北师大版九年级数学下册课件：2.1 二次函数PPT
合集下载
2-1 二次函数(课件)九年级数学下册(北师大版)
(4)y＝x－2＋x；
(5)y＝3(x－2)(x－5)； 解：二次函数有：(2)(5)
(6)y＝x2＋ 1 .
x2
y＝－5x2的二次项系数为5，一次项系数和常数项为0；
y＝3(x－2)(x－5)＝3x2－21x＋30
二次项系数为3，一次项系数为－21，常数项为30.
例题欣赏 ☞
例2. y m 3 xm27.
想一想
探索&交流
问题2：正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面 积为 y，则 y 关于x 的关系式为 y=6x2 .
此式表示了正方体表面积y与正方 体棱长x之间的关系，对于x的每一 个值，y都有唯一的一个对应值， 即y是x的函数.
探索&交流
问题3：某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一块矩形的水面， 投放鱼苗.你能列出矩形水面的面积关于矩形水面的边长的关系式 吗？ 设围成的矩形水面的一边长为x m,那么，矩形水面的另一边长应 为（20-x）m.若它的面积是S m2，则有
(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
增种的棵树和平均每棵树结的橙子个数是变量.
增种的棵树是自变量,平均每棵树结的橙子个数是因变量.
探索&交流
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？ 这时平均每棵树结多少个橙子？
果园共有(100＋x)棵树,平均每棵树结(600－5x)个橙子.
一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可以表示成 y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的形式，则称y是x的二次函数.
a为二次项系数，ax2叫做二次项； b为一次项系数，bx叫做一次项； c为常数项.
详解 二次函数的特殊形式： 1.只含二次项，即y=ax2(b=0，c=0)； 2.不含一次项，即y=ax2+c(b=0，c≠0)； 3.不含常数项，即y=ax2+bx(b≠0，c=0).
2020年北师大版九年级数学下册课件：2.1 二次函数 (共20张PPT)
－x2)[a(x1＋x2－2)＋b]＝0.∵x1≠x2，∴x1－x2≠0，∴a(x1＋x2－2)＋b＝0，∴x1＋x2
＝2－ba，∴f(x1＋x2)＝f2－ba＝2－baa2－ba＋b＝4a－2b.
• (2)所谓二次函数的实质是指自变量的最高次 数是2，所以a≠0，但b、c都可以为0.
• (3)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫二次函数的一般式， x可以取一切实数，但在实际问题中视具体情
• 【典例】若y＝(m－3)·xm2－3m＋2＋mx＋ 1分是析：二由二次次函函数数的定，义，则得mmm2－－＝33≠m_0＋._2＝__2，___解_得.m＝0.
• 答案：0 • 点评：一个二次函数要同时满足三个条件：
①函数表达式是整式；②化简后自变量的最 高次数是2；③二次项系数不等于0.
• 知识点2 根据实际问题列二次函数表达式
• 根据实际问题列二次函数表达式，一般方法 为：先找出题目中有关两个变量之间的等量 关系，然后用题目中所设出的变量与已知数 值表示这个等量关系，经过适当变形，即可 得到题目所要求的二次函数表达式．
基础过关
1．下列函数中，一定为二次函数的是
A．y＝3x－1
B．y＝ax2＋bx＋c
(C )
C．s＝2t2－2t＋1
D．y＝x2＋1x
2．如果 y＝(a－1)x2－ax＋6 是关于 x 的二次函数，那么 a 的取值范围是 ( B )
A．a≠0
B．a≠1
C．a≠1 且 a≠0
D．无法确定
3. 一个直角三角形的两条直角边长的和为 20 cm，其中一直角边长为 x cm，面
2x2.
• (2)不能．理由：由题意，知50x－2x2＝300， 解得x＝10或15，则50－2x＝30或20.当a＝ 18时，由于18<20，故不能建造符合要求的 养鸡场． (3)由(2)可知，建造符合要求的鸡 场最多有两种方案，a的最小值为20.
＝2－ba，∴f(x1＋x2)＝f2－ba＝2－baa2－ba＋b＝4a－2b.
• (2)所谓二次函数的实质是指自变量的最高次 数是2，所以a≠0，但b、c都可以为0.
• (3)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫二次函数的一般式， x可以取一切实数，但在实际问题中视具体情
• 【典例】若y＝(m－3)·xm2－3m＋2＋mx＋ 1分是析：二由二次次函函数数的定，义，则得mmm2－－＝33≠m_0＋._2＝__2，___解_得.m＝0.
• 答案：0 • 点评：一个二次函数要同时满足三个条件：
①函数表达式是整式；②化简后自变量的最 高次数是2；③二次项系数不等于0.
