高中物理-10.微元法处理速度关联问题

微元法处理关联速度类问题
因高中教材不讲授相对运动，关联速度也较少进行理论分析，因此，当学生遇到稍微复杂点儿的关联速度类试题时，普遍感觉理解和分析的困难，即便教师着意补充了前两个方面的内容，很多学生还是觉得难以想象。

其实，所有这类问题，全部可以用微元法——用几何图示的方法——直观的展现和计算，这对绝大部分学生来说，就比相对运动、关联速度的思路容易理解得多。

【例1】如图1所示，当小车A 以恒定的速度v 向左运动时，对于B 物体，下列说法正确的是( )
A ．匀加速上升
B ．B 物体受到的拉力大于B 物体受到的重力
C ．匀速上升
D ．B 物体受到的拉力等于B 物体受到的重力
[解析]本题是很常规的绳连接问题，将A 车的速度沿绳、垂直绳分解，用沿绳方向分速度相等即可轻松解决。

下面以微元法来解本题。

设A 车在极短时间Δt 内向左运动一小段距离x A ，则B 的位移与A 的位移关系如图所示，由几何关系，有：
cos B A x x θ= 两边除以Δt ，得 cos B A v v θ=
在此基础上，易得B 答案正确。

【例2】如图所示，细绳一端固定在天花板上的O 点，另一端穿过一张CD 光盘的中央小孔后拴着一个橡胶球，橡胶球静止时，竖直悬线刚好挨着水平桌面的边沿．现将CD 光盘按在桌面上，并沿桌面边缘以速度v 匀速移动，移动过程中，CD 光盘中央小孔始终紧挨桌面边线，当悬线与竖直方向的夹角为θ时，小球上升的速度大小为（ ） A ．v sin θ B ．v cos θ C ．v tan θ D ．v cot θ
[解析]本题按常规思路，需要用到相对运动和运动的分解合成，对很多学生来说这是有一定理解困难的。

若是采用微元法，则问题却变得简单而直接。

设光盘在极短时间Δt 内向右运动一小段位移x ，由几何关系易知，小球水平位移也为x ，竖直位移为 sin y x θ=
两边除以时间Δt ，得小球上升的速度（竖直速度）为 sin y v v θ= 小球的位移为
2221sin x x y x θ'=+=+
两边除以Δt ，得小球的速度为
21sin v v θ'=+
【例3】如图3所示，顶角θ＝60°、光滑V 字形轨道AOB 固定在竖直平面内，且AO 竖直．一水平杆与轨道交于M 、N 两点，已知杆自由下落且始终保持水平，经时间t 速度由6 m/s 增大到14 m/s(杆未触地)，则在0.5t 时，触点N 沿倾斜轨道运动的速度大小为(g 取10 m/s 2)( )
A ．10 m/s
B ．17 m/s
C ．20 m/s
D ．28 m/s
x A
x B x
θ
θ y
θ
θ y x ’
x
[解析]本题按常规思路，需要用到相对运动和运动的分解合成，对很多学生来说这是有一定理解困难的。

若是采用微元法，则问题却变得简单而直接。

杆做自由落体运动，0.5t 时刻，其竖直下落的速度为
010m/s 2
t
v v v +=
= 设杆在极短时间Δt 内竖直下落位移为x ，则由几何关系，有触点N 沿倾斜轨道运动的位移为
/cos N x x θ=
两边除以Δt ，得
/cos 20m/s N v v θ==
【例4】如图所示为竖直黑板，下边为黑板的水平槽，现有一三角板ABC ，∠C =30º．三角板上A 处固定一大小不计的滑轮，现让三角板竖直紧靠黑板，BC 边与黑板的水平槽重合，将一细线一端固定在黑板上与A 等高的Q 点，另一端系一粉笔头（可视为质点）．粉笔头最初与C 重合，且细线绷紧。

