2 时，B 不成立；
由不等式的性质知 C 不成立；若 a> b，则一定能推出 a>b，故 D 成
立．
3．命题“∃x∈R，x3－x2＋1>0”的否定是( A )
A．∀x∈R，x3－x2＋1≤0 B．∀x∈R，x3－x2＋1>0
C．∃x∈R，x3－x2＋1≤0 D．不存在 x∈R，x3－x2＋1≤0
的取值范围是( A )
A．[2,6)
B．(2,6)
C．(－∞，2]∪(6，＋∞)
D．(－∞，2)∪(6，＋∞)
解析：①当 a＝2 时，1>0 成立，故 a＝2 符合条件；②当 a≠2 时，
a－2>0，
必须满足 Δ＝a－22－4a－2<0，
解得 2<a<6.由①②可知，a∈
[2,6)．故选 A.
二、多项选择题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小
2
4
sinx
在
1π，3π 22
上单调递减，故
y＝
π，3π 2sin2x 在 4 4 上单调递减，故
题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得 5 分，
部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分)
9．下列函数是偶函数的是( CD )
A．f(x)＝tanx B．f(x)＝sinx C．f(x)＝cosx D．f(x)＝lg|x|
解析：根据题意，依次分析选项：对于 A，f(x)＝tanx，是正切函
解析：存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的否定为全称量词命题“∀
x∈M，綈 p(x)”，故选 A.
4. 22cos375°＋ 22sin375°的值为( A )

2024届炎德英才大联考高一数学第二学期期末综合测试试题含解析

2024届炎德英才大联考高一数学第二学期期末综合测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知tan 2α=，则22sin sin 23cos ααα+-的值为（） A ．25B ．1C ．45D ．852．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC 的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（）A ．13B ．23C ．33D ．233．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4813S S =，则816S S =( ) A ．19B ．14 C ．15D ．2154．已知圆锥的母线长为6，母线与轴的夹角为30°，则此圆锥的体积为（） A ．27πB ．93πC ．9πD ．33π5．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”)，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形.受其启发，某同学设计了一个图形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角形，如图2所示，若7AB =，2DE =，则线段BD 的长为（ )A ．3B ．3.5C ．4D ．4.56．如图是一个正方体的表面展开图，若图中“努”在正方体的后面，那么这个正方体的前面是（）A ．定B ．有C ．收D ．获7．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin a b A =，则B 等于（）A ．75︒B ．60︒C ．45︒D ．308．某个命题与自然数n 有关，且已证得“假设()*n k k N=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”．现已知当7n =时，该命题不成立，那么（） A ．当8n =时，该命题不成立 B ．当8n =时，该命题成立 C ．当6n =时，该命题不成立D ．当6n =时，该命题成立9．若(3,1),(1,),2a b t a b a =-=+⊥（），则t =（） A ．32B ．23C ．14D ．1310．在ABC ∆中，60A ︒∠=，43a =，42b =，则B 等于（）A ．45︒或135︒B ．135︒C ．45︒D ．以上答案都不对二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

河北省任丘第一中学2023届高一数学第一学期期末综合测试试题含解析

对于选项C：的定义域为，的定义域为，这两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以表示相同的函数，故C正确；
对于选项D：的定义域为，的定义域为或，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故D错误.
故选：C
9、B
【解析】在上有解，利用基本不等式求出的最小值即可.
【详解】即在上有解，
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13、（1）
（2）
【解析】（1）化简函数解析式为，再利用余弦函数的性质求函数的值域即可；
（2）由已知得，利用同角之间的关系求得，再利用凑角公式及两角差的余弦公式即可得解.
【小问1详解】
，，
利用余弦函数的性质知，则
【小问2详解】
16．函数f(x)是定义在R上的偶函数，f（x－1）是奇函数，且当时，，则 ________
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．已知平面向量满足: ， |.
（1）若，求的值；
（2）设向量的夹角为，若存在，使得，求的取值范围.
（2）根据线面垂直面，得出线和面的夹角，从而得出线面角的正弦值.
【详解】（1）由，有，从而有，
且
又是边长等于的等边三角形，
.
又，从而有
又平面 .
（2）过点作交于点，连 .
由（1）知平面，得，又平面
是直线与平面所成的角.
由（1），从而为线段的中点，
，
，
所以直线与平面所成的角的正弦值为
【点评】本题需要学生具备扎实的基本功，难度较大

百师联盟山东卷2024届数学高一第二学期期末综合测试模拟试题含解析

百师联盟山东卷2024届数学高一第二学期期末综合测试模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．阅读如图所示的算法框图,输出的结果S 的值为A ．8B ．6C ．5D ．42．如图，在ABC ∆中，23AD AC =，13BP BD =，若AP AB AC λμ=+，则=λμ( )A ．3-B ．3C ．2D ．2-3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人最后一天走的路程为（）. A ．24里B ．12里C ．6里.D ．3里4．已知(,4),(3,2)a x b ==，a ∥b 则x =（）A ．6B ．38-C ．-6D ．385．已知ABC ∆中，10AB =，6AC =，8,BC M =为AB 边上的中点，则CM CA CM CB ⋅+⋅= ( )A ．0B ．25C ．50D ．1006．直线l ：210mx y m +--=与圆C ：22(2)4x y +-=交于A ，B 两点，则当弦AB 最短时直线l 的方程为 A ．2430x y -+= B ．430x y -+= C ．2430x y ++=D ．2410x y ++=7．设函数()f x 是R 上的偶函数，且在()0,∞+上单调递减．若()0.32a f =，(2)b f =，21log 5c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b c a >>8．已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ，且S 8＝92，a 5＝13，则a 4＝ A ．16B ．13C ．12D ．109．设ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，其外接圆半径为2，且有sin sin )22A C A C -+-=，则三角形的面积为（） A．4BCD510．在区间[0,9]随机取一个实数x ，则[0,3]x ∈的概率为( ) A ．29B ．310C ．13D ．25二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

福建省厦门市厦门第一中学2023届数学高一上期末综合测试试题含解析

解，得到答案
【详解】由题意，函数 f x ln 1 x2 x 1，
f
lg2
f
lg
1 2
ln
1 (lg2)2 lg2
ln
1
(lg
1)2 2
lg
1 2
2
ln 1 (lg2)2 lg2 ln 1 (lg2)2 lg2 2 ln1 2 2
故选 C 【点睛】本题主要考查了函数值的求法，函数性质等基础知识的应用，其中熟记对数的运算性质是解答的关键，着重
A.1
B. 1
C. 3 2
D.
1 2
8．已知命题 p：x 为自然数，命题 q：x 为整数，则 p 是 q 的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
9．已知函数 f x ln
1 x2 x
1，则1 2
A.1
B. lg2
C.2 10．已知函数
D.0
，则
（）
A.5
B.2
C.0
D.1
11．下列四个函数中,在其定义域上既是奇函数又是单调递增函数的是
A. y x 1
B. y tan x
C. y x3
D. y 2 x
12．已知向量 a (1, 2) ， b (x,3y 5) ，且 a / /b ，若 x ， y 均为正数，则 xy 的最大值是
故 D 正确. 故选：D. 2、C 【解析】由已知求得球的半径，再由空间中两点间的距离公式求得|AB|，则答案可求【详解】∵由已知可得 r 12 22 22 3 ，
而|AB| (1 2)2 (2 2)2 (2 1)2 3 2 ，
∴|AB| 2 r

高中数学新教材必修第一册综合测试数学试题(含参考答案)

新教材必修第一册综合测试数学试题（含答案）高一数学本试卷共4页,22小题,全卷满分150分,考试时间120分钟｡一､单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.(1)集合2{|20}A x x x =--,{|10}B x x =-<,则()A B ⋂=A.{|1}x xB.{|11}x x -<C.{|1}x x <-D.{|21}x x -<(2)函数为()f x =的定义域( ) A.1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B.1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C.()1,00,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭ D.()1,00,2⎡⎫-⋃+∞⎪⎢⎣⎭(3)“0lgx <”是“2x <”的 ( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(4)已已知知512x log =,1012y ⎛⎫= ⎪⎝⎭,132z =,则( )A.x y z <<B.x z y <<C.y x z <<D.z x y <<(5)下列函数中,既是偶函数又在区间()0,+∞上单调递增的函数是( ) A. 1||y lnx = B.||2x y =C.y cosx =D.3y x =(6)已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的且有如下对应值表:那么函数()()2g x f x x =-一定存在零点的区间是( ) A.((),1-∞B.()1,2C.()2,3D.()3,4(7)将函数23y sin x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右平移6π个的单位长度,再将所得到的函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),则所得到的图象的函数解析式为( ) A. 23y sin x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B.243y sin x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C.2y sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D.42y sin x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ (8)中国的5G 技术领先世界,5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式: 21S C Wlog N ⎛⎫=+⎪⎝⎭它表示:在受噪声干扰的信道中,最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ､信道内信号的平均功率S ､信道内部的高斯噪声功率N 的大小｡其中SN叫做信噪比,当信噪比较大时,公式中真数中的1可以忽略不计｡按照香农公式,若不改变带宽W,而将信噪比SN从1000提升至8000,则C 大约增加了(20.3010lg ≈,30.4771lg ≈)( ) A.10%B.30%C.60%D.90%二､多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑. (9)在下列四组函数中,()f x 与()g x 表示同一函数的是( )A.()1f x x =-,()2g x =B.()|3|,|f x x g =-(),g x =C.()f x x =,()10xg x lg =D.()f x =()g x =(10)幂函数223a a y x --=是奇函数,且在()0,+∞是减函数,则整数a 的值是( )A.0B.1C.2D.3(11)下列结论正确的是( )A.当1x 时,2B.当54x <时, 14245x x -+-的最小值是5C.当0x ≠时, 1x x+的最小值是2D.设0x >,0y >,且2x y +=,则14x y+的最小值是92(12)已知函数()()f x Asin x ωϕ=+,0,0,||2A πωϕ⎛⎫>><⎪⎝⎭部分图象如图所示,下列说法不正确是( )A.()f x 的图象关于直线23x π=对称B.()f x 的图象关于点5,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C.将函数22y x cos x =-的图象向左平移2π个单位得到函数()f x 的图象 D.若方程()f x m =在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根,则m的取值范围是(2,- 三､填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上. (13)18427242cos cos cos sin ︒︒︒︒⋅-⋅=____. (14)已知3cos sin cos sin αααα+=-,则4tan πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭____.(15)已知函数32,1()log (1),1x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩,且()01f x =,则0x =____.(16)已知关于x 的不等式20ax bx c -+的解集为{|12}x x ,则20cx bx a ++的解集为____.四､解答题:本大题共6小题,第17题10分,18､19､20､21､22题各12分,共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内,超出指定区域的答案无效. (17)(本小题满分10分) 已知02πα<<,且513sin α=.(I)求tan α的值;(II)求2sin 22sin()sin 2cos ()sin 22απααπαα--++的值.已知函数()11xf x lnx-=+. (I)判断并证明函数()f x 的奇偶性; (Ⅱ)若()()2f m f m --=,求实数m 的值.(19)(本小题满分12分)已知函数()()2f x Asin x ϕ=+(A,ϕ是常数,0A >,0,x R ϕπ<<∈)在8x π=时取得最大值3.(1)求()f x 的最小正周期; (Ⅱ)求()f x 的解析式; (Ⅲ)若18f πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,求sin α.(20)(本小题满分12分)某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系**20025,1002530,t t t N P t t t N⎧+<<∈=⎨-+≤≤∈⎩,该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(天)之间满足一次函数关系,具体数据如下表:(I)根据表中提供的数据,求出日销售量关于时间t 的函数表达式; (Ⅱ)求该商品在这30天中的第几天的日销售金额最大,最大值是多少?设函数()2f x cos x a =++ (I)写出函数()f x 的最小正周期及单调递减区间; (Ⅱ)当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,函数()f x 的最大值与最小值的和32,求不等式()1f x >的解集.(22)(本小题满分12分)已知函数()313xxa f x +=+是R 上的奇函数(I)求a;(Ⅱ)用定义法讨论()f x 在R 上的单调性; (III)若21121042xx f k k f -⎛⎫⎛⎫-⋅++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在x ∈R 上恒成立,求k 的取值范围.新教材必修第一册综合测试数学试题答案高一数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.（1）B （2）D （3）A （4）A （5）B （6）B（7）A（8）B二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（9）BC （10）AC （11）AD （12）ABC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（13）21（14）3（15）0或4（16）1{|1,}2x x x ≤-≥-或四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.（17）解：（Ⅰ）因为135sin =α，20πα<<，所以12cos 13α===，……………………………………4分故125cos sin tan ==ααα.……………………………………5分（Ⅱ）222sin 22sin()sin 2sin cos 2sin 2sin 2sin cos 2cos ()sin 22απαααααπααααα---=+++…………………7分cos sin 1tan sin cos 1tan αααααα--==++…………………9分51712517112-==+.…………………10分（18）（Ⅰ）解：()1ln 1xf x x-=+是奇函数.证明：要10,1xx->+等价于()()110,x x +->即11,x -<<故()1ln1xf x x-=+的定义域为()1,1,-关于原点对称又因为()()1111ln ln ln .111x x x f x f x x x x -+--⎛⎫-===-=- ⎪-++⎝⎭所以()1ln1xf x x-=+是奇函数.…………6分（Ⅱ）由(1)知，()f x 是奇函数,则()()0f m f m +-=，联立()()()()02f m f m f m f m +-=--=⎧⎪⎨⎪⎩得()=1f m ，即1ln 1,1m m -=+解得1.1em e-=+…………12分（19）（Ⅰ）)(x f 的最小正周期ππ==22T ………………2分（列式1分，计算1分）（Ⅱ）依题意3=A ………………………………………4分3)82sin(3=+⨯ϕπ…………………………………5分因为4544πϕππ<+<且1)4sin(=+ϕπ…………………6分所以24πϕπ=+，4πϕ=…………………………………7分)42sin(3)(π+=x x f ……………………………………8分（Ⅲ）由18(-=+παf 得122sin(3-=+πα…………………9分即312cos -=α……………………………………………10分所以31sin 212-=-α……………………………………11分36sin ±=α………………………………………………12分．（20）（Ⅰ）设日销售量Q 关于时间t 的函数表达式为Q kt b =+，依题意得：3551030k b k b =+⎧⎨=+⎩，解之得：140k b =-⎧⎨=⎩，所以日销售量Q 关于时间t 的函数表达式为40Q t =-+（(0,30]t ∈，t N *∈，）.（Ⅱ）设商品的日销售金额为y （元），依题意：y PQ =，所以(20)(40)025,,(100)(40)2530,.t t t t N y t t t t N **⎧+-+<<∈=⎨-+-+≤≤∈⎩，即：2220800025,,14040002530,.t t t t N y t t t t N **⎧-++<<∈=⎨-+≤≤∈⎩.当(0,25)t ∈，t N *∈时，2(10)900y t =--+，当10t =时，max 900y =；当[25,30]t ∈，t N *∈时，2(70)900y t =--，当25t =时，max 1125y =；所以该商品在这30天中的第25天的日销售金额最大，为1125元.（21）解：（Ⅰ）31cos 2()sin 222xf x x a +=++……1分1sin(262x a π=+++，……3分T π∴=,……4分令3222262k x k πππππ+≤+≤+，Z k ∈,∴263k x k ππππ+≤≤+，Z k ∈,∴函数)(x f 的递减区间为：2[,],63k k k Z ππππ++∈.……6分（Ⅱ）由[,63x ππ∈-得：52666x πππ-≤+≤,max min 3(),()2f x a f x a ∴=+=,……8分33022a a a ∴++=⇒=,……9分∴1()1sin(2)62f x x π>⇒+>,52226663k x k k x k ππππππππ∴+<+<+⇒<<+，Z k ∈,……11分又⎦⎤⎢⎣⎡-∈3,6ππx ,∴不等式1)(>x f 的解集为{|0}3x x π<<.……12分（22）（Ⅰ）函数()313xxa f x +=+是R 上的奇函数()()331313x xx x a a f x f x --++∴-==-=-++即3133113x xx xa a +--=++即()()3131xxa +=-+解得1a =-；（Ⅱ）由（1）知()3131-=+x xf x ()()12121231313131x x x x f x f x ---=-++()()()()()()122112313131313131x x x x x x -+--+=++()()()12122333131x x x x -=++设12x x <,则12033x x <<故12330x x -<,1310x +>,2310x +>故()()120f x f x -<即()()12f x f x <()f x ∴是R 上的增函数．（Ⅲ）()f x 是R 上的奇函数,()f x 是R 上的增函数21121042x x f k k f -⎛⎫⎛⎫∴-⋅++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在x ∈R 上恒成立等价于2111122244x x xf f k k f k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>--⋅=⋅-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴等价于2112142x x k k -⋅-<+在x ∈R 上恒成立即()2212420xx k k +⋅+⋅->在x ∈R 上恒成立“*”令20x t =>则“*”式等价于()22140k t t k ++->对0t >时恒成立“**”①当210k +=,即12k =-时“**”为1402t +>对0t >时恒成立②当210k +≠,即12k ≠时,“**”对0t >时恒成立须()210164210k k k +>⎧⎨∆=++<⎩或2102021k k k +>⎧⎪⎪-≤⎨+⎪-≥⎪⎩解得102k -<≤综上,k 的取值范围是1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．。

