23等差数列的前n项和

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等差数列的前n项和课件

典例导悟
类型一等差数列前n项和公式的基本运算 [例1] 分别按等差数列{an}的下列要求计算： (1)已知a1 005＝411，求S2 009； (2)已知d＝2，S100＝10 000，求an.
[分析] 由题目可获取以下主要信息： ①a1＋a2 009＝2a1 005；②an＝a1＋(n－1)d. 解答本题要紧扣等差数列的求和公式的两种形式，利用等差数列的性质解题．
[解] (1)∵a1＋a2 009＝2a1 005，
∴S2
009＝2
009a1＋a2 2
009＝2
009a1
005＝2
009×411＝49.
(2)由S100＝100a1＋
100×100－1 2
×2＝10
000，解得a1
＝1.
∴an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
[点评] a1，n，d称为等差数列的三个基本量，an和Sn 都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，n，d，an，Sn中可知三求二．即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n项和公式联立得方程(组)求解，这种方法是解决数列问题的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．
(2)当已知首项a1，末项an，项数n时用公式Sn＝
na1＋an 2
求和，用此公式时，有时要结合等差数列的性
质．
(3)当已知首项a1，公差d及项数n时，用公式Sn＝na1＋ nn－2 1d求和．
4．数列前n项和Sn与通项an的关系是怎样的？
提示：∵Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an， ∴Sn－1＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1(n≥2)．在n≥2的条件下，把上面两式相减可得an＝Sn－Sn－ 1(n≥2)，当n＝1时，a1＝S1，所以an与Sn有如下关系： an＝SS1n，－nS＝ n－11，，n≥2.

2.3等差数列的前n项和(一)

§2.3 等差数列的前n 项和(一)学习目标 1.掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路(重点)；2.经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思；3.熟练掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 的关系，能够由其中三个求另外两个(重、难点).预习教材P42－43完成下列问题：知识点一数列a n 与前n 项和S n 的关系 1.数列的前n 项和的概念一般地，我们称a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 为数列{a n }的前n 项和，用S n 表示，即S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n .2.数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系当n ≥2时，有S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，S n －1＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1，所以S n －S n －1＝a n ；当n ＝1时，a 1＝S 1.综上可得a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.【预习评价】1.利用数列的前n 项和S n 求数列的通项公式时，能不能直接运用S n －S n －1＝a n 求解？提示不能.因为当n ＝1时，S 1－S 0没有意义. 2.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，怎样求a 1，a n? 提示 a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，又n ＝1时也适合上式，所以a n ＝2n －1，n ∈N *.知识点二等差数列的前n 项和公式 1.等差数列的前n 项和公式2.两个公式的关系：把a n ＝a 1＋(n －1)d 代入S n ＝1n 2中，就可以得到S n＝na 1＋n （n －1）2d .【预习评价】1.高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和.如果是求1＋2＋3＋…＋n ，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？提示不知共有奇数项还是偶数项导致不能配对.但我们可以采用倒序相加来回避这个问题：设S n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ，又S n ＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1，∴2S n ＝(1＋n )＋[2＋(n －1)]＋…＋[(n －1)＋2]＋(n ＋1)， ∴2S n ＝n (n ＋1)，∴S n ＝n （n ＋1）2.2.能否用“倒序相加法”求首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和S n 呢？提示由上节课学到的性质：在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和.即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝….“倒序相加法”可以推广到一般等差数列求前n 项和，其方法如下： S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＋a n＝a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋…＋[a 1＋(n －2)d ]＋[a 1＋(n －1)d ]；S n ＝a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a 2＋a 1＝a n ＋(a n －d )＋(a n －2d )＋…＋[a n －(n －2)d ]＋[a n －(n －1)d ]. 两式相加，得2S n ＝(a 1＋a n )×n ，由此可得等差数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2.根据等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，代入上式可得S n ＝na 1＋n （n －1）2d .知识点三等差数列前n 项和的性质 1.若数列{a n }是公差为d的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d2.2.若S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，公差为m 2d .3.设两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.4.若等差数列的项数为2n ，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)， S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n. 5.若等差数列的项数为2n ＋1，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1， S 偶－S 奇＝－a n ＋1，S 偶S 奇＝nn ＋1.【预习评价】1.数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( ) A .－2 B.－1 C .0D.1解析等差数列前n 项和S n 的形式为S n ＝an 2＋bn ，∴λ＝－1. 答案 B2.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5＝( )A .1 B.－1 C.2D.12解析由于S 2n －1＝(2n －1)a n ，则， S 9S 5＝9a 55a 3＝95×59＝1. 答案 A题型一数列的前n 项和S n 与通项a n 之间的关系【例1】已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝na 1＋12n (n －1)d (d 为常数).求证：数列{a n }是等差数列.证明根据S n ＝na 1＋12n (n －1)d ， a n ＋1＝S n ＋1－S n＝(n ＋1)a 1＋12(n ＋1)[(n ＋1)－1]·d －⎣⎢⎡⎦⎥⎤na 1＋12n （n －1）d＝a 1＋nd .① 当n ＞1时， a n ＝S n －S n －1＝na 1＋12n (n －1)d －⎣⎢⎡⎦⎥⎤（n －1）a 1＋12（n －1）（n －2）d＝a 1＋(n －1)d ，当n ＝1时，a 1＝S 1，适合此式. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d (n ∈N *).∴a n ＋1－a n ＝(a 1＋nd )－[a 1＋(n －1)d ]＝d (常数)，对任意n ∈N *成立. ∴数列{a n }是等差数列.规律方法已知前n 项和S n 求通项a n ，先由n ＝1时，a 1＝S 1求得a 1，再由n ≥2时，a n ＝S n －S n －1求a n ，最后验证a 1是否符合a n ，若符合则统一用一个解析式表示.【训练1】已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋12n ，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解根据S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n 可知S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1(n ＞1)，当n ＞1时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤（n －1）2＋12（n －1）＝2n －12，① 当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12×1＝32，也满足①式.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －12.由此可见：数列{a n }是以32为首项，2为公差的等差数列.题型二等差数列前n 项和的有关运算【例2】在等差数列{a n }中， (1)a 1＝56，a n ＝－32，S n ＝－5，求n 和d ；(2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d .解 (1)由题意得，S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫56－322＝－5，解得n ＝15.又a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16.∴n ＝15，d ＝－16.(2)由已知得S 8＝8（a 1＋a 8）2＝8（4＋a 8）2＝172，解得a 8＝39，又∵a 8＝4＋(8－1)d ＝39，∴d ＝5. ∴a 8＝39，d ＝5.规律方法等差数列中基本计算的两个技巧(1)利用基本量求值.(2)利用等差数列的性质解题.【训练2】在等差数列{a n }中， (1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 10； (2)已知a 3＋a 15＝40，求S 17.解(1)⎩⎨⎧S 5＝5a 1＋5×42d ＝5，a 6＝a 1＋5d ＝10，解得a 1＝－5，d ＝3. ∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16，S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×(－5)＋5×9×3＝85.(2)S 17＝17×（a 1＋a 17）2＝17×（a 3＋a 15）2＝17×402＝340.【例3】 (1)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( ) A.13 B.35 C.49D.63(2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别是S n 和T n ，已知S n T n ＝7n n ＋3，则a 5b 5等于( )A.7B.23 C.7013 D.214(3)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，则数列{S nn }的前10项的和为________.解析 (1)S 7＝72(a 1＋a 7)＝72(a 2＋a 6)＝72(3＋11)＝49. (2)a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝S 9T 9＝7×99＋3＝214.(3)∵S n ＝n （3＋2n ＋1）2＝n (n ＋2).∴S nn ＝n ＋2，∴数列{S nn }是以首项为3，公差为1的等差数列，∴{S nn }的前10项和为10×3＋10×92×1＝75. 答案 (1)C (2)D (3)75【迁移1】已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n (n >1)项和分别是S n 和T n ，且S n ∶T n ＝(2n ＋1)∶(3n －2)，求a 9b 9的值.解法一 a 9b 9＝2a 92b 9＝a 1＋a 17b 1＋b 17＝a 1＋a 172×17b 1＋b 172×17＝S 17T 17＝2×17＋13×17－2＝3549＝57. 法二 ∵数列{a n }，{b n }均为等差数列， ∴S n ＝A 1n 2＋B 1n ，T n ＝A 2n 2＋B 2n . 又S n T n ＝2n ＋13n －2，∴令S n ＝tn (2n ＋1)，T n ＝tn (3n －2)，t ≠0，且t ∈R . ∴a n ＝S n －S n －1＝tn (2n ＋1)－t (n －1)(2n －2＋1) ＝tn (2n ＋1)－t (n －1)(2n －1)＝t (4n －1)(n ≥2)， b n ＝T n －T n －1＝tn (3n －2)－t (n －1)(3n －5) ＝t (6n －5)(n ≥2).∴a n b n ＝t （4n －1）t （6n －5）＝4n －16n －5， ∴a 9b 9＝4×9－16×9－5＝3549＝57. 【迁移2】已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别是S n 和T n ，且a n ∶b n ＝(2n ＋1)∶(3n －2)，则S 9T 9＝________.解析 ∵{a n }，{b n }均为等差数列，则S 9T 9＝9a 59b 5＝2×5＋13×5－2＝1113.答案1113规律方法等差数列前n 项和运算的几种思维方法(1)整体思路：利用公式S n ＝n （a 1＋a n ）2，设法求出整体a 1＋a n ，再代入求解.(2)待定系数法：利用S n 是关于n 的二次函数，设S n ＝An 2＋Bn (A ≠0)，列出方程组求出A ，B 即可，或利用S n n 是关于n 的一次函数，设S nn ＝an ＋b (a ≠0)进行计算. (3)利用S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列进行求解.课堂达标1.在等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 1＋a 10的值是( ) A.12 B.24 C.36D.48解析 S 10＝10（a 1＋a 10）2＝5(a 1＋a 10)＝120，∴a 1＋a 10＝24. 答案 B2.记等差数列前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 等于( ) A.2 B.3 C.6D.7解析法一由⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝2a 1＋d ＝4，S 4＝4a 1＋6d ＝20，解得d ＝3.法二由S 4－S 2＝a 3＋a 4＝a 1＋2d ＋a 2＋2d ＝S 2＋4d ，所以20－4＝4＋4d ，解得d ＝3. 答案 B3.等差数列{a n }的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为( ) A.5 B.6 C.7D.8解析由题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝124， a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝156， ∴4(a 1＋a n )＝280， ∴a 1＋a n ＝70.又S ＝n （a 1＋a n ）2＝n2×70＝210，∴n ＝6.答案 B4.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －48，则S n 取得最小值时，n 为________. 解析 ∵a 24＝0，∴a 1<0，a 2<0，…，a 23<0，故S 23＝S 24最小. 答案 23或245.已知等差数列{a n }中，(1)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n ； (2)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d . 解 (1)∵S n ＝n ×32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×n （n －1）2＝－15，整理得n 2－7n －60＝0，解之得n ＝12或n ＝－5(舍去).(2)由S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （1－512）2＝－1 022，解之得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ，即－512＝1＋(4－1)d ，解之得d ＝－171.课堂小结1.求等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到.2.等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量，在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：若m ＋n ＝p ＋q ，则a n ＋a m ＝a p ＋a q (n ，m ，p ，q ∈N *)，若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p .3.本节基本思想：方程思想、函数思想、整体思想、分类讨论思想.基础过关1.已知等差数列{a n }中，a 2＋a 8＝8，则该数列的前9项和S 9等于( ) A.18 B.27 C.36D.45解析 S 9＝92(a 1＋a 9)＝92(a 2＋a 8)＝36. 答案 C2.等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d 等于( )A.12B.2C.14D.4解析由题意得：10a 1＋12×10×9d ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫5a 1＋12×5×4d ，∴10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ， ∴10a 1＝5d ，∴a 1d ＝12.答案 A3.已知等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n ＜0，则S 10为( )A.－9B.－11C.－13D.－15解析由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9得(a 3＋a 8)2＝9，∵a n ＜0，∴a 3＋a 8＝－3，∴S 10＝10（a 1＋a 10）2＝10（a 3＋a 8）2＝10×（－3）2＝－15. 答案 D4.在一个等差数列中，已知a 10＝10，则S 19＝________.解析 S 19＝19（a 1＋a 19）2＝19（a 10＋a 10）2＝19a 10＝19×10＝190. 答案 1905.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________. 解析设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由6S 5－5S 3＝5，得3(a 1＋3d )＝1，所以a 4＝13. 答案 136.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，求a 9. 解设等差数列的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝3，即a 1＋d ＝1，S 6＝6a 1＋6×52d ＝6a 1＋15d ＝24，即2a 1＋5d ＝8.由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，2a 1＋5d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝2.故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15.7.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 10＝100，S 100＝10，求S 110. 解法一设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，∵S 10＝100，S 100＝10，∴⎩⎨⎧10a 1＋10（10－1）2d ＝100，100a 1＋100（100－1）2d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1 099100，d ＝－1150. ∴S 110＝110a 1＋110（110－1）2d ＝110×1 099100＋110×1092×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1150＝－110. 法二 ∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100，…成等差数列，设公差为d ，∴该数列的前10项和为10×100＋10×92d ＝S 100＝10，解得d ＝－22，∴前11项和S 110＝11×100＋11×102×(－22)＝－110.能力提升8.在等差数列{a n }中，前四项之和为20，最后四项之和为60，前n 项之和是100，则项数n 为( )A.9B.10C.11D.12解析由题意及等差数列的性质可得4(a 1＋a n )＝20＋60＝80，∴a 1＋a n ＝20.∵前n 项之和是100＝n （a 1＋a n ）2，解得n ＝10，故选B. 答案 B9.等差数列{a n }中，已知前15项的和S 15＝90，则a 8等于( )A.452B.12C.6D.454解析在等差数列{a n }中， ∵S 15＝90，由S 15＝15a 8＝90，得a 8＝6.故选C.答案 C10.已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝43，则S 9等于________.解析由等差数列的求和公式可得：S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9（a 2＋a 8）2＝9×432＝6. 答案 611.含2n ＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为________.解析 S 奇＝（n ＋1）（a 1＋a 2n ＋1）2，S 偶＝n （a 2＋a 2n ）2. ∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴S 奇S 偶＝n ＋1n . 答案 n ＋1n12.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝32n －n 2＋1，(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前多少项和最大.解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝32－1＋1＝32；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(32n －n 2＋1)－[32(n －1)－(n －1)2＋1]＝33－2n ；所以：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧32，n ＝1，33－2n ，n ≥2；(2)S n ＝32n －n 2＋1＝－(n 2－32n )＋1＝－(n －16)2＋162＋1；所以，前16项的和最大.13.(选做题)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝6n ＋5(n ∈N *)，数列{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{a n }的前n 项和；(2)求数列{b n }的通项公式. 解 (1)∵a n ＝6n ＋5(n ∈N *)， ∴a n ＋1－a n ＝[6(n ＋1)＋5]－(6n ＋5)＝6(n ∈N *). ∴数列{a n }是以公差为6的等差数列. 又∵a 1＝11，∴数列{a n }的前n 项和：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n [11＋（6n ＋5）]2＝3n 2＋8n . (2)∵a n ＝b n ＋b n ＋1， ∴a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3. ∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋b 2＝11，b 2＋b 3＝17. 设数列{b n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧2b 1＋d ＝11，2b 1＋3d ＝17，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，d ＝3. ∴数列{b n }的通项公式：b n ＝3n ＋1.。

等差数列前n项和(公开课)PPT课件

几何等领域。
组合数学
等差数列的前n项和公式可以应用于组合数学中，解决一些组合问题，如计算组合数的公式等。
数列求和
等差数列的前n项和公式是数列求和的一种重要方法，可以用于
解决等差数列的求和问题。
在物理中的应用
力学
在物理学中，等差数列的前n项和公式可以应用于求解一些力学问题，如计算多自由度振动的周期等。
简化计算
等差数列的前n项和公式在日常生活和科学研究中有着广泛的应用，如计算存款利息、解决生产计划问题等。
对于一些较大的等差数列，使用前n 项和公式可以大大简化计算过程，提高计算效率。
验证答案
使用前n项和公式可以快速验证一些等差数列求和问题的答案，确保计算的准确性。
实例解析
简单实例
例如，一个等差数列1, 4, 7, 10... ，使用前n项和公式可以快速求出
统计学
在统计学中，等差数列的前n项和公式可以用于计算平均值、中位数等统计指标。
信号处理
在信号处理中，等差数列的前n项和可以用于计算信号的频谱、滤波等操作。
在计算机科学中的应用
数据结构
在计算机科学中，等差数列的前n项和公式可以应用于一些数据结构的设计，如数组、链表等。
算法设计
等差数列的前n项和公式可以用于设计一些算法，如排序算法、查找算法等。
详细描述
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻的项之间的差是一个固定的值，这个值被称为公差。等差数列的通项公式为 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项，a_1 是首项，d 是公差。
性质
总结词
等差数列具有一些重要的性质，包括对称性、中项性质和等差中项性质等。

等差数列前n项和(公开课)PPT课件

数学建模
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模，例如在解决一些实际问题时，可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型，从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中，有些物理量呈等差数列分布，例如光的波长、音阶的频率等，等差数列的前n项和公式可以用于计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中，有些级数的求和问题可以用等差数列的前n项和公式来解决，例如在求解一些物理问题的近似解时，可以利用等差数列的前n项和来简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中，有些投资组合的收益呈等差数列分布，例如定期存款、基金定投等，等差数列的前n项和公式可以用于计算这些投资组合的总收益。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指从第一项到第n项的所有项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和，n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n，前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
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汇报人：可编辑
2023-12-23
CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列，其中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法

