大学文科数学-课件1

δ δ x0 − δ δ x0 − δ x0 x0 δ x0 + δ x x0 + δ x
与点 点
距离小于 δ (d > 0) 的全体实数的集合称为 的 δ 邻域, 记作U ( x0 , d ), 称为邻域的中心,
δ 称为邻域的半径. { x | x - x0 < d }, ( x0 - d , x0 + d ), U ( x0 ) 如果点 的 δ 邻域U ( x0 , d )不包括点 , 则称为点 的去心邻域, 记作U( x0 , d ). { x |0 < x - x0 < d }, U( x0 ) 例 用邻域符号表示不等式 2 x + 1 < e ( e > 0) 所确 定的 的范围.
笛卡儿 (Descartes, 法, 1596 – 1650), 牛顿 (Newton, 英, 1642 – 1727), 莱布尼茨 (Leibniz, 德, 1646 – 1716), 欧拉 (Euler, 瑞士, 1707 – 1783), 狄 利克雷 (Dirichlet, 德, 1805 – 1859) 等许多科学家 和数学家的思索, 提炼, 才形成今日一般人所理解的 函数模型. 随着人们认识的深化, 函数这一模型也不 断地得到改进和拓展. 函数概念发展 (扩张) 的历史轨迹 第一次扩张函数概念 1667 年, 格雷戈里 (J. Gregory)
1.2.4 复合函数 A = f ( r ) = pr 2 , r = g ( t ) = 1 + t , 2 A = f [ g( t ) ] = p( 1 + t )
定义 设函数 y = f ( u ), u Î U , u = f ( x ), x Î X , 且 由 x Î X 确定的函数值u = f ( x )落在函数 y = f ( u )的 定义域 U 内, 则 y = f [ f ( x ) ]称为复合函数, 称为中 间变量, u = f ( x )称为里层函数, y = f ( u )称为外层 函数. 把一个复合函数分成不同层次的函数, 叫做复合函数 的分解. 分解的的步骤是从外向里, 评判分解合理与否的准则 是, 观察各层函数是否为基本初等函数或者多项式.
1.2.3 基本初等函数
常数函数, 幂函数, 指数函数, 对数函数, 三角函数 和反三角函数统称为基本初等函数. 1. 常数函数 y = C (C 为常数)
2. 幂函数 y = x a (α 为实数) 3. 指数函数 y = a x (a > 0 , 且a ¹ 1) 4. 对数函数 y = loga x (a > 0 , 且a ¹ 1) 5. 三角函数 (1) 正弦函数 (2) 余弦函数 . .
1 0 −1 3π − 2 −π π − 2 0 π 2 π 3π 2
(3) 正切函数
.
4 3 2 1 0 1 2 3 4 3 2
y
tan x
2
来自百度文库
0
2
3 2
(4) 余切函数
.
(5) 正割函数
.
1 0 −1
−2π −
3π π − −π 2 2
0
π 2
π
3π 2
2π
1.2.2 反函数
定义 设函数 , x Î X , y Î Y . 如果对于 Y 内 的任一 , X 内都有唯一确定的 与之对应, 使
f ( x ) = y , 则在 Y 上确定了一个函数, 这个函数称为
的反函数, 记作 x = f -1 ( y ), y Î Y . 函数 单调函数存在反函数, 且函数与其反函数单调性相 同.
1 微积分的基础和研究对象
1.1 微积分的基础 ——集合 , 实数和极限
17 世纪上半叶笛卡儿 (Descartes, 法, 1596 – 1650) 创建解析几何之后, 变量便进入了数学. 随之, 牛顿 (Newton, 英, 1642 – 1727) 和莱布尼茨 (Leibniz, 德, 1646 – 1716) 集众多数学家之大成, 各自独立地 发明了微积分, 被誉为数学史上划时代的里程碑. 微 积分诞生不久, 便在许多学科中得到广泛有效的应用, 大大推动了那个时代科学技术的发展和社会进步.
例 设f ( x ) = x 2 及 y ( x ) = 2 x , 求f[ f ( x ) ], f[ y ( x ) ],
y[ f ( x ) ]及 y[ y ( x ) ].
解 f[ f ( x ) ] = ( x
x 2 2 2
)
= x 4 ;
2x ) ( y [ y ( x ) ] = 2 .
证 设 y = arccos x , y Î [ 0, p ]. cos y = x . sin y = 1 - cos2 y = 1 - x 2 . x 例 tan( arcsin x ) = 1 - x2
æ p pö - , ÷ 证 设 y = arcsin x , y Î ç . ÷ ç è 2 2ø sin y = x . sin y sin y x = = tan y = . cos y 1 - sin2 y 1 - x2
(6) 余割函数
.