河南省漯河市2023届高一数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析

A.1
B. 1
C.4
D. 4
9．若 A 、 B 是全集 I 真子集，则下列四个命题① A B A ；② A B A ；③ ACI B ；④ A B I 中
与命题 A B 等价的有
的 A.1个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
10．设 x＞0 ， 0＜bx＜ax＜1，则正实数 a ， b 的大小关系为
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分）
1．下列函数中，既是奇函数又在区间 , 0 上单调递增的是（）
A. f x cosx
B. f x sinx
C. f x tanx
D. f x x3 x1
2． cos660
A.
1 2
B. 3 2
C. 3 2
D. 1 2
3．已知点 A2, 3, B3, 2，直线 l : mx y m 1 0 与线段 AB 相交，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是（）
①函数 f x x2 2 a x 4 在定义域b 1,b 1 上为偶函数；
②函数 f x ax b,a 1 在1,2 上的值域为2, 4 ；
18．解答题
（1） lg12.5 lg 5 lg 0.5 ； 8
（2）lg20+log10025
19．（1）求函数
y
tan
3x
6
的单调递增区间；
【点睛】本题考查了平面向量的运算法则以及向量数量积的性质及其运算，属中档题．向量的运算法则是：（１）平行
四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向
量是和）.
9、B
【解析】直接根据集合的交集、并集、补集的定义判断集合间的关系，从而求出结论

2022-2023学年重庆市涪陵高级中学数学高一上期末综合测试试题含解析

2
所以 2 log2 a 0 ，可得： a 1，
当 a 0 时， a 0 ，
由 f (a) f (a) 得 log1 a log2 a ，
2
所以 2log2 a 0 ，即 0 a 1，即 1 a 0 ，
综上可知： 1 a 0 或 a 1.
故选：C 【点睛】本题主要考查了分段函数，解不等式的关键是对 a 的范围讨论，分情况解，属于中档题. 8、B 【解析】根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到
A. 3 3 m2 8
B. 2m2
C. 9 2 m2 8
D. 9 3 m2 8
4． 2021 始边是 x 轴正半轴，则其终边位于第（）象限
A.一
B.二
的 C.三
D.四
5．手机屏幕面积与手机前面板面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在 0~1
之间．若设计师将某款手机的屏幕面积和手机前面板面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机，则该款手机的“屏
2022-2023 学年高一上数学期末模拟试卷
考生请注意： 1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。 2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
行比较大小，另一方面注意特殊值 0,1 的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小
10、B
【解析】由题意得：
a b
1 b 1 c
1 1
，
易得点
Q
1 c
,
b
满足

福建省龙岩市龙岩九中2022-2023学年数学高一上期末综合测试试题含解析

所以 log2 0.3 log2 1 0 ，综上， log2 0.3 0.32 20.3 ，
故选：C 7、C 【解析】根据集合自身是自身的子集，可知①正确；根据集合无序性可知②正确；根据元素与集合只有属于与不属于关系可知③⑤不正确；根据元素与集合之间的关系可知④正确；根据空集是任何集合的子集可知⑥正确，即正确的关
所以 f (1) m2 2m 8 0 ，解得 m 2 或 m 4 . 当 m 4 时， f (x) (x 1)2 4 cos(x 1) 4 ，易知 f (x) 是连续函数，又 f (1) 4cos 2 0 ， f (2) 5 4cos3 0 ，
所以 f (x) 在[1, 2] 上也必有零点，此时 f (x) 不止有一个零点，故 m 4 不合题意；
且值域为[0, ) ，在 (1, ) 上递增且值域为 (0, ) ；
| f (x) | 的图象如下：
所以 0 m 1时， y m与 | f (x) | 的图象有四个交点，不妨假设 a b c d ，
由图及函数性质知： 4 a 2 b 0 1 c 1 d 10 ，易知： a b 4， c d (2,101] ，
7．下列六个关系式:⑴{a,b}{b,a}2a,b b,a30 400506 0 其中正确的个数
为（） A.6 个 C.4 个
B.5 个 D.少于 4 个
8．已知函数
f
x
3x ,
x 2 ，则 f f 1 （）
x 1, x 2
A.2
B.5
C.7
D.9
9．设集合
A
{1,
3,
5,
7},
B
2022-2023 学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

山东省日照实验高级中学2023届高一数学第一学期期末综合测试试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
【详解】根据题意，当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形，
设△ABC的面积为S，则S梯形＝ S，水的体积V水＝ S×AA1＝6S，
当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，
则有V水＝Sh＝6S，故h＝6
故选A
【点睛】本题考点是棱柱的体积计算，考查用体积公式来求高，考查转化思想以及计算能力，属于基础题
（1）求该噪声声波曲线的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式；
（2）将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到函数的图象.若锐角满足，求的值.
21．已知函数
（Ⅰ）求在区间上的单调递增区间；
（Ⅱ）若，，求值
参考答案
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
8、D
【解析】由否定的定义写出即可.
【详解】p的否定是， .
故选：D
9、D
【解析】利用函数的图象变换规律即可得解．
【详解】解：，
只需将函数图象向右平移个单位长度即可
故选．
【点睛】本题主要考查函数图象变换规律，属于基础题
10、D
【解析】根据分段函数的定义，分与两种情况讨论即可求解.

高一数学学科素养能力竞赛集合部分综合测试题(解析版)

