1探索勾股定理

图1-1-2 图1-1-2(1)中,正方形C的面积可看成是4个直角三角形与1个小正方形的 面积和;图1-1-2(2)中,正方形C的面积可看成是大正方形与4个直角三角 形的面积差. 答案 (1)16;16 (2)9;9 (3)25 (4)SA+SB=SC
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知识点二 验证勾股定理
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2.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图,根据图中的尺寸
(单位:mm)计算知两圆孔中心A和B的距离为
.
答案 100 mm
解析 在Rt△ABC中,∵AC=120-60=60(mm),BC=140-60=80(mm),∴AB2 =AC2+BC2=10 000,∴AB=100 mm, ∴两圆孔中心A和B的距离为100 mm.
故阴影部分的面积为
S +S +S △ACH △BCF △ABE
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知识点三 勾股定理及其简单应用 3.如图1-1-2,阴影部分是一个正方形,该正方形的面积为 (
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)
A.25 cm2
B.5 cm2
图1-1-2 C.313 cm2
D.20 cm2
答案 A 设正方形的边长为a cm,由勾股定理得a2=132-122=25,∴a=5, 即正方形的边长为5,故正方形的面积为5×5=25(cm2).
(1)若a=6,b=8,则c=
;
(2)若a=5,c=13,则b=
;
(3)若c=34,a∶b=8∶15,则a=
,b=
.
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解析 (1)已知两直角边长a、b,则由c2=a2+b2=62+82=100,得c=10(舍负). (2)已知直角三角形的斜边长c和一条直角边长a, 则由b2=c2-a2=132-52=144,得b=12(舍负). (3)因为a∶b=8∶15,所以可设a=8k,b=15k(k>0), 因为∠C=90°,c=34,所以c2=a2+b2,即342=(8k)2+(15k)2. 所以k=2(舍负).所以a=16,b=30.
图1-1-4
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解析 由题意知△ABC是直角三角形,由勾股定理知AC2=BC2+AB2, ∵AC=50米,BC=40米, ∴AB2=AC2-BC2,∴AB=30米. 如图1-1-5所示,过B点作BD⊥AC于点D,
图1-1-5 BD的长度即为B点到直线AC的距离.
∵△ABC的面积= 1 ·AB·BC=1 ·AC·BD,
拓展延伸 拼图法 步骤
①拼出图形;②写出图形面积表达式;③找出等量关系;④恒等变形; ⑤推导出勾股定理
原则 图形割补、拼接前后不重叠、没有空隙
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常见的几种验证方法如下表:
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例2 (1)观察图1-1-3,并填写下表(图中每个小方格的面积为1个单位面积):
2
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1.如图1-1-4所示,已知Rt△ABC中,AB=4,分别以AC,BC为直径作半圆,面 积分别记为S1,S2,则S1+S2的值等于 ( )
A.2π
B.4π
C.8π
图1-1-4
D.16π
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答案 A 在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2=42=16,
S1=
2
2
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∴AB·BC=AC·BD,
∴BD= AB BC = 30 40 =24(米).
AC
50
答:A、B两点间的距离为30米,B点到直线AC的距离为24米.
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题型 利用勾股定理求三角形边长
例 在△ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,∠C=90°.
A的面积(单位面积) B的面积(单位面积) C的面积(单位面积) 图1-1-3① 图1-1-3②
(2)三个正方形A,B,C的面积之间有什么关系? (3)三个正方形围成的一个直角三角形的三边长之间存在什么关系?
图1-1-3
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解析 (1)如下表:
A的面积(单位面积) B的面积(单位面积) C的面积(单位面积)
A.2 015 B.2 016 C.2 017 D.2 018
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答案 D 设正方形A,B,C围成的直角三角形的三条边长分别是a,b,c. 如图,根据勾股定理,得a2+b2=c2,一次“生长”后,SA+SB=SC=1.第二次“生 长”后,SD+SE+SF+SG=SA+SB=SC=1,推而广之,“生长”了2 017次后形成的 图形中所有的正方形的面积和是2 018×1=2 018.故选D.
图1-1-1
A.(a+b)(a-b)=a2-b2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2 C.c2=a2+b2 D.(a-b)2=a2-2ab+b2
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答案 C 大正方形的面积可以表示为c2,
也可以表示为 1 ab×4+(b-a)2,∴c2= 1 ab×4+(b-a)2,
2
2
即c2=2ab+b2-2ab+a2,∴c2=a2+b2.
长为2,则S1+S2+S3=
.
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答案 12 解析 设AH=a,AE=b,EH=c,则c=2且a2+b2=c2,所以S1+S2+S3=(a+b)2+c2+(a -b)2=2(a2+b2)+c2=3c2=3×22=12.
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3.已知:如图,以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若
图1-1-1
(1)正方形A中含有
个小方格,即A的面积是
;
(2)正方形B中含有
个小方格,即B的面积是
;
(3)正方形C的面积是
;
(4)如果用SA、SB、SC分别表示正方形A、B、C的面积,那么它们之间的
关系是
.
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解析 在正方形A、B中,可以直接数小方格的个数进而得到面积,正方 形C的面积的求法有如下两种:
积为
.
答案 13或5 解析 以x为边长的正方形的面积为x2.当2和3都是直角边时,x2=4+9=1 3;当3是斜边时,x2=9-4=5.故答案为13或5.
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4.(2017北京通州二模改编)2002年8月,在北京召开国际数学家大会,大
会的会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》.其中的“弦
∴S阴影=S正方形ABCD-S△ABE=AB2-
1 2
×AE×BE=100-
1 2
×6×8=76,故选C.
