大学文科数学-课件1
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《大学文科数学》PPT课件
第一章 微积分
1.3 导数与微分
1
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1.3 导数与微分
主要教学内容： ➢ 导数与微分的概念，计算 ➢ 高阶导数 ➢ 隐函数的导数与微分 ➢ 分段函数的导数 ➢ 经济学函数的弹性 ➢ 用微分作近似计算 ➢ 二元函数的导数与微分
2
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1.3 导数与微分
导数的概念
1.曲线的切线斜率
导数是局部（点）概念，导函数是整体（定义域内）概念（本质上是点 的概念） 。但是“导函数”往往又简称为“导数”。
13
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1.3 导数与微分
例1.3.4 y = sinx的导数是(sinx)′= cosx， y =cosx 的导数是(cosx)′= − sinx ．
证
同理可证， (cosx)′= − sinx ．
(或可微)，该极限称为函数y=f(x)在x0 点关于自变量x
的导数(或微商)．记作
．因Δx =x−x0， x=
x0+Δx，故还有
“函数的平均变化率”是整体（区间）概念；“函数的变化率”是局部（点）概念。
7
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1.3 导数与微分
此时，曲线y =f(x) 在点(x0，f (x0) )的切线方程是
例1.3.2 设n是正整数，求幂函数y=xn在点x处的 导数．
解．因
特别，当n=1时，函数y=x在任意点x处的导数均
为1．
11
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1.3 导数与微分
例1.3.3 求曲线y＝x3在点(2,8)处的切线方
程．
解．在上例中取n =3 可知函数y＝ x3 在点 x 处的导数为3x2，于是在点(2，8)处的切 线斜率是：y′(2)=3⋅22 =12，故曲线y＝x3
1.3 导数与微分
1
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1.3 导数与微分
主要教学内容： ➢ 导数与微分的概念，计算 ➢ 高阶导数 ➢ 隐函数的导数与微分 ➢ 分段函数的导数 ➢ 经济学函数的弹性 ➢ 用微分作近似计算 ➢ 二元函数的导数与微分
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1.3 导数与微分
导数的概念
1.曲线的切线斜率
导数是局部（点）概念，导函数是整体（定义域内）概念（本质上是点 的概念） 。但是“导函数”往往又简称为“导数”。
13
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1.3 导数与微分
例1.3.4 y = sinx的导数是(sinx)′= cosx， y =cosx 的导数是(cosx)′= − sinx ．
证
同理可证， (cosx)′= − sinx ．
(或可微)，该极限称为函数y=f(x)在x0 点关于自变量x
的导数(或微商)．记作
．因Δx =x−x0， x=
x0+Δx，故还有
“函数的平均变化率”是整体（区间）概念；“函数的变化率”是局部（点）概念。
7
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1.3 导数与微分
此时，曲线y =f(x) 在点(x0，f (x0) )的切线方程是
例1.3.2 设n是正整数，求幂函数y=xn在点x处的 导数．
解．因
特别，当n=1时，函数y=x在任意点x处的导数均
为1．
11
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1.3 导数与微分
例1.3.3 求曲线y＝x3在点(2,8)处的切线方
程．
解．在上例中取n =3 可知函数y＝ x3 在点 x 处的导数为3x2，于是在点(2，8)处的切 线斜率是：y′(2)=3⋅22 =12，故曲线y＝x3
完整高数一PPT课件
y f ( x) 数集D叫做这个函数的定义域
因变量
自变量
当x0 D时, 称f ( x0 )为函数在点x0处的函数值.
函数值全体组成的数集 W { y y f ( x), x D} 称为函数的值域.
第8页/共133页
函数的两要素: 定义域与对应法则.
( x D x0)
对应法则f
(
W
y f (x0 )
第16页/共133页
当 t (,) 时, U 0.
U
( , E)
2 E
U U(t)是一个分段函数,
其表达式为
o
(,0) t
2
2E t,
U
(t)
2E (t
0,
),
t [0, ] 2
t ( ,] 2
t (,)
第17页/共133页
例2
设f
(x)
1 2
0
x
1 ,
求函数
f
(x
3)的定义域.
x 自变量, u 中间变量, y 因变量,
第46页/共133页
注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
例如 y arcsinu, u 2 x2; y arcsin(2 x2 )
2.复合函数可以由两个以上的函数经过复 合构成.
例如 y cot x , y u, u cot v, v x .
第28页/共133页
练习题
一、填空题:
1、若 f 1 5 2t 2 ,则 f (t ) __________ , t t
f (t 2 1) __________ .
2、若(t )
1, x sin x ,
3
x
,
高考文科数学《函数模型及其应用》课件
121n0≥1232，1n0≤32，解得 n≤15.
故今后最多还能砍伐 15 年．
点 拨： 此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数型函数模型 y＝N(1＋p)x(其 中 N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂型函数模型 y＝a(1＋x)n(其中 a 为基
础数，x 为增长率，n 为时间)的形式表示．解题时，往往用到对数运算．
直到达到规定人数 75 人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机 费 15 000 元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解：(1)设旅游团人数为 x 人，由题得 0＜x≤75，飞机票价格为 y 元， 则 y＝990000，－010＜（x≤x－303，0），30＜x≤75，
某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水 中杂质 20%，要使水中杂质减少到原来的 10%以下，则至少需过滤的次数
为________．(参考数据：lg2≈0.301 0)
解：设过滤次数为 x(x∈N*)，原有杂质为 a，则 a(1－20%)x<a·10%，
所以 x>1－13lg2≈10.3，即至少需要过滤 11 次．故填 11.
当且仅当 x＝40 x000，即 x＝200 时取等号．故选 A.