高一数学学科素养能力竞赛集合部分综合测试题第I 卷（选择题）一、单选题: 本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}1,1A =-，{}1B x ax ==，若A B B =，则a 的取值集合为（） A ．{}1B ．{}1-C ．{}1,1-D ．{}1,0,1-【答案】D【分析】由题意知B A ⊆，分别讨论B =∅和B ≠∅两种情况，即可得出结果.【详解】由A B B =，知B A ⊆，因为{}1,1A =-，{|1}B x ax ==，若B =∅，则方程1ax =无解，所以0a =满足题意；若B ≠∅，则1{|1}B x ax x x a ⎧⎫====⎨⎬⎩⎭，因为B A ⊆，所以11a=±，则满足题意1a =±；故实数a 取值的集合为{}1,0,1-.故选：D.2．设a ，b 是实数，集合{}1,A x x a x R =-<∈，{}|||3,B x x b x R =->∈，且A B ⊆，则a b -的取值范围为（）A ． []0,2B ．[]0,4C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞ 【答案】D【分析】解绝对值不等式得到集合,A B ，再利用集合的包含关系得到不等式，解不等式即可得解. 【详解】集合{}{}1,|11A x x a x R x a x a =-<∈=-<<+，{}{3,|3B x x b x R x x b =-∈=<-或}3x b >+ 又A B ⊆，所以13a b +≤-或13a b -≥+即4a b -≤-或4a b -≥，即4a b -≥ 所以a b -的取值范围为[)4,+∞故选：D3．若1|12A x x ⎧⎫=-<⎨⎬⎩⎭，1|1B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，定义{|A B x x A B ⨯=∈⋃且}x A B ∉⋂,则A B ⨯=（）A ．13,01,22⎛⎤⎡⎫-⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．13,01,22⎛⎤⎛⎫-⋃ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭C ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．(0,1]【答案】B【分析】本题抓住新定义{|A B x x A B ⨯=∈⋃且}x A B ∉⋂中x 满足的条件，解不等式得到集合,A B ，进而求得A B ，A B ，最后求出()()A B A B ⋃即为所求. 【详解】1113|111|2222A x x x x x ⎧⎫⎧⎫⎧⎫=-<=-<-<=-<<⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭ {}11|1|0|01x B x x x x x x -⎧⎫⎧⎫=≥=≥=<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭{}|01A B x x ∴⋂=<≤，13|22A B x x ⎧⎫⋃=-<<⎨⎬⎩⎭ 1|02A B x x ⎧∴⨯=-<≤⎨⎩或312x ⎫<<⎬⎭13,01,22⎛⎤⎛⎫=-⋃ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解绝对值不等式和分式不等式，理解题目中{|A B x x A B ⨯=∈⋃且}x A B ∉⋂中x 满足的条件是解题的关键，考查学生的分析试题能力与转化与化归能力，属于较难题.4．设A 是集合{}12345678910，，，，，，，，，的子集，只含有3个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A 的个数为（）A ．32B ．56C ．72D ．84【答案】B【分析】分类列举出每一种可能性即可得到答案.【详解】若1,3在集合A 内，则还有一个元素为5,6,7,8,9,10中的一个；若1,4在集合A 内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中的一个；若1,8在集合A 内，则还有一个元素为10；共有6+5+4+3+2+1=21个.若2,4在集合A 内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中的一个；若2,5在集合A 内，则还有一个元素为7,8,9,10中的一个；若2,8在集合A 内，则还有一个元素为10；共有5+4+3+2+1=15个.若3,5在集合A 内，则还有一个元素为7,8,9,10中的一个；若3,6在集合A 内，则还有一个元素为8,9,10中的一个；若3,8在集合A 内，则还有一个元素为10；共有4+3+2+1=10个.若4,6在集合A 内，则还有一个元素为8,9,10中的一个；若4,7在集合A 内，则还有一个元素为9,10中的一个；若4,8在集合A 内，则还有一个元素为10；共有3+2+1=6个.若5,7在集合A 内，则还有一个元素为9,10中的一个；若5,8在集合A 内，则还有一个元素为10；共有2+1=3个.若6,8,10在在集合A 内，只有1个.总共有21+15+10+6+3+1=56个故选：B.5．设{}1,2,3,4,I =，A 与B 是I 的子集，若{}1,3A B =，则称(,)A B 为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”（规定(,)A B 与(,)B A 是两个不同的“理想配集”）的个数是（）A ．16B ．9C ．8D ．4【答案】B【分析】根据题意，子集A 和B 不可以互换，从子集A 分类讨论，结合计数原理，即可求解.【详解】由题意，对子集A 分类讨论：当集合{}1,3A =，集合B 可以是{1,2,3,4},{1,3,4},{1,2,3},{1,3}，共4种结果；当集合{}1,2,3A =，集合B 可以是{1,3,4},{1,3}，共2种结果；当集合{}1,3,4A =，集合B 可以是{1,2,3},{1,3}，共2种结果；当集合{}1,2,3,4A =，集合B 可以是{1,3}，共1种结果，根据计数原理，可得共有42219+++=种结果.故选：B.【点睛】本题主要考查了集合新定义及其应用，其中解答正确理解题意，结合集合子集的概念和计数原理进行解答值解答额关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.6．定义{|,}A B x x A x B -=∈∉，设A 、B 、C 是某集合的三个子集，且满足()()A B B A C -⋃-⊆，则()()A C B B C ⊆-⋃-是AB C =∅的（） A ．充要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．既非充分也非必要条件【答案】A【分析】作出示意图，由()()A B B A C -⋃-⊆可知两个阴影部分均为∅，根据新定义结合集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】如图，由于()()A B B A C -⋃-⊆，故两个阴影部分均为∅，于是,,A I IV V B III IV V C I II III V =⋃⋃=⋃⋃=⋃⋃⋃，（1）若A B C =∅，则V =∅，A I IV ∴=⋃，而()()C B B C I II IV -⋃-=⋃⋃，()()A C B B C ∴⊆-⋃-成立；（2）反之，若()()A C B B C ⊆-⋃-，则由于()()()C B B II I C I V =⋃-⋃-⋃，()A I IV V =⋃⋃，()()I IV V I II IV ∴⋃⋃⊆⋃⋃，V ∴=∅，A B C ∴⋂⋂=∅，故选：A【点睛】本题主要考查集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义，考查了分类讨论、数形结合思想的应用，属于较难题.7．已知集合{}1,2,3,4,5P =，若A ，B 是P 的两个非空子集，则所有满足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(A ,B )的个数为（）A ．49B ．48C ．47D ．46【答案】A【分析】利用分类计数法，当A 中的最大数分别为1、2、3、4时确定A 的集合数量，并得到对应B 的集合个数，它们在各情况下个数之积，最后加总即为总数量.【详解】集合{}1,2,3,4,5P =知：1、若A 中的最大数为1时，B 中只要不含1即可：A 的集合为{1}，而B 有 42115-=种集合，集合对(A ,B )的个数为15；2、若A 中的最大数为2时，B 中只要不含1、2即可：A 的集合为{2},{1,2}，而B 有3217-=种，集合对(A ,B )的个数为2714⨯=；3、若A 中的最大数为3时，B 中只要不含1、2、3即可：A 的集合为{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}，而B 有2213-=种，集合对(A ,B )的个数为4312⨯=；4、若A 中的最大数为4时，B 中只要不含1、2、3、4即可：A 的集合为{4},{1,4},{2,4},{3,4},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4}，而B 有1211-=种，集合对(A ,B )的个数为818⨯=；∴一共有151412849+++=个，故选：A【点睛】本题考查了分类计数原理，按集合最大数分类求出各类下集合对的数量，应用加法原理加总，属于难题.8．设a ，b ，c 为实数，记集合2{|()()0S x x a x bx c =+++=，}x R ∈，2{|(1)(1)0T x ax cx bx =+++=，}x R ∈.若||S ，||T 分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（）A ．||1S =且||0T =B ．||1S =且||1T =C ．||2S =且||2T =D ．||2S =且||3T = 【答案】D【分析】要发现0x a +=与10ax +=､20x bx c ++=与210cx bx ++=的解的关系，同时考虑0a =，0c 以及判别式对方程的根的个数的影响，通过假设最高次含参数的方程10ax +=有一个解，210cx bx ++=有两个解，逆推集合S 的解的情况即可.【详解】令()2()0x a x bx c +++=，则方程至少有1个实数根x a =-，当240b c -=时，方程还有一个根2b x =-，只要2b a ≠，方程就有2个实数根，2b a =，方程只有1个实数根，当240b c -<时，方程只有1个实数根，当240b c ->时，方程有2个或3个实数根，当0a b c ===时，||1S =且||0T =，当0,0,0a b c >=>时，||1S =且||1T =，当1,2a c b ===-时，||2S =且||2T =，若||3T =时，10ax +=有一个解，210cx bx ++=有两个解，且10ax +=的解1x a=-不是210cx bx ++=的解， ∴211()()0c b c a a-+-+≠，即20a ab c -+≠， 0x a ∴+=的解不是20x bx c ++=的解，又210cx bx ++=有两个解，故240b c ∆=->，20x bx c ++=有两个不等的根，2()()0x a x bx c ∴+++=有3个解，即3S =，故D 不可能成立，故选：D .【点睛】本题考查集合的元素个数，一元一次方程与一元二次方程的解的关系，还要考虑一元一次方程的解是否为一元二次方程的解，通过判别式判断一元二次方程方程的根的个数，属于难题.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）9．（多选）若非空实数集M 满足任意,x y M ∈，都有x y M +∈， x y M -∈，则称M 为“优集”．已知,A B 是优集，则下列命题中正确的是（）A ．AB 是优集B ．A B 是优集C ．若A B 是优集，则A B ⊆或B A ⊆D ．若A B 是优集，则A B 是优集【答案】ACD【解析】结合集合的运算，紧扣集合的新定义，逐项推理或举出反例，即可求解.【详解】对于A 中，任取,x A B y A B ∈∈，因为集合,A B 是优集，则,x y A x y B +∈+∈，则 x y A B +∈， ,x y A x y B -∈-∈，则x y A B -∈，所以A 正确；对于B 中，取{|2,},{|3,}A x x k k Z B x x m m Z ==∈==∈，则{|2A B x x k ⋃==或3,}x k k Z =∈，令3,2x y ==，则5x y A B +=∉⋃，所以B 不正确；对于C 中，任取,x A y B ∈∈，可得,x y A B ∈，因为A B 是优集，则,x y A B x y A B +∈-∈，若x y B +∈，则()x x y y B =+-∈，此时 A B ⊆；若x y A +∈，则()x x y y A =+-∈，此时 B A ⊆，所以C 正确；对于D 中，A B 是优集，可得A B ⊆，则A B A =为优集；或B A ⊆，则A B B =为优集，所以A B 是优集，所以D 正确.故选：ACD.【点睛】解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.10．用()C A 表示非空集合A 中的元素个数，定义()()*A B C A C B =-.已知集合2|10A x x ，{}22(3)(2)0B x ax x x ax =+++=，若*1A B =，则实数a 的取值可能是（）A．-B ．0 C ．1 D ．【答案】ABD【解析】先分析()2C A =，又由*1A B =，分析易得()1C B =或3，即方程22(3)(2)0ax x x ax +++=有1个根或3个根，分析方程22(3)(2)0ax x x ax +++=的根的情况，可得a 可取的值，即可得答案．【详解】根据题意，已知{1A =，2}，则()2C A =，又由*1A B =，则()1C B =或3，即方程22(3)(2)0ax x x ax +++=有1个根或3个根；若22(3)(2)0ax x x ax +++=，则必有230ax x +=或220x ax ++=，若230ax x +=，则0x =或30ax +=，当0a =时，{0}B =，()1C B =，符合题意；当0a ≠时，230ax x +=对应的根为0和3a -；故∴需220x ax ++=有两等根且根不为0和3a -，当∴0=时，a =±a ={0B =，-，，()3C B =，符合题意；a =-{0B =，，()3C B =，符合题意； ∴当3a -是220x ax ++=的根时，解得3a =±；3a =，此时{0B =，1-，2}-，()3C B =，符合题意；3a =-，此时{0B =，1，2}，()3C B =，符合题意；综合可得：a 可取的值为0，3±，故选：ABD【点睛】本题考查集合的表示方法，关键是依据()C A 的意义，分析集合B 中元素的个数，进而分析方程22(3)(2)0ax x x ax +++=的根的情况．11．设集合{}Z y x y x a a M ∈-==,,22，则对任意的整数n ，形如4,41,42,43n n n n 的数中，是集合M 中的元素的有A ．4nB ．41n +C ．42n +D ．43n + 【答案】ABD【分析】将4,41,43n n n ++分别表示成两个数的平方差，故都是集合M 中的元素，再用反证法证明42n M . 【详解】∴224(1)(1)nn n ，∴4n M . ∴2241(21)(2)n n n ，∴41n M . ∴2243(22)(21)nn n ，∴43n M . 若42n M ，则存在,Z x y 使得2242x y n ，则42()(),n x y x y x y 和x y -的奇偶性相同.若x y +和x y -都是奇数，则()()x y x y +-为奇数，而42n +是偶数，不成立；若x y +和x y -都是偶数，则()()x y x y +-能被4整除，而42n +不能被4整除，不成立，∴42n M .故选ABD.【点睛】本题考查集合描述法的特点、代表元元素特征具有的性质P ，考查平方差公式及反证法的灵活运用，对逻辑思维能力要求较高.12．设集合X 是实数集R 的子集，如果实数0x 满足：对任意0r >，都存在x X ∈，使得00x x r <-<成立，那么称0x 为集合X 的聚点.则下列集合中，0为该集合的聚点的有（）A ．1,0,x x n n Z n ⎧⎫=≠∈⎨⎬⎩⎭B ．,1n x x n N n *⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭C ．{},0x x Q x ∈≠D ．整数集Z【答案】AC【分析】利用集合聚点的新定义，集合集合的表示及元素的性质逐项判断. 【详解】A.因为集合1,0,x x n n Z n ⎧⎫=≠∈⎨⎬⎩⎭中的元素是极限为0的数列，所以对于任意0r >，都存在1n r >，使得10x r n <=<成立，所以0为集合1,0,x x n n Z n ⎧⎫=≠∈⎨⎬⎩⎭的聚点，故正确； B. 因为集合11,11n x x n N n n *⎧⎫==-∈⎨⎬++⎩⎭中的元素是极限为1的数列，除第一项外，其余项都至少比0大12，所以对于12r <时，不存在满足0x r <<的x ，所以0不为集合11,11n x x n N n n *⎧⎫==-∈⎨⎬++⎩⎭的聚点，故错误； C. 对任意0r >，都存在2=r x ，使得02x r r <=<成立，那所以0为集合{},0x x Q x ∈≠的聚点，故正确；D. 对任意0r >，如0.5r =，对任意的整数，都有00x x -=或01x x -≥成立，不可能有000.5x x <-<成立，所以0不是集合整数集Z 的聚点，故错误；故选：AC第II 卷（非选择题）三、填空题: 本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知集合{}2280,R A x x x x =--≤∈ ，(){}2550,R B x x m x m x =-++≤∈ ，设全集为R ，若R B A ⊆，则实数m 的取值范围为______．【答案】()4,+∞【分析】解不等式求得R A ，根据R B A ⊆，分类讨论m 的取值，确定集合B ，从而求得m 的取值范围.