尺规法三等分任意角到底可行吗

尺规法三等分任意角到底可行吗？

1965年以前，数学家华罗庚曾写文章告诫青少年——用直尺和圆规三等分任意角是不可能的，不要为这道难题花费精力。近日在2013年出版的文集中见到《尺规作图破解世界千古三大几何难题》一文，该文是作者（简称黄先生）历时七年的研究成果。该文所说难题之一就是用尺规三等分任意角（另两道难题是倍立方和画圆为方）。为了证明他的方法是近似的，我用他的方法三等分100°角，看看误差有多大。

如图，DG长度为AD的二分之一，G点到E点的直线距离为AG的二分之一，穿过A、E两点的直线与圆弧相交于F点，黄先生认为D、F两点连线所对圆心角θ一定等于图中100°角的六分之一。我们来计算一下θ角的度数（计算过程保留8个有效数）。

设圆半径为1，借助三角函数和勾股定理可算出A、G、E三点坐标。

A点坐标（−0.76604444，−0.64278761）

G点坐标（0.38302222，1.8213938）

E点坐标（0 ，0.51700505）

设连接A、E两点的直线方程为 y = ax + b，根据A、E两点坐标可求出该直线方程为

y = 1.5140018x + 0.51700505

根据该直线方程与圆方程x² + y² =1，可求出F点横坐标x =

0.29052884

所以sinθ= 0.29052884，θ角不小于16.8896°，误差大于

0.2229°

用该方法三等分100°角，误差大于0.4458°

令CE = AE可算出C点坐标。黄先生认为C、B两点连线与圆弧的交点就是F点，其实不然。根据C、B两点坐标可算出C、B两点连线与圆弧的交点坐标。该交点横坐标x = 0.2849388，将该交点视为F点，可算出θ角为16.5552°，少了0.1115°，用该方法三等分100°角，误差大于0.2229°

有趣的是，令θ等于100°的六分之一，令A、F两点连线与y轴的交点为E，再令CE= AE可算出C点坐标为（0，1.91597902），那么C、F、B三点的确是三点一线，该直线方程为

y = −3.34023263x + 1.91597902

而且C、F两点直线距离正好等于圆半径。可见，谁能在图中用尺规画出与任意角对应的E点位置，谁就能用尺规三等分任意角。然而可以证明：三等分某些角度，E点位置是尺规无法画出的。例如三等分60°角，则有

cos60° = 4cos³20°− 3cos20°

等式中cos20°的三次方无法化解。设cos20°为x，等式变为系数和常数同为有理数的三次方程。该方程的解即图中圆半径为1时

cos20°的长，该长度是尺规无法画出的。倘若该长度能够画出，必然可以通过圆方程和直线方程转化为一元二次方程求解，不可能出现以cos20°为x，以圆半径为单位长的一元三次方程。所以θ角等于40°、20°、10°时OE的长度是尺规无法画出的，三等分任意角不可能。至于倍立方和画圆为方无法破解的原因与之类似。

读者或许会问：文中的一元三次方程会不会是一个一元二次方程与一个一元一次方程相乘而形成的呢？如果是，本文的结论就不成立了。对这个问题的简要证明如下：由定理可知，系数和常数同为有理数的一

元三次方程，如果能被多项式整除，必有有理数根，而文中的一元三次方程，它的三个根没有有理数。