(教材改编题)某家具的标价为 132 元，若降价以九折出售(即优惠 10%)，
仍可获利 10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )
A．105 元
B．106 元
C．108 元
D．118 元
解：设进货价为 a 元，由题意知 132×(1－10%)－a＝10%·a， 解得 a＝108.故选 C.
单调____ 函数
相对平稳
故今后最多还能砍伐 15 年．
点 拨： 此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数型函数模型 y＝N(1＋p)x(其 中 N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂型函数模型 y＝a(1＋x)n(其中 a 为基
础数，x 为增长率，n 为时间)的形式表示．解题时，往往用到对数运算．
直到达到规定人数 75 人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机 费 15 000 元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
解：(1)设旅游团人数为 x 人，由题得 0＜x≤75，飞机票价格为 y 元， 则 y＝990000，－010＜（x≤x－303，0），30＜x≤75，
某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水 中杂质 20%，要使水中杂质减少到原来的 10%以下，则至少需过滤的次数
为________．(参考数据：lg2≈0.301 0)
解：设过滤次数为 x(x∈N*)，原有杂质为 a，则 a(1－20%)x<a·10%，
所以 x>1－13lg2≈10.3，即至少需要过滤 11 次．故填 11.
当且仅当 x＝40 x000，即 x＝200 时取等号．故选 A.
(教材改编题)某家具的标价为 132 元，若降价以九折出售(即优惠 10%)，
仍可获利 10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )
A．105 元
B．106 元
C．108 元
D．118 元
解：设进货价为 a 元，由题意知 132×(1－10%)－a＝10%·a， 解得 a＝108.故选 C.
单调____ 函数
相对平稳
《大学文科数学》PPT课件
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2.6 定积分
1.几个典型的定积分问题
y f (x)
（1）曲边梯形的面积
曲边梯形是由连续曲线
Oa
bx
y f (x) ( f (x) 0)
及 x 轴，以及两直线 x a , x b
所围成，求其面积 A .
h
l 矩形面积
Alh
h
l 三角形面积
A 1lh 2
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2.6 定积分
（3）数学上可以证明，定积分定义与不定积分定义中的 “可积函数”是同一回事 。
（4） 数学上已经证明，闭区间上的连续函数都是可积的。 （5）用上述定义很难求定积分的值，为了找出计算定积分的
有效方法，牛顿—莱布尼兹（Newton—Leibniz)发现 了微积分基本定理。
2.6 定积分
O a x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x88 b
x
曲边梯形的面积 ≈ 所有窄条矩形面积之和
矩形估计方法
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2.6 定积分
设 f (x) 在 [a,b] 上连续, 且 f (x) 0 . y a.分割: 在区间 [a,b] 中任意插入 n 1个
（2）该公式对 a b的情形同样成立 .
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2.6 定积分
（3） 定积分计算
微积分基本公式 求原函数
牛顿-莱布尼兹公式
（4）使用Newton—Leibniz公式时要注意验证定理的条件, 否则有可能导致错误的结果。
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2.6 定积分
关于微积分基本定理: 1.等号两边的概念不同(左边是定积分是乘积之和的极限， 而右边是不定积分是原函数，是导数和微分运算的逆运算; 2.问题的转化:把定积分的计算问题转化为不定积分的计算; 3.该定理的伟大之处:把微分与积分联系起来了; 4.为什么称之为微积分基本定理?
大学文科数学_2011_1.1
27
规律
兔子问题的另外一种提法： 第一个月是一对大兔子，类似繁殖；到第十二 个月时，共有多少对兔子？
月 份 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ ⅤⅥ Ⅶ Ⅷ Ⅸ Ⅹ Ⅺ Ⅻ 大兔对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 小兔对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
到十二月时有大兔子144对，小兔子89对， 共有兔子144+89=233对。 （三点规律）
25
解答
1 2 3 4 5 6 7 月 1 月 1 月 2 月 3 月 5 月 8 月 13 对 对 对 对 对 对 对
26
解答
可以将结果以列表形式给出：
1月 1 7月 13 2月 1 8月 21 3月 2 9月 34 4月 3 5月 5 6月 8
10月 11月 12月 55 89 144
因此，斐波那契问题的答案是 144对。 以上数列， 即“斐波那契数列”
第一章 微积分
1.1 函数
1.1 函数
主要教学内容： 函数的概念、分段函数 由已知函数产生新函数 函数的性态 其他函数举例
上页
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返回
结束
1.1 函数
函数的概念
映射
映射是集合间的对应关系
例子：集合X {x1 父亲，x2 母亲}， Y { y1 大儿子，y2 二儿子，y3 三儿子}
X Y , f : x y,
x与y分别称为自变量与因变量，y=f(x)称为函数f在x处的 值。X称为定义域，记为 D f , f(X)={y|y=f(x),x∈X}称为函数f的值域,记为 R f 。 注：两个基本（本质）要素——对应规则；定义域。 非本质要素——x，y，f 这些字母。
规律
兔子问题的另外一种提法： 第一个月是一对大兔子，类似繁殖；到第十二 个月时，共有多少对兔子？
月 份 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ ⅤⅥ Ⅶ Ⅷ Ⅸ Ⅹ Ⅺ Ⅻ 大兔对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 小兔对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
到十二月时有大兔子144对，小兔子89对， 共有兔子144+89=233对。 （三点规律）
25
解答
1 2 3 4 5 6 7 月 1 月 1 月 2 月 3 月 5 月 8 月 13 对 对 对 对 对 对 对
26
解答
可以将结果以列表形式给出：
1月 1 7月 13 2月 1 8月 21 3月 2 9月 34 4月 3 5月 5 6月 8
10月 11月 12月 55 89 144
因此，斐波那契问题的答案是 144对。 以上数列， 即“斐波那契数列”
第一章 微积分
1.1 函数
1.1 函数
主要教学内容： 函数的概念、分段函数 由已知函数产生新函数 函数的性态 其他函数举例
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1.1 函数
函数的概念
映射
映射是集合间的对应关系
例子：集合X {x1 父亲，x2 母亲}， Y { y1 大儿子，y2 二儿子，y3 三儿子}
X Y , f : x y,
x与y分别称为自变量与因变量，y=f(x)称为函数f在x处的 值。X称为定义域，记为 D f , f(X)={y|y=f(x),x∈X}称为函数f的值域,记为 R f 。 注：两个基本（本质）要素——对应规则；定义域。 非本质要素——x，y，f 这些字母。
高等数学(文科用)
I f ( x1 ) f ( x2 ) ，则称此函数在 I 上单调减少，
时，有
叫做单调减区间.
