几种常见函数的导数

§ 3.2 几种常见函数的导数

课时安排

1课时

从容说课

本节依次要讲述函数y =C (常量函数)，y =x n (n ∈Q )，y =sin x ，y =cos x 的导数公式，这些公式都是由导数的定义导出的,所以要强调导数定义在解题中的作用.

(1)关于公式(x n )′=nx n -1(n ∈Q )，这个公式的证明比较复杂，教科书中只给了n ∈N *情况下的证明.实际上，这个公式对于n ∈R 都成立.在n ∈N *的情况下证明公式，一定要让学生自主去探索，特别是x

x x x x x f x x f n

n ∆-∆+=∆-∆+)()()(要运用二项式定理展开后再证明，化为12211)(---∆++∆⋅+n n n n n n n x C x x C x C ，当Δx →0时，其极限为11-n n x C 即nx n -1.在讲完这个公式后教师可以因势利导，让学生利用定义或这个公式求y =(x -a)n 的导数，学生一定会模仿上述方法用定义求解，这是十分可贵的.也有的学生要利用二项式定理先将(x -a)n 展开，然后求导,即利用(x n )′=nx n -1求导.y =(x -a )n =n n n n n n n n n n a C a x C a x C x C )1(222110-⋅+-+-=-- ，

1112110)1()1(------++-⋅-='n n n n n n n n a C a x n C x nC y ，利用11--=k n k n nC kC 将其合并成二项式定理的形式.当然有这种解法的，应该提出表场，激励学生大胆创新，同时也要提出这要运用导数的和差运算法则，并告诉学生这是2003年高考题.

(2)运用定义证明公式(sin x )′=cos x ,(cos x )′=-sin x ，要用到极限1sin lim

0=→∆x

x x ，根据学生的情况可以补充证明.

第五课时

课 题 § 3.2 几种常见函数的导数

教学目标

一、教学知识点

1.公式1 C ′=0(C 为常数)

2.公式2 (x n )′=nx n -1(n ∈Q )

3.公式3 (sin x )′=cos x

4.公式4 (cos x )′=-sin x

5.变化率

二、能力训练要求

1.掌握四个公式，理解公式的证明过程.

2.学会利用公式，求一些函数的导数.

3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题.

三、德育渗透目标

1.培养学生的计算能力.

2.培养学生的应用能力.

3.培养学生自学的能力.

教学重点

四种常见函数的导数:C ′=0(C 为常数)，(x n )′=nx n -1(x ∈Q )，

(sin x )′=cos x ,(cos x )′=-sin x .

教学难点

四种常见函数的导数的内容，以及证明的过程，这些公式是由导数定义导出的.

教学方法

建构主义式

让学生自己根据导数的定义来推导公式1、公式2、公式3、公式4，公式2中先证n ∈N *的情况.

教学过程

Ⅰ.课题导入

［师］我们上一节课学习了导数的概念，导数的几何意义.我们是用极限来定义函数的导数的，我们这节课来求几种常见函数的导数.以后可以把它们当作直接的结论来用.

Ⅱ.讲授新课

［师］请几位同学上来用导数的定义求函数的导数.

1.y =C (C 是常数)，求y ′.

［学生板演］解：y =f (x )=C ，

Δy =f (x +Δx )-f (x )=C -C =0,

x

y ∆∆=0. y ′=C ′=x

y x ∆∆→∆0lim =0,∴y ′=0. 2.y =x n (n ∈N *),求y ′.

［学生板演］解：y =f (x )=x n ,

∴Δy =f (x +Δx )-f (x )=(x +Δx )n -x n

n n n n n n n n n x x C x x C x x C x -∆⋅++∆+∆+=--)()(22211

n n n n n n n x C x x C x x C )()(22211∆⋅++∆+∆=--

12211)(---∆++∆+=∆∆n n n n n n n x C x x C x C x

y ∴y ′=(x n )′

111122110

0)(lim lim -----→∆→∆==∆++∆+=∆∆=n n n n n n n n n n x x nx x C x C x x C x C x y . ∴y ′=nx n -1.

3.y =x -n (n ∈N *),求y ′.

［学生板演］

解：Δy =(x +Δx )-n -x -n

n n n n n n n n n n

n n

n n n n n n n

n n

n n

n x x x x C x x C x C x y x x x x C x x C x C x x x x x x x x x )()()()()()()(1)(11221122211∆+∆++∆+-=∆∆∆+∆++∆+-=∆+∆+-=-∆+=----- ∴x

y y x ∆∆='→∆0lim n n n n n n n n n n n n n x x x x

C x

x x x C x x C x C ⋅-=∆+∆++∆+-=----→∆111

22110])()([lim

=-nx -n -1.

∴y ′=-nx -n -1.

※4.y =sin x ,求y ′.(叫两位同学做)

［学生板演］

［生甲］解：Δy =sin(x +Δx )-sin x

=sin x cos Δx +cos x sin Δx -sin x ,

x

x x x x x x y ∆-∆+∆=∆∆sin sin cos cos sin , ∴x

y y x ∆∆='→∆0lim x x x x x x

x x x x x x

x x x x x

x

x x x x x x x x x cos 4)2(2sin )sin 2(lim sin cos lim )2sin 2(sin lim sin cos )1(cos sin lim sin sin cos cos sin lim

2

2

002000+∆⋅∆∆⋅-=∆∆+∆∆-=∆∆+-∆=∆-∆+∆=→∆→∆→∆→∆→∆ =-2sin x ·1·0+cos x =cos x .

∴y ′=cos x .

［生乙］Δy =sin(x +Δx )-sin x

=2cos(x +2x ∆)sin 2

x ∆，