8第八章拉丁方设计
第八章 单因素拉丁方设计
为2×2阶拉丁方，2×2阶拉丁方只有这两 个。 A B C B C A C A B 为3×3阶拉丁方。
第一行与第一列的拉丁字母按自然顺序排 列的拉丁方，叫标准型拉丁方。3×3阶标准型 拉丁方只有上面介绍的1种，4×4阶标准型拉 丁方有4种，5×5阶标准型拉丁方有56种。若 变换标准型的行或列，可得到更多种的拉丁方。 在进行拉丁方设计时，可从上述多种拉丁 方中随机选择一种；或选择一种标准型，随机 改变其行列顺序后再使用。
第八章 单因素拉丁方设计
第一节 拉丁方实验设计的基本原理
一、 拉丁方实验设计
拉丁方设计是从横行和直列两个方向进行双 重局部控制，使得横行和直列两向皆成区组的设 计。在拉丁方设计中，每一行或每一列都成为一 个完全区组，而每一处理在每一行或每一列都只 出现一次，也就是说，在拉丁方设计中，实验处 理数=横行区组数=直列区组数=实验处理的重复 数。即拉丁方是一个含有n行、n列、把n个字母 分配给方格的管理方案，其中每个字母在每行、 每列中各出现一次，处理数等于行数和列数，且 实行双重局部控制的设计。
3) 无关变量（纵列）的总体平均数相等
H0 : 1 2 3 4
第二步：平方和及自由度的计算
SS总变异 = SS处理间 +SS处理内
= SS处理间 +（SSb+ SSc+SSe）
d f总变异 = d f处理间 + d f处理内
= d f A +（d f B + d f C +d fe）
F0.01(3 , 6)=9.78
方差分析结论表明：
实验中的自变量——啤酒品牌的效应在统 计上是极显著的，表明不同品牌的啤酒对于消 费者的确存在不同的差异； 实验中的无关变量——不同年龄段饮用者 区组B的效应统计上也是极显著的，说明来自 四个不同的人群对啤酒的口感和喜好有极其显 著的差异； 实验中的另一无关变量即饮用顺序的效应 统计上是不显著的，表明饮用顺序的不同并未 对实验的结果产生影响。
拉丁方课件
4、举例练习
拉丁方设计常被用于平衡实验安排的 时空顺序，也可被用于平衡机体变量 的影响。我们再以下面这个例子对拉 丁方做进一步说明。
（1）问题模式：
• 为了研究生字密度对学生阅读理解的 影响，研究者同时考虑到试验时间和 不同班级可能对阅读理解具有明显影 响，为了将这两个因素的影响从变异 的残差项中分离出去，研究者采用了 拉丁方实验设计。
（2）拉丁方格的组成：
• 拉丁方格是由实验中明显存在的两个额 外变量即实验时间和班级组成，其中班 级分为四档：b1,b2,b3,b4。从四个时间 段的被试中筛选出四个班级的被试各2人， 这样就有共计32名被试参加这一实验。 根据组成拉丁方格，拉丁方格中的每一 个格子中可以有时间段、班级相同的两 名被试，如表3所示。
②事先假设处理水平与无关变量水平间 没有交互作用。如果这个假设不能满足， 对实验中的一个或多个效应的检验可能有偏差
③随机分配处理水平给P2个方格单元 每个处理水平仅在每行每列中出现一次。 每个方格单元中分配一个或多个被试 因此总共需要的被试数量N=np2(n≥1)
拉 丁 方 实 验 设 计
随二 机、 区 组 实 验 设 计
表1 四种实验处理的随机区组实验设计
区组 A1 A2 A3 A4
星期一
星期二
星期三 星期四
3、拉丁方实验设计
• 现在我们进一步设想： 假如，在每天的实验中，一次只能测试一人， 每天参加实验的四名被试只能分别在 下午2～3点、3～4点、4～5点和5～6点 的四个时段接受测试，而测试时段不同也 可能会造成结果变化。这样一来， 每一种实验处理条件安排的时段就 也要取得平衡才行，你不能每天都 在2点钟安排所有被试接受A1处理条件， 或3点钟接受A1处理条件。
拉丁方设计
▪
Ｃ×Ｄ
Ｂ×Ｄ Ａ×Ｄ
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11
按正交表Ｌ８ (２７)安排试验，各处理的组合为
处理 编号
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８
A因素 B因素
１列 １ １ １ １ ２ ２ ２ ２
２列 １ １ ２ ２ １ １ ２ ２
３列 １ １ ２ ２ ２ ２ １ １
C因素
４列 １ ２ １ ２ １ ２ １ ２
５列 １ ２ １ ２ ２ １ ２ １
６列 １ ２ ２ １ １ ２ ２ １
D因素
７列 １ ２ ２ １ ２ １ １ ２
观察 指标
