行列式课件

a21 a22
解 因有 S11 = [ a22 ], S12 = [ a21 ], 故
det A a11 a12
a11 a21
a21 a22
—
a12 a22
+
a11 1 11 det S11 a12 1 12 det S12
a11a22 a12a21
1 3 7
例
设
A
2
4 3 , 计算 det A 的值.
性质2 互换行列式的两行(列),行列式值反号.
1 2 3
若行列式有两行(列)
det A 1 2 3 0 完全相同，则此行列
3 2 2
式为零
3 计算行列式D1，D2，指出它们满足什么关系
2 4 6
1 2 3
D1 1
3
D1 2D2
0 1 D2 1 0 1
2 2
3 2 2
行列式某行某或列公因子可以提出来
a13a22a31a12a21a33 a11a23a32
说明 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列 的三个元素的乘积, 其中三项为正, 三项为负.
结论 n 阶行列式的值是 n！个不同项的代数和，其中的每 一项都是处于行列式不同行又不同列的n 个元之乘积.
1 2 -4 例２ 计算三阶行列式 D - 2 2 1
3 1 1 2
5 1 1 1
5 1
解 D
20
3 4 c1 2c3 11 1
1 1 c4 c3
0
0
Hale Waihona Puke Baidu
3 1 10
1 5 3 3
5 5 3 0
5 11
5 11
(1)33 11
1
1 r2 r1 6
2
6 0 (1)13
2
5 5 0
5 5 5 5 0 40
定理 设 L 是有如下分块形式的 ( n +p ) 阶矩阵
定理
对n 阶矩阵 A ，有 det A
n
ak1 Ak1
也可按第1列 展开计算.
k 1
性质2 互换行列式的两行(列),行列式值反号.
175 175 例如 6 6 2 3 5 8,
358 662
17 5 715 6 6 2 6 6 2. 35 8 538
推论 若行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零.
a1i
a1n a11
a2i
a2n a21
a1i
a1n
a2i
a2n
an1
ani
ann an1
ani
ann
性质5 把行列式的某一列(行)元素的k倍加到另一 列(行)对应的元素上去，行列式的值不变．
a11
a1i
a1 j
a1n
例如
a21
a2i
a2 j
k
a2n
an1
a11 ci kc j a21
an1
ani
§2.1 行列式的概念和性质
1、概念 2、性质
一、 概念
a11 a1n
对任一n阶矩阵
A
用式子
an1 ann
a11 a1n
表示一个与 A 相联系的数，
an1 ann
常把上述表达式称为 A 的行列式 (determinant), 记作det A
或用大写字母 D 表示,而把相联系的那个数称为行列式的值.
a11
对 n = 2, 3, … , 用以下公式递归地定义 n 阶行列式之值：
a11
det A
a1n def
n
1 k
a1k 1 det S1k
k 1
an1 ann
a11
det A
a1n def
n
1 k
a1k 1 det S1k
k 1
an1 ann
例 设 D a11 a12 ，计算该行列式的值
a1 b1 c1 a1 b1 c1 D1 a2 b2 c2 a2 b2 c2
a3 b3 c3 a3 b3 c3
5 计算A、B，得出什么结果
a1 b1 c1 A a2 b2 c2
a3 b3 c3
a1 B a2
a3 ka1
b1 b2 b3 kb1
c1 c2 c3 kc1
2、性质
a11 a12 a1n
今后，称上述具有n 行n 列的表达式为n 阶行列式.
a11 a1n
定义
对一n阶矩阵 A
an1 ann
把删去第i 行及第j 列后所得的(n–1)阶子矩阵称为对应于元
aij 的余子矩阵，并以Sij 记之.
定义 一阶矩阵 [a11 ]的行列式之值定义为数a11 ，即
def
det [ a11 ]
3 7 2
解
a11
det A
a1n def
n
1 k
a1k 1 det S1k
k 1
an1 ann
1 3 7
2 4 3 1 1 11 4 3 3 1 12 2 3
72
3 2
3 7 2
7 1 13 2 4
3 7
8 21 34 9 714 12 196
若写出计算3 阶行列式值的公式为
an1 an2 ann
推论 一行(或列) 元素全为0的行列式值等于零． 性质4 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和
a11 a12
(a1i a1i )
a1n
例如 D a21 a22
(a2i a2i )
a2n
an1 an2
(ani ani )
ann
则 D 等于下列两个行列式之和
a11 D a21
a11a22a33 a11a23a32 a12a23a31 a12a21a33 a13a21a32 a13a22a31
以下表的形式记 3 阶行列式值的计算公式
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
推论 对 n 阶矩阵A ，有 detA n det A
推论 行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零．
证
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1 ai2 ain
ai1 ai2 ain
k 0.
kai1 kai2 kain
ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
利用行列式按行按列展开定理, 并结合行列式性质, 可简化行列式计算：
方法 计算行列式时, 可先用行列式的性质将某一行(列) 化为仅含1个非零元素,再按此行(列)展开,变为低一阶的行 列式,如此继续下去,直到化为三阶或二阶行列式.
3 1 1 2
5 1 3 4
例 计算行列式 D
.
