《一元二次方程的概念》教学PPT课件
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21.1一元二次方程-完整版课件PPT
21.1 一元二次方程
探究一：一元二次方程的概念和一般形式
重点、难点知识★▲
活动1
问题：有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一 个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖长方体 盒子.如果要制作的无盖长方体盒子底面积为3600cm²,那么铁皮 各角应切去边长为多少cm的正方形?
(2)为什么要限制a≠0，b、c可以为0吗？
(3)一元二次方程3x2－x＋2＝0的一次项系数是1吗？为什么？
总结一元二次方程的特殊形式：
当c=0时， ax2 bx 0a 0 当b=0时， ax2 c 0a 0 当b=0,c=0时， ax 2 0a 0
探究一：一元二次方程的概念和一般形式
活动2 一元二次方程的一般形式的应用
例4 若关于x的方程 (m 1)x2 x c x2 是一元二次 方程，求m的取值范围. 【解题过程】
解：原方程整理得（m 2）x2 x c 0, 因其是一元二次方程，所以m-2≠0， 即m≠2.
【思路点拨】先将原方程化为一般形式，再根据一元二次 方程的二次项系数不能为0，求出m的范围.
一元二次方程的一般形式：ax2 bx c 0(a 0)
其中ax2是二次项，a是二次项系数； bx是一次项，b是一次项系数； c是常数项．
探究一：一元二次方程的概念和一般形式
重点、难点知识★▲
活动4 一元二次方程的一般形式： ax2 bx c 0(a 0)
问题： (1)一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？
探究二：利用一元二次方程的概念解决简单的问题
重点、难点知识★▲
活动2 一元二次方程的一般形式的应用
练习4：若关于x的方程 (m 1)xm2 1 x c 0 是一元二次 方程，求m的值. 【解题过程】
探究一：一元二次方程的概念和一般形式
重点、难点知识★▲
活动1
问题：有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一 个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖长方体 盒子.如果要制作的无盖长方体盒子底面积为3600cm²,那么铁皮 各角应切去边长为多少cm的正方形?
(2)为什么要限制a≠0，b、c可以为0吗？
(3)一元二次方程3x2－x＋2＝0的一次项系数是1吗？为什么？
总结一元二次方程的特殊形式：
当c=0时， ax2 bx 0a 0 当b=0时， ax2 c 0a 0 当b=0,c=0时， ax 2 0a 0
探究一：一元二次方程的概念和一般形式
活动2 一元二次方程的一般形式的应用
例4 若关于x的方程 (m 1)x2 x c x2 是一元二次 方程，求m的取值范围. 【解题过程】
解：原方程整理得（m 2）x2 x c 0, 因其是一元二次方程，所以m-2≠0， 即m≠2.
【思路点拨】先将原方程化为一般形式，再根据一元二次 方程的二次项系数不能为0，求出m的范围.
一元二次方程的一般形式：ax2 bx c 0(a 0)
其中ax2是二次项，a是二次项系数； bx是一次项，b是一次项系数； c是常数项．
探究一：一元二次方程的概念和一般形式
重点、难点知识★▲
活动4 一元二次方程的一般形式： ax2 bx c 0(a 0)
问题： (1)一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？
探究二：利用一元二次方程的概念解决简单的问题
重点、难点知识★▲
活动2 一元二次方程的一般形式的应用
练习4：若关于x的方程 (m 1)xm2 1 x c 0 是一元二次 方程，求m的值. 【解题过程】
一元二次方程课件ppt
（4）原方程变形为 (xm)2 n 形式
（5）如果右边为非负数，直接开平方法 求出方程的解，如果右边是负数，一元二 次方程无解。
心动 不如行动
例1: 用配方法解方程
x26x70
解: 移项得：x26x7
配方得：x26x32732
即(x3)2 16
开平方得： x34
∴原方程的解为：x11, x27
范例研讨运用新知
x12;x21.
学习是件很愉快的事
淘金者
❖ 你能用分解因式法解下列方程吗？
1 .x2-4=0; 解：1.(x+2)(x-2)=0,
2.(x+1)2-25=0. 2.[(x+1)+5][(x+1)-5]=0,
∴x+2=0,或x-2=0. ∴x1=-2, x2=2.
