行列式课件
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高教社2024高等数学第五版教学课件-9.1 行列式的定义
11
23 ，3 = 21
31
33
12
22
32
则当 ≠ 0时，可以证明方程（9.4）的解为
1 =
1
, 2
=
2
, 3
=
3
.
(9.5)
1
2
3
例2
利用三阶行列式的定义，解三元一次方程组
21 − 32 − 33 = 0
ቐ1 + 42 + 63 = −1
+
实连线称为主对角线，记正号；虚连线称为次（或辅）对角线，记负号．这
样（9.2）的分子可分别表示为
1
1 =
2
12
11
，2 =
22
21
11
1
.若记 =
2
21
则（9.2）又可以用行列式表示为
1 =
1 12
2 22
11 12
21 22
=
1
，2
=
11 1
素 的代数余子式．
11
例 如 ， 三 阶 行 列 式 21
31
12
22
32
13
23 中 元 素 12 的 余 子 式 =
33
= − ,它的代数余子式
12 =
(−1)1+2 12
21
=
32
23
33 = 21 33 − 23 31 .
作 ．即：
11
21
若 = ⋮
1
12
22
⋮
2
⋯ 1
11
⋯ 2
12
⋱
⋮ ，则 = ⋮
23 ，3 = 21
31
33
12
22
32
则当 ≠ 0时，可以证明方程（9.4）的解为
1 =
1
, 2
=
2
, 3
=
3
.
(9.5)
1
2
3
例2
利用三阶行列式的定义，解三元一次方程组
21 − 32 − 33 = 0
ቐ1 + 42 + 63 = −1
+
实连线称为主对角线，记正号；虚连线称为次（或辅）对角线，记负号．这
样（9.2）的分子可分别表示为
1
1 =
2
12
11
，2 =
22
21
11
1
.若记 =
2
21
则（9.2）又可以用行列式表示为
1 =
1 12
2 22
11 12
21 22
=
1
，2
=
11 1
素 的代数余子式．
11
例 如 ， 三 阶 行 列 式 21
31
12
22
32
13
23 中 元 素 12 的 余 子 式 =
33
= − ,它的代数余子式
12 =
(−1)1+2 12
21
=
32
23
33 = 21 33 − 23 31 .
作 ．即：
11
21
若 = ⋮
1
12
22
⋮
2
⋯ 1
11
⋯ 2
12
⋱
⋮ ，则 = ⋮
线性代数-行列式PPT课件
矩阵的秩和行列式
矩阵的秩和行列式之间也存在关系。矩阵的 秩等于其行向量或列向量生成的子空间的维 数，而行向量或列向量生成的子空间的维数 又等于该矩阵的阶数与非零特征值的个数之 和减去一，而一个矩阵的非零特征值的个数 又等于该矩阵的行列式的值。
05
特殊行列式介绍
二阶行列式
定义
二阶行列式表示为2x2的矩 阵，其计算公式为a11*a22a12*a21。
对于任何n阶方阵A，其行列式|A|和转置行列式|A^T|相等，即|A^T| = |A|。
行列式的乘法规则
总结词
行列式的乘法规则
详细描述
行列式的乘法规则是两个矩阵的行列式相乘等于它们对应元素相乘后的行列式。即，如果矩阵A和B分别是m×n 和n×p矩阵，那么它们的行列式相乘|AB| = |A||B|。
向量和向量的外积
行列式可以用来描述向量的外积，即两个向量的叉积。叉积 的结果是一个向量，其方向垂直于作为叉积运算输入的两个 向量，大小等于这两个向量的模的乘积与它们之间夹角的正 弦的乘积。
在线性方程组中的应用
解线性方程组
行列式可以用来判断线性方程组是否有 解，以及解的个数。如果一个线性方程 组的系数矩阵的行列式不为零，则该线 性方程组有唯一解；如果系数矩阵的行 列式为零，则该线性方程组可能无解、 有唯一解或有无穷多解。
线性代数-行列式ppt课件
• 引言 • 行列式的计算方法 • 行列式的性质 • 行列式的应用 • 特殊行列式介绍 • 行列式的计算技巧
01
引言
主题简介
01
行列式是线性代数中的基本概念 之一，用于描述矩阵的某些性质 和运算规则。
02
行列式在数学、物理、工程等领 域有广泛的应用，是解决实际问 题的重要工具。
二章行列式ppt课件
a11x1+a12x2+a13x3=b1
a11 a12 a13
a21x1+a22x2+a23x3=b2
a21 a22 a23
a31x1+a32x2+a33x3=b3
定义3.2 三阶行列式
a11 a12 a13 a21 a22 a23
a31 a32 a33
对角线 法则
a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
132 1 0 1, 奇排列 负号,
a a a 11
12
13
a a a (1) a a a . 21
22
23
( p1 p2 p3 ) 1 p1 2 p2 3 p3
a a a 31
32
33
定义 6 由 n2 个数组成的 n 阶行列式等于所有
取自不同行不同列的 n 个元素的乘积
的代数和
说明： (1)项数：2阶行列式含2项， 3阶行列式含6项, 这恰好就是2!,3!. (2)每项构成: 2阶和3阶行列式的每项分别是位于 不同行不同列的2个和3个元素的乘积. (3)各项符号: 2阶行列式含2项,其中1正1负, 3阶 行列式6项,3正3负.
