湖北省黄冈市2013-2014学年高一上学期期末考试数学试卷

2013-2014秋季黄冈市高一数学期末考试参考答案

一．选择题: CBBDC ACBAC

二．填空题：11 18 ； 12 25； 13 )62sin(2π+=x y ； 14 3

5； 15 ②④ 三．解答题：

16、【解析】 (1)}3x 1|x {A ≤≤= }4x 2|x {B <<= ……4分

}2x 1|x {B C A D U ≤≤=⋂= ……6分 (2)}4x 1|x {B A <≤=⋃ ……7分 当a a 4≥-，即2a ≤时，A=φ,满足题意 ……9分 当a a 4<-，即2a >时，⎪⎩

⎪⎨⎧≤≥->4a 1a 42a ，解得：3a 2≤<

∴实数a 的取值范围是3a ≤ ……12分

17.(1)证明：由 (a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－(14＋34

)＝0…4分 故＋与-垂直． ……5分

(2)由

|＝|-3|，平方得3||2＋23·＋||2＝||2

－23·＋3||2,所以2(||2－||2

)＋

＝0， …… 6分 而|a |＝|b |，所以a ·b ＝0， ……8分

则(－12)×cos α＋32

×sin α＝0，即cos α=3sina ……10分 ,3

3tan =α又0°≤α<180°，则α＝30°. ……12分 18.(1)解：设x ∈(－1,0)，则－x ∈(0,1)，由x ∈(0,1)时，f (x )＝2x 4x ＋1

知 f (－x )＝2

－x

4－x ＋1＝2x

4x ＋1， ……4分 又f (x )为奇函数知，－f (x )＝2x 4x ＋1，即f (x )＝－2x

4x ＋1

. 故当x ∈(－1,0)时，f (x )＝－2x

4x ＋1 .……6分

(2)证明：设0

……8分

……10分

∴f (x 2)－f (x 1)<0.

即f (x 2)

19.【解】 (1)f (x )＝sin(2x ＋π3)＋32

， 故f (x )的最小正周期T ＝2π2

＝π. ……1分 []⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∈+∴∈37,332,,0ππππx x ……2分 当≤2π2x ＋π3时，23π≤即时，12

712ππ≤≤x f (x )＝sin(2x ＋π

3)＋

32单调递减， ……5分 故函数在[]上的单调递减区间：，区间π0.127,12⎥⎦⎤⎢

⎣

⎡ππ， ……6分 (2)由题意g (x )＝f (x －π4)＋32 ∴g (x )＝sin[2(x －π4)＋π3]＋3＝sin(2x －π6)＋3， ……8分 当x ∈[0，π4]时，2x －π6∈[－π6，π3

]，g (x )是增函数， ……10分 ∴g (x )max ＝g (π4)＝332

. ……12分 20.解：（1）]14,0(∈t 时，设2

()(12)82p f t c t ==-+(0

]14,0(∈t 时 ，21()(12)824

p f t t ==--+ ……3分 ]40,14[∈t 时，将)81,14(代入()835log +-=x y a ，得31=a ……5分

∴(),(,]()log (),(,]

t t p f t t t ⎧--+∈⎪==⎨-+∈⎪⎩2131128201445831440． ……6分

（2）当时(]14,12∈t ，显然符合题意，

当]40,14[∈t 时，

8083)5(log 31≥+-t 解得325≤

老师在(]32,12∈t 时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳． …13分

注：t ∈[12,32]不扣分。

21．解：（Ⅰ）(1,1)x ∈- ，定义域关于原点对称 ………1分

令0x y ==得(0)0f =， ………2分

再令y x =-得()()(0)0f x f x f +-==，

()()f x f x ∴-=- ………3分

()y f x ∴=为(1,1)-上的奇函数. ………4分

（Ⅱ） 1()ln 1x h x x -=+，10(1,1)1x x x

-∴>⇒∈-+ ………5分 对于任意的,(1,1)x y ∈-有11(1)(1)()()ln ln ln 11(1)(1)

x y x y h x h y x y x y ----+=+=++++ 11()1ln ln 1()11x y

xy x y xy x y xy x y xy

+-+-++==++++++ 即()()1x y h x h y h xy ⎛⎫++=

⎪+⎝⎭（可以证明(1,1)1x y xy +∈-+） ………7分 当10x -<<时，12111x x x

-=-+++在()1,0-为减函数， ∴121111x x x -=-+>++，∴1()ln ln101x h x x

-=>=+， ∴()h x 同时满足三个条件，∴()h x M ∈. ………9分

（Ⅲ）由()f x M ∈，令任意的12,(1,1)x x ∈-且12x x <，

,

再令上式中的12,x x y x ==-可得：

121212()()()1x x f x f x f x x -+-=-121212

()()()1x x f x f x f x x -⇔-=- 12121212

0,()011x x x x f x x x x --<∴>-- ，12()()f x f x ∴> ()f x ∴在(1,1)-上为单调递减函数 ………11分 ∴1

()2y f x =+在(1,1)-上最多有一个零点

又1()12f -= ，1

()12f ∴=-

21

21()0,2()1,()()()()212x

f x f x f x f x f f x +==-∴+==+即

………12分 又()(1,1)f x - 在上是减函数，

2221,41012x

x x x ∴=∴-+=+，2x ∴= ………13分

(1,1),2x x ∈-∴=又1

()2y f x ∴=+只有．．一个零点且为2-. ………14分