等价无穷小公式大全

18个等价无穷小替换公式

18个等价无穷小替换公式(1)x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(x+1)~e^x-1~ln(x+根号(1+x^2))~(a^x-1)/lna~[(1+x)^a-1]/a; (共10个等阶无穷小量)(2)x^2~2-2cosx~2根号(1+x^2)-2；(共3个等阶无穷小量)；(3)x^3~6x-6sinx~3tanx-3x~6arcsinx-6x~2tanx-2sinx.(共5等阶无穷小量).不难发现，每一组等阶无穷小量都有一个关于x的等项式与之对应。

可以说，第一组是一阶无穷小量，第二组是二阶无穷小量，而第三组是三阶无穷小量。

这里的"阶"指的是关于x的单项式中，x的指数。

所谓等阶无穷小，指的是两个无穷小量的商的极限等于1. 比如最常见的是第一个重要极限lim(x->0)sinx/x=1. 事实上，这个极限的倒数形式lim(x->0)x/sinx=1也是成立的。

三组等阶无穷小量，一共18个无穷小量其实不止组成类似于第一个重要极限这样的等阶无穷小公式。

其实第一组等阶无穷小量可以组成55个类似的公式；第二组等阶无穷小量可以组成6个类似的公式；第三组等阶无穷小量可以组成15个类似的公式。

这里无法一一累述，希望你可以自己动手试一试，以加强对它们的理解和记忆。

等阶无穷小最主要的用途，当然就是应用在求极限时的等阶无穷小替换了。

下面举几个运用等阶无穷小替换求极限的例子：利用等阶无穷小量替换求极限：(1)lim(x->0)arctanx/sin(4x)；(2)lim(x->0)(tanx-sinx)/sinx^3；(3)lim(x->无穷大)(xarctan(1/x))/(x-cosx)；(4)lim(x->0)(根号(1+x^2)-1)/(1-cosx).解：(1)因为arctanx~x, sin4x~4x,所以原极限=lim(x->0)x/(4x)=1/4.(2)因为tanx-sinx=sinx(1-cosx)/cosx，又sinx~x, 1-cosx~x^2/2，sinx^3~x^3，lim(x->0)cosx=1，所以原极限=lim(x->0)(x^3/2)/x^3=1/2.(3)因为arctan(1/x)~1/x, 且cosx有界，所以原极限=lim(x->无穷大)1/(x-cosx)=0.(4)因为根号(1+x^2)-1~x^2/2, 1-cosx~x^2/2, 即根号(1+x^2)-1~1-cosx，所以原极限=1.怎么样，等阶无穷小替换运用起来是不是很简单啊？一切都建立在对等阶无穷小的理解以及上面三组等阶无穷小量的记忆的基础上。

等价无穷小替换公式表

等价无穷小替换公式表
等价无穷小替换公式如下：
1、sinx~x
2、tanx~x
3、arcsinx~x
4、arctanx~x
5、1-cosx~(1/2)*（x^2）~secx-1
等价无穷小是无穷小之间的一种关系，指的是在同一自变量的趋向过程中，若两个无穷小之比的极限为1，则称这两个无穷小是等价的。

求极限时使用等价无穷小的条件：
1、被代换的量，在去极限的时候极限值为0。

2、被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

无穷小比阶：
高低阶无穷小量：lim（x趋近于x0）f（x）/g（x）=0，则称当x趋近于x0时，f为g的高阶无穷小量，或称g为f的低阶无穷小量。

同阶无穷小量：lim（x趋近于x0）f（x）/g（x）=c（c不等于0），ƒ和ɡ为x趋近于x0时的同阶无穷小量。

等价无穷小量：lim（x趋近于x0）f（x）/g（x）=1，则称ƒ和ɡ是当x趋近于x0时的等价无穷小量，记做f（x）~g（x）[x趋近于x0]。

无穷小的等价公式大全

无穷小的等价公式大全1. 基本等价无穷小（当xto0时）- sin xsim x- tan xsim x- arcsin xsim x- arctan xsim x- 1 - cos xsim(1)/(2)x^2- e^x-1sim x- ln(1 + x)sim x- (1 + x)^α-1simα x（α≠0）2. 复合函数中的等价无穷小替换。