###.# ###.# ###.# ###.# ###.# ###.# ###.# ###.#
8
选择正交表的几个原则
⑴、各实验因素的水平数最好相等。当ｍ＝２时，可 选选LL49（（2334））、 、LL81（ 8（23117））、、LL1267（（231153））等等；；当当ｍ ｍ＝ ＝３ ４时 时， ，可 可 选（４L16×（２454））、、LL3126（（4４9）2×等２。4当）水、平L18数（不2×等3时7），等则。可选L8
⑵、试验的操作简单或希望得到较多的信息，可选择 Ｎ较大的正交表。反之，操作复杂或成本较高的试验， 可选择Ｎ较小的正交表。
⑶、分析交互作用（主要是两因素之间的交互作用）， 选ｋ较大的正交表。若已知因素间的交互作用很小，则 选ｋ较小的正交表。
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正交设计
▪ 例5：有研究者为研究某种呼吸机的四个参数 选择对通气量的影响，这四个参数分别为频 率（Ａ因素）、驱动压（Ｂ因素）、呼吸比 （Ｃ因素）和管径（Ｄ因素），每个参数分 高、低两个水平。按析因设计，有２４ ＝１ ６种处理分组，如选择正交表Ｌ８(２７) 进 行试验，只需８种处理分组。
第八章 单因素拉丁方设计
第三节 拉丁方设计的优缺点 （一）拉丁方设计的主要优点
1、精确性高
拉丁方设计在不增加实验单位的情况下，
比随机单位组设计多设置了一个区组因素，能
将横行和直列两个单位组间的变异从实验误差
中分离出来，因而实验误差比随机区组设计小，
实验的精确性比随机区组设计高。 2、实验结果的分析简便
（二）拉丁方设计的主要缺点
b4
∑
a2
9 48
a3
15 44
a4
19 48
a1
12 52
a1 35
a2 31
a3 56
a4 70
第一步：作统计假设
1) 处理水平总体平均数相等
H0 : 1 2 3 4
2) 无关变量（横行）的总体平均数相等
H0 : 1 2 3 4
五、实验工具
拉丁方格 标准型拉丁方 拉丁方块随机化
（一） 拉丁方 以 n 个 拉 丁 字 母 A， B， C……，为元素，列出一个 n阶方阵，若这 n个 拉丁方字母在这 n 阶方阵的每一行、 每一列都 出现、且只出现一次，则称该 n阶方阵 为n×n 阶 拉 丁方。
例如： A B B A B A A B
3) 无关变量（纵列）的总体平均数相等
H0 : 1 2 3 4
第二步：平方和及自由度的计算
SS总变异 = SS处理间 +SS处理内
= SS处理间 +（SSb+ SSc+ d f处理内
= d f A +（d f B + d f C +d fe）
在选定拉丁方之后，若是非标准型，则可 直接由拉丁方中的字母获得实验设计。若是标 准型拉丁方，还应按下列要求对直列、横行和 实验处理的顺序进行随机排列。
拉丁方实验设计涉及的统计学原理以及使用中的几个问题
拉丁方实验设计涉及的统计学原理以及使用中的几个问题拉丁方实验设计（Latinsquaredesign，LSD）是指利用全排列采样技术对地层因素（如温度、盐度、污染物等）和人工因素（如抽样时期、采样设备等）为每个试验单元构建定量模型的一类实验设计方法，它已经成为多元统计分析（Multivariate statistical analysis）中的重要工具之一。
它使实验者能够迅速而有效地研究出实验变量，也能够发现更多实验变量与实验结果之间的关系及其趋势。
拉丁方实验设计涉及的统计学原理主要有：（1）排列和组合原理。
实验设计的本质是一种排列，因此拉丁方实验设计的基本思想是利用排列的原理来解决实验问题。
拉丁方实验设计需要通过排列和组合手段，让实验变量的不同效应在实验中得到充分展现。
（2）分组原理。
拉丁方实验设计是把所有实验观测数据进行分组处理，使实验结果能够达到最大程度的描述和控制。
每一个分组中，实验设计要求所有变量的单位观测值（平均）达到均衡，这样就可以有效地消除每个实验变量的误差影响。
（3）协方差原理。
拉丁方实验设计涉及的统计学原理还包括协方差原理，它是实验设计时最重要的原理之一。
协方差原理指的是两个变量之间的关系，它可以帮助实验者有效地控制实验当中的干扰因素，以便更好地控制实验结果。
在实际使用拉丁方实验设计过程中，实验者会遇到几个常见的问题：（1）实验变量选择问题。
由于拉丁方实验设计本身具有排列、组合、分组和协方差原理，在实际使用中，实验变量的选择非常重要，否则试验结果会不准确。
（2）试验设计问题。
