第五讲 联合平稳随机过程和复随机过程

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设有两个随机过程 X (t ) 和Y (t ) ,它们的概率密度 , t2 ,, tm ) 分别为 f X ( x1, x2 ,, xn ; t1 , t2 , tn ), fY ( y1 , y2 ,, ym ; t1
两个过程的是相互独立的，联合概率密度函数 满足:
XY (t ) X (t )Y (t ) E[ X (t )Y (t )] RXY ( )
则称 X (t ) 和 Y (t ) 具有联合宽遍历性。
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两个随机过程独立、正交和不相关
正交 若两个随机过程 X (t ) 和 Y (t ) 对任意两个时刻 t1, t2都具有 RXY (t1 , t2 ) 0 或 K XY (t1 , t2 ) mX (t1 )mX (t2 ) 则称 X (t ) 和 Y (t ) 互为正交过程。
互相关系数为：
K XY ( ) RXY ( ) mX mY rXY ( ) X y K X (0) KY (0)
又称作归一化互相关函数或标准互协方差函数。 注：显然 rXY ( ) 1 。 当 rXY ( ) 0时，平稳过程 X (t ) 和 Y (t ) 互不相关。
K XY (t, t ) RXY (t, t ) mX (t )mY (t ) 1 RXY (t , t ) RXY ( ) sin 2
n (n 0, 1, 2,...) 时等于零，此时 由于K XY ( ) 仅在 X(t)和Y(t)的状态（随机变量）才是不相关的；而在 K XY ( ) 0，故从整体来看，随机过程X(t) n 时， 和Y(t)是相关的，因而，它们是统计不独立的。
（2）互相关函数仅为时间差 的函数，与 时间t无关，即 RXY (t1 , t2 ) RXY ( ) t 2 t1 则称 X (t ) 和 Y (t ) 为联合宽平稳或宽平稳相依。
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联合宽平稳随机过程互相关函数的性质
(1) RXY ( ) RYX ( )
0 0 0 0 0 2 0 2 0 2
其中 Z Z mZ ( X jY ) (mX jmY )
要使上式恒成立，即方程无解或只有同根，
则方程的系数应该满足 B 2 4 AC 0 ,则有
( 2RXY ( )) 2 4 RX (0) RY (0) 0
所以， R XY ( ) R X (0) RY (0)
2 2 同理， K XY ( ) K X (0) KY (0) X Y 2
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一 两个随机过程的联合概率分布
设有两个随机过程 X (t ) 和Y (t ) ,它们的概率密度 ,, tm ) 分别为 f X ( x1, x2 ,, xn ; t1, t2 , tn ) , fY ( y1, y2 ,, ym ; t1, t2 定义这两个过程的(n+m)维联合分布函数：
2 2 K XY ( ) K X (0) KY (0) X Y
2
为任意实数 证明： 由于 E[(Y (t ) X (t ))2 ] 0 ，
2 R ( 0 ) 2RXY ( ) RY (0) 0 展开得： X
这是关于 的二阶方程。注意，RX ( 0) 0
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随机过程的联合遍历性（宽遍历）
两个随机过程 X (t ) 和 Y (t )是联合宽平稳 (前提)
定义时间互相关函数为：
1 XY (t ) X (t )Y (t ) lim T 2T

