复合泊松过程的实现
第三章泊松(Poisson)过程.
4. 齐次泊松过程的两个相关随机变量
设{N (t), t 0}是强度为的泊松过程,Wn(n 1)
表示事件第n次出现的等待时间.
W0 0
记 Ti Wi Wi1, i 1,2, 则Ti 表示第n-1次
事件发生到第n次事件发生的时间间隔.
(每小时)的泊松过程 {N(t), t 0}, 若每个人消费 的金额(元)为独立同分布的随机变量 Yn:
f ( y) 0.05e0.05 y ( y 0)
设 X(t) 表示 [0,t) 时间内该超市的总营业额,求3 小时内总营业额的期望和方差.
基础部张守成 2020年2月28日星期五
令 s 0, 根据假设 N (0) 0 可得
均值函数: E[N (t)] t,
方差函数: DN (t) Var[N (t )] t
E[ N (t)].
t
泊松过程的强度等于单位长时间间隔内发生的事件 数目的均值.
基础部张守成 2020年2月28日星期五
(2) 协方差函数:
设{N(t), t0}是强度的泊松过程,{Yk,k=1,2,}是
独立同分布随机变量序列,且与{N(t), t0}独立,令
N (t)
X (t) Yk , t 0 k 1
则称为复合泊松过程. 例 设N(t)是在(0, t]内来到某商店的顾客数,Yk是
N (t)
第k个顾客的花费,则 X (t) 是Yk (0, t]内的营业额. k 1
如果对任意的实数h 和 0 s h t h,
X (t h) X (s h) 和 X (t) X (s) 具有相同的分布, 则称增量具有平稳性.
第二章泊松过程
2
泊松过程定义1: 称计数过程{X(t),t≥0}为具有参数λ >0的泊松过程,若它满足下列条件: 1、X(0)=0; 2、X(t)是独立增量过程; 3、在任一长度为t的区间中,事件A发生的次数服从参数λ>0的泊松分布, 即对任意s,t≥0,有
P { X ( t s ) X ( s ) n } e
18
例题 设{X(t),t≥0}是具有跳跃强度
1 ( t) ( 1 cos t) 的非齐次泊 2
松过程(ω ≠0),求E[X(t)]和D[X(t)]。
例题
设某路公共汽车从早上5时到晚上9时有车发出,乘客流量如下:5时 按平均乘客为200人/时计算;5时至8时乘客平均到达率按线性增加, 8时到达率为1400人/时;8时至18时保持平均到达率不变;18时到 21时从到达率1400人/时按线性下降,到21时为200人/时。假定乘客 数在不相重叠时间间隔内是相互独立的。求12时至14时有2000人来 站乘车的概率,并求这两个小时内来站乘车人数的数学期望。
n [ m ( t s ) m ( t )] X X exp{ [ m ( t s ) m ( t )]}, n 0 X X n !
或
n [ m ( t )] P { X ( t ) n } X exp{ m ( t )}, X n !
17
到达时间的条件分布
可以认为[0,t]内长度相等的区间包含这个事件的概率应该相等,或者 说,这个事件的到达时间应在[0,t]上服从均匀分布。对于s<t有
P { W s |X ( t ) 1 } ? 1
分布函数
s 0 0, s F 0 s t W 1(s) t , 1| X(t) 1 , s t
复合泊松过程样本轨道的随机模拟
复合泊松过程样本轨道的随机模拟在计算机科学中,随机模拟是一种技术,它可以帮助我们更好地理解复杂系统中的概率事件。
复合泊松过程是概率论及其在计算机科学应用领域里最基本、最常用的理论模型之一。
本文的主要内容是讨论一个复合泊松过程样本轨道的随机模拟,该轨道可以用来表示来自一个数字实验的结果。
在本文中,将具体介绍该复合泊松过程的定义及假设、该过程的样本轨道的实现方法、进行随机模拟实验的技术和结果及分析。
首先,本文讨论了泊松过程的定义。
泊松过程是一种连续随机过程,它可以模拟实际中具有离散结果的动态事件。
一个泊松过程的状态值满足非零状态的有限变化规律,其中的变化称为事件,它们的发生满足指数分布。
复合泊松过程是将多个独立的泊松过程拼接在一起,形成一个更大的过程。
复合泊松过程可以模拟多个复杂过程,例如计算机系统中的请求到达率、响应时间等。
其次,本文讨论了复合泊松过程样本轨道的实现方法。
由于复合泊松过程中有多个独立的过程,因此样本轨道则需要对每个独立过程分别进行实现。
每个样本轨道都有一个初始状态值,然后根据每个事件的发生概率使状态值发生变化,最终形成该过程的样本轨道。
实现方法有两种:一种是基于生成一系列服从指数分布的独立的随机变量,一种是基于生成一系列独立的随机变量使其事件发生概率服从指数分布。
第三,本文讨论了如何进行样本轨道的随机模拟实验。
首先,用户需要确定复合泊松过程样本轨道的参数,例如每个事件的发生概率等。
然后,根据确定的参数,运行程序来生成若干个伪随机数,以确定该过程的样本轨道。
最后,根据样本轨道,绘制图表,对比理论值与实际值,以确定模型的准确性。