对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
1 4 2 例1 计算行列式 D 3 0 3 .
例4 证明
a11
a12
an1,1 an1
an1,2
a1n
n( n1)
1
a a 2 1n 2,n1
上面的行列式中，未写出的元素都是0。
an1,2an1
证: 行列式的值为
线性代数第一章行列式课件
a11
a12
a1n
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
ai1 bi1 ai2 bi2
ain bin ai1 ai2
ain bi1 bi2
bin
an1
an2
ann
an1 an2
ann an1 an2
ann
性质5 将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以 一个数 k 加到另外一行（列）上，行列式不变，即
a1,n1 a2,n1
a1n a2n
a11 a21
a12 a22
a1,n1 a2,n1
an1,1 0
an1,2 0
an1,n1 0
an1,n 1
a a n1,1
n1,2
an1,n1
其中等号左端的行列式是一个 n 阶行列式；等号右端
的行列式是左端 n 阶行列式的前 n-1 行前 n-1 列的元
素所组成的 n-1 阶行列式，即左端行列式第 n 行第 n
j 1, 2, , n
ann
a1n
(1)i j aij
ai 1,1 ai1,1
ai1, j1 ai1, j1
ai1, j1 ai1, j1
ai1,n ai1,n
an1
an, j1
an, j1
ann
定理4 设
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
是一个 n 阶行列式， Aij 为 D 的第 i 行第 j 列元素 aij 的代数余子式，则有
1
2
n ( n 1)
(1) 2 12 n
n
二、行列式的基本性质
定义6 设
线性代数课件第三节 行列式
0 0 1 0
3 0 0 1 0 0 1 2
1 (1)11 1
11
0 0 1 0 0 1
2 0 1 0 2
0 3 (1)13 3 1 0 0 2
当然，按照第二列展开是最简单的计算方法！
用首行展开法Байду номын сангаас以证明
a11 a21 M an1 0 L 0 0 M ann a22 L M O an 2 L
性质1.10 如果行列式的某一行（列）的元素都是两项 的和，则可以把该行列式拆成相应的两个行列 式之和。 a a L a
11 12 1n
a21 M bi1 ci1 M
a22 M bi 2 ci 2 M an 2 a11
L M
a2 n M
L bin cin M M L
a11 a21 M bi1 M an1
下三角形 行列式
a11a22 L
下三角 形行列式 之值等于 ann 主对角线 元素之积
后面还可以证明
a11 a12 0 a22 M M 0 0 L L O L a1n a2 n M ann
上三角形 行列式
a11a22 L
上三角 形行列式 之值等于 ann 主对角线 元素之积
计算
观察哪一行或 列的零最多
即：主对角线元素之积减去副对角线元素之积。
a11 a12 a13 对于3阶方阵 A a21 a22 a23 , 定义其行列式|A|为 a a32 a33 31 a11 a12 a13 a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32 A a21 a22 a23 a13a22 a31 a12 a21a33 a11a23a32 a31 a32 a33
《行列式按行展开》课件
对于任意n阶方阵A，其第i 行第j列的代数余子式Aij可 以表示为去掉第i行第j列后 的(n-1)阶子矩阵的行列式值 乘以(-1)^(i+j)。
行列式的性质还包括拉普拉 斯展开定理和克拉默法则等 。
拉普拉斯展开定理指出，一 个n阶行列式等于它的任意 一行的所有元素与其对应的 代数余子式的乘积之和；克 拉默法则则指出，如果线性 方程组的系数行列式不为0 ，则方程组有唯一解，且解 可以通过系数行列式和常数 项的代数余子式计算得出。
应的代数余子式相乘，得到最终结果。
行列式按行展开的
04
运算技巧
代数余子式的计算