【详解】解不等式2280x x --≤，得24x -≤≤，所以R {2A x x =<-或4}x > ， (){}()(){}2550,R 50B x x m x m x x x x m =-++≤∈=--≤ ，因为R B A ⊆，当5m =时，{}5B =，满足题意；当5m >时，[]5,B m =，满足题意．当5m <时，[],5B m =，由R B A ⊆，得4m >，所以45m <<．综上，m 的取值范围为()4,+∞．故答案为：()4,+∞ 14．{}{}(){}220,10,,2,R A x x px q B x qx px A B A B ϕ=++==++=⋂≠⋂=-则p q += _____．【答案】-1或5 【分析】由题意可得m A ∈，一点有1∈B m，再由A B φ⋂≠，可得1m =±，进而可得结果.【详解】设2,0∈∴++=m A m pm q两边同除2m ，可得210++=p q m m ，所以 1∈B m由A B φ⋂≠，一定有m A ∈，1∈A m ，即 1,1=∴=±m m m (){2}R A B =-，则 2,{2,1}-∈=-A A 或{2,-1}=-A代入可得4201102p q p p q q -+==⎧⎧⇒⎨⎨++==-⎩⎩或 4203102p q p p q q -+==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩所以1p q +=-或5故答案为：-1或5 【点睛】关键点点睛：通过两个方程的关系可得m A ∈，一点有1∈B m，是解题的关键.本题考查了逻辑推理能力和计算能力，属于中档题. 15．集合{}66,11,23,10,911,1,18,100,0,πM =---有10个元素，设M 的所有非空子集为i M ()1,2,,1023i =每一个i M 中所有元素乘积为i m ()1,2,,1023i =，则1231023m m m m ++++=___________. 【答案】-1【分析】分析可得M 的所有非空子集为i M 可分为4类，分别分析4类子集中，所有元素乘积i m ，综合即可得答案.【详解】集合M 的所有非空子集为i M ()1,2,,1023i =可以分成以下几种情况 ∴含元素0的子集共有92512=个，这些子集中所有元素乘积0i m =；∴不含元素0，含元素-1且含有其他元素的子集有821255-=个∴不含元素0，不含元素-1，但含其他元素的子集有821255-=个其中∴∴中元素是一一对应的，且为相反数，则i m 的和为0，∴只含元素-1的子集1个，满足1i m =-，综上：所有子集中元素乘积12310231m m m m ++++=-. 故答案为：-116．若集合()()()(){}10*,122022,Z,N M x y x x x y x y =++++⋅⋅⋅++=∈∈，则集合M 中元素有______个.【答案】242【分析】由题可得111010(21)23337y x y ++=⋅⋅，然后可得21y x y ++与必为一奇一偶，偶数必是1123337m n ⋅⋅，进而即得.【详解】由题可得(21)(1)(2)()2y x y x x x y ++++++⋅⋅⋅++=， ∴111010(21)23337y x y ++=⋅⋅，又21y x y ++与必为一奇一偶，而偶数必是1123337m n ⋅⋅,*,N ,010,010m n m n ∈≤≤≤≤，共有121种情况，又21y x y ++与奇偶未定，故集合M 中元素只有242个.故答案为：242.四、解答题: 本大题共5小题，17题共10分，其余各题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知集合{}13A x x =-≤ ，{}22240B x x mx m =-+-≤.(1)命题p ：x ∴A ，命题q : x ∴B ，且p 是q 的必要非充分条件，求实数m 的取值范围:(2)若A ∩B ≠,∅求实数m 的取值范围.【答案】(1)[]02m ∈，(2)[]46m ∈-，【分析】(1)要使p 是q 的必要不充分条件，则 B A 即可；(2)求A B =∅时m 的取值范围，然后求其补集.（1）因为p 是q 的必要不充分条件，所以B A ，B 集合：()22444160m m ∆=--=>，所以B 不可能为空集，因为()()222422x mx m x m x m ⎡⎤⎡⎤-+-=---+⎣⎦⎣⎦，所以{}22B x m x m =-≤≤+，集合{}24A x x =-≤≤，所以2224m m -≥-⎧⎨+<⎩或2224m m ->-⎧⎨+≤⎩，分别解不等式组，取并集后可得[]02m ∈，. （2）由（1）知{}{}2422A x x B x m x m =-≤≤=-≤≤+，，当A B =∅时：22m +<-或24m ->，解之得：4m <-或6m >，则A B ⋂≠∅时，[]46m ∈-，. 18．设函数2()(,)f x x px q p q R =++∈，定义集合{|(()),}R f D x f f x x x ==∈，集合{|(())0,}R f E x f f x x ==∈．(1)若0p q ==，写出相应的集合f D 和f E ；(2)若集合{0}f D =，求出所有满足条件的,p q ；(3)若集合f E 只含有一个元素，求证：0,0p q ≥≥．【答案】(1){0,1}f D =，{0}f E =(2)1,0p q ==(3)证明见解析【分析】（1）由4x x =、40x =解得x ，可得f D ，f E ；（2）由(())0f f x x -=得2(1)10x p x p q +++++=或2(1)0x p x q +-+=，然后由21(1)4(1)∆=+-++p p q ，221(1)4∆=-->∆p q ，方程(())0f f x x -=只有一个实数解0，得210,0∆=∆<，转化为2(1)0x p x q +-+=有唯一实数解0，可得答案；（3）由条件，(())0f f x =有唯一解，得()0f x =有解，分()0f x =有唯一解0x 、()0f x =有两个解1212,()x x x x <，结合()f x 的图像和实数解的个数可得答案.(1)2()f x x =，4(())=f f x x ，由4x x =解得0x =或1x =，由40x =解得0x =，所以{0,1}f D =，{0}f E =．(2)由22(())(())()()()()()f f x x f f x f x f x x f x pf x x px f x x -=-+-=+--+-=22(()1)(())((1)1)((1))0f x x p f x x x p x p q x p x q +++-=++++++-+=，得2(1)10x p x p q +++++=或2(1)0x p x q +-+=，221(1)4(1)(1)44p p q p q ∆=+-++=---，2221(1)4(1)4p q p q ∆=--=-->∆，而方程(())0f f x x -=只有一个实数解0，所以210,0∆=∆<，即只需2(1)0x p x q +-+=有唯一实数解0，所以1,0p q ==．(3)由条件，(())0f f x =有唯一解，所以()0f x =有解，∴若()0f x =有唯一解0x ，则20()()f x x x =-，且0()f x x =有唯一解，结合()f x 图像可知00x =，所以2()f x x =，所以0p q ==．∴若()0f x =有两个解1212,()x x x x <，则12()()()f x x x x x =--，且两个方程1()f x x =，2()f x x =总共只有一个解，结合()f x 图像可知2()f x x =有唯一解，所以20x <，10x <，所以120q x x =>，且()f x 的对称轴02p x =-<，所以0p >，所以0,0p q >>．综上，0,0p q ≥≥．【点睛】本题主题考查了二次函数与二次方程之间的关系的相互转换，方程根与系数的应用，考查了系数对新定义的理解能力及计算能力.19．对于正整数集合{}()*12,,,,3n A a a a n n =∈≥N ，如果去掉其中任意一个元素()1,2,,i a i n =之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“和谐集”.(1)判断集合{}1,2,3,4,5与{}1,3,5,7,9是否为“和谐集”（不必写过程）；(2)求证：若集合A 是“和谐集”，则集合A 中元素个数为奇数；(3)若集合A 是“和谐集”，求集合A 中元素个数的最小值.【答案】(1){}1,2,3,4,5不是“和谐集”，{}1,3,5,7,9不是“和谐集”(2)证明见解析(3)7【分析】（1）由“和谐集”的定义判断（2）根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性讨论后证明（3）由（2）知n 为奇数，根据n 的取值讨论后求解（1）对于{}1,2,3,4,5，去掉2后，{1,3,4,5}不满足题中条件，故{}1,2,3,4,5不是“和谐集”，对于{}1,3,5,7,9，去掉3后，{1,5,7,9}不满足题中条件，{}1,3,5,7,9不是“和谐集” （2）设{}12,,,n A a a a =中所有元素之和为M ，由题意得i M a 均为偶数，故()1,2,,i a i n =的奇偶性相同 ∴若i a 为奇数，则M 为奇数，易得n 为奇数，∴若i a 为偶数，此时取2i i a b =，可得{}12,,,n B b b b =仍满足题中条件，集合B 也是“和谐集”，若i b 仍是偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数的“和谐集”，由∴知n 为奇数综上，集合A 中元素个数为奇数（3）由（2）知集合A 中元素个数为奇数，显然3n =时，集合不是“和谐集”，当5n =时，不妨设12345a a a a a <<<<，若A 为“和谐集”，去掉1a 后，得2534a a a a +=+，去掉2a 后，得1534a a a a +=+，两式矛盾，故5n =时，集合不是“和谐集”当7n =，设{1,3,5,7,9,11,13}A ，去掉1后，35791113+++=+，去掉3后，19135711++=++，去掉5后，91313711+=+++，去掉7后，19113513++=++，去掉9后，13511713+++=+，去掉11后，3791513++=++，去掉13后，1359711+++=+，故{1,3,5,7,9,11,13}A 是“和谐集”，元素个数的最小值为720．对于函数()f x ，若()f x x =，则称实数x 为()f x 的“不动点”，若()()f f x x =，则称实数x 为()f x 的“稳定点”，函数()f x 的“不动点”和“稳定点”组成的集合分别记为A 和B ，即(){}A x f x x ==，()(){}B x f f x x ==. (1)对于函数()21f x x =-，分别求出集合A 和B ；(2)对于所有的函数()f x ，集合A 与B 是什么关系？并证明你的结论；(3)设()2f x x ax b =++，若{}1,3A =-，求集合B .【答案】(1){1}A =，{1}B =(2)证明见解析；(3){B =-【分析】(1)由f (x )＝x ，解出x 的值即集合A 的元素，由()f f x x ⎡⎤⎣⎦＝，解出x 的值即集合B的元素； (2)分别讨论A =∅与A ≠∅的情况,当A ≠∅时,设t A ∈,则()f t t =，即[()]=()f f t f t t =，进而得证；(3)由{1,3}A =-可得(1)1(3)3f f -=-⎧⎨=⎩,则13a b =-⎧⎨=-⎩,进而求解()f f x x ⎡⎤⎣⎦＝即可. (1)由f (x )＝x ，得21x x -＝，解得1x ＝；由()f f x x ⎡⎤⎣⎦＝，得221)1(x x --＝，解得1x ＝， ∴集合A ＝{1}，B ＝{1}．(2)若A =∅，则A B ⊆显然成立；若A ≠∅，设t 为A 中任意一个元素，由[()]=()f f t f t t B =∈，可得A B ⊆.(3)解：∴{1,3}A =-，∴(1)1(3)3f f -=-⎧⎨=⎩，即2211333a b a b ⎧--+=-⎨++=⎩（），∴13a b =-⎧⎨=-⎩， ∴2()3f x x x =--，∴2222[()](3)(3)(3)3f f x f x x x x x x x =--=------=，∴222(3)0x x x ---=，∴22(3)23)0x x x ---=（，∴(1)(3)0x x x x +-=，∴x =1x =-或3x =，∴{B =-.21．设集合A 为非空数集，定义{|A x x a b +==+，a 、}b A ∈，{|||A x x a b -==-，a 、}b A ∈．(1)若{1A =-，1}，写出集合A +、A -；(2)若1{A x =，2x ，3x ，4}x ，1234x x x x <<<，且A A -=，求证：1423x x x x +=+；(3)若{|02021A x x ⊆，}x N ∈且A A +-=∅，求集合A 元素个数的最大值．【答案】(1){}{}2,0,20,2A A +-=-=，；(2)证明见解析；(3)1348.【分析】(1)根据新定义，直接得出集合A A +-、；(2)根据两集合相等即可得出1234x x x x 、、、的关系；(3)通过假设A 集合{124042}m m m ++，，，，(2021)m m N ≤∈，，求出相应的A A +-、，根据=A A +-∅列出不等式即可求出结果.（1）由题意知，{11}A =-，，得{202}{02}A A +-=-=，，，，；（2）由于集合12341234{}A x x x x x x x x =<<<，，，，，且A A -=，所以集合A -中有且仅有4个元素，即213141{0}A x x x x x x -=---，，，剩下的元素满足213243x x x x x x -=-=-，即1423x x x x +=+；（3）设12{}k A a a a =，，，满足题意，其中12k a a a <<<，则11213123122k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a -<+<+<<+<+<+<<+<，所以21A k +≥-，1121311k a a a a a a a a -<-<-<<-，所以A k -≥，因为=A A +-∅，由容斥原理，31A A A A k +-+-=+≥-， A A +-最小的元素为0，最大的元素为2k a ，所以21k A A a +-≤+，所以*31214043()k k a k N -≤+≤∈，解得1348k ≤，实际上当{6746752021}A =，，，时满足题意，证明如下：设{122021}A m m m =++，，，，()m N ∈，则{221224042}A m m m +=++，，，，，{0122021}A m -=-，，，，，依题意，有20212m m -<，即26733m >，所以m 的最小值为674，于是当674m =时，集合A 中的元素最多，即{6746752021}A =，，，时满足题意. 综上所述，集合A 中元素的个数的最大值为1348.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.22．含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.例如{4，6，9}的元素和是4+6+9=19；交替和是9-6+4=7；而{5}的元素和与交替和都是5.（1）写出集合{1，2，3}的所有非空子集的交替和的总和；（2）已知集合{}1,2,3,4,5,6M =，根据提示解决问题.∴求集合M 所有非空子集的元素和的总和；提示：方法1：x M ∀∈，先求出x 在集合M 的非空子集中一共出现多少次，进而可求出集合M 所有非空子集的元素和的总和；方法2：如果我们知道了集合{1，2，3，4，5}的所有非空子集的元素和的总和为k ，可以用k 表示出M 的非空子集的元素和的总和，递推可求出集合M 所有非空子集的元素和的总和.∴求集合M 所有非空子集的交替和的总和.【答案】（1）12；（2）∴672，∴192【分析】（1）写出集合{1，2，3}的非空子集，根据交替和的概念，求得各个交替和，综合即可得答案.（2）∴求得集合{1，2，3}所有非空子集中，数字1、2、3各出现的次数，集合{1，2，3，4}所有非空子集中，数字1、2、3、4各出现的次数，根据规律，推测出集合M 中各数字出现的次数，即可得答案.∴分别求得集合{1}{12}{1,2,3}{1,2,3,4}、,、、的交替和总和，根据规律，总结出n 个元素的交替和总和公式，代入数据，即可得答案.【详解】（1）集合{1，2，3}的非空子集为{1}，{2}，{3}，{2，1}，{3，1}，{3，2}，{3，2，1}，集合{1}，{2}，{3}的交替和分别为1，2，3，集合{2，1}的交替和为2-1=1，集合{3，1}的交替和为3-1=2，集合{3，2}的交替和为3-2=1，集合{3，2，1}的交替和为3-2+1=2，所以集合{1，2，3}的所有非空子集的交替和的总和为1+2+3+1+2+1+2=12.（2）∴集合{1，2，3}所有非空子集中，数字1、2、3各出现242=次，集合{1，2，3，4}所有非空子集为：{1}，{2}，{3}，{4}，{2，1}，{3，1}，{4，1}，{3，2}，{2，4}，{3，4}，{3，2，1}，{4，2，1}，{4，3，1}，{4，3，2}，{4，3，2，1}，其中数字1、2、3、4各出现382=次，在集合{1，2，3，4，5}所有非空子集中，含1的子集的个数为42=16，故数字1在16个子集中出现即数字1在所有的非空子集中出现了16次，同理数字2、3、4、5各出现42=16次，同理在集合{1，2，3，4，5，6}所有非空子集中，数字1、2、3、4、5、6各出现52=32次，所以集合M 所有非空子集的元素和的总和为32(123456)672⨯+++++=.∴设集合{1}{12}{1,2,3}{1,2,3,4}、,、、的交替和分别为1234,,,S S S S ，集合{1}的所有非空子集的交替和为11S =集合{1，2}的所有非空子集的交替和212(21)4S =++-=，集合{1，2，3}的非空子集的交替和3123(21)(31)(32)(321)12S =+++-+-+-+-+=，集合{1，2，3，4}的非空子集的交替和41234(21)(31)(41)S =++++-+-+-(32)(42)(43)(321)(421)(431)(432)(4321)32+-+-+-+-++-++-++-++-+-=所以根据前4项猜测集合{1,2,,}n ⋅⋅⋅的所有非空子集的交替和总和为12n n S n -=⋅，所以集合M 所有非空子集的交替和的总和5662192S =⨯=【点睛】解题的关键是根据题意，列出非空子集，求得元素和、交替和，总结规律，进行猜想，再代数求解，分析理解难度大，属难题.。