7.等差数列的前n项和 -

分析：(1)由通项公式表示出an；求n的取值范围． (2)利用求和公式表示出关于n的关系式．解析：(1)∵a1＝30，d＝－0.6， ∴an＝30－0.6(n－1)＝－0.6n＋30.6，令－0.6n＋30.6≤0，则n≥＝51. 由于n∈N*，故当n＞51时，an＜0，即从第52项起以后各项均小于0.
1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10，则S6等于 ( )
A．12
C．24 答案：C
B．18
D．42
2．已知一个等差数列 {an } 前10项的和是310，前20项的和是1220.求前30项的和
a1 a2 a10 a11 a12 a20 a21 a22 a30
巩固练习：
1. 3 ．一个有 11 项的等差数列，奇数项之和为 30，则它的
中间项为( D ) A．8 B ．7 C．6 D．5
2．一个等差数列共有2n＋1项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项为( c ) A．30 B．31 C．32 D．33
3．等差数列{an}的公差d＝1/2 且S100＝145，则a1＋a3＋a5＋…＋a99的值为( A．52.5 B．72.5
，
10a1＋45d＝35 a1＝－10 即，解得 . 22a1＋231d＝473 d＝3
nn－1 nn－1 3 ∴ Sn＝ na1＋ d＝－ 10n＋ ×3 ＝ 2 2 2 23 n － n. 2
2
2．等差数列前n项和的性质
(1)数列{an}是公差为 d
d 列，且公差为 2 .
3．等差数列前n项和Sn的最值求法等差数列的前n项和的最值问题一般采用二次函数配方法解决，要特别注意n为正整数，当配方后对称轴不是正整数时，它一定在两个正整数中间，离哪个较

2.3等差数列的n项和公式

复习
1．等差数列{an}
核心知识点
(1)定义式：an＋1－an＝d 或 an－an-1＝d (n>1，d 为常数)． (2)通项公式：an＝a1＋(n－1)d . (3)等差中项公式：2an＝an－1＋an＋1(n∈N＋，n≥2)． (4)性质：①an＝am＋ (n－m)d
ab 若a，A，b成等差数列， 2 A a b或A 则 2
一般地，我们称a1 a2 a3 an为数列an 的前n项和.
数列的前n项和
记作：Sn a1 a2 a3 an
如：S5 a1 a2 a3 a4 a5 S10 a1 a2 a3 a10 Sn-1 a1 a2 a3 an（n>1) -1
高斯（1777---1855），德国数学家、物理学家和天文学家。他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。有“数学王子”之称。
求 S=1+2+3+···+100=？ ··· 高斯算法：
首项与末项的和：
第2项与倒数第2项的和：
你知道是怎么计算的吗？
1＋100＝101，
2＋99 =101，
17 (1)d , n 27 13 (2)a1 11, an 23
例3 等差数列-10，-6，-2，2， …的前多少项的和为54？
解：设题中的等差数列是｛an｝，前n项和为Sn.
则a1＝-10，d＝-6-（-10）＝4，Sn＝54.
由等差数列前n项和公式，得
n(n 1) 10 n 4 54. 2
结论：知三求二
举例
例1:根据题中的条件,求相应的等差数列{an}的Sn
(1)a1 5, an 95, n 10;

高中数学：第二章 2.3 等差数列的前n项和

等差数列的前n项和(1)数列前n项和的定义是什么？通常用什么符号表示？(2)能否根据首项、末项与项数求出等差数列的前n项和？(3)能否根据首项、公差与项数求出等差数列的前n项和？[新知初探]1．数列的前n项和对于数列{a n}，一般地称a1＋a2＋…＋a n为数列{a n}的前n项和，用S n表示，即S n＝a1＋a2＋…＋a n.2．等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式S n＝n(a1＋a n)2S n＝na1＋n(n－1)2d[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项a n所有项的和()(2)a n＝S n－S n－1(n≥2)化简后关于n与a n的函数式即为数列{a n}的通项公式()(3)在等差数列{a n}中，当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝a n＋1()解析：(1)正确．由前n项和的定义可知正确．(2)错误．例如数列{a n}中，S n＝n2＋2.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.又∵a1＝S1＝3，∴a1不满足a n＝S n－S n－1＝2n－1，故命题错误．(3)错误．当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝nd.★答案★：(1)√(2)×(3)×预习课本P42～45，思考并完成以下问题2．等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝1，则S n 等于( ) A ．n B ．n (n ＋1) C ．n (n －1)D.n (n ＋1)2解析：选D 因为a 1＝1，d ＝1，所以S n ＝n ＋n (n －1)2×1＝2n ＋n 2－n 2＝n 2＋n 2＝n (n ＋1)2，故选D.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 4＝20，则S 6等于( )A ．16B ．24C ．36D ．48解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得4a 1＋4×32d ＝20，即4×12＋4×32d ＝20，解得d ＝3，∴S 6＝6×12＋6×52×3＝3＋45＝48.4．在等差数列{a n }中，S 4＝2，S 8＝6，则S 12＝________.解析：由等差数列的性质，S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列，所以2(S 8－S 4)＝S 4＋(S 12－S 8)，S 12＝3(S 8－S 4)＝12.★答案★：12等差数列的前n 项和的有关计算[典例] 已知等差数列{a n }．(1)a 1＝56，a 15＝－32，S n ＝－5，求d 和n ；(2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d .[解] (1)∵a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16.又S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－5，解得n ＝15或n ＝－4(舍)．(2)由已知，得S8＝8(a1＋a8)2＝8(4＋a8)2＝172，解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.等差数列中的基本计算(1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，a n和S n，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n＝a p＋a q，常与求和公式S n＝n(a1＋a n)2结合使用．[活学活用]设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，a8＝11，则S9等于() A．13B．35C．49 D．63解析：选D∵{a n}为等差数列，∴a1＋a9＝a2＋a8，∴S9＝9(a2＋a8)2＝9×142＝63.已知S n求a n问题[典例]已知数列{a n}的前n项和S n＝－2n2＋n＋2.(1)求{a n}的通项公式；(2)判断{a n}是否为等差数列？[解](1)∵S n＝－2n2＋n＋2，∴当n≥2时，S n－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2＝－2n2＋5n－1，∴a n＝S n－S n－1＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)＝－4n ＋3.又a 1＝S 1＝1，不满足a n ＝－4n ＋3，∴数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－4n ＋3，n ≥2.(2)由(1)知，当n ≥2时，a n ＋1－a n ＝[－4(n ＋1)＋3]－(－4n ＋3)＝－4，但a 2－a 1＝－5－1＝－6≠－4，∴{a n }不满足等差数列的定义，{a n }不是等差数列．(1)已知S n 求a n ，其方法是a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，这里常常因为忽略条件“n ≥2”而出错． (2)在书写{a n }的通项公式时，务必验证n ＝1是否满足a n (n ≥2)的情形．如果不满足，则通项公式只能用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2表示．[活学活用]1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝－n 2，则( ) A ．a n ＝2n ＋1 B ．a n ＝－2n ＋1 C ．a n ＝－2n －1D ．a n ＝2n －1解析：选B 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－n 2＋(n －1)2＝－2n ＋1，此时满足a 1＝－1.综上可知a n ＝－2n ＋1.2．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，根据条件求a n . (1)S n ＝2n 2＋3n ＋2； (2)S n ＝3n －1.解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝7，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n ＋2)－[2(n －1)2＋3(n －1)＋2]＝4n ＋1，又a 1＝7不适合上式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7，n ＝1，4n ＋1，n ≥2.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n －1)－(3n －1－1)＝2×3n －1，显然a 1适合上式，所以a n ＝2×3n －1(n ∈N *).等差数列的前n 项和性质[典例] (1)等差数列前n 项的和为30，前2n 项的和为100，则它的前3n 项的和为( ) A ．130 B ．170 C ．210D ．260(2)等差数列{a n }共有2n ＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n 等于________．(3)已知{a n }，{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝2n ＋2n ＋3，则a 5b 5＝________.[解析] (1)利用等差数列的性质： S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列．所以S n ＋(S 3n －S 2n )＝2(S 2n －S n )，即30＋(S 3n －100)＝2(100－30)，解得S 3n ＝210.(2)因为等差数列共有2n ＋1项，所以S 奇－S 偶＝a n ＋1＝S 2n ＋12n ＋1，即132－120＝132＋1202n ＋1，解得n ＝10.(3)由等差数列的性质，知a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝a 1＋a 92×9b 1＋b 92×9＝S 9T 9＝2×9＋29＋3＝53. [★答案★] (1)C (2)10 (3)53等差数列的前n 项和常用的性质(1)等差数列的依次k 项之和，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k …组成公差为k 2d 的等差数列．(2)数列{a n }是等差数列⇔S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)⇔数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列．(3)若S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，公差为d ， ①当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1；②当项数为奇数2n －1时，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝n n －1. [活学活用]1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝( ) A ．18B ．17C ．16D ．15解析：选A 设{a n }的公差为d ，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝S 8－S 4＝12，(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)－S 4＝16d ，解得d ＝14，a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝S 4＋40d ＝18.2．等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为________．解析：因为a n ＝2n ＋1，所以a 1＝3，所以S n ＝n (3＋2n ＋1)2＝n 2＋2n ，所以S nn＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋10×92×1＝75.★答案★：75等差数列的前n 项和最值问题[典例] 在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，求前n 项和S n 的最大值． [解] 由S 17＝S 9，得 25×17＋17×(17－1)2d ＝25×9＋9×(9－1)2d ，解得d ＝－2， [法一公式法] S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－(n －13)2＋169. 由二次函数性质得，当n ＝13时，S n 有最大值169. [法二邻项变号法]∵a 1＝25＞0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2(n －1)≥0，a n ＋1＝25－2n ≤0，得⎩⎨⎧n ≤1312，n ≥1212，即1212≤n ≤1312.又n ∈N *，∴当n ＝13时，S n 有最大值169.求等差数列的前n 项和S n 的最值的解题策略(1)将S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d2n 配方，转化为求二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决．(2)邻项变号法：当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0的项数n 使S n 取最大值．当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0的项数n 使S n 取最小值．[活学活用]已知{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝( )A ．11B ．17C ．19D ．21解析：选C ∵S n 有最大值，∴d <0，则a 10>a 11，又a 11a 10<－1，∴a 11<0<a 10，a 10＋a 11<0，S 20＝10(a 1＋a 20)＝10(a 10＋a 11)<0，S 19＝19a 10>0，∴S 19为最小正值．故选C.层级一学业水平达标1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2－3n ，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．－32n 2＋n 2B ．－32n 2－n 2C.32n 2＋n 2D.32n 2－n 2解析：选A ∵a n ＝2－3n ，∴a 1＝2－3＝－1，∴S n ＝n (－1＋2－3n )2＝－32n 2＋n 2.2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 7>0，a 8<0，则下列结论正确的是( ) A ．S 7<S 8 B ．S 15<S 16 C ．S 13>0D ．S 15>0解析：选C 由等差数列的性质及求和公式得，S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7>0，S 15＝15(a 1＋a 15)2＝15a 8<0，故选C.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36D ．27解析：选B ∵a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，而由等差数列的性质可知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6构成等差数列，所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，即a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n,7a 5＋5a 9＝0，且a 9>a 5，则S n 取得最小值时n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 由7a 5＋5a 9＝0，得a 1d ＝－173.又a 9>a 5，所以d >0，a 1<0.因为函数y ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 的图象的对称轴为x ＝12－a 1d ＝12＋173＝376，取最接近的整数6，故S n 取得最小值时n 的值为6.5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2D.12解析：选A S 9S 5＝92(a 1＋a 9)52(a 1＋a 5)＝9×2a 55×2a 3＝9a 55a 3＝95×59＝1. 6．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则该数列的公差为________．解析：数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝An 2＋Bn －A (n －1)2－B (n －1)＝2An ＋B －A ，当n ＝1时满足，所以d ＝2A .★答案★：2A7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S m ＝－2，S m ＋1＝0，S m ＋2＝3，则m ＝________.解析：因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，所以S m m ＋S m ＋2m ＋2＝2S m ＋1m ＋1，即－2m ＋3m ＋2＝0，解得m ＝4. ★答案★：48．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．解析：设等差数列{a n }的项数为2n ＋1， S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1 ＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2＝na n ＋1，所以S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433，解得n ＝3，所以项数2n ＋1＝7，S 奇－S 偶＝a n ＋1，即a 4＝44－33＝11为所求中间项． ★答案★：11 79．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，求数列{a n }的通项公式．解：由已知条件，可得S n ＋1＝2n ＋1，则S n ＝2n ＋1－1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n ，又当n ＝1时，3≠21，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.10．在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项的和，已知a 1＋a 3＝22，S 5＝45. (1)求a n ，S n ；(2)设数列{S n }中最大项为S k ，求k .解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2＝22，5a 3＝45，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 3＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13，d ＝－2，所以a n ＝－2n ＋15，S n ＝－n 2＋14n .(2)由a n ≥0可得n ≤7，所以S 7最大，k ＝7.层级二应试能力达标1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝( ) A ．12 B ．14 C ．16D ．18解析：选B 因为S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n (a 1＋a n )2＝210，得n ＝14.2．在等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，则正整数k 为( ) A ．2 014 B ．2 015 C ．2 016D ．2 017解析：选C 因为等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数，所以由二次函数的对称性及S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，可得2 011＋2 0142＝2 009＋k 2，解得k ＝2 016.故选C.3．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 1<0,2S 21＋S 25＝0，则S n 取最小值时，n 的值为( )A ．11B ．12C ．13D ．14解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，由2S 21＋S 25＝0得，67a 1＋720d ＝0，又d >0，∴67a 11＝67(a 1＋10d )＝67a 1＋670d <0,67a 12＝67(a 1＋11d )＝67a 1＋737d >0，即a 11<0，a 12>0.故选A.4．已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选D ∵a nb n ＝a 1＋a 2n －12b 1＋b 2n －12＝a 1＋a 2n －12(2n －1)b 1＋b 2n －12(2n －1)＝A 2n －1B 2n －1＝7(2n －1)＋452n －1＋3＝14n ＋382n ＋2＝7＋12n ＋1，∴当n 取1,2,3,5,11时，符合条件，∴符合条件的n 的个数是5. 5．若数列{a n }是等差数列，首项a 1<0，a 203＋a 204>0，a 203·a 204<0，则使前n 项和S n <0的最大自然数n 是________．解析：由a 203＋a 204>0⇒a 1＋a 406>0⇒S 406>0，又由a 1<0且a 203·a 204<0，知a 203<0，a 204>0，所以公差d >0，则数列{a n }的前203项都是负数，那么2a 203＝a 1＋a 405<0，所以S 405<0，所以使前n 项和S n <0的最大自然数n ＝405.★答案★：4056．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≤4，S 5≥15，则a 4的最小值为________．解析：S 4＝2(a 1＋a 4)≤4⇒2a 3－d ≤2，S 5＝5a 3≥15⇒a 3≥3.因为2a 3－d ≤2，所以d －2a 3≥－2，又因为a 3≥3，所以2a 3≥6，所以d ≥4，所以a 4＝a 3＋d ≥7，所以a 4的最小值为7.★答案★：77．已知等差数列{a n }的公差d >0，前n 项和为S n ，且a 2a 3＝45，S 4＝28. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝S n n ＋c (c 为非零常数)，且数列{b n }也是等差数列，求c 的值．解：(1)∵S 4＝28，∴(a 1＋a 4)×42＝28，a 1＋a 4＝14，a 2＋a 3＝14，又a 2a 3＝45，公差d >0，∴a 2<a 3，∴a 2＝5，a 3＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝5，a 1＋2d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)，知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c ， ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. 又{b n }也是等差数列，∴b 1＋b 3＝2b 2，即2×62＋c ＝11＋c ＋153＋c，解得c ＝－12(c ＝0舍去)．8．在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22.(1)数列{a n }前多少项和最大？(2)求{|a n |}的前n 项和S n .解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝23，a 1＋24d ＝－22，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝50，d ＝－3， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53.令a n >0，得n <533， ∴当n ≤17，n ∈N *时，a n >0；当n ≥18，n ∈N *时，a n <0，∴{a n }的前17项和最大．(2)当n ≤17，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－32n 2＋1032n . 当n ≥18，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2⎝⎛⎭⎫－32×172＋1032×17－⎝⎛⎭⎫－32n 2＋1032n ＝32n 2－1032n ＋884. ∴S n＝⎩⎨⎧－32n 2＋1032n ，n ≤17，n ∈N *，32n 2－1032n ＋884，n ≥18，n ∈N *.。

第4章 4.2.2 等差数列的前n项和公式(第1课时)