拉丁方实验设计的本质是实验变量的排列，因此实验者需要合理设计实验，以便能够更好地揭示不同实验变量之间的关系。
（3）实验结果分析问题。
拉丁方实验设计得出的实验结果需要进行相应的分析才能够得出准确的结论，而且拉丁方实验设计是包含多种因素的实验设计，实验结果分析需要对多种变量进行分析，因此，分析的结果会更加准确。
第八章单因素试验结果的统计分析[实践]
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第八章单因素试验结果的统计分析•单因素试验指仅研究一个供试因素若干处理间的效应是否有显著差异的试验.•按试验设计的类型单因素试验可分为：•顺序排列试验•单因素完全随机试验•单因素随机区组试验•拉丁方试验第一节对比和间比试验的统计分析(自学)第二节完全随机试验设计的统计分析完全随机设计：是所有的处理和重复小区在整个试验空间完全随机排列的设计方法。
只满足试验设计三项基本原则中的重复和随机排列两项原则。
•如：k = 5，n = 3的完全随机排列示意图主要优点：对各处理的重复次数没有限制，可以相等也可以不相等不足之处：没有遵循局部控制原则，所以要求试验地较为均匀一致，不存在有明显方向性的肥力差异，一般不用于田间试验。
•根据每一处理的重复次数或重复的设计方法不同, 又分为：①组内观察值数目相等；②组内观察值数目不等的完全随机试验；③组内又可分为亚组的完全随机试验一、组内观察值数目相等的完全随机试验设计的统计分析组内观察值数目相等的完全随机试验是各处理重复次数相等的试验。
设有k个处理，每处理均有n个重复观察值，共设kn个观察值；其资料的数据结构模式类型见第7章表7.1。
其试验结果的方差分析方法列于表8.1。
表7.1 k个处理每处理n个重复观察值的完全随机试验数据符号表表7.1 nk个观察值的单向分组资料模式表8.1 组内观察值数目相等的完全随机试验的方差分析•〔例8.1〕研究6种棉花种子包衣剂对棉花生长的影响，设TW1为对照。
采用盆栽试验，各种子包衣剂处理播种5盆，完全随机设计。
出苗一定时期后测定棉花苗高（cm），其结果如下。
试检验各种子包衣剂与对照的棉花平均苗高差异显著性及各种子包衣剂棉花平均苗高间的差异显著性。
表8.2 6种棉花种子包衣剂的棉花苗高结果(cm)•解：已知：处理数k=6，重复次数n=5，共有kn=6×5=30个观察值。
•1、自由度及平方和的分解•总自由度df T = nk– 1 =6 × 5 – 1 =30 – 1 =29•处理自由度df t = k– 1 =6 – 1 =6 – 1 =5•误差自由度df e = df T–df t =29 – 5 =24或df e = n(k– 1) =6 ×( 5 – 1) =24 – 1 =23•矫正数总平方和SS T =Σx2－C=22.92+22.32+……+23.72-C=45.763处理平方和误差平方和SS e=SS T－SS t=45.763－44.463=1.3002、F 检验和列方差分析表统计假设H O：μ1= μ2=…= μ6；H A：μi不“全相等”(即至少有一个不等号)将上述计算的各项自由度、平方和、均方结果,按变异来源列出方差分析表(表8.5)。
第八九章 拉丁方设计、裂区设计、正交设计教学内容与组织安排
教学内容与组织安排：第四节：拉丁方设计(latin square design)“拉丁方”的名字最初是由R、A、Fisher给出的。
拉丁方设计（latin square design）是从横行和直列两个方向进行双重局部控制，使得横行和直列两向皆成单位组，是比随机单位组设计多一个单位组的设计。
在拉丁方设计中，每一行或每一列都成为一个完全单位组，而每一处理在每一行或每一列都只出现一次，也就是说，在拉丁方设计中，试验处理数=横行单位组数=直列单位组数=试验处理的重复数。
在对拉丁方设计试验结果进行统计分析时，由于能将横行、直列二个单位组间的变异从试验误差中分离出来，因而拉丁方设计的试验误差比随机单位组设计小，试验精确性比随机单位组设计高。
一、拉丁方简介（一）拉丁方以n个拉丁字母A，B，C……，为元素，作一个n阶方阵，若这n个拉丁方字母在这n阶方阵的每一行、每一列都出现、且只出现一次，则称该n阶方阵为n×n 阶拉丁方。
例如：A B B AB A A B为2×2阶拉丁方，2×2阶拉丁方只有这两个。
A B CB C AC A B为3×3阶拉丁方。
第一行与第一列的拉丁字母按自然顺序排列的拉丁方，叫标准型拉丁方。