单调增区间和单调减区间统称为单调区间. 例如，函数
[0, 、 )
y x 2在区间
[0, )
(,0] 内单调减少，在区间 (,0]
内单调增加，
是它的单调区间.
高等数学（文科用） 高职高专 ppt 课件
（2）列表法 若将函数关系用一系列自变量 x 的值与对应的因变量
y
的值以表格表示时，这种表示函数的方法称为列表法.如三角函数表、对数表等. （3）图象法 若函数关系是通过坐标系中的图形变化给出的，则这种表示函数的方法称为图象法.
高等数学（文科用） 高职高专 ppt 课件
1.1 函数的概念
4. 分段函数 有些函数在其定义域的不同部分用不同的公式表达，这类函数通常称为分段函数.
f ( x) =
sin x是奇函数，因为 f ( x) sin( x) sin x =
f ( x)
.
高等数学（文科用） 高职高专 ppt 课件
1.1 函数的概念
函数的周期性 若存在不为零的数 T ，使得对于任意 x D ，都有 ，则称 例如
y sin x 与 y cos x 的周期为 2 ；y tan x 与 y cot x 的周期为 ；函数 f ( x) x [ x], x R的周期为 1 f ( x) f ( x T ) f ( x)
基本初等函数
我们研究的各种函数，特别是一些常见的函数都是有几种最简单的函数构成的，这些最 简单的函数就是初等数学中学过的常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和 反三角函数这六类函数统称为基本初等函数.
时，有
叫做单调减区间.
单调增区间和单调减区间统称为单调区间. 例如，函数
[0, 、 )
y x 2在区间
[0, )
(,0] 内单调减少，在区间 (,0]
内单调增加，
是它的单调区间.
高等数学（文科用） 高职高专 ppt 课件
（2）列表法 若将函数关系用一系列自变量 x 的值与对应的因变量
y
的值以表格表示时，这种表示函数的方法称为列表法.如三角函数表、对数表等. （3）图象法 若函数关系是通过坐标系中的图形变化给出的，则这种表示函数的方法称为图象法.
高等数学（文科用） 高职高专 ppt 课件
1.1 函数的概念
4. 分段函数 有些函数在其定义域的不同部分用不同的公式表达，这类函数通常称为分段函数.
f ( x) =
sin x是奇函数，因为 f ( x) sin( x) sin x =
f ( x)
.
高等数学（文科用） 高职高专 ppt 课件
1.1 函数的概念
函数的周期性 若存在不为零的数 T ，使得对于任意 x D ，都有 ，则称 例如
y sin x 与 y cos x 的周期为 2 ；y tan x 与 y cot x 的周期为 ；函数 f ( x) x [ x], x R的周期为 1 f ( x) f ( x T ) f ( x)
基本初等函数
我们研究的各种函数，特别是一些常见的函数都是有几种最简单的函数构成的，这些最 简单的函数就是初等数学中学过的常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和 反三角函数这六类函数统称为基本初等函数.
大学文科数学——极限ppt课件
阿基里斯追龟
一位古希腊学者芝诺（Zenon，约 公元前496 —以动作迟缓著称，阿基里斯则是古希 腊传说中的英雄和擅长跑步的神仙.芝 诺断言：阿基里斯与龟赛跑，将永远追 不上乌龟！
假定阿基里斯现在A处，乌龟现在B处.为了赶上乌龟 ，阿基里斯先跑到乌龟的出发点B，当他到达B点时， 乌龟已前进到B1点；当他到达B1点时，乌龟又已前进到 B2点，如此等等。当阿基里斯到达乌龟前次到达过的地 方，乌龟已又向前爬动了一段距离.因此，阿基里斯是 永远追不上乌龟的！
以a为极限，或者称数列an收敛于a，记为
lim
n
an
a,
或
an a
(n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
由不等式 an a 联想到U(a, )，
如图：
a a1 a2 aN 1
aN a3 x
当n N时, 所有的点an都落在(a , a )
内, 只有有限个 (至多只有N 个) 落在其外.
n
注：
lim
n
an
该数列有一定的发展趋势——趋向于无穷 大，并不收敛，所以{ 2n }无极限.为叙述 方便，可以说{ 2n }的极限是+∞.
Back
当 n 无限增大时, xn是否无限接近于某一确
定的数值?如果是,如何确定?
•
当
n
无限增大时,
an
1
(1)n1 n
无限接近于 1.
“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻画 它.