等差数列的前n 项和公式(第1课时)素养目标学科素养1.掌握等差数列前n 项和公式的推导方法．(难点)2．掌握等差数列的前n 项和公式，能够运用公式解决相关问题．(重点) 3．掌握等差数列的前n 项和的简单性质．(重点、难点)1.数学运算； 2．逻辑推理情境导学高斯在10岁时就发现了1＋2＋3＋…＋100的求和规律，而这正是等差数列前n 项和的算法．1．等差数列前n 项和 S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d 2.(1)在等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，a 3＝7，公差d ＝2，则S 20＝440. (2)已知数列{a n }为等差数列，a 1＝2，a n ＝10，S n ＝72，则n ＝12. 2．等差数列前n 项和的性质(1)若数列{a n }是公差为d 的等差数列，S n 为其前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d 2. (2)设等差数列{a n }的公差为d ，S n 为其前n 项和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍构成等差数列，且公差为m 2d .(1)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 6，S 12，S 18也成等差数列．(×) (2)若等差数列{a n }共有20项，则S 奇S 偶＝a 8a 10.(×)1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，公差d ＝－2.若S 10＝S 9，则a 1＝( ) A ．18 B ．20 C ．22D ．24A 解析：∵S 10＝S 9，∴S 10－S 9＝0，即a 10＝0. ∵a 10＝a 1＋9d ＝a 1－18＝0，∴a 1＝18.2．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 30＝30，则S 30的值为( ) A ．456 B ．465 C ．930D ．654B 解析：S 30＝30×(a 1＋a 30)2＝30×(1＋30)2＝465.3．等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 1＋a 10的值是( ) A ．12 B ．24 C ．36D ．48B 解析：∵S 10＝10×(a 1＋a 10)2＝120，∴a 1＋a 10＝24.4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则数列{a n }的通项a n ＝________.2n 解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 6＝a 1＋5d ＝12，S 3＝3a 1＋3d ＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2.∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .5．在等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，S 2＝4，S 4＝9，则S 6＝________. 15 解析：∵S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列， ∴2×5＝4＋(S 6－9)，∴S 6＝15.6．已知数列{a n }是等差数列，且a 3＋a 9＝4，那么数列{a n }的前11项和等于________． 22 解析：因为数列{a n }是等差数列，且a 3＋a 9＝4，所以数列{a n }的前11项和S 11＝(a 1＋a 11)×112＝(a 3＋a 9)×112＝22.【例1】(1)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，a 4＝7，则S 9＝________. (2)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________. (3)在等差数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，则公差d ＝________.(1)81 (2)15 (3)－171 解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 4＝a 1＋3d ＝1＋3d ＝7，所以d ＝2.故S 9＝9a 1＋9×82d ＝9＋9×82×2＝81.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，则⎩⎨⎧S 3＝3a 1＋3×22d ＝3，S 6＝6a 1＋6×52d ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝2，所以a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15. (3)由S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (1－512)2＝－1 022，解得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ，即－512＝1＋(4－1)d ，解得d ＝－171.【例2】设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( ) A ．13 B ．35 C ．49D ．63C 解析：∵a 2＋a 6＝a 1＋a 7＝14， ∴S 7＝7(a 1＋a 7)2＝49.a 1，d ，n 称为等差数列的三个基本量，a n 和S n 都可以用这三个基本量来表示，五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 中，可知三求二，即等差数列的通项公式及前n 项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n 项和公式联立方程(组)来求解．这种方法是解决数列运算的基本方法．在运算中要注意等差数列性质的应用．已知等差数列{a n }中，(1)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 及a 12；(2)a 1＝56，a n ＝－32，S n ＝－5，求d ；(3)S 5＝24，求a 2＋a 4.解：(1)由题意知S n ＝n ×32＋n (n －1)2×⎝⎛⎭⎫－12＝－15，整理得n 2－7n －60＝0，解得n ＝12或n ＝－5(舍去)，所以a 12＝32＋(12－1)×⎝⎛⎭⎫－12＝－4. (2)由S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ⎝⎛⎭⎫56－322＝－5，得n ＝15.又a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16.(3)(方法一)设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则 S 5＝5a 1＋5×(5－1)2d ＝24，即得5a 1＋10d ＝24，∴a 1＋2d ＝245，a 2＋a 4＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＝2(a 1＋2d )＝2×245＝485.(方法二)由S 5＝5(a 1＋a 5)2＝24，得a 1＋a 5＝485.∴a 2＋a 4＝a 1＋a 5＝485.探究题1 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝310，S 20＝1 220，求S 30. 解：(方法一)设数列{a n }的公差为d ，由已知，得⎩⎨⎧10a 1＋12×10×9×d ＝310，20a 1＋12×20×19×d ＝1 220，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝6.∴S 30＝30×4＋12×30×29×6＝2 730.(方法二)∵数列{a n }为等差数列， ∴S 10，S 20－S 10，S 30－S 20也成等差数列， ∴2(S 20－S 10)＝S 10＋S 30－S 20，即2×(1 220－310)＝310＋S 30－1 220， ∴S 30＝2 730.(方法三)设S n ＝A n 2＋B n (A ，B 为常数)．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 310＝100A ＋10B ，1 220＝400A ＋20B ，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝3，B ＝1.∴S n ＝3n 2＋n .∴S 30＝3×900＋30＝2 730.(方法四)由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得S n n ＝a 1＋(n －1)d 2， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以a 1为首项，d2为公差的等差数列，∴S 1010，S 2020，S 3030成等差数列， ∴S 1010＋S 3030＝2×S 2020， ∴S 30＝30⎝⎛⎭⎫S 2010－S 1010＝30×(122－31)＝2 730.探究题2 项数为奇数的等差数列{a n }，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数．解：设等差数列{a n }共有(2n ＋1)项，则奇数项有(n ＋1)项，偶数项有n 项，中间项是第(n ＋1)项，即a n ＋1，∴S 奇S 偶＝12(a 1＋a 2n ＋1)(n ＋1)12(a 2＋a 2n )n ＝(n ＋1)a n ＋1na n ＋1＝n ＋1n ＝4433＝43.∴n ＝3.∵S 奇＝(n ＋1)a n ＋1＝44， ∴a n ＋1＝11.∴这个数列的中间项为11，共有2n ＋1＝7(项)．(1)若数列{a n }是公差为d 的等差数列，S n 为其前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d 2. (2)若S m ，S 2m ，S 3m 分别为等差数列{a n }的前m 项、前2m 项、前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，公差为m 2d .(3)若等差数列的项数为2n ，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n.(4)若等差数列的项数为2n ＋1，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1，S 偶－S 奇＝－a n ＋1，S 偶S 奇＝nn ＋1.设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－2，S 7＝7. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d .∵S 7＝7，a 1＝－2， ∴7＝7×(－2)＋7×62d ，解得d ＝1.∴a n ＝－2＋(n －1)×1＝n －3.(2)S n n ＝a 1＋12(n －1)d ＝－2＋12(n －1)＝n －52， ∴S n ＋1n ＋1－S n n ＝12.又S 11＝a 11＝－2， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12，∴T n ＝n ×(－2)＋n (n －1)2×12＝14n 2－94n .1．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 2＋a 5＝20，则{a n }的前6项的和为( ) A ．30 B ．40 C ．50D ．60D 解析：因为数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 2＋a 5＝20，所以a 2＋a 5＝a 1＋a 6＝20，则S 6＝a 1＋a 62×6＝202×6＝60.故选D ．2．若等差数列的前两项分别为1,3，则该数列的前10项和为( )A ．81B ．90C ．100D ．121C 解析：因为公差d ＝3－1＝2，所以该数列的前10项和为10×1＋10×92×2＝100.故选C ．3．记S n 为等差数列{a n }的前5项和为S 5＝25，a 3＋a 7＝18，则{a n }的公差d 等于( ) A ．－2 B ．0 C ．1D ．2D 解析：根据题意，等差数列{a n }中，若S 5＝25，即a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝5a 3＝25，则a 3＝5.又由a 3＋a 7＝18，则a 7＝13，则等差数列{a n }的公差d ＝a 7－a 34＝2.故选D ．4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝36，则a 3＋a 7＝( ) A ．4 B ．8 C ．16D ．24B 解析：由S 9＝36，即9(a 1＋a 9)2＝36得a 1＋a 9＝8，故a 3＋a 7＝a 1＋a 9＝8.故选B ．5．在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝6，a 9＝17. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解：设等差数列{a n }的公差为d ，(1)因为a 1＋a 3＝2a 2＝6，所以a 2＝3，所以d ＝a 9－a 29－2＝17－39－2＝2，则a n ＝a 2＋(n －2)d ＝3＋(n －2)×2＝2n －1. (2)a 1＝1，S n ＝na 1＋n (n －1)d2＝n 2.1．(1)由等差数列的前n 项和公式及通项公式可知，若已知a 1，d ，n ，a n ，S n 中的三个便可求出其余的两个，即“知三求二”．(2)在运用等差数列的前n 项和公式求和时，一般地，若已知首项a 1及末项a n ，则用公式S n ＝n (a 1＋a n )2较简便；若已知a 1及公差d ，则用公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 较好．(3)在运用公式S n ＝n (a 1＋a n )2求和时，要注意性质“m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ⇒a m ＋a n ＝a p ＋a q ”的运用．2．等差数列的前n 项和S n 的有关性质在解题过程中如果运用得当，可以化繁为简，化难为易．课时分层作业(五)等差数列的前n 项和公式(第1课时)(60分钟 100分) 基础对点练基础考点分组训练知识点1 等差数列的前n 项和公式1．(5分)若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．15B 解析：设等差数列{a n }的公差为d .∵⎩⎪⎨⎪⎧ S 5＝5a 1＋10d ＝25，a 2＝a 1＋d ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2. ∴a 7＝a 1＋6d ＝13.2．(5分)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( ) A ．58 B ．88 C ．143D ．176B 解析：S 11＝11×(a 1＋a 11)2＝11×(a 4＋a 8)2＝88.3．(5分)设等差数列{a n }的前10项和为20，且a 5＝1，则{a n }的公差为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4B 解析：设等差数列{a n }的公差为d .∵⎩⎪⎨⎪⎧ S 10＝10a 1＋45d ＝20，a 5＝a 1＋4d ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－7，d ＝2.4．(5分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 2＋a 3＝a 4＋a 5，S 5＝60，则a 5＝( ) A ．16 B ．20 C ．24D ．26A 解析：设等差数列{a n }的公差为d . ∵a 1＋a 2＋a 3＝a 4＋a 5， ∴3a 1＋3d ＝2a 1＋7d ，∴a 1＝4d . 又∵S 5＝5a 1＋10d ＝30d ＝60， ∴d ＝2，∴a 1＝8.∴a 5＝a 1＋4d ＝16.5.(5分)在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＋a 5＝14，其前n 项和S n ＝100，则n ＝________. 10 解析：设等差数列的公差为d ，则a 3＋a 5＝2a 1＋6d ＝2＋6d ＝14，∴d ＝2， ∴S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2，即n 2＝100，解得n ＝10或n ＝－10(舍)．知识点2 等差数列前n 项和性质的应用6．(5分)含2n ＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( ) A ．2n ＋1nB ．n ＋1nC ．n －1nD ．n ＋12nB 解析：∵S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2，S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2，又∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴S 奇S 偶＝n ＋1n .故选B ．7．(5分)已知一个有限项的等差数列{a n }，前4项的和是40，最后4项的和是80，所有项的和是210，则此数列的项数为( )A ．12B ．14C ．16D ．18B 解析：由题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，两式相加得a 1＋a n ＝30.又因为S n ＝n (a 1＋a n )2＝30n 2＝210，所以n ＝14. 8.(5分)在等差数列{a n }中，S 3＝30，S 6＝100，则S 9＝________. 210 解析：∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，即30,70，S 9－100成等差数列，∴140＝30＋S 9－100，∴S 9＝210.9.(5分)在等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－11，S 1010－S 88＝2，则S 11＝________. －11 解析：由题意知，⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，首项为a 11＝－11，设公差为d ，则S 1010－S 88＝2d ＝2，∴d ＝1， ∴S 1111＝－11＋10×1＝－1.∴S 11＝－11. 能力提升练能力考点拓展提升10.(5分)(多选)数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，已知a 7＝5，S 7＝21，则( )A ．a 1＝1B ．d ＝－23C ．a 2＋a 12＝10D ．S 10＝40ACD 解析：设数列{a n }的公差为d ，则由已知得S 7＝7(a 1＋a 7)2，即21＝7(a 1＋5)2，解得a 1＝1.又a 7＝a 1＋6d ，所以d ＝23.所以S 10＝10a 1＋10×92d ＝10＋10×92×23＝40.由{a n }为等差数列，知a 2＋a 12＝2a 7＝10.11．(5分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 7＋a 11＝12，则S 13等于( )A ．52B ．54C ．56D ．58A 解析：∵a 3＋a 7＋a 11＝12，∴a 7＝4，∴S 13＝13·(a 1＋a 13)2＝13a 7＝52. 12．(5分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 8＝13，则S 8S 16＝( ) A ．310B ．37C ．13D ．12A 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 4S 8＝4a 1＋6d 8a 1＋28d ＝13，∴a 1＝52d . ∴S 8S 16＝8a 1＋28d 16a 1＋120d ＝48d 160d ＝310. 13.(5分)已知等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知S 3＝9，a 4＋a 5＋a 6＝7，则S 9－S 6＝________.5 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，而S 3＝9，S 6－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＝7，∴S 9－S 6＝5.14.(5分)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9＝－36，S 13＝－104，则a 5与a 7的等差中项为________．－6 解析：设等差数列{a n }的公差为d ， ∵⎩⎪⎨⎪⎧ S 9＝9a 1＋36d ＝－36，S 13＝13a 1＋78d ＝－104， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝－2. ∵a 5与a 7的等差中项为a 6，∴a 6＝4＋5×(－2)＝－6.15.(5分)在等差数列{a n }中，a 1>0，d ＝12，a n ＝3，S n ＝152，则a 1＝________，n ＝________. 2 3 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ＝a 1＋(n －1)×12＝3，S n ＝na 1＋n (n －1)4＝152，得n 2－13n ＋30＝0，∴n ＝3或n ＝10.又当n ＝3时，a 1＝2>0；当n ＝10时，a 1＝－32<0，不合题意，舍去，故a 1＝2，n ＝3.16.(12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50，S n ＝242，求n . 解：设等差数列{a n }的公差为d ，由a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 10＝30，a 20＝50，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2.∴a n ＝2n ＋10.∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2＋11n . 令n 2＋11n ＝242，解得n ＝11或n ＝－22(舍去).17.(13分)已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且S 2＝2，S 3＝－6.(1)求数列{a n }的通项公式和前n 项和S n .(2)是否存在n ，使S n ，S n ＋2＋2n ，S n ＋3成等差数列？若存在，求出n ；若不存在，说明理由．解：(1)设{a n }的公差为d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋d ＝2，3a 1＋3×22d ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4.d ＝－6， ∴a n ＝4－6(n －1)＝10－6n ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝7n －3n 2. (2)存在．S n ＋S n ＋3＝7n －3n 2＋7(n ＋3)－3(n ＋3)2＝－6n 2－4n －6. S n ＋2＝7(n ＋2)－3(n ＋2)2＝－3n 2－5n ＋2， 2(S n ＋2＋2n )＝2(－3n 2－5n ＋2＋2n )＝－6n 2－6n ＋4. 若存在n ，使S n ，S n ＋2＋2n ，S n ＋3成等差数列，则－6n2－4n－6＝－6n2－6n＋4，解得n＝5，∴存在n＝5，使S n，S n＋2＋2n，S n＋3成等差数列．。