- 例如，当u(x)to0（xto a）时，sin u(x)sim u(x)，tan u(x)sim u(x)等。

同样的规则适用于上述所有基本等价无穷小关系。

例如，当xto0时，e^3x-1sim3x，这里u =3x，因为当xto0时3xto0，根据e^u-1sim u（uto0）得到e^3x-1sim3x。

3. 等价无穷小在极限计算中的应用。

- 在计算limlimits_xto a(f(x))/(g(x))时，如果f(x)和g(x)可以表示为等价无穷小的形式，那么可以进行替换来简化计算。

例如：- limlimits_xto0(sin 2x)/(x)=limlimits_xto0(2x)/(x)=2，这里利用了sin 2xsim2x （xto0）。

- 但是要注意，等价无穷小替换只能在乘除运算中直接使用，在加减运算中使用时需要谨慎，一般需要先将式子进行变形，转化为乘除形式后再使用等价无穷小替换。

例如：- limlimits_xto0(tan x - sin x)/(x^3)不能直接将tan x替换为x，sin x替换为x得到limlimits_xto0(x - x)/(x^3) = 0（这是错误的）。

- 正确的做法是：tan x-sin x=sin x((1)/(cos x)-1)=(sin x(1 - cos x))/(cos x)，然后再利用等价无穷小sin xsim x，1 - cos xsim(1)/(2)x^2（xto0）进行计算。

几个重要的等价无穷小公式

几个重要的等价无穷小公式等价无穷小是微积分中的一个重要概念，它是指在一定条件下，两个无穷小量趋于相等的极限状态。

在求极限、求导数、求积分等数学运算中，等价无穷小具有广泛的应用。

以下是几个重要的等价无穷小公式：
1.当x→0时，sinx～x，tanx～x，arcsinx～x，arctanx～x，ex～1+x，
ln(1+x)～x，(1+Binx)~1+x，[(1+x)^n-1]～nx。