T
T
X (t )Y (t )dt
若 XY ( )依概率1收敛于互相关函数 RXY ( ) 即
不相关 若两个随机过程 X (t ) 和 Y (t ) 对任意两个时刻 t1, t2都具有 K XY (t1 , t2 ) 0 或 RXY (t1 , t2 ) mX (t1 )mX (t2 )
则称 X (t ) 和Y (t ) 不相关。
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推论 1) 如果两个随机过程相互独立，且他们的二阶 矩都存在，则必互不相关。 2) 正态过程的不相关与相互独立等价。
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三
复随机过程
前面讨论的随机过程都是实随机过程，把 随机过程表示成时间的实值函数。 但在某些情况下，处理窄带随机过程时， 需要表示成复随机过程形式则更为便利。
复随机变量和复随机过程。
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19ຫໍສະໝຸດ Baidu
复随机变量
1 定义 复随机变量Z定义为Z=X+jY，式中X和Y 为实随机变量。 2 分布函数
K XY ( ) KYX ( )
证明：RXY ( ) E[ X (t )Y (t )] E[Y (u) X (u )] RYX ( )
说明互相关函数既不是偶函数，也不是奇函数。
互相关函数的影像关系 《随机信号分析》教学组
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(2) RXY ( ) 2 RX (0) RY (0),
c) FXY ( x1 ,, xn , t1 c,, tn c, y1,, ym , t1 c,, tm
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联合宽平稳（联合宽平稳相依）
两个随机过程 X (t ) 和 Y (t ) ，如果满足： （1） X (t ) 和 Y (t ) 分别宽平稳随机过程；
2
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(3)
1 RX (0) RY (0) 2 1 1 2 2 K XY ( ) K X (0) KY (0) X Y 2 2 RXY ( )
证明：由性质(2)，得 2 R XY ( ) R X (0) RY (0)
注意到
FZ ( z) P[ X x, Y y] FXY ( x, y)
即由X，Y的联合概率分布描述。
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3 数字特征
(1) 数学期望
mZ E[Z ] E[ X jY ] E[ X ] jE[Y ] mX jmY
(2) 方差
DZ D[Z ] E[| Z |2 ] E[Z * Z ] E[ X 2 Y ] E[ X ] E[Y ] DX DY
式中 f XY (t1, t2 ) ( x, y; t1, t2 ) 是随机过程 X (t ) 和 Y (t ) 的二维联合概率密度。
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随机过程 X (t ) 和 Y (t ) 的中心化互相关函数 （互协方差函数）定义为：
K XY (t1, t2 ) E[ X (t1 ) mX (t1 )][Y (t2 ) mY (t2 )]
已知两个随机过程 X (t ) 和 Y (t ) 的m+n维联合 分布条件下，可以通过求出各自的边缘分布，然 后使用前面介绍的单个随机过程中的方法求的各 自的数字特征。
为了描述两个随机过程之间的相互联系，需 要引入新的数字特征。最常用且最重要的数字特 征是两个过程的互相关函数。
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因此
RX (0) 0
RY (0) 0
1 RXY ( ) RX (0) RY (0) [ RX (0) RY (0)] 2
（任何正数的几何平均小于算术平均）
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（4）互相关系数
当两个随机过程联合平稳时，它们的互协方差为：
K XY (t1 , t2 ) K XY (t2 t1 ) K XY ( )
, , tm ) FXY ( x1 ,, xn ; y1 ,, ym ; t1 , , tn ; t1 , , tm ) FX ( x1 ,, xn ; t1 ,, tn ) FY ( y1 , , ym ; t1
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二 两个随机过程的数字特征（互相关函数）





( x mX (t1 ))( y mY (t2 )) f XY ( x, y; t1 , t2 )dxdy
X (t1 ) 和 Y (t 2 )
mX (t1 ) 和 mX (t 2 ) 分别是随机变量 式中，
的数学期望。 此式也可以写成
K XY (t1 , t2 ) RXY (t1 , t2 ) mX (t1 )mY (t2 )
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例 设两个平稳随机过程 X (t ) cos(t ), Y (t ) sin(t ) 试问:X(t)和Y(t)是否平稳相依？是否正交、不相关、 统计独立？ 解 平稳随机过程X(t)和Y(t)的互相关函数为：
RXY (t , t ) E[ X (t )Y (t )] E[cos(t ) sin(t )] 1 1 1 E[sin(2t 2 ) sin ] sin E[sin(2t 2)] 2 2 2 1 sin RXY ( ) 故两个随机过程是平稳相依的。 2 1 R ( t , t ) sin ，它仅在 n (n 0, 1, 2,...) 由于 XY 2 时等于零，这时X(t)和Y(t)的取值（随机变量）才是
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1 定义 设两个随机过程 X (t ) 和 Y (t ) ，它们在任意两个 Y (t 2 ) 则定义它 时刻t1，t2的取值为随机变量 X (t1 ) 和 们的互相关函数为：
RXY (t1 , t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )]



xyf XY ( x, y; t1, t2 )dxdy
,, tm ) FXY ( x1 ,, xn ; y1,, ym ; t1,, tn ; t1
) y1,..., Y (tm ) ym ] P[ X (t1) x1,..., X (tn ) xn ; Y (t1
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定义两个过程的(n+m)维联合概率密度为：
,, tm ) f XY ( x1 ,, xn ; y1 ,, ym ; t1 ,, tn ; t1
,, tm ) nm FXY ( x1 ,, xn ; y1 ,, ym ; t1 ,, tn ; t1 x1 xny1 ym
注 1）若两个过程的n+m维联合概率分布给定，则它们的 全部统计特性也确定了。 2）可以由高维联合分布求出相应低维联合概率分布。
正交的。对于其它 值是不相交的。
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X(t)和Y(t)的均值分别为：
mX (t ) E[ X (t )] E[cos(t )] 0 mY (t ) E[Y (t )] E[sin(t )] 0
X(t)和Y(t)的互协方差函数为：
1.4 联合平稳随机过程
引入：前面对单个随机过程的统计特性进行了详细的研究， 但在实际中常常需要同时研究两个或两个以上的随 机过程的统计特性。 如：研究同时作用于接收机信号和噪声两个随机过程 所构成的过程的统计特性。为了能从噪声中恢复出信 号，除了信号和噪声各自的统计特性外，还应该研究 两个过程的联合统计特性。 主要研究：联合分布函数(概率密度函数)和互相关函数。
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2 两个随机过程的平稳性（严平稳和宽平稳）
联合严平稳（联合严平稳相依） 若两个随机过程 X (t )和Y (t ) 的联合概率分布 不随时间平移而变化，即与时间的起点无关, 则 称此二个过程为联合严平稳或严平稳相依。
,, tm ) FXY ( x1,, xn ; t1,, tn ; y1,, ym ; t1