最后本文讨论了复合泊松过程样本轨道的随机模拟的结果分析。
首先,用以上实验获得的数据计算概率,检验理论上的概率分布是否正确。
其次,将实验结果与理论值进行对比,以给出模型的准确性。
最后,根据对比结果,对模型进行调整,及时修改模型,提高模型的真实性。
综上所述,本文详细描述了如何进行复合泊松过程样本轨道的随机模拟,且做出详细的结果分析。
第三章 泊松过程
第一节、泊松过程的基本概念
证明: (1) 0 N (0) N1 (0) N2 (0) 可得 N1 (0) N2 (0) 0 (2)由N(t)的独立增量性可得,N1 (t ), N2 (t ) 也为独立增量过程; (3)记 N (t s) N (t ) N (t , t s) P[ N1 (t , t s ) k1 ]
泊松过程(Poisson process)最早由法国人Poisson于 1837年引入。
主 要 内 容
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节
泊松过程的基本概念 相邻时间的时间间隔 剩余寿命与年龄 非时齐泊松过程 复合泊松过程 更新过程
第一节、泊松过程的基本概念
一、定义 一随机过程N (t ), t 0 ,若满足条件: (1)是一计数过程,且N(0)=0; (零初值性) (2)任取 0 t1 t2 tn , (独立增量过程) N (t1 ), N (t2 ) N (t1 ), , N (tn ) N (tn1 ) 相互独立; (3)s, t 0, n 0, P[ N (s t ) N (s) n] P[ N (t ) n] (增量平稳性) (4)对任意 t 0 和充分小的 t 0 ,有 P[ N (t t ) N (t ) 1] t o(t ) P[ N (t t ) N (t ) 2] o(t ) 称N (t ), t 0 是强度 为的时齐泊松过程。 其中 0 称 为强度常数。
即 N (s t ) N ( s) 是参数为 t 的泊松分布。
证明
第一节、泊松过程的基本概念
泊松过程的等价定义: 一计数过程N (t ), t 0 ,若满足条件: (1)N(0)=0; (2)N(t)是独立增量过程; (3)对 s, t 0, N (s t ) N (s) P(t ) ,即
泊松过程poisson
研究如何将泊松过程与其他 随机过程进行更有效的结合,
以更好地描述复杂现象。
探索如何利用机器学习方法改 进泊松过程的参数估计和模型 选择,以提高模型的预测能力
和解释性。
THANKS
泊松分布的性质
泊松分布具有指数衰减的性质, 即随着时间的推移,事件发生的
概率逐渐减小。
泊松分布的期望值和方差都是参 数λ(λ > 0),即E(X)=λ, D(X)=λ。
当λ增加时,泊松分布的概率密 度函数值也增加,表示事件发生
的频率更高。
泊松分布的应用场景
通信网络
泊松分布用于描述在一定 时间内到达的电话呼叫或 数据包的数量。
生物信息学中的泊松过程
在生物信息学中,泊松过程用于描述基因表达、蛋白质相互 作用等生物过程中的随机事件。例如,基因表达数据可以用 泊松过程来分析,以了解基因表达的模式和规律。
通过泊松过程,生物信息学家可以识别出与特定生物学功能 或疾病相关的基因,为药物研发和个性化医疗提供有价值的 线索。
06 泊松过程的扩展与展望
交通流量分析
泊松分布用于描述在一定 时间内经过某个地点的车 辆数量。
生物学和医学研究
泊松分布可以用于描述在 一定时间内发生的事件数 量,例如基因突变或细菌 繁殖。
04 泊松过程的模拟与实现
离散时间的模拟
01
定义时间间隔
首先确定模拟的时间区间,并将其 划分为一系列离散的时间点。
随机抽样
使用随机数生成器,在每个时间间 隔内随机决定是否发生事件。
有限可加性
在有限的时间间隔内,泊松过 程中发生的事件数量服从二项
分布。
与其他随机过程的比较
与马尔可夫链的比较
复合泊松过程模型的推广和在R语言环境下的随机模拟
复合泊松过程模型的推广和在R语言环境下的随机模拟首先,让我们回顾一下泊松过程的定义。
一个泊松过程是一个随机过程,它满足以下性质:1. 非负增量:对于任意的$t\geq s$,随机变量$N(t)-N(s)$是一个非负整数。
2.马尔可夫性:对于任意的$s<t$,条件随机变量$N(t)-N(s)$的分布只依赖于时间间隔$t-s$,而不依赖于过去的历史状态。
复合泊松过程是一个在每个时间点发生数目服从泊松分布的事件,并且每个事件的强度也是一个随机变量的随机过程。
具体来说,设$\{N(t), t\geq 0\}$是一个泊松过程,$\{Y_i, i\geq 1\}$是一列独立同分布的随机变量,它们服从参数为$\lambda$的泊松分布。
令$\{\tau_i, i\geq0\}$是泊松过程$\{N(t)\}$的时间点集合,其中$\tau_0$为0,$\tau_i$为第$i$次事件发生的时间点。