代数余子式定义
在行列式中，去掉某行和某列后所得到的$n-1$阶行列式，乘以$(-1)^{i+j}$，其中$i$和$j$分别是去 掉的行号和列号，得到的项称为代数余子式。
代数余子式的计算方法
根据代数余子式的定义，可以通过递归的方式计算代数余子式。具体来说，可以将$n$阶行列式拆分 成若干个$n-1$阶子行列式，然后分别计算这些子行列式的代数余子式，最后将它们相加得到原$n$ 阶行列式的代数余子式。
03
总结词
行列式的值可以通过对角线元素计算得出。
05
02
详细描述
行列式是n阶方阵A的行列式，记作det(A)或 |A|，是一个标量，由n!项组成，每一项都是 n个不同行元素的代数余子式。
04
详细描述
行列式的值是由其对应的n阶方阵唯 一确定的，与矩阵的表示方式无关。
06
详细描述
对于一个n阶方阵A，其行列式的值可以通过 对角线元素计算得出，即 det(A)=a11*a22*...*ann。
《行列式按行展开》 ppt课件
目录
第二章(行列式)ppt课件
a 1 1 a 1 2 a 1 3 D a 2 1 a 2 2 a 2 3 a 3 1 a 3 2 a 3 3
③
看看D1与D有 何关系。
代
数
则
a aa aaa a aa a aa a aa a aa 1 1 2 23 3 1 22 33 1 1 3 2 13 2 1 3 2 23 1 1 2 2 13 3 1 1 2 33 2
b 1 a 1 2 a 1 3 b 3 a 2 3 a 3 3 b aa b aa b aa b aa b aa b aa 1 2 23 3 3 1 22 3 2 1 33 2 3 1 32 2 2 1 23 3 1 2 33 2
D b 1 2 a 2 2 a 2 3
a 1 1 b 1 a 1 3 D a b a a b a a b a a b a a b a a b a a 2 2 1b 2 a 2 3 1 2 3 3 1 2 1 1 3 3 3 1 3 2 1 1 2 1 3 3 2 1 3 3 1 3 1 1 2 3 a 3 1b 3 a 3 3
代
数
b a 2 a 22 21 b 2 x , x 1 2 a a a 11 12 11 a 12 a a 21 a 22 21 a 22
称符号① 蓝线表示 次对角线
a11 a 21
a12 a 22
看看与矩阵 有什么差别
红线表示 主对角线
a ij 称为它的(i, j)-元， 为二阶行列式。它含有两行、两列， 其下角标i 表示 a ij 所在的行数，j 表示 a ij 所在的列数。
a11 引用符号 a 21 a12 ① a 22
a a a 表示 a 11 22 12 21 , 即令
③
看看D1与D有 何关系。
代
数
则
a aa aaa a aa a aa a aa a aa 1 1 2 23 3 1 22 33 1 1 3 2 13 2 1 3 2 23 1 1 2 2 13 3 1 1 2 33 2
b 1 a 1 2 a 1 3 b 3 a 2 3 a 3 3 b aa b aa b aa b aa b aa b aa 1 2 23 3 3 1 22 3 2 1 33 2 3 1 32 2 2 1 23 3 1 2 33 2
D b 1 2 a 2 2 a 2 3
a 1 1 b 1 a 1 3 D a b a a b a a b a a b a a b a a b a a 2 2 1b 2 a 2 3 1 2 3 3 1 2 1 1 3 3 3 1 3 2 1 1 2 1 3 3 2 1 3 3 1 3 1 1 2 3 a 3 1b 3 a 3 3
代
数
b a 2 a 22 21 b 2 x , x 1 2 a a a 11 12 11 a 12 a a 21 a 22 21 a 22
称符号① 蓝线表示 次对角线
a11 a 21
a12 a 22
看看与矩阵 有什么差别
红线表示 主对角线
a ij 称为它的(i, j)-元， 为二阶行列式。它含有两行、两列， 其下角标i 表示 a ij 所在的行数，j 表示 a ij 所在的列数。
a11 引用符号 a 21 a12 ① a 22
a a a 表示 a 11 22 12 21 , 即令
线性代数第一章课件
（五）性质5：把行列式的某一列（行） 的各元素乘以同一数，然后加到另一列 （行）对应的元素上去，行列式不变.