∴x+6=0,或x-4=0. ∴x1=-6, x2=4.
a，b，c满足什么条件时，方程的两根互
为相反数？
解：一元二次方程 a2 xb xc0a0的解为：
x 1 b 2 b a 2 4 a,x c 2 b 2 b a 2 4 ac
x1x2
b b24acb b24ac
2a
2a
b b 2a 2a
b0
❖用“因式分
解法”解一元 二次方程
回顾与复习 1
1.我们已经学过了几种解一元二次方程
1.x2 7;
2.3y2y1.4
解:1.一元二次方程解: 2.一元二次方程
x2 70
3y2 y 14 0
的两个根 x1 是7,x2 7. x27(x7)x (7).
的3两y2个y根1 是y1 4 3 (2y, y22)y (73 . 7).
3
（5）如果右边为非负数，直接开平方法 求出方程的解，如果右边是负数，一元二 次方程无解。
心动 不如行动
例1: 用配方法解方程
x26x70
解: 移项得：x26x7
配方得：x26x32732
即(x3)2 16
开平方得： x34
∴原方程的解为：x11, x27
范例研讨运用新知
x12;x21.
学习是件很愉快的事
淘金者
❖ 你能用分解因式法解下列方程吗？
1 .x2-4=0; 解：1.(x+2)(x-2)=0,
2.(x+1)2-25=0. 2.[(x+1)+5][(x+1)-5]=0,
∴x+2=0,或x-2=0. ∴x1=-2, x2=2.
∴x+6=0,或x-4=0. ∴x1=-6, x2=4.
a，b，c满足什么条件时，方程的两根互
为相反数？
解：一元二次方程 a2 xb xc0a0的解为：
x 1 b 2 b a 2 4 a,x c 2 b 2 b a 2 4 ac
x1x2
b b24acb b24ac
2a
2a
b b 2a 2a
b0
❖用“因式分
解法”解一元 二次方程
回顾与复习 1
1.我们已经学过了几种解一元二次方程
1.x2 7;
2.3y2y1.4
解:1.一元二次方程解: 2.一元二次方程
x2 70
3y2 y 14 0
的两个根 x1 是7,x2 7. x27(x7)x (7).
的3两y2个y根1 是y1 4 3 (2y, y22)y (73 . 7).
3
人教版九年级数学上册《一元二次方程》PPT优秀课件
③
①都是整式方程; ②都只含一个未知数; ③未知数的最高次数都是2.
那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？ 它们有什么共同特点呢？
知识要点
一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知
数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式是 ax2+bx +c = 0(a，b，c为常数， a≠0)
想一想： 还有其他的方法吗？试说明原因. (20-x)(32-2x)=570
32-2x
32
20-x 20
归纳小结
建立一元二次方程模型的一般步骤
审
审题，弄 清已知量 与未知量 之间的关 系
设 设未知数
找
找出等量 关系
列
根据等量 关系列方 程
随堂演练
1.下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( D )
解：当x＝－3时，左边＝9－(－3)－2＝10， 则左边≠右边， 所以－3不是方程x2－x－2＝0的解； 下面几个数同理可证. 经检验得－1，2为原方程的根.
获取新知
知识点三：建立一元二次方程模型
问题 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑三条宽相等 的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空 地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积 为570m2，问小路的宽应为多少？
4.如图,在一块长12 m,宽8 m的矩形空地上,修建同样宽的两条互 相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行),剩余部分栽种 花草,且栽种花草的面积为77 m2.设道路的宽为x m,则根据题意, 可列方程为 (12-x)(8-x)=77.
样的正方形，再将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的
人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程课件(共24张PPT)
解：设小道的宽度为x米，得(20－2x)(10－x)＝120整理得x2-要建造一个长10m，宽5m玻璃顶观景亭，如图所示在它的四角建造四个截面为正方形的承重柱. 已知需要用到玻璃的面积为45m2，那么承重柱的宽度多少？
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
《认识一元二次方程》一元二次方程PPT(第1课时)教学课件
102＋112＋122＝132＋142.
你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方 和等于后两个数的平方和吗？
如果将这五个连续整数中的第一个数设为x，那 么怎样用含x的代数式表示其余四个数？根据题意， 你能列出怎样的方程？
如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地 面的垂直距离为8 m．如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯 子的底端滑动多少米？
（来自《点拨》）
知3－练
1 随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计， 2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年 均增长率为x，则下列方程中正确的是( ) A．20(1＋2x)＝28.8 B．28.8(1＋x)2＝20 C．20(1＋x2)＝28.8 D． 20＋(1＋2x)＋20(1＋x)2＝28.8
油利画用的长面方积形与的整面个积挂公 图式的和面油积画．面积与整个
90+2x
挂图面积之间的关系
解：(90＋2x)(40＋2x)×54%＝90×40.