那么复合泊松过程$\{X(t),t\geq 0\}$定义为:\[X(t)=\sum_{i=1}^{N(t)}Y_i \quad t\geq 0\]其中$N(t)$表示在时间点$t$之前发生的事件数目,$Y_i$表示第$i$次事件的强度。
1. 非负增量:对于任意的$t\geq s$,随机变量$X(t)-X(s)$是一个非负随机变量。
2.马尔可夫性:对于任意的$s<t$,条件随机变量$X(t)-X(s)$的分布只依赖于时间间隔$t-s$和时间点$s$。
现在让我们在R语言环境下进行复合泊松过程的随机模拟。
首先,我们需要生成泊松分布的随机数。
R语言中可以使用函数`rpois(`来生成泊松分布的随机数。
例如,`rpois(10, 2)`将生成个数为10,参数为2的泊松分布的随机数。
然后,我们需要确定复合泊松过程的参数,其中$\lambda$表示泊松过程的强度,$N(t)$表示在时间点$t$之前发生的事件数目,$Y_i$表示第$i$次事件的强度。
泊松融合原理和python代码
泊松融合原理和python代码泊松融合是一种图像处理技术,可以将两幅图像进行平滑过渡,使其看起来自然无缝地融合在一起。
本文将介绍泊松融合的原理,并给出使用Python实现泊松融合的代码示例。
1. 泊松融合的原理2. 泊松融合的步骤3. 使用Python实现泊松融合的代码示例【1. 泊松融合的原理】泊松融合的原理是基于在两幅图像之间进行局部亮度和颜色平滑的假设。
具体来说,泊松融合可以看作是将源图像的颜色和边缘信息与目标图像的结构进行融合的过程。
【2. 泊松融合的步骤】泊松融合一般包括以下几个步骤:1) 输入源图像和目标图像。
2) 确定源图像在目标图像中的位置,以及需要融合的区域。
3) 对源图像和目标图像进行预处理,包括调整图像大小、灰度化等。
4) 使用梯度域重建技术计算源图像的梯度场。
5) 根据源图像的梯度向量和目标图像的结构特征进行优化,生成泊松方程。
6) 使用泊松方程进行图像融合。
7) 输出泊松融合后的图像。
【3. 使用Python实现泊松融合的代码示例】下面是一个使用Python实现泊松融合的简单示例代码:```pythonimport cv2import numpy as npdef poisson_blend(source, target, mask):# 将原图像和目标图像转换为浮点型source = source.astype(np.float32)target = target.astype(np.float32)# 将图像转换为灰度图gray_source = cv2.cvtColor(source, cv2.COLOR_BGR2GRAY) gray_target = cv2.cvtColor(target, cv2.COLOR_BGR2GRAY) # 计算源图像的梯度场gradient = placian(gray_source, cv2.CV_64F)# 将源图像的梯度场与目标图像的结构特征进行融合result = target.copy()result[mask] = source[mask] - gradientreturn result.astype(np.uint8)# 读取源图像、目标图像和融合区域的掩码source = cv2.imread("source.jpg")target = cv2.imread("target.jpg")mask = cv2.imread("mask.jpg", cv2.IMREAD_GRAYSCALE)# 进行泊松融合blended_image = poisson_blend(source, target, mask)# 显示融合结果cv2.imshow("Blended Image", blended_image)cv2.waitKey(0)cv2.destroyAllWindows()【4. 总结】泊松融合是一种常用的图像处理技术,可以实现图像的无缝融合。
第四章泊松过程3讲解
i2
0i0 i1 i2
P (N (t )-N (t )=i -i , Y
n =i0 +1
x1 )P(N (t2 )-N (t1 )=i2 -i1, Yn x2 )
n =i1 +1
i2
= P (N (t1 )-N (t0 )=i1 -i0 ,
0i0 i1
=EX (s)E (X (t )-X (s))+EX (s)X (s)) = sEY1 (t -s)EY1 + sEY12 +( sEY1 ) 2 = 2 st (EY1 ) 2 + sEY12
应用复合泊松过程的简单应用
例:某人负责订阅杂志,设前来订阅的顾客是一天 内平均到达率为8的泊松过程.他们分别以概率 1/2,1/3,和1/6订阅1季度、2季度和3季度的杂志, 其选择是相互独立的.每次订阅1季度时,该负责人 可得1元手续费.令X(t)表示在[0,t)内此人所得的手 续费,试求E[X(t)],D[X(t)],以及相应的特征函数.
