基于Matlab混沌系统的数值仿真
Matlab软件在时滞混沌系统仿真实验中的应用
Matlab软件在时滞混沌系统仿真实验中的应用Matlab软件在时滞混沌系统仿真实验中的应用时滞混沌系统是一类在现实世界中经常出现的系统，其具有非线性、非平稳、时滞等复杂特性。
这种系统能够产生混沌行为，其行为表现具有高度敏感性和长时间关联性。
对时滞混沌系统进行建模和仿真研究对于理解和预测其行为行为具有重要意义。
Matlab软件作为一种强大的数值计算和仿真工具，在时滞混沌系统的建模和仿真实验中发挥着重要的作用。
Matlab提供了丰富的函数库和工具箱，使得建模和仿真时滞混沌系统变得相对简单。
它提供了数值计算、二维和三维绘图、数据分析等功能，可以对时滞混沌系统的动力学行为进行精确的模拟和分析。
通过Matlab，我们可以编写程序来实现时滞混沌系统的数学模型，并进行仿真实验以观察系统的行为。
在时滞混沌系统的建模过程中，Matlab提供了丰富的数学函数和数值计算工具，可以帮助我们描述系统的动力学行为。
例如，对于时滞的处理，Matlab提供了delay differential equation (DDE) solver函数，可以用来求解带有时滞的微分方程模型。
此外，Matlab还提供了一系列的随机数生成函数，可以模拟系统中的噪声和扰动。
这些功能使得我们能够更准确地建立时滞混沌系统的数学模型，并进行系统行为的仿真实验。
通过Matlab中的绘图功能，我们能够直观地观察和分析时滞混沌系统的行为。
Matlab提供了强大的绘图函数，可以在二维和三维空间中绘制系统状态的变化轨迹。
我们可以通过调整系统参数，观察其对系统行为的影响。
同时，Matlab还提供了频谱分析和正态图等统计工具，帮助我们进一步分析和理解时滞混沌系统的特性。
除了建模和仿真，Matlab还可以用于时滞混沌系统的控制和优化。
通过编写控制算法，我们可以在仿真实验中实现对系统行为的调节和控制。
此外，Matlab还提供了优化算法和工具箱，可以用于对时滞混沌系统进行优化设计。
典型混沌系统的Matlab仿真实现
。
１ ｏｉｉ Ｌｇｓｃ映射 ｔ
混 沌 系统 ；Ｌ ｇｓｉ ｏ ｉｔ ｃ映射 ；Ｌ ｒｎ ｏｅｚ系统 ；Ｈ ｎ ｎ ｅ ｏ
映 射 ；Ｍａ Ｉｂ ｔａ
Ｌ ￣ｓ ｃ ｏ ｔ 映射 ，在 ｌ 世纪 中叶 由荷兰 ｉ ９ 生物 学数学家 Ｖｅｈ ｌｔ 出，表达式为 ： ｒ ｕｓ 提
Ｘ＋ ｌ Ｘ （＿ １Ｘ） （ ∈【， ］ Ｘ ０ １， （） １ ∈【， ］ ＝ ， ， ） ０ ４ ，ｎ ０ １ …
Ｔ ｉ ａ ｅ ｉｔｏｕｅ ｔｒｅ ｉ ｓ ｆ ｔ ｐ ￣ ｃ＆ ｔ ｈｓ ． Ｐ ｎｒｄｃｄ ｈｅ ｋｎ ｏ ｙ ｌ ｐｐ ｄ ｃ ｈ ｏｌ ｃ
ｓｓｅ ｓ Ｌ ｇ ｔ ｐｉ ｙ ｔ ｍ ： ｏ ｉ ｉ ｍａ ｐ ｇ，Ｌ ｒ ｎ ｙ ｔ ｍ ＆Ｉ 蛳 ｓｃ ｎ ｏ ｅ ｚ ｓ ｓｅ ｌ Ｈｅ ｄ
ｂ ＝ ４ ； ｒ＝ ４ ． ２； ５９
ｘｎ １＝ ＋ （ ）（一 （ ）； （ ＋ ） ｍｕ ｘｎ＋１ ｘｎ ）
ｅ ｄ ｎ
Ｙ＝ 【 ，，】 一１０ １；
ｈ ＝ ００ ： ． １
１ ｔ （，） ｋ ， ｒｅ￣ ， ） Ｊ （ １： ’ ｋｅｍ’１ ； ｏｘ ， ｍａ ０ ｘａｅ ’ ） ｌ ｌｎ。 ｂ（ ； ｙａ ｅ ’（）） ｌ ｌ ｘｎ ’ ｂ（ ； ｔｌ ’ ｇｓｃｋ ．）） ｉｅ ｌ ｉ ｉ ｍｕ ０５ 。 ｔ（ｏ ｔ（ ； 得 到 的仿 真结 果 ： 图 １ １ （ ．） 进 一 步 研 究 ｍ 的 不 断 变化 对 系统 的 影 响 。设 系 统 初 值 为 ０６ ．，对 ｍ从 ２６ 化 到 ．变 ４ ，画 出 Ｌ ｇｓｉ迭 代 的极 限 形 态 图 ，如 图 ｏｉ ｃ ｔ １２ 示 ， 着 ｍ 的 变 化 ， ．所 随 系统 的动 力学 形
基于matlab对混沌掩盖通信的仿真研究
科技信息计算机与网络基于ｍａｔＩａｂ对混沌掩盖通信帕仿真硼究北京邮电大学信息与通信工程学院尉志青［摘要】本文利用ｍａｄ曲软件对混沌掩盖通信进行了仿真研究，具体研究了一维信号以及二维信号（数字图像）的混沌掩盖通信问题。
讨论了压缩系教对传输质量的影响。
并且对数字图像传输中的混沌加密进行了一些修正，使之加密效果更好。
［关键词】混沌加密（方法）混沌掩盖Ｌ０画如ｃ混沌序列、．混沌掩盖也称混沌遮掩或混沌隐藏。
混沌掩盖通信的基本原理是利用具有逼近丁｜高斯噪声统计特性的混沌信号对有用的信息进行混沌掩盖，接收端利用同步后的混沌信号进行解调，从而恢复出混沌掩盖之前的信号，接收有用信息。
实现通信的系统框图如图ｌ所示：图１混沌通信系统框图映射的混沌掩盖通信系统框图本文中所用的混沌掩盖方式为相加。
在接收端用同步后的混沌信号进行与之相廊的逆运算即可恢复出有用的信息。
下面针对基于Ｌ—ｇｉ８ｔ记映射的混沌掩盖通信系统进行仿真，研究混沌掩盖通信的一些特性。
ｋＩｇｉｓｔｉｃ混沌序列的迭代式为：ｘ（ｘ＋１）＝ＩＩ《ｎ）·（１一ｘ（ｎ））。
其中０≤《ｎ）≤ｌ，Ｏ≤ｕ≤４。
当ｕ取值在３．５８和４之间时是混沌的。
通信系统框图如图２图２基于Ｉ埘觚ｃ映射的混沌掩盖通信系统框图以上框图中ｓ（ｎ）为输入的信息序列，ｅ（ｎ）为已调序列，ｓ（ｎ）为解调输出序列。
令ｅ（ｎ）＝ｘ‘（ｎ＋１）：ｘ（ｎ＋１）＋ｋ×ｓ（ｎ）ｘ（ｎ＋１）：ｘ’（ｎ＋１）Ｍ０ｄ（１）ｋ为压缩系数，一般取ｋ＜１／５０。
我们知道，混沌掩盖的加法方式使消息信号浮于混沌载体之上，这就决定了只能采用很小的信号，而加性的小信号极易受到同样是加性的信道噪声的干扰，稍大的噪声会使接收端的误码率大大升高；如果用大的消息信号，该信号就会从掩盖的混沌码中浮出『ｆＩｉ在公开的信道上被窃取．所以ｋ不宜太大，也不宜太小。
ｘ（ｎ＋１）取ｘ’（ｎ＋１）对ｌ的模是为了使得调制输出的序列幅度不大于ｌ，可以保证ｋ画ｓｔｉｃ混沌序列不脱离混沌状态，可以抵御攻击者的破译。
基于Matlab的混沌特性分析
基于Matlab的混沌特性分析混沌理论是20世纪60年代提出的一种新的动力学理论，它描述了非线性动力系统中表现出来的复杂、不可预测的行为。