(以数 k 乘第 j 列加到第 i 列上,记作：ci kc j 以数 k 乘第
j 行加到第 i 行上,记作： ri krj )
a11 a21 an1
a1i a2i ani
a11
aij
的第一个下标ｉ称为行标，表明该元
素位于第ｉ行，第二个下标ｊ称为列标,表明 该元素位于第ｊ列,位于第i行第j列的元素称
为行列式的 i, j 元
。
把
a11 到 a22 的实联线称为主对角
到
线， a12
a21
的虚联线称为副对
角线 。
3、二元线性方程组的解
a11 x1 a12 x2 b1 的解为 a21 x1 a22 x2 b2
第一章 行列式 § 1-1 n阶行列式的定义
一、二阶与三阶行列式 ㈠ 二阶行列式与二元线性方程组 1、二阶行列式计算式：
D
a11
a12
a21 a22
a11a22 a12 a21
2、相关名称 a11 a12 在二阶行列式 中，把数 a21 a22
aij i 1.2; j 1.2 称为行列式的元素,元素
注意不要与绝对值记号相混淆。
a a
2、n阶行列式展开式的特点 （1）行列式由n!项求和而成 （2）每项是取自不同行、不同列的n个 元素乘积，每项各元素行标按自然顺序 排列后就是行列式的一般形式，
1
j1 j2
jn
a1 j1 a2 j2
anjn
（3）若行列式每项各元素的行标按自然 数的顺序排列,列标构成n级排列 j1 j2 jn j1 j2 jn 则该项的符号为 1
行列式-课件
(1) b (k1 kp kq kn ) 1k1
bpk p
bqkq
bnkn
(1) a (k1 kp kq kn ) 1k1
aqk p
a pkq
ankn
§ 1.2 行列式的性质与计算
(1) a (k1 kp kq kn ) 1k1
a pkq
aqk p
ankn
(1) (1) (k1
DT =
(1) b b (i1i2 in ) i11 i2 2
i1i2 in
binn
(1) a a (i1i2 in ) 1i1 2i2
i1i2 in
anin D 证毕
注1.4 性质1.1表明，行列式中行与列的地位是对等的，因此，凡是对行 列式的行成立的性质，对行列式的列也同样成立，反之亦然.
bq1 bq2
bpn ，
bqn
其中i p, q时，bij aij ;bpj aqj , bqj a pj .
bn1 bn2
bnn
§ 1.2 行列式的性质与计算
即有
a11 a12
a1n
aq1 aq2
aqn
det(bij )
a p1 a p2
a pn
an1 an2
ann
由行列式的定义有 det(bij )
为了简化行列式的计算，本节首先讨论行列式的性质，然后利用这些 性质给出若干计算行列式的典型方法和计算技巧.
1.2.1 行列式的性质 1.2.2 行列式的计算 *1.2.3 拉普拉斯定理
§ 1.2 行列式的性质与计算
，
1.2.1 行列式的性质
前一节介绍了n阶行列式的定义，并利用定义计算了一些特殊的n阶行列式. 但当n较大时，用定义计算一般的n阶行列式并不容易. 为能简便计算行列式，需 要研究行列式的性质. 首先给出行列式的转置行列式及行列式中元素的余子式和 代数余子式的概念.
