理想单色平面光波在晶体中的传播(波法线菲涅耳方程)

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光的衍射现象、惠更斯-菲涅耳原理

S
*
光源
衍射
观察
夫琅和费衍射
屏
屏
5
3. 惠更斯—菲涅耳原理
波传到的任何一点都是子波的波源，各子波在空间某点的相干叠加，就决定了该点波的强度。
惠更斯
菲涅耳
dE CK( ) d S cos(t - 2r )
r

K( ) ：倾斜因子
0，K Kmax 1,
沿原波传播方向的子波振幅最大
-1
0
1
2 sin(a / )
25
2光栅衍射光强曲线 (振幅矢量法)
明纹条件： d sin k
（k = 0, 1, 2, 3…） -- 光栅方程
设每个缝发的光在对应衍射角
方向P点的光振动的振幅为Ep
P 点为主极大时
EP
NEP
暗纹条件：
2k
IP

N
2
E
有限的情况下才能积分出来。
积分计算相当复杂（超出了本课范围），下节将介绍菲涅耳提出的一种简便的分析方法——半波带法.
它在处理一些有对称性的问题时，既方便，物理图象又清晰。
7
§2 夫琅和费单缝衍射夫琅和费衍射：障碍物距光源、屏均为无限远。
缝平面透镜L
透镜L
B
S
*
a

Aδ f
f
观察屏
·p
2
λ 2
λ 2
所以任何两个相邻波带所发出的光线在P点相互抵消.
当BC是/2的偶数倍，所有波带成对抵消，P点暗，
当BC是/2的奇数倍，所有波带成对抵消后留下一个波带，P点明。
13
第二级明纹
P
第二级暗纹

理想单色平面光波在晶体中的传播(波法线菲涅耳方程)PPT精选文档

波阵面
波阵面
DE k
vp
H
s
vr
10
(2)能量密度根据电磁能量密度公式及(23)式、(24)式，有
e 1 2 E D 2 n c E ( H k ) 2 n c (E H )k
1 n
n
m 2 B H 2 c H ( E k ) 2 c ( E H )k
H k c D
(23)
n
c n
v
2πv
c n
k
2π
2π
c n
k
5
对于这样一种光波，在进行公式运算时，可以以 -i 代替 / ，t 以 (in/c)k 代换算符。
tE tE 0 e i (t n ck r) iE 0 e i (t n ck r)
E rE rE 0 e i ( t n c k r ) in c k E 0 e i ( t n c k r )
E k 0c H (24)
n
11
(2)能量密度
总电磁能量密度为
emn cSsk (27)
e
n 2c
(Ε
H
)k
m
n 2c
(E
H
)k
对于各向同性介质，因 s 与 k 同方向，所以有
n S (28)
c
12
(3)相速度和光线速度相速度 vp 是光波等相位面的传播速度，其表示式为
vppknck (29)
26
①波法线菲涅耳方程(波法线方程) 将基本方程(32)式写成分量形式
D i 0 n 2 E i k i ( k E ) i 1 , 2 , 3 ( 3 8 )
D 0 n 2 E k ( k E ) ( 3 2 )

物理光学第四版第一章习题答案

1.28 弯曲的圆柱形光纤，光纤芯和包层的折射率分别为 n1和n2(n1＞n2)，光纤芯的直径为D，曲率半径为R。
证明入射光的最大孔径角2u满足关系式:
D 2 sin u n1 n2 (1 ) 2R
2 2
c u’
sin c sin( u '90 ) cos u ' D D R R R 2 2
5．已知平面波的法线与单位矢量n(，，)平行，试写出该单色平面波的方程。
单色平面波波动方程：
E A cos(t k r )

2 k n

E A cos(t k r ) A cos[t (x y z )]
6 利用波矢量的方向余弦cos，cos，cos。写出平面波的波函数；并证明它是三维波动方程的解。
2E 2 2 k (cos ) E 2 z
2 2
2E 2 E 2 t
2
ky kx kz z
k
Q cos cos cos 1
k E
2
x
2
v2
E
2
2f 2 2 ( ) k v2 f
7 平面光波从A点传播到B点，在AB之间插入透明薄片L＝1mm，折射率n＝1．5。假定光波的波长＝500nm，试计算插入薄片前后B点位相的变化。答：假设A点的初相为零，因此求插入薄片前B点的变化．前：后：
光波以布儒斯特角入射到两介质界面时
1 2
∴