• 知识点2 根据实际问题列二次函数表达式
• 根据实际问题列二次函数表达式，一般方法 为：先找出题目中有关两个变量之间的等量 关系，然后用题目中所设出的变量与已知数 值表示这个等量关系，经过适当变形，即可 得到题目所要求的二次函数表达式．
基础过关
1．下列函数中，一定为二次函数的是
A．y＝3x－1
B．y＝ax2＋bx＋c
(C )
C．s＝2t2－2t＋1
D．y＝x2＋1x
2．如果 y＝(a－1)x2－ax＋6 是关于 x 的二次函数，那么 a 的取值范围是 ( B )
A．a≠0
B．a≠1
C．a≠1 且 a≠0
D．无法确定
3. 一个直角三角形的两条直角边长的和为 20 cm，其中一直角边长为 x cm，面
2x2.
• (2)不能．理由：由题意，知50x－2x2＝300， 解得x＝10或15，则50－2x＝30或20.当a＝ 18时，由于18<20，故不能建造符合要求的 养鸡场． (3)由(2)可知，建造符合要求的鸡 场最多有两种方案，a的最小值为20.
北师大版九年级数学下册课件：2.1二次函数 (共17张PPT
设人民币一年定期储蓄的年利率是 x,一年到期后,银行将本金和利息自动 按一年定期储蓄转存.如果存款额是 100元,那么请你写出两年后的本息和 y(元)的表达式(不考虑利息税).
y=100(x+1)²=100x²+200x+100.
二、新课讲解
用心想一想
1.两数的和是20，设其中一个数是x，你能写出这两数 之积y的表达式吗？
四、强化训练
1.下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1;
(2) y x 1 . x
(3) s=3-2t²;
(4) y
1 x2
； x
(5)y=(x+3)²-x²;
(6) v=10πr².
（1）（3） （6）
四、强化训练
2.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地
目前，我们已经学习了那几种类型的函数？
一、新课引入
变 量 之 间函 的数 关 系
一次函数 反比例函数
y=kx+b (k≠0)
正比例函数
y=kx (k≠0)
y=k/x (k≠0)
二次函数
二、新课讲解
用心想一想
某果园有100棵橙子树,平均每 棵树结600个橙子.现准备多种一 些橙子树以提高果园产量,但是如 果多种树,那么树之间的距离和每 一棵树所接受的阳光就会减少.根 据经验估计,每多种一棵树,平均每 棵树就会少结5个橙子.
例如: y=-5x²+100x+60000,y=100x²+200x+100.
老师提示: (1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且a≠0. (2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常 数项,但不能没有二次项.
y=100(x+1)²=100x²+200x+100.
二、新课讲解
用心想一想
1.两数的和是20，设其中一个数是x，你能写出这两数 之积y的表达式吗？
四、强化训练
1.下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1;
(2) y x 1 . x
(3) s=3-2t²;
(4) y
1 x2
； x
(5)y=(x+3)²-x²;
(6) v=10πr².
（1）（3） （6）
四、强化训练
2.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地
目前，我们已经学习了那几种类型的函数？
一、新课引入
变 量 之 间函 的数 关 系
一次函数 反比例函数
y=kx+b (k≠0)
正比例函数
y=kx (k≠0)
y=k/x (k≠0)
二次函数
二、新课讲解
用心想一想
某果园有100棵橙子树,平均每 棵树结600个橙子.现准备多种一 些橙子树以提高果园产量,但是如 果多种树,那么树之间的距离和每 一棵树所接受的阳光就会减少.根 据经验估计,每多种一棵树,平均每 棵树就会少结5个橙子.
例如: y=-5x²+100x+60000,y=100x²+200x+100.
老师提示: (1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且a≠0. (2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常 数项,但不能没有二次项.
北师大版 九年级 数学下册 2.1二次函数概念 课件(共20张PPT)
不是二次函数.
是二次函数.
二次项系数: 3 一次项系数: -6
(5)y= _1_ -x x²
常数项: 4
(2) y=x+
_1_ x
不是二次函数.
不是二次函数. (6) v=8π r² 是二次函数.
(3) s=3-2t²是二次函数.
二次项系数: 8π
二次项系数: -2 一次项系数: 0 常数项: 3
一次项系为y个,那么请你写出y 与x之间的关系式.
总产量=果树的总数X每棵-5树x²+产10量0x+60000
y=(100+x)(600-5x)=
观察：函数①②③有什么共同点?
y=6x2①
S=-a²+30a y= -5x²+100x+60000
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式表示的。
2
即
m 1 n2 1 n 22
一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形 菜园，和墙垂直的一边长为Xm，菜园的面积为Ym2， 求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。 当x=12m时，计算菜园的面积。
解：由题意得： Y=x(40-2x)
x
即：Y=-2x2+40x(0<x<20) m
解：S=a(60 - a)
2 = -a²+30a .
问题2
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子. 现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那 么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少. 根
据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙 子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种 树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减 少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结 5个橙子.