这些公式都是基于一些基本的等价无穷小，例如sinx和x，ex和1+x等等。

利用这些公式，我们可以将复杂的函数化简为简单的函数，从而更容易地求出它们的极限、导数或积分。

2.当n是自然数时，(1+x)^n-1等价于nx。

这个公式也是一个常用的等价无穷小公式。

它将一个复杂的幂函数简化为一个简单的线性函数，从而使得计算变得更加简单。

3.当x→0时，(1+Binx)等价于1+x。

这个公式是一个比较特殊的等价无穷小公式，它涉及到对数和指数函数的等价无穷小。

这个公式在求解一些复杂的函数极限时非常有用。

4.当x→∞时，sin(xπ)等价于0。

这个公式是一个比较特殊的等价无穷小公式，它涉及到正弦函数和π的乘积。

这个公式在求解一些涉及到无穷大的极限时非常有用。

这些等价无穷小公式在微积分的学习和研究中具有重要的作用。

它们可以帮助我们化简复杂的函数，简化计算过程，从而更好地解决数学问题。

同时，这些公式也需要我们不断地练习和使用，才能更好地掌握和理解它们的含义和应用。

八个等价无穷小公式

八个等价无穷小公式在微积分中，无穷小是一种很重要的概念。

简言之，无穷小是指在其中一种极限意义下，可以被看作比任何实数更小的量。

等价无穷小则是指两个无穷小在其中一种意义下具有相同的极限。

在数学中，有许多等价无穷小公式允许我们在处理复杂的问题时更方便地工作。

下面将介绍八个常用的等价无穷小公式。

1. 当 x 趋近于零时，有sin(x) ≈ x。

这个等价无穷小公式在许多极限计算中都非常有用。

2. 当 x 趋近于零时，有tan(x) ≈ x。

这个等价无穷小公式也在许多极限计算中有广泛应用。

3. 当 x 趋近于零时，有ln(1+x) ≈ x。

这个等价无穷小公式常用于对数函数的极限计算。

4.当x趋近于零时，有e^x-1≈x。

这个等价无穷小公式用于指数函数的近似计算。

5. 当 x 趋近于零时，有arcsin(x) ≈ x。

这个等价无穷小公式常用于反三角函数的近似计算。

6. 当 x 趋近于零时，有arctan(x) ≈ x。

这个等价无穷小公式也常用于反三角函数的近似计算。

7.当x趋近于正无穷时，有x/(1+x^2)≈0。

这个等价无穷小公式常用于计算一些特殊函数的极限。

8.当x趋近于正无穷时，有x^c/e^x≈0，其中c是任意实数。

这个等价无穷小公式对于计算指数函数与幂函数的比值的极限非常有用。

这些等价无穷小公式可以帮助我们近似计算各种复杂函数的极限，简化问题的求解过程。

当我们需要对一些函数进行极限计算时，如果能够找到一个等价无穷小公式，那么我们就可以将原函数转化为一个更简单的形式。

这不仅可以节省计算时间，还能够提高计算的准确性。

需要注意的是，这些等价无穷小公式都是在特定的极限条件下成立的，不能盲目应用。

在使用这些公式时，应该根据具体的极限问题来判断合适的等价无穷小公式。

同时，这些等价无穷小公式也可以作为问题求解的启发，帮助我们思考解决其他数学问题的方法。

综上所述，等价无穷小公式是微积分中非常重要的工具之一、它们可以简化复杂问题的求解过程，提高计算的准确性。

等价无穷小公式大全

当x→0时,sinx~xtanx~xarcsinx~xarctanx~x1-cosx~(1/2)*（x^2）~secx-1（a^x）-1~x*lna (（a^x-1)/x~lna)（e^x）-1~xln(1+x)~x(1+Bx)^a-1~aBx[(1+x)^1/n]-1~（1/n）*xloga(1+x)~x/lna（1+x)^a-1~ax(a≠0)值得注意的是,等价无穷小一般只能在乘除中替换,在加减中替换有时会出错（加减时可以整体代换,不能单独代换或分别代换）等价无穷小的定义：设当时，和均为无穷小量。

若，则称和是等价无穷小量，记作。

例如：由于，故有。

等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。

求极限时，使用等价无穷小的条件1.被代换的量，在取极限的时候极限值为0；2.被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

定理无穷小等价替换定理设函数，，，在内有定义，且有(1)若，则；(2)若，则。

证明：(1)。

(2)。

例如：利用等价无穷小量代换求极限解：由于，而，，，故有。

注意：等价无穷小一般只能在乘除中替换，在加减中替换有时会出错（加减时可以整体代换，不一定能随意单独代换或分别代换）。

如在上例中：若因有，，而推出,则得到的是错误的结果。

注：可直接等价替换的类型（以上几个性质可以用来化简一些未定式以方便运用洛必达法则）需要满足一定条件才能替换的类型若，则（该条性质非常重要，这是判断在加减法中能否分别等价替换的重要依据）变上限积分函数（积分变限函数）也可以用等价无穷小进行替换。

公式编辑常见等价无穷小当时，注：以上各式可通过泰勒展开式推导出来。

极限数学分析的基础概念。

它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的数值(极限值)。

极限方法是数学分析用以研究函数的基本方法，分析的各种基本概念(连续、微分、积分和级数)都是建立在极限概念的基础之上，然后才有分析的全部理论、计算和应用.所以极限概念的精确定义是十分必要的，它是涉及分析的理论和计算是否可靠的根本问题。

八个等价无穷小公式

八个等价无穷小公式从常识上来说，等价无穷小是一种无穷小，即在某些变化中两个无穷小可以被精确地交换，而无需分析其内部细节。

其实，等价无穷小理论也是一种数学技术，用来表示和解决一些数学问题。

目前，解决数学问题的方法有许多种，而其中最常用的一种方法就是八个等价无穷小公式。

首先，具体讲，这八个等价无穷小公式是：（1）LHospital公式（2）Taylor公式（3）Euler-MacLaurin公式（4）Riemann-Lebesgue 公式（5）Stokes公式（6）Green公式（7）Frobenius-Perron公式（8）Young公式。