2
且tg1 n
2 cos2 1 2 cos2 1 1 1 tp sin(21 ) 2sin1 cos1 tg1 n
1.21 光束垂直入射到45˚直角棱镜的一个侧面，光束经斜面反射后从第二个侧面透出。若入射光强度为I0,问从棱镜透出光束的强度为多少？设棱镜的折射率为1.52，并且不考虑棱镜的吸收。

菲涅耳椭球

第 4 章光在各向异性介质中的传播特性
实际上，一个标量可以看做是一个零阶张量，一个矢量可以看做是一个一阶张量。从分量的标记方法看，标量无下标，矢量有一个下标，二阶张量有两个下标，三阶张量有三个下标。因此，下标的数目等于张量的阶数。
第 4 章光在各向异性介质中的传播特性
2.
如上所述，由于张量的分量与坐标有关，因而当坐标系发生变化时，张量的表示式也将发生变化。假若在原坐标系
角与E和D之间的夹角相同(图 4-1)。由此，我们可以得到一个重要结论：在晶体中，光的能量传播方向通常与光波法线方向不同。 (2) 能量密度式，有根据电磁能量密度公式及 (4.2-8)式、(4.2-9) S=E×H
1 n n we E D E (H k ) (E H ) k 2 2c 2c
第 4 章光在各向异性介质中的传播特性如果矢量p与两个矢量u和v相关，则其一般关系式为
p T : uv
分量表示式为 pi=Tijkujvk i, j, k=1, 2, 3
(4.1-6)
(4.1-7)
式中，uv为并矢；T为三阶张量，包含 27 个分量，其矩阵形式为
T
ijk
T111 T122 T133 T123 T132 T131 T113 T112 T121 T211 T322 T233 T223 T232 T231 T213 T212 T221 (4.1-8) T311 T322 T333 T323 T332 T331 T313 T312 T321
第 4 章光在各向异性介质中的传播特性
第 4 章光在各向异性介质中的传播特性
4.1 晶体的光学各向异性 4.2 理想单色平面光波在晶体中的传播 4.3 平面光波在晶体界面上的反射和折射 4.4 晶体光学元件

晶体双折射的波动光学理论基础各向异性介质的介电张量-青岛理工大学

Engineering Optics Dr. F. Guo QUTech Spring 2016
Chapter 11偏振与晶体光学基础
晶体双折射的波动光学理论基础
各向异性介质的介电张量电位移矢量D的方向代表在外加电场的作用下介质的极化方向. 在上述电各向异性介质中, D和E最简单的关系是D的各个直角分量和E的各个直角分量满足线性关系
H k D E k H 0 k D 0 k H 0
Engineering Optics Dr. F. Guo QUTech Spring 2016
k 0为波法线单位矢量
可以得到
Chapter 11偏振与晶体光学基础
H k D E k H 0 由 k D 0 k H 0
工程光学
Engineering Optics
郭峰
青岛理工大学机械工程学院
Engineering Optics Dr. F. Guo QUTech Spring 2016
Chapter 11偏振与晶体光学基础
晶体双折射的波动光学理论基础
各向异性介质的介电张量各向同性介质的物质方程
Dx x 0 0 E x D 0 0 E 0 y y y D 0 0 E z z z
x,y,z三个方向互相垂直，称为主轴方向. x, y ,z 称为晶体的主介电常数. 一般说来 x y z 这就是双轴晶体。若其中两个相等但与另一个不相等
Engineering Optics Dr. F. Guo QUTech Spring 2016
Dx xx E x xy E y xz E z D y yx E x yy E y yz E z Dz zx E x zy E y zz E z