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1.如图,已知三个正方形中的两个正方形的面积分别为S1=25,S3=169,则
另一个正方形的面积S2为
.
答案 144 解析 由S1+S2=S3得S2=S3-S1=169-25=144.
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答案 (a-b)2;c2-2ab;a2+b2=c2
解析 由题意知,小正方形的边长为a-b,因此小正方形的面积=边长×边 长=(a-b)2;小正方形的面积还可以表示为大正方形的面积-4个直角三角
形的面积.而4个直角三角形的面积=4× 1 ab=2ab,大正方形的面积=c2,所
2
以小正方形的面积=c2-2ab.因此(a-b)2=c2-2ab,整理得a2+b2=c2.
AB=3,则图中阴影部分的面积为
.
答案 9
2
解析 因为△ACH为直角三角形, 所以AH2+HC2=AC2. 又因为AH=HC,
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所以AH2= 1 AC2,
2
所以S△ACH=
1 2
AH·HC=
1 2
AH2=
1 4
AC2.
同理,S△BCF=
1 4
BC2,S△ABE=
1 4
AB2.
在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,AB=3,
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初中数学（北师大版）
八年级 上册
第一章 勾股定理
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知识点一 勾股定理的探索
画直角三角形
探索勾股定理的方法
测量法 测量三边长
计算、求证
数格子法
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例1 如图1-1-1,在直角三角形外部作出3个正方形.设小方格的边长为
1,完成下列问题.
答案 (1)10 (2)12 (3)16;30
点拨 在直角三角形中,已知斜边长及两条直角边长的比,设出两条直 角边长,用一个参数表示,结合勾股定理可求出两直角边长.
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知识点一 勾股定理的探索 1.测量你的两块直角三角尺的三边的长度,并将各边的长度填入下表:
三角尺 1 2
直角边a
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4.(2013四川资阳中考)如图1-1-3,点E在正方形ABCD内,满足∠AEB= 90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是 ( )
图1-1-3 A.48 B.60 C.76 D.80
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答案 C ∵∠AEB=90°,AE=6,BE=8,
∴在Rt△ABE中,AB2=AE2+BE2=100,
1 2
AC 2
2
π=
8
·AC2,
S2=
1 2
BCபைடு நூலகம்2
2
π=
8
·BC2,
∴S1+S2= (AC2+BC2)= ×16=2π.
8
8
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2.(2017广西防城港期中)如图1-1-5,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,若AB=15, 则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为 ( )
A.225
B.200
图1-1-5 C.250 D.150
答案 A 正方形ADEC的面积为AC2,正方形BCFG的面积为BC2.在 Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2,AB=15,则AC2+BC2=225.故选A.
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3.一直角三角形的三边长分别为2、3、x,那么以x为边长的正方形的面
项目
内容
勾股定理验 用拼图法验证勾股定理的思路:(1)图形经过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,那么 证的思路 面积不会改变;(2)根据同种图形面积的不同表示方法列出等式,推导勾股定理
勾股定理验 勾股定理的验证是通过拼图法,即图形割补来完成的,探索的关键是要找面积相等,通过 证的实质 面积之间的相等关系,将“形”的问题转化为“数”的问题
直角边b
斜边c
关系
根据已经得到的数据,请猜想三边的长度a、b、c之间的关系. 解析 根据实际测量结果猜想a2+b2=c2,注意测量值均为近似值.
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知识点二 验证勾股定理 2.利用四个全等的直角三角形可以拼成如图1-1-1所示的图形,这个图形 被称为弦图.通过该图形,可以验证公式 ( )
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3.(2016江西宜春高安期中)已知Rt△ABC中,∠C=90°,a+b=14,c=10,则
Rt△ABC的面积等于
.
答案 24
解析 在△ABC中,∠C=90°, ∴a2+b2=c2,即(a+b)2-2ab=c2, ∵a+b=14,c=10, ∴196-2ab=100,即ab=48, 则Rt△ABC的面积为 1 ab=24.
图1-1-3① 16
9
25
图1-1-3② 4
9
13
(2)三个正方形A,B,C的面积之间的关系为SA+SB=SC. (3)三个正方形围成的一个直角三角形的三边长之间的关系:直角三角
形两直角边的平方和等于斜边的平方.
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知识点三 勾股定理及其简单应用
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例3 如图1-1-4所示,隔湖有A、B两点,AB⊥BC于点B,测得AC=50米,BC =40米.求A、B两点间的距离.你能求出B点到直线AC的距离吗?
图”是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方
形,如图1-1-6所示.如果直角三角形的直角边分别为a,b(a>b),斜边为c,那
么小正方形的面积可以表示为
(用含有a,b的式子表示),小正
方形的面积还可以表示为
(用含有a,b,c的式子表示),可以验
证一个等式:
.
图1-1-6
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1.(2017湖北孝感云梦期中)有一个面积为1的正方形,经过一次“生长” 后,在它的左右肩上生出两个小正方形(如图1),其中,三个正方形围成的 三角形是直角三角形,再经过一次“生长”后,生出了4个正方形(如图 2),如果按此规律继续“生长”下去,它将变得“枝繁叶茂”.在“生 长”了2 017次后形成的图形中所有正方形的面积和是 ( )
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2.(2015贵州遵义中考)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了
一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图(1)),图(2)由弦图变化得
到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD、正方
形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若正方形EFGH的边