k 0 n 1
例 设在[0, t]内事件A已经发生n次, 求第k次(k<n) 事件A发生的时间Tk的条 件概率密度函数. 解 先求条件分布 P {h Wk s h | X (t ) n} s s+h t 再对s求导。
0 Tk Tn
{s Tk s h} {Tk s h}\{Tk s} 当h充分小时,有X (s h) k
i1
n
x1,N (t1 )=i1,N (t2 )=i2 , Yn x2 )
n =i1 +1 i2
i2
0i0 i1 i2
P (N (t )-N (t )=i -i , Y
应用随机过程实验2-泊松过程
应用随机过程实验2—泊松过程一.准备知识1.泊松过程2.非齐次泊松过程3. 复合泊松过程二.作业1. 设()1X t 和()2X t 分别是参数为1λ和2λ的相互独立的泊松过程,(1)模拟()1X t 和()2X t ,并画图;(2)生成随机过程()()()12Y t =X +X t t ,并画图;(3)计算(){}Y t ,t 0≥ 的平均到达率与+1λ2λ的相对误差。
2. 设到达某商店的顾客组成强度为λ的泊松过程,每个顾客购买商品的概率为p ,且与其他顾客是否购买商品无关,假设每位购买商品的顾客的花费i X 独立同分布,且服从正态分布2X (,)iN μσ,1,2,3,i = ,令()Y t 是t 时刻购买商品的顾客数,()Z t 是t 时刻商品的营业额,0t ≥ ,(1)试模拟随机过程(){},0Y t t ≥,并画图,计算随机过程(){},0Y t t ≥ 的均值函数与pt λ的相对误差;(2)试模拟随机过程(){},0Z t t ≥,并画图,计算随机过程(){}t ,t 0Z ≥ 的均值函数与pt λμ的相对误差。
3. 某路公共汽车从早晨5时到晚上9时有车发出,乘客流量如下:5时按平均乘客为200人/小时计算;5时至8时乘客平均到达率线性增加,8时到达率为1400人/小时;8时至18时保持平均到达率不变;18时到21时到达率线性下降,到21时为200人/小时,假定乘客数在不重叠的区间内是相互独立的,令()X t 是t 时刻到达公共汽车的总人数,(1)计算早晨5时到晚上9时的乘客到达率,并画图;(2)模拟从早晨5时到晚上9时的乘客到达过程(){}X t ,t 0≥。
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非齐次泊松过程与复合泊松过程
E ((1: 30) - (0 : 30)) 10
29
四、复合泊松过程
在人们的日常生活中,泊松过程往往不是单独存在的。 比如顾客到商店,不会只是在商店转一圈,往往会购物(当然,进 去转转不买也是有的)。 生产线的机器坏了,维修的时候会有维修费用。 参加保险公司的医疗保险人生病,保险公司会对其作出赔偿等。 这一系列的泊松过程都会有累积的事件参杂在其中。如果我们能 够将这些累积的事件和泊松过程联系起来,找出一定的规律,也 许就能成为解决某些生活规律的工具。例如,算出商店一天的营 业额,生产线一年的机器维修费用,保险公司的预备赔偿金的存 储额等。 因此,可以看出,前面多考虑的泊松过程,并未涉及到“泊松过 程质点”的大小,确定这些泊松过程质点的累积效果的随机过程 及其概率结构是有实际意义的。
非齐次泊松过程 复合泊松过程
主讲人:张建军
2015.5.01
1
一、泊松过程的定义 二、齐次泊松过程 三、非齐次泊松过程 四、复合泊松过程
2
一、泊松过程的定义
泊松过程是一类较为简单的时间连续状态离 散的随机过程。 一种累计随机事件发生次数的最基本的独立 增量过程。
3
一、泊松过程的定义
泊松过程是由法国著名数学家泊松(Poisson,
0
11
三、非齐次泊松过程
下面我们将从均值函数的层面解释非齐次泊松过程与齐次泊松过程 的不同之处: 在齐次泊松过程中,由于齐次性,即它的平稳增量过程,过程的 强度为λ,因此,在(s ,t+s)内,其均值为λt。 在非齐次泊松过程中,由于非齐次性,即强度函数的为λ(t),因 此: t 在(0 ,t)内,均值为 (t ) 0 ( s)ds 在 (0, t t ) 内,均值为:(t t )
非齐次泊松过程与复合泊松过程
4.7
n
对(4.7)式积分得
ln G(h, t , z ) - ln G(0, t , z ) ( z -1)
t h t
( x)dx
4.8
20
三、非齐次泊松过程
由非齐次泊松过程的定义知
mX (1: 30) - mX (0 : 30)
1:30 0:30
(5 5t )dt
15 2
知:在0:30时至1:30时无顾客到达商店的概率概率
p{ X (1: 30) - X (0 : 30) 0} e
15 2
(-
15 0 ) 15 2 e 2 0!
8:30至9:30有2000名乘客的数学期望是
t s +
0
(t )dt
因此,在(s ,t+s)内,均值为Λ(t+x)-Λ(x)=
t s +
s
(t )dt
12
三、非齐次泊松过程
在齐次泊松过程中,事件A在(s ,t+s)内发生n 次的概率P为: ( t ) n e- t P{X(t+s) –X(s)=n}= n ! ,n=0,1,2… 其中,t为数学期望,即均值。 因此,可以想象,在非齐次泊松过程中,事件 A在(x ,t+x)内发生n次的概率P为:
E[ X(t)] 由于λ= 单位时间内事A发生的平均个数, t
故称为此过程的速率或强度。
6
二、齐次泊松过程
齐次泊松过程的解释: 称计数过程{X(t),t≥0}为具有参数λ>0的泊松过程,若它 满足下列条件: ⑴X(0)=0; ⑵X(t)是独立、平稳增量过程; ⑶X(t)满足下列两式: P{X(t+h) -X(t)=1}=λh+o(h), P{X(t+h) -X(t)=2}=o(h). 以上定义说明,在充分小的时间间隔内,最多有一个事件 发生,而不能有两个或两个以上的事件同时发生。也就是 说,要么事件发生一次,要么事件不发生。这是泊松过程 的核心概念。
第三章 泊松(Poisson)过程
DN (t ) Var[ N (t )] t
E[
N (t ) ]. t
泊松过程的强度等于单位长时间间隔内发生的事件 数目的均值.