等差数列及其前n项和Word版含答案

等差数列及其前n 项和【课前回顾】1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2. 3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．4．与等差数列各项的和有关的性质(1)若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的12. (2)若{a n }是等差数列，S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列．(3)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质． ①若项数为2n ，则S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1. ②若项数为2n －1，则S 偶＝(n －1)a n ，S 奇＝na n ，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝n n －1. (4)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为a n b n＝S 2n －1T 2n －1.【课前快练】1．在等差数列{}a n 中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．6解析：选B ∵{}a n 为等差数列，∴2a 4＝a 2＋a 6，∴a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0.2．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．8 解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 2，a 3，a 6成等比数列，所以a 2a 6＝a 23，即(a 1＋d )(a 1＋5d )＝(a 1＋2d )2. 又a 1＝1，所以d 2＋2d ＝0. 又d ≠0，则d ＝－2，所以{a n }前6项的和S 6＝6×1＋6×52×(－2)＝－24.3．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且a 1＝1，a 4＝4，则a 10＝( )A ．－45B ．－54C.413D.134解析：选A 设等差数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的公差为d ，由题意可知，1a 4＝1a 1＋3d ＝14，解得d ＝－14，所以1a 10＝1a 1＋9d ＝－54，所以a 10＝－45. 4．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3＋a 9＝a 10－a 8，若a n ＝0，则n ＝________. 解析：因为a 3＋a 9＝a 10－a 8，所以a 1＋2d ＋a 1＋8d ＝a 1＋9d －(a 1＋7d )，解得a 1＝－4d ，所以a n ＝－4d ＋(n －1)d ＝(n －5)d ，令(n －5)d ＝0(d ≠0)，可解得n ＝5. 答案：55．在等差数列{a n }中，a n >0，a 7＝12a 4＋4，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 19＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由a 7＝12a 4＋4，得a 1＋6d ＝12(a 1＋3d )＋4，即a 1＋9d ＝8，所以a 10＝8，因此S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19×a 10＝19×8＝152. 答案：152考点一等差数列的基本运算1．等差数列运算中方程思想的应用(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．[易错提醒] 在求解数列基本量运算中，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷．2．等差数列前n 项和公式的应用方法根据不同的已知条件选用两个求和公式，若已知首项和公差，则使用公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d ；若已知通项公式，则使用公式S n ＝n (a 1＋a n )2，同时注意与性质“a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…”的结合使用．【典型例题】1．若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．15解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝5(a 2＋a 4)2，得5(3＋a 4)2＝25，解得a 4＝7，所以7＝3＋2d ，解得d ＝2，所以a 7＝a 4＋3d ＝7＋3×2＝13.2．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得d ＝4.3．(2018·福州质检)设等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 2＝－d ，若a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，则k ＝( )A ．5B ．6C ．9D ．11解析：选C 因为a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，所以a 2k ＝a 6a k ＋6.又等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 2＝－d ，所以[a 2＋(k －2)d ]2＝(a 2＋4d )[a 2＋(k ＋4)d ]，所以(k －3)2＝3(k ＋3)，解得k ＝9，或k ＝0(舍去)，故选C.4．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________. 解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9×82d ＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1. ∴S 16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.答案：－72考点二等差数列的判定与证明等差数列的判定与证明方法用定义证明等差数列时，容易漏掉对起始项的检验，从而产生错解．比如，对于满足a n －a n －1＝1(n ≥3)的数列{a n }而言并不能判定其为等差数列，因为不能确定起始项a 2－a 1是否等于1.【典型例题】(2018·贵州适应性考试)已知数列{a n }满足a 1＝1，且na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n . (1)求a 2，a 3；(2)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，并求{a n }的通项公式．[思维路径](1)要求数列的项，可根据已知首项和递推关系式，令n ＝1,2可解得．(2)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，其关键应推出a n ＋1n ＋1－a n n 为常数，对所给条件进行必要的变形即可．解：(1)由已知，得a 2－2a 1＝4，则a 2＝2a 1＋4，又a 1＝1，所以a 2＝6. 由2a 3－3a 2＝12，得2a 3＝12＋3a 2，所以a 3＝15.(2)证明：由已知na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n ，得na n ＋1－(n ＋1)a n n (n ＋1)＝2，即a n ＋1n ＋1－a nn＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项a 11＝1，公差d ＝2的等差数列．则a nn ＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以a n ＝2n 2－n .【针对训练】1．(2018·陕西质检)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R)且a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )A ．13B ．49C ．35D ．63解析：选B 由S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R)可知数列{a n }是等差数列，所以S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7(a 2＋a 6)2＝49.2．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，设b n ＝1a n －1(n ∈N *)．求证：数列{b n }是等差数列．证明：∵a n ＝2－1a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＝2－1a n.∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝12－1a n－1－1a n －1＝a n －1a n －1＝1， ∴{b n }是首项为b 1＝12－1＝1，公差为1的等差数列．考点三等差数列的性质及前n 项和的最值1．应用等差数列的性质解题的2个注意点(1)如果{a n }为等差数列，m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．因此，若出现a m －n ，a m ，a m ＋n 等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a m (或其他项)有关的条件；若求a m 项，可由a m ＝12(a m －n ＋a m ＋n )转化为求a m －n ，a m ＋n 或a m ＋n ＋a m －n 的值．(2)要注意等差数列通项公式及前n 项和公式的灵活应用，如a n ＝a m ＋(n －m )d ，d ＝a n －a m n －m，S 2n －1＝(2n －1)a n ，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 2＋a n －1)2(n ，m ∈N *)等．2．求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .3．理清等差数列的前n 项和与函数的关系等差数列的前n 项和公式为S n ＝na 1＋n (n －1)2d 可变形为S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，令A ＝d2，B ＝a 1－d2，则S n ＝An 2＋Bn .当A ≠0，即d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，(n ，S n )在二次函数y ＝Ax 2＋Bx 的图象上，即为抛物线y ＝Ax 2＋Bx 上一群孤立的点．利用此性质可解决前n 项和S n 的最值问题．【典型例题】1．在等差数列{a n}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{a n}的前n项和S n的最大值为() A．S15B．S16C．S15或S16D．S17解析：选A∵a1＝29，S10＝S20，∴10a1＋10×92d＝20a1＋20×192d，解得d＝－2，∴S n＝29n＋n(n－1)2×(－2)＝－n2＋30n＝－(n－15)2＋225.∴当n＝15时，S n取得最大值．2．已知函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，且f(x)在(－1，＋∞)上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f(a50)＝f(a51)，则数列{a n}的前100项的和为() A．－200 B．－100C．－50 D．0[学审题]①由函数的对称性及单调性知f(x)在(－∞，－1)上也单调；②结合函数的性质知a50＋a51＝－2.解析：选B因为函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，又函数f(x)在(－1，＋∞)上单调，所以f(x)在(－∞，－1)上也单调，且数列{a n}是公差不为0的等差数列．又f(a50)＝f(a51)，所以a50＋a51＝－2，所以S100＝100(a1＋a100)2＝50(a50＋a51)＝－100.【针对训练】1．(2018·岳阳模拟)在等差数列{a n}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝() A．95B．100C．135 D．80解析：选B由等差数列的性质可知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8构成新的等差数列，于是a7＋a8＝(a1＋a2)＋(4－1)[(a3＋a4)－(a1＋a2)]＝40＋3×20＝100.2．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，则满足S n>0的最大自然数n的值为()A．6 B．7C．12 D．13解析：选C因为a1>0，a6a7<0，所以a6>0，a7<0，等差数列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12>0，a1＋a13＝2a7<0，所以S12>0，S13<0，所以满足S n>0的最大自然数n的值为12.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，则数列{a n }的项数为________．解析：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，① a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216， ∴a 1＋a n ＝36，又S n ＝n (a 1＋a n )2＝324， ∴18n ＝324，∴n ＝18. 答案：18【课后演练】1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，a 8＋a 10＝28，则S 9＝( ) A ．36 B ．72 C ．144D ．288解析：选B 法一：∵a 8＋a 10＝2a 1＋16d ＝28，a 1＝2， ∴d ＝32，∴S 9＝9×2＋9×82×32＝72.法二：∵a 8＋a 10＝2a 9＝28，∴a 9＝14， ∴S 9＝9(a 1＋a 9)2＝72. 2．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＋S 3＝4，a 3＋S 5＝12，则a 4＋S 7的值是( )A ．20B ．36C ．24D ．72解析：选C 由a 2＋S 3＝4及a 3＋S 5＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 1＋4d ＝4，6a 1＋12d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝1，∴a 4＋S 7＝8a 1＋24d ＝24.3．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2.若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝( ) A ．21 B ．22 C ．23D ．24解析：选C 由3a n ＋1＝3a n －2⇒a n ＋1－a n ＝－23⇒{a n }是等差数列，则a n ＝473－23n .∵a k ·a k＋1<0，∴⎝⎛⎭⎫473－23k ⎝⎛⎭⎫453－23k <0，∴452<k <472，又∵k ∈N *，∴k ＝23.4．已知数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 2＝12，则a 8＝( )A ．0B ．－109C ．－181D ．121解析：选B 设等差数列{b n }的公差为d ，则d ＝b 3－b 2＝－14，因为a n ＋1－a n ＝b n ，所以a 8－a 1＝b 1＋b 2＋…＋b 7＝7(b 1＋b 7)2＝7b 4＝7×(－2－14)＝－112，又a 1＝3，所以a 8＝－109.5．在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝3a na n ＋3，则a 4＝( ) A.34 B ．1 C.43D.32解析：选A 依题意得1a n ＋1＝a n ＋33a n ＝1a n ＋13，1a n ＋1－1a n ＝13，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝13为首项、13为公差的等差数列，则1a n ＝13＋n －13＝n 3，a n ＝3n ，a 4＝34.6．已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( ) A ．9 B ．15 C ．18D ．30解析：选C 由a n ＋1－a n ＝2可得数列{a n }是等差数列，公差d ＝2，又a 1＝－5，所以a n ＝2n －7，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＋|a 6|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18.7．(2016·北京高考)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________.解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，∴a 4＝0. ∵a 1＝6，a 4＝a 1＋3d ，∴d ＝－2. ∴S 6＝6a 1＋6×(6－1)2d ＝6×6－30＝6.答案：68．等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0，a 6<0，∴S n 的最大值为S 5. 答案：S 59．若等差数列{a n }的前17项和S 17＝51，则a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13＝________.解析：因为S 17＝a 1＋a 172×17＝17a 9＝51，所以a 9＝3. 根据等差数列的性质知a 5＋a 13＝a 7＋a 11，所以a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13＝a 9＝3. 答案：310．在等差数列{a n }中，公差d ＝12，前100项的和S 100＝45，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝________.解析：因为S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，所以a 1＋a 100＝910， a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝25，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝502(a 1＋a 99)＝502×25＝10. 答案：1011．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，a 4＋a 5＝23，则S 8＝( ) A ．72 B ．88 C ．92D ．98解析：选C 法一：由S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3，故数列{a n }是公差为3的等差数列，又a 4＋a 5＝23＝2a 1＋7d ＝2a 1＋21，∴a 1＝1，S 8＝8a 1＋8×72d ＝92.法二：由S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3，故数列{a n }是公差为3的等差数列，S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(a 4＋a 5)2＝92. 12．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢( )A ．8日B ．9日C ．12日D ．16日解析：选B 设n 日相逢，则依题意得103n ＋n (n －1)2×13＋97n ＋n (n －1)2×⎝⎛⎭⎫－12＝1125×2，整理得n 2＋31n －360＝0，解得n ＝9(负值舍去)，故选B.13．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，其中n ∈N *，则下列命题错误的是( ) A ．若a n >0，则S n >0 B ．若S n >0，则a n >0C ．若a n >0，则{S n }是单调递增数列D ．若{S n }是单调递增数列，则a n >0解析：选D 由等差数列的性质可得：∀n ∈N *，a n >0，则S n >0，反之也成立．a n >0，d >0，则{S n }是单调递增数列．因此A 、B 、C 正确．对于D ，{S n }是单调递增数列，则d >0，而a n >0不一定成立．14．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．解析：由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得⎩⎪⎨⎪⎧ d <0，a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，－78 15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝________. 解析：因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，所以a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，数列的公差d ＝1，a m ＋a m ＋1＝S m ＋1－S m －1＝5，即2a 1＋2m －1＝5，所以a 1＝3－m .由S m ＝(3－m )m ＋m (m －1)2×1＝0，解得m ＝5.答案：516．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n －1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 4a n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .解：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝2－1＝1，满足a n ＝2n －1， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)得，b n ＝log 4a n ＋1＝n ＋12，则b n ＋1－b n ＝n ＋22－n ＋12＝12， ∴数列{b n }是首项为1，公差d ＝12的等差数列，∴T n ＝nb 1＋n (n －1)2d ＝n 2＋3n 4. 17．已知递增等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2a 3＝15，S 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式以及S n 的表达式；(2)若数列{b n }满足：b 1＝1，b n ＋1－b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的通项公式．解：(1)设数列{a n }的公差为d (d >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2a 3＝(a 1＋d )(a 1＋2d )＝15，S 4＝4a 1＋6d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝－2(舍去)， ∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，n ∈N *. (2)由(1)知，b n ＋1－b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， b n －b 1＝(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －3－12n －1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n －1＝n －12n －1(n ≥2)，∴b n ＝3n －22n －1. 当n ＝1时，b 1＝1也符合上式， ∴b n ＝3n －22n －1(n ∈N *)． 18.已知数列{a n }满足，a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *)．(1)若数列{a n }是等差数列，求a 1的值；(2)当a 1＝2时，求数列{a n }的前n 项和S n . 解：(1)法一：∵数列{a n }是等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＋1＝a 1＋nd . 由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得a 1＋nd ＋a 1＋(n －1)d ＝4n －3， ∴2dn ＋(2a 1－d )＝4n －3，即2d ＝4,2a 1－d ＝－3，解得d ＝2，a 1＝－12. 法二：在等差数列{a n }中，由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得a n ＋2＋a n ＋1＝4(n ＋1)－3＝4n ＋1，∴2d ＝a n ＋2－a n ＝4n ＋1－(4n －3)＝4，∴d ＝2.又∵a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝2a 1＋2＝1，∴a 1＝－12. (2)由题意知，①当n 为奇数时， S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a n －1＋a n )＝2＋4[2＋4＋…＋(n －1)]－3×n －12＝2n 2－3n ＋52. ②当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝1＋9＋…＋(4n －7)＝2n 2－3n 2. 综上，S n ＝⎩⎨⎧2n 2－3n ＋52，n 为奇数，2n 2－3n 2，n 为偶数.。

等差数列的前n项和公式课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

4.2 等差数列
4.2.2 等差数列的前n项和公式
第1课时等差数列的前n项和公式
课程目标
学法指导
1．借助教材实例了解 1．等差数列是“中心对称”的，因此在求和的时
等差数列前n项和公式候可以从中心对称的角度来思考，这就是倒序相
的推导过程．
加法的本质，采取图示的方法有助于理解公式的
2．借助教材掌握a1，推导．也正是因为中心对称的缘故，等差数列的
(C )
A．5114
B．581
C．9136
D．9132
(3)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S10＝100，S100＝10，试求
S110．
[分析] (1)求 n 想到 Sn＝na1＋2 an＝nam＋2an－m＋1⇒Sn－Sn－4＝an＋an －1＋an－2＋an－3，a1＋a2＋a3＋a4⇒a1＋an.
(2)求值想＋an＝ap＋aq⇒abnn＝ SS2′2nn－－11.
(3)求 S110 想到 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…构成公差为 n2d 的等差数列 ⇒S10＝100，S100＝10⇒项数和公差．
[解析] (1)Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80． S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40．两式相加得 4(a1＋an)＝120，∴a1＋an＝30．由 Sn＝na1＋ 2 an＝210，∴n＝14． (2)由已知SSn′n＝7nn＋＋32，ab77＝SS1′133＝9136.
解得da＝ 1＝－122，， ∴an＝－2n＋14．
②由①得 Sn＝n12＋124－2n＝－n2＋13n＝－n－1232＋1469. 当 n 取与123最接近的整数，即 6 或 7 时，Sn 有最大值，最大值为 S6 ＝S7＝－72＋13×7＝42．

高中数学2.3 等差数列的前n项和之等差数列前n项和Sn 的函数特性

当 n>17 时， Sn′＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an)， Sn′＝－－32n2＋1023n＋2S17 ＝32n2－1023n＋884， ∴Sn′＝－ 32n322－n21＋023102n3＋n8n8≤41n7>1，7.
2．已知数列{an}的前 n 项和公式为 Sn＝2n2－30n.
a25－a10＝15d＝－45， 23＝a1＋10－1×d，
∴
a1＝50， d＝－3.
(1)设第 n 项开始为负，
an＝50－3(n－1)＝53－3n<0，∴n>533，
∴从第 18 项开始为负． (2)|an|＝|53－3n|
＝533n－－353n1n<>1n≤ 7.17，
当 n≤17 时，Sn′＝－32n2＋1023n；
得{Sn}的最大值．
a a
n n
1
0
0
特别地，若 a1>0，d>0，则 S1 是{Sn}的最小值；若 a1<0，d<0，则S1 是
{Sn}的最大值．
合作探究
例 1.已知数列{an}的通项公式是 an＝2n －48，则 Sn 取得最小值时，n 为 ________．
【解法一】由 an≤0 得，2n－48≤0，n≤24， ∴当 n＝23 或 24 时，Sn 最小．【答案】23 或 24
(2)法二：由 y＝－x2＋33x 的对称轴为 x＝33.距离33最近的整数为 16,17.
2
2
由 Sn＝－n2＋33n 的图象可知：当 n≤17 时，an≥0，当 n≥18 时，an<0，
故数列{an}的前 16 项或前 17 项的和最大．