混沌特性分析是利用数学工具和计算机模拟方法来研究混沌系统的行为和性质。
本文将介绍基于Matlab的混沌特性分析方法。
我们需要了解一些混沌系统的基本概念。
混沌系统是指由一组非线性方程描述的动力学系统，它具有以下特点：初值敏感性、确定性、周期倍增、拓扑混沌等。
在Matlab中，我们可以使用ode45函数来求解混沌系统的微分方程。
ode45是一个常用的数值解微分方程的函数，它可以自动选择合适的步长来保证解的准确性。
接下来，我们可以通过绘制混沌系统的相图来观察系统的演化规律。
相图是指在系统的状态空间中表示系统状态随时间变化的图形。
在Matlab中，我们可以使用plot函数来绘制相图。
除了相图，我们还可以使用混沌系统的Poincaré截面来描述系统的性质。
Poincaré截面是指将系统状态变化的轨迹投影到一个特定的平面上，以观察系统状态的聚集情况。
在Matlab中，我们可以使用scatter函数来绘制Poincaré截面。
我们可以通过计算混沌系统的Lyapunov指数来判断系统的混沌程度。
Lyapunov指数是一种用来衡量系统的初值敏感性的指标，它可以反映系统的混沌性质。
在Matlab中，我们可以使用lyapunov函数来计算Lyapunov指数。
基于Matlab的混沌特性分析方法包括求解微分方程、绘制相图、绘制Poincaré截面、绘制分岔图以及计算Lyapunov指数等步骤。
这些方法可以帮助我们进一步了解混沌系统的行为和性质，为混沌系统的应用提供理论依据。
基于MATLAB的各类混沌系统的计算机模拟(教学版)
基于MATLAB的各类混沌系统的计算机模拟―――《混沌实验教学平台的设计与实现》初期报告物电05级1A班张丹伟20050003101摘要：本文利用数学软件MATLAB对Lorenz系统等六个重要的混沌模型进行数值计算，同时模拟出各类混沌系统的独特性质，如混沌吸引子，倍周期，初值敏感性，相图，分岔图等。
通过观察和分析上述特性，加深了我们对混沌现象的理解。
关键词：混沌；微分方程；MA TLAB；引言．混沌探秘混沌是非线性系统所独有且广泛存在的一种非周期运动形式, 其覆盖面涉及到自然科学和社会科学的几乎每一个分支。
1972年12月29日，美国麻省理工学院教授、混沌学开创人之一E.N.洛伦兹在美国科学发展学会第139次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文，提出一个貌似荒谬的论断：在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷风，并由此提出了天气的不可准确预报性。
为什么会出现这种情况呢？这是混沌在作怪！“混沌”译自英语中“chaos”一词，原意是混乱、无序，在现代非线性理论中，混沌则是泛指在确定体系中出现的貌似无规则的、类随机的运动。
混沌现象是普遍的，就在我们身边，是与我们关系最密切的现象，我们就生活在混沌的海洋中。
一支燃着的香烟，在平稳的气流中缓缓升起一缕青烟，突然卷成一团团剧烈搅动的烟雾，向四方飘散；打开水龙头，先是平稳的层流，然后水花四溅，流动变的不规则，这就是湍流；一个风和日丽的夏天，突然风起云涌，来了一场暴风雨。
一面旗帜在风中飘扬，一片秋叶从树上落下，它们都在做混沌运动。
可见混沌始终围绕在我们的周围，一直与人类为伴。
一．混沌的基本概念1. 混沌: 目前尚无通用的严格的定义, 一般认为,将不是由随机性外因引起的, 而是由确定性方程(内因)直接得到的具有随机性的运动状态称为混沌。
2. 相空间: 在连续动力系统中, 用一组一阶微分方程描述运动, 以状态变量(或状态向量)为坐标轴的空间构成系统的相空间。
基于matlab的Lorenz系统的仿真研究
MATLAB课程期末作业以下报告完成的是大作业第七题：7. Simulink仿真在高等数学课程中的应用21130223 宋沛儒基于MATLAB/Simulink 对Lorenz 系统仿真研究21130223 宋沛儒1.引言1963年Lorenz 通过观察大量大气现象并进行数值实验和理论思考，得到了一系列混沌运动的基本特征，提出了第一个奇异吸引子—Lorenz 吸引子[1] ，Lorenz 通过计算机模拟一个由三阶微分方程描述的天气模型时发现，在某些条件下同一个系统可以表现出非周期的无规则行为。
Lorenz 揭示了一系列混沌运动的基本特征，成为后人研究混沌理论的基石和起点，具有非常重要的意义。
Lorenz 系统方程如下：(),,.x a y x y cx y xz z xy bz =-⎧⎪=--⎨⎪=-⎩（1）其中，a ，b ，c 为正的实常数。
本人利用了数学工具matlab ，对Lorenz 系统进行了仿真研究，加深了对其的认知。
2.matlab 求解Lorenz 系统首先创建文件“Lorenz.m”定义Lorenz 方程，假设固定a=10，b=2.6667，c=30,程序如下：function dx=Lorenz(t,x)dx=[-10*(x(1)-x(2));30*x(1)-x(2)-x(1)*x(3);x(1)*x(2)-2.6667*x(3)]; end然后利用ode45（Runge-Kutta 算法）命令求解Lorenz 方程并绘制图形，初值取x=y=z=0.1,程序如下：>> clf>> x0=[0.1,0.1,0.1];>> [t,x]=ode45('Lorenz',[0,100],x0);>> subplot(2,2,1)>> plot(x(:,1),x(:,3))>> title('(a)')>> subplot(2,2,2)>> plot(x(:,2),x(:,3))>> title('(b)')>> subplot(2,2,3)>> plot(x(:,1),x(:,2))>> title('(c)')>> subplot(2,2,4)>> plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3))>> title('(d)')运行后，得如下波形：图中,（a）为Lorenz混沌吸引子在x-z平面上的投影，（b）为其在y-z平面上的投影，（c）为其在x-y平面上的投影，（d）为Lorenz 混沌吸引子的三维图。