基础部张守成 2014年6月18日星期三
(2)
协方差函数:
C N ( s, t ) mins, t , s, t 0.
基础部张守成 2014年6月18日星期三
(1) 7时至9时为t(2,4],则由非齐次泊松过程的 性质可得7时至9时乘车人数的数学期望为
E[ N (4) N (2)] m(4) m(2)
( t )dt
2
4
(200 400t )dt 1400dt
2 3
3
4
由于Wn Ti , 利用矩母函数容易证明
i 1
n
Wn ~ (n, ), 即Wn具有概率密度
t ( t )n 1 ,t 0 e fWn ( t ) ( n 1)! 0 , t 0
基础部张守成 2014年6月18日星期三
二、泊松过程的推广
由于 N ( s, t ) N ( t ) N ( s) ~ ( (t s )) , (1) E[ N (t ) N ( s )] Var[ N (t ) N ( s )] (t s ).
令 s 0, 根据假设 N (0) 0 可得
均值函数: 方差函数:
P Yn 2 0.4,P Yn 3 0.4, P Yn 4 0.1.
设X (t)表示 [0, t )时间内移民到该地的人口数, 求在五周内移民到该地人口数的的期望和方差.
X ( t ) Yn 是复合泊松过程, 解: 由Yn的分布律可得
(完整版)复合泊松模型下破产概率估计
复合泊松模型---------- 破产概率估计要点词:复合泊松过程正态特色函数估计一、复合泊松过程的定义及性质1.泊松过程:满足以下三条件的随机过程 X={X(t),t ≥叫0}做泊松过程。
①P(X(0)=0)=1 。
②不订交区间上增量相互独立,即对所有 0≤ t1<t2< ⋯ <tn,X(t1),X(t2)-X(t1 〕,⋯,X(tn)-X(tn-1 〕相互独立。
③增量 X(t)-X(s) (t>s 〕的概率分布为泊松分布,即,式中Λ〔t〕为非降非负函数。
假设 X还满足④ X(t)-X(s 〕的分布仅依赖于 t-s,那么称 X为齐次泊松过程;这时Λ〔t)= λ,t式中常数λ>0称为过程的强度,由于EX(t)= Λ〔t)= λ,t λ等于单位时间内事件的平均发生次数。
非齐次泊松过程可经过时间尺度的变换变为齐次泊松过程。
对泊松过程,平时可取它的每个样本函数都是跃度为1 的左〔或右〕连续阶梯函数。
可以证明,样本函数拥有这一性质的、随机连续的独立增量过程必是泊松过程,所以泊松过程是描述随机事件累计发生次数的根本数学模型之一。
直观上,只要随机事件在不订交时间区间是独立发生的,而且在充分小的区间上最多只发生一次,它们的累计次数就是一个泊松过程。
在应用中好多场合都近似地满足这些条件。
比方某系统在时段 [0,t〕内产生故障的次数,一真空管在加热t 秒后阴极发射的电子总数,都可假设为泊松过程。
描述随机事件累计发生次数的过程平时称为计数过程〔见点过程〕。
一个简单而且局部有限的计数过程 {X(t〕,t ≥ 0,} 经常也可以用它依次发生跳跃〔即发生随机事件〕的时辰 {Tn,n≥ 1}来规定,即取 T0=0 ,Tn=inf{t:X(t 〕≥ n,} n≥ 1,而当 Tn<t≤ Tn+1时,X〔t〕=n。
假设以,表示 X(t〕发生相邻两次跳跃的时间间距,那么计数过程是齐次泊松过程的充分必要条件为{τ,n n≥ 1}是相互独立同分布的,且,其中λ为某一非负常数。
2-7复合Poisson过程
1
定义 2.7.1 设 Yi , i 1是独立与 Y 同分布的随机 变 量 序 列 , Nt, t 0 为 Poisson 过 程 , 且 Nt, t 0与Yi , i 1独立,记
N t
X t Yi , i 1
称 X t, t 0 为复合 Poisson 过程( compound
Poisson process).
2
例如Nt, t 0表示粒子流, Nt 表示0, t
内到达的粒子数,Yi 表示第 i 个到达粒子的能量,
则 X t 表 示 0, t 内 到 达 粒 子 的 总 能 量 . 若
Nt, t 0表示一顾客流, Yi 表示第 i 个到达的
顾客的行李重量,则 X t表示 0, t内到达的顾客
9
容易理解,X t可描述成批到达的“顾
客流”,即每次同时到达的顾客数是随机 的.它在排队系统中大有用场.
10
由复合 Poisson 的定义启发我们如何由一个简单的随机
过程产生一个较为复杂的随机过程.对简单的 Poisson 过
程 N t : t 0的每一点 Sn ,对应于一个辅助的随机变量 Yn ,n 1,通常称 Yn 为对应于点 Sn 的标值.当把对应于 时间区间 0, t 中所有点的辅助随机变量Yn (标值)叠加 就得到一个新的随机过程X t: t 0.如N t : t 0 为一般点过程,而 Yn : n 1为一般的随机序列,则称 X t: t 0为标准叠加过程.