2024届山东省青岛市高一上数学期末综合测试试题含解析

2024 届山东省青岛市高一上数学期末综合测试试题
注意事项: 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
BD1 3 3 【点睛】考查了异面直线所成角的计算方法，关键得出直线 AD1 与 EF 所成角即为∠AD1B ，难度中等 12、 2 【解析】根据直线一般式，两直线平行则有 A1B2 A2B1 0 ，代入即可求解. 【详解】由题意，直线 x y 2 0 与直线 ax 2y 0 平行，
则有1 (2) 1 a 0 a 2 故答案为： 2
3
，
则反射光线所在直线方程 y 3 3 1 x 4 4 1
即： 4x 5y 1 0
故选 A 10、D 【解析】把方程的根转化为二次函数的零点问题，恰有一个零点属于(0,1)，分为三种情况，即可得解.
【详解】方程 x2 (m 2)x 2m 1 0 对应的二次函数设为： f x x2 (m 2)x 2m 1
(m 2)2 42m 1 0 ，解得 m 6 2 7 ，
当 m 6 2 7 时，方程 x2 (m 2)x 2m 1 0 的根为 2 7 ，不合题意；
若 m 6 2 7 ，方程 x2 (m 2)x 2m 1 0 的根为 7 2 ，符合题意
综上：实数
m
的取值范围为
不一定有对任意 x R ， f x 0 ，所以 A 错误，
对于 B，当函数 y f x 的图像关于原点成中心对称，可知 f (x) f (x) ，函数 f (x) 为奇函数，所以 B 错误，

高一数学必修一必修二综合测试卷(有答案)