Q
an
1
(1)n1
1 n
1 n
给定 1 , 100
由1 n
1, 100
只要 n
100时,
有
an
【2019版课标版】高考数学文科精品课件§1.1集合的概念及运算(20200509090340).pdf
)
A.[-2,-1]
B.[-1,2)
C.[-1,1]
D.[1,2)
答案 A
教师用书专用 (8 — 24) 8.(2017 北京 ,1,5 分) 若集合 A={x|-2<x<1},B={x|x<-1
或 x>3}, 则 A∩B=(
)
A.{x|-2<x<-1}
B.{x|-2<x<3}
C.{x|-1<x<1}
)
A.(1,2) 答案 D 11.(2016
B.(1,2] 课标全国Ⅲ ,1,5
C.(-2,1)
D.[-2,1)
分) 设集合 S={x|(x-2)(x-3)
≥ 0},T={x|x>0},
则 S ∩T=(
)
A.[2,3] C.[ 3,+ ∞）
B.(- ∞,2] ∪[3,+ ∞） D.(0,2] ∪[3,+ ∞）
B.{-1,-4}
C.{0} D. ?
答案 D 20.(2014 课标Ⅱ ,1,5 分) 设集合 M={0,1,2},N={x|x
A.{1} B.{2} C.{0,1}
D.{1,2}
2-3x+2 ≤0}, 则 M∩N=(
)
答案 D
21.(2014 辽宁 ,1,5 分) 已知全集 U=R,A={x|x ≤ 0},B={x|x ≥1}, 则集合 ?U(A ∪B)=(
答案 C
4.(2017 湖南永州二模 ,2) 已知集合 P={x|-1 ≤ x ≤ 1},M={a}, 若 P∩ M=? , 则 a 的取值范围是 (
D.{x|1<x<3}
答案 A 9.(2017 浙江 ,1,5 分) 已知集合 P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<2},
文科数学-第一章
U ( x0 , ) x0 | x0 x x0 x || x x0 | .
点 x 0 称为邻域的中心， 称为邻域的半径，图形表示为：
另外，点 x 0 的邻域去掉中心 x 0 后，称为点 x 0 的去心邻域， 记作，U ( x0 , ) 即
1 1 ( , ) 2 4 2 4 。
三.函数
1. 映射概念 设 X、Y 是两个非空集合，如果存在一个法则 f ，使得对 X 中每 个元素 x ， 按法则 f ， 在 Y 中有唯一的元素 y 与之对应， 则称
f
为 X 到 Y 的映射,记作 f : X Y ,其中 y 是元素 x （在映射 f 下） 的像。并记作 f ( x) ，即 y f ( x) 。而元素 x 称为元素 y （在 映射 f 下）的一个像；集合 X 称为映射 f 的定义域，记作 D f , 即 Df X ； X 中所有元素的像所组成的集合称为映射 f 的值域， 记作 R f 或 f ( X ) 。
关于直线
y x 对称的。
正弦函数 y sin x 的反函数 y arcsin x ，正切函数
y tan x 的反函数 y arctan x .
六.函数的基本性质
（1）函数的有界性 （2）函数的单调性 （3）函数的奇偶性 （4）函数的周期性
有界性
定义 若存在常数 M 0 ，使得对每一个 x I ，有
二.区间与邻域
设 a, b R ，且 a b ，则 （1）开区间 (a, b) x | a x b ； （2）半开半闭区间 [a, b) x | a x b， (a, b] x | a x b； （3）闭区间 [a, b] x | a x b； （4）无穷区间 [a,) x | x a， (a,) x | x a ，
点 x 0 称为邻域的中心， 称为邻域的半径，图形表示为：
另外，点 x 0 的邻域去掉中心 x 0 后，称为点 x 0 的去心邻域， 记作，U ( x0 , ) 即
1 1 ( , ) 2 4 2 4 。
三.函数
1. 映射概念 设 X、Y 是两个非空集合，如果存在一个法则 f ，使得对 X 中每 个元素 x ， 按法则 f ， 在 Y 中有唯一的元素 y 与之对应， 则称
f
为 X 到 Y 的映射,记作 f : X Y ,其中 y 是元素 x （在映射 f 下） 的像。并记作 f ( x) ，即 y f ( x) 。而元素 x 称为元素 y （在 映射 f 下）的一个像；集合 X 称为映射 f 的定义域，记作 D f , 即 Df X ； X 中所有元素的像所组成的集合称为映射 f 的值域， 记作 R f 或 f ( X ) 。
关于直线
y x 对称的。
正弦函数 y sin x 的反函数 y arcsin x ，正切函数
y tan x 的反函数 y arctan x .
六.函数的基本性质
（1）函数的有界性 （2）函数的单调性 （3）函数的奇偶性 （4）函数的周期性
有界性
定义 若存在常数 M 0 ，使得对每一个 x I ，有
二.区间与邻域
设 a, b R ，且 a b ，则 （1）开区间 (a, b) x | a x b ； （2）半开半闭区间 [a, b) x | a x b， (a, b] x | a x b； （3）闭区间 [a, b] x | a x b； （4）无穷区间 [a,) x | x a， (a,) x | x a ，
大学文科数学全部公式ppt课件
连续的概念
lim
x x0
f
( x)
f
( x0 )
lim
x x0
f
( x)
f
( x0 )
lim
x x0
f
(x)
4
（极值存在的必要条件）
导数
驻点 不存在
的
点称 为
可
能极
值
点.
定理 设 y f ( x) 在[a,b] 上连续，在(a,b) 内二阶可导，则
（1）若 在(a,b) 内， f ( x)0 ，则曲线弧 y f ( x)在(a,b)
1 1 x2
dx
arctan
x
C;
(5)d(arcsinx)
1 dx;
1 x2
(5)
1 dx arcsin x C;
1 x2
(6)d( a x ) a xdx; ln a
(6)
a
xdx
ax ln a
C;
7
(7)d(e x ) e xdx;
(7) e xdx e x C;
1．重要极限 lim sinx 1. x0 x
特点:
lim sin 1
0
2．重要极限 lim (1 1 )x e x x
①特点: lim (1 1 ) e
1
定义 3 设 lim lim 0 ，
（1）若 lim 0 ，则称 是 的高阶无穷小量，
记为 o( ) ；而称 是 的低阶无穷小量.