3×3阶标准型拉丁方只有上面介绍的1种，4×4阶标准型拉丁方有4种，5×5阶标准型拉丁方有56种。
若变换标准型的行或列，可得到更多种的拉丁方。
在进行拉丁方设计时，可从上述多种拉丁方中随机选择一种；或选择一种标准型，随机改变其行列顺序后再使用。
（二）常用拉丁方在动物试验中，最常用的有3×3，4×4，5×5，6×6阶拉丁方。
下面列出部分标准型拉丁方，供进行拉丁方设计时选用。
其余拉丁方可查阅数理统计表及有关参考书。
3×3 4 × 4（1）（2）（3）（4）A B C A B C D A B C D A B C D A B C DB C CAABBCDADCDBACABBCDCDADABABCBCDDACADBCBABCDADCDABCBA5 × 5（1）（2）（3）（4）A B C D EBADECCEABDDCEABEDBCAABCDEBAECDCDBEADEABCECDABABCDEBAECDCEDBADCAEBEDBACABCDEBADECCDEBADEACBECBAD6 × 6ABCDEFBFDACECDEFABDCFEBAEABCFDFEABDC二、拉丁方设计方法在畜牧、水产等动物试验中，如果要控制来自两个方面的系统误差，且试验动物的数量又较少，则常采用拉丁方设计。
拉丁方试验设计
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1欢迎下载拉丁方试验设计拉丁方试验设计在统计上控制两个不相互作用的外部变量并且操纵自变量。
每个外部变量或分区变量被划分为一个相等数目的区组或级别，自变量也同样被分为相同数目的级别。
它是从横行和直列两个方向进行双重局部控制，使得横行和直列两向皆成单位组，是比随机单位组设计多一个单位组的设计。
在拉丁方设计中，每一行或每一列都成为一个完全单位组，而每一处理在每一行或每一列都只出现一次，也就是说，在拉丁方设计中，试验处理数=横行单位组数=直列单位组数=试验处理的重复数。
拉丁方—— 以n 个拉丁字母A ，B ，C ……，为元素，作一个n 阶方阵，若这n 个拉丁方字母在这n 阶方阵的每一行、每一列都出现、且只出现一次，则称该n 阶方阵为n ×n 阶拉丁方。
第一行与第一列的拉丁字母按自然顺序排列的拉丁方，叫标准型拉丁方。
拉丁方设计一般用于5~8个处理的试验，设计的基本要求：①必须是三个因素的试验，且三个因素的水平数相等；②三因素间是相互独立的，均无交互作用；③各行、列、字母所得实验数据的方差齐（F 检验）。
试验设计的步骤：①根据主要处理因素的水平数，确定基本型拉丁方，并从专业角度使另外两个次要因素的水平数与之相同；②先将基本型拉丁方随机化，然后按随机化后的拉丁方阵安排实验。
可通过对拉丁方的任两列交换位置或任两行交换位置实现随机化；③规定行、列、字母所代表的因素与水平，通常用字母表示主要处理因素。
数据处理的相关理论：拉丁方设计实验结果的分析，是将两个单位组因素与试验因素一起，按三因素试验单独观测值的方差分析法进行。
将横行单位组因素记为A ，直列单位组因素记为B ，处理因素记为C ，横行单位组数、直列单位组数与处理数记为r ，对拉丁方试验结果进行方差分析的数学模型为：),,2,1()()(r k j i x k ij k j i k ij ===++++=εγβαμ式中:μ为总平均数；i α为第i 横行单位组效应；j β为第j 直列单位组效应，）（k γ为第k 处理效应。
《拉丁方设计》课件
稳定性：拉丁方设计 可以保证实验组和对 照组的稳定性，避免 实验结果受到实验组 稳定性的影响。
03
拉丁方设计的原理
拉丁方的构成ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ素
拉丁方：一种数学结构，由n个元素组成，每个元素都有唯一的位置 拉丁方性质：每个元素在每行、每列、每个子方中只出现一次 拉丁方分类：根据元素排列方式，可以分为标准拉丁方、非标准拉丁方等 拉丁方应用：在密码学、组合数学、计算机科学等领域有广泛应用
拉丁方在实验设计中的作用
平衡性：拉丁方设计 可以平衡实验组和对 照组的数量，避免实 验结果受到实验组数 量的影响。
随机性：拉丁方设计 可以保证实验组和对 照组的随机性，避免 实验结果受到实验组 选择的影响。
重复性：拉丁方设计 可以保证实验组和对 照组的重复性，避免 实验结果受到实验组 重复次数的影响。
拉丁方在医学研究中的应用
临床试验设计：拉丁方设计可以 提高临床试验的效率和准确性