行李的总重量.
3
又如某保险公司买了人寿保险的人在时刻 S1, S2,
死亡,在时刻 Sn 死亡的人的保险金额是Yn ,在 0, t内
死亡的人数记为 Nt ,则
N t
复合泊松过程
复合泊松过程
复合泊松过程
这个例⼦介绍了某种链式反应,或层叠过程模型。
原电⼦在电⼚加速后,碰撞极板,产⽣次级电⼦。
在多极电⼦倍增管⾥,每个次级电⼦撞击另外的极板,因此可以产⽣多个三级电⼦,这个过程按照此模式可以连狙⼏个阶段。
Woodward(1948)考虑如下的模型:单⼀电⼦冲击极板后产⽣的电⼦数是随机的,特别的,次级电⼦数服从泊松分布。
第三阶段产⽣的电⼦数由之前叙述的随机和刻画,其中N是次级电⼦的个数,X i是第i个次级电⼦产⽣的电⼦数。
假设X i是参数为λ的独⽴泊松随机变量,N是参数为µ的泊松随机变量。
根据之前的结果,所有粒⼦数S的矩⽣成函数是M s(t)=exp[µ(λ(exp(t)−1)−1)]
推导过程
总结
记住分布列的优点善于利⽤这些级数求和为1
矩母函数在计算矩的过程中有很⼤优势
在上⽂提到的例⼦中,第三个阶段粒⼦数的概率质量函数很难计算,通过微分矩母函数可以得到这个概率质量函数的矩进⽽计算期望⽅差等⼀系列表征量来了解这⼀过程。
Processing math: 100%。
3-4复合泊松过程
E [X (t )] = l t E [ Y 1 ], D [X (t )] = l t E [ Y ].
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应用实例
例:某刊物邮购部的顾客数是平均速率为6 人/天的泊松过程,每人订阅报刊所花手续 费分别为1元、2元、3元的概率分别为1/2, 1/3, 1/6,以X (t ) 记 [0, t ] 上总共的手续费, 求X (t ) 的期望和方差。 解:E (Y 1 ) = 1?
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应用举例
例3.10 设N (t ) 是在时间段(0,t]内来到某商 店的顾客人数, {N (t ), t ³ 0} 是泊松过程。 若 Y k 是第k个顾客在商店所花的钱数,则 {Y k , k = 1, 2, L } 是独立同分布随机变量序 列,且与 {N (t ), t ³ 0}独立。记X(t)为该商 店在(0,t]时间内的营业额,则
N (t )
X (t ) =
å
Y k,
t ? 0
k= 1
则称 {X (t ), t ³ 0} 为复合泊松过程。 复合泊松过程是泊松过程吗?
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3.4 复合泊松过程
注:复合泊松过程不一定是泊松过程。若 Y k º 1 ,此时
X (t ) = N (t )
则 {X (t ), t ³ 0} 就是通常的泊松过程。
第三章 泊松过程
1
2 3
泊松过程的定义和例子
泊松过程的基本性质 非齐次泊松过程 复合泊松过程
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3.4 复合泊松过程
定义3.5 设{N (t ), t ³ 0} 是强度为λ的泊松 过程, {Y k , k = 1, 2, L } 是一列独立同分布的 随机变量,且与 {N (t ), t ³ 0} 独立,令
第4讲第三章泊松过程
k 1
n
et EDk E[eWk N (t) n](Dk 与N(t), Wk相互独立) k 1
n
et ED1 E[eWk N (t) n]
k 1
n
E(D1)et E[ eWk N (t) n]
k 1 n
E(D1)et E[
eUk ]
(根据定理3.4 )
k 1
E(D1)et E[ n eUk ] nE(D1)et E(eU1 ) k 1
注: 复合poisson过程 X(t)是包含泊松过程的一 个复合模型,通常不是泊松过程。
N (t)
定理3.6 设 X (t) 是Y复n ,t合 0泊松过程 n1
其中{N( t ),t≥0}是强度为λ的泊松过程,Yn,n=1, 2, …相互独立且同分布,则
1) {X( t ),t≥0 }是独立平稳、增量过程
P{N(s)=k | N(t)=n}, 0<k<n,0<s<t
证明:
P{N(s)=k | N(t)=n}
PN (s) k, N (t) n
P{N (t) n}
PN (s) k, N (t) N (s) n k
P{N (t) n}
PN (s) k PN (t) N (s) n k
当过程的到达率随时间而变化, 此假设就不合理 了.