胡伟-光电功能材料 l6_2

方向为 S 方向
大小： s
S
功率密度 E H
能量密度
1
(E
D
B
H)
光波射线速度亦可写为 t
2
有关系： s cos
为
S与
K 夹角
2.菲涅尔波法线方程
从即刚已推知导i的j 给方定程出K发求，K求0(出t)、波E法(E线s )方、程n(ns )、 ( s )
由
1
K
E
0H
……（1）
3 对于一个S, E、E与D、D与K、K分别不同向
z D
同向
x
E
n n3
即
光线
K 在主轴方向入射时,
E、D
同向,无双折射
结论
1.对同一个K,只允许两个线偏振光, D D,且D、D K0
2.两线偏振光传播速度不同, n n
3.对同一个K, D、D不同向，E、E不同向，S与S也不同向
D 0n2E
E
1
0 ns2
D
完全对偶
第一基本方程
1
K
H
D
……（2）
把
K (1)
得
1
(K
(K
E))
0
(K
H)
将(2)代入上式,消去
H
:
1
K
(K
E)
0D
D
1
0 2
K
(K
E)
由
v K
2
v K0
和
得:
D
n2 0c2
K0
(K0
E)
D 0n2 E K0(K0 E)
2
利用
0n
2

光波在介质界面上的反射和折射菲涅耳公式

ki sini kr sin r ki sini kt sin t
( ki k r ) r 0 ( ki k t ) r 0
(123) (124)
n1 n2 O
kr ki kt
r
B
分界面
(121) (122)
i
t
A C
2.1 反射定律和折射定律又因为 k n / c ，可将上二式改写为
H ip cos1 H rp cos1 H tp cos 2 (132)
利用
H E ，上式变为
(Eis Ers )n1cos1 Ets n2 cos 2 (133)
3. 菲涅耳公式再利用折射定律，并由（131）式和（133）式消去 Ets，经整理可得
Ers sin ( 2 1 ) Eis sin ( 2 1 )
sin (1 2 ) rs =sin (1 2 )
(134)
(Eis Ers )n1cos1 Ets n2 cos 2 (133)
3. 菲涅耳公式利用类似方法，可以推出 p 分量的反射系数和透射系数表示式，这就是著名的菲涅耳公式：
O
kr
2
Ers k t
1.s 分量和 p 分量
E p1
H s1
z
1 Hs
E p2 H s2
y
o
E p1
x
2. 反射系数和透射系数假设介质中的电场矢量为
El E0l e－i(l t－kl r ) l i, r, t ( 127)
其 s 分量和 p 分量表示式为
Elm E0lm e－i(l t－kl r ) m s, p （ 128）
2. 反射系数和透射系数则定义 s 分量、p 分量的反射系数、透射系数分别为

物理光学A光的偏振与晶体光学基础

• 当入射光在主截面内时，o光垂直于e光
7-3 双折射的电磁理论
晶体的各向异性和介电张量
• 晶体的各向异性 • 晶体对不同方向偏振的光表现出不同的响应
• 晶体结构各向异性极化各向异性对光响应的各向异性
• 右图：方解石的分子结构CaCO3
Ca++
O-2
O-1
C+
O-3
7-3
• 晶体的介电张量[]={ij}，i,j=x,y,z • 一般地， ij0
7-3
• 与k0对应的两组D、E、S 的方向
E2
D2
S2 k
E1
D1
S1
7-3
单轴晶的双折射
• 单轴晶：nx=ny=no，nz=ne，none • 设k0在yz平面内，与z轴夹角
• k0x=0, k0y=sin, k0z=cos
• 代入菲聂耳方程，得到
• n12=no2
(7-16a)
•
n
2
2=
n
• 2、由二向色性产生线偏光
• 二向色性—对不同振动方向的偏振光吸收系数不同 • 具有二向色性的材料：电气石、人造H偏振片、K偏
振片 • 二向色性的机制：材料中的电子在特定方向上运动
自由度大于其它方向，当入射光沿此特定方向振动时，带动电子运动，光能被选择性吸收 • 波长变化，二向色性也变化
二向色性偏振片
• 光轴：晶体中的一个方向，光沿此方向传播，没有双折射发生。
• 单轴晶体、双轴晶体 • o主平面：光轴+o光线；e主平面：光轴+e光线
o光的主平面
· · · ·
e光的主平面
o光
e光
光轴
光轴
主平面