疾病诊断和治疗：拉丁方设计可 以用于疾病的诊断和治疗，提高 诊断和治疗的准确性
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药物疗效评估：拉丁方设计可以 帮助评估药物的疗效和安全性
医学研究数据分析：拉丁方设计 可以用于医学研究数据的分析和 解释，提高研究结果的可靠性和 准确性
拉丁方的设计原则
拉丁方设计是基于拉丁字母的排列组合，通过改变字母的位置和顺序来形成不同的图案。
拉丁方设计的原则之一是保持图案的对称性和平衡性，使得图案看起来更加美观。
拉丁方设计的另一个原则是保持图案的连续性和流动性，使得图案看起来更加自然。
拉丁方设计的最后一个原则是保持图案的多样性和创新性，使得图案看起来更加有趣和 吸引人。
拉丁方的元素可以是数字、字母或其他符号，但通常用数字表示。
第八章拉丁方设计
第八章拉丁方设计
因此，可以将饲料作为主要因素 A，牛场或血统作 为因子 B，泌乳阶段作为因子 C，在试验中同时 考虑因子 A即饲料的作用、因子 B即血统的作用、 因子 C即泌乳阶段的作用；这里，由于因子 B和 因子 C的作用无法相互抵消，且它们可能产生系 统误差，因此，有必要将 B和 C的作用在统计分 析中反映出来；但显然，因子 B和因子C的效应 在方差分析中不是主要的，它们仅仅是为了消除 系统误差而设立的
SE 0.5330.42
查q表，得： q0.05,2,2 =6.09
q0.01,2,2 =14.0
则：
LSR0.05,2,2 =2.56
LSR0.01,2,2 =5.88
饲料
0.05 0.01
q0.05,2,3 =8.28 q0.01,2,3 =19.0 LSR0.05,2,3 =3.48 LSR0.01,2,3 =7.98
对A因子各水平进行累加，得：
A1：27.1 A2：20.2 A3：31.7
x 1 ＝ 9.03
x 2 ＝ 6.73 x 3 ＝10.57
T＝79.0
上述数据为试验结束以后每一种饲料在每一个蛋鸡
组、每一试验期的产蛋量及各个和
对这一类数据一般可用三因子（无互作）的方差分 析法进行分析
作无效假设（A、B、C因子各水平其效应相同）
course SS df MS F
饲料间 22.34 2 11.17 21.08** 蛋鸡组 1.70 2 0.85 1.60 产蛋阶段 1.42 2 0.71 1.34 误差项 1.06 2 0.53
拉丁方设计
拉丁方的应用注意事项一：当实验的动物数量较少的时候二：当需要排除单位组因素所产生的系统误差对实验造成的影响的时候。
（在后面有详细的例子会对该问题就行阐述）。
三;主要是为了消除单位组内的实验单位之间的差异而对于拉丁方的定义是什么呢？如果有n个字母排列起来，将他们分成一个矩阵，这n个字母在n排和n列当中只能出现一次，我们称之为n阶方程为n×n阶拉丁方。
第一行第一列都是按照顺序来排列的拉丁方叫做基本拉丁方或标准拉丁方。
拉丁方实验的优点①精确度高:他比随即组多设置了一个单位组因素，因此横列和竖列两个单位组的变异则从实验误差当中分离了出来，误差小，而且精确度较高，在动物较少的情况下可以选择。
②实验结果的分析非常的方便③尤其是适合做大型动物或者成本比较高，数量较少的一些动物实验，因此反刍动物的实验用的比较多。
拉丁方实验设计可用于处理三因素的实验，行因素和列因素考虑在内，而不考虑其他的外来因素时所使用的方法。
拉丁方实验的缺点①因为在处理的过程当中，横列、竖列、实验处理数等都必须要相等，因此在处理数这一环节收到了比较大的影响，处理数多了工作量大，处理数少了影响检验的灵敏性。
因此此实验设计就缺乏灵活性，实验空间缺乏延展性，而且重复过多。
②注意是否有交互影响，例如做钙与磷对泌乳的影响时，他们都会对奶牛的泌乳量产生影响，但是还可能会产生交互影响，发挥1+1＞2的效果。
还有就是例如前一阶段做的奶牛的泌乳实验，用的某种微量元素或者添加剂，在做下一阶段实验时还要考虑到是否有残留效应。
为了研究夏季蛋鸭圈舍当中不同的温度对蛋鸭的生产性能的影响，我们将温度分为了A、B、C、D、E，5个，这5种温度分别在5个圈舍内起作用，对应的圈舍为1、2、3、4、5，由于鸭群和温度对于它的产蛋量都有非常大的影响，因此采用拉丁方实验设计，这样可以更好的消除这几组因素对于实验当中所产生的系统误差。
那么根据上面的一些内容以及定义我们在对鸭子进行实验的时候，有可能会遇到以下的一些情况。
拉丁方试验设计及统计分析