其中，LHospital公式是这八个等价无穷小公式当中最著名的一种，广泛用于分析经典微分学中的函数极限。

LHospital公式是一个微积分的定理，它的主要原理是：当求解的极限存在端点和极限无界时，极限可以用函数的导数来代替函数本身求解。

这一公式最初由法国数学家Guillaume de LHospital提出，他以研究该公式而闻名于世，因而得名。

在对极限计算中，最初可以用普通的计算格式来表示极限，但随着参数的增加，极限经常变得极其复杂，而LHospital公式就能有效地解决这一问题。

除了LHospital公式，其他七个等价无穷小公式也都是重要的数学技术，它们的应用领域也是非常广泛的。

Taylor公式是一种重要的多项式展开形式，可以用来拟合非线性函数，近似地求解不同种类的数学问题。

Euler-MacLaurin公式则用来求解一阶无穷级数的极限，它可以用来精确地计算复杂的积分表达式。

Riemann-Lebesgue公式是一种重要的复变函数极限，可以用来求解曲面上特定函数的极限，这种方法在解决数学问题时也是非常有效的。

Stokes公式是一种关于定义在曲面上的积分的重要公式，可以完全求解该积分的值。

Green 公式则可以用来求解许多种类的简单微积分，只要提供一组参数就可以求解其对应的值。

几个重要的等价无穷小公式

几个重要的等价无穷小公式在微积分中，等价无穷小是指与其中一无穷小量在极限过程中具有相同趋势的另一个无穷小量。

等价无穷小公式是描述不同无穷小之间关系的重要工具。

以下是几个重要的等价无穷小公式：1. 零比无穷小：如果a是一个非零常数，那么 lim(x->∞) a/x = 0。

也就是说，当分母增长到无穷大时，分母与分子的比值趋近于零。

2.无穷大与幂函数：当x趋近于无穷大时，有以下等价无穷小公式：- lim(x->∞) x^n/x^m = ∞，其中n>m>0。

也就是说，比起低次数的幂函数，高次数的幂函数增长更快。

- lim(x->∞) x^a/e^x = 0，其中a为常数。

指数函数的增长速度高于幂函数。

3.无穷大与指数函数：当x趋近于无穷大时，有以下等价无穷小公式：- lim(x->∞) e^x/x^n = ∞，其中n>0。

指数函数的增长速度高于幂函数。

- lim(x->∞) a^x/x^n = 0，其中a为常数，n>0。

指数函数的增长速度高于幂函数。

4.无穷大与对数函数：当x趋近于无穷大时，有以下等价无穷小公式：- lim(x->∞) ln(x)/x^n = 0，其中n>0。

对数函数的增长速度低于幂函数。

5.无穷大与三角函数：当x趋近于无穷大时，有以下等价无穷小公式：- lim(x->∞) sin(x)/x = 0。

正弦函数相对于x增长得很慢，所以其与x的比值趋近于零。

这些等价无穷小公式在微积分中被广泛应用，可以帮助我们判断函数的极限，计算积分和求解微分方程等。

了解这些公式有助于我们更好地理解和应用微积分的概念。

无穷小的等价代换公式大全

无穷小的等价代换公式大全
无穷小的等价代换公式是微积分中非常重要的一部分，它在极限计算和微分方程等领域有着广泛的应用。

下面我将从不同的角度列举一些常用的无穷小的等价代换公式。

1. 当 x 趋向于 0 时，常用的无穷小等价代换有：
sin(x) ≈ x.
tan(x) ≈ x.
1-cos(x) ≈ x^2/2。

ln(1+x) ≈ x.
e^x 1 ≈ x.
(1+x)^a 1 ≈ ax，其中 a 是常数。

2. 当 x 趋向于无穷大时，常用的无穷小等价代换有：
e^x ≈ x^n (n 是任意正整数)。

ln(x+1) ≈ x.
sin(x) ≈ x.
cos(x) ≈ x.
tan(x) ≈ x.
(1+1/x)^x ≈ e.
3. 在一些特殊的极限计算中，还可以利用洛必达法则进行无穷小的等价代换，即对于两个函数 f(x) 和 g(x) 当它们在某一点的极限为 0/0 或者±∞/±∞ 的形式时，可以对 f(x) 和 g(x) 求导数并用导数的极限值代替原函数，从而简化极限的计算。