1 0 −1
−2π −
3π π − −π 2 2
0
π 2
π
3π 2
2π
和角公式 sin( a b ) = sin a cos b cos a sin b cos( a b ) = cos a cos b sin a sin b tan a tan b tan( a b ) = 1 tan a tan b 倍角公式
第五次扩张 (取消函数 定义域的限制) 第六次扩张 第七次扩张 维布伦 (O. Veblen)
1.2.1 函数
定义 如果在某个变化过程中有两个变量 , , 并 且对于 在某个变化范围 X 内的每一个确定的值, 按照某个对应法则 , 都有唯一确定的值和它对 应, 那么 就是 的函数, 记作 y = f ( x ), 叫做
f[ y ( x ) ] = ( 2 ) = 22 x ; x2 ) ( y [ f ( x ) ] = 2 ;
例 设:
1 , f ( x )= 1- x
求 f [ f ( x ) ], f { f [ f ( x ) ]}. 1 1 解 f [ f ( x ) ] = = 1 - ; 1 x 11- x 1 f { f [ f ( x ) ]} = = x . æ 1ö ÷ 1 -ç 1 ÷ ç è xø 例 分解下列复合函数: (1) y = 2arctan x ; (2) y = 1 + sin2 x ; æ xö ÷ tan (3) y = lnç . ÷ ç è 2ø
自变量, 的取值范围 X 叫做函数的定义域, 和 的值对应的 值叫做函数值, 函数值的集合 Y 叫做 函数的值域. 设函数 如果函数
的定义域是 对于定义域 是区间
, M 为非负实数. 内的任意 x 满足 内的有界函数.
f ( x ) £ M , 则称
Newton. 自然哲学的数学原理 三次数学危机 第一次数学危机 第二次数学危机 公元前 5 世纪 17 世纪
第三次数学危机 20 世纪初 罗素悖论, 理发师悖论 Morris Kline. 古今数学思想 Morris Kline. 数学: 确定性的丧失
æ 1ö e ÷ < . 用邻域符号表示 解 由 2 x + 1 < e 得 x - ç ÷ ç è 2ø 2
æ 1 eö ÷. ç- , ÷ 为U ç è 2 2ø
1.2 微积分的研究对象 ——函数
早在文艺复兴末期的 16 世纪, 社会处于封建社会瓦 解, 资本主义兴起的大变动时期, 那时的力学, 天文 学等自然科学为适应实践的需要, 把运动作为研究的 主题, 对各种变化过程和过程中的量与量之间的依赖 关系的研究, 产生了函数这一概念. 函数的建立并不是某个数学家或科学家一朝一夕完 成的, 而是经由伽利略 (Galileo, 意, 1564 – 1642),
sin2a = 2sin a cos a cos2a = cos2 a - sin2 a = 1 - 2sin2 a = 2cos2 a - 1 2tan a tan2a = 2 1 - tan a 和差与积关系公式
a+b a-b sin a + sin b = 2sin cos 2 2 a +b a-b sin a - sin b = 2cos sin 2 2 a+b a-b cos a + cos b = 2cos cos 2 2 a +b a-b cos a - cos b = -2sin sin 2 2 1 sin a cos b = [ sin( a + b ) + sin( a - b ) ] 2 1 cos a sin b = [ sin( a + b ) - sin( a - b ) ] 2 1 cos a cos b = [ cos( a + b ) + cos( a - b ) ] 2 1 sin a sin b = - [ cos( a + b ) - cos( a - b ) ] 2
6. 反三角函数
é p pù y = arcsin x , x Î [ -1,1 ], y Î ê - , ú . êë 2 2 úû
π π 2 0 π − 2
y = arccos x , x Î [ -1,1 ], y Î [ 0, p ].
−π −1
0
1
3π 2
π π 2 0
例 cos( arccot x ) =
x 1 + x2
p 例 arcsin x + arccos x = 2 æ p pö ÷ , 证 设 y = arcsin x , y Î ç . ÷ ç è 2 2ø sin y = x .
æp ö p -y÷ = x , 0 £ - y £ p . cosç ÷ ç è2 ø 2 é æp öù ÷ arccos ê cosç y ú = arccos x , ÷ ç ø úû êë è 2 p - y = arccos x . 2 p 例 arctan x + arccot x = 2
由 的不足近似值构成的有理数序列 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, 1.414213, 1.4142135, 1.41421356, 1.414213562, 1.4142135623, 1.41421356237, 1.414213562373, …
−π −1
0
1
æ p pö - , ÷ y = arctan x , x Î ( -¥, +¥ ), y Î ç . ÷ ç è 2 2ø
3π 2 π π 2 0 π − 2 −π 3π − 2
−3 −2 −1
0
1
2
3
y = arccot x , x Î ( -¥, +¥ ), y Î ( 0, p ). 恒等式 sin( arcsin x ) = cos( arccos x ) = tan( arctan x ) = x 例 sin( arccos x ) = 1 - x 2
——解析的函数的意义 1694 年, 约翰·伯努利 (John Bernoulli) 1748 年, 欧拉 (Leonhard Euler) 第二次扩张函数概念 ——图像表示的函数的 概念 第三次扩张函数定义 中函数定义的来源 欧拉 1837 年, 狄利克雷 (Dirichlet) 第四次扩张——现行初 黎曼 (B. Riemann) 欧拉