拉丁方试验设计及分析1前言“拉丁方”的名字最初是由R、A、Fisher给出的。
拉丁方设计（latin square design）是从横行和直列两个方向进行双重局部控制，使得横行和直列两向皆成单位组，是比随机单位组设计多一个单位组的设计。
在拉丁方设计中，每一行或每一列都成为一个完全单位组，而每一处理在每一行或每一列都只出现一次，也就是说，在拉丁方设计中，试验处理数=横行单位组数=直列单位组数=试验处理的重复数。
在对拉丁方设计试验结果进行统计分析时，由于能将横行、直列二个单位组间的变异从试验误差中分离出来，因而拉丁方设计的试验误差比随机单位就在于提供对实验处理顺序的控制，使实验条件均衡，抵消由于实验处理的先后顺序的影响而产生的顺序误差，因而也可称之为抵消法设计。
组设计小，试验精确性比随机单位组设计高。
拉丁方设计又叫平衡对抗设计(baIanced design)、轮换设计。
这三个名称是从其模式、作用和方法三个不同的角度来说明这种设计的意义。
所谓平衡对抗设计，是指在实验中，由于前一个实验处理往往会影响后一个实验处理的效果，而该实验设计的作用。
所谓轮换设计，是指在实验中，由于学习的首因效应，先实验的内容，被试容易记住；又因为学习的近因效应，对于刚刚学过的内容，被试回忆的效果一般也较好。
因此、在实验方法上，有必要使不同实验条件出现的先后顺序轮换，使情境条件以及先后顺序对各个实验组的机会均等，打破顺序界限。
所谓拉丁方设计，是指平衡对抗设计的结构模式，犹如拉丁字母构成的方阵。
例如四组被试接受A、B、C、D四种处理，其实验模式为：上述模式表可以看出，每种处理即表中的字母在每一行和每一列都出现了一次而且仅出现了一次。
像这样的一个方1 / 15阵列就称为一个拉丁方。
要构成一个拉丁方，必须使行数等于列数，并且两者都要等于实验处理的种数。
在只有两个实验处理的情况下，通常采用的平衡对抗设计是以ABBA 的顺序来安排实验处理的顺序。
拉丁方设计的适用范围
拉丁方设计的适用范围
拉丁方设计是一种实验设计方法，适用于研究多个因素对实验结果的影响以及找出最佳因素组合的情况。
它可以在许多不同领域中使用，如制造业、化学、药学、农业、环境科学、市场营销等。
具体而言，拉丁方设计适用于以下情况：
1. 多个因素：当实验中存在多个相互作用的因素时，拉丁方设计可以帮助确定这些因素对结果的影响，以及最佳的因素组合。
2. 限制条件：当实验资源有限，无法对所有可能的因素组合进行测试时，拉丁方设计可以通过减少试验次数提供高效的方法。
3. 优化问题：当研究者希望找到最佳因素组合以最大化或最小化结果时，拉丁方设计可以帮助确定最佳策略。
4. 可重复性：拉丁方设计可以通过交叉实验验证结果的可重复性和可靠性。
总之，拉丁方设计适用于需要同时研究多个因素对结果的影响以及寻找最佳因素组合的实验研究。
第八章--常用试验结果的统计分析5
上表中没有写出混合模型，因为知道了固定 模型和随机模型后，混合模型是可以方便地 写出的。例如，要将横行由固定改为随机， 则只要将η2β改为σ2β即可。
第四节 裂区设计试验结果的 统计分析
一、裂区试验结果统计分析的方法
设A和B两个试验因素，A因素为 主处理，具a个水平，B因素为副 处理，具b个水平，设r个区组， 则该试验共有rab个观测值。各项 变异来源和相应的自由度见表8— 20。
70
由表8—20可见，二裂式裂区试验和二因素 随机区组试验在分析上的不同，仅在于前 者有主区部分和副区部分，因而有主区部 分误差(误差a，简记作ea)和副区部分误差 (误差b，简记作eb)，分别用于检验主区处 理以及副区处理和主、副互作的显著性。 如对同一个二因素试验资料作自由度和平 方和的分解，则可发现
因而需进行微肥间、微肥×施用 方式互作间多重比较；施用方式 间差异极显著，因只有两种施用 方式，不必作多重比较。
45
(4)差异显著性检验：
A．微肥间比较：以各微肥的小区平均 产量(将表8—8中的各个TA除以ar＝2×3 = 6)为比较标准，进行多重比较。由于 用清水作对照，微肥间的比较宜用LSD 法，先求出:
(8.7)
(8.7)
1．二因素随机区组试验分析实例 例8．3 为探讨微肥拌种和根外喷施
对小麦的增产效应，某县农技站设 计了一个微肥与施用方式的两因素 随机区组试验。试验处理方案列于 表8—6，田间测产结果(kg·亩-1)列于 表8—7。试作方差分析。
35
分析: (1)结果整理： 将试验结果按处理和区组作两向分组
55
(一)拉丁方设计试验结果统计分析示例