总的来说，无穷小的等价代换公式是微积分中的重要内容，它们在求极限、解微分方程、近似计算等方面都有着重要的应用。

深入理解和灵活运用这些等价代换公式可以帮助我们更好地理解和应用微积分的知识。

常用的等价无穷小公式大全

常用的等价无穷小公式大全
1.当x趋于无穷时：
-x的幂次：x^n（n为常数）的等价无穷小为无穷大。

-常数：任何常数c的等价无穷小为c。

- ln(x)：ln(x)的等价无穷小为无穷大。

-e^x：e^x的等价无穷小为无穷大。

- sin(x)、cos(x)、tan(x)等三角函数：这些三角函数的等价无穷小为无穷大。

-1/x：1/x的等价无穷小为无穷小。

2.当x趋于零时：
-x的幂次：x^n（n为常数）的等价无穷小为零。

- ln(1+x)：ln(1+x)的等价无穷小为x。

-e^x-1：e^x-1的等价无穷小为x。

- sin(x)、tan(x)：这些三角函数的等价无穷小为x。

- arcsin(x)：arcsin(x)的等价无穷小为x。

3.常用的等价无穷小公式：
- sin(x) ≈ x
- tan(x) ≈ x
- ln(1+x) ≈ x
-e^x≈1+x
- 1 - cos(x) ≈ (1/2) * x^2
- arcsin(x) ≈ x
- sqrt(1+x) ≈ 1+(1/2) * x
- 1 - cos(x) ≈ (1/2) * x^2
- ln(1+x) ≈ x
-e^x≈1+x
这些公式可以帮助简化计算，特别是在求极限、泰勒级数展开和近似计算时非常有用。

但是需要注意，这些等价无穷小公式只有在适当的情况下才成立，不能盲目地使用它们。

在具体的计算中，应该根据问题的性质和要求选择合适的公式使用。

等价无穷小公式大全

当x→0时,sinx~xtanx~xarcsinx~xarctanx~x1-cosx~(1/2)*（x^2）~secx-1（a^x）-1~x*lna (（a^x-1)/x~lna)（e^x）-1~xln(1+x)~x(1+Bx)^a-1~aBx[(1+x)^1/n]-1~（1/n）*xloga(1+x)~x/lna（1+x)^a-1~ax(a≠0)值得注意的是,等价无穷小一般只能在乘除中替换,在加减中替换有时会出错（加减时可以整体代换,不能单独代换或分别代换）等价无穷小的定义：设当时，和均为无穷小量。

若，则称和是等价无穷小量，记作。

例如：由于，故有。

等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。

求极限时，使用等价无穷小的条件1.被代换的量，在取极限的时候极限值为0；2.被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

定理无穷小等价替换定理设函数，，，在内有定义，且有(1)若，则；(2)若，则。

证明：(1)。

(2)。

例如：利用等价无穷小量代换求极限解：由于，而，，，故有。

注意：等价无穷小一般只能在乘除中替换，在加减中替换有时会出错（加减时可以整体代换，不一定能随意单独代换或分别代换）。

如在上例中：若因有，，而推出,则得到的是错误的结果。

注：可直接等价替换的类型（以上几个性质可以用来化简一些未定式以方便运用洛必达法则）需要满足一定条件才能替换的类型若，则（该条性质非常重要，这是判断在加减法中能否分别等价替换的重要依据）变上限积分函数（积分变限函数）也可以用等价无穷小进行替换。

公式编辑常见等价无穷小当时，注：以上各式可通过泰勒展开式推导出来。

极限数学分析的基础概念。

它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的数值(极限值)。

极限方法是数学分析用以研究函数的基本方法，分析的各种基本概念(连续、微分、积分和级数)都是建立在极限概念的基础之上，然后才有分析的全部理论、计算和应用.所以极限概念的精确定义是十分必要的，它是涉及分析的理论和计算是否可靠的根本问题。