《高等代数行列式》课件
向量的内积和外积的应用：在几何学、物理学等领域中的应用，如向量的加法、减法、数乘等 运算规则
高等代数行列式的注意事项 与易错点
第六章
计算过程中的符号问题
行列式的定义与性质 展开式中的符号规律 计算过程中的符号变化 易错点：符号使用不当导致的错误
计算过程中的化简问题
符号问题：行列式 中的正负号容易混 淆，需要注意区分
矩阵的逆：利用行列式和矩阵的性质，求出矩阵的逆，进而求解线性方程 组
矩阵的运算
矩阵加法 矩阵乘法 矩阵转置 矩阵求逆
向量的内积与外积
向量的内积定义：两个向量的点乘，表示它们的夹角和长度之间的关系
向量的外积定义：两个向量的叉乘，表示它们之间的垂直关系和长度之间的关系
向量的内积和外积的性质：内积为实数，外积为向量，它们的性质和运算规则
感谢您的观看
汇报人：PPT
03
代数余子式：行列式中任意一行或一列去掉后得到的子行列式称为代数 余子式。
04
拉普拉斯展开式：行列式可以按照某一行或某一列展开，得到的结果是 该行或该列的代数余子式的乘积之和。
05
行列式的展开定理：行列式可以按照某一行或某一列展开，得到的结果 是该行或该列的代数余子式的乘积之和。
06
行列式的计算公式：行列式的计算公式是对于n阶行列式，其 计 算 公 式 为 D = a 1 *A 1 + a 2 *A 2 + . . . + a n *A n ， 其 中 A1,A2,...,An为行列式中不同行不同列的元素构成的代数余子 式。
特点：适用于具有某种规律性的数列，如等差数列、等比数列等
应用：在高等代数行列式中，递推法可以用于计算行列式的值
注意事项：在使用递推法时，需要注意初始项和递推公式是否正确，以及递推的终止 条件是什么
高等代数行列式的注意事项 与易错点
第六章
计算过程中的符号问题
行列式的定义与性质 展开式中的符号规律 计算过程中的符号变化 易错点：符号使用不当导致的错误
计算过程中的化简问题
符号问题：行列式 中的正负号容易混 淆，需要注意区分
矩阵的逆：利用行列式和矩阵的性质，求出矩阵的逆，进而求解线性方程 组
矩阵的运算
矩阵加法 矩阵乘法 矩阵转置 矩阵求逆
向量的内积与外积
向量的内积定义：两个向量的点乘，表示它们的夹角和长度之间的关系
向量的外积定义：两个向量的叉乘，表示它们之间的垂直关系和长度之间的关系
向量的内积和外积的性质：内积为实数，外积为向量，它们的性质和运算规则
感谢您的观看
汇报人：PPT
03
代数余子式：行列式中任意一行或一列去掉后得到的子行列式称为代数 余子式。
04
拉普拉斯展开式：行列式可以按照某一行或某一列展开，得到的结果是 该行或该列的代数余子式的乘积之和。
05
行列式的展开定理：行列式可以按照某一行或某一列展开，得到的结果 是该行或该列的代数余子式的乘积之和。
06
行列式的计算公式：行列式的计算公式是对于n阶行列式，其 计 算 公 式 为 D = a 1 *A 1 + a 2 *A 2 + . . . + a n *A n ， 其 中 A1,A2,...,An为行列式中不同行不同列的元素构成的代数余子 式。
特点：适用于具有某种规律性的数列，如等差数列、等比数列等
应用：在高等代数行列式中，递推法可以用于计算行列式的值
注意事项：在使用递推法时，需要注意初始项和递推公式是否正确，以及递推的终止 条件是什么
高中数学《行列式》课件
4 2
1 1
100
4 2
1 1
4 2
1 1
200 6 194
18
性质5 (消法)将行列式的某一行(列)的各 元素乘以常数加到另一行(列)的对 应元素上去,则行列式的值不变,即
a11 a12
a1n
a11
a12
a1n
ai1 ai2 aj1 aj2
ain ai1 ka j1
a jn
a j1
ai2 ka j2 aj2
当 n 1 时， det( A) a11
n
当 n 1 时，det( A) ak1(1)k1 det( A(k,1)) k 1
n
设 An aij 则 det( A) ak1(1)k1 det( A(k,1))
k 1
Aij (1)i j det( A(i, j) ) 为 aij 的代数余子式
40
x (n 1)a a a a
x (n 1)a x a a
解
c1ci (i2,3,,n)