若过程的增量平稳条件不满足,到达率随时间改变, 设到达率为时间函数λ( t ),则引入非齐次泊松过程概念:
定义:如果计数过程满足下列条件 1)N(0)=0; 2){N( t ),t≥0 }是一个独立增量过程;
3) P{N(t t) N(t) 1} (t)t o(t);
N (t)
iu Yk E e k 1
§2.5复合泊松过程
二、复合泊松过程的性质
定理1:
设 X ( t ) Y , t 0 是复合泊松过程,则 {X(t),t0}是独立增量过程。
k k 1 N (t )
证明: 令 0 t 0 t1 t 2 t m,则
X ( t k ) X ( t k 1 )
k k 1
Y
N (t )
Y
E [ X ( t )] tE [Y1 ], D [ X ( t )] tE [Y1 ]
2
全数学期望公式: E[X]=E[E(X/Y)]
例2:设 { X ( t ) Y , t 0 } 是复合泊松过程,已 知 5 , Y i 服从指数分布。
N (tk )
i i N ( t k 1 ) 1
Y
, k 1, 2 , , m
由题设条件易证{X(t),t≥0}具有独立增量性。
定理2:
设 X ( t ) Y , t 0 是复合泊松过程,则 t [ ( u ) 1 ] (1)X(t)的矩母函数 X ( t ) ( u ) e 其中,是事件的到达率, (u ) 是随机 变量 Y i 的矩母函数; 2 E (Y1 ) ,则 (2)若
第五节第五节复合泊松复合泊松poissonpoisson过程过程本节学习的主要内容一一一一复合泊松过程的定义复合泊松过程的定义复合泊松过程的定义复合泊松过程的定义二复合泊松过程的性质二复合泊松过程的性质三复合泊松过程的应用三复合泊松过程的应用一复合泊松过程的定义一复合泊松过程的定义定义
第五节
复合泊松(Poisson)过程
i i 1
N (t )
求:E[X(t)],D[X(t)]与矩母函数 X ( t )公司接到索赔 的次数N(t)是以平均2次/月的速率的泊松 过程,每次索赔的金额是相互独立且服从 同一分布的随机变量序列,并且索赔的金
复合泊松过程.ppt
由题设条件易证{X(t),t≥0}具有独立增量性。
定理2:
设 N (t)
X (t) Yk , t 0
是复合泊松过程,则
k 1
(1)X(t)的矩母函数
X (t) (u)
et[Y
( u )1]
其中,是事件的到达率,Y (u) 是随机
变量 Yi 的矩母函数; (2)若 E(Y12 ) ,则
E[ X (t)] tE[Y1], D[ X (t)] tE[Y12 ]
第五节 复合泊松(Poisson)过程
本节学习的主要内容
一、复合泊松过程的定义 二、复合泊松过程的性质 三、复合泊松过程的应用
一、复合泊松过程的定义
定义:设{N(t),t0}是强度的泊松过程, {Yk ,k=1,2,}是一族独立同分布随机变量, 且与{N(t),t0}独立,令
N (t)
X (t) Yk , t 0 k 1
则称{X(t),t0}为复合泊松过程。
条件:
(1)存在一个泊松过程和一个随机变量序列; (2)随机变量序列是相互独立,且服从同一分布; (3)随机变量序列与泊松过程是相互独立。
例1:假设N(t)是在时间(0,t]内来到某商
店的顾客数,每个顾客购买商品的概率
为p,且与其它顾客是否购买商品无关。
问:在时间(0,t]内购买商品的顾客数是
否复合泊松过程?
二、复合泊松过程的性质
定理1: N (t)
设 X (t) Yk , t 0 是复合泊松过程,则 k 1
{X(t),t0}是独立增量过程。
证明: 令 0 t0 t1 t2 tm,则
N (tk )
X (tk ) X (tk1)
Yi , k 1,2,, m
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电子信息与通信工程学院实验报告实验名称非其次泊松过程课程名称随机信号分析姓名顾康学号U*********日期 6.13地点南一楼成绩教师董燕1.题目Consider the nonhomogeneous Poisson process with its intensity function spectified in Example2.3.6. (a) Write a MATLAB program to generate (stimulate) the first eighty arrival times. (b) Given t=8(hours),write a Matlab program to generate N(8) and then the arrival times in the interval(0,8],draw the respective histograms showing hour5y arrival counts.(a)由定理设λ(t)≤λ,其中λ为一常数,而s1,s2,…,sn,…为参数λ的齐次泊松过程的事件发生的时刻,对每个si,以概率λ(si)/λ进行保留,以概率1-λ(si)/λ舍弃,由此得到的序列s(1),s(2),…,s(n),…是强度为λ(t)的非齐次泊松过程事件发生的时刻。
证明显然,s(1),s(2),…,s(n),…是s1,s2,…,sn,…的稀疏。
设A={非齐次泊松过程N(t)在(t,t+h]中有一个事件发生},B={齐次泊松过程N(t)在(t,t+h]中有一个事件发生},则有P(AB)=P(B)P(A|B)=(λh+o(h))λ(t)/λ = λ(t)h+o(h),由此可知从s1,s2,…,sn,…中选出的序列s(1),s(2),…,s(n),….满足非其次泊松过程的性质。
根据定理,先产生齐次泊松过程事件发生的时刻,再按概率稀疏就得到非齐次泊松过程事件发生时刻,步骤如下.(1)产生参数λ的齐次泊松过程的T前事件发生的时刻s1,s2,…,sn.( 2 )产生(0,1)上的随机数xi,若xi≤λ(si)/λ,保留si,否则舍弃si.(3)将保留的si,分别记为s(1),s(2),…,s(k)并输出即可.(a). CODEsyms t namdanamda=8.924-1.584*cos(pi*t/1.51)+7.897*sin(pi*t/3.02)-10.434*cos(pi*t/4.53)+4.293*cos(pi*t/6 .04);size=1000;%产生{s}的多少times=80; %到达次数y=zeros(1,size);z=zeros(1,times);T=zeros(1,times);mu=34;for i=1:1:sizex=rand(1);y(i)=-log(x)./mu;%产生{s}endfor i=1:1:timesfor j=1:1:sizex=rand(1);temp=subs(namda,'t',8+y(j));if x< temp/mu%筛选过程z(i)=y(j);Break;endendendT(1)=0;for k=1:1:timesfor i=2:kT(i)=T(i-1)+z(i);endendX=1:1:80;(b)关于产生N(8),只需应用公式:P{N(t)=n}=exp(-λt)* (λt)^n/n!而关于在(0,8]内的到达次数,原理与(a)相同,只需修改代码的边界条件。