1e x 1
11
三角函数代换.
当被积函数含有
（1） a2 x2 时，令xasint ； （2） x2 a2 时，令xatan t ；
lim
x x0
f
( x)
f
( x0 )
lim
x x0
f
( x)
f
( x0 )
lim
x x0
f
(x)
4
（极值存在的必要条件）
导数
驻点 不存在
的
点称 为
可
能极
值
点.
定理 设 y f ( x) 在[a,b] 上连续，在(a,b) 内二阶可导，则
（1）若 在(a,b) 内， f ( x)0 ，则曲线弧 y f ( x)在(a,b)
1 1 x2
dx
arctan
x
C;
(5)d(arcsinx)
1 dx;
1 x2
(5)
1 dx arcsin x C;
1 x2
(6)d( a x ) a xdx; ln a
(6)
a
xdx
ax ln a
C;
7
(7)d(e x ) e xdx;
(7) e xdx e x C;
1．重要极限 lim sinx 1. x0 x
特点:
lim sin 1
0
2．重要极限 lim (1 1 )x e x x
①特点: lim (1 1 ) e
1
定义 3 设 lim lim 0 ，
（1）若 lim 0 ，则称 是 的高阶无穷小量，
记为 o( ) ；而称 是 的低阶无穷小量.
1e x 1
11
三角函数代换.
当被积函数含有
（1） a2 x2 时，令xasint ； （2） x2 a2 时，令xatan t ；
第一章 函数与极限 1
O
称为闭区间 称为闭区间, 记作 [a , b] 闭区间
a
b
x
{ x a ≤ x < b} 称为半闭半开区间 称为半闭半开区间 半闭半开区间, { x a < x ≤ b} 称为半开半闭区间 称为半开半闭区间 半开半闭区间, [a ,+∞ ) = { x a ≤ x }
O
记作 [a , b ) 记作 (a , b]
阶梯曲线
15
取最值函数
y = max{ f ( x ), g ( x )}
y
f ( x)
g( x )
y = min{ f ( x ), g ( x )}
y
f (x)
x
16
某运输公司规定货物的吨公里运价为: 例1. 某运输公司规定货物的吨公里运价为 在400公里 公里 以内, 每公里为K元 超过400公里每增一公里为 公里每增一公里为0.8K, 以内 每公里为 元, 超过 公里每增一公里为 求吨运价Y与里程 的函数关系. 求吨运价 与里程s的函数关系 与里程 的函数关系
例3. 设函数 f ( x )的定义域为 : [0,2),
解:
x 求函数 f ( − 1) + f ( 7 − x )的定义域 . 2 x x f ( − 1)的定义域 : 0 ≤ − 1 < 2, ⇒ x ∈ [2,6), 2 2
f (7 − x )的定义域 : 0 ≤ 7 − x < 2, ⇒ x ∈ (5,7],
当0 < s ≤ 400 Ks , 解: Y = K 400 + 0.8 K ( s − 400), 当400 < s
17
x2, x ≥ 1 例2. 求 y = 的反函数 . 2 x − 1, x < 1
称为闭区间 称为闭区间, 记作 [a , b] 闭区间
a
b
x
{ x a ≤ x < b} 称为半闭半开区间 称为半闭半开区间 半闭半开区间, { x a < x ≤ b} 称为半开半闭区间 称为半开半闭区间 半开半闭区间, [a ,+∞ ) = { x a ≤ x }
O
记作 [a , b ) 记作 (a , b]
阶梯曲线
15
取最值函数
y = max{ f ( x ), g ( x )}
y
f ( x)
g( x )
y = min{ f ( x ), g ( x )}
y
f (x)
x
16
某运输公司规定货物的吨公里运价为: 例1. 某运输公司规定货物的吨公里运价为 在400公里 公里 以内, 每公里为K元 超过400公里每增一公里为 公里每增一公里为0.8K, 以内 每公里为 元, 超过 公里每增一公里为 求吨运价Y与里程 的函数关系. 求吨运价 与里程s的函数关系 与里程 的函数关系
例3. 设函数 f ( x )的定义域为 : [0,2),
解:
x 求函数 f ( − 1) + f ( 7 − x )的定义域 . 2 x x f ( − 1)的定义域 : 0 ≤ − 1 < 2, ⇒ x ∈ [2,6), 2 2
f (7 − x )的定义域 : 0 ≤ 7 − x < 2, ⇒ x ∈ (5,7],
当0 < s ≤ 400 Ks , 解: Y = K 400 + 0.8 K ( s − 400), 当400 < s
17
x2, x ≥ 1 例2. 求 y = 的反函数 . 2 x − 1, x < 1
文科数学-第1节(1)函数
富裕程度
绝对富裕 比较富裕 小康水平
温饱
在定义域的不同区间上
由不同的代数式来表示的
。
函数称为分段函数.
。
。
。
贫困
O
20 40 50 60
x(%)
100
专业课件，精彩无限！
31
前例中的分段函数是不能用统一的代数式表示
的函数.再如:
f
( x)
sin x
x
，
x
0，
需注意:
1 ， x 0，
y y f (x)
f (x)
f (x)
-x o x
x
偶函数
-x
f (x)
y
y f (x)
f (x)
o xx
奇函数
专业课件，精彩无限！
38
4.函数的周期性
y
定义域是自变量所能
y0
M(x0 , y0 )
取的,使算式有意义的一
切实数值.
例如, (1) y 1 x2 , D :[1,1]; 1
(2) y 1 x 2 , D : (1,1).
a
O
x0
b x
专业课件，精彩无限！
25
如果两个函数的定义域相同，对应法则也相 同，那么这两个函数就是相等的.