等差数列的前n项和讲课讲稿

已知量2.2等差数列的前n项和1 •理解并掌握等差数列的前n项和公式及其推导过程，体会等差数列的前n 项和公式与二次函数的关系.（重点）2•熟练掌握等差数列的五个基本量a i, d, n, a n, S n之间的联系，能够由其中的任意三个求出其余的两个.（重点）1.等差数列的前n2.n n—1 d 2dS n= na i + —2—d=㊁门+ a i —2 n.d M0时，S n是关于n的二次函数，且无常数项.判断(正确的打“V”，错误的打“x”)(1) 公差为零的数列不能应用等差数列的前n项和公式.()(2) 数列｛n2｝可以用等差数列的前n项和公式求其前n项和S n.()(3) 若数列｛a n｝的前n项和为S n= an2+bn,则｛a n｝是等差数列.()【解析】(1)任何等差数列都能应用等差数列的前n项和公式.(2)数列｛n2｝不是等差数列，故不能用等差数列的前n项和公式.(3)当公差不为0时，等差数列的前n项和是关于n的二次函数(常数项为0).【答案】(1)x ⑵x (3)V［小组合作型］3(1) 已知等差数列｛a n｝中，a i =2,1d= —2，Si= —15, 求n 和a n；(2) 已知等差数列｛a n｝中，S5= 24,求a2 + a4；(3) 数列｛a n｝是等差数列，a i= 1，a n= —512, —1 022,求公差d;⑷已知等差数列｛a n ｝中,a 2 + a 5= 19, S = 40,求a io .【精彩点拨】运用方程的思想，根据已知条件建立方程或方程组求解，另外解题时要注意整体代换.3 n n —1 1【尝试解答】 (1)S n = n 2+2 •— 2 = — 15,整理得 n - 7n — 60= 0, 解得n = 12或n = —5(舍去),3 1所以 a 12= 2+ (12— 1)x — 2 = — 4.(2)设等差数列的首项为a 1,公差为d ,即 5a 1+ 10d = 24,所以 a 〔 + 2d =£, 所以 a 2 + a 4= 2(a 1 + 2d) = 2X 乍=譽n n — 1⑶因为 a n = a 1 + (n — 1)d , S n = na 1+ 2d ,又 a 1 = 1, a n = — 512, S n =— 1 022,1+ n — 1 d = — 512,① 所以 1n +qnn — 1 d =— 1 022,②把(n — 1)d = — 513代入②得1n + 刃(—513)= — 1 022,解得 n = 4,所以 d = — 171.a 1 + d + a 1 + 4d = 19,⑷由已知可得 5X 45a 1 + -^d = 40,解得 a 1 = 2, d = 3,则 S 5 = 5a 1 + 5X 5— 12d = 24,所以a io= a i + 9d= 2+ 9X 3= 29.等差数列中基本计算的两个技巧：(1) 利用基本量求值.等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量ai,d, n,a n和S n, —般是利用公式列出基本量a i和d的方程组，解出a i和d,便可解决问题•解题时注意整体代换的思想.(2) 利用等差数列的性质解题•等差数列的常用性质：若m+ n = p+ q(m, n,n a i + a np, q€ N+),贝U a m + a n = a p+ a q,常与求和公式S n= 2 结合使用.［再练一题］1. 等差数列中：(1) a i = 105, a n= 994, d= 7,求S n；(2) a n = 8n+ 2, d = 5,求S20；1(3) d= 3, n = 37, S n= 629,求a i 及a n.【解】(1)由a n= a i + (n- 1)d 且a i= 105, d= 7,得994= 105+ (n- 1)X 7,解得n= 128,n a i+ a n 128X 105+ 994=70 336.(2)van= 8n + 2,—a i= 10,又d = 5,20 X 20 - 1 20a i + X 5 = 20X 10+ 10X 19X 5= 1 150.1 ⑶将 d = 3，n = 37, S = 629代入 a n = a 1 + (n - 1)d ,a 1= 11, 解得a n = 23.为响应教育部下发的《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》的要求，某市提出了实施“校校通”工程的总目标：从2011年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网•据测算，2011年该市用于“校校通”工程的经费为 500万元•为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加 50万元•那么从2011年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？【精彩点拨】将该实际问题转化为数列问题求解，由于每年投入资金都比n a 1 + a nS n = 2 ，得a n = a 1 + 12, 37 a+ a n 2 =上一年增加50万元，故可考虑利用等差数列求解.【尝试解答】根据题意，从2011年〜2020年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元，所以，每年投入的资金依次组成等差数列｛a n｝，其中，a i = 500, d= 50. 那么，到2020年(n= 10)，投入的资金总额为10X 10—1S10= 10X 500+ 2 X 50= 7 250(万元)，即从2011年〜2020年，该市在“校校通”工程中的总投入是7 250万元.有关数列的应用问题，应首先通过对实际问题的研究建立数列的数学模型，最后求出符合实际的答案，可分以下几步考虑：(1) 问题中所涉及的数列｛a n｝有何特征；(2) 是求数列｛a n｝的通项还是求前n项和；(3) 列出等式(或方程)求解.［再练一题］2. 如图1-2-2，一个堆放铅笔的V型架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支.最上面一层放120支，这个V型架上共放着多少支铅笔？图1-2-2【解】由题意可知这个V型架自下而上各层的铅笔数组成等差数列，记为数列｛a n｝，其中a i= 1, a i20 = 120.根据等差数列前n项和公式得S120 = 120X 1 + 1202 = 7 260.即V型架上共放着7 260支铅笔.［探究共研型］探究1设｛a n｝是等差数列，公差为d, S n是其前n项和，那么S m, ®m—S3m- S2m 也成等差数列吗？如果是，它们的公差是多少？【提示】由S m= a1 + a2+… • + a m，S2m—S m—a m+ 1 + a m + 2+ …+ a2m —a1 + md+ a2 + md+ …+ a m+ md—S m + m2d，I r 2同理S3m —S2m—a2m+ 1 + a2m + 2+ …+ a3m —S2m —S m+ m d，所以S m , S 2m — S m , S 3m — &m 也成等差数列，公差为 m 2d.探究2设S 、T n 分别为两个等差数列｛a n ｝和｛b n ｝的前n 项和，那么b n 与12^1有怎样的关系？请证明之.a n 2a n a1 + a2n -1b n—2bn—b l + b 2n — 12n — 1 a 1 + a 2n —12 S 2n -12n — 1 b 1 + b 2n — 1 T 2n — 12(1) 等差数列｛a n ｝的前m 项和为30,前2m 项和为100,求数列｛a n ｝的前3m 项的和S 3叫Si 7n + 2 a 5(2) 两个等差数列｛a n ｝, ｛b n ｝的前n 项和分别为S 和T n ,已知讯—"n +3，求^ 的值.【精彩点拨】 ⑴利用S m , S 2m — S m , S3m — S^m 成等差数列求解.(2)利用前 n 项和结合等差数列的性质将项的比值转化为和的比值求解.【尝试解答】 ⑴在等差数列中，Sm,®m — S m,S 3m — &m 成等差数列，【提示】a n S2n— 1b n — T 2n 【证明】「30,70,S 3m - 100成等差数列,•'•2X 70= 30 + (S 3m — 100),.°S 3m = 210. a s 2a 5 9 a1 +a9 S 9 65 (2)b 5 = 2b 5= 9b i + b 9 = T ^=乜.巧妙应用等差数列前n 项和的性质 ⑴“片段和”性质.若｛a n ｝为等差数列，前n 项和为S n ,则S n , S 2n — S n , S 3n — S 2n ,…构成公差为n 2d 的等差数列.⑵项数(下标)的“等和”性质.(3) 项的个数的“奇偶”性质. ｛a n ｝为等差数列，公差为d.①若共有 2n 项，贝U S 2n = n(a n + a n +1)；②若共有 2n + 1 项，贝U S 2n +1 = (2n + 1)a n +1 ； S 偶一S 奇=—a n +1 ； =S 奇 n 十i (4) 等差数列｛a n ｝中，若 S n = m , S m = n(m M n),贝U S m+ n = — (m + n). (5) 等差数列｛a n ｝中，若 S n = S m (m M n)，贝U S m + n = 0.S n =n a i + a n 2=n a m + a n - m +1S 偶一 S 奇=nd ;S 偶 a n +1S 奇 a n［再练一题］3. 已知两个等差数列｛a n ｝与｛b n ｝的前n(n >1)项和分别是S n 和T n ,且S n : T n a 9=(2n + 1) : (3n — 2),求$的值.a 9 2a 9 a1 +a17b 9 2b9 b i + b i7a i + a i72X i7+ i_35_53X i7 — 2 — 49 — 7探究i 将等差数列前n 项和S n = na i + 丄d 变形为S 关于n 的函数后，该函数是怎样的函数？为什么？一 n n —i d 2 d【提示］由于 S n = na i + 2 d = 2n 2 + a i — 2 n , 所以当d M 0时，3为关于n 的二次函数，且常数项为0.探究2类比二次函数的最值情况，等差数列的S n 何时有最大值？最小值？【提示］由二次函数的性质可以得出，当d >0时，S 有最小值；当d v 0 时，有最大值，且n 取值最接近对称轴的正整数时，S n 取得最值.［解］X 17 S 17b i + b i72X i7T i7在等差数列｛a n｝中，a io = 18,前5项的和—15.(1) 求数列｛a n｝的通项公式.(2) 求数列｛a n｝的前n项和的最小值，并指出何时取最小值.【精彩点拨】(1)直接根据等差数列的通项公式和前n项和公式列关于首项a i和公差d的方程，求得a1和d,进而得解；(2)可先求出前n项和公式，再利用二次函数求最值的方法求解，也可以利用通项公式，根据等差数列的单调性求解.a1 + 9d = 18，【尝试解答】(1)由题意得 5 X 45a1 + —厂X d=—15,.'a n = 3n —12.n a1+an 1 2 一、3 7 2 147⑵ S n = 2 = 2(3 n —21n) = ?n — 2 —8•••当门=3或4时，前n项的和取得最小值S3= ®= —18.等差数列前n项和的最值问题的三种解法：⑴利用a n：当a i>0, d v 0时，前n项和有最大值，可由a n>0且a n+1<0, 求得n 的值；当a i v0, d>0,前n项和有最小值，可由a n<0且a n+i >0,求得n的值.d d(2) 利用S n：由S n=2n2+ a i — 2 n(d^0),利用二次函数配方法求得最值时n 的值.(3) 利用二次函数的图象的对称性.［再练一题］4. 在等差数列｛a n｝中，a i = 25, S i7= S9,求S n的最大值.【解】禾I」用前n项和公式和二次函数性质，由S i7= Sa得i7 925X i7+2(i7—i)d= 25X 9 + 2(9 —i)d，解得d= —2,•0 = 25 n+ 2(n—i)(—2)= —(n—i3)2+ i69,•••由二次函数性质，当n= i3时，S n有最大值i69.1.设3为等差数列｛a n ｝的前n 项和，3 = 4a 3, a 7=- 2,则a 9=()A . - 6B .- 4C .- 2D . 28 a i + a s【解析】 S 8=2= 4(a 3 + a 6),又 S s = 4a 3,所以 a 6 = 0,又 a 7=- 2,所以 a 8=- 4, a 9=- 6. 【答案】 A2. 记等差数列前n 项和为3,若S 2= 4,9 = 20,则该数列的公差d 等于( )A . 2B . 3C . 6D . 72a i + d = 4,【解析】由题意得4a i + 6d = 20,【答案】 B 3.在等差数列｛a n ｝中，a i = 2,前三项和为15,则前6项和为()A . 57B . - 40C . - 57D . 40【解析】由题意知 a 1 + a 2 + a 3= 15,—3a 2= 15, a 2 = 5, •'•d = a 2 — a 1 = 3,—a n = 3n - 1, 6 2+ 17 ••$= 2 = 57.1 a 1= 2,解得d = 3.【答案】A4.在等差数列｛a n ｝中，已知a i = 2, d = 2,贝U S 2o = _________【解析】820= 20 a i + 20；19X d = 20X 2+ 2°；19X 2= 420.【答案】 4205. 等差数列｛a n ｝中，a io = 30, a 20= 50. (1) 求通项公式a n ； (2) 若 S n = 242，求 n.【解】 (1)由 a n = a i + (n — 1)d , a io = 30, a 20= 50,a i + 9d = 30,得方程组a i + 19d = 50, a i = 12, 解得 d = 2, 所以 a n = 2n + 10.解得n = 11或n = — 22（舍去），所以n = 11.学业分层测评（五）（建议用时：45分钟）［学业达标］一、选择题1.设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若a i + a 3+ a 5= 3,则S 5=（）A . 5B . 7C . 9D . 11【解析】法一:^ai + a 5 = 2a 3,.°.a i + a 3 + a 5= 3a 3= 3,—a 3= 1, 5 a i + a 5 •'•85= 2 = 5a 3= 5,故选 A.⑵由 n n — 1S n = n a i + 2 d ,得 12n + n n —1 2"- X2 = 242,法二：tai + a 3 + a 5 = a i + (a i + 2d) + (a i + 4d) = 3a i + 6d = 3, •'a i + 2d = 1,5X 4.，S5 = 5a i + ~2~d = 5(a i + 2d) = 5,故选 A. 【答案】 A2•已知｛a n ｝是公差为1的等差数列，S n 为｛a n ｝的前n 项和，若S 8= 4S 4,则 a io =()17 19 A.yB.qC . 10D . 12【解析】 t •公差为1,8X 8- 1.'S 8 — 8a 1 + 2 X 1 = 8a 1 + 28, S 4 = 4a 1 + 6. 1'•'S 8 — 4S 4,.8a 1 + 28 — 4(4a 1 + 6),解得 a 1 —㊁， 1 19.•010— a 1 + 9d — 2+ 9—㊁.故选 B. 【答案】 B3.在等差数列｛a n ｝中，若S 9— 18, S n — 240, a n -4— 30,则n 的值为( )A . 14B . 15C . 16D . 17•'•n(2 + 30) — 480,. n — 15. 【答案】 B4. 设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 3— 3，则豊等于() 3 111 A 石% D.9【解析】由题意S 3, S 6- S 3, S 9-S 6, S 12- S 9成等差数列.S 3 1 '•'S 6=3•不妨设 S 3= 1, S fc = 3,贝U S fc — S 3= 2,所以 S 9— S fc = 3,故 S 9= 6,二【解析】 S 9 — n a 1 + a n9 a 1 + a 9—9a 5 —18,所以 a 5 — 2, S n —n a 5 + a n -42—240,S12 —S9= 4,故S i2= 10,.鱼_ 3 -S2= 10.【答案】A5. 设等差数列｛a n｝的前n项和为S n,若a1_—11, a4 + a6_ —6,则当S n取得最小值时，n等于（）A. 6B. 7C. 8D. 9【解析】设公差为d,由a4+ a6_2a5_ —6,得a5_ —3_a1 + 4d,解得d_2,n n—1 2••S_— 11 n+ 2x 2_ n2—12n,• ••当门_ 6时，S n取得最小值.【答案】A二、填空题6. 已知｛a n｝为等差数列，3为其前n项和.若a1_ 6, a3 + a5_0,贝U S6_【解析】'-a3+ a5_ 2a4,.°.a4_ 0.'•a1 _6, a4_a1 + 3d,：d_ —2.6x 6—1.'•S3_ 6a1+ d_ 6.【答案】67. _______ 已知｛a n｝是等差数列，Sn是其前n项和.若a1 + a2_ —3, S5_ 10,则a9 的值是.5 x 4 【解析】法一：设等差数列｛a n｝的公差为d,由S5_ 10,知S5_5a1+= d_ 10,得a1 + 2d_2, 即卩a1_2—2d.所以a2_a1 + d_2 —d,代入a1 + a2_ —3,化简得d2- -6d+ 9—0,所以 d —3, a1 —— 4.故a9 —a1+ 8d—— 4 + 24 —20.法二：5 a1+ a s设等差数列｛a n｝的公差为d,由S5—10，知2—5a3 —10,所以a3= 2.所以由a1+ a3—2a2,得a1—2a2—2,代入a1+ a2——3,化简得a2+ 2a2+ 1=0,所以a2—— 1.公差 d —a3 —a2 —2+ 1 —3,故a9 —a3+ 6d—2+ 18—20.【答案】208. 等差数列｛a n｝的前9项的和等于前4项的和，若a1 —1，a k + a4 —0,则k9X 8【解析】设｛a n｝的公差为d,由3—S4及a1—1得9X 1+〒X d —4X 14 X 3 1 1+ ~2~ X d ,所以d ——6 ,又a k + a4 —0 ,所以1 + k—1 X —石+11+ 4—1 X —6 —0, 即卩k—10.【答案】10三、解答题9. 一个等差数列的前10项之和为100,前100项之和为10,求前110项之和.【解】设等差数列｛a n｝的公差为d,前n项和为S n,则- n n—1S n—na1 + 2 d.10X 910a1 + 2~d—100,100X 99 100a1 + 2 d—10,11①X 10—②，整理得d——55,由已知得1 099代入①，得勿=110X 109所以 S 11O = 110a i + 2 ------ d 1 099 110X 109 11二110X100 + 2X - 501 099- 109X 11 =110 =— 110.100故此数列的前110项之和为一110.10. 已知等差数列｛a n ｝中，a 1 = 9, a 4+ a 7= 0. (1) 求数列｛a n ｝的通项公式；⑵当n 为何值时，数列｛a n ｝的前n 项和取得最大值? 【解】(1)由 a 1 = 9, a 4+ a 7= 0, 得 a 1 + 3d + a 1 + 6d = 0,解得 d = — 2, • a n = a 1 + (n — 1)d —11 — 2n. (2) a 1 — 9, d —-2,n n — 1Sn — 9n + —2— (— 2)— — n 2 + 10n ——(n — 5)2 + 25,•••当n — 5时，S n 取得最大值.［能力提升］1.在项数为2n + 1项的等差数列｛a n ｝中，所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n —( )A . 9B . 10C . 11D . 12【解析】•••等差数列有2n + 1项，又 a i + a 2n +1 = a 2 + a 2n , .躡 n +1165n + 1 •'S 奇— a 1 + a 2n +12 ,S 偶— n a 2 + a 2n冠=~n~ = 150，•'•n= 10.【答案】BA n 7n + 452. 已知两个等差数列｛a n｝与｛b n｝的前n项和分别为A n和B n, 且n+3，则使得a n为整数的正整数n的个数是()A. 2 B . 3C. 4 D . 5a n A2n-1 14n + 38 7n + 19 7n+ 1 + 12 12【解析】b"= = = = = 7 + ,.n= bn B2n-1 2n + 2 n+1 n+1 n+11,2,3,5,11.【答案】D3. 在等差数列｛a n｝中，d = 2, a n= 11, S n= 35,则a1等于________ .n n—1 n n—1【解析】因为Si= na1 + 2 d,所以35= na1+ 2 x2= na1 + n(n —1)①，又a n= a1+ (n—1) d= a1 + 2(n—1),••a + 2(n—1)= 11 ②，由①②可得a1 —2a1 —3= 0,解得a1 = 3或一 1.【答案】3或—14 .从4月1日开始，有一新款服装投入某商场销售，4月1日该款服装销售出10件，第二天销售出25件，第三天销售出40件，以后每天售出的件数分别递增15件，直到4月12号日销售量达到最大，然后，每天销售的件数分别递减10件.(1) 记该款服装4月份日销售与销售天数n的关系为a n,求a n；(2) 求4月份的总销售量；(3) 按规律，当该商场销售此服装超过1 200件时，社会上就流行，而且销售量连续下降，且日销售低于100件时，则流行消失，问：该款服装在社会上流行是否超过10天？【解】(1)从4月1日起每天销售量依次组成数列{a n } , (n € {1,2 ,…，30}) 依题意，数列a 1，a 2，…，a 12是首项为10，公差为15的等差数列， •'a n = 15n — 5(1 w n W 12).a 13，a 14，a 15，…，a 3o 是首项为 a 13= a 12—10= 165，公差为一10的等差数列，••a n = 165+ (n — 13)(— 10)=— 10n + 295(13= n < 30)，15n — 51W n W 12，n € N + ，• 'a n =—10n + 295 13<n W 30，n € N + .(2)4月份的总销售量为 18X 17X — 10+ 18X 165+ 2 = 2 550（件），⑶4月1日至4月12日销售总数为39 ••4月12日前还没有流行.由—10n + 295< 100得n >{， •••第20天流行结束，故该服装在社会上流行没有超过 10天.12 10+ 175212 a 1 + a 122 12 10+ 175=1 110< 1 200，2.2等差数列的前n 项和1 •理解并掌握等差数列的前n 项和公式及其推导过程，体会等差数列的前 n 项和公式与二次函数的关系.（重点）2•熟练掌握等差数列的五个基本量 a i , d , n , a n , S n 之间的联系，能够由其中的任意三个求出其余的两个.（重点）1.等差数列的前n2.已知量n n—1 d 2dS n= na i + —2—d=㊁门+ a i —2 n.d M0时，S n是关于n的二次函数，且无常数项.判断(正确的打“V”，错误的打“x”)(1) 公差为零的数列不能应用等差数列的前n项和公式.()(2) 数列｛n2｝可以用等差数列的前n项和公式求其前n项和S n.()(3) 若数列｛a n｝的前n项和为S n= an2+bn,则｛a n｝是等差数列.()【解析】(1)任何等差数列都能应用等差数列的前n项和公式.(2)数列｛n2｝不是等差数列，故不能用等差数列的前n项和公式.(3)当公差不为0时，等差数列的前n项和是关于n的二次函数(常数项为0).［小组合作型］3(1) 已知等差数列｛a n｝中，a i =2,1d= —2，Si= —15, 求n 和a n；(2) 已知等差数列｛a n｝中，S5= 24,求a2 + a4；(3) 数列｛a n｝是等差数列，a i= 1，a n= —512, —1 022,求公差d;⑷已知等差数列｛a n ｝中,a 2 + a 5= 19, S = 40,求a io .【精彩点拨】运用方程的思想，根据已知条件建立方程或方程组求解，另外解题时要注意整体代换.3 n n —1 1【尝试解答】 (1)S n = n 2+2 •— 2 = — 15,整理得 n - 7n — 60= 0,解得n = 12或n = —5(舍去),3 1所以 a 12= 2+ (12— 1)x — 2 = — 4. (2)设等差数列的首项为a 1,公差为d ,即 5a 1+ 10d = 24,所以 a 〔 + 2d =£, 所以 a 2 + a 4= 2(a 1 + 2d) = 2X 乍=譽 n n — 1⑶因为 a n = a 1 + (n — 1)d , S n = na 1+ 2d , 又 a 1 = 1, a n = — 512, S n =— 1 022,1+ n — 1 d = — 512,①所以 1n +qnn — 1 d =— 1 022,② 把(n — 1)d = — 513代入②得 1n + 刃(—513)= — 1 022,解得 n = 4, 所以 d = — 171.a 1 + d + a 1 + 4d = 19,⑷由已知可得5X 45a 1 + -^d = 40,解得 a 1 = 2, d = 3,则 S 5 = 5a 1 + 5X 5—12d = 24,所以a io= a i + 9d= 2+ 9X 3= 29.等差数列中基本计算的两个技巧：(1) 利用基本量求值.等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量ai,d, n,a n和S n, —般是利用公式列出基本量a i和d的方程组，解出a i和d,便可解决问题•解题时注意整体代换的思想.(2) 利用等差数列的性质解题•等差数列的常用性质：若m+ n = p+ q(m, n,n a i + a np, q€ N+),贝U a m + a n = a p+ a q,常与求和公式S n= 2 结合使用.［再练一题］1. 等差数列中：(1) a i = 105, a n= 994, d= 7,求S n；(2) a n = 8n+ 2, d = 5,求S20；1(3) d= 3, n = 37, S n= 629,求a i 及a n.为响应教育部下发的《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》的要求，某市提出了实施“校校通”工程的总目标：从2011年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网•据测算，2011年该市用于“校校通”工程的经费为500万元•为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元•那么从2011年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？【精彩点拨】将该实际问题转化为数列问题求解，由于每年投入资金都比上一年增加50万元，故可考虑利用等差数列求解.【尝试解答】根据题意，从2011年〜2020年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元，所以，每年投入的资金依次组成等差数列｛a n｝，其中，a1 = 500, d= 50.那么，到2020年(n= 10),投入的资金总额为10X 10—1S io= 10X 500+ 2 X 50= 7 250(万元),即从2011年〜2020年，该市在“校校通”工程中的总投入是7 250万元.有关数列的应用问题，应首先通过对实际问题的研究建立数列的数学模型，最后求出符合实际的答案，可分以下几步考虑：(1) 问题中所涉及的数列｛a n｝有何特征；(2) 是求数列｛a n｝的通项还是求前n项和；(3) 列出等式(或方程)求解.［再练一题］2. 如图1-2-2，一个堆放铅笔的V型架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支.最上面一层放120支，这个V型架上共放着多少支铅笔？图1-2-2［探究共研型］探究1设｛a n｝是等差数列，公差为d, S n是其前n项和，那么S m, S2m- Sn , S3m- S2m也成等差数列吗？如果是，它们的公差是多少？【提示】由S m= a i + a2+…+ a m, S2m- S m= a m+1 + a m + 2+…+ a2m= a i +2md+ a2 + md+ …+ a m+ md= S m+ m d,同^理S3m —S2m —a2m+ 1 + a2m + 2+ …+ a3m —S2m —S m + m2d ,所以S m, S2m—S m, S3m —&m也成等差数列，公差为m2d.、a n , S 2n -1设S 、T n 分别为两个等差数列｛a n ｝和｛b n ｝的前n 项和，那么6与T7有怎样的关系？请证明之.a n 2a n ai + a2n -1bn 2bnb l + b 2n -12n — 1 a i + a 2n —i2 S2n -12n — 1 b 1 + b 2n - 1 T 2n - 12(1) 等差数列｛a n ｝的前m 项和为30,前2m 项和为100,求数列｛a n ｝的前3m 项的和S 3叫7 n -p 2 a 5(2) 两个等差数列｛a n ｝, ｛b n ｝的前n 项和分别为S 和T n ,已知T n = "n +3，求^ 的值.【精彩点拨】 ⑴利用S m , S 2m - S m , S 3m - S m 成等差数列求解.(2)利用前 n 项和结合等差数列的性质将项的比值转化为和的比值求解.【尝试解答】 ⑴在等差数列中，S m,9m — S m,S 3m — S 2m 成等差数列，「30,70, S 3m - 100成等差数列，探究2【提示】a n Sn-1 如―T 2n -1 【证明】•'•2X 70= 30+ (S 3m — 100),.°.S 3m = 210. a 5 2a5 9 ai+a9S 9 65 (2)b 5=2b 5= 9b i + b 9 = T 9= 12.巧妙应用等差数列前n 项和的性质 ⑴“片段和”性质.若｛a n ｝为等差数列，前n 项和为S,贝U S1, S 2n — S n , S 3n — S 2n ,…构成公差为n 2d 的等差数列.⑵项数(下标)的“等和”性质.(3) 项的个数的“奇偶”性质. ｛a n ｝为等差数列，公差为d.①若共有 2n 项，贝U S 2n = n(a n + a n +1)；S 禺 a n +1S 偶—S 奇=nd ;S 奇 a n②若共有 2n + 1 项，贝U S 2n +1 = (2n + 1)a n +1 ； S 偶一S 奇=—a n +1(4) 等差数列｛a n ｝中，若 S n = m , S m =n(m M n),贝U S m+n = — (m + n). (5) 等差数列｛a n ｝中，若 S n = S m (m M n)，贝U S m + n = 0. ［再练一题］S n =n a i + a n 2n a m + a n - m + 12S 禺 n S 奇 n + 13. 已知两个等差数列｛a n｝与｛b n｝的前n(n>1)项和分别是S n和T n,且S n : T n=(2n+ 1) : (3n —2),求甬的值.探究1将等差数列前n项和S n = na i + n；1d变形为S n关于n的函数后, 该函数是怎样的函数？为什么？【提由于S n二na i+ 2 d =a i—； n.示】所以当d M 0时，S n为关于n的二次函数，且常数项为0.探究2类比二次函数的最值情况，等差数列的&何时有最大值？最小值？【提示】由二次函数的性质可以得出，当d>0时，S有最小值；当d v0 时，有最大值，且n取值最接近对称轴的正整数时，S n取得最值.在等差数列｛a n｝中，a io = 18,前5项的和—15.(1) 求数列｛a n｝的通项公式.(2) 求数列｛a n｝的前n项和的最小值，并指出何时取最小值.【精彩点拨】(1)直接根据等差数列的通项公式和前n项和公式列关于首项a i和公差d的方程，求得a1和d,进而得解；(2)可先求出前n项和公式，再利用二次函数求最值的方法求解，也可以利用通项公式，根据等差数列的单调性求解.a1 + 9d = 18，【尝试解答】(1)由题意得 5 X 45a1 + —厂X d=—15,.'a n = 3n —12.n a1+an 1 2 一、3 7 2 147⑵ S n = 2 = 2(3 n —21n) = ?n — 2 —8•••当门=3或4时，前n项的和取得最小值S3= ®= —18.等差数列前n项和的最值问题的三种解法：⑴利用a n：当a i>0, d v 0时，前n项和有最大值，可由a n>0且a n+1<0, 求得n的值；当a i v0, d>0,前n项和有最小值，可由a n<0且a n+i >0,求得n的值.d d(2) 利用S n：由S n=2n2+ a i — 2 n(d^0),利用二次函数配方法求得最值时n 的值.(3) 利用二次函数的图象的对称性.［再练一题］4. 在等差数列｛a n｝中，a i = 25, S i7= S9,求S n的最大值.1. 设3为等差数列｛a n｝的前n项和，3 = 4a3, a7=- 2,则a9=( )A．－6 B．－4 C．－2 D．22. 记等差数列前n项和为3,若S2= 4,9 = 20,则该数列的公差d等于()A. 2B. 3C. 6D. 73. 在等差数列｛a n｝中，a i = 2,前三项和为15,则前6项和为()A. 57B.- 40C.- 57D. 404. ________________________________________________ 在等差数列｛a n｝中，已知a i = 2, d= 2,贝U S20= _________________________ .5. 等差数列｛a n｝中，a io= 30, a20= 50.(1) 求通项公式a n；(2) 若S n= 242,求n.学业分层测评（五）（建议用时：45分钟）［学业达标］、选择题1. 设3是等差数列｛a n｝的前n项和，若a i+ a3+ a5= 3,则（）A. 5B. 7C. 9D. 112. 已知｛a n｝是公差为1的等差数列，S n为｛a n｝的前n项和，若S8= 4S4,则a io=( )C. 10D. 123. 在等差数列｛a n｝中，若S9= 18, S n= 240, a n-4= 30,则n的值为（）A. 14B. 15C. 16D. 174 .设Sn是等差数列｛a n｝的前n项和，若S6= 3，则SB等于（）3 1 1 1A•必 C.8 D.95. 设等差数列｛a n｝的前n项和为S n,若a1=- 11, a4 +a e=-6,则当S n取得最小值时，n等于（）A . 6B . 7C . 8D . 9二、填空题6 .已知｛a n｝为等差数列，Sn为其前n项和.若a1 = 6, a3 + a5= 0,贝U S6=7.已知｛a n｝是等差数列，Sn是其前n项和.若a1 + a2=- 3, S5= 10,则a9 的值是__________ .8 .等差数列｛a n｝的前9项的和等于前4项的和，若a1 = 1, a k + a4= 0,则k三、解答题9. 一个等差数列的前10项之和为100,前100项之和为10,求前110项之和.10. 已知等差数列｛a n｝中，a i = 9, a4+ a7= 0.(1)求数列｛a n｝的通项公式；⑵当n为何值时，数列｛a n｝的前n项和取得最大值?［能力提升］1. 在项数为2n+ 1项的等差数列｛a n｝中，所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n=( )A. 9B. 10C. 11D. 122. 已知两个等差数列｛a n｝与｛b n｝的前n项和分别为A n和B n, 且An=帀+：5,B n n+ 3则使得a n为整数的正整数n的个数是()A. 2 B . 3C. 4 D . 53. ______________________________________________________ 在等差数列｛a n｝中，d = 2, a n= 11, S n= 35,则a1等于 _____________________ .4 .从4月1日开始，有一新款服装投入某商场销售，4月1日该款服装销售出10件，第二天销售出25件，第三天销售出40 件，以后每天售出的件数分别递增15件，直到4月12号日销售量达到最大，然后，每天销售的件数分别递减10 件．(1) 记该款服装4月份日销售与销售天数n的关系为a n,求a n；(2) 求4 月份的总销售量；(3) 按规律，当该商场销售此服装超过1 200 件时，社会上就流行，而且销售量连续下降，且日销售低于 1 00件时，则流行消失，问：该款服装在社会上流行是否超过10 天？。