列（方来程自《点拨》）
总结
知3－讲
建立一元二次方程模型解决实际问题时，既要 根据题目条件中给出的等量关系，又要抓住题目中隐 含的一些常用关系式(如面积公式、体积公式、利润 公式等)进行列方程．
到右依次填写28,18,10,4. （4）通过分析表格中的数值，估计方程的解，对表格中所填数值
的分析应至少包括以下两个方面：①表格中，当x的值从小到 大变化时，（8-2x)(5-2x）的值逐渐减小，经历了从大于 18到等于18再到小于18的过程. ②由表格可知，当x=1时， （8-2x)(5-2x）-18，由方程的解得意义，可以得出“x-1是 方程，（8-2x)(5-2x）-18的解得结论，从而所求宽度为1 m.
你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方 和等于后两个数的平方和吗？
如果将这五个连续整数中的第一个数设为x，那 么怎样用含x的代数式表示其余四个数？根据题意， 你能列出怎样的方程？
如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地 面的垂直距离为8 m．如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯 子的底端滑动多少米？
（来自《点拨》）
知3－练
1 随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计， 2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年 均增长率为x，则下列方程中正确的是( ) A．20(1＋2x)＝28.8 B．28.8(1＋x)2＝20 C．20(1＋x2)＝28.8 D． 20＋(1＋2x)＋20(1＋x)2＝28.8
油利画用的长面方积形与的整面个积挂公 图式的和面油积画．面积与整个
90+2x
挂图面积之间的关系
解：(90＋2x)(40＋2x)×54%＝90×40.
列（方来程自《点拨》）
总结
知3－讲
建立一元二次方程模型解决实际问题时，既要 根据题目条件中给出的等量关系，又要抓住题目中隐 含的一些常用关系式(如面积公式、体积公式、利润 公式等)进行列方程．
到右依次填写28,18,10,4. （4）通过分析表格中的数值，估计方程的解，对表格中所填数值
的分析应至少包括以下两个方面：①表格中，当x的值从小到 大变化时，（8-2x)(5-2x）的值逐渐减小，经历了从大于 18到等于18再到小于18的过程. ②由表格可知，当x=1时， （8-2x)(5-2x）-18，由方程的解得意义，可以得出“x-1是 方程，（8-2x)(5-2x）-18的解得结论，从而所求宽度为1 m.
《一元二次方程的概念》课件ppt
二次项系数
一次项系数
例2.把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次
项系数、一次项系数和常数项：
一般形式 二次项 系 数 一次项 系 数 常数项
方
2
程ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3x =5x-1 (x+2)(x -1)=6
3 3x2－5 5x＋1＝0 1x2 ＋1 x－8＝0
3 1
－5 1 0
1 －8 4
4-7x =0
3、如何理解一元二次方程的一般形式 2 ax bx c 0 (a≠0)？
(a≠0)是成为一元二次方程的必要条件 （1） 找一元二次方程的二次项、一次项 （2） 系数及常数项要先化为一般式
共同进步！
1 是同一场比赛,所以全部比赛共 x( x 1) 28 场. 2
即
各赛1场, 由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛
x x 56
2
?
一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的 长为８m，宽为５m．如果地毯中央长方形图案的面 积为１８m2 ，则花边多宽?
你怎么解决这个问题？
解：如果设花边的宽为xm ,那么地毯中央长方形图案 的长为 m,宽为 （8－2x） （5－2x）m,根据题意,可得方程：
1 2 -1
4 0 -1
2
2
2
0
-(m-1) -8
-5
-m -10
3x(x-1)=5(x+2)
发散思维： 以－2、3、0三个数作为一个一元二次方程 的系数和常数项，请尽可能多的写出满足条 件的不同的一元二次方程？
关于x的方程，kx x - 1 2 x 一定是一元二次
2 2
方程吗？
练习巩固
21.1 一元二次方程PPT课件
5．动脑思考，巩固训练
2．根据下列问题，列出关于 x 的方程，并将所列 方程化成一元二次方程的一般形式．
（1）4 个完全相同的正方形的面积之和是 25，求 正方形的边长 x；
（2）一个矩形的长比宽多 2，面积是 100，求矩形 的长 x；
（3）把长为 1 的木条分成两段，使较短一段的长 与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的 长 x．
1．创设情境，导入新知
思考以下问题如何解决： 1．要设计一座高 2 m 的人体雕像，使它的上部 （腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全 部（全身）的高度比，求雕像的下部应设计为高多少米？
1．创设情境，导入新知
思考以下问题如何解决： 2．有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它 的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分 折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒 的底面积为 3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方 形？
4．动脑思考，例题解析
例 将方程 3x（x - 1）= 5（x +2）化成一元二次方程 的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数 项．
5．动脑思考，巩固训练
1．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并 写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）5x2 -1= 4x； （2）4x2 = 81； （3）4x（x + 2 ）=25； （4）（3x-2）（x+1）=8x -3．
x 2 + 2x - 4 = 0 x 2 - 75x + 350 = 0 x 2 - x - 56 = 0 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知 数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程．
3．细心观察，概念辨析
北师大版九年级数学上册《认识一元二次方程》一元二次方程PPT课件(第1课时)
二次项系数为 5，一次项系数为 36，常数项为－32
课堂练习 6. 根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式. （1）有一根1m长的铁丝，怎样用它围一个面积为0.06m2的长方形?