高一数学试题四（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 下列说法正确的是（）A . 经过三点确定一个平面B . 经过一条直线和一个点确定一个平面C . 四边形确定一个平面D . 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面2. 下列哪个函数的定义域与函数()15xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域相同（）A . 2y x x =+B . ln 2y x x =-C . 1y x =D . 1y x x=+3. 已知集合12|log 1A x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，{}|22xB x =>，则A B =（）A . 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B . 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C . ()0,+∞D . ()0,24. 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，则其母线与底面半径之比为（） A . 1B .2C .3D . 25. 已知函数()2f x x x a =++在区间()0,1上有零点，则实数a 的取值范围是（） A . 1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B . 1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C . ()2,0-D . []2,0-6. 函数()()10,1x f x a a a -=>≠的图象恒过点A ，则下列函数中图象不经过点A 的是（）A . 1y x =-B . 2y x =-C . 21xy =-D . ()2log 2y x =7. 正四面体ABCD 中，E ，F 分别为棱AD ，BC 的中点，则异面直线EF 与CD 所成的角为（） A .6π B .4π C . 3π D . 2π8. 已知函数()212log 3y x ax a =-+在[)2,+∞上为减函数，则实数a 的取值范围是（）A . 4a ≤B . 4a ≥C . 4a <-或4a ≥D . 44a -<≤9. 某几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点P 与点Q 在正视图与侧视图上的对应点分别为A ，B ，则在该几何体表面上，从点P 到点Q 的路径中，最短路径的长度为（） A .5B .6 C . 22D .1010. 已知函数()ln 1f x x =-，()223g x x x =-++，用{}min ,m n 表示m ，n 中最小值，设()()(){}min ,h x f x g x =，则函数()h x 的零点个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 411. 已知()g x 为偶函数，()h x 为奇函数，且满足()()2x g x h x -=.若存在[]1,1x ∈-，使得不等式()()0m g x h x ⋅+≤有解，则实数m 的最大值为（）A .315-B . 35-C . 1D . -1 12. 无论x ，y ，z 同为三条不同的直线还是同为三个不同的平面，给出下列说法：①若//x y ，//x z ，则//y z ；②若x y ⊥，x z ⊥，则y z ⊥；③若x y ⊥，//y z ，则x z ⊥；④若x 与y 无公共点，y 与z 无公共点，则x 与z 无公共点； ⑤若x ，y ，z 两两相交，则交点可以有一个，三个或无数个.其中说法正确的序号为（） A . ①③B . ①③⑤C . ①③④⑤D . ①④⑤二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 设函数()()xxf x e aea R -=+∈，若()f x 为奇函数，则a =______.14. 一个正四棱锥的侧棱长与底面边长相等，体积为423，则它的侧面积为______. 15. 已知函数()f x 为定义在[]2,3a -上的偶函数，在[]0,3上单调递减，并且()22522a f m m f m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭>-+-，则m 的取值范围是______.16. 正四面体ABCD 的棱长为4，E 为棱BC 的中点，过E 作其外接球的截面，则截面面积的最小值为______.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是AB 和1AA 的中点.求证：CE ，1D F ，DA 交于一点.18. 已知函数()21x ax b f x x +=++是定义域为R 的奇函数. （1）求实数a 和b 的值，判断并证明函数()f x 在()1,+∞上的单调性；（2）已知0k <，且不等式()()22310f t t f k -++-<对任意的t R ∈恒成立，求实数k 的取值范围.19. 食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a （单位：万元）满足8042P a =+，11204Q a =+.设甲大棚的投入为x （单位：万元），每年两个大棚的总收益为()f x （单位：万元）. （1）求()50f 的值；（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益()f x 最大？20. 已知幂函数()()3*p N x x f p -=∈的图象关于y 轴对称，且在()0,+∞上为增函数. （1）求不等式()()22132pp x x +<-的解集；（2）设()()()log 0,1a f x ax g x a a =->≠⎡⎤⎣⎦，是否存在实数a ，使()g x 在区间[]2,3上的最大值为2，若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由.21. 已知函数()11439x xm f x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）当2m =-时，求函数()f x 在(),0-∞上的值域；（2）若对任意[)0,x ∈+∞，总有()6f x ≤成立，求实数m 的取值范围.22. 在菱形ABCD 中，2AB =且60ABC ∠=︒，点M ，N 分别是棱CD ，AD 的中点，将四边形ANMC 沿着AC 转动，使得EF 与MN 重合，形成如图所示多面体，分别取BF ，DE 的中点P ，Q .（1）求证：//PQ 平面ABCD ；（2）若平面AFEC ⊥平面ABCD ，求多面体ABCDFE 的体积.参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1-5：DBCDC6-10：ABDCC11-12：AB1.【解析】A 选项考查公理2，即三点必须不在同一条直线上，才能确定一个平面；B 选项如果点在直线上，则该直线和这个点不能确定一个平面；C 选项中的四边形有可能是空间四边形，故选D .2.【解析】函数()15xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为()0,+∞，函数2y x x =+的定义域为R ，函数ln 2y x x =-的定义域为()0,+∞；函数1y x x=+的定义域为()(),00,-∞+∞，函数1y x=的定义域为()(),00,-∞+∞，故选B .3.【解析】由{}12|log 1|02A x x x x ⎧⎫=>-=<<⎨⎬⎩⎭，{}1|22|2xx x x B =⎧⎫>=>⎨⎬⎩⎭，则()0,A B =+∞，故选C .4.【解析】由已知可得2r l ππ=，所以2l r =，故2lr=.故选D . 5.【解析】函数()2f x x x a =++的图象的对称轴为12x =-，故函数在区间()0,1上单调递增，再根据函数()f x 在()0,1上有零点，可得()()00120f a f a =<⎧⎪⎨=+>⎪⎩，解20a -<<，故选C .6.【解析】函数()()10,1x f y ax a a -=>≠=的图象恒过点A ，即10x -=，可得1x =，那么1y =.∴恒过点()1,1A .把1x =，1y =带入各选项，只有A 没有经过A 点.故选A . 7.【解析】略8.【解析】()23g x x ax a =-+，则()230x a a g x x =-+>在[)2,+∞恒成立，且()23g x x ax a =-+在[)2,+∞上为增函数，所以22a≤且()240g a =+>，所以44a -<≤.故选D .9.【解析】由题，几何体如图所示（1）前面和右面组成一面此时222222PQ =+=.（2）前面和上面在一个平面此时223110PQ =+=，2210<，故选C . 10.【解析】作出函数()f x 和()g x 的图象如图，两个图象的下面部分图象，由()2230g x x x =-++=，得1x =-，或3x =，由()ln 10f x x =-=，得x e =或1x e=，∵()0g e >，∴当0x >时，函数()h x 的零点个数为3个，故选C .11.【解析】由()()2xg x h x -=，及()g x 为偶函数，()h x 为奇函数，得()222x xg x -+=，()222x x h x --=.由()()0m g x h x ⋅+≤得224121224141x x x x x x x m ----≤==-+++，∵2141x y =-+为增函数，∴max 231415x ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，故选A . 12.【解析】由平行于同一直线的两直线平行，平行于同一平面的两平面平行，可得①正确；由垂直于同一直线的两直线平行、相交或异面；垂直于同一平面的两平面相交或平行，可得②错误；由垂直于两平行直线中的一条，也垂直于另一条；垂直于两平行平面中的一个，也垂直于另一个，可得③正确；若一条直线与另两条直线无公共点，可得另两条直线可以相交；若一个平面与另两个平面无公共点，可得另两个平面无公共点；可得④错误.若三条直线两两相交，则交点可以有一个或三个，若三个平面两两相交，则交点有无数个.故选B . 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. -1 14. 43 15. 1122m -≤< 16. 4π13.【解析】若函数()x x f x e ae -=+为奇函数，则()()f x f x -=-，即()x x x x ae ae e e --+=-+，即()()10x x e a e -++=对任意的x 恒成立，则10a +=，得1a =-. 14.【解析】设正四棱锥的侧棱长与底面边长相等为2a ，则24ABCD S a =，2222422h PB BO a a a =-=-=，则31442233V a =⨯=，则1a =，则 22142242BC PF a a a S ⎛⎫=⨯⨯⨯=⨯⨯- ⎪⎝⎭侧24343a ==.15.【解析】由题设可得230a -+=，即5a =，故()()22122f m f m m -->-+-可化()()22122f m f m m +>-+，又2113m ≤+≤，21223m m ≤-+≤，故2211222m m m m +<-+⇒<，且12m ≥-.故应填答案1122m -≤<.16.【解析】将四面体ABCD 放置于正方体中，如图所示可得正方体的外接球就是四面体ABCD 的外接球，∵正四面体ABCD 的棱长为4，∴正方体的棱长为22，可得外接球半径R 满足()22322R =⨯，解得6R =.E 为棱BC 的中点，过E 作其外接球的截面，当截面到球心O 的距离最大时，截面圆的面积达最小值，此时球心O 到截面的距离等于正方体棱长的一半，可得截面圆的半径为222r R =-=，得到截面圆的面积最小值为24S r ππ==.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.【解析】证明：如图所示，连接1CD 、EF 、1A B ，因为E 、F 分别是AB 和1AA 的中点，所以1//EF A B 且112EF A B =.即：1//EF CD ，且112EF CD =，所以四边形1CD FE 是梯形，所以CE 与1D F 必相交，设交点为P ，则P CE ∈，且1P D F ∈，又CE ⊂平面ABCD ，且1D F ⊂平面11A ADD ，所以P ∈平面ABCD ，且P ∈平面11A ADD ，又平面ABCD平面11A ADD AD =，所以P AD ∈，所以CE 、1D F 、DA 三线交于一点.18.【解析】（1）因为()()f x f x -=-，所以2211x a x ax bx x bx -+--=-+++， ∴0a b ==，()21xf x x =+，任取()12,1,x x ∈+∞，且12x x <，()()1212221211x xf x f x x x -=-++()()()()21122212111x x x x x x --=++， ∵210x x ->，1210x x ->，()()2212110x x ++>，∴()f x 在()1,+∞单调递减.（2）()()2231f t t f k -+<--，()()2231f t t f k -+<-， ∵2232t t -+≥，11k ->，∴2231t t k -+>-，即()211k t >---， ∵t R ∈≤，∴()1,0k ∈-. 19.【解析】（1）由题可知：甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，所以()1804250150120277.5450f =+⨯+⨯+=. （2）依题意得202018020020x x x ≥⎧⇒≤≤⎨-≥⎩.故()()142250201804x x f x x =-++≤≤. 令25,65t x ⎡⎤=∈⎣⎦，则()()2211422508228244f x t t t =-++=--+，当82t =，即128x =时，()max 282f x =，所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元. 20.【解析】（1）由已知得30p ->且*p N ∈，所以1p =或2p =，当2p =时，()3p f x x -=为奇函数，不合题意，当1p =时，()2f x x =.所以不等式()()22132pp x x +<-变为()()1122132x x +<-，则0132x x ≤+<-，解得213x -≤<. 所以不等式()()22132p p x x +<-的解集为21,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.（2）()()2log a a g x x x =-，令()2h x x ax =-，由()0h x >得()(),0,x a ∈-∞+∞，因为()g x 在[]2,3上有定义，所以02a <<且1a ≠，所以()2h x x ax =-在[]2,3上为增函数，当12a <<时，()()()max 3log 932a g x g a ==-=，即2390a a +-=，∴3352a -±=，又12a <<， ∴3352a -+=. 当01a <<时，()()()max 2log 422a g x g a ==-=，即2240a a +-=，∴15a =-±，此时解不成立.综上：3352a -+=. 21.【解析】（1）当2m =-时，设13xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵(),0x ∈-∞，∴()1,t ∈+∞，∴()()222413t t t y g t -+=-=+=，对称轴1t =，图像开口向上，∴()g t 在()1,t ∈+∞为增函数， ∴()3g t >，∴()f x 的值域为()3,+∞.（2）由题意知，()6f x ≤在[)0,+∞上恒成立，即11239xxm ⎛⎫⎛⎫⋅≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴1233xx m ≤⋅-在[)0,x ∈+∞恒成立，则只需当[)0,x ∈+∞时，min 1233x x m ⎛⎫≤⋅- ⎪⎝⎭，设3xt =，()12h t t t=-，由[)0,x ∈+∞得1t ≥，设121t t ≤<，则()()()()12121212210t t t t h t h t t t -+-=<，所以()h t 在[)1,+∞上递增，()h t 在[)1,+∞上的最小值为()11h =，所以实数m 的取值范围为(],1-∞. 22.【解析】（1）取BE 中点R ，连接PR ，QR ，BD ，由P ，Q 分别是BF ，DE 的中点， ∴//PR EF ，//QR BD ，又∵//EF AC ，∴//PR 平面ABCD ，//QR 平面ABCD ，又∵PR QR R =，∴平面//PQR 平面ABCD ，又∵PQ ⊂平面PQR ， ∴//PQ 平面ABCD .（2）连接AC ，设AC ，BD 交于点O ， ∴BD AC ⊥，又∵平面AFEC ⊥平面ABCD ，平面AFEC平面ABCD AC =，∴BD ⊥平面AFEC .∴多面体ABCDFE 可以分解为四棱锥B ACEF -和四棱锥D ACEF -，菱形ABCD 中，2AB =且60ABC ∠=︒知：2AC =，23BD =，12ACEF ==，设梯形EFAC 的面积为()133244EFAC BD EF AC S =+⋅=， 1332ABCDFE EFAC V S BD =⋅⋅=.。

浙江省嘉兴市清华附中嘉兴实验高级中学2023-2024学年高一上学期10月学科综合素养测试数学试题

浙江省嘉兴市清华附中嘉兴实验高级中学2023-2024学年高一上学期10月学科综合素养测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集{}{}2,1,0U A x x B x x ==<=≥R ∣∣，则()U A B ⋂=ð（）A ．{0}x x <∣B ．{1}x x <-∣C ．{10}x x -<<∣D ．{01}xx <<∣ 2．设x ∈R ，则“x ＞1”是“2x ＞1”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知函数(1)32f x x +=+，则()f x 的解析式是（） A ．()31f x x =- B ．()31f x x =+C ．()32f x x =+D ．()34f x x =+4．若023x <<，则(32)x x -的最大值为（） A ．916 B ．94C ．2D ．985．已知函数()f x 的定义域是[]1,3-，则函数()21f xg x -=的定义域是( )A ．[)3,1-B ．()0,1C ．[)0,1D ．[]3,1-6．定义运算a b ⊗如下:()1,0,2,0.a b a a b a b a ⎧-<⊗=⎨-≥⎩设函数()()1f x x x =⊗+，则该函数的图象是（）A ．B ．C ．D ．7．若关于x 的不等式21kx kx -<的解集为R ，则实数k 的取值范围是（） A ．()4,0- B ．(4,0]- C ．[]4,0-D ．(,4][0,)-∞-+∞U8．已知函数25,1(),1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，则a 的范围是（） A ．[)3,0-B ．[] 3,2--C ．(,2]-∞-D ．(,0]-∞二、多选题9．已知集合2{|90}A x x =-=，则下列式子表示正确的有（） A ．3A ∈B ．{}3A -∈C ．A ∅⊆D ．{}3,3A -⊆10．若,,a b c ∈R ，则下列命题错误的是（）A ．若a b >，则22a b >B ．若a b >，则11a b <C ．若0a b c >>>，则a a c b b c+<+ D ．若0a b c >>>，则b ca b a c>-- 11．下列函数中，在定义域上既是奇函数，又是减函数的是（）A ．()3f x x x =--B ．()221,00,01,0x x f x x x x ⎧+<⎪==⎨⎪-->⎩C ．()1f x x =-D ．()3f x x=-12．对任意两个实数a ，b ，定义{},,,a a bmin a b b a b⎧=⎨>⎩…，若2()2f x x =-，2()2g x x =-，下列关于函数(){()F x min f x =，()}g x 的说法正确的是（）A ．函数()F x 是偶函数B ．方程()0F x =有两个解C ．函数()F x 有4个单调区间D ．函数()F x 有最大值为0，无最小值三、填空题13．若命题“[]01,2x ∃∈-，00x a ->”为假命题，则实数a 的最小值为.14．设函数221,1()2,1x x f x x x x ⎧-≤=⎨+->⎩则1()(2)f f 的值为． 15．已知定义在R 上的偶函数()f x 在(],0-∞上单调递增，()13f =-，若(31)3f x +≤-，则x 的取值范围是．16．若两个正实数,x y 满足3x y +=，且不等式2416351m m x y+>-++恒成立，则实数m 的取值范围为．四、解答题17．已知集合{|2A x x =-…或3}x …，{}B |05x x =<<，{}|12C x m x m =-≤≤ （1）求A B ⋂，()R A B ⋃ð；（2）若B C C ⋂=，求实数m 的取值范围．18．（1）已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值.（2）已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集是{2xx <-∣或1}2x >-，求不等式20ax bx c -+>的解集.19．已知全集U =R ，集合203x A xx ⎧-⎫=<⎨⎬-⎩⎭，()(){}220B x x a x a =---<. (1)当12a =时，求()U B A I ð； (2)命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围. 20．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()1f x x x =-，(1)求函数()f x 的解析式；(2)在给定的直角坐标系内画出()f x 的图像，并指出()f x 的减区间（不必说明理由）； (3)求()f x 在[]2,1-上的最大值和最小值（不必说明理由）. 21．已知函数()21ax bf x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. (1)求函数()f x 的解析式；(2)判断函数()f x 在()1,1-上的单调性并用定义证明；(3)解关于x 的不等式()()210f x f x -+<.22．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，飞机票价格为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，飞机票价格就减少10元，直到达到规定人数75人为止.旅行团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元.(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？。