考点23 等差数列及其前n项和

考点23 等差数列及其前n 项和一、选择题1. （2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ7）设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若21-=-m S ,0=m S ,31=+m S ，则=m （）A.3B.4C.5D. 6【解题指南】利用1--=n n n S S a ，求出m a 及1+m a 的值，从而确定等差数列}{n a 的公差，再利用前n 项和公式求出m 的值.【解析】选C.由已知得，21=-=-m m m S S a ,311=-=++m m m S S a ，因为数列}{n a 为等差数列，所以11=-=+m m a a d ，又因为02)(1=+=m m a a m S ，所以0)2(1=+a m ，因为0≠m ，所以21-=a ，又2)1(1=-+=d m a a m ，解得5=m .2.（2013·安徽高考文科·Ｔ7）设S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和，837=4,2S a a =-，则a 9=（）A.-6B.-4C.-2D.2【解题指南】利用等差数列的前n 项和公式及通项公式求出首项及公差。

【解析】选A 。

由83117187=484(2),2622S a a d a d a a d 由´?=?=-?=-，联立解得1102a d ==-，，所以91810166a a d =+=-=-。

3. （2013·辽宁高考文科·Ｔ4）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ4）相同下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题：1:p 数列{}n a 是递增数列；2:p 数列{}n na 是递增数列；3:p 数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列；4:p 数列{}3n a nd +是递增数列；其中的真命题为（）12342314.,.,.,.,A p p B p p C p p D p p【解题指南】借助增函数的定义判断所给数列是否为递增数列【解析】选D. 递由1(1)n n n a na ++-11(1)()[(1)]n a nd n a n d =++-+-12a nd =+，仅由0d >是无法判断 12a nd +的正负的，因而不能判定 1(1),n n n a na ++的大小关系递显然，当n a n =时，1,n a n =数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数数列，不是递增数列，是数列的第1n +项减去数列的第1[3(1)](3)n n a n d a nd +++-+1()[3(1)n n a a n +=-++二、填空题4. （2013·重庆高考文科·Ｔ12）若2、a 、b 、c 、9成等差数列，则c a -= ．【解题指南】可根据等差数列的性质直接求解.【解析】因为2、a 、b 、c 、9成等差数列，所以公差47429=-=d ,272==-d a c . 【答案】725．（2013·上海高考文科·T2）在等差数列{}n a 中，若a 1+ a 2+ a 3+ a 4=30，则a 2+ a 3= .【解析】 1530)(232324321=+⇒=+=+++a a a a a a a a 【答案】 156. （2013·广东高考理科·Ｔ12）在等差数列{}n a 中，已知3810a a +=，则573a a +=___ 【解题指南】本题考查等差数列的基本运算,可利用通项公式和整体代换的思想求解.【解析】设公差为d ，则3812910a a a d +=+=，571134182(29)20a a a d a d +=+=+=. 【答案】20.7.(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T16)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 10=0,S 15=25,则n S n 的最小值为 .【解题指南】求得S n 的表达式,然后表示出nS n ,将其看作关于n 的函数,借助导数求得最小值.【解析】由题意知:111091002151415252d a d a ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩解得d=23,a 1=-3,所以()212103,233n n n n nS n --=-+⨯= 即nS n =3210,3n n -,令f(n)= 3210,3n n -,则有()220,3n f n n '=-令f'(n)>0,得203n >,令f'(n)<0,得200,3n <<又因为n 为正整数,所以当n=7时, ()32103n n f n -=取得最小值,即nS n 的最小值为-49.【答案】-498.（2013·安徽高考理科·Ｔ14））如图，互不相同的点A 1,A 2,…,A n ,…和B 1,B 2,…,B n ,…分别在角O 的两条边上，所有n n A B 相互平行，且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等。

高中数学课件：第二章23等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用

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法三：由法一可知，d＝－123a1.要使 Sn 最大，则有aann≥＋1≤0，0，即aa11＋＋nn－－1123a－1≤1230a，1≥0，解得 6.5≤n≤7.5，故当 n＝7 时，Sn 最大．
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法四：由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，故a7＋a8＝0，由于a1>0，可知d≠0，所以a7>0，a8<0.所以当n＝7时，Sn最大．
高中数学课件：第二章23 等差数列的前n项和第二课时等差数列前n项和的应用
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令25n2＋225n＝4 750，即n2＋9n－190＝0. 而n是正整数， ∴n＝10. ∴到2021年底，该市历年所建中低价房的累计面积等于4 750万平方米.
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等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3 ＝S11，那么当n为多少时，Sn最大．
[解] 法一：要求数列前多少项的和最大，从函数的观点来看，即求二次函数Sn＝an2＋bn的最大值，故可用求二次函数最值的方法来求当n为多少时，Sn最大．
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n值，再分段求和．
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[通一类] 2．在等差数列中，a10＝23，a25＝－22，
(1)该数列第几项开场为负； (2)求数列{|an|}的前n项和．
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解：设等差数列{an}中，公差为 d，由题意得 a25－a10＝15d＝－45， 23＝a1＋10－1×d， ∴ad1＝＝－503，.