九年级数学北师大版下册课件：第二章 2.1 二次函数(共24张PPT)
第二章 二次函数 2．1 二次函数
◎学习目标 1. 探索并归纳二次函数的定义． 2. 能够表示简单变量之间的二次函数关系． 3. 能够利用尝试求值的方法解决实际问题．
◎新知梳理
1. 一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c(其中 a，b，c 是常
数，a ≠0 )的函数，叫做二次函数；其中 a 是二次
项系数，b 是 一次项系数 ， c 是 常数 ．
知识点 ：确定二次函数的表达式 3. 如图，长方形 ABCD 的长为 5 cm，宽为 4 cm， 如果将它的长和宽都减去 x(cm)，设它剩下的小长方形
AB′C′D′的周长为 y(cm)，面积为 S(cm2)，则 y 与
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/182021/9/18Saturday, September 18, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/182021/9/182021/9/189/18/2021 6:07:46 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/182021/9/182021/9/18Sep-2118-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/182021/9/182021/9/18Saturday, September 18, 2021
D．y＝120(1－2x)
3. 将二次函数 y＝100(x＋1)2＋30x－200 化成一般
形式为 y＝100x2＋230x－100 ． 4. 某体育用品商店试销一款成本为 50 元的排球，
◎学习目标 1. 探索并归纳二次函数的定义． 2. 能够表示简单变量之间的二次函数关系． 3. 能够利用尝试求值的方法解决实际问题．
◎新知梳理
1. 一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c(其中 a，b，c 是常
数，a ≠0 )的函数，叫做二次函数；其中 a 是二次
项系数，b 是 一次项系数 ， c 是 常数 ．
知识点 ：确定二次函数的表达式 3. 如图，长方形 ABCD 的长为 5 cm，宽为 4 cm， 如果将它的长和宽都减去 x(cm)，设它剩下的小长方形
AB′C′D′的周长为 y(cm)，面积为 S(cm2)，则 y 与
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/182021/9/18Saturday, September 18, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/182021/9/182021/9/189/18/2021 6:07:46 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/182021/9/182021/9/18Sep-2118-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/182021/9/182021/9/18Saturday, September 18, 2021
D．y＝120(1－2x)
3. 将二次函数 y＝100(x＋1)2＋30x－200 化成一般
形式为 y＝100x2＋230x－100 ． 4. 某体育用品商店试销一款成本为 50 元的排球，
北师大版九年级数学下册：2.1 二次函数 课件(共16张PPT)
笛卡尔是伟大数学家。据 说，某一天笛卡尔躺在床上休 息时，看到了天花板上趴着的 苍蝇，他为了用简易的方法表 示出苍蝇的位置而苦苦思索。 那时他产生了用形如围棋盘模
样的横线和纵线来表示位置
的想法，坐标由此诞生。笛
卡尔将坐标引入到数学中，从 而轻易地解决了与图形有关的 许多问题。
1.什么是二次函数？ 2.在实例中确定二 次函数表达式。
亲们，我攒了点私房钱 ， 今天去银行存款。银行一 年定期储蓄的年利率是x, 一年到期后，银行将本金 和利息自动按一年储蓄转 存。我存了1000美元，那 么请同学们写出两年后的
本息和y的表达式。
亲们，快帮帮我吧，我 不会算了。
同学们，在参观我 的庄园的过程中，你 们学到了什么？
我这个庄园，是一个矩形的，它 周长是2000米，它的宽为x,它的面积 为y,你能帮我列出面积和宽的关系式 吗？
让我想 想！！！
我这个庄园有100棵橙子树， 平均每棵树结600个橙子。现准 备多种一些橙子树以提高果园产 量，但是如果多种树，那么树之 间的距离和每一棵树所接受的阳 光就会减少。根据经验估计，每 多种一棵树，平均每棵树就会少 结5个橙子。
以上这些函数，我 们就叫它二次函数。
二次函数的一般式
二次函数一般式的 三个ຫໍສະໝຸດ 征：特征一：函数关系式 都是整式 特征二：化简后自变 量的最高次数是2 特征三：二次项系数 不为0.
某超市欲购进一种今年上
市的产品，购进价为20元/件。 为了调查这种产品的销路，该
超市进行了试销售，得知该产 品每天的销售量t(件)与每件的 销售价x(元/件)之间有如下关系： t=-3x+70。请写出该超市销售 这种产品每天的销售利润y(元) 与x之间的函数关系式。
问题呢？
样的横线和纵线来表示位置
的想法，坐标由此诞生。笛
卡尔将坐标引入到数学中，从 而轻易地解决了与图形有关的 许多问题。
1.什么是二次函数？ 2.在实例中确定二 次函数表达式。
亲们，我攒了点私房钱 ， 今天去银行存款。银行一 年定期储蓄的年利率是x, 一年到期后，银行将本金 和利息自动按一年储蓄转 存。我存了1000美元，那 么请同学们写出两年后的
本息和y的表达式。
亲们，快帮帮我吧，我 不会算了。
同学们，在参观我 的庄园的过程中，你 们学到了什么？
我这个庄园，是一个矩形的，它 周长是2000米，它的宽为x,它的面积 为y,你能帮我列出面积和宽的关系式 吗？
让我想 想！！！
我这个庄园有100棵橙子树， 平均每棵树结600个橙子。现准 备多种一些橙子树以提高果园产 量，但是如果多种树，那么树之 间的距离和每一棵树所接受的阳 光就会减少。根据经验估计，每 多种一棵树，平均每棵树就会少 结5个橙子。
以上这些函数，我 们就叫它二次函数。
二次函数的一般式
二次函数一般式的 三个ຫໍສະໝຸດ 征：特征一：函数关系式 都是整式 特征二：化简后自变 量的最高次数是2 特征三：二次项系数 不为0.