解：设长方形的长为xm，则宽为(0.5-x)m. 根据题意，得x(0.5-x)=0.06, 整理，得50x2-25x+3=0.
数的平方和吗？
解：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表 示为： x+1 , x+2, x+,3 x+.根4 据题意，可得方程：
x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2. 化简得，x2 - 8x - 20＝0. ②
去括号、移项、合并同类项
2x2-13x+11=0 x2 -8x-20=0 x2＋12x－15＝0
只含有1个 未知数
未知数的最 高次数是2
都是整式方 程
新知讲解
一元二次方程的定义：
只含有一个未知数x，并且可以化成ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0) 的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式：
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0) 特征：方程的左边按x的降幂排列，右边＝0
（2）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加这次 聚会？
解：设有x人参加了这次聚会, 根据题意，得 x(x-1)=10， 整理，得x2-x-20=0.
课堂总结
一元二次方程
概念
只含有一个未知数x的整式方程，并且 都可以化为ax2＋bx＋c＝0(a,b,c为常数, a≠0)的形式.
课堂练习 6. 根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式. （1）有一根1m长的铁丝，怎样用它围一个面积为0.06m2的长方形?
解：设长方形的长为xm，则宽为(0.5-x)m. 根据题意，得x(0.5-x)=0.06, 整理，得50x2-25x+3=0.
数的平方和吗？
解：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表 示为： x+1 , x+2, x+,3 x+.根4 据题意，可得方程：
x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2. 化简得，x2 - 8x - 20＝0. ②
去括号、移项、合并同类项
2x2-13x+11=0 x2 -8x-20=0 x2＋12x－15＝0
只含有1个 未知数
未知数的最 高次数是2
都是整式方 程
新知讲解
一元二次方程的定义：
只含有一个未知数x，并且可以化成ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0) 的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式：
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0) 特征：方程的左边按x的降幂排列，右边＝0
（2）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加这次 聚会？
解：设有x人参加了这次聚会, 根据题意，得 x(x-1)=10， 整理，得x2-x-20=0.
课堂总结
一元二次方程
概念
只含有一个未知数x的整式方程，并且 都可以化为ax2＋bx＋c＝0(a,b,c为常数, a≠0)的形式.
一元二次方程一等奖一等奖-完整版PPT课件
u一元二次方程的根
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一 元二次方程的解（又叫做根）
练一练：下面哪些数是方程 2 – – 6 = 0 的解 -4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4
解： 3和-2
你注意到了吗？一元 二次方程可能不止一 个根
例4：已知a是方程 22－2=0 的一个实数根, 求 2a24a2019的值
讲授新课
一 一元二次方程的概念
问题1:有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各 切去一个正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一 个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600cm2,那 么铁皮各角应切去多大的正方形？
解：设切去的正方形的边长为 cm,则盒底的长为（100－2cm, 宽为50－2cm,根据方盒的底面 积为3600cm2,得
2由∣a ∣1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方 程是一元二次方程
方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方 法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字 母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
变式：方程2a-42－2ba=0, （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？ （2）在什么条件下此方程为一元一次方程？
想一想 为什么一般形式中a2bc=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？
当a=0时
b＋c = 0
当a≠0，b= 0当时a，≠ 0 ， c = 0 时 当 ，a ≠ 0 ，b = c =0时 ，
a2＋c = 0 a2＋b = 0
a2 = 0
总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意
实
数
典例精析
x23x20 x23x20 1
3y2 12 3y 3y22 3y10 3
一元二次方程数学PPT课件
解得：m=20
∴ 方程的解为：x1=55， x2=15。
D 拓展训练 ● 推导求根公式 ● 几何意义 ● 韦达定理
拓展训练 之 求根公式推导
一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）求根公式推导过程如下：
第一步：约分
第二步：配方
第三步：通分
第四步：开平方
拓展训练 之 几何意义
一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）的几何意义
整理，得x2-36x+35=0.