等差数列前n项和的性质及应用

第2课时等差数列前n 项和的性质及应用(教师独具内容)课程标准：1.掌握等差数列前n 项和的性质，并能够运用其来解决问题.2.体会等差数列前n 项和公式与二次函数的联系，并能够运用二次函数的知识解决数列问题．教学重点：等差数列前n 项和的性质及其应用．教学难点：运用二次函数的知识解决数列问题.1．等差数列的前n 项和公式与二次函数之间的关系一般地，对于等差数列{a n }，如果a 1，d 是确定的，前n 项和S n ＝na 1＋n n －12d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，设A ＝d 2，B ＝a 1－d 2，上式可写成S n ＝An 2＋Bn .当A ≠0(即d ≠0)时，S n 是关于n 的二次函数，那么(n ，S n )在二次函数y ＝Ax 2＋Bx 的图象上．因此，当d ≠0时，数列S 1，S 2，S 3，…，S n 的图象是抛物线y ＝Ax 2＋Bx 上的一群孤立的点．可以证明：{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 2．等差数列的前n 项和的最值解决等差数列的前n 项和的最值的方法：(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值，但要注意的是n ∈N *.(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使S n 取最值． (3)通项法：当a 1>0，d <0时，n 为使a n ≥0成立的最大的自然数时，S n 最大．这是因为：当a n >0时，S n >S n －1，即递增；当a n <0时，S n <S n －1，即递减．类似地，当a 1<0，d >0，则n 为使a n ≤0成立的最大自然数时，S n 最小．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若等差数列{a n}的前n项和为S n，则S n一定同时存在最大值和最小值．( )(2)若等差数列{a n}的前n项和为S n，则数列S m，S2m，S3m，…(m∈N*)为等差数列．( )(3)若等差数列{a n}的公差d>0，则该数列S n一定有最小值，d<0，则该数列S一定有最大值．( )n2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知某等差数列共有101项，各项之和为202，则奇数项之和S奇＝________，偶数项之和S偶＝________.(2)设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4＝8，S8＝20，则a13＋a14＋a15＋a16＝________.(3)在等差数列{a n}中，a1＝7，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n＝8时，S取最大值，则d的取值范围为________.n题型一等差数列前n项和性质的应用例1 等差数列{a n}中，前m项的和为30，前2m项的和为100，试求前3m 项的和．[跟踪训练1] 设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S3＝27，S6＝81，则S12＝( )A．270 B．108C．162 D．150题型二等差数列前n项和在实际中的应用例2 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？[跟踪训练2] 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈(1匹＝40尺，一丈＝10尺)，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为( )A.12尺B．815尺C．1629尺D．1631尺题型三等差数列前n项和的最值问题例3 等差数列{a n}中，a1＝25，S17＝S9，问数列前多少项之和最大，并求此最大值．[条件探究] 本例中将“a1＝25”改为“a1<0”，其他条件不变，则n为何值时，S n最小？[跟踪训练3] 设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.(1)求公差d的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．题型四等差数列的奇(偶)项和问题例4 一个等差数列项数为偶数，奇数项之和与偶数项之和分别为24和30，最后一项与第一项之差为10.5，求此数列的首项、公差、项数．[跟踪训练4] (1)一个等差数列共2011项，求它的奇数项和与偶数项和之比；(2)一个等差数列前20项和为75，其中的奇数项和与偶数项和之比为1∶2，求公差d.题型五等差数列前n项和的比例问题例5 (1)已知等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n且SnTn＝7n＋2n＋3，则a5b5＝________；(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，求该数列的公差d .[结论探究] 如果把本例(1)中问题，改为求a 5b 7＝________，怎样解答呢？[跟踪训练5] 若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和A n 和B n 满足关系式A nB n＝7n ＋14n ＋27(n ∈N *)，求a nb n.1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2D ．122．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝12，S 20＝17，则S 30为( ) A ．30 B ．25 C ．20D ．153．(多选)设数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，a 1>0且S 6＝S 9，则( ) A ．d >0B ．a 8＝0C ．S 7或S 8为S n 的最大值D ．S 5>S 64．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子？”这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是________.5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝⎛⎭⎪⎫n ，S n n (n ∈N *)均在函数y ＝3x －2的图象上，求数列{a n }的通项公式．A级：“四基”巩固训练一、选择题1．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝－6，S18－S15＝18，则S18等于( ) A．36 B．18C．72 D．92．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当S n取最小值时，n等于( )A．6 B．7C．8 D．93．设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是( )A．若d<0，则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项，则d<0C．若数列{S n}是递增数列，则对任意n∈N*，均有S n>0D．若对任意n∈N*，均有S n>0，则数列{S n}是递增数列4．已知等差数列{a n}和等差数列{b n}的前n项和分别为S n，T n，且(n＋1)S n＝(7n＋23)T n，则使anbn为整数的正整数n的个数是( )A．2 B．3C．4 D．55．(多选)等差数列{a n}中，若S6<S7且S7>S8，则下面结论正确的是( ) A．a1>0 B．S9<S6C．a7最大D．(S n)max＝S7二、填空题6．在等差数列{a n}中，a n＝4n－52，a1＋a2＋…＋a n＝an2＋bn(n∈N*)，其中a，b均为常数，则ab＝________.7．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝6，S 7＝28，则a n ＝________，a 1＋a nS n ＋4的最大值是________.三、解答题9．在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取得最小值． 10．已知函数f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7，n ∈N *.(1)设函数y ＝f (x )的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n }，求证：数列{a n }为等差数列；(2)设函数y ＝f (x )的图象的顶点到x 轴的距离构成数列{b n }，求{b n }的前n 项和S n .B 级：“四能”提升训练1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n >0，且满足(a n ＋2)2＝4S n ＋4n ＋1，n ∈N *.(1)求a 1及通项公式a n ；(2)若b n ＝(－1)n a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n 在直线y ＝12x ＋112上，数列{b n }满足b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N *)，b 3＝11，且其前9项和为153.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝32a n －112b n －1，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式T n >k57对一切n ∈N *都成立的最大正整数k 的值．第2课时等差数列前n 项和的性质及应用(教师独具内容)课程标准：1.掌握等差数列前n 项和的性质，并能够运用其来解决问题.2.体会等差数列前n 项和公式与二次函数的联系，并能够运用二次函数的知识解决数列问题．教学重点：等差数列前n 项和的性质及其应用．教学难点：运用二次函数的知识解决数列问题.1．等差数列的前n 项和公式与二次函数之间的关系一般地，对于等差数列{a n }，如果a 1，d 是确定的，前n 项和S n ＝na 1＋n n －12d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，设A ＝d 2，B ＝a 1－d 2，上式可写成S n ＝An 2＋Bn .当A ≠0(即d ≠0)时，S n 是关于n 的二次函数，那么(n ，S n )在二次函数y ＝Ax 2＋Bx 的图象上．因此，当d ≠0时，数列S 1，S 2，S 3，…，S n 的图象是抛物线y ＝Ax 2＋Bx 上的一群孤立的点．可以证明：{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 2．等差数列的前n 项和的最值解决等差数列的前n 项和的最值的方法：(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n 项和的最值，但要注意的是n ∈N *.(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使S n 取最值． (3)通项法：当a 1>0，d <0时，n 为使a n ≥0成立的最大的自然数时，S n 最大．这是因为：当a n >0时，S n >S n －1，即递增；当a n <0时，S n <S n －1，即递减．类似地，当a 1<0，d >0，则n 为使a n ≤0成立的最大自然数时，S n 最小．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n 一定同时存在最大值和最小值．( )(2)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则数列S m ，S 2m ，S 3m ，…(m ∈N *)为等差数列．( )(3)若等差数列{a n }的公差d >0，则该数列S n 一定有最小值，d <0，则该数列S n 一定有最大值．( )答案 (1)× (2)× (3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知某等差数列共有101项，各项之和为202，则奇数项之和S 奇＝________，偶数项之和S 偶＝________.(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 13＋a 14＋a 15＋a 16＝________.(3)在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时，S n 取最大值，则d 的取值范围为________.答案 (1)102 100 (2)20 (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－78题型一等差数列前n 项和性质的应用例1 等差数列{a n }中，前m 项的和为30，前2m 项的和为100，试求前3m 项的和．[解] 解法一：利用等差数列{a n }前n 项和公式S n ＝na 1＋n n －12d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧S m＝ma 1＋m m －12d ＝30，S 2m＝2ma 1＋2m 2m －12d ＝100，解得a 1＝10m ＋20m 2，d ＝40m 2，所以S 3m ＝3ma 1＋3m3m －12d ＝210.解法二：记数列{a n }的前n 项和为S n ，由等差数列前n 项和的性质知S m ，S 2m－S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，则2(S 2m －S m )＝S m ＋(S 3m －S 2m )，又S m ＝30，S 2m ＝100，所以S 2m －S m ＝100－30＝70，所以S 3m －S 2m ＝2(S 2m －S m )－S m ＝110，所以S 3m ＝110＋100＝210.等差数列前n项和的常用性质解决此类问题的方法较多，可利用方程的思想方法确定出系数，从而求出S n；也可利用等差数列的“片断和性质”，构造出新数列，从而使问题得到解决．[跟踪训练1] 设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S3＝27，S6＝81，则S12＝( )A．270 B．108C．162 D．150答案 A解析∵S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，且该数列的公差d＝S6－S3－S3＝27，∴S9－S6＝S3＋2d＝81，S12－S9＝S3＋3d＝108，∴S9＝162，S12＝270.题型二等差数列前n项和在实际中的应用例2 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？[解]设每次交款数额依次为a1，a2，…，a20，则a1＝50＋1000×1%＝60(元)，a2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5(元)，…a10＝50＋(1000－9×50)×1%＝55.5(元)．即第10个月应付款55.5元．由于{a n}是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列，所以有S20＝60＋60－19×0.52×20＝1105(元)，即全部付清后实际付款1105＋150＝1255(元)．建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．[跟踪训练2] 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈(1匹＝40尺，一丈＝10尺)，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为( )A.12尺B．815尺C．1629尺D．1631尺答案 C解析由题意可得，每天织布的量组成了等差数列{a n}，a1＝5，S30＝9×40＋30＝390，设公差为d，则30×5＋30×292d＝390，解得d＝1629.故选C.题型三等差数列前n项和的最值问题例3 等差数列{a n}中，a1＝25，S17＝S9，问数列前多少项之和最大，并求此最大值．[解]由题意，可知a1＝25，S17＝S9，则17a1＋17×162d＝9a1＋9×82d，d＝－2.解法一：S n＝25n＋n n－12×(－2)＝－(n－13)2＋169.故前13项之和最大，最大值是169.解法二：S n＝d2n2＋⎝⎛⎭⎪⎫a1－d2n(d<0)，S n 的图象是开口向下的抛物线上一群离散的点，最高点的横坐标为9＋172，即S13最大．如右图所示，最大值为169.解法三：∵S 17＝S 9， ∴a 10＋a 11＋…＋a 17＝0.∴a 10＋a 17＝a 11＋a 16＝…＝a 13＋a 14＝0. ∵a 1＝25>0，∴a 13>0，a 14<0. ∴S 13最大，最大值为169.解法四：∵a 1＝25>0，由⎩⎨⎧a n ＝25－2n －1≥0，a n ＋1＝25－2n <0，得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤1312，n >1212.∴当n ＝13时，S n 有最大值169.[条件探究] 本例中将“a 1＝25”改为“a 1<0”，其他条件不变，则n 为何值时，S n 最小？解 ∵S 17＝S 9，∴a 10＋a 11＋…＋a 17＝0， ∴a 10＋a 17＝a 11＋a 16＝…＝a 13＋a 14＝0. ∵a 1<0，∴a 13<0，a 14>0，∴S 13最小，∴当n ＝13时，S n 最小．求解等差数列前n项和最值问题的常用方法(1)二次函数法，即先求得S n 的表达式，然后配方．若对称轴恰好为正整数，则就在该处取得最值；若对称轴不是正整数，则应在离对称轴最近的正整数处取得最值，有时n 的值有两个，有时可能为1个．(2)不等式法①当a 1＞0，d ＜0时，由⎩⎨⎧ a m ≥0，a m ＋1＜0⇒S m 为最大值；②当a 1＜0，d ＞0时，由⎩⎨⎧a m ≤0，a m ＋1＞0⇒S m 为最小值．(3)寻求正、负项交替点法，即利用等差数列的性质，找到数列中正数项与负数项交替变换的位置，其实质仍然是找到数列中最后的一个非正数项(或非负数项)，然后确定S n 的最值．[跟踪训练3] 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12>0，S 13<0. (1)求公差d 的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．解 (1)∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d ，∵S 12>0，S 13<0， ∴⎩⎨⎧12a 1＋66d >0，13a 1＋78d <0，即⎩⎨⎧ 24＋7d >0，3＋d <0，∴－247<d <－3. (2)∵S 12>0，S 13<0，∴⎩⎨⎧a 1＋a 12>0，a 1＋a 13<0，∴⎩⎨⎧a 6＋a 7>0，a 7<0，∴a 6>0，又由(1)知d <0.∴数列前6项为正，从第7项起为负． ∴数列前6项和最大.题型四等差数列的奇(偶)项和问题例4 一个等差数列项数为偶数，奇数项之和与偶数项之和分别为24和30，最后一项与第一项之差为10.5，求此数列的首项、公差、项数．[解] 解法一：设此数列的首项为a 1，公差为d ，项数为2k (k ∈N *)．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝24，S偶＝30，a2k －a 1＝212，即⎩⎪⎨⎪⎧12k a 1＋a 2k －1＝24，12k a 2＋a2k＝30，2k －1d ＝212，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k [a 1＋k －1d ]＝24，k a 1＋kd ＝30，2k －1d ＝212，解得a 1＝32，d ＝32，k ＝4，∴首项为32，公差为32，项数为8.解法二：设此数列的首项为a 1，公差为d ，项数为2k (k ∈N *)．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S奇＝24，S偶＝30，a2k －a 1＝212，∴⎩⎨⎧S 偶－S 奇＝6，a2k －a 1＝212，∴⎩⎨⎧kd ＝6，2k －1d ＝212，∴⎩⎨⎧k ＝4，d ＝32.代入S 奇＝k 2(a 1＋a 2k －1)＝24，可得a 1＝32.∴首项为32，公差为32，项数为8.等差数列的奇(偶)项和的性质(1)设等差数列{a n }的项数为2n (n ∈N *)，则有： ①S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n(S 奇，S 偶分别是数列{a n }的所有奇数项和、偶数项和)．(2)设等差数列{a n }的项数为2n －1(n ≥2，且n ∈N *)，则S 2n －1＝(2n －1)a n (a n是数列的中间项)，S奇－S偶＝a n，S奇S偶＝nn－1.[跟踪训练4] (1)一个等差数列共2011项，求它的奇数项和与偶数项和之比；(2)一个等差数列前20项和为75，其中的奇数项和与偶数项和之比为1∶2，求公差d.解(1)等差数列{a n}共有1006个奇数项，1005个偶数项，∴S奇＝1006a1＋a20112，S偶＝1005a2＋a20102.∵a1＋a2011＝a2＋a2010，∴S奇S偶＝10061005.(2)前20项中，奇数项和S奇＝13×75＝25，偶数项和S偶＝23×75＝50，又S偶－S奇＝10d，∴d＝50－2510＝2.5.题型五等差数列前n项和的比例问题例5 (1)已知等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n且SnTn＝7n＋2n＋3，则a5b5＝________；(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，求该数列的公差d.[解析](1)解法一：a5b5＝S9T9＝7×9＋29＋3＝6512.解法二：可设S n＝(7n＋2)nt，T n＝(n＋3)nt(t≠0)．则a5＝S5－S4＝65t，b5＝T5－T4＝12t.故a5b5＝65t12t＝6512.(2)由题意，知⎩⎨⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎨⎧S 偶＝192.S 奇＝162.因为S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5. [答案] (1)6512(2)见解析 [结论探究] 如果把本例(1)中问题，改为求a 5b 7＝________，怎样解答呢？答案6516解析设S n ＝(7n ＋2)nt ，T n ＝(n ＋3)nt (t ≠0)， ∴a 5＝65t ，b 7＝T 7－T 6＝(7＋3)×7t －(6＋3)×6t ＝16t .∴a 5b 7＝65t 16t ＝6516.解决等差数列前n 项和问题的两种思路(1)涉及一个有限的等差数列的奇数项和与偶数项和之比的问题，宜用等差数列前n 项和的性质求解．(2)涉及两个等差数列项的比，可以转化为两等差数列前n 项和之比来处理． [跟踪训练5] 若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和A n 和B n 满足关系式A n B n＝7n ＋14n ＋27(n ∈N *)，求a nb n. 解 ∵等差数列的前n 项和S n ＝na 1＋n n －12d ＝dn 22＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，A n B n ＝7n ＋14n ＋27， ∴设A n ＝k (7n 2＋n )，B n ＝k (4n 2＋27n )．当n ≥2时，a n ＝A n －A n －1＝7kn 2＋kn －7k (n －1)2－k (n －1)＝k (14n －6)，b n＝B n －B n －1＝k (4n 2＋27n )－k [4(n －1)2＋27(n －1)]＝k (8n ＋23)．∴a n b n ＝14n －68n ＋23，当n ＝1时，也成立．1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2D ．12答案 A 解析 S 9S 5＝92a 1＋a 952a 1＋a 5＝92·2a 552·2a 3＝9a 55a 3＝95·a 5a 3＝1. 2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝12，S 20＝17，则S 30为( ) A ．30 B ．25 C ．20 D ．15答案 D解析因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，所以S 10＋(S 30－S 20)＝2(S 20－S 10)，所以12＋(S 30－17)＝2×(17－12)，解得S 30＝15.3．(多选)设数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，a 1>0且S 6＝S 9，则( ) A ．d >0B ．a 8＝0C ．S 7或S 8为S n 的最大值D ．S 5>S 6答案 BC解析因为S n ＝na 1＋n n －12d ，所以S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，又因为a 1>0，S 6＝S 9，所以d <0，二次函数y ＝d2x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2x 图象的对称轴为x ＝6＋92＝152，所以二次函数图象的开口向下，所以二次函数y ＝d2x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，152上单调递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫152，＋∞上单调递减，所以S 5<S 6，故A ，D 错误；在最靠近152的整数n ＝7或n ＝8时，S n 取得最大值，故C 正确；因为S 7＝S 8，所以a 8＝0，故B 正确．故选BC.4．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子？”这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是________.答案 18解析设第一个人分到的橘子个数为a 1，由题意，得S 5＝5a 1＋5×42×3＝60，解得a 1＝6.则a 5＝a 1＋(5－1)×3＝6＋12＝18，∴得到橘子最多的人所得的橘子个数是18.5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n (n ∈N *)均在函数y ＝3x －2的图象上，求数列{a n }的通项公式．解依题意得，S nn＝3n －2，即S n ＝3n 2－2n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5，因为a 1＝S 1＝1，满足a n ＝6n －5，所以a n ＝6n －5(n ∈N *)．A 级：“四基”巩固训练一、选择题1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝－6，S 18－S 15＝18，则S 18等于( ) A ．36 B ．18 C ．72 D ．9答案 A解析由S 3，S 6－S 3，…，S 18－S 15成等差数列，可知S 18＝S 3＋(S 6－S 3)＋(S 9－S 6)＋…＋(S 18－S 15)＝6×－6＋182＝36.2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 A解析 ∵{a n }是等差数列，∴a 4＋a 6＝2a 5＝－6，即a 5＝－3，则d ＝a 5－a 15－1＝－3＋114＝2，∴{a n }是首项为负数的递增数列，所有的非正项之和最小．∵a 6＝－1，a 7＝1，∴当n ＝6时，S n 取得最小值．3．设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误的是( )A ．若d <0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d <0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0D ．若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列答案 C解析设{a n }的首项为a 1，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .由二次函数性质知S n 有最大值时，则d <0，故A ，B 正确；因为{S n }为递增数列，则d >0，不妨设a 1＝－1，d ＝2，显然{S n }是递增数列，但S 1＝－1<0，故C 错误；对任意n ∈N *，S n 均大于0时，a 1>0，d >0，{S n }必是递增数列，D 正确．4．已知等差数列{a n }和等差数列{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且(n ＋1)S n＝(7n ＋23)T n ，则使a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 C解析由题意，可得SnTn＝7n＋23n＋1，则anbn＝2a n2b n＝n a1＋a2n－12n b1＋b2n－12＝S2n－1T2n－1＝14n＋162n＝7n＋8 n ＝7＋8n，经验证，知当n＝1,2,4,8时，anbn为整数，即使anbn为整数的正整数n的个数是4，故选C.5．(多选)等差数列{a n}中，若S6<S7且S7>S8，则下面结论正确的是( ) A．a1>0 B．S9<S6C．a7最大D．(S n)max＝S7答案ABD解析等差数列{a n}中，若S6<S7且S7>S8，则a7>0，a8<0，故d<0.a1＝a7－6d>0，A正确；S9－S6＝a7＋a8＋a9＝3a8<0，故S9<S6，B正确；因为a6>a7，故C错误；因为a7>0，a8<0，故(S n)max＝S7，D正确．故选ABD.二、填空题6．在等差数列{a n}中，a n＝4n－52，a1＋a2＋…＋a n＝an2＋bn(n∈N*)，其中a，b均为常数，则ab＝________.答案－1解析∵a n＝4n－52，∴a1＝32.设等差数列{a n}的公差为d，则d＝a n＋1－a n＝4.∴an2＋bn＝a1＋a2＋…＋a n＝32n＋n n－12×4＝2n2－12n.∴a＝2，b＝－12，故ab＝－1.7．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．答案2000解析假设开始时将树苗集中放置在第n棵树坑旁边(其中1≤n≤20且n∈N*)，则20名同学往返所走的路程总和为S＝20＋40＋…＋20(n－1)＋20＋40＋…＋20(20－n)＝20[1＋2＋…＋(n－1)＋1＋…＋(20－n)]＝20⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1＋1n －12＋20－n ＋120－n 2＝20(n 2－21n ＋210)＝20⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫n －2122＋210－2124因为n ∈N *且1≤n ≤20，所以当n ＝10或11时，S 取最小值，且最小值为2000米．8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝6，S 7＝28，则a n ＝________，a 1＋a n S n ＋4的最大值是________.答案 n 17解析设等差数列{a n }的公差为d ，则 ⎩⎨⎧S 3＝3a 1＋3d ＝6，S 7＝7a 1＋21d ＝28，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n .S n ＝n a 1＋a n2＝n n ＋12，∴a 1＋a n S n ＋4＝21＋nn ＋5n ＋4，令t ＝n ＋1，则t ≥2且t ∈N ，a 1＋a n S n ＋4＝2tt ＋4t ＋3＝2t ＋12t＋7，由对勾函数的单调性可知，函数y ＝t ＋12t＋7在t ∈(0,23)时单调递减，在t ∈(23，＋∞)时单调递增，当t ＝3或t ＝4时，a 1＋a n S n ＋4取得最大值为17. 三、解答题9．在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取得最小值．解 (1)设{a n }的首项、公差分别为a 1，d .则⎩⎨⎧a 1＋9d ＝18，5a 1＋52×4×d ＝－15，解得a 1＝－9，d ＝3，∴a n ＝3n －12.(2)S n ＝n a 1＋a n2＝12(3n 2－21n )＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－1478， ∴当n ＝3或n ＝4时，前n 项的和取得最小值为－18.10．已知函数f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7，n ∈N *.(1)设函数y ＝f (x )的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n }，求证：数列{a n }为等差数列；(2)设函数y ＝f (x )的图象的顶点到x 轴的距离构成数列{b n }，求{b n }的前n 项和S n .解 (1)证明：因为f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7 ＝[x －(n ＋1)]2＋3n －8，所以a n ＝3n －8，因为a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)－8－(3n －8)＝3，所以数列{a n }为等差数列．(2)由题意知，b n ＝|a n |＝|3n －8|，所以当1≤n ≤2时，b n ＝8－3n ，S n ＝n b 1＋b n2＝n [5＋8－3n ]2＝13n －3n 22，当n ≥3时，b n ＝3n －8，S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝5＋2＋1＋…＋(3n －8) ＝7＋n －2[1＋3n －8]2＝3n 2－13n ＋282.所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 13n －3n 22，1≤n ≤2，n ∈N *，3n 2－13n ＋282，n ≥3，n ∈N *.B 级：“四能”提升训练1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n >0，且满足(a n ＋2)2＝4S n ＋4n ＋1，n ∈N *.(1)求a 1及通项公式a n ；(2)若b n ＝(－1)n a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)对于(a n ＋2)2＝4S n ＋4n ＋1， ①n ＝1时，(a 1＋2)2＝4a 1＋5，a 21＝1，而a n >0，则a 1＝1.又(a n ＋1＋2)2＝4S n ＋1＋4(n ＋1)＋1， ②由②－①可得(a n ＋1＋2)2－(a n ＋2)2＝4a n ＋1＋4，a 2n ＋1＝(a n ＋2)2，而a n >0，∴a n ＋1＝a n ＋2，即a n ＋1－a n ＝2.∴{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，即a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.(2)∵b n ＝(－1)n ·(2n －1)，∴T n ＝－1＋3－5＋7＋…＋(－1)n (2n －1)，当n 为偶数时，T n ＝＝n ；当n 为奇数时，T n ＝－(2n －1)＝－n . 综上所述，T n ＝(－1)n ·n .2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝⎛⎭⎪⎫n ，S n n 在直线y ＝12x ＋112上，数列{b n }满足b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N *)，b 3＝11，且其前9项和为153. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝32a n －112b n －1，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式T n >k 57对一切n ∈N *都成立的最大正整数k 的值．解 (1)由已知，得S n n ＝12n ＋112，∴S n ＝12n 2＋112n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n 2＋112n －12(n －1)2－112(n －1)＝n ＋5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝6也符合上式，∴a n ＝n ＋5(n ∈N *)．由b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N *)知{b n }是等差数列．由{b n }的前9项和为153，可得9b1＋b92＝9b5＝153，得b5＝17，又b3＝11，∴{b n}的公差d＝b5－b32＝3.∵b3＝b1＋2d，∴b1＝5.∴b n＝3n＋2(n∈N*)．(2)c n＝32n－16n＋3＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n－1－12n＋1，∴T n＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n＋1.∵n增大时，T n增大，∴{T n}是递增数列．∴T n≥T1＝1 3 .若T n>k57对一切n∈N*都成立，只要T1＝13>k57，∴k<19，则k max＝18.。