(b).code partⅠtimes=8;z=zeros(1,100);for j=1:1:80;mu=int(namda,0,j/10);z(j)=exp(-mu)*(mu)^times/factorial(times);endplot(z)set(handles,'xtick',0:0.1:10);(b).code part Ⅱsyms t namdanamda=8.924-1.584*cos(pi*t/1.51)+7.897*sin(pi*t/3.02)-10.434*cos(pi*t/4.53)+4.2 93*cos(pi*t/6.04);size=1000;%产生{s}的多少times=300;%更改到达次数y=zeros(1,size);z=zeros(1,times);T=zeros(1,times);mu=20;for i=1:1:sizex=rand(1);y(i)=-log(x)./mu;%产生{s}endfor i=1:1:timesfor j=1:1:sizex=rand(1);temp=subs(namda,'t',8+y(j));if x< temp/mu%筛选过程z(i)=y(j);breakendendendT(1)=0;for k=1:1:timesfor i=2:kT(i)=T(i-1)+z(i);endendplot(T)axis([0 200 0 8]);%限制时间[0,8]2.题目Consider the problem described in Example 2.3.9.Suppose mow that we have two identical HP computers to handle the incoming traffic.Assume that the service time of each computer is exponential with a rate of 3.5 per hour(so the aggregate total service rate is still 7 per hour ).Again we assume that there are 3 waiting spaces.A waiting customer will be served ny the first computer that becomes free on a first-come-first-served pute the loss probabilities as a function of time t over the interval (0,8].Plot your result s and compsre them agianst those shown in Figure 2.7.2.1基于之前的例题,可以确定解题思路是构造关于Pn(t)的隐式方程组。
注意到该题条件的特殊性在于有两台处理器同时工作。
例2.3.6的推导过程可以借鉴:Po(t+h)=P{X(t+h)=0}=∑P{X(t)=k,X(t+h)=0}. (1)随后将右式展开Po(t+h)=Po(t)[1-λ(t)+o(h)]+P1(t)[μh+o(h)]+o(h)=Po(t)[1-λ(t)]+P1(t)μh+o(h)随后等式两端同减Po(t),并除以h得Po’(t)=- λ(t)Po(t)+ μP1(t) (2)注意到这里S=2,将1式推广至n:当1<n≤S,P n(t+h)=P{X(t+h)=n}=∑P{X(t)=k,X(t+h)=n} (3)展开3式P n(t+h)=P n-1(t)[λ(t)h+o(h)]+P n(t) [1-λ(t)h-nμh+o(h)]+P n+1(t) [(n+1)μh+o(h)]+o(h).再应用2式相同的方法P’n(t+h)=λ(t)P n-1(t)+(n+1)μhP n+1(t)- [λ(t)+nμ]P n(t) 1<n≤S, P’n(t+h)=λ(t)P n-1(t)+sμhP n+1(t)- [λ(t)+sμ]P n(t) n>S最终得到了我需要的用以构建隐式方程组的递推公式基于以上结论,我以矩阵形式构造了方程组,并利用matlab ode45 解出了{P}.2.2CODEfunction y=random3()%主函数y0=[1,0,0,0,0,0];[t,y]=ode45(@odefun,[0,8],y0);%四阶-五阶Runge-Kutta算法plot(t,y(:,6));%从矩阵中取得我关心的P5xlabel('t');ylabel('loss probability');title('P5');Endfunction dx=odefun(t,x)%构造隐式方程组,子函数namda=8.924-1.584*cos(pi*t/1.51)+7.897*sin(pi*t/3.02)-10.434*cos(pi*t/4.53)+4.2 93*cos(pi*t/6.04);mu=3.5;%exponetial rateB=[ x(1),x(2),x(3), x(4), x(5),x(6)];C=[-namda, mu , 0 , 0 , 0 ,0 ;namda,-(namda+mu),2*mu,0,0,0;0,namda,-(namda+2*mu),2*mu,0,0;0, 0 ,namda,-(namda+2*mu),2*mu,0;0, 0 , 0, namda,-(namda+2*mu),2*mu;0, 0 , 0, 0, namda, -2*mu ];dx=C*B';%复杂的方程组简化为矩阵运算end8am 4pm传播优秀Word版文档,希望对您有帮助,可双击去除!8pm 4pm 对比λ(t) 与 P5,峰值同样在相近的时间达到参考文献:1.《非齐次泊松过程的仿真方法》-宁如云-----精心整理,希望对您有所帮助!。