5.2.1 理想单色平面光波在晶体中的传播(光线菲涅耳方程)

k1 E1 + k2 E2 + k3 E3 = 0
(47)
此式即为 k⋅E＝0。它表明，光电场矢量 E 与波法线＝。它表明，方向垂直。方向垂直。
ε1 − n 2 (1 − k12 ) E1 + n 2 k1k2 E2 + n 2 k1k3 E3 = 0 2 n 2 k2 k1E1 + ε 2 − n 2 (1 − k2 ) E2 + n 2 k2 k3 E3 = 0 2 2 2 2 n k3k1E1 + n k3k2 E2 + ε 3 − n (1 − k3 ) E3 = 0
2)单轴晶体单轴晶体单轴晶体的主介电系数为
2 ε1 = ε 2 = no 2 ε 3 = ne2 ≠ no
(48)
ne＞no 的晶体，称为正单轴晶体(石英晶体；的晶体，称为正单轴晶体石英晶体)；正单轴晶体( ne ＜ no 的晶体，称为负单轴晶体(方解石晶体。的晶体，称为负单轴晶体方解石晶体)。负单轴晶体(
2 2 2 2 ( no − no cos θ ) E2 + no sin θ cosθ E3 = 0 2 2 2 2 no sin θ cos θ E2 + ( ne − no sin θ ) E3 = 0
2 2 (no − no ) E1 = 0
(53)
ε1 − n 2 (1 − k12 ) E1 + n 2 k1k2 E2 + n 2 k1k3 E3 = 0 n 2 k2 k1 E1 + ε 2 − n 2 (1 − k22 ) E2 + n 2 k2 k3 E3 = 0 (42) 2 2 2 2 n k3 k1 E1 + n k3 k2 E2 + ε 3 − n (1 − k3 ) E3 = 0

中北大学物理光学期末考试——填空题选择题

本复习资料专门针对中北大学五院《物理光学与应用光学》石顺祥版教材，共有选择、填空、简答、证明、计算五个部分组成，经验证命中率很高，80分左右，不过要注意，证明题可能变成计算题，填空题变成选择题。

1、渥拉斯顿棱镜的工作原理：])tan -[(arcsin 2e o θn n Φ≈，角随入射光波长分离的不同稍有变化。

2、格兰-汤普森棱镜的工作原理：格兰-汤普森棱镜（单向偏振棱镜）由两块方解石直角棱镜沿斜面相对胶合，两块晶体光轴与通光面平行，利用全反射原理工作的，存在着入射光束锥角限制。

3、晶体光学的两个基本方程：（⊥⊥==D n cE E n D r2020εε），物理意义：（决定了在晶体中传播的单色平面光波电磁波的结构，给出了沿某个k （s ）方向传播的光波D （E ）与晶体特性n （n r ）的关系）。

4、偏振棱镜的主要特性参量有（通光面积、孔径角、消光比、抗损伤能力）。

5、主折射率：对于立方晶体，其主折射率为（0321n n n n ===）对于单轴晶体，其主折射率为（e o n n n n n ===321，）对于双轴晶体，其主折射率为（321n n n ≠≠）。

6、正常色散是（折射率随着波长增加而减小的色散）反常色散是（折射率随波长的增大而增大的色散）孔脱系统研究了反常色散现象，认为反常色散与介质对光的（吸收）有密切联系。

（孔脱定理）7、光纤的窗口：（如果某种频率的光波以低损耗通过光纤，那么这种频率所对应的波段）是光纤的窗口，光纤的三个“窗口”：（短波窗口0.8~0.9μm ，长波长窗口1.31μm 和1.55μm ）。

8、任何一个共焦腔与无数多个稳定球面腔等价，这里的等价是（具有相同的行波场）的意思。

9、射线曲面是（在晶体中完全包住一个单色点光源的波面），射线曲面的简单表达式（0111111232232222221221=-+-+-ννννννr r r s s s ），（当k 取空间所有方向，n 1k 和n 2k 的末端便在空间画出两个曲面:双壳层曲面，此曲面）是折射率曲面，折射率曲面的简单表达式（111111232232222221221=-+-+-n n k n n k n n k ）。

理想单色平面光波在晶体中的传播光线菲涅耳方程

k1E1 k2E2 k3E3 0 (47)
1)各向同性介质或立方晶体因此，E 平行于 D，s 平行于 k。所以，在各向同性介质或立方晶体中传播的光波电场结构。
D' E'
sk
E'' D''
1)各向同性介质或立方晶体由于(47)式只限定了 E 垂直于 k，而对 E 的方向没有约束。
no2ne2 no4 sin2 no2ne2 cos2 no4 cos2 sin2 no4 sin2 cos2 no2ne2 no4 sin2 no2ne2 cos2 no2ne2 sin2 no4 sin2 no2 sin2 (ne2 no2 ) 0
k12
1 n2