(完整版)基于matlab的Lorenz系统仿真研究
基于Matlab的Lorenz系统仿真研究摘要：本文利用matlab这一数学工具对Lorenz系统进行了研究。
首先使用matlab 分析求解Lorenz方程，利用matlab的绘图功能，直观地观察了Lorenz 混沌吸引子的三维图形，并简单观察了Lorenz混沌系统对初值的敏感性；然后对Lorenz系统进行仿真，比较分析在不同参数下的Lorenz系统仿真结果；最后验证了通过添加反馈控制的方式，可以使Lorenz方程不稳定的平衡点成为稳定的平衡点。
关键词：Lorenz系统；matlab；混沌系统1.引言Lorenz方程是由美国著名的气象学家Lorenz在1963年为研究气候变化，通过对对流实验的研究，建立的三个确定性一阶非线性微分方程。
这三个方程是混沌领域的经典方程，Lorenz系统也是第一个表现奇怪吸引子的连续动力系统，具有着举足轻重的作用。
Lorenz方程的表达式如下：{dxdt=σ(y−x) dydt=(μ−z)x−y dzdt=−bz+xy其中，σ、μ、b为正实常数。
本文利用matlab这一数学工具，对Lorenz系统进行了研究，得到了仿真结果，加深了对Lorenz系统的认识。
2.matlab求解Lorenz方程并绘图首先建立m文件“Lorenz.m”来定义Lorenz方程，固定σ=10，μ=30，b=8/3，程序如下所示：function dx=Lorenz(t,x)dx=[-10*(x(1)-x(2));30*x(1)-x(2)-x(1)*x(3);x(1)*x(2)-2.6667*x(3)];end然后利用ode45命令来求解Lorenz方程并绘制图形，初值取x=y=z=0.1。
程序如下所示：>> clf>> x0=[0.1,0.1,0.1];>> [t,x]=ode45('Lorenz',[0,100],x0);>> subplot(2,2,1)>> plot(x(:,1),x(:,3))>> title('(a)')>> subplot(2,2,2)>> plot(x(:,2),x(:,3))>> title('(b)') >> subplot(2,2,3)>> plot(x(:,1),x(:,2)) >> title('(c)') >> subplot(2,2,4)>> plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3)) >> title('(d)')运行上述程序，可得到如下波形：其中，图（a ）为Lorenz 混沌吸引子在x-z 平面上的投影，图（b ）为Lorenz 混沌吸引子在y-z 平面上的投影，图（c ）为Lorenz 混沌吸引子在x-y 平面上的投影，图（d ）为Lorenz 混沌吸引子的三维图。
MATLAB、Simulink混沌理论仿真
毕业设计（论文）原创性声明本人郑重声明：所提交的毕业设计（论文），是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取得的成果。
除文中已注明引用的内容外，本毕业设计（论文）不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。
对本研究做出过重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明并表示了谢意。
论文作者签名：日期：年月日摘要混沌在现代科学与工程学领域的应用十分广泛，混沌现象存在于自然界各个领域，包括通讯领域、气象学领域、生物学领域、医学诊断疾病等方面。
学习混沌理论在未来的发展过程对我们是很有帮助的。
在非线性的世界里，通过混沌理论洞察所有的非线性运动,对其进行控制和掌握。
通过非线性电路对混沌系统进行分析和理解，进而构造出符合二阶混沌系统的非线性电路和函数模型。
Duffing 方程就是典型的二阶非线性方程。
运用MATLAB/Simulink对其混沌系统进行仿真实现，验证混沌系统的基本特性。
关键词：混沌；非线性；Duffing方程; MATLAB/SimulinkABSTRACTChaos widely used in modern science and engineering and chaos phenomenon exists in various fields of nature, including the communications field, the field of meteorology, biology, medical diagnosis of diseases. Learning Chaos Theory is very helpful to us in the development of this course in the future. In a nonlinear world, insight into the chaos theory, We can control and master non-linear movement. We analyze and understand the chaotic system via nonlinear circuit, and then construct a second-order chaotic systems of nonlinear circuits and function model. Duffing equation is a typical second-order nonlinear equation. Using MATLAB/Simulink, we complete the chaotic system simulation and test the basic characteristics of chaotic systems.Key words：Chaos；nonlinear；Duffing equation；MATLAB/Simulink目录第一章绪论 (1)1.1混沌理论 (1)1.2混沌的应用 (2)第二章二阶混沌系统的仿真实现 (5)2.1混沌系统 (5)2.1.1混沌产生的数学模型 (5)2.1.2 奇异吸引子与分形 (6)2.1.3 混沌系统的特征 (7)2.1.4 研究混沌的主要方法 (8)2.2 二阶混沌系统的实现 (9)第三章二阶非线性电路仿真实现 (15)3.1 Simulink仿真 (17)3.2 MATLAB语句命令演示模拟 (19)第四章结论 (22)致谢 (25)参考文献 (26)附录A (27)第一章绪论1.1混沌理论什么是混沌？现代科学意义上是很难得出确切的定义，之所以这样是因为：到目前为止，还没有足够和统一数学定理可以将混沌理论完全表达出来，在数学理论的基础上通过混沌系统所表现出的普遍现象总结归纳出混沌的本质。
连续时间混沌系统MATLAB程序和SIMULINK模型
第6章连续时间混沌系统本章讨论连续时间混沌系统的基本特点与分析方法，主要包括混沌数值仿真和硬件实验方法简介、混沌系数平衡点的计算、平衡点的分类与性质、相空间中的轨道、几类典型连续混沌系统的介绍、混沌机理的分析方法、用特征向量空间法寻找异宿轨道、Lorenz系统及混沌机理定性分析、Lorenz映射、Poincare截面、Chua系统及其混沌机理定性分析、时间序列与相空间重构等内容。
6.1 混沌数值仿真和硬件实验方法简介混沌的数值仿真主要包括MA TLAB编程、SIMULINK模块构建、EWB仿真以及其他一些相关的软件仿真或数值计算等方法，从而获取混沌吸引子的相图、时域波形图、李氏指数、分叉图和功率谱等。
混沌的硬件实验主要包括模拟/数字电路设计与硬件实验、现场可编程门阵列器件（FPGA）、数字信号处理器（DSP）等硬件实现方法来产生混沌信号。
本节仅对各种数值仿真方法作简单介绍。
1）混沌系统的MA TLAB数值仿真该方法主要根据混沌系统的状态方程来编写MA TLAB程序。
现举二例来说明这种编程方法。
（1）已知Lorenz系统的状态方程为dx/dt=-a(x-y)dy/dt=bx-xz-ydz/dt=-cz+xy式中a=10,b=30,c=8/3。
MA TLAB仿真程序如下：>> %**************************************************Function dxdt=lorenz(t,x)%除符号dxdt外，还可用其他编程者习惯的有意义的符号A=10;B=30;C=8/3;dxdt=zeros(3,1);dxdt(1)=-A*(x(1)-x(2));dxdt(2)=B*x(1)-x(1).*x(3)-x(2);dxdt(3)=x(1)*x(2)-C*x(3);%*************************************************options=odeset('RelTol',1e-6,'AbsTol',[ 1e-6 1e-6 1e-6]);t0=[0 200];x0=[0.02,0.01,0.03];[t,x]=ode45('lorenz',t0,x0,options);%**************************************************n=length(t)n1=round(n/2)%n1=1;%**************************************************figure(1);plot(t(n1:n,1),x(n1:n,1));xlabel('t','fontsize',20,'fontname','times new roman','FontAngle','italic');ylabel('x','fontsize',20,'fontname','times new roman','FontAngle','italic');figure(2);plot(x(n1:n,1),x(n1:n,3));xlabel('x','fontsize',20,'fontname','times new roman','FontAngle','italic');ylabel('z','fontsize',20,'fontname','times new roman','FontAngle','italic');%*******************************************************************根据上述MA TLAB程序，得Lorenz系统的时域波形图和混沌吸引子相图的数值仿真结果如图6-1所示。
10种混沌映射matlab
10种混沌映射matlab如何在MATLAB中实现10种混沌映射引言：混沌理论是非线性动力学研究的一个重要分支，它研究的是一类具有确定性但展现出随机行为的系统。
混沌映射是混沌理论的基础，通过它可以生成一系列具有随机性质的数值序列。
本文将介绍10种经典的混沌映射，并提供在MATLAB中实现它们的详细步骤。
一、Logistic映射Logistic映射是最早被研究的混沌映射之一，它的迭代公式为：x(n+1) = r * x(n) * (1 - x(n))其中，x(n)表示第n次迭代的值，r是产生的随机参数。
在MATLAB中，可以通过以下步骤实现Logistic映射：1. 初始化参数：迭代次数N = 1000;初始值x = zeros(N, 1);随机参数r = 3.9;2. 进行迭代计算：初始化初始值x(1) = 0.5;进行迭代计算for n = 2:Nx(n) = r * x(n-1) * (1 - x(n-1)); end3. 可视化生成的混沌序列：绘制混沌序列plot(1:N, x);二、Henon映射Henon映射是一种二维混沌映射，其迭代公式为：x(n+1) = 1 - a * x(n)^2 + y(n)y(n+1) = b * x(n)其中，x(n)和y(n)分别表示第n次迭代的x坐标和y坐标，a和b是产生的随机参数。
在MATLAB中，可以通过以下步骤实现Henon映射：1. 初始化参数：迭代次数N = 10000;初始值x = zeros(N, 1);y = zeros(N, 1);随机参数a = 1.4;b = 0.3;2. 进行迭代计算：初始化初始值x(1) = 0.1;y(1) = 0.1;进行迭代计算for n = 2:Nx(n) = 1 - a * x(n-1)^2 + y(n-1);y(n) = b * x(n-1);end3. 可视化生成的混沌序列：绘制混沌序列plot(x, y);三、Tinkerbell映射Tinkerbell映射是一种二维混沌映射，其迭代公式为：x(n+1) = x(n)^2 - y(n)^2 + a * x(n) + b * y(n)y(n+1) = 2 * x(n) * y(n) + c * x(n) + d * y(n)在MATLAB中，可以通过以下步骤实现Tinkerbell映射：1. 初始化参数：迭代次数N = 100000;初始值x = zeros(N, 1);y = zeros(N, 1);随机参数a = 0.9;b = -0.6013;c = 2;d = 0.5;2. 进行迭代计算：初始化初始值x(1) = 0.1;y(1) = 0.1;进行迭代计算for n = 2:Nx(n) = x(n-1)^2 - y(n-1)^2 + a * x(n-1) + b * y(n-1);y(n) = 2 * x(n-1) * y(n-1) + c * x(n-1) + d * y(n-1); end3. 可视化生成的混沌序列：绘制混沌序列plot(x, y);四、Ikeda映射Ikeda映射是一种二维混沌映射，其迭代公式为：x(n+1) = u + d * cos(theta(n) - w)y(n+1) = v + d * sin(theta(n) - w)theta(n+1) = b - a / (1 + x(n)^2 + y(n)^2)在MATLAB中，可以通过以下步骤实现Ikeda映射：1. 初始化参数：迭代次数N = 5000;初始值x = zeros(N, 1);y = zeros(N, 1); theta = zeros(N, 1); 随机参数u = 0.9;v = 0.6;a = 0.4;b = 6;d = 0.9;w = 0.4 * pi;2. 进行迭代计算：初始化初始值x(1) = 0.1;y(1) = 0.1;theta(1) = 0;进行迭代计算for n = 2:Ntheta(n) = b - a / (1 + x(n-1)^2 + y(n-1)^2);x(n) = u + d * cos(theta(n) - w);y(n) = v + d * sin(theta(n) - w);end3. 可视化生成的混沌序列：绘制混沌序列plot(x, y);五、Lorenz映射Lorenz映射是一种三维混沌映射，其迭代公式为：x(n+1) = x(n) + dt * a * (y(n) - x(n))y(n+1) = y(n) + dt * (x(n) * (b - z(n)) - y(n))z(n+1) = z(n) + dt * (x(n) * y(n) - c * z(n))在MATLAB中，可以通过以下步骤实现Lorenz映射：1. 初始化参数：时间步长dt = 0.01;时间序列t = 0:dt:50;随机参数a = 10;b = 28;c = 8/3;初始值x = zeros(size(t));y = zeros(size(t));z = zeros(size(t));x(1) = 0.1;y(1) = 0.1;z(1) = 0.1;2. 进行迭代计算：进行迭代计算for n = 1:numel(t)-1dx = a * (y(n) - x(n));dy = x(n) * (b - z(n)) - y(n);dz = x(n) * y(n) - c * z(n);x(n+1) = x(n) + dt * dx;y(n+1) = y(n) + dt * dy;z(n+1) = z(n) + dt * dz;end3. 可视化生成的混沌序列：绘制混沌序列plot3(x, y, z);六、Chen映射Chen映射是一种三维混沌映射，其迭代公式为：x(n+1) = a * x(n) - y(n) * z(n)y(n+1) = c * y(n) + x(n) * z(n)z(n+1) = -b * z(n) + x(n) * y(n)在MATLAB中，可以通过以下步骤实现Chen映射：1. 初始化参数：迭代次数N = 10000;初始值x = zeros(N, 1);y = zeros(N, 1);z = zeros(N, 1);随机参数a = 35;b = 3;c = 28;2. 进行迭代计算：初始化初始值x(1) = 0.1;y(1) = 0.1;z(1) = 0.1;进行迭代计算for n = 2:Nx(n) = a * x(n-1) - y(n-1) * z(n-1);y(n) = c * y(n-1) + x(n-1) * z(n-1);z(n) = -b * z(n-1) + x(n-1) * y(n-1);end3. 可视化生成的混沌序列：绘制混沌序列plot3(x, y, z);七、Genesio-Tesi映射Genesio-Tesi映射是一种三维混沌映射，其迭代公式为：x(n+1) = y(n)y(n+1) = z(n)z(n+1) = -a * x(n) - b * y(n) - c * z(n) - x(n)^3 + u(n)在MATLAB中，可以通过以下步骤实现Genesio-Tesi映射：1. 初始化参数：迭代次数N = 10000;初始值x = zeros(N, 1);y = zeros(N, 1);z = zeros(N, 1);随机参数a = 0.1;b = 0.1;c = 14;u = 1;2. 进行迭代计算：初始化初始值x(1) = 1;y(1) = 1;z(1) = 1;进行迭代计算for n = 2:Nx(n) = y(n-1);y(n) = z(n-1);z(n) = -a * x(n-1) - b * y(n-1) - c * z(n-1) - x(n-1)^3 + u; end3. 可视化生成的混沌序列：绘制混沌序列plot3(x, y, z);八、Newton-Leipnik映射Newton-Leipnik映射是一种三维混沌映射，其迭代公式为：x(n+1) = x(n) + 0.1 * (y(n) - x(n)^5)y(n+1) = y(n) + 0.1 * (z(n) - y(n)^5)z(n+1) = z(n) + 0.1 * (-0.4 * z(n) - x(n) * y(n))在MATLAB中，可以通过以下步骤实现Newton-Leipnik映射：1. 初始化参数：迭代次数N = 100000;初始值x = zeros(N, 1);y = zeros(N, 1);z = zeros(N, 1);2. 进行迭代计算：初始化初始值x(1) = 0.1;y(1) = 0.2;z(1) = 0.3;进行迭代计算for n = 2:Nx(n) = x(n-1) + 0.1 * (y(n-1) - x(n-1)^5);y(n) = y(n-1) + 0.1 * (z(n-1) - y(n-1)^5);z(n) = z(n-1) + 0.1 * (-0.4 * z(n-1) - x(n-1) * y(n-1)); end3. 可视化生成的混沌序列：绘制混沌序列plot3(x, y, z);九、Zaslavskii映射Zaslavskii映射是一种三维混沌映射，其迭代公式为：x(n+1) = a * x(n) + y(n) * z(n)y(n+1) = b * y(n) + z(n) * x(n)z(n+1) = c * z(n) + x(n) * y(n) + x(n) * z(n)在MATLAB中，可以通过以下步骤实现Zaslavsk。
基于Matlab混沌系统的数值仿真
基于Matlab混沌系统的数值仿真
杨纪华
【期刊名称】《绵阳师范学院学报》
【年(卷),期】2013(032)002
【摘要】利用Matlab软件对三个不同的混沌系统进行数值仿真.首先,对Lorenz 系统,通过对相应线性化方程特征根的分布理论得出了系统的线性稳定性区域.然后,利用Matlab软件,对三个不同的系统进入混沌状态的过程进行数值仿真,揭示出它们从规则运动转化到混沌运动所具有的普适特征,并给出了它们关于初值敏感性的数值仿真图以及相应的Matlab程序.本研究成果有助于理解最终的混沌状态的性质.
【总页数】6页(P11-16)
【作者】杨纪华
【作者单位】宁夏师范学院数学与计算机科学学院,宁夏固原756000
【正文语种】中文
【中图分类】TP391.9;O415.5
【相关文献】
1.基于复合混沌系统的彩色图像加密算法及Matlab实现 [J], 刘昭勇;代安定;李康;蔡家豪
2.基于Matlab的非线性混沌电路仿真系统开发 [J], 冯娟;姜宽;王亚威;樊振军
3.基于MATLAB/simulink的直流输电系统的数值仿真 [J], 孙华;晋彦斌
4.基于MATLAB软件的周期符号r纠缠函数构造的新混沌系统动力学分析 [J], 罗
宏伟;张建刚;杜文举;安新磊;卢加荣
5.基于MATLAB软件的周期符号纠缠函数构造的新混沌系统动力学分析 [J], 罗宏伟;张建刚;杜文举;安新磊;卢加荣
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一个超混沌系统在MATLAB环境下的仿真实现
毕业设计（论文）题目一个超混沌系统在MATLAB环境下的仿真实现系（院）物理与电子科学系专业物理学班级2005级1班学生姓名XXX学号2005080119指导教师XXX职称二〇一一年六月十八日独创声明本人郑重声明：所呈交的毕业设计(论文)，是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议。
尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本设计（论文）不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。
对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。
本声明的法律后果由本人承担。
作者签名:二〇一〇年六月一十八日毕业设计（论文）使用授权声明本人完全了解滨州学院关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定。
本人愿意按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版，同意学校保存学位论文的印刷本和电子版，或采用影印、数字化或其它复制手段保存设计（论文）；同意学校在不以营利为目的的前提下，建立目录检索与阅览服务系统，公布设计（论文）的部分或全部内容，允许他人依法合理使用。
（保密论文在解密后遵守此规定）作者签名:二〇一〇年六月一十八日一个超混沌系统在MATLAB环境下的仿真实现摘要在混沌、超混沌理论研究成果的基础上，利用外加驱动信号方法改进一个四阶超混沌系统，通过对外界驱动信号频率的控制，实现系统的动力学特性。
对新构建的超混沌系统的特性进行了详细分析，包括验证其超混沌性质，相空间轨迹分析，Lyapunov指数谱分析等，仿真结果关键词：超混沌；lyapunov指数；EWB；超混沌电路；MATLABIA hyperchaos circuit was simulated in MATLABsimulationAbstractBased on chaotic and the hyperchaotic theory research, by using plussing a drive signal to the fourth-order hyperchaos system to improve the fourth-order hyperchaos system, through to control the external drive signal frequency, realizeing the system’ dynamic characteristics. The construction of the new characteristics of hyperchaos system are analyzed in detail, including its hyperchaos nature, path analysis, phase space Lyapunov index and bifurcation diagram analysis and simulation results show that the system characteristics. Is abundant. Using the signal frequency control and drive can completely accurate control of the entire system dynamics characteristic. Finally,design a simulated circuit, and simulat in EWB environment, through the comparison of simulation results between MATLAB and EWB, Further verify the consistency between experiment results and numerical simulation.Keyword：hyperchaos；Lyapunov exponents；bifurcation；hyperchaotic CircuitII目录引言 (1)第一章动力系统形态及其分析 (2)1.1动力系统 (2)1.1.1动力学系统的基本概念 (2)1.1.2几种常见的平衡态 (4)1.1.3吸引子和结构稳定性 (6)1.2 分岔 (7)1.2.1分岔的基本概念 (7)1.2.2非线性映射及其分岔 (8)第二章混沌系统判别方法讨论 (10)2.1混沌的特性及其判别方法 (10)2.1.1混沌的定义 (10)2.1.2混沌运动的基本特征 (11)2.2超混沌特性及其判别方法 (11)2.3混沌电路研究方法 (12)第三章一个新的超混沌系统设计及其性能分析 (12)3.1超混沌系统 (12)3.1.1一个四阶的超混沌系统 (12)3.1.2平衡点及稳定性分析 (13)3.1.3系统相空间轨迹分析 (13)3.2一个新的超混沌系统 (15)3.2.1一个新的超混沌系统的设计 (15)3.2.2系统相空间轨迹分析 (16)3.2.3李雅普诺夫指数分析 (17)3.2.4系统的电路设计和实验结果 (17)结论 (23)参考文献 (24)i谢辞 (25)ii引言混沌科学是一门新兴的学科，混沌（Chaos）是一种貌似无规则的运动，指在确定性非线性系统中，不需要附加任何随机因素亦可出现的行为（内在随机性）。
基于MATLAB的混沌系统仿真
鲁＝ ＋ ０ ． ２ ｙ
ｄ三 ： ０ ２ — ５． ７ ＋
．
（ １ ）
ｔ
这 是一个 自治 的方 程组 ， 求解 过 程如 下 ： （ １ ） 建 立 自定义 函数 用ｅ ｄ ｉ ｔ 命 令 建立 自定 义 函数 名 为 Ｒ ｏ ｓ ｓ ｌ ｅ ｒ ． Ｉ ｎ ， 内
Ｒ ｔ ｉ ｓ ｓ ｌ ｅ ｒ 方 程如 下 ：
—
ｄ ｄ — ｔ
一 Ｙ一
为混沌有如下特征 ： １ ） 初值的敏感性 ， 即两个任意近
的点 出发 的两 条 轨 迹 迟早 会 分 得 很 开 ； ２ ）遍 历 性 ， 即任意 点 出发 的轨 迹 总会 进 人 ［ ０ ， １ ］ 内任 意 小 的 开
线 性 问题 ， 处理 非 线性在 数 学上 比线 性要 复杂 得 多 ，
（ ２ ） 用ｏ ｄ ｅ ４ ５ 命令求解
［ 收稿 日期］ ２ ０ １ ３ —０ ７—１ ５ ［ 作者简 介］ 陈永胜 （ １ ９ ７ ３一） ， 男， 硕士 ， 吉林师范大学数学学 院副教授 ， 研究方 向： 动力系统 、 数学建模 、 数学软件 。
设 计 中得 到广 泛 的应用 。混 沌学 理论 所研 究 的是 非
容为 ：
ｆ ｕ ｎ ｔ ｉ ｏ ｎ ｄ ｘ＝Ｒ ｏ ｓ ｓ ｌ ｅ ｒ （ ｔ ， ｘ ）
ｄ ｘ ＝［ 一ｘ （ ２ ） 一ｘ （ ３ ） ； Ｘ （ １ ） ＋０ ． ２ ｘ （ ２ ） ； ０ ． ２＋ （ ｘ （ １ ） 一５ ． ７ ） ｘ （ ３ ） ］ ；
绝 大部 分非线 性微 分 方 程 是 不 可 积 的 ， 难 以用 解 析 式表 达 ， 只能 采 用数 值 解 法 ， 而 强 大 的 数 学 工 具 ＭＡ ＴＬ Ａ Ｂ做 这些 工 作 就 显 得 游 刃 有 余 。下 面针 对 混沌 系 统进行 实 例分 析 。
离散混沌系统的Matlab仿真
离散混沌系统的Matlab仿真
朱夜明;乔宗敏
【期刊名称】《合肥学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2006(016)004
【摘要】基于Matlab研究了离散混沌系统的数值解法和图形仿真,同时针对离散时滞混沌系统给出了数值仿真的Matlab程序.对于高阶离散混沌系统也可以采用上面的变换将系统降阶,变成一阶差分方程组进行求解,从而离散混沌系统都可以通过简单的编程实现数值仿真.从数值仿真角度来说,所得方法对于离散混沌系统的混沌同步和控制器仿真及误差描述都有积极的意义.
【总页数】4页(P37-40)
【作者】朱夜明;乔宗敏
【作者单位】安徽大学,学报编辑部,合肥,230039;安徽教育学院,数学系,合
肥,230061
【正文语种】中文
【中图分类】TP273
【相关文献】
1.一类二维离散混沌系统在不同系统参数下的自适应混沌同步 [J], 李小鹏;周平
2.数字人体离散动态系统的离散动力学与离散混沌 [J], 毕思文
3.利用Matlab仿真模拟Rossler混沌系统及混沌控制 [J], 郭怡冰;苑文法
4.典型混沌系统的Matlab仿真实现 [J], 王改云;马姝靓
5.二维三次方离散系统的混沌控制与广义混沌同步 [J], 刘晓君;李险峰;何万生;杨丽新
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几类混沌系统的数值仿真
1023 收稿日期： 2012基金项目： 宁夏师范学院创新团队资助项目（ zy201207 ） ； 宁夏自然科学基金资助项目（ NZ12225 ） ； 宁夏师范学院本科教学工程资助项目 （ JXGC2012B01 ） 作者简介： 杨纪华（ 1983 － ） ， 男， 讲师， 硕士研究生， 主要研究方向： 微分方程的稳定性与分支理论．
第 32 卷 2． 1 Lorenz 系统
绵阳师范学院学家洛伦兹（ E． N． Lorenz） 于 1963 年在大气科学杂志上提出第一个表现奇异吸引子的动力 ［5 ］ 学系统． 该系统模型可以用下列微分方程组描述 dx = ay － ax， dt dy （ 1） dt = cx － y － xz， dz = － bz + xy， dt 8 b， c ＞ 0 为参数． 通常取 a = 10 ， b= ， 其中 a， 则系统（ 1 ） 成为 3 dx = 10 y － 10 x， dt dy （ 2） dt = cx － y － xz， dz = － 8 z + xy， dt 3 A， B， 容易得到， 当 0 ＜ c1 时， 原点是系统（ 2 ） 的唯一平衡点； 当 c ＞ 1 时， 系统（ 2 ） 有三个平衡点 O， 分 别是 8 8 8 8 （ c － 1） ） ， － （ c － 1） ， c － 1） ， （ （ c － 1） ， （ c － 1） ， c － 1） ， 3 3 3 3 从而 c = 1 是系统的一个叉分支点． 在平衡点 O 处， 系统（ 2 ） 的线性化方程为 dx = 10 y － 10 x， dt dy dt = cx － y， dz = － 8 z + xy． dt 3 其相应的特征方程为 8 （ λ2 + 11 λ + 10 － 10 c） = 0 λ+ 3 （ 0， 0， 0） ， （ －
第 32 卷 第 2 期 2013 年 2 月
绵阳师范学院学报 Journal of Mianyang Normal University
Vol． 32 No． 2 Feb． ， 2013
基于 Matlab 混沌系统的数值仿真
杨纪华
（ 宁夏师范学院数学与计算机科学学院， 宁夏固原 756000 ） 摘 要： 利用 Matlab 软件对三个不同的混沌系统进行数值仿真． 首先， 对 Lorenz 系统， 通过对相应线性化方 程 利用 Matlab 软件， 对三个不同的系统进入混沌状态 的过程 特征根的分布理论得出了系统的线性稳定性区域． 然后， 进行数值仿真， 揭示出它们从规则运动转化到混沌运动 所 具 有的 普适 特 征， 并给出了 它们 关 于初 值 敏感性 的数值 仿真图以及相应的 Matlab 程序． 本研究成果有助于理解最终的混沌状态的性质． 关键词： 混沌; Matlab; 数值仿真; 稳定 612x（ 2013 ） 02001106 中图分类号： TP391. 9 ； O415. 5 文献标识码： A 文章编号： 1672-
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Matlab 中的龙格 － 库塔（ Runge － Kutta） 实现
Matlab 软件以矩阵运算为基础， 把计算， 可视化， 程序设计等有机的融合在一起， 具有出色的数值计算 Matlab 提供了求解微分方程数值解的函数， 能力和强大的图形处理功能． 基于 Runge － Kutta 法， 一般调用 格式是： ［ t， x］= ode23（ ‘odefun’ ， tspan， x0） ， ［ t， x］= ode45（ ‘odefun’ ， tspan， x0 ） ． odefun 是定义的函数文件名， t0 ， tf ］ ， 其中， 该函数文件必须返回一个列向量． Tspan 形式是［ 表示求解 x0 是初始状态向量． 这两个函数分别采用" 二阶， 区间， 三阶 Runge － Kutta 法" 和" 四阶， 五阶 Runge － Kutta 法" ， 并采用自适应的求解方法， 即当解的变化较慢时采用较大的步长， 从而使计算速度很快， 当解的变化 ［4 ］ 较快时步长会自动变小长， 从而使计算精度很高． 在 Matlab 中， 一般选取四阶的龙格库塔方法 ．
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引言
根据实际问题建立的微分方程系统模型， 除变量、 未知变量和导数外， 还会有一些常数． 在实际问题 中， 这些常数是可以在一定范围内变动的 ， 我们一般称之为参数． 在研究微分方程时， 当参数变动跨越某个 数值时， 微分方程的解的性态会出现突然的巨大改变 ． 分支和混沌的研究就是探索和解释这类现象的 ． 分 支问题主要是研究当参数向量变动时 ， 相应微分系统的轨线何时出现重大改变． 所谓重大改变， 主要是指 平衡点的产生、 消失或稳定性的改变， 极限环的产生、 消失或稳定性的改变． 混沌目前尚无通用的严格的定 义，一般认为， 将不是由随机性外因引起的， 而是由确定性方程 （ 内因） 直接得到的具有随机性的运动状态 称为混沌． 混沌研究的对象也是含参数系统 ， 也涉及轨线分布的重大变化， 但与分支问题有所不同． 分支问 混沌问题关注的是参数达到某个值 （ 即阈值 ） 以后轨线分 题讨论某参数值附近轨线分布是否有重大变化 ， 布的巨大变化． 在混沌问题中， 参数值达到阈值后， 轨线的走向呈现无序的现象， 然而是否出现混沌通常无 ［1 － 3 ］ ． 随着计算机技术的发展， 法单纯由数学推理作出论证， 需要计算机模拟作为辅助手段 应用 Matlab 对 混沌系统进行数值仿真， 具有操作简单、 直观等优点． 本文在基于 Matlab 环境， 研究了三个混沌系统的数值 ， ， ， 解法和图形仿真 给出相应的程序语言 模拟出各类混沌系统的独特性质 比如倍周期， 初值敏感性， 分支 图等， 加深了我们对混沌现象的理解． 从数值仿真的角度来说， 本文的结果对于混沌系统的混沌同步以及 实现对混沌系统的控制和利用都有积极意义 ．