解方程，得x1=1，x2=35. x2=35不合题意舍去，所以 x=1.
答:道路宽为1米.
解应用题 之 精选例题
【数学问题】
5、一个两位数，十位上数字与个位上数字之和为5;把十位上的数字与个位上数字互 换后再乘以原数得736，求原来两位数. 解:设原来两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为(5-x)，原来的两位数就是: 10(5-x)+x，新的两位数就是:10x+(5-x).可列出方程:
【例题】
1、解方程 x²-8x+15=0 解：利用十字相乘法，-8=-3-5， 15=3×5
∴原式可化为(x-3)(x-5)=0 ∴ x1=3；x2=5
方程解法 之 基本方法 • 配方法
【之三 配方法】
将一元二次方程配成(x+m)2=n 的形式，再利用直接开平方法求解的方法。配方法 的理论依据是完全平方公式。配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1， 然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
基本步骤
①把原方程化为一般形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根； 如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。
24.1 一元二次方程课件(共20张PPT)
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
解：设有x人参加了这次聚会,根据题意，得 x(x-1)=10，整理，得 x2-x-20=0.
拓展提升
课堂小结
1.一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0).3.一元二次方程的解使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做这个方程的根.4.根据题意列一元二次方程
为什么规定a≠0？
因为a=0时，未知数的最高次数小于2
一元二次方程的项和各项系数
ax2+bx+c=0(a≠0)
一次项系数
例 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.
知识点1
一元二次方程的定义
①
如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端A处到地面的距离为8 m.如果梯子的顶端沿墙面下滑1 m，那么梯子的底端B在地面上滑动的距离是多少米？如果设梯子的底端B在地面上滑动的距离为x，请列出方程，并谈谈所列方程的特征.
x2+12x-15=0
x2-90x+1 400=0，x2-45x+350=0，x2+12x-15=0
建立一元二次方程模型的一般步骤：（1）审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量之间的关系；（2）设出合适的未知数，一般设为x；（3）确定等量关系；（4）根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为一般形式．
授课老师：
时间：2024年9月15日
解：设有x人参加了这次聚会,根据题意，得 x(x-1)=10，整理，得 x2-x-20=0.
拓展提升
课堂小结
1.一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0).3.一元二次方程的解使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做这个方程的根.4.根据题意列一元二次方程
为什么规定a≠0？
因为a=0时，未知数的最高次数小于2
一元二次方程的项和各项系数
ax2+bx+c=0(a≠0)
一次项系数
例 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.
知识点1
一元二次方程的定义
①
如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端A处到地面的距离为8 m.如果梯子的顶端沿墙面下滑1 m，那么梯子的底端B在地面上滑动的距离是多少米？如果设梯子的底端B在地面上滑动的距离为x，请列出方程，并谈谈所列方程的特征.
x2+12x-15=0
x2-90x+1 400=0，x2-45x+350=0，x2+12x-15=0
建立一元二次方程模型的一般步骤：（1）审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量之间的关系；（2）设出合适的未知数，一般设为x；（3）确定等量关系；（4）根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为一般形式．
《一元二次方程的概念》教学PPT课件
3 如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根为1，那么a+b+c=_0_.如
倍 果a-b+c=0那么方程的另一个根是_x_=_.-1 速 课 时 学 练
辨析概念 感悟内涵
例 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形 式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项．
解：去括号，得
学
（物体短段与长段之比值为 0.618），12个“黄金矩形”（宽与长比值为
练
0.618的长方形）和2个“黄金指数”（两物体间的比例关系为 0.618）。
线段的黄金分割
2.关于x 的方程（k-1)x│k│+1-x-2=0是一元二次方程，求 k 的值。
具体作答过程见黑板板书
倍 速 课 时 学 练
回忆概念 善于反思
1.本节课你收获了哪些知识？ 一元二次方程的概念以及根的定义 一元二次方程的ax2+bx+c=0 其中 a≠0 b c为常 数