1
1

k22
1 n2

1
2

k32
1 n2

1
3
0
(40)
1)各向同性介质或立方晶体
代入 1 2 3 n02 ，并注意到 k12 k22 k32 1 (k 是波法线方向的单位矢量),该式简化为
n2 n02
2
0
(46)
由此得到重根 n'＝n''＝n0。这就是说，在各向同性介质或立方晶体中，沿任意方向传播的光波折射率都等

0

n2k2k1E1 2 n2 1 k22 E2 n2k2k3E3 0(42)

n2k3k1E1 n2k3k2E2 3 n2 1 k32 E3 0
①寻常光波
第一式因系数为零，所以 E1 有非零解。第二、三式因系数行列式不等于零，所以是一对不相容的齐次方程，此时，只可能是 E2＝E3＝0。因此，E＝E1i。

光波在介质界面上的反射和折射菲涅耳公式

m s , p （ 1 2 8 ）
Ers sin(2 1) Eis sin(2 1)
(k ik r)r0 (1 2 1 )
rm
E0rm E0im
(129)
3. 菲涅耳公式由（134）式和（133）式消去 Ers，经运算整理得
ts=-n1co2 sn11con s2 c1os2
(135)
rs=-ssiinn((1122))
(134)
( E i s E r s ) n 1 c o s 1 E t s n 2 c o s2( 1 3 3 )
3. 菲涅耳公式
利用类似方法，可以推出 p 分量的反射系数和透射系数表示式，这就是著名的菲涅耳公式：
rs
sin(12)=n1cos1n2cos2 sin(12) n1cos1n2cos2
2.1 反射定律和折射定律 (Reflection law and refraction
law)
现假设二介质为均匀、透明、各向同性，分界面为无穷大的平面，入射、反射和折射光均为平面光波, 其电场表示式为
E l E 0 le － i( lt－ k lr) l i,r,t(1 1 9 )
z
ki 1 2
(ki kr)r0 (121) (ki kt)r0 (122)
kr
B
r
n1 O
n2
ki 分界面
kt
i A
t
C
2.1 反射定律和折射定律又因为 k n/c ，可将上二式改写为
nisini nrsinr (125) nisini ntsint (126)
这就是介质界面上的反射定律和折射定律，折射定律又称为斯涅耳（Snell）定律。
n

15.2-光在晶体中的传播-14次解析

15.2 光在晶体中的传播
内容
一、晶体的双折射及相关概念二、晶体的介电张量三、单色平面波在晶体中的传播
一、晶体的双折射及相关概念
1.双折射现象
1669年丹麦科学家巴塞林(Bartholin)发现双折射现象
双双双折折折射
o光 e光
方解石晶体
1. 双折射现象
光束在某些晶体中传播时，由于晶体对两个相互垂直振动矢量的光的折射率不同而产生两束折射光，这种现象称为双折射 (Double Refraction)。
三、单色平面波在晶体中的传播
根据光的电磁理论，光在晶体中的传播特性仍然由麦克斯韦方程组描述。
D 0 B 0 E B
t H D
t
(1-8) (1-9) (1-10)
(1-11)
D E B H J E
麦克斯韦方程组
均匀、不导电、非磁性的各向异性介质(晶体)中，若没有自由电荷存在，麦克斯韦方程组为
石英
SiO2
589.3 1.5442 1.5533
石英
SiO2
486.1 1.5497 1.5590
石英
SiO2
200
1.640
1.653
金红石
TiO2
589.3 2.6131 2.9089
金红石
TiO2
486.1 2.7346 3.0631
冰表一些H2单O 轴晶体5的89.折3 射率1.3和09双折率1.310
k0
波阵面
(13)
DE k
H
s
波阵面
vk vs
(3)相速度和光线速度
光线速度 vs是单色光波能量的传播速度，其方向为能流密度(玻印亭矢量)的方向 s，大小等于单位时间内流过垂直于能流方向上的一个单位面积的能量除以能量密度，即