Dn x (n 1)a a x a
x (n 1)a a a x 1 a a a 1 x a a [x (n 1)a] 1 a x a
1 a a x 41
1 a a a 0 xa 0 0
rj r1 ( j:2,3,,n)
[x (n 1)a] 0 0 x a 0
0 0 0 xa
[x (n 1)a](x a)n1
42
例2 计算 n 阶行列式（两道一点）
a1 b1
a2 b2
Dn
an1 bn1
bn
an
解 Dn a1a2 an (1)n1bnb1b2 bn1
a1a2 an (1)n1b1b2 bn1bn
相关主题
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或表达为
n
det A aij Aij j 1
若行列式按列展开，有
(i 1,, n)
行列式的展开定理
n
det A aij Aij i 1
( j 1,, n)
定理 行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素
的代数余子式乘积之和等于零, 即
ak1 Ai1 ak 2 Ai2 akn Ain 0, k i.
3 7 2
解
a11
det A
a1n def
n
1 k
a1k 1 det S1k
k 1
an1 ann
1 3 7
2 4 3 1 1 11 4 3 3 1 12 2 3
72
3 2
3 7 2
7 1 13 2 4
3 7
8 21 34 9 714 12 196
若写出计算3 阶行列式值的公式为
an1
an2
an3 ann
作为结论记住
1234
0421
D 0
0
5
6 a a a a 11 22 33 44 1 4 5 8 160.
0008
000 1 2
2 (2)(1)11110!
000
10
以例子引入行列式性质
1 计算行列式detA，detAT，指出它们满 足什么关系
1 2 3
a21 a22
解 因有 S11 = [ a22 ], S12 = [ a21 ], 故
det A a11 a12
a11 a21
a21 a22
—
a12 a22
+
a11 1 11 det S11 a12 1 12 det S12
a11a22 a12a21
1 3 7
例
设
A
2
4 3 , 计算 det A 的值.
3 计算行列式,得出什么结论
2 4 1
0
(1) 3 6 3 0 (2) 3
00 6 3 0
5 10 4
5 10 4
行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零．
一行(或列) 元素全为0的行列式值等于零．
4 计算D，D1，满足什么关系
a1 a1 D a2
a3
b1 b1 b2 b3
c1 c1 c2 c3
A O L C B [lij ]
其中 A 是 n 阶矩阵， B 是 p 阶矩阵，则有
det L det Adet B 注意 公式中C 的元之具体值对结果无影响.
在 A、B 是方阵时也成立
AC
detU
det Adet B
OB
定理 若A、B是两个同阶矩阵，则
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13
a23 a33
a11
1 11 a22 a32
a23 a33
a12
1 12 a21 a31
a23 a33
a13
1 13 a21 a31
a22 a32
a11 a22a33 a23a32 a12 a31a23 a21a33 a13 a21a32 a31a22
性质2 互换行列式的两行(列),行列式值反号.
1 2 3
若行列式有两行(列)
det A 1 2 3 0 完全相同，则此行列
3 2 2
式为零
3 计算行列式D1，D2，指出它们满足什么关系
2 4 6
1 2 3
D1 1
3
D1 2D2
0 1 D2 1 0 1
2 2
3 2 2
行列式某行某或列公因子可以提出来
今后，称上述具有n 行n 列的表达式为n 阶行列式.
a11 a1n
定义
对一n阶矩阵 A
an1 ann
把删去第i 行及第j 列后所得的(n–1)阶子矩阵称为对应于元
aij 的余子矩阵，并以Sij 记之.