2.本节课包含了哪些数学思想？
倍 速 课 时
化简，得 x2－75x+350=0 ②
2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间 都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计 划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀 请多少个队参赛？
学
练
列方程，得 x(x-1)=56
化简，得 x2-x-56=0 ③
类比学习 剖析概念
思考 方程① ② ③有什么特点？
练
类比学习 剖析概念
1.一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整
理，都能化成如下形式
ax2+bx+c=0(a≠0 b c为常数）
一元二次方程(概念一般形式公开课)ppt课件
详细描述
一元二次方程的一般形式是 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b 、c 是常数，且 a ≠ 0。这个形式包含了所有可能的一元二次 方程，可以根据具体情况确定 a、b、c 的值。
一元二次方程的解的概念
总结词
一元二次方程的解是一组数，使得这组数代入方程后左右两边相等。
详细描述
一元二次方程的解是一组数 x1, x2，使得 ax1^2 + bx1 + c = 0 和 ax2^2 + bx2 + c = 0。这组数必须满足方 程的条件，即代入后左右两边相等。解的个数可以是0个、1个或2个。
解一元二次方程 x^2 - 2x - 3 = 0 的答案是 x = -1 和 x = 3。通 过因式分解或使用公式法，我们 可以得到这两个解。
应用题答案与解析
这个物体下落前距地面的距离是 78.4米。根据等差数列求和公式 ，第一秒下落距离是4.9米，前4 秒下落总距离是4 × (4.9 + 4.9 + 9.8) / 2 = 78.4米。
选择题答案与解析
选择题答案是 B. 2个。一元二 次方程的解的个数是由判别式 决定的，判别式 Δ = b^2 4ac。当 Δ > 0 时，方程有两个 不相等的实根；当 Δ = 0 时， 方程有两个相等的实根；当 Δ < 0 时，方程没有实根。因此 ，一元二次方程的解的个数是 不确定的，但通常有两个实根
VS
详细描述
配方法是先将一元二次方程化为一般形式 ，然后通过移项、配方等步骤，将方程化 为一个完全平方项加上一个常数的形式， 最后对方程两边同时开平方，得到方程的 解。这种方法适用于各种类型的一元二次 方程，如$x^2+2x-3=0$或$x^24x+3=0$等。
一元二次方程的一般形式是 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b 、c 是常数，且 a ≠ 0。这个形式包含了所有可能的一元二次 方程，可以根据具体情况确定 a、b、c 的值。
一元二次方程的解的概念
总结词
一元二次方程的解是一组数，使得这组数代入方程后左右两边相等。
详细描述
一元二次方程的解是一组数 x1, x2，使得 ax1^2 + bx1 + c = 0 和 ax2^2 + bx2 + c = 0。这组数必须满足方 程的条件，即代入后左右两边相等。解的个数可以是0个、1个或2个。
解一元二次方程 x^2 - 2x - 3 = 0 的答案是 x = -1 和 x = 3。通 过因式分解或使用公式法，我们 可以得到这两个解。
应用题答案与解析
这个物体下落前距地面的距离是 78.4米。根据等差数列求和公式 ，第一秒下落距离是4.9米，前4 秒下落总距离是4 × (4.9 + 4.9 + 9.8) / 2 = 78.4米。
选择题答案与解析
选择题答案是 B. 2个。一元二 次方程的解的个数是由判别式 决定的，判别式 Δ = b^2 4ac。当 Δ > 0 时，方程有两个 不相等的实根；当 Δ = 0 时， 方程有两个相等的实根；当 Δ < 0 时，方程没有实根。因此 ，一元二次方程的解的个数是 不确定的，但通常有两个实根
VS
详细描述
配方法是先将一元二次方程化为一般形式 ，然后通过移项、配方等步骤，将方程化 为一个完全平方项加上一个常数的形式， 最后对方程两边同时开平方，得到方程的 解。这种方法适用于各种类型的一元二次 方程，如$x^2+2x-3=0$或$x^24x+3=0$等。
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建模思想 转化思想 类比思想
倍 速 课 时 学 练
数学背景材料学习
黄金比例
黄金分割律
据传，这是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯的徒弟希伯斯所发
现，后来古希腊哲学家柏拉图将此称为黄金分割。这其实是一个数字
的比例关系，即把一条线分为两部分，此时长段与短段之比恰恰等于
整条线与长段之比，其数值比为1.618：1或1：0.618，也就是说长段
21.1 一元二次方程的概念
引 言
要设计一座2 m高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部 （腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉 美感，按此比例雕像的下部应设计为多高？
雕像上部的高度AC，下部的高度BC应有如下关系：
A
AB:BC=BC:2
BC2=2AC
建
C
设雕像下部高x m，于是得方程
解：一般式 5x2-4x-1=0
解：一般式 4x2-81=0
二次项系数为５，一次项系数为-4 二次项系数为4，一次项系数为0，
，常数项为-1.
常数项为-81.
3 4xx 2 25； 4 3x 2x 1 8x 3.
倍
速 课 时
解：一般式 4x2+8x-25=0
2.使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解.