现用一水平向左的力推动三角板向左移动，保证粉笔头紧靠黑板的同时，紧靠三角板的AC 边，当三角板向左移动的过程中，粉笔头会在黑板上留下一条印迹，关于此印迹，以下说法正确的是：（）
A ．若匀速推动三角板，印迹为一条直线
B ．若匀加速推动三角板，印迹为一条曲线
C ．若变加速推动三角板，印迹为一条曲线
D ．无论如何推动三角板，印迹均为直线，且印迹与AC 边成75º角
[解析]教学实践表明，用相对运动固然简洁明快，但是很多学生无法理解老师究竟在讲什么，而如果采用微元法讲解本题，学生普遍觉得好理解。

如右图所示，设三角板在极短时间Δt 内向左运动位移为x ，则粉笔头沿斜面上升的距离也为x ，粉笔头对地的位移为
Δx ，则由几何关系易知，无论如何向左推动三角板，印迹
均为直线，且印迹与AC 边成75º角。

【例5】在一大型超市小偷被保安发现，小偷一以不变速度v 1沿着直线AB 逃跑，保安以不变的速率v 2追击，其运动方向始终对准小偷．某时刻小偷在F 处，保安在D 处，FD ⊥AB （如图），试求此时保安的加速度的大小．(弧可以看成圆周运动的一部分)
[解析]要解决这个问题，高中阶段几乎只能用微元法。

经过一段极短的时间Δt ，保安和小偷各运动一段路程后，两者的位置如图所示，则有
11Δx v t =，22Δx v t =
且12x x L θρ
==
联立，得保安轨迹半径为：21
v
L v ρ=
则此时保安的加速度的大小为：22
12
v
v v a L
ρ
=
=
【例6】如图所示，将质量为2m 的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端
N x N
x
θ x θ x
Δx x ρ θ
x 1
θ x 2
v 2
系一质量为m 的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d . 现将小环从与定滑轮等高的A 处由静止释放，B 处在A 处正下方距离为d 处，则下列说法正确的是
A ．小环刚释放时轻绳中的张力一定大于2mg
B ．小环在B
C ．小环下降速度最大时，轻绳中的张力一定等于2mg
D ．小环从A 处开始能够下降的最大高度为
43
d [解析]本题B 、D 选项学生基本上都能应付，笔者在此着重分析A 、C 选项。

按常规思路，我们需要根据机械能守恒定律和牛顿定律，算出小环、重物速度随时间变化的函数，然后对时间求导。

但是，若用微元法，则更简单直接。

（1）A 选项：
设小环经过一段极短的时间t 下落一小段距离y ，小环的速度增加为v 1，此时重物上升的速度为v 2，则有： 2
1tan 2
y gt d θ=
=，21sin sin v v gt θθ== 而sin tan θθ=，则有：2232122gt
g t v gt d d == 则重物上升的加速度为：22
22v g t a t d
== 当取t →0时，易知a =0. 则绳中张力等于2mg .
（2）C 选项：
当小环速度最大时，小环加速度为零，经过一段极短的时间Δt ，小环的速度和重物的速度关系及其变化如图所示，由图极易看出，重
物速度v 2的大小增大了，即重物具有竖直向上的加速度，则绳中张力大于2mg .
更细致的分析如下：
将v 1垂直于绳方向分速度v τ的变化量Δv τ分解为Δv τ1、Δv n1，v 1沿绳方向分速度v n 的变化量Δv n 分解为Δv τ2、Δv n2，由于小环的加速度为0，必有：
Δv τ＝－Δv n
则有： Δv τ1＝－Δv τ2，Δv n1＝－Δv n2
其中，Δv n1产生的加速度大小为：
2223ττττn111n1ΔΔ(cos )cos ΔΔ/cos v v v v v v v a t t l l d d
θθθ
θ⋅⋅======
方向由小环指向滑轮，即为向心加速度。

Δv n2产生的加速度大小为：
23n2n11n2n1ΔΔcos ΔΔv v v a a t t d
θ
-===-=-
其中负号表示该加速度沿绳向左下方。

故此时重物上升的加速度为：23
1n2cos ||v a a d
θ==，可知绳中张力大于2mg .
v
v 2
v τ v 2n1。