定义 一阶矩阵 [a11 ]的行列式之值定义为数a11 ，即
def
det [ a11 ]
利用行列式按行按列展开定理, 并结合行列式性质, 可简化行列式计算：
方法 计算行列式时, 可先用行列式的性质将某一行(列) 化为仅含1个非零元素,再按此行(列)展开,变为低一阶的行 列式,如此继续下去,直到化为三阶或二阶行列式.
3 1 1 2
5 1 3 4
例 计算行列式 D
.
2 0 1 1
1 5 3 3
例如
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24 D
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
a11 a12 a14
A23 1 23 det S23 det S23 det S23 a31 a32 a34
a11 a12 a13
a41 a42 a44
det S44 M44 a21 a22 a23 A44 1 44 M44 M44
anj
(a1i ka1 j )
a1 j
(a2i ka2 j )
a2 j
(ani kanj )
anj
ann 行列式等值 变形法则
a1n a2n
ann
定理 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对 应的代数余子式乘积之和, 即
D a i1 Ai1 a i2 Ai2 a in Ain i 1,2, , n
-3 4 -2 解 按对角线法则，有
D 1 2 (2) 2 1 (3) (4) (2) 4
(4) 2(3) 2(2) (2) 11 4
4 6 32 4 8 24 14.
定义 对 n 阶行列式 det A，称 det Sij 为元 aij 的余子式 ,
称 Aij 1i j det Sij为元 aij 的代数余子式.
a1l A1 j a2l A2 j
akn Ain
D 0
当k i 当k i
anl Anj
D 0
当l j 当l j
注 在计算数字行列式时,直接应用行列式展开公式并 不一定简化计算,因为把一个n阶行列式换成n个(n－1) 阶行列式的计算并不减少计算量,只是在行列式中某一 行或某一列含有较多的零时,应用展开定理才有意义， 但展开定理在理论上是重要的．
定理
对n 阶矩阵 A ，有 det A
n
ak1 Ak1
也可按第1列 展开计算.
k 1
性质2 互换行列式的两行(列),行列式值反号.
175 175 例如 6 6 2 3 5 8,
358 662
17 5 715 6 6 2 6 6 2. 35 8 538
推论 若行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零.
det A
a21
a22
a2n de t AT ,
an1 an2 ann
a11 a21 an1
a12 a22 an2
a1n a2n ann
性质1 行列式与它的转置行列式相等.
det A det AT
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质
凡是对行成立的对列也同样成立.
行列式的值
证：略 以三阶行列式说明
a11
a12
a13
a21 a22 a23 a11 A11 a12 A12 a13 A13
a31 a32 a33
a31
a32
a33
a31 A11 a32 A12 a33 A13 a21
a22
a23 0
a31
a32
a33
综上所述,得公式
ak1 Ai1 ak 2 Ai 2
an1 an2 ann
推论 一行(或列) 元素全为0的行列式值等于零． 性质4 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和
a11 a12
(a1i a1i )
a1n
例如 D a21 a22
(a2i a2i )
a2n
an1 an2
(ani ani )
ann
则 D 等于下列两个行列式之和
a11 D a21
a31 a32 a33
注 行列式的每个元素都分别对应一个余子式和一个 代数余子式.
根据该定义，可重新表达行列式的值
a11
det A
a1n def
n
1 k
a1k 1 det S1k
an1 ann
k 1
n
a1k A1k
k 1
其中 A1k 是元 a1k 对A 或 det A 的代数余子式.
相当于把行列式按第一行展开
例1 证明对角行列式
1 2
12 n;
n
2
1
nn1
1 2 12 n .
n
书练习：作为结论记住
例2 计算上三角行列式
a11 a12 a1n
0 a22 a2n
a11a22 ann .
0 0 ann
例3 计算下三角行列式
a11
0 00
a21 a22 0 0
a11a22 ann .
性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k, 等于用数 k 乘此行列式. 式某行或列公因子可提出来
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann
请问若给n阶行列式的每一个元素都乘以同 一数k，等于用 乘以此行列式.
1 1 3
det A 1 0 1 , det AT 2 0 2
3 2 2
3 1 2
det A det AT
性质1 行列式与它的转置行列式相等.
2 计算行列式detA，detB，指出它们满足什么