专业课件，精彩无限！
36
2.函数的单调性
定义 设函数y =f(x)的定义域为Df ，区 间I D f , 如 果 对于 区 间I 上 任 意两 点x1及 x2 , 当x1 x2时,恒 有 (1) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称f (x)在区间I上单调增加或称递增, (2) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称f (x)在区间I上单调减少或称递减.
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sin2a = 2sin a cos a cos2a = cos2 a - sin2 a = 1 - 2sin2 a = 2cos2 a - 1 2tan a tan2a = 2 1 - tan a 和差与积关系公式
a+b a-b sin a + sin b = 2sin cos 2 2 a +b a-b sin a - sin b = 2cos sin 2 2 a+b a-b cos a + cos b = 2cos cos 2 2 a +b a-b cos a - cos b = -2sin sin 2 2 1 sin a cos b = [ sin( a + b ) + sin( a - b ) ] 2 1 cos a sin b = [ sin( a + b ) - sin( a - b ) ] 2 1 cos a cos b = [ cos( a + b ) + cos( a - b ) ] 2 1 sin a sin b = - [ cos( a + b ) - cos( a - b ) ] 2
δ δ x0 − δ δ x0 − δ x0 x0 δ x0 + δ x x0 + δ x
与点 点
距离小于 δ (d > 0) 的全体实数的集合称为 的 δ 邻域, 记作U ( x0 , d ), 称为邻域的中心,
δ 称为邻域的半径. { x | x - x0 < d }, ( x0 - d , x0 + d ), U ( x0 ) 如果点 的 δ 邻域U ( x0 , d )不包括点 , 则称为点 的去心邻域, 记作U( x0 , d ). { x |0 < x - x0 < d }, U( x0 ) 例 用邻域符号表示不等式 2 x + 1 < e ( e > 0) 所确 定的 的范sin x , x Î [ -1,1 ], y Î ê - , ú . êë 2 2 úû
π π 2 0 π − 2
y = arccos x , x Î [ -1,1 ], y Î [ 0, p ].
−π −1
0
1
3π 2
π π 2 0
——解析的函数的意义 1694 年, 约翰·伯努利 (John Bernoulli) 1748 年, 欧拉 (Leonhard Euler) 第二次扩张函数概念 ——图像表示的函数的 概念 第三次扩张函数定义 中函数定义的来源 欧拉 1837 年, 狄利克雷 (Dirichlet) 第四次扩张——现行初 黎曼 (B. Riemann) 欧拉
第五次扩张 (取消函数 定义域的限制) 第六次扩张 第七次扩张 维布伦 (O. Veblen)
1.2.1 函数
定义 如果在某个变化过程中有两个变量 , , 并 且对于 在某个变化范围 X 内的每一个确定的值, 按照某个对应法则 , 都有唯一确定的值和它对 应, 那么 就是 的函数, 记作 y = f ( x ), 叫做
1.2.4 复合函数 A = f ( r ) = pr 2 , r = g ( t ) = 1 + t , 2 A = f [ g( t ) ] = p( 1 + t )
定义 设函数 y = f ( u ), u Î U , u = f ( x ), x Î X , 且 由 x Î X 确定的函数值u = f ( x )落在函数 y = f ( u )的 定义域 U 内, 则 y = f [ f ( x ) ]称为复合函数, 称为中 间变量, u = f ( x )称为里层函数, y = f ( u )称为外层 函数. 把一个复合函数分成不同层次的函数, 叫做复合函数 的分解. 分解的的步骤是从外向里, 评判分解合理与否的准则 是, 观察各层函数是否为基本初等函数或者多项式.
−π −1
0
1
æ p pö - , ÷ y = arctan x , x Î ( -¥, +¥ ), y Î ç . ÷ ç è 2 2ø
3π 2 π π 2 0 π − 2 −π 3π − 2
−3 −2 −1
0
1
2
3
y = arccot x , x Î ( -¥, +¥ ), y Î ( 0, p ). 恒等式 sin( arcsin x ) = cos( arccos x ) = tan( arctan x ) = x 例 sin( arccos x ) = 1 - x 2
(6) 余割函数
.
1 0 −1
−2π −
3π π − −π 2 2
0
π 2
π
3π 2
2π
和角公式 sin( a b ) = sin a cos b cos a sin b cos( a b ) = cos a cos b sin a sin b tan a tan b tan( a b ) = 1 tan a tan b 倍角公式
自变量, 的取值范围 X 叫做函数的定义域, 和 的值对应的 值叫做函数值, 函数值的集合 Y 叫做 函数的值域. 设函数 如果函数
的定义域是 对于定义域 是区间
, M 为非负实数. 内的任意 x 满足 内的有界函数.
f ( x ) £ M , 则称
1 微积分的基础和研究对象
1.1 微积分的基础 ——集合 , 实数和极限
17 世纪上半叶笛卡儿 (Descartes, 法, 1596 – 1650) 创建解析几何之后, 变量便进入了数学. 随之, 牛顿 (Newton, 英, 1642 – 1727) 和莱布尼茨 (Leibniz, 德, 1646 – 1716) 集众多数学家之大成, 各自独立地 发明了微积分, 被誉为数学史上划时代的里程碑. 微 积分诞生不久, 便在许多学科中得到广泛有效的应用, 大大推动了那个时代科学技术的发展和社会进步.
例 设f ( x ) = x 2 及 y ( x ) = 2 x , 求f[ f ( x ) ], f[ y ( x ) ],
y[ f ( x ) ]及 y[ y ( x ) ].
解 f[ f ( x ) ] = ( x
x 2 2 2
)
= x 4 ;
2x ) ( y [ y ( x ) ] = 2 .