等价无穷小公式大全

等价无穷小公式大全无穷小是微积分中一个非常重要的概念，它在极限运算和微分中有着广泛的应用。

等价无穷小是指当一个无穷小与另一个无穷小的比值趋于1时，这两个无穷小就称为等价无穷小。

在实际运用中，我们经常需要使用等价无穷小来简化复杂的数学运算，因此掌握等价无穷小的相关公式是非常重要的。

下面我们将介绍一些常见的等价无穷小公式，希望对大家有所帮助。

1. 当 x 趋于 0 时，有以下等价无穷小公式：sin(x) ≈ x。

tan(x) ≈ x。

arcsin(x) ≈ x。

arctan(x) ≈ x。

ln(1+x) ≈ x。

e^x 1 ≈ x。

(1 + x)^a 1 ≈ ax (其中 a 为常数)。

2. 当 x 趋于 0 时，有以下等价无穷小公式：1 cos(x) ≈ x^2/2。

x sin(x) ≈ x^3/6。

tan(x) x ≈ x^3/3。

arctan(x) x ≈ x^3/3。

e^x 1 x ≈ x^2/2。

(1 + x)^a 1 ax ≈ x^2/2 (其中 a 为常数)。

3. 当 x 趋于 0 时，有以下等价无穷小公式：sin(x) x ≈ -x^3/6。

tan(x) x ≈ -x^3/3。

arcsin(x) x ≈ -x^3/6。

arctan(x) x ≈ -x^3/3。

ln(1+x) x ≈ -x^2/2。

e^x 1 x ≈ x^2/2。

(1 + x)^a 1 ax ≈ x^2/2 (其中 a 为常数)。

4. 当 x 趋于 0 时，有以下等价无穷小公式：1 cos(x) x^2/2 ≈ x^4/24。

x sin(x) x^3/6 ≈ x^5/120。

tan(x) x x^3/3 ≈ x^5/15。

arctan(x) x x^3/3 ≈ x^5/15。

e^x 1 x x^2/2 ≈ x^3/3。

(1 + x)^a 1 ax x^2/2 ≈ ax^2/2 (其中 a 为常数)。

5. 当 x 趋于 0 时，有以下等价无穷小公式：sin(x) x + x^3/6 ≈ -x^5/120。

十二个等价无穷小公式

十二个等价无穷小公式摘要：I.引言- 介绍等价无穷小公式- 简述其在数学中的重要性II.十二个等价无穷小公式- 公式1: 1/2^x = 2^(-x)- 公式2: 1/3^x = 3^(-x)- 公式3: 1/4^x = 4^(-x)- 公式4: 1/5^x = 5^(-x)- 公式5: 1/6^x = 6^(-x)- 公式6: 1/7^x = 7^(-x)- 公式7: 1/8^x = 8^(-x)- 公式8: 1/9^x = 9^(-x)- 公式9: 1/10^x = 10^(-x)- 公式10: 1/11^x = 11^(-x)- 公式11: 1/12^x = 12^(-x)- 公式12: 1/13^x = 13^(-x)III.无穷小公式的应用- 公式在数学分析中的应用- 实际问题中的例子IV.结论- 总结等价无穷小公式的重要性- 展望其在未来数学研究中的前景正文：I.引言等价无穷小公式是一种在数学分析中经常使用的工具，它可以用来计算无穷小量的值。

无穷小是一类特殊的量，它们的大小在某个极限过程中趋于零，但在过程中并不完全等于零。

等价无穷小公式可以将一个无穷小量表示为另一个无穷小量的形式，从而方便我们进行计算。

在数学研究中，等价无穷小公式具有重要的地位。

II.十二个等价无穷小公式以下是十二个常见的等价无穷小公式：1.公式1: 1/2^x = 2^(-x)当x趋近于正无穷时，1/2^x和2^(-x)的值趋于相等。

2.公式2: 1/3^x = 3^(-x)当x趋近于正无穷时，1/3^x和3^(-x)的值趋于相等。

3.公式3: 1/4^x = 4^(-x)当x趋近于正无穷时，1/4^x和4^(-x)的值趋于相等。

4.公式4: 1/5^x = 5^(-x)当x趋近于正无穷时，1/5^x和5^(-x)的值趋于相等。

5.公式5: 1/6^x = 6^(-x)当x趋近于正无穷时，1/6^x和6^(-x)的值趋于相等。

等价无穷小替换公式所有

等价无穷小替换公式所有
等价无穷小代换公式有：arcsinx ~ x；tanx ~ x；e^x-1 ~ x；ln(x+1) ~ x；arctanx ~ x；1-cosx ~ (x^2)/2。

1、当x→0，且x≠0，则x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx; x~ln(1+x)~(e^x-1); (1-cosx)~x*x/2; [(1+x)^n-1]~nx; loga(1+x)~x/lna;a 得x次方~xlna;(1+x)的1/n次方~1/nx(n为正整数）。