高中数学必修综合测试卷三套+含答案

高一数学必修一综合测试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，则m 的值为（） A ．1 B ．1- C ．1或1- D ．1或1-或02、函数1()(0)f x x x x =+≠是（）A 、奇函数，且在(0，1)上是增函数B 、奇函数，且在(0，1)上是减函数C 、偶函数，且在(0，1)上是增函数D 、偶函数，且在(0，1)上是减函数3. 已知b ax y x f B y A x R B A +=→∈∈==:,,,是从A 到B 的映射，若1和8的原象分别是3和10，则5在f 下的象是（）A .3B .4C .5D .64. 下列各组函数中表示同一函数的是（）⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(，()g x ； ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x fA 、⑴、⑵B 、 ⑵、⑶C 、 ⑷D 、 ⑶、⑸5．若)(x f 是偶函数，其定义域为()+∞∞-,，且在[)+∞,0上是减函数，则)252()23(2++-a a f f 与的大小关系是（）A ．)23(-f >)252(2++a a f B ．)23(-f <)252(2++a a f C ．)23(-f ≥)252(2++a a f D ．)23(-f ≤)252(2++a a f 6.设⎪⎩⎪⎨⎧-=-)1(log 2)(231x ex f x )2()2(≥<x x 则[])2(f f =（） A .2 B .3 C .9 D .187．函数1(0,1)x y a a a a=->≠的图象可能是（）8.给出以下结论：①11)(--+=x x x f 是奇函数；②221)(2-+-=x x x g 既不是奇函数也不是偶函数；③)()()(x f x f x F -= )(R x ∈是偶函数；④xxx h +-=11lg )(是奇函数.其中正确的有（）个A .1个B .2个C .3个D .4个9. 函数1)3(2)(2+-+=x a ax x f 在区间[)+∞-,2上递减，则实数a 的取值范围是（）A .(]3,-∞-B .[]0,3-C . [)0,3-D .[]0,2-10.函数33()11f x x x =++-,则下列坐标表示的点一定在函数f(x)图象上的是（）A ．(,())a f a --B ．(,())a f a -C ．(,())a f a -D ．(,())a f a ---11. 若函数a x x x f +-=24)(有4个零点，则实数a 的取值范围是（）A . []0,4- B. []4,0 C. )4,0( D. )0,4(-12. 设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集是（） A ．{}|303x x x -<<>或 B ．{}|303x x x <-<<或C ．{}|3003x x x -<<<<或D ．{}|33x x x <->或二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．若函数2()(1)3f x kx k x =+-+是偶函数，则()f x 的递减区间是；14.已知函数11()()142x x y =-+的定义域为[3,2]-，则该函数的值域为；15. 函数()()R b a x bax x f ∈+-=,25，若()55=f ，则()=-5f ；16.设函数()f x ＝x |x |＋b x ＋c ，给出下列四个命题：①若()f x 是奇函数，则c ＝0②b ＝0时，方程()f x ＝0有且只有一个实根 ③()f x 的图象关于(0，c )对称④若b ≠0，方程()f x ＝0必有三个实根其中正确的命题是 (填序号)三、解答题（解答应写文字说明，证明过程或演算步骤）17.(10分)已知集合{}0652<--=x x x A ，集合{}01562≥+-=x x x B ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧<---=09m x m x x C（1）求B A ⋂（2）若C C A =⋃，求实数m 的取值范围；18．（本小题满分12分）已知函数()log (1),()log (1)a a f x x g x x =+=-其中)10(≠>a a 且，设()()()h x f x g x =-.（1）求函数()h x 的定义域，判断()h x 的奇偶性，并说明理由；（2）若(3)2f =，求使()0h x <成立的x 的集合。

高一数学第一章至第三章单元综合测试卷

高中数学综合测试卷 (时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为( ) A ．(0,1) B ．(1,0) C ．(0,2) D ．(2,0) 答案 B解析由抛物线的定义知抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)． 2．命题“若a ＞b ，则a －1＞b －1”的否命题是( ) A ．“若a ＞b ，则a －1≤b －1” B ．“若a ＞b ，则a －1＜b －1” C ．“若a ≤b ，则a －1≤b －1” D ．“若a ＜b ，则a －1＜b －1” 答案 C解析否命题为“若a ≤b ，则a －1≤b －1”．3．若命题p ：φ＝π2＋k π，k ∈Z ，命题q ：f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则p是q 的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析当φ＝π2＋k π，k ∈Z 时，f (x )＝±cos ωx 是偶函数，所以p 是q 的充分条件；若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是偶函数，则sin φ＝±1，即φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以p 是q 的必要条件，故p 是q 的充要条件，故选A. 4．已知a ，b ∈R ，则“ln a ＞ln b ”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵ln a ＞ln b ⇔a ＞b ＞0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b⇔a ＞b .而a >b >0是a >b 的充分而不必要条件．∴“ln a ＞ln b ”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b”的充分而不必要条件．5．以双曲线x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( ) A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1答案 D解析由x 24－y 212＝－1，得y 212－x 24＝1.∴双曲线的焦点为(0,4)，(0，－4)，顶点坐标为(0,23)，(0，－23)． ∴椭圆方程为x 24＋y 216＝1.6．若命题“∃x ∈R ，使x 2＋(a －1)x ＋1＜0”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．1≤a ≤3 B ．－1≤a ≤3 C ．－3≤a ≤3 D ．－1≤a ≤1答案 B解析根据题意可得∀x ∈R ，都有x 2＋(a －1)x ＋1≥0， ∴Δ＝(a －1)2－4≤0，∴－1≤a ≤3.7.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B 1，CC 1的中点，P 为AD 上一动点，记α为异面直线PM 与D 1N 所成的角，则α的集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2 B.⎩⎨⎧ α⎪⎪⎪⎭⎬⎫π6≤α≤π2 C.⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫π4≤α≤π2 D.⎩⎨⎧ α⎪⎪⎪⎭⎬⎫π3≤α≤π2答案 A解析取C 1D 1的中点E ，PM 必在平面ADEM 上，易证D 1N ⊥平面ADEM .本题也可建立空间直角坐标系用向量求解．8．以双曲线x 24－y 25＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是( ) A ．y 2＝12x B ．y 2＝－12x C ．y 2＝6x D ．y 2＝－6x答案 A解析由x 24－y 25＝1，得a 2＝4，b 2＝5，∴c 2＝a 2＋b 2＝9. ∴右焦点的坐标为(3,0)，故抛物线的焦点坐标为(3,0)，顶点坐标为(0,0)．故p2＝3.∴抛物线方程为y 2＝12x .9．过点P (－4,0)的直线l 与曲线C ：x 2＋2y 2＝4交于A ，B 两点，则AB 中点Q 的轨迹方程为( ) A ．(x ＋2)2＋2y 2＝4B ．(x ＋2)2＋2y 2＝4(－1＜x ≤0)C ．x 2＋2(y ＋2)2＝4D ．x 2＋2(y ＋2)2＝4(－1＜x ≤0) 答案 B解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Q (x ，y )，则x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，⎩⎨⎧x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4， ⇒x 22－x 21＝－2(y 22－y 21)⇒y 2－y 1x 2－x 1＝－12⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋x 1y 2＋y 1⇒k AB ＝－x2y ⇒k PQ ＝y x ＋4＝－x2y ⇒(x ＋2)2＋2y 2＝4， AB 中点Q 的轨迹方程为(x ＋2)2＋2y 2＝4(－1＜x ≤0)．10．已知命题p ：“若a ＞b ＞0，则1122log log ＜＋1a b ”，则命题p 的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4 答案 B解析对于命题p ，当a ＞b ＞0时，有1122log log ＜a b ，则必有1122log log ＜＋1a b ，因此原命题正确，逆否命题也正确；但当1122log log ＜＋1a b 时，得1122log log 2＜b a ，得a ＞b2＞0，不一定有a ＞b ＞0，因此逆命题不正确，故否命题也不正确．因此真命题的个数为1.11．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( ) A. 5 B ．2 C. 3 D. 2 答案 D解析如图，设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则|AB |＝2a ，由双曲线的对称性，可设点M (x 1，y 1)在第一象限内，过M 作MN ⊥x 轴于点N (x 1,0)，∵△ABM 为等腰三角形，且∠ABM ＝120°， ∴|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBN ＝60°，∴y 1＝|MN |＝|BM |sin ∠MBN ＝2a sin 60°＝3a ， x 1＝|OB |＋|BN |＝a ＋2a cos 60°＝2a .将点M (x 1，y 1)的坐标代入x 2a 2－y 2b 2＝1，可得a 2＝b 2， ∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝2，选D.12．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6 答案 B解析如图所示，S △ABC ＝12×3×3×sin 60°＝334.设O 点是平面ABC 的中心， ∴V ABC －A 1B 1C 1＝S △ABC ×OP ＝334×OP ＝94，∴OP ＝ 3.又OA ＝3×32×23＝1， ∴tan ∠OAP ＝OP OA ＝31＝3，又0＜∠OAP ＜π2，∴∠OAP ＝π3.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若命题p ：一元一次不等式ax ＋b ＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞－b a ，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )＜0的解集为{x |a ＜x ＜b }，则“p ∧q ”“p ∨q ”及“綈p ”形式的复合命题中真命题是________．答案 ¬p解析 p 为假命题，因为a 符号不定，q 为假命题，因为a 、b 大小不确定．所以p ∧q 假，p ∨q 假，¬p 真．14．在四面体OABC 中，OA→＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________(用a ，b ，c 表示)．答案 12a ＋14b ＋14c 解析 OE→＝12(OA →＋OD →)＝12OA →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12OB →＋12OC →＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c .15．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则∠F 1PF 2的大小为________．答案 120°解析椭圆x 29＋y 22＝1中a 2＝9，a ＝3，b 2＝2， c 2＝a 2－b 2＝7，所以c ＝7.因为|PF 1|＝4，且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，所以|PF 2|＝6－4＝2.所以cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝42＋22－(27)22×4×2＝－12，所以∠F 1PF 2＝120°.16．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AD ＝AA 1＝1，则直线BD 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值为________．答案 63解析建立如图所示空间坐标系Dxyz ，则A (1,0,0)，B (1,2,0)，D 1(0,0,1)．因为AB ⊥平面BCC 1B 1，所以AB →＝(0,2,0)为平面BCC 1B 1的法向量．设直线BD 1与平面BCC 1B 1所成角为θ，则有sin θ＝|cos 〈AB →，BD →1〉|＝|AB →·BD →1||AB →| |BD →1| ＝|(0，2，0)·(－1，－2，1)|2×6＝63.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知p ：“直线x ＋y －m ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝1相交”；q ：“mx 2－x ＋m －4＝0有一正根和一负根”．若p ∨q 为真，¬ p 为真，求m 的取值范围．解对p ：∵直线与圆相交， ∴d ＝|1－m |2＜1. ∴－2＋1＜m ＜2＋1.对q ：方程mx 2－x ＋m －4＝0有一正根和一负根， ∴令f (x )＝mx 2－x ＋m －4，∴⎩⎨⎧ m ＞0，f (0)＜0或⎩⎨⎧m ＜0，f (0)＞0解得0＜m ＜4. 又∵¬ p 为真，∴p 假．又∵p ∨q 为真，∴q 为真．由数轴可得2＋1≤m ＜4. 故m 的取值范围是2＋1≤m ＜4.18．(12分)已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A 、B 两点． (1)求a 的取值范围；(2)若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值．解 (1)由⎩⎨⎧y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1消去y ，得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.依题意得⎩⎨⎧3－a 2≠0，Δ＞0，即－6＜a ＜6且a ≠±3.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2a3－a 2，x 1x 2＝－23－a 2.∵以AB 为直径的圆过原点， ∴OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，即x 1x 2＋(ax 1＋1)(ax 2＋1)＝0，即(a 2＋1)x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1＝0. ∴(a 2＋1)·－23－a 2＋a ·2a3－a 2＋1＝0，∴a ＝±1，符合题意．故a ＝±1.19．(12分)已知曲线Γ上的点到点F (0,1)的距离比它到直线y ＝－3的距离小2. (1)求曲线Γ的方程；(2)曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A ，直线y ＝3分别与直线l 及y 轴交于点M ，N .以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B .试探究：当点P在曲线Γ上运动(点P 与原点不重合)时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论．解 (1) 方法一设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点，依题意，点S 到F (0,1)的距离与它到直线y ＝－1的距离相等，所以曲线Γ是以点F (0,1)为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为x 2＝4y .方法二设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点，则 |y －(－3)|－(x －0)2＋(y －1)2＝2，依题意，点S (x ，y )只能在直线y ＝－3的上方，所以y ＞－3，所以(x －0)2＋(y －1)2＝y ＋1，化简，得曲线Γ的方程为x 2＝4y .(2)当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．证明如下：由(1)知抛物线Γ的方程为y ＝14x 2，设P (x 0，y 0)(x 0≠0)，则y 0＝14x 20，由y ′＝12x ，得切线l 的斜率0012＝x x k y x ='=所以切线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝0得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0，0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝3得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0＋6x 0，3. 又N (0,3)，所以圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 0＋3x 0，3，半径r ＝12|MN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪14x 0＋3x 0，|AB |＝|AC |2－r 2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x 0－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 0＋3x 02＋32－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 0＋3x 02＝ 6.所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变． 20．(12分)如图，平面P AC ⊥平面ABC ，△ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E ，F ，O 分别为P A ，PB ，AC 的中点，AC ＝16，P A ＝PC ＝10.设G 是OC 的中点，证明：FG ∥平面BOE .证明如图，连接OP ，以点O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，则O (0,0,0)，B (8,0,0)，P (0,0,6)，E (0，－4,3)，F (4,0,3)，G (0,4,0)．因为OB→＝(8,0,0)，OE →＝(0，－4,3)，设平面BOE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·OB →＝8x ＝0，n ·OE →＝－4y ＋3z ＝0，解得x ＝0,4y ＝3z ，令z ＝4，则n ＝(0,3,4)，所以平面BOE 的一个法向量为n ＝(0,3,4)．由FG →＝(－4,4，－3)，得n ·FG →＝0，所以FG →⊥n . 又直线FG 不在平面BOE 内，所以FG ∥平面BOE .21．(12分)已知椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1 (a ＞b ＞0)的离心率为22，且a 2＝2b . (1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：x －y ＋m ＝0与椭圆交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，求m 的值．解(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a 2＝2b ，b 2＝a 2－c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，b ＝1，故椭圆的方程为x 2＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)．联立直线与椭圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 22＝1，x －y ＋m ＝0，即3x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，所以x 0＝x 1＋x 22＝－m 3，y 0＝x 0＋m ＝2m3，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 3，2m 3，又因为M 点在圆x 2＋y 2＝5上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 32＝5，解得m ＝±3.22．(12分)如图所示，正方形AA 1D 1D 与矩形ABCD 所在平面互相垂直，AB ＝2AD ＝2，点E 为AB 的中点． (1)求证：BD 1∥平面A 1DE ； (2)求证：D 1E ⊥A 1D ；(3)在线段AB 上是否存在点M ，使二面角D 1－MC －D 的大小为 π6？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．由题意可得D 1D ⊥平面ABCD ，以点D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，C (0,2,0)， A 1(1,0,1)，D 1(0,0,1)， B (1,2,0)，E (1,1，0)．(1)证明 DA →1＝(1,0,1)，DE →＝(1,1,0)，设平面A 1DE 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA 1→＝0，n 1·DE →＝0，得⎩⎨⎧x 1＋z 1＝0，x 1＋y 1＝0，取x 1＝1，则n 1＝(1，－1，－1)是平面A 1DE 的一个法向量，又BD →1＝(－1，－2,1)，且BD →1·n 1＝(－1，－2,1)·(1，－1，－1)＝0，故BD →1⊥n 1，又BD 1⊄平面A 1DE .故BD 1∥平面A 1DE .(2)证明由题意得D 1E →＝(1,1，－1)，DA →1＝(1,0,1)，D 1E →·DA →1＝(1,1，－1)·(1,0,1)＝0， D 1E →⊥DA →1，故D 1E ⊥A 1D .(3)解设M (1，y 0,0)(0≤y 0≤2)，因为MC →＝(－1,2－y 0,0)，D 1C →＝(0,2，－1)，设平面D 1MC 的一个法向量为v 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ v 1·MC →＝0，v 1·D 1C →＝0，得⎩⎨⎧－x ＋y (2－y 0)＝0，2y －z ＝0，取y ＝1，则v 1＝(2－y 0,1,2)是平面D 1MC 的一个法向量，而平面MCD 的一个法向量为v 2＝(0,0,1)，要使二面角D 1MCD 的大小为π6，则cos π6＝|cos 〈v 1，v 2〉|＝|v 1·v 2||v 1|·|v 2| ＝2(2－y 0)2＋12＋22＝32，解得y 0＝2－33(0≤y 0≤2)．所以当AM ＝2－33时，二面角D 1－MC －D 的大小为π6.。