2 0 1 1
1 5 3 3
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13
a23 a33
a11
1 11 a22 a32
a23 a33
a12
1 12 a21 a31
a23 a33
a13
1 13 a21 a31
a22 a32
a11 a22a33 a23a32 a12 a31a23 a21a33 a13 a21a32 a31a22
det A
a21
a22
a2n de t AT ,
an1 an2 ann
a11 a21 an1
a12 a22 an2
a1n a2n ann
性质1 行列式与它的转置行列式相等.
det A det AT
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质
凡是对行成立的对列也同样成立.
行列式的值
例如
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24 D
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
a11 a12 a14
A23 1 23 det S23 det S23 det S23 a31 a32 a34
a11 a12 a13
a41 a42 a44
det S44 M44 a21 a22 a23 A44 1 44 M44 M44
或表达为
n
det A aij Aij j 1
若行列式按列展开，有
(i 1,, n)
行列式的展开定理
n
det A aij Aij i 1
( j 1,, n)
定理 行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素
的代数余子式乘积之和等于零, 即
ak1 Ai1 ak 2 Ai2 akn Ain 0, k i.
第三章 行 列 式
行列式是个有用的工具，利用行列式不仅可表述n 阶矩阵为非退化阵的条件；而且可导出逆阵公式以及著 名的克拉默(Cramer)法则等；今后还将用以定义许多重 要的概念.
本章用展开方式定义n阶行列式的概念，介绍常用的 性质、计算方法并较为集中地概述它的一些应用.
本章的主要内容
§2.1 行列式的概念和性质 §2.2 行列式值的计算 §2.3 若干应用(逆阵公式、克拉默法则等) 重点内容 行列式的计算
anj
(a1i ka1 j )
a1 j
(a2i ka2 j )
a2 j
(ani kanj )
anj
ann 行列式等值 变形法则
a1n a2n
ann
定理 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对 应的代数余子式乘积之和, 即
D a i1 Ai1 a i2 Ai2 a in Ain i 1,2, , n
1 1 3
det A 1 0 1 , det AT 2 0 2
3 2 2
3 1 2
det A det AT
性质1 行列式与它的转置行列式相等.
2 计算行列式detA，detB，指出它们满足什么
关系
1 2 3
1 0 1
det A 1 0 1 det B 1 2 3
3 2 2
3 2 2
det B det A
an1
an2
an3 ann
作为结论记住
1234
0421
D 0
0
5
6 a a a a 11 22 33 44 1 4 5 8 160.
0008
000 1 2
2 (2)(1)11110!
000
10
以例子引入行列式性质
1 计算行列式detA，detAT，指出它们满 足什么关系
1 2 3
a1l A1 j a2l A2 j
akn Ain
D 0
当k i 当k i
anl Anj
D 0
当l j 当l j
注 在计算数字行列式时,直接应用行列式展开公式并 不一定简化计算,因为把一个n阶行列式换成n个(n－1) 阶行列式的计算并不减少计算量,只是在行列式中某一 行或某一列含有较多的零时,应用展开定理才有意义， 但展开定理在理论上是重要的．
相当于把行列式按第一行展开
例1 证明对角行列式
1 2
12 n;
n
2
1
nn1
1 2 12 n .
n
书练习：作为结论记住
例2 计算上三角行列式
a11 a12 a1n
0 a22 a2n
a11a22 ann .
0 0 ann
例3 计算下三角行列式
a11
0 00
a21 a22 0 0
a11a22 ann .
3 计算行列式,得出什么结论
2 4 1
0
(1) 3 6 3 0 (2) 3
00 6 3 0
5 10 4
5 10 4
行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零．
一行(或列) 元素全为0的行列式值等于零．
4 计算D，D1，满足什么关系
a1 a1 D a2
a3
b1 b1 b2 b3
c1 c1 c2 c3
-3 4 -2 解 按对角线法则，有
D 1 2 (2) 2 1 (3) (4) (2) 4
(4) 2(3) 2(2) (2) 11 4
4 6 32 4 8 24 14.
定义 对 n 阶行列式 det A，称 det Sij 为元 aij 的余子式 ,
称 Aij 1i j det Sij为元 aij 的代数余子式.
a31 a32 a33
注 行列式的每个元素都分别对应一个余子式和一个 代数余子式.
根据该定义，可重新表达行列式的值
a11
det A
a1n def
n
1 k
a1k 1 det S1k
an1 ann
k 1
n
a1k A1k
k 1
其中 A1k 是元 a1k 对A 或 det A 的代数余子式.
A O L C B [lij ]
其中 A 是 n 阶矩阵， B 是 p 阶矩阵，则有
det L det Adet B 注意 公式中C 的元之具体值对结果无影响.
在 A、B 是方阵时也成立
AC
detU
det Adet B
OB
定理 若A、B是两个同阶矩阵，则
性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k, 等于用数 k 乘此行列式. 式某行或列公因子可提出来
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann
请问若给n阶行列式的每一个元素都乘以同 一数k，等于用 乘以此行列式.
证：略 以三阶行列式说明
a11
a12
a13
a21 a22 a23 a11 A11 a12 A12 a13 A13
a31 a32 a33
a31
a32
a33
a31 A11 a32 A12 a33 A13 a21
a22
a23 0
a31
a32
a33
综上所述,得公式
ak1 Ai1 ak 2 Ai 2