时 学
根. 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的
练
辨析概念 感悟内涵
1 下列方程中是一元二次方程的是（ D）
A x2+2x-3=x2
Bx-2 +x-1=0
C 3x2+y+1=0
D√3x-3=√2x2
2 如果关于 x 的方程mx2-2x+m=0是一元 二次方程那么m__≠_0
模
2m
x2=2(2－x)
思
倍 速
整理,得 x2＋2x－4=0
想
课
B
时
1 你发现这个方程与以前学习过的一次一次方程不同？
学
2 方程中未知数x的最高次数是几？
练
3 如何解决这样的方程从而得到实际问题的答案呢？
创设情景 引出概念
引言中的方程
x2＋2x－4=0 ①
有一个未知数x，x的最高次数是2，像这样的方程有广 泛的应用，请看下面的问题．
倍 速 课 时
化简，得 x2－75x+350=0 ②
2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每 划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀 请多少个队参赛？
学
练
列方程，得 x(x-1)=56
化简，得 x2-x-56=0 ③
类比学习 剖析概念
思考 方程① ② ③有什么特点？
3x2-3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的 一般形式：
3x2-8x-10=0.
倍 速
其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为
课
-10.
时
学
练
应用概念 解决疑难
1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出 其中的二次项系数，一次项系数及常数项：
1 5x2 1 4x； 24x2 81；
类
比
类比一元一次 程有哪些相同点和不同点？
x2＋2x-4=0
①
思 想
x2-75x+350=0 ②
x2-x-56=0
③
1 方程的两边都是整式
2 方程中只含有一个未知数
倍
3 未知数的最高次数是2.
速 课
像这样的等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），
时 学
并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
3 如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根为1，那么a+b+c=_0_.如
倍 果a-b+c=0那么方程的另一个根是_x_=_.-1 速 课 时 学 练
辨析概念 感悟内涵
例 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形 式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项．
解：去括号，得
解：一般式 3x2-7x+1=0
二次项系数为4，一次项系数为8， 二次项系数为3，一次项系数为-7，
学 练 常数项为-25.
常数项为1.
应用概念 解决疑难
2.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的 一般形式：
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；
（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x；
练
类比学习 剖析概念
1.一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整
理，都能化成如下形式
ax2+bx+c=0(a≠0 b c为常数）
这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中
类 比 思 想
想一想： a 为什
么不等以0?
ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系
倍 数；c是常数项．
速
课
（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等 于较长一段的长的平方，求较短一段的长x；
倍
速
（4）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长
课
的直角边长x．
时
学
具体作答过程见黑板板书
练
展翅高飞 拓展概念
1.方程2x-4=0的解也是关于方程x2+mx+2=0的解,则m=___.
2.关于x 的方程（k-1)x│k│+1-x-2=0是一元二次方程，求 k 的值。
具体作答过程见黑板板书
倍 速 课 时 学 练
回忆概念 善于反思
1.本节课你收获了哪些知识？ 一元二次方程的概念以及根的定义 一元二次方程的ax2+bx+c=0 其中 a≠0 b c为常 数
2.本节课包含了哪些数学思想？
倍 速 课
0.618，从而使人体美在几十万年的历史积淀中固定下来。人类最熟悉 自己，势必将人体美作为最高的审美标准，由物及人，由人及物，推 而广之，凡是与人体相似的物体就喜欢它，就觉得美。于是黄金分割 律作为一种重要形式美法则，成为世代相传的审美经典规律，至今不
的平方等于全长与短段的乘积。0.618，以严格的比例性、艺术性、和
谐性，蕴藏着丰富的美学价值。为什么人们对这样的比例，会本能地
感到美的存在？其实这与人类的演化和人体正常发育密切相关。据研
究，从猿到人的进化过程中，骨骼方面以头骨和腿骨变化最大，躯体
外形由于近似黄金而矩形变化最小，人体结构中有许多比例关系接近
问题1 ：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的
四角各切一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能
制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为3 600
cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
x
（100－2x）（50－2x） =3 600. 整理，得 4x2－300x+1 400=0
倍 速 课 时 学 练
数学背景材料学习
黄金比例
黄金分割律
据传，这是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯的徒弟希伯斯所发
现，后来古希腊哲学家柏拉图将此称为黄金分割。这其实是一个数字
的比例关系，即把一条线分为两部分，此时长段与短段之比恰恰等于
整条线与长段之比，其数值比为1.618：1或1：0.618，也就是说长段
21.1 一元二次方程的概念
引 言
要设计一座2 m高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部 （腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉 美感，按此比例雕像的下部应设计为多高？
雕像上部的高度AC，下部的高度BC应有如下关系：
A
AB:BC=BC:2
BC2=2AC
建
C
设雕像下部高x m，于是得方程
解：一般式 5x2-4x-1=0
解：一般式 4x2-81=0
二次项系数为５，一次项系数为-4 二次项系数为4，一次项系数为0，
，常数项为-1.