例8．4 研究5种不同饲料(分别用l，2，3，4， 5号代表)对乳牛产乳量影响试验，选择5头乳 牛，每头乳牛的泌乳期分为5个阶段，随机分 配饲料的5个水平。试验中，由于乳牛个体及 牛的泌乳期不同对产乳量都会有影响，故可 以把其分别作为区组设置，采用一个5×5的 拉丁方设计，营养试验结果如表8—14。
拉丁方设计概述
拉丁方设计资料的方差分析
变异来源
SS
df
MS
F
P
处理间 个体间 日期间 残差
218.0257
4
54.5064
1.24 0.3445
2853.6733 4 713.4183 16.27 0.0001
508.0735 0.0684
526.1408
12
43.8451
总变异
4105.9133 24 171.0797
3 C 7.3 F 7.3 E 6.8 A 7.4 B 6.0 D 7.7 7.1
4 A 7.4 E 7.7 C 6.4 F 5.8 D 7.1 B 6.4 6.8
5 F 6.4 B 6.2 D 8.1 E 8.5 C 6.4 A 7.1 7.1
6 D 5.9 A 8.2 F 7.7 B 7.5 E 8.5 C 7.3 7.5
研究设计
正确应用拉丁方、希腊拉丁方设计(2)
采用区组设计尽可能不要有数据缺失； 在使用区组化技术时，如果区组的个体数少于
处理组数时，可以选用不完全设计技术。 采用区组化设计技术时，由于所需样本含量较
少，由此，要求观察指标的个体变异不太大 (相对于处理效应)。如不能满足这个要求，则 每个试验单元必须重复，增加样本含量，降低 抽样误差。
研究设计
2 B 144.4 E 132.8 D 113.2 C 119.2 A 115.2
3 C 143.0 A 123.0 E 115.8 D 118.0 B 103.8
4 A 129.8 D 104.0 C 114.8 B 116.2 E 100.6
5 E 142.8 C 120.0 B 105.8 A 110.6 D 109.8
拉丁方实验设计
拉丁方实验设计
拉丁方实验设计是一种统计学实验设计方法，旨在降低实验误差。
该设计方法是以拉丁方为基础，将实验单位划分为各个水平组合，以
便在尽可能短的时间内获得最大的实验信息。
具体地说，拉丁方实验设计将需要测试的因素按照一定规律排列
在一个正方形矩阵中，并通过交叉实验来消除任何样本批次之间的变化，从而控制实验误差的影响。
拉丁方实验设计可适用于各种实验类型，包括农业、医学、社会科学等领域。
在实验设计方面，拉丁方实验设计具有许多优点，例如可以简化
数据分析、提高实验效率、降低实验成本等。
同时，拉丁方实验设计
也需要根据实验目的和研究问题来针对性地进行合理设计，以实现最
佳实验效果。
总之，拉丁方实验设计是一种行之有效的统计学实验设计方法，
可以有效控制和降低实验误差，提高实验效率和数据分析的准确性，
适用于各种实验类型。
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对这一类数据一般可用三因子（无互作）的方差分析法进行 分析
作无效假设（A、B、C因子各水平其效应相同）
求校正值：C 79.02 3 3 693.44
总平方和：
SST (6.82 ... 9.22 ) C 26.52
• 在许多情况下，区组 B和区组 C的效应不可能这样刚好相 互抵消，它可能会产生系统误差，因而应该从总误差中将 其剔除，即在统计分析中应将这种差异反映在方差分析表 中，分析其显著性
• 因此，区组 B（场、畜舍、家系）和区组 C（试验时期） 与主效应 A应同时得到考虑
• 但显然，在整个试验中，因子A是主效应，而因子B和因 子C的设置，其作用主要是为了消除系统误差，其效应的 显著性在试验中不是主要的
例如，设计了3种饲料，比较其对产奶量的影响，由 于牛的产奶量不仅受饲料的影响，而且还受牛场
（血统）和不同产犊时期的影响，因此要在牛场
里找到条件十分相似的母牛会很不容易；且泌乳
量是呈曲线变化的，单纯用交叉设计也不十分理 想；因此，可以将饲料作为主要因素 A，牛场或 血统作为因子 B，泌乳阶段作为因子 C，在试验 中同时考虑因子 A即饲料的作用、因子 B即血统 的作用、因子 C即泌乳阶段的作用；这里，由于 因子 B和因子 C的作用无法相互抵消，且它们可 能产生系统误差，因此，有必要将 B和 C的作用 在统计分析中反映出来；但显然，因子 B和因子 C的效应在方差分析中不是主要的，它们仅仅是 为了消除系统误差而设立的