高一数学必修4综合能力测试

本册综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．若α＝－3，则α是第( )象限角．( ) A ．一 B ．二 C ．三 D ．四[答案] C[解析] ∵－π<－3<－π2，∴－3为第三象限角．2．已知扇形的周长为8 cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为( )A ．4 cm 2B ．6 cm 2C ．8 cm 2D ．16 cm 2[答案] A[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2r ＋l ＝8，l ＝2r.解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝4.所以S ＝12lr ＝4(cm 2)．3．有三个命题：①向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 必在同一条直线上；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③单位向量都相等，其中真命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[答案] A4．已知sin θ<0，tan θ>0，则1－sin 2θ化简的结果为( ) A ．cos θ B ．－cos θ C ．±cos θ D ．以上都不对[答案] B[解析] ∵sin θ<0，tan θ>0，故θ为第三象限角，∴cos θ<0. ∴1－sin 2θ＝cos 2θ＝|cos θ|＝－cos θ. 5．tan(－1560°)的值为( ) A ．－ 3 B ．－33C.33D. 3 [答案] D[解析] tan(－1560°)＝－tan1560°＝－tan(4×360°＋120°)＝－tan120°＝－tan(180°－60°)＝tan60°＝ 3.6．已知α是锐角，a ＝(34，sin α)，b ＝(cos α，13)，且a ∥b ，则α为( )A ．15°B ．45°C ．75°D ．15°或75°[答案] D[解析] ∵a ∥b ，∴sin α·cos α＝34×13，即sin2α＝12又∵α为锐角，∴0°<2α<180°. ∴2α＝30°或2α＝150° 即α＝15°或α＝75°.7．已知sin α>sin β，那么下列命题中成立的是( ) A ．若α，β是第一象限角，则cos α>cos β B ．若α，β是第二象限角，则tan α>tan β C ．若α，β是第三象限角，则cos α>cos β D ．若α，β是第四象限角，则tan α>tan β [答案] D[解析] 可以结合单位圆进行判断． 8．函数y ＝sin x (π6≤x ≤2π3)的值域是( )A ．[－1,1]B ．[121]C ．[12，32]D ．[32，1][答案] B[解析] 可以借助单位圆或函数的图象求解．9．要得到函数y ＝3sin(2x ＋π4)的图象，只需将函数y ＝3sin2x 的图象( )A ．向左平移π4个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π8个单位D ．向右平移π8个单位[答案] C10．已知a ＝(1，－1)，b ＝(x ＋1，x )，且a 与b 的夹角为45°，则x 的值为( )A ．0B ．－1C ．0或－1D ．－1或1[答案] C[解析] 由夹角公式：cos45°＝x ＋1－x2·(x ＋1)2＋x 2＝22，即x 2＋x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1.11．(2012·全国高考江西卷)若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan2α＝( )A ．－34B.34 C ．－43D.43[答案] B[解析] 主要考查三角函数的运算，分子分母同时除以cos α可得tan α＝－3，带入所求式可得结果．12．设a ＝sin17°cos45°＋cos17°sin45°，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则有( )A ．c <a <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c[答案] A[解析] a ＝sin62°，b ＝cos26°＝sin64°，c ＝32＝sin60°，∴b >a >c . 第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．若tan α＝3，则sin αcos α的值等于________．[答案] 310[解析] sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝31＋9＝310. 14．已知：|a |＝2，|b |＝2，a 与b 的夹角为π4，要λb －a 与a 垂直，则λ为________．[答案] 2[解析] 由题意a ·(λb －a )＝0，即λa ·b －|a |2＝0，∴λ·2×2×22－4＝0，即λ＝2.15．函数y ＝sin(π3－2x )＋sin2x 的最小正周期是________．[答案] π[解析] y ＝sin π3cos2x －cos π3sin2x ＋sin2x ＝32cos2x ＋12sin2x ＝cos(2x －π6)，故T ＝2π2＝π.16．已知三个向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，且A 、B 、C 三点共线，则k ＝________.[答案] －2或11[解析] 由A 、B 、C 三点共线，可得AB →＝λBC →，即(4－k ，－7)＝λ(6，k －5)，于是有方程组⎩⎪⎨⎪⎧k ＋6λ＝4，kλ－5λ＝－7，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2λ＝1，或⎩⎨⎧k ＝11λ＝－76.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)已知tan α＝12，求1＋2sin (π－α)cos (－2π－α)sin 2(α)－sin 2(5π2－α)的值．[解析] 原式＝1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝(sin α＋cos α)2(sin α－cos α)(sin α＋cos α)＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1 又∵tan α＝12，∴原式＝12＋112－1＝－3.18．(本题满分12分)已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π6，π2]上的最大值和最小值．[解析] (1)f (x )＝2sin(π－x )cos x ＝2sin x cos x ＝sin2x ∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由－π6≤x ≤π2，知－π3≤2x ≤π∴－32≤sin2x ≤1∴f (x )在区间[－π6，π2]上的最大值为1，最小值为－32.19．(本题满分12分)已知向量a ＝3e 1－2e 2，b ＝4e 1＋e 2，其中e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)，求：(1)a ·b ；|a ＋b |；(2)a 与b 的夹角的余弦值．[解析] (1)a ＝3(1,0)－2(0,1)＝(3，－2)， b ＝4(1,0)＋(0,1)＝(4,1)， a ·b ＝3×4＋(－2)×1＝10.∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2＋20＋|b |2 ＝13＋20＋17＝50， ∴|a ＋b |＝5 2.(2)cos<a ，b >＝a ·b |a ||b |＝1013·17＝10221221.20．(本题满分12分)(2011～2012浙江调研)设向量α＝(3sin 2x ，sin x ＋cos x )，β＝(1，sin x －cos x )，其中x ∈R ，函数f (x )＝α·β.(1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (θ)＝3，其中0<θ<π2cos(θ＋π6)的值．[解析] (1)由题意得f (x )＝3sin2x ＋(sin x ＋cos x )·(sin x －cos x )＝3sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π6)，故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(5分)(2)由(1)知，f (θ)＝2sin(2θ－π6)，若f (θ)＝3，则sin(2θ－π6)＝32.又因为0<θ<π2，所以－π6<2θ－π6<5π6，则2θ－π6＝π3或2θ－π6＝2π3，故θ＝π4或θ＝5π12.(9分)当θ＝π4时，cos(θ＋π6)＝cos(π4＋π6)＝cos π4cos π6－sin π4sin π6＝6－24.(12分)当θ＝5π12时，cos(θ＋π6)＝cos(5π12＋π6)＝cos(π－5π12)＝－cos 5π12＝－cos(π4＋π6)＝－6－24.(15分)21．(本题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，|φ|<π2)的最大值为22，最小值为－2，周期为π，且图象过(0，－24)． (1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调递增区间．[解析] (1)∵f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的最大值为22，最小值为－2.∴A ＝322，B ＝22.又∵f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的周期为π， ∴φ＝2πω＝π，即ω＝2.∴f (x )＝322sin(2x ＋φ)＋22又∵函数f (x )过(0，－24)，∴－24＝322sin φ＋22，即sin φ＝－12.又∵|φ|<π2，∴φ＝－π6，∴f (x )＝322sin(2x －π6)＋22.(2)令t ＝2x －π6，则y ＝322sin t ＋22，其增区间为：[2k π－π2，2k π＋π2]，k ∈Z .即2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z .解得k π－π6≤x ≤k π＋π3.(k ∈Z )所以f (x )的单调递增区间为[k π－π6，k π＋π3]，k ∈Z .22．(本题满分12分)(2012·全国高考山东卷)已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝(3A cos x ，A2cos2x )(A >0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6.(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)将函数y ＝f (x )的图象像左平移π12个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域。

福建省福州市三校联考2023届高一上数学期末综合测试试题含解析

C. 的一个零点为 D. 在区间的最小值为1
3．已知定义在上的奇函数，满足，当时，，则函数在区间上的所有零点之和为（）
A. B.
C. D.
4．关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（）
A. B.
C. D.
5．sin1830°等于（）
A. B.
C. D.
6．已知函数，则的大致图像为（）
① ，，解得：；
②函数刚好经过点或者，另一个零点属于，
把点代入，解得：，
此时方程为，两根为，，而，不合题意，舍去
把点代入，解得：，
此时方程为，两根为，，而，故符合题意；
③函数与x轴只有一个交点，横坐标属于，
，解得，
当时，方程的根为，不合题意；
若，方程的根为，符合题意
（1）求的解析式；
（2）仓库应建在离车站多远处，可使总费用最小，并求最小值
21．已知函数f(x)＝lg(3＋x)＋lg(3－x)
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由
22．已知：
(1)求的值
(2)若，求的值.
参考答案
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
小问1详解】
由题设，，
∴ ，
即，故，
当时，，不成立，舍去；
当时，，验证满足.
综上： .
【小问2详解】
由，即，
又为增函数，由（1）所得解析式知：上递增，
∴ 在单调递增-
故，故 .