由 的不足近似值构成的有理数序列 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, 1.414213, 1.4142135, 1.41421356, 1.414213562, 1.4142135623, 1.41421356237, 1.414213562373, …
1.2.2 反函数
定义 设函数 , x Î X , y Î Y . 如果对于 Y 内 的任一 , X 内都有唯一确定的 与之对应, 使
f ( x ) = y , 则在 Y 上确定了一个函数, 这个函数称为
的反函数, 记作 x = f -1 ( y ), y Î Y . 函数 单调函数存在反函数, 且函数与其反函数单调性相 同.
1 0 −1 3π − 2 −π π − 2 0 π 2 π 3π 2
(3) 正切函数
.
4 3 2 1 0 1 2 3 4 3 2
y
tan x
2
0
2
3 2
(4) 余切函数
.
(5) 正割函数
.
1 0 −1
−2π −
3π π − −π 2 2
0
π 2
π
3π 2
2π
f[ y ( x ) ] = ( 2 ) = 22 x ; x2 ) ( y [ f ( x ) ] = 2 ;
例 设:
1 , f ( x )= 1- x
求 f [ f ( x ) ], f { f [ f ( x ) ]}. 1 1 解 f [ f ( x ) ] = = 1 - ; 1 x 11- x 1 f { f [ f ( x ) ]} = = x . æ 1ö ÷ 1 -ç 1 ÷ ç è xø 例 分解下列复合函数: (1) y = 2arctan x ; (2) y = 1 + sin2 x ; æ xö ÷ tan (3) y = lnç . ÷ ç è 2ø
1.2.3 基本初等函数
常数函数, 幂函数, 指数函数, 对数函数, 三角函数 和反三角函数统称为基本初等函数. 1. 常数函数 y = C (C 为常数)
2. 幂函数 y = x a (α 为实数) 3. 指数函数 y = a x (a > 0 , 且a ¹ 1) 4. 对数函数 y = loga x (a > 0 , 且a ¹ 1) 5. 三角函数 (1) 正弦函数 (2) 余弦函数 . .
例 cos( arccot x ) =
x 1 + x2
p 例 arcsin x + arccos x = 2 æ p pö ÷ , 证 设 y = arcsin x , y Î ç . ÷ ç è 2 2ø sin y = x .
æp ö p -y÷ = x , 0 £ - y £ p . cosç ÷ ç è2 ø 2 é æp öù ÷ arccos ê cosç y ú = arccos x , ÷ ç ø úû êë è 2 p - y = arccos x . 2 p 例 arctan x + arccot x = 2
笛卡儿 (Descartes, 法, 1596 – 1650), 牛顿 (Newton, 英, 1642 – 1727), 莱布尼茨 (Leibniz, 德, 1646 – 1716), 欧拉 (Euler, 瑞士, 1707 – 1783), 狄 利克雷 (Dirichlet, 德, 1805 – 1859) 等许多科学家 和数学家的思索, 提炼, 才形成今日一般人所理解的 函数模型. 随着人们认识的深化, 函数这一模型也不 断地得到改进和拓展. 函数概念发展 (扩张) 的历史轨迹 第一次扩张函数概念 1667 年, 格雷戈里 (J. Gregory)
a+b a-b sin a + sin b = 2sin cos 2 2 a +b a-b sin a - sin b = 2cos sin 2 2 a+b a-b cos a + cos b = 2cos cos 2 2 a +b a-b cos a - cos b = -2sin sin 2 2 1 sin a cos b = [ sin( a + b ) + sin( a - b ) ] 2 1 cos a sin b = [ sin( a + b ) - sin( a - b ) ] 2 1 cos a cos b = [ cos( a + b ) + cos( a - b ) ] 2 1 sin a sin b = - [ cos( a + b ) - cos( a - b ) ] 2
δ δ x0 − δ δ x0 − δ x0 x0 δ x0 + δ x x0 + δ x
与点 点
距离小于 δ (d > 0) 的全体实数的集合称为 的 δ 邻域, 记作U ( x0 , d ), 称为邻域的中心,
δ 称为邻域的半径. { x | x - x0 < d }, ( x0 - d , x0 + d ), U ( x0 ) 如果点 的 δ 邻域U ( x0 , d )不包括点 , 则称为点 的去心邻域, 记作U( x0 , d ). { x |0 < x - x0 < d }, U( x0 ) 例 用邻域符号表示不等式 2 x + 1 < e ( e > 0) 所确 定的 的范sin x , x Î [ -1,1 ], y Î ê - , ú . êë 2 2 úû
π π 2 0 π − 2
y = arccos x , x Î [ -1,1 ], y Î [ 0, p ].
−π −1
0
1
3π 2
π π 2 0
——解析的函数的意义 1694 年, 约翰·伯努利 (John Bernoulli) 1748 年, 欧拉 (Leonhard Euler) 第二次扩张函数概念 ——图像表示的函数的 概念 第三次扩张函数定义 中函数定义的来源 欧拉 1837 年, 狄利克雷 (Dirichlet) 第四次扩张——现行初 黎曼 (B. Riemann) 欧拉
第五次扩张 (取消函数 定义域的限制) 第六次扩张 第七次扩张 维布伦 (O. Veblen)
1.2.1 函数
定义 如果在某个变化过程中有两个变量 , , 并 且对于 在某个变化范围 X 内的每一个确定的值, 按照某个对应法则 , 都有唯一确定的值和它对 应, 那么 就是 的函数, 记作 y = f ( x ), 叫做
1.2.4 复合函数 A = f ( r ) = pr 2 , r = g ( t ) = 1 + t , 2 A = f [ g( t ) ] = p( 1 + t )
定义 设函数 y = f ( u ), u Î U , u = f ( x ), x Î X , 且 由 x Î X 确定的函数值u = f ( x )落在函数 y = f ( u )的 定义域 U 内, 则 y = f [ f ( x ) ]称为复合函数, 称为中 间变量, u = f ( x )称为里层函数, y = f ( u )称为外层 函数. 把一个复合函数分成不同层次的函数, 叫做复合函数 的分解. 分解的的步骤是从外向里, 评判分解合理与否的准则 是, 观察各层函数是否为基本初等函数或者多项式.