某超市欲购进一种今年上
市的产品，购进价为20元/件。 为了调查这种产品的销路，该
超市进行了试销售，得知该产 品每天的销售量t(件)与每件的 销售价x(元/件)之间有如下关系： t=-3x+70。请写出该超市销售 这种产品每天的销售利润y(元) 与x之间的函数关系式。
问题呢？
2.1 二次函数 课件(共32张PPT) 北师大版数学九年级下册
D
5．一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价格为y万元，则y与x之间的函数表达式为( ) A．y＝60(1－x)2 B．y＝60(1－x) C．y＝60－x2 D．y＝60(1＋x)2
A
6．矩形的周长为16cm,它的一边长为x cm,面积为y cm2. 求：（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围； （2）当x=3时矩形的面积.
B
3．若函数y＝(m－2)x2＋4x－5(m是常数)是二次函数， 则( ) A．m≠－2 B．m≠2 C．m≠3 D．m≠－3
B
4．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是 ( ) A．y＝mx2＋3x－1 B．y＝(m－1)x2 C．y＝(m－1)2x2 D．y＝(－m2－1)x2
①∵600-5x>0，x＞0，∴0≤x<120，且x为整数.②x>0.③∵20-x>0，∴0<x<20.
二次函数的自变量的取值范围是所有实数，但在实际问题中，它的自变量的取值范围会有一些限制.
列二次函数关系式
一个正方形的边长是12cm，若从中挖去一个长为2xcm，宽为(x+1)cm的小长方形．剩余部分的面积为ycm2.写出y与x之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数？
它会与某种函数有联系吗?
讲授新课
典例精讲
归纳总结
二次函数的定义及函数自变量取值范围
问题1：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
5．一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价格为y万元，则y与x之间的函数表达式为( ) A．y＝60(1－x)2 B．y＝60(1－x) C．y＝60－x2 D．y＝60(1＋x)2
A
6．矩形的周长为16cm,它的一边长为x cm,面积为y cm2. 求：（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围； （2）当x=3时矩形的面积.
B
3．若函数y＝(m－2)x2＋4x－5(m是常数)是二次函数， 则( ) A．m≠－2 B．m≠2 C．m≠3 D．m≠－3
B
4．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是 ( ) A．y＝mx2＋3x－1 B．y＝(m－1)x2 C．y＝(m－1)2x2 D．y＝(－m2－1)x2
①∵600-5x>0，x＞0，∴0≤x<120，且x为整数.②x>0.③∵20-x>0，∴0<x<20.
二次函数的自变量的取值范围是所有实数，但在实际问题中，它的自变量的取值范围会有一些限制.
列二次函数关系式
一个正方形的边长是12cm，若从中挖去一个长为2xcm，宽为(x+1)cm的小长方形．剩余部分的面积为ycm2.写出y与x之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数？
它会与某种函数有联系吗?
讲授新课
典例精讲
归纳总结
二次函数的定义及函数自变量取值范围
问题1：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
北师大版九年级下册数学课件2.1二次函数(共22张PPT)
(1)问题中有哪些变量? 其中哪些是自变 量? 哪些是因变量?
(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共 有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个
橙子? (100+x)棵 (600-5x)个
(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你 写出y与x之间的关系式．
y= (100+x) (600-5x) =-5x2+100x+60000
（是）
(4)y 1 x2 x
（不是） （不是）
(5)y=(x+3)²-x²
（不是）
(6) v=10πr²
（是）
2.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场 地面积S(m²)与矩形一边长a(m)之间的关系 是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？
解：S=a( 60- a)=a(30-a)
2
=30a-a²
= -a²+30a .
(1)y=ax² --------- (a≠0,b=0,c=0,). 定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.
注意:二次函数的二次项系数不能为零 解（1）根据题意得 定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,
(2)y=ax²+c ------ (a≠0,b=0,c≠0). 在以往所学函数的基础上，本节课我们学习一种新的函数形式——二次函数，二次函数的在日常生活中很常见，我们一定要学好它！
是 不是二次函数？ (1) k为何值时，y是x的一次函数？
(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式． 3、拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (m), 种植面积为 y (m2)。
二次函数的图象与性质(第一课时) 课件(共34张PPT)北师大版初中数学九年级下册
（g为定值）
此外，二次函数在建筑学上也有重要应用，如抛物线型隧道、抛物线型拱桥、抛物线型吊桥、抛物线型弯道等.要确定这些抛物线的形状，需要对地质、地形、气象、水力、材料等因素进行综合分析.
这节课 你学到了什么？
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
１．某一物体的质量为m，它运动时的能量E与它的运动速度v之间的关系是：
（m为定值）
2．导线的电阻为R，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q与电流强度I之间的关系是：
（R为定值）
Q=RI2
3．g表示重力加速度，当物体自由下落时，下落的距离s与下落时间t之间的关系是：
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线 y=x2.
开口向上
(2)图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
有，（0，0）
是，对称轴是 y 轴．
（-2，4）和（2，4）；
（-3，9）和（3，9）等等．
（-1，1）和（1，1）；
(3)图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点．
探究1 请作出二次函数 y=x2 的图象．
x
…
…
y
…
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
(2)在直角坐标系中描点.
(3)用光滑的曲线顺次连接各点，便得到函数 y=x2 的图象.
y=x2
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
9
4
1
0
1
4
9
…
(1)你能描述图象的形状吗？
此外，二次函数在建筑学上也有重要应用，如抛物线型隧道、抛物线型拱桥、抛物线型吊桥、抛物线型弯道等.要确定这些抛物线的形状，需要对地质、地形、气象、水力、材料等因素进行综合分析.
这节课 你学到了什么？
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
１．某一物体的质量为m，它运动时的能量E与它的运动速度v之间的关系是：
（m为定值）
2．导线的电阻为R，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q与电流强度I之间的关系是：
（R为定值）
Q=RI2
3．g表示重力加速度，当物体自由下落时，下落的距离s与下落时间t之间的关系是：
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线 y=x2.
开口向上
(2)图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
有，（0，0）
是，对称轴是 y 轴．
（-2，4）和（2，4）；
（-3，9）和（3，9）等等．
（-1，1）和（1，1）；
(3)图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点．
探究1 请作出二次函数 y=x2 的图象．
x
…
…
y
…
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
(2)在直角坐标系中描点.
(3)用光滑的曲线顺次连接各点，便得到函数 y=x2 的图象.
y=x2
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
9
4
1
0
1
4
9
…
(1)你能描述图象的形状吗？
北师大版九年级下册第二章二次函数2.1二次函数概念(共16张PPT)
二次函数的概念
探索 问题1：要用长为20m的铁栏杆，一面靠墙〔墙足够 长〕 ，围成一个矩形的花圃，设垂直于墙的一边AB 的 长为xm，矩形的面积为y m2 ，你能写出y与x的函数关 系式吗？
A
D
解：y = x (20-2x)
=-2x2+20x
B
C
问题2： 矩形的长为4厘米， 宽为3厘米，如果将长与宽都 增加x厘米，那么现在的面积 为y平方厘米，试写出y与x的 关系式？
(1)y=3x-1
(2)y=3x2
(3)y=3x3+2x2
(4)y=2x2-2x+1
(5)y=x-2+x
(6)y=x2-x(1+x)
返回
欢送指导！
次函数？
2: m取何值时，函数y=(m+1)xm2 2m 1
+(m-3)x+m 是二次函数？
例题2 正方形铁片边长为15cm，在四个角上各 剪去一个边长为x(cm)的小正方形，用余下的局 部做一个无盖的盒子
〔1〕求盒子的外表积S与小正方形边长x之间的 函数关系式；并直接写出x的取值范围。
〔2〕当小正方形边长为3cm时，
2 当k为何值时，函数y=(k-1) xk2 1 +3为
二次函数
3 写出以下各函数关系式，并说出是什么函数
〔１〕写出正方体的外表积Ｓ与正方体棱长a 之间的函数关系？
解：S=6a2 它是一个关于a的二次函数
〔2〕菱形的两条对角线的和为２６cm，求菱形 的面积Ｓ与一对角线x之间的函数的关系？
解：S=
1
求盒子的外表积。
〔3〕当外表积为125cm2时，求小正方形的边长.
x
x
15
探索 问题1：要用长为20m的铁栏杆，一面靠墙〔墙足够 长〕 ，围成一个矩形的花圃，设垂直于墙的一边AB 的 长为xm，矩形的面积为y m2 ，你能写出y与x的函数关 系式吗？
A
D
解：y = x (20-2x)
=-2x2+20x
B
C
问题2： 矩形的长为4厘米， 宽为3厘米，如果将长与宽都 增加x厘米，那么现在的面积 为y平方厘米，试写出y与x的 关系式？
(1)y=3x-1
(2)y=3x2
(3)y=3x3+2x2
(4)y=2x2-2x+1
(5)y=x-2+x
(6)y=x2-x(1+x)
返回
欢送指导！
次函数？
2: m取何值时，函数y=(m+1)xm2 2m 1
+(m-3)x+m 是二次函数？
例题2 正方形铁片边长为15cm，在四个角上各 剪去一个边长为x(cm)的小正方形，用余下的局 部做一个无盖的盒子
〔1〕求盒子的外表积S与小正方形边长x之间的 函数关系式；并直接写出x的取值范围。
〔2〕当小正方形边长为3cm时，
2 当k为何值时，函数y=(k-1) xk2 1 +3为
二次函数
3 写出以下各函数关系式，并说出是什么函数
〔１〕写出正方体的外表积Ｓ与正方体棱长a 之间的函数关系？
解：S=6a2 它是一个关于a的二次函数
〔2〕菱形的两条对角线的和为２６cm，求菱形 的面积Ｓ与一对角线x之间的函数的关系？
解：S=
1
求盒子的外表积。
〔3〕当外表积为125cm2时，求小正方形的边长.
x
x
15
北师大版九年级下册二次函数的图象与性质 课件(18张)
下
增大而增大
增大而减小
0
y<0 .
课堂小结
二次函数y=±x2的性质:
1.顶点坐标与对称轴.
2.位置与开口方向.
3.增减性与最值.
o
规律方法:
1.函数y=ax2 (a≠0)的图象是一条抛 物线，它的开口方向是由a的符号决 定的，a＜0开口向下,a＞0开口向上， 图象是关于y轴对称的轴对称图形.
2.对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最 低（高）点.
新课导入
2.描点 3.连线
y
y=x2
10
8
6
4
2
-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4
x
新知探究
议一议: 根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图 象有哪些性质，并与同伴交流.
（1）图象与x轴交于原点(0，0). （2）y≥0. （3）当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0
解：(1)A为(-2，4)， C为(2，-4).
(2)由OA=OB，结合y=x2图象的对称性，得 B与A关于y轴对称，故点B坐标为(2，4)， 点D的坐标为(-2，-4).
课堂小测
3. 如图，已知点A(-2，a)和点B在y=x2的图象上，点C(2，b)和点D在 y=-x2的图象上． (3)若四边形ABCD是菱形，求出点B，D坐标．
y o
x
y=－x2
新知探究
基础梳理: 二次函数y=x2与y=-x2的图象与性质
函数
图象
开口方 向
y=x2 __向_上__
y=-x2 __向_下__
新知探究
函数 顶点坐标
对称轴
函数变化
y=x2 _(_0_，__0_)_
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(5)化为一般式，得到y＝3x2
一次项系数
二次项系数
x＋ ，
常数项
所以y＝3(x－2)(x－5)的二次项系数为3， 一次项系数为－21，常数项为30.
例2 填空： (1)已知圆柱的高为14 cm，则圆柱的体积V(cm3)与底面半
径r(cm)之间的函数关系式是_V__＝__1_4_π_r2_(_r_＞__0_) _； (2)已知正方形的边长为10，若边长减少x，则面积减少y，
(2) 假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？ 这时平均每棵树结多少个橙子？
果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子
(3) 如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x 之间的关系式.
y=(600-5x) (100+x)=-5x2+100x+60 000. 特点：含x项的最高次数为2.
问题2 设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行 将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款是100元,那
么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式.
y=100(1+x)(1+x)=100x2+200x+100
练习 (1)两数的和是20,设其中一个数是x,你能写出这两数之
积y的表达式吗? y=x(20－x)=－x2+20x
(2)已知矩形的周长为40cm, 你能表示这个矩形的面积 S与其中一边长a的关系吗?
S=a(40÷2－a)=－a2+20a
二次函数的定义： 一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可以
表示成y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的形式，则称y 是x的二次函数.
a为二次项系数，ax2叫做二次项； b为一次项系数，bx叫做一次项； c为常数项.
确定二次项系数， 一次项系数， 常数项
二次函数的应用 关键：确定变量间的等量关系
94.春天，不是季节，而是内心；云水，不是景色，而是襟怀。 83.人生就像一场戏，演好自己的角色才是戏成功的关键。 40.不要因为希望去坚持，要坚持的看到希望。 35.美丽属于自信者，从容属于有备者，奇迹属于执着者，成功属于顽强者。 26.把困难举在头上，它就是灭顶石；把困难踩在脚下，它就是垫脚石。 97.忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。 13.不要因为没有掌声而放弃你的梦想。 12.星星使天空绚烂夺目；知识使人增长才干。 85.善良的人永远是受苦的，那忧苦的重担似乎是与生俱来的，因此只有忍耐。 57.生命就是一个逐渐支出和利用时间的过程。一旦丧失了时间，生命也就走到了尽头。 74.彩云飘在空中，自然得意洋洋，但最多只能换取几声赞美；唯有化作甜雨并扎根于沃壤之中，才能给世界创造芳菲。 10.要让事情改变，先改变自己；要让事情变得更好，先让自己变得更强。 97.在你渐渐迷失在你的人生道路上的时候，记得这句话：千万不要因为走的太久，而忘记了我们为什么出发。 89.如果圆规的两只脚都动，永远也画不出一个圆。 35.希望是生命的源泉，失去它生命就会枯萎。 77.最清晰的脚印是留在最泥泞的路上的。 69.不是每件事都注定会成功，但是每件事都值得一试。
例题讲解
例1 下列函数中，哪些是二次函数？并指出二次函
数的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)y＝7x－1；
(2)y＝－5x2；
(3)y＝3a3＋2a2； (5)y＝3(x－2)(x－5)；
(4)y＝x－2＋x； (6)y＝x2＋ 1 .
x2
(1)y＝7x－1； 自变量的最高次数是1
×
(2)y＝－5x2； 自变量的最高次数是2
解：（1）由题可知,
m2
7
1,
解得 m= 2
2;
m 3 0,
m2 7 2,
（2）由题可知,
解得 m=3.
m 3 0,
（3）由题可知,m2 7 1, 解得 m= 6.
m 3 0,
课堂小结
定义
二次函数 一般形式
右边是整式； 自变量的最高次数是2； 二次项系数a ≠0.
y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数）
（2）当x=3时矩形的面积. 解：(1)y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8)；
(2)当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 (cm2 ).
5.y m 3 xm27.
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？ （2）m取什么值时，此函数是二次函数？ （3）m取什么值时，此函数是反比例函数？
y与x之间的函数关系式是__y_＝__－__x2_＋__2_0_x_(_0_≤_x_≤_1_0_)_．
求几何问题中二次函数的解析式，除了根据有关面积、体积 公式写出二次函数解析式以外，还应考虑问题的实际意义， 明确自变量的取值(在一些问题中, 自变量的取值可能是整数 或者是在一定的范围内)；
随堂演练
第二章 二次函数
2.1 二次函数
知识回顾
问题1 我们以前学过的函数的概念是什么？
如果变量y随着x而变化，并且对于x取的每一个值，y 总有唯一的一个值与它对应，那么称y是x的函数.
问题2 我们学过哪些函数？
一次函数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y=kx+b (k≠0)
函
数
(正比例函数) y=kx (k≠0)
反比例函数 y k k 0
x
获取新知
问题1 某果园有100棵橙子树, 平均每棵
树结600个橙子.现准备多种一些橙子树
以提高产量,但是如果多种树,那么树之间
的距离和每一棵树所接受的阳光就会减
少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每
棵树就会少结5个橙子. (1) 问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？ 增种的棵树棵数和平均每棵树结的橙子个数是变量. 增种的棵树是自变量,平均每棵树结的橙子个数是因变量.
3. 一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x两
年后这台机器的价格为y万元，则y与x之间的函数表
达式为( A )
A．y＝60(1－x)2
B．y＝60(1－x)
C．y＝60－x2
D．y＝60(1＋x)2
4.矩形的周长为16cm,它的一边长为x cm,面积为y cm2. 求（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；
1.若函数y＝(m－2)x2＋4x－5(m是常数)是二次函数，则( B ) A．m≠－2 B．m≠2 C．m≠3 D．m≠－3
2. 已知二次函数y＝1－3x＋5x2，则它的二次项系数a， 一次项系数b，常数项c分别是( D ) A．a＝1，b＝－3，c＝5 B．a＝1，b＝3，c＝5 C．a＝5，b＝3，c＝1 D．a＝5，b＝－3，c＝1
√
(3)y＝3a3＋2a2； 自变量的最高次数是3
×
(4)y＝x－2＋
x－2不是整式
×
x；
(5)y＝3(x－2)(x－5)；
√
整理得到y＝3x2－21x＋30，是二次函数
(6)y＝x2＋
1 x2
1 x2
不是整式
×
二次项系数
解：(2) y＝ x2
所以y＝－5x2的二次项系数为－5，一次项系
数为0，常数项为0.
一次项系数
二次项系数
x＋ ，
常数项
所以y＝3(x－2)(x－5)的二次项系数为3， 一次项系数为－21，常数项为30.
例2 填空： (1)已知圆柱的高为14 cm，则圆柱的体积V(cm3)与底面半
径r(cm)之间的函数关系式是_V__＝__1_4_π_r2_(_r_＞__0_) _； (2)已知正方形的边长为10，若边长减少x，则面积减少y，
(2) 假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？ 这时平均每棵树结多少个橙子？
果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子
(3) 如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x 之间的关系式.
y=(600-5x) (100+x)=-5x2+100x+60 000. 特点：含x项的最高次数为2.
问题2 设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行 将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款是100元,那
么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式.
y=100(1+x)(1+x)=100x2+200x+100
练习 (1)两数的和是20,设其中一个数是x,你能写出这两数之
积y的表达式吗? y=x(20－x)=－x2+20x
(2)已知矩形的周长为40cm, 你能表示这个矩形的面积 S与其中一边长a的关系吗?
S=a(40÷2－a)=－a2+20a
二次函数的定义： 一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可以
表示成y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的形式，则称y 是x的二次函数.
a为二次项系数，ax2叫做二次项； b为一次项系数，bx叫做一次项； c为常数项.
确定二次项系数， 一次项系数， 常数项
二次函数的应用 关键：确定变量间的等量关系
94.春天，不是季节，而是内心；云水，不是景色，而是襟怀。 83.人生就像一场戏，演好自己的角色才是戏成功的关键。 40.不要因为希望去坚持，要坚持的看到希望。 35.美丽属于自信者，从容属于有备者，奇迹属于执着者，成功属于顽强者。 26.把困难举在头上，它就是灭顶石；把困难踩在脚下，它就是垫脚石。 97.忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。 13.不要因为没有掌声而放弃你的梦想。 12.星星使天空绚烂夺目；知识使人增长才干。 85.善良的人永远是受苦的，那忧苦的重担似乎是与生俱来的，因此只有忍耐。 57.生命就是一个逐渐支出和利用时间的过程。一旦丧失了时间，生命也就走到了尽头。 74.彩云飘在空中，自然得意洋洋，但最多只能换取几声赞美；唯有化作甜雨并扎根于沃壤之中，才能给世界创造芳菲。 10.要让事情改变，先改变自己；要让事情变得更好，先让自己变得更强。 97.在你渐渐迷失在你的人生道路上的时候，记得这句话：千万不要因为走的太久，而忘记了我们为什么出发。 89.如果圆规的两只脚都动，永远也画不出一个圆。 35.希望是生命的源泉，失去它生命就会枯萎。 77.最清晰的脚印是留在最泥泞的路上的。 69.不是每件事都注定会成功，但是每件事都值得一试。
例题讲解
例1 下列函数中，哪些是二次函数？并指出二次函
数的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)y＝7x－1；
(2)y＝－5x2；
(3)y＝3a3＋2a2； (5)y＝3(x－2)(x－5)；
(4)y＝x－2＋x； (6)y＝x2＋ 1 .
x2
(1)y＝7x－1； 自变量的最高次数是1
×
(2)y＝－5x2； 自变量的最高次数是2
解：（1）由题可知,
m2
7
1,
解得 m= 2
2;
m 3 0,
m2 7 2,
（2）由题可知,
解得 m=3.
m 3 0,
（3）由题可知,m2 7 1, 解得 m= 6.
m 3 0,
课堂小结
定义
二次函数 一般形式
右边是整式； 自变量的最高次数是2； 二次项系数a ≠0.
y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数）
（2）当x=3时矩形的面积. 解：(1)y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8)；
(2)当x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 (cm2 ).
5.y m 3 xm27.
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？ （2）m取什么值时，此函数是二次函数？ （3）m取什么值时，此函数是反比例函数？
y与x之间的函数关系式是__y_＝__－__x2_＋__2_0_x_(_0_≤_x_≤_1_0_)_．
求几何问题中二次函数的解析式，除了根据有关面积、体积 公式写出二次函数解析式以外，还应考虑问题的实际意义， 明确自变量的取值(在一些问题中, 自变量的取值可能是整数 或者是在一定的范围内)；
随堂演练
第二章 二次函数
2.1 二次函数
知识回顾
问题1 我们以前学过的函数的概念是什么？
如果变量y随着x而变化，并且对于x取的每一个值，y 总有唯一的一个值与它对应，那么称y是x的函数.
问题2 我们学过哪些函数？
一次函数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y=kx+b (k≠0)
函
数
(正比例函数) y=kx (k≠0)
反比例函数 y k k 0
x
获取新知
问题1 某果园有100棵橙子树, 平均每棵
树结600个橙子.现准备多种一些橙子树
以提高产量,但是如果多种树,那么树之间
的距离和每一棵树所接受的阳光就会减
少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每
棵树就会少结5个橙子. (1) 问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？ 增种的棵树棵数和平均每棵树结的橙子个数是变量. 增种的棵树是自变量,平均每棵树结的橙子个数是因变量.
3. 一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x两
年后这台机器的价格为y万元，则y与x之间的函数表
达式为( A )
A．y＝60(1－x)2
B．y＝60(1－x)
C．y＝60－x2
D．y＝60(1＋x)2
4.矩形的周长为16cm,它的一边长为x cm,面积为y cm2. 求（1）y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围；
1.若函数y＝(m－2)x2＋4x－5(m是常数)是二次函数，则( B ) A．m≠－2 B．m≠2 C．m≠3 D．m≠－3
2. 已知二次函数y＝1－3x＋5x2，则它的二次项系数a， 一次项系数b，常数项c分别是( D ) A．a＝1，b＝－3，c＝5 B．a＝1，b＝3，c＝5 C．a＝5，b＝3，c＝1 D．a＝5，b＝－3，c＝1
√
(3)y＝3a3＋2a2； 自变量的最高次数是3
×
(4)y＝x－2＋
x－2不是整式
×
x；
(5)y＝3(x－2)(x－5)；
√
整理得到y＝3x2－21x＋30，是二次函数
(6)y＝x2＋
1 x2
1 x2
不是整式
×
二次项系数
解：(2) y＝ x2
所以y＝－5x2的二次项系数为－5，一次项系
数为0，常数项为0.