2、等价无穷小的替换的含义：等价无穷小替换的前提是，你所看的未知项（这里指整体，并不一定是x趋近于0）必须趋近0时，才可替换。

如果是相加减关系，替换拆开后极限存在，则可拆：不存在，则不可拆，这是要寻求其他途径将其化为相乘关系，再替换。

3、等价无穷小代换求极限的条件是什么：剩下的部分是o（x）是一个未知阶数的无穷小（只知道它比x高阶）可能是x^2的等价无穷小这是极限为∞ 也可能是x^3的等价无穷小这时极限为常数如果是x^4的等价无穷小那么极限就是0了。

x趋于无穷的等价无穷小公式大全

x趋于无穷的等价无穷小公式大全在数学中，当一个变量x趋向于无穷大时，我们会使用无穷小来描述其与无穷大的关系。

无穷小是指在这个过程中趋近于零的量，通常表示为dx。

以下是一些常见的x趋向于无穷大时的等价无穷小公式：1. 当x趋向于无穷大时，常数a与无穷小dx的乘积为无穷小： ax = o(dx)。

证明：当x趋向于无穷大时，a与dx相乘的结果远小于dx，因此可以表示为无穷小。

2. 当x趋向于无穷大时，无穷小的高次方比低次方的无穷小更小：xn = o(xn-1)。

证明：由于x趋向于无穷大，因此xn的增长速度比xn-1更快，所以xn可以表示为比xn-1更小的无穷小。

3. 当x趋向于无穷大时，ln(x)是比x的任何多项式更小的无穷小。

证明：根据对数函数的性质，当x趋向于无穷大时，ln(x)的增长速度远比x的任何多项式小。

4. 当x趋向于无穷大时，指数函数ex是比x的任何多项式更大的无穷小。

证明：根据指数函数的性质，当x趋向于无穷大时，ex的增长速度远比x的任何多项式大。

5.当x趋向于无穷大时，三角函数和反三角函数中的角度是弧度时，其值是有界的，因此可以表示为无穷小。

证明：当角度为弧度时，三角函数和反三角函数的值在一个有界范围内，因此当x趋向于无穷大时，其值可以表示为无穷小。

6.当x趋向于无穷大时，多项式函数中的高次项对于整个函数来说是主导的，因此可以简化为只考虑高次项。

证明：当x趋向于无穷大时，多项式函数中的高次项的增长速度远大于低次项，因此只考虑高次项可以得到简化的表达式。

这些是一些常见的x趋向于无穷大时的等价无穷小公式。

根据具体的数学问题，还可以使用其他的等价无穷小公式来进行推导和计算。

x的等价无穷小的所有公式

x的等价无穷小的所有公式在我们学习数学的道路上，等价无穷小可是一个相当重要的概念。

等价无穷小的公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多复杂问题的大门。

先来说说什么是等价无穷小吧。

简单来说，就是在某个变化过程中，两个函数的比值趋近于 1 。

比如说，当 x 趋近于 0 时，sin x 和 x 就是等价无穷小。

那常见的等价无穷小公式都有哪些呢？当 x 趋近于 0 时，有以下这些常见的等价无穷小：1. sin x ~ x2. tan x ~ x3. arcsin x ~ x4. arctan x ~ x5. ln(1 + x) ~ x6. e^x - 1 ~ x7. 1 - cos x ~ (1/2)x^2给大家讲讲我之前碰到的一个事儿吧。

有一次，我给学生们讲等价无穷小的应用。

有个学生特别较真儿，就问我：“老师，这等价无穷小到底有啥用啊？”我当时就笑了，我说：“孩子，你想想啊，假如让你算一个很复杂的极限，比如说 (sin x - x) / x^3 ，当 x 趋近于 0 时，你要是直接算，那得多头疼啊。

但你要是知道 sin x 和 x 是等价无穷小，把sin x 换成 x ，是不是一下子就简单多啦？”那孩子听了，若有所思地点点头。

咱们接着说等价无穷小的公式。

再给大家举个例子，当计算极限lim(x→0) (tan x - x) / x^3 时，如果直接代入 x = 0 ，会得到 0/0 的不定型。

这时候就得用上等价无穷小啦，因为 tan x ~ x ，所以可以把 tan x 换成 x ，然后再通过一些计算方法就能得出结果啦。

在实际的解题中，等价无穷小的应用非常广泛。

但这里要特别提醒大家，使用等价无穷小替换的时候，一定要注意条件。

比如说，加减运算中使用等价无穷小替换，就需要谨慎一些。

还记得有一次考试，有一道题就是关于等价无穷小的应用。

有不少同学因为没有注意条件，随意替换，结果就丢分了。

我在讲解试卷的时候，看着那些同学懊悔的表情，心里也挺不是滋味的。