−π −1
0
1
æ p pö - , ÷ y = arctan x , x Î ( -¥, +¥ ), y Î ç . ÷ ç è 2 2ø
3π 2 π π 2 0 π − 2 −π 3π − 2
−3 −2 −1
0
1
2
3
y = arccot x , x Î ( -¥, +¥ ), y Î ( 0, p ). 恒等式 sin( arcsin x ) = cos( arccos x ) = tan( arctan x ) = x 例 sin( arccos x ) = 1 - x 2
(6) 余割函数
.
1 0 −1
−2π −
3π π − −π 2 2
0
π 2
π
3π 2
2π
和角公式 sin( a b ) = sin a cos b cos a sin b cos( a b ) = cos a cos b sin a sin b tan a tan b tan( a b ) = 1 tan a tan b 倍角公式
自变量, 的取值范围 X 叫做函数的定义域, 和 的值对应的 值叫做函数值, 函数值的集合 Y 叫做 函数的值域. 设函数 如果函数
的定义域是 对于定义域 是区间
, M 为非负实数. 内的任意 x 满足 内的有界函数.
f ( x ) £ M , 则称
1 微积分的基础和研究对象
1.1 微积分的基础 ——集合 , 实数和极限
17 世纪上半叶笛卡儿 (Descartes, 法, 1596 – 1650) 创建解析几何之后, 变量便进入了数学. 随之, 牛顿 (Newton, 英, 1642 – 1727) 和莱布尼茨 (Leibniz, 德, 1646 – 1716) 集众多数学家之大成, 各自独立地 发明了微积分, 被誉为数学史上划时代的里程碑. 微 积分诞生不久, 便在许多学科中得到广泛有效的应用, 大大推动了那个时代科学技术的发展和社会进步.
例 设f ( x ) = x 2 及 y ( x ) = 2 x , 求f[ f ( x ) ], f[ y ( x ) ],
y[ f ( x ) ]及 y[ y ( x ) ].
解 f[ f ( x ) ] = ( x
x 2 2 2
)
= x 4 ;
2x ) ( y [ y ( x ) ] = 2 .
由 的不足近似值构成的有理数序列 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, 1.414213, 1.4142135, 1.41421356, 1.414213562, 1.4142135623, 1.41421356237, 1.414213562373, …
1.2.2 反函数
定义 设函数 , x Î X , y Î Y . 如果对于 Y 内 的任一 , X 内都有唯一确定的 与之对应, 使
f ( x ) = y , 则在 Y 上确定了一个函数, 这个函数称为
的反函数, 记作 x = f -1 ( y ), y Î Y . 函数 单调函数存在反函数, 且函数与其反函数单调性相 同.
1 0 −1 3π − 2 −π π − 2 0 π 2 π 3π 2
(3) 正切函数
.
4 3 2 1 0 1 2 3 4 3 2
y
tan x
2
0
2
3 2
(4) 余切函数
.
(5) 正割函数
.
1 0 −1
−2π −
3π π − −π 2 2
0
π 2
π
3π 2
2π
f[ y ( x ) ] = ( 2 ) = 22 x ; x2 ) ( y [ f ( x ) ] = 2 ;
例 设:
1 , f ( x )= 1- x
求 f [ f ( x ) ], f { f [ f ( x ) ]}. 1 1 解 f [ f ( x ) ] = = 1 - ; 1 x 11- x 1 f { f [ f ( x ) ]} = = x . æ 1ö ÷ 1 -ç 1 ÷ ç è xø 例 分解下列复合函数: (1) y = 2arctan x ; (2) y = 1 + sin2 x ; æ xö ÷ tan (3) y = lnç . ÷ ç è 2ø
1.2.3 基本初等函数
常数函数, 幂函数, 指数函数, 对数函数, 三角函数 和反三角函数统称为基本初等函数. 1. 常数函数 y = C (C 为常数)
2. 幂函数 y = x a (α 为实数) 3. 指数函数 y = a x (a > 0 , 且a ¹ 1) 4. 对数函数 y = loga x (a > 0 , 且a ¹ 1) 5. 三角函数 (1) 正弦函数 (2) 余弦函数 . .
例 cos( arccot x ) =
x 1 + x2
p 例 arcsin x + arccos x = 2 æ p pö ÷ , 证 设 y = arcsin x , y Î ç . ÷ ç è 2 2ø sin y = x .
æp ö p -y÷ = x , 0 £ - y £ p . cosç ÷ ç è2 ø 2 é æp öù ÷ arccos ê cosç y ú = arccos x , ÷ ç ø úû êë è 2 p - y = arccos x . 2 p 例 arctan x + arccot x = 2
笛卡儿 (Descartes, 法, 1596 – 1650), 牛顿 (Newton, 英, 1642 – 1727), 莱布尼茨 (Leibniz, 德, 1646 – 1716), 欧拉 (Euler, 瑞士, 1707 – 1783), 狄 利克雷 (Dirichlet, 德, 1805 – 1859) 等许多科学家 和数学家的思索, 提炼, 才形成今日一般人所理解的 函数模型. 随着人们认识的深化, 函数这一模型也不 断地得到改进和拓展. 函数概念发展 (扩张) 的历史轨迹 第一次扩张函数概念 1667 年, 格雷戈里 (J. Gregory)