高等数学微积分公式大全

高等数学完整版计算公式

一、0

101101lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m

−−→∞⎧=⎪⎪+++⎪

=<⎨+++⎪∞>⎪⎪⎩

（系数不为0的情况）

二、重要公式（1）0sin lim 1x x

x

→= （2）()1

0lim 1x x x e →+= （3

）)1n a o >=

（4

）lim 1n →∞

= （5）lim arctan 2

x x π

→∞

=

（6）lim tan 2

x arc x π

→−∞

=−

（7）lim arccot 0x x →∞

= （8）lim arc cot x x π→−∞

= （9）lim 0x

x e →−∞

=

（10）lim x x e →+∞

=∞ （11）0

lim 1x

x x +

→=

三、下列常用等价无穷小关系（0x

→）

sin x x ∼ tan x x ∼ arcsin x x ∼ arctan x x ∼ 2

11cos 2

x x −∼

()ln 1x x +∼ 1x e x −∼ 1ln x a x a −∼ ()11x x ∂

+−∂∼

四、导数的四则运算法则

()u v u v ′′′±=± ()uv u v uv ′′′=+ 2u u v uv v v ′′′−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠

五、基本导数公式

⑴()0c ′= ⑵1

x x

μ

μμ−= ⑶()sin cos x x ′=

⑷()cos sin x x ′=− ⑸()2

tan sec x x ′= ⑹()2

cot csc x x ′=− ⑺()sec sec tan x x x ′=⋅ ⑻()csc csc cot x x x ′=−⋅ ⑼()x

x

e

e

′= ⑽()ln x

x

a

a

a ′= ⑾()1

ln x x

′=

⑿(

)

1log ln x

a

x a ′=

⒀(

)arcsin x ′= ⒁(

)arccos x ′=⒂()21arctan 1x x ′=

+ ⒃()2

1arccot 1x x

′=−+⒄()1x ′=

⒅

′

=

六、高阶导数的运算法则 （1）()()()

()

()

()()

n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()

()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦

（3）()()()

()n n n

u ax b a u

ax b +=+⎡⎤⎣⎦

（4）()()()

()

()()()0

n

n n k k k n k u x v x c u x v x −=⋅=⎡⎤⎣⎦∑

七、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()

()

!n n

x

n = （2）()

()

n ax b n ax b e a e ++=⋅ (3)()

()

ln n x x n a a a =

(4)()()

sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛

⎞+=++⋅⎡⎤⎜⎟⎣⎦

⎝⎠

(5) ()()

cos cos 2n n ax b a ax b n π⎛

⎞+=++⋅⎡⎤⎜⎟⎣⎦

⎝

⎠

(6)()

()

()

1

1!

1n n n

n a n ax b ax b +⋅⎛⎞

=−⎜⎟+⎝⎠

+ (7) ()()

()

()()

1

1!

ln 1n n n n

a n ax

b ax b −⋅−+=−⎡⎤⎣⎦

+

八、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1

d x

x

dx μ

μμ−= ⑶()sin cos d x xdx =

⑷()cos sin d x xdx =− ⑸()2

tan sec d x xdx = ⑹()2

cot csc d x xdx =− ⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =−⋅ ⑼()x

x

d e

e dx = ⑽()ln x

x

d a a

adx = ⑾()1ln d x dx x

=

⑿(

)1

log ln x

a

d dx x a

= ⒀(

)arcsin d x dx = ⒁(

)arccos d x =

⒂()21arctan 1d x dx x =

+ ⒃()2

1

arc cot 1d x dx x =−+

九、微分运算法则

⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu =