《数字信号处理》期中考试试卷(2012年)参考答案

电子科技大学
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2011–2012学年第二学期期中考试试卷（参考答案）
开课学院： 物理与电子信息学院 课程名称： 数字信号处理 考试形式：开卷，所需时间90分钟
注意事项：1、教师出题时请勿超出边界虚线；
2、学生答题前将密封线外的内容填写清楚，答题不得超出密封线；
3、答题请用蓝、黑钢笔或圆珠笔。

一、填空（共20分，每空2分）
1. 采样频率f s 对应于模拟角频率Ω= 2πf s ，对应于数字角频率ω= 2π 。

2. 如果8点序列x(n)的 16点DFT 为X 16(k)={X(0),X(1),X(2),……X(15)},则其8点DFT 为X 8(k)= {X(0), X(2), X(4), X(6), X(8), X(10), X(12), X(14)} 。

3. 对模拟信号进行数字信号处理，在A/D 转换器前信号要经过前置低通，该低通滤波器的作用是__防混叠滤波__;在D/A 转换器后信号要经过后置低通，该低通滤波器的作用是 防镜像滤波 。

4. 已知序列x (n )= a n u (n )的Z 变换收敛域为|Z|>|a |,序列y (n )= a n u (n -M)的Z 变换的收敛域为|Z|>|a |，则序列x(n)-y(n)的Z 变换的收敛域为 |Z|>0 。

5. 当单位脉冲响应分别为h 1(n )和h 2(n )的两个线性时不变离散时间系统级联（串联）时，其级联系统的单位脉冲响应为 h 1(n )*h 2(n ) ，系统函数为 H 1(z )H 2(z ) 。

6. 凡是因果系统，系统的极点只能在单位圆内。

（对或错）( 错 )
7. 若某序列的傅立叶变换（DTFT ）存在，则其离散傅立叶变换（DFT ）也
存在。

（对或错）( 对 )
二、计算题（共20分，每题10分）
1. 计算周期序列x[n]=cos(πn/M)的自相关序列R xx ，其中M 为正整数，并确定R xx 的周期。

解：
1*1
111
21
()()()
21cos()cos()21cos(
)cos()cos()sin()sin()211cos()cos ()sin()cos()sin()22111cos()222M xx n M M n M M n M
M M n M n M R m x n x n m M
n n m
M M M
n n m n m M
M M M M M m n m n n M M M M M M M m M M π
ππππππππππππ-=--=--=---=-=-=
--=⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦
=+=+∑
∑∑
∑∑112112cos()sin()sin()221cos()2M M n M n M n m n M M M M m M
ππππ--=-=-⎡⎤+⎢⎥⎣⎦=∑∑
R xx 的周期为N=2M 。

2. 已知序列x (n ) =|n -3| u (n )，试求其Z 变换。

解：x (n ) =|n -3| u (n )=3δ(n)+ 2δu(n-1)+ δ(n-3) +(n-3)u(n-3)
2{()}(),||11(1)
d z z Z nu n z
z dz z z =-=>-- 1232
(){()}{3()2(1)(2)(3)(3)}
32,||1
(1)X z Z x n Z n n n n u n z
z z z z z δδδ---==+-+-+--=+++>-
三、问答题（共20分，每题10分）
下列各系统中，x(n)表示激励，y(n)表示系统响应，问
1. ()()n
m y n x m =-∞
=
∑是否为线性系统，时不变系统？为什么？
解：设11
()()n m y n x m =-∞=
∑，2
2
()()n
m y n x m =-∞
=∑
则31
2
1
2
1
2
()[()()]()()()()n
n
n
m m m y n ax m bx m a x m b x m ay n by n =-∞
=-∞
=-∞
=
+=+=+∑∑∑
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故()()n m y n x m =-∞
=
∑是线性系统。

由于41
1
1
()()()()n
n k
m l y n x m k x l y n k -=-∞
=-∞
=
-==-∑∑
故()()n
m y n x m =-∞
=
∑是时不变系统。

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2. y (n )=x (n -n 0)是否为稳定系统、因果系统? 为什么?
解： 若|x (n )|<B ，则有|y (n )|=|x (n -n 0)|<B ；
故y (n )=x (n -n 0)是稳定系统。

当n 0≥0时，y (n )=x (n -n 0)与将来的输入x (n )无关，故y (n )=x (n -n 0)是因果系统；
当n 0<0时，y (n )=x (n -n 0)与将来的输入x (n )有关，故y (n )=x (n -n 0)是非因果系统。

四、(20分) x (n )是长度为N 的有限长序列，其N 点的DFT 为X (k )。

如果 x e (n )=[x (n )+x *(N -n )]/2，x o (n )=[x (n )-x *(N -n )]/2。

证明：DFT{ x e (n )}=Re{X(k)}，DFT{ x o (n )}=j Im{X(k)}。

证：
1
*
*0**
11()00*{()}()()()()
N nk
N
n N N nk N n k N N
n n DFT x N n x N n W x N n W x N n W X k -=----==-=-⎡⎤⎡⎤=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=∑∑∑
*
**()()
{()}{
}
2
[{()}{()}]2[()()]2Re{()}
e x n x N n DFT x n DFT DFT x n DFT x N n X k X k X k +-==+-=+= ***()()
{()}{}
2
[{()}{()}]2[()()]2Im{()}
o x n x N n DFT x n DFT DFT x n DFT x N n X k X k j X k --==--=-=
五、(20分)画出N=16点的按频率抽取的FFT 分解流程图，要求： 1. 按照N=2×8分解，注明输入、输出序列及每一级的W 因子； 2. 指出比直接计算DFT 节约了多少次乘法运算。

解：1、信号流图如下所示
2、直接计算时的乘法次数为16*16=256次，现按N=2×8 分解则两
个8点DFT 的乘法次数为2 *8*8=128，然后由两个8点DFT 的结果导出16点DFT 的结果需要8个蝶形结，每个蝶形结含一次复数乘法。

所以共有8 次乘法运算，故总共含乘法次数为128+8=136 次，因此减少的乘法次数为120 次。

16x x x x x x x x x x x x x x x x X (0) X (2) X (4) X (6)
X (8) X (10) X (12) X (14)
X (1) X (3) X (5)
X (7) X (9) X (11) X (13) X (15)
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-1 -1 -1 -1 -1
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-1
-1
-1 -1 -1 -1
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-1 -1
-1 -1
-1 -1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
716
W
616
W
516W
416
W
3
16
W
216
W
116W
016
W
616W
416W 216
W 016
W 616W
416W 216
W 016
W 416
W
016
W 416
W
016
W 416
W
016
W 416
W
016
W x (0) x (1) x (2) x (3) x (4) x (5) x (6) x (7) x (8) x (9) x (10) x (11) x (12) x (13) x (14) x (15) X (0) X (2) X (4)
X (6) X (8)
X (10) X (12)
X (14) X (1)
X (3) X (5)
X (7) X (9)
X (11) X (13)
X (15)。