常数项为-81.
3 4xx 2 25； 4 3x 2x 1 8x 3.
倍
速 课 时
解：一般式 4x2+8x-25=0
2.使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解.
时 学
根. 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的
练
辨析概念 感悟内涵
1 下列方程中是一元二次方程的是（ D）
A x2+2x-3=x2
Bx-2 +x-1=0
C 3x2+y+1=0
D√3x-3=√2x2
2 如果关于 x 的方程mx2-2x+m=0是一元 二次方程那么m__≠_0
模
2m
x2=2(2－x)
思
倍 速
整理,得 x2＋2x－4=0
想
课
B
时
1 你发现这个方程与以前学习过的一次一次方程不同？
学
2 方程中未知数x的最高次数是几？
练
3 如何解决这样的方程从而得到实际问题的答案呢？
创设情景 引出概念
引言中的方程
x2＋2x－4=0 ①
有一个未知数x，x的最高次数是2，像这样的方程有广 泛的应用，请看下面的问题．
倍 速 课 时
化简，得 x2－75x+350=0 ②
2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每 划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀 请多少个队参赛？
学
练
列方程，得 x(x-1)=56
化简，得 x2-x-56=0 ③
类比学习 剖析概念
思考 方程① ② ③有什么特点？
3x2-3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的 一般形式：
3x2-8x-10=0.
倍 速
其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为
课
-10.
时
学
练
应用概念 解决疑难
1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出 其中的二次项系数，一次项系数及常数项：
1 5x2 1 4x； 24x2 81；
类
比
类比一元一次 程有哪些相同点和不同点？
x2＋2x-4=0
①
思 想
x2-75x+350=0 ②
x2-x-56=0
③
1 方程的两边都是整式
2 方程中只含有一个未知数
倍
3 未知数的最高次数是2.
速 课
像这样的等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），
时 学
并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
3 如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根为1，那么a+b+c=_0_.如
倍 果a-b+c=0那么方程的另一个根是_x_=_.-1 速 课 时 学 练
辨析概念 感悟内涵
例 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形 式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项．
解：去括号，得
解：一般式 3x2-7x+1=0
二次项系数为4，一次项系数为8， 二次项系数为3，一次项系数为-7，
学 练 常数项为-25.
常数项为1.
应用概念 解决疑难
2.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的 一般形式：
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；
（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x；
练
类比学习 剖析概念
1.一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整
理，都能化成如下形式
ax2+bx+c=0(a≠0 b c为常数）
这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中
类 比 思 想
想一想： a 为什
么不等以0?
ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系
倍 数；c是常数项．
速
课
（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等 于较长一段的长的平方，求较短一段的长x；
倍
速
（4）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长
课
的直角边长x．
时
学
具体作答过程见黑板板书
练
展翅高飞 拓展概念
1.方程2x-4=0的解也是关于方程x2+mx+2=0的解,则m=___.
2.关于x 的方程（k-1)x│k│+1-x-2=0是一元二次方程，求 k 的值。
具体作答过程见黑板板书
倍 速 课 时 学 练
回忆概念 善于反思
1.本节课你收获了哪些知识？ 一元二次方程的概念以及根的定义 一元二次方程的ax2+bx+c=0 其中 a≠0 b c为常 数
2.本节课包含了哪些数学思想？
倍 速 课
0.618，从而使人体美在几十万年的历史积淀中固定下来。人类最熟悉 自己，势必将人体美作为最高的审美标准，由物及人，由人及物，推 而广之，凡是与人体相似的物体就喜欢它，就觉得美。于是黄金分割 律作为一种重要形式美法则，成为世代相传的审美经典规律，至今不
的平方等于全长与短段的乘积。0.618，以严格的比例性、艺术性、和
谐性，蕴藏着丰富的美学价值。为什么人们对这样的比例，会本能地
感到美的存在？其实这与人类的演化和人体正常发育密切相关。据研
究，从猿到人的进化过程中，骨骼方面以头骨和腿骨变化最大，躯体
外形由于近似黄金而矩形变化最小，人体结构中有许多比例关系接近
问题1 ：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的
四角各切一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能
制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为3 600
cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
x
（100－2x）（50－2x） =3 600. 整理，得 4x2－300x+1 400=0