2.3等差数列的前n项和(3)

答案：9
[例3] 在等差数列{an}中，S12＝354，在这 12项中S偶∶S奇＝32∶的性质．
[解]
解法 1：设等差数列的首项和公差分别为 a1 和 d，
12×11 则 12a1＋ d＝354， 2 6×5 6a1＋d＋ 2d 2 32 ＝，∴d＝5. 27 6×5 6a1＋ 2d 2
S 奇＋ S 偶＝120，解析：(1) S 奇＝ 11， S 偶 13 ∴S 偶－S 奇＝5d. ∴65－55＝5d.∴10＝ 5d. ∴d＝2.
S 奇＝55， ⇒ S 偶＝65，
(2)解法 1：∵S 奇＝ a1＋a3＋…＋ a2n＋1 n＋1a1＋a2n＋1 ＝， 2 na2＋a2n S 偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝， 2 又∵ a1＋a2n＋1＝ a2＋ a2n， ∴ S 奇 n＋1 ＝，选 B. n S偶
若两个等差数列 {an} 和 {bn} 的前 n 项和 An 和 Bn
7n＋1 A an 满足关系式 n＝ (n∈N*)，求 . Bn 4n＋27 bn
[分析] 条件是前n项和的比值，而结论是通项的比值．所以，需要将通项的比值转化为前n项和的比值．
[解]
由等差数列性质：
a1＋a2n－1 b1＋b2n－1 an＝，bn＝， 2 2 a1＋a2n－1 2n－1a1＋a2n－1 A2n－1 an 2 2 ∴ ＝＝＝ bn b1＋b2n－1 2n－1b1＋b2n－1 B2n－1 2 2
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知

2.3等差数列的前n项和(1)课件(人教A版必修5)

设 Sn，Sn′分别表示数列{an}和{|an|}的前 n 项和，当 n≤20
nn－1 时，Sn′＝－Sn＝－－60n＋ × 3 2
3 2 123 ＝－2n ＋ 2 n；8 分当 n>20 时，Sn′＝－S20＋(Sn－S20)＝Sn－2S20
nn－1 20×19 ＝－60n＋ 2 ×3－2×－60×20＋ × 3 2
由题目可获取以下主要信息： na1＋an 由 Sn＝，an＝a1＋(n－1)d，联立列方程组． 2 解答本题要紧扣等差数列的求和公式的两种形式，利用等差数列的性质解题．
[解题过程]
nn－1 (1)∵an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋ 2 d，
又 a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022， 1＋n－1d＝－512， ∴ 1 n＋ nn－1d＝－1 022. 2 解得 n＝4，d＝－171.
解析： a1＋a3＋a5＝3a3＝9，∴a3＝3. 又∵a6＝9，a3＝3，∴d＝2，a1＝－1. 6×6－1 ∴S6＝6×(－1)＋ ×2＝24. 2
• 已知数列{an}是等差数列， • (1)若a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求公差 d； • (2)若a2＋a5＝19，S5＝40，求a10； • (3)若S10＝310，S20＝1 220，求Sn.
d2 a1－ 2
2d
1 a1 d d1 a12 2 ＝2n－2－ d －22－ d .
由二次函数的最大值、最小值知识及 n∈N*知，当 n 取 1 a1 最接近2－ d 的正整数时，Sn 取到最大值(或最小值)，值得注 1 a1 意的是最接近2－ d 的正整数有时 1 个，有时 2 个． (2)根据项的正负来定．若 a1>0，d<0，则数列的所有正数项之和最大；若 a1<0，d>0，则数列的所有负数项之和最小． ,

2012年高考试题分类考点23 等差数列及其前n项和

考点23 等差数列及其前n 项和一、选择题1.（2012·辽宁高考理科·Ｔ6）在等差数列{n a }中，已知4a +8a =16，则该数列前11项和11S =（）(A)58 (B)88 (C)143 (D)176 【解题指南】利用等差数列的性质：,,,,m n p qm n p q N m n p q a a a a ∈+=+⇒+=+，利用公式12nn a a S n +=求和.【解析】选B.由于{}n a 为等差数列，所以1114816a a a a +=+=，所以11111==8822+⨯=a a S 11（）1116. 2.（2012·辽宁高考文科·Ｔ4）在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则a 2+a 10 =（）(A) 12 (B) 16 (C) 20 (D)24 【解题指南】利用等差数列的性质：,,,,m n p qm n p q N m n p q a a a a ∈+=+⇒+=+.【解析】选B. 由于{}n a 为等差数列，所以2104816a a a a +=+=.3.（2012·浙江高考理科·Ｔ7）设n S 是公差为d （d ≠0）的无穷等差数列﹛n a ﹜的前n 项和，则下列命题错误的是（） (A)若d ＜0，则数列﹛n S ﹜有最大项 (B)若数列﹛n S ﹜有最大项，则d ＜0(C)若数列﹛n S ﹜是递增数列，则对任意*n N ∈，均有0n S >(D)若对任意*n N ∈,均有n S ＞0,则数列﹛n S ﹜是递增数列【解题指南】考查等差数列的前n 项的增减性、要全面考虑问题.【解析】选C. 若数列﹛n a ﹜为递增数列,但数列的前若干项可能为负数，则存在*n N ∈，n S ＜0．故选项Ｃ错误．4.（2012·福建高考理科·Ｔ2）等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 的公差为（）(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解题指南】结合等差数列的中项公式及等差数列的定义求公差. 【解析】选B ．153210a a a +==，35a =，所以432d a a =-=. 5.（2012·福建高考文科·Ｔ11）数列{}n a 的通项公式cos2n n a n π=，其前n 项和为S n ，则S 2 012等于（）(A)1 006 (B)2 012 (C)503 (D)0 【解析】选A.cos2n n a n π=，所以1cos 02a π==，22cos 2a π==-，333cos 02a π==，44cos 24a π==,…可见，前2 012项的所有奇数项为0，1 006个偶数项依次为2,4,6,8,-- ，发现依次相邻两项的和为2，所以S 2 012=1 006．二、填空题6.（2012·江西高考理科·Ｔ12）设数列{}{},n n a b都是等差数列.若11337,21a b a b +=+=，则55a b +=________【解题指南】根据等差数列的性质，整体得到113355,,a b a b a b +++三者所满足的关系，求得55a b +的值.【解析】{}{},n n a b均是等差数列，根据等差数列的性质，1532a a a +=，1532b b b +=，即5312a a a =-，()()55331122217a b a b a b ∴+=+-+=⨯-＝35.【答案】357.（2012·广东高考理科·Ｔ11）已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2324a a =-，则n a = .【解析】设等差数列公差为d ，则由2324,a a =- 24+=(+)-,d d 得121242=,d d ∴∴=±，由于该数列为递增数列，2-d ∴=2，【答案】21-n8.（2012·福建高考理科·Ｔ14）数列{}n a 的通项公式cos12n n a n π=+，前n 项和为n s ，则s 2 012=_______．【解题指南】对于特殊角的三角函数值要熟识，进而列举数列的前几项，发现规律，然后求和．【解析】cos12n n a n π=+，所以1cos 112a π=+=，22cos 121a π=+=-+，333cos 112a π=+=，44cos 2141a π=+=+，可见，前 2 012项的所有奇数项为1，10S =奇 1 006，1 006个偶数项依次为21,41,61,81,-++-++ ，发现依次相邻两项的和为4，所以所以【答案】3 0189.（2012·北京高考文科·Ｔ10）与（2012·北京高考理科·Ｔ10）相同已知{n a }为等差数列，n S 为其前n 项和，若1a =12，2S =3a ，则2a =_______，n S_______．【解题指南】利用等差数列的基本量及性质进行求解．【解析】231233211,,2S a a a a d a a a =∴+=∴=-==，211a a d ∴=+=，2n n n S 44=+．【答案】1 2n n44+。

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高斯的故事
高斯上小学时，有一次数学老师给同学们出了一道题：计算从1到100的自然数之和。那个老师认为，这些孩子算这道题目需要很长时间，所以他一写完题目，就坐到一边看书去了。谁知，他刚坐下，马上就有一个学生举手说：“老师，我做完了。”老师大吃一惊，原来是班上年纪最小的高斯。老师走到他身边，只见他在笔记本上写着5050，老师看了，不由得暗自称赞。为了鼓励他，老师买了一本数学书送给他。
n(a1 an ) (1) 2
思考：若已知a1及公差d，结果会怎样呢？
Sn
na1
n(n 1) 2
d (2)
等差数列的前n项和公式的其它形式
Sn
n（a1 2
an )
an a1(n1)d
Sn
na1
n（n 1) 2
d
分析公式的结构特征
举例
例:等差数列－10,－6,－,2,…的前多少项的和为54？
解得
a 4d
从而这三边的长是
3d, 4d, 5d,
因此，这三条边的长的比是3：4：5
4、S K，S2K
S K，S3K
S2 K，S4 K
S3
，
K
也成等差数列
作业
P.52 练习1、2、3
S14
2
735.
答：集合M共有14个元素，它们的和等于735.
3、已知一个直角三角形的三条边的长成等差数列，求证它们的比是3：4：5.
证明：将成等差数列的三条边的长从小到大排列，
它们可以表示为 a-d, a, a+d (这里a-d>0,d>0)
由勾股定理，得到
(a d)2 a2 (a d)2
解：设题中的等差数列是｛an｝，前n项和为Sn. 则a1＝－10，d＝－6－（－10）＝4，Sn＝54. 由等差数列前n项和公式，得
10n n(n 1) 4 54 2
解得 n1＝9，n2＝－3（舍去）. 因此，等差数列的前9项和是54.
1.an＝？ an = 4n-14 2. Sn呢？ Sn = 2n2-12n
1 2 3 (n 1) n n (n 1) 2
问题2
• 如图，建筑工地上一堆圆木，从上到下每层的数目分别为1，2，3，……，10 . 问共有多少根圆木？请用简便的方法计算.
数列前n 项和的意义
数列｛ an ｝： a1， a2 ， a3 ，…， an ，… 我们把 a1＋a2 ＋ a3 ＋ … ＋ an 叫做数列｛ an ｝的前n项和，记作Sn
Sn的深入认识
an an = 4n-14
Sn = 2n2-12n Sn
O
6n
O
n
课外探索
1、已知等差数列16，14，12，10， … (1)前多少项的和为72？ (2)前多少项的和为0？ (3)前多少项的和最大？
2、求集合 M m | m 7n, n N,且m 100
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
的元素个数，并求这些元素的和.
思考：现在如果要你算，你能否用简便的方法来算出它的值呢？
问题1
1.计算：1 2 3 99 100 100 ＋99＋98＋ …＋2 ＋1
1 2 3 99 100 100 (1100) 5050 2
2.计算：
1 2 3 (n 1) n n＋(n-1) ＋ (n-2) ＋…＋ 2 ＋1
公式的推导
设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，即 Sn=a1+a2+…+an =a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d]
又Sn=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d]
∴2Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)
此种求和法称为倒序相加法
=n(a1+an) n个
Sn
解：7n 100 n 100 14 2
7
7
所以集合M中的元素共有14个. 将它们从小到大列出，得
7,27, 37, 47, , 147,
即 7，14，21，28，…，98
这个数列是成等差数列，记为 an
a1 7, a14 98, n 14 14 (7 98)
Sn
n（a1 2
an )
P43，例1
思考：对于等差数列的相关量a1,an,d,n,sn,已知几个就可以确定其他的量？
知三求二练习：P45，1
利用sn 求an
练习：P45，2，3
作业：P46，1（1）（3），2（1）（4），4 选做： P46，6 做在课本上：P46的其他题课后证明：若sn是等差数列{an}的前n项和，求证： sk,s2k-sk,s3k-s2k也成等差数列。

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