ABCD BDAC CADB DCBA
4×4
ABCDE BADEC CEBAD DCEBA EDACB
5×5
上一页所显示的是几个标准拉丁方，在实际 使用中，标准方是不能使用的，必须经过 行随机变换和列随机变换化成普通方后才 能使用，如：
3×3
4×4
5×5
CAB ACBD
CAEBD
ABC BCA
CBDA DACB
EBDAC DEACB
BDAC
BDCEA
ACBDE
以上经行和列的变换后的拉丁方称为普通方，在实 际使用中，一般不这样表示。
应用条件:
一、试验仅考察一个因素
二、已知存在两个对试验指标可能产生较大 影响的干扰因素（如家系或场地、试验时 间），这种干扰因素可能会产生一定的系 统误差，且干扰因素之间、干扰因素与试 验因素之间不存在交互作用
将B和C搭配起来，形成3×3共9个组合，显然B和C 是正交的，因为B因子的每一水平中包含了C因子 所有的水平；反之，C因子的每一水平中也包含 了B因子的所有水平。将A因子的3个水平随机地 分配到这些组合中，使得B因子的每一水平中都 包含有A因子的所有水平，且C因子的每一水平中 也都包含有A因子的所有水平；即A因子与B因子 正交，A因子与C因子也正交
拉丁方是以拉丁字母（A、B、C、D、…）排列的方阵，每 一字母在每一列、每一行出现且仅出现一次；拉丁方的第 一行、第一列按字母自然顺序排列的拉丁方称为标准拉丁 方；一个拉丁方有 k 行 k 列，一般称为 k×k 拉丁方，也 称为 k 阶拉丁方，也表示为 k2拉丁方：
ABC BCA CAB
3×3ห้องสมุดไป่ตู้
ABCD BADC CDBA DCAB
蛋 C2 A1： 7.9 A3：10.8
期 C3 A3：11.2 A2： 7.3
纵列和： 25.9
28.1
B3 A3：9.7 A2：6.1 A1：9.2
25.0
横行和 26.5 24.8 27.7 T＝79.0
对A因子各水平进行累加，得：
A1：27.1 x1 ＝ 9.03 A2：20.2 x2 ＝ 6.73 A3：31.7 x3 ＝10.57 T＝79.0
第八章 拉丁方设计
• 在随机区组设计中，试验仅考虑一个区组，这个区组可能 是试验时期，也有可能是试验地域，如果试验时期或试验 地域同时出现并影响试验结果的话，则随机区组设计将不 合用
• 在交叉设计中，考虑了两个区组：B和C，B往往是动物体， C往往是试验时期，但在统计分析时总将B和C设计成效应 相互抵消，因而在方差分析时其作用反映不出来
以B因子为列，C因子为行，A因子嵌入其中：
蛋鸡组
B1 B2 B3 产 C1 A1 A2 A3 蛋 C2 A2 A3 A1 期 C3 A3 A1 A2
左边的拉丁方表是一个标 准拉丁方，将其进行行变 换和列变换，得到普通方 （这里的变换仅是表内的 A因子，B和C是不动的）
得：
蛋鸡组
B1
B2
产 C1 A2： 6.8 A1：10.0
也就是说，因子 A必须与因子 B均匀地搭配，同时 因子 A又必须与因子 C均匀地搭配，而因子 B与 因子 C也必须均匀地搭配，这就是说，3个因子必 须两两正交，这就是拉丁方设计的思想，事实上， 观测指标随试验时间或试验阶段呈曲线变化或不 均匀变化的试验都应采用拉丁方设计
拉丁方的基本概念
随机区组设计是将试验处理从一个方向排成区组或重复，拉 丁方设计是从两个方向排成区组或重复并配置成两个区组 因素和一个试验因素
饲料间平方和： 27.12 .. 28.72
SSA
3 C 22.34
蛋鸡组平方和：
25.92 .. 25.02
SSB
3 C 1.7
产蛋阶段平方和：
26.52 .. 27.72
误差平方和： SSC
在随机区组设计中，一整套试验，即因子 A的所有 水平都在每一个区组中得到反映，每一个区组都 是相互独立的；现在有了两个因子：B和 C，因 此，因子 A的所有水平都既要在 B因子的每一区 组中得到反映，又要在 C因子的每一区组中得到 反映
上例中 A因子的3种饲料必须均匀、随机地分配到奶 牛的所有血统 B中，同时又必须均匀、随机地分 配到试验所有的泌乳阶段 C中
三、由于经费和试验条件的限制，可采用的 试验单元数较少，或不容易找到
满足以上三个条件的试验可考虑采用拉丁方 试验设计
设计方法
以实际例子来说明拉丁方的设计方法
例：设计了3种饲料：A1、A2与A3，比较这3种饲料 对产蛋的影响；随机选取条件基本一致的3羽母鸡 （个或产3蛋个期鸡C场1、、C或2及3个C3家系）B1、B2及B3；选取3