光的衍射是光的波动性的主要标志之一历史上最早成功地运用波动

)
J
1
(2
N
) a
即
B~
(iM
a
)
J
1
(
2
N
) a
（3－12）（3－13）
菲涅耳衍射与夫朗禾费射上面给出的光矢量及光强解析表达式为一通用公式。在推导过程中，
由于r和b相差很小，故在分子中用b代替了r。这即一些物理光学书中说的傍轴条件。实际上引入傍轴条件并没有什么太大的意义，它只对各干涉光束的振幅起作用。由光波叠加原理得知，不同振幅的光波干涉叠加只影响干涉条纹的对比度，何况一般r和b相差很小，振幅变化并不大。实际上认为倾斜因K(子 ) 1 也是基于这种设想。下面讨论所谓的远场条件，一些物光书中将公式（3－3）中位相的二次项满足下述条件
4I0
s in 2
(
Rb 2Rb
a2
)
（3－20）
显然，当
a (2m 1)Rb Rb
a 2mRb Rb
(m 0， 1，３ ……)
（3－21）
即波带数为奇数时，中心点是亮的，波带数为偶数时，中心点是暗的。这和菲
涅耳波带法得出的结论是一致的。
（3－16）式用来分析圆孔衍射的物理意义是有用的，但计算起来比用（3－4）
四、圆孔衍射解析表达式的物理意义
利用贝塞耳函数母函数的概念，经数学推导，文献 [8]、[9]、[10] 得出：
E~p

exp{ik[R b 2 ]}
D~A
2(R b) Rb
1

exp[iMN
(1

2 M 2a
2
)]

J
0
(2
N
a

光波在介质界面上的反射和折射菲涅耳公式

在讨论过程中，不计吸收、散射等能量损耗，因此，入射光能量在反射光和折射光中重新分配，而总能量保持不变。
2. 3 反射率和透射率 (Reflectivity and transmissivity) 若有一个平面光波以入射角1 斜入射介质分界面，平面光波的强度为 Ii，则每秒入射到界面上单位面积的能量为
代入边值关系 n Ei Er n Et ，该式总是成立，故
i r t
( ki k r ) r 0 ( ki k t ) r 0 (120) (121) (122)
2.1 反射定律和折射定律进一步，根据图所示的几何关系，可得可由（121）式和（122）式得到
Eis Ers Ets
(131)
(Eis Ers )n1cos1 Ets n2 cos 2 (133)
3. 菲涅耳公式将（128）式代入上式，利用（121）式关系，并根据反射系数定义，得到
sin (1 2 ) rs =sin (1 2 )
Elm E0lm e－i(l t－kl r )
ki sini kr sin r ki sini kt sin t
( ki k r ) r 0 ( ki k t ) r 0
(123) (124)
n1 n2 O
kr ki kt
r
B
分界面
(121) (122)
i
t
A C
2.1 反射定律和折射定律又因为 k n / c ，可将上二式改写为
Ers sin ( 2 1 ) Eis sin ( 2 1 )
(ki kr ) r 0 (121)
(134)
m s, p

晶体的光学各向异性

k)

n 2c
(E

H)k
1
n
n
wm 2 B H 2c H (E k) 2c (E k) k
w

we
wm

n c
|
S
|
sk
w n|S| c
图 4-1 平面光波的电磁结构
C.相速度和光线速度
相速度vp：
vp
vpk

c n
k
光线速度vr：
vr vr s
2.
（1）.单色平面光波在晶体中的传播特性 A.晶体中光电磁波的结构——波动方程
E、D、H

(
E0、D0、H
0
)e
i
(t

n c
k
r
)
H k c D n
E k 0c H
n kD 0
kH 0
B.能量密度
根据电磁能量密度公式有：
we

1 2
E

D

n 2c
E
(H

a21
a22
a23 T21
T22
T23 a12
a22
a32
T3'1
T3'2
T3'3

a31 a32 a33 T31 T32 T33 a13 a23 a33
其分量表示形式为:
Tij' aik a T jl kl
i, j, k, l=1, 2, 3
T2
0
0 0 T3
最后应指出，张量与矩阵是有区别的，张量代表一种物理量，因此在坐标变换时，改变的只是表示方式，其物理量本身并不变化，而矩阵则只有数学意义。因此，有时把张量写在方括号内，把矩阵写在圆括号内，以示区别。

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