一些有名的几何定理

取材自维基百科-中文版. 没事的时候大家可以证着玩! 答案在这里.

1. 阿基M德中点定理说明：圆上有两点A,B，M为弧AB的中点，

随意选圆上的一点C，D为AC上的点使得MD垂直AC。若M、C在弦AB异侧，则AD=DC+BC；若M、C在弦AB同侧，则AD=DC-CB。

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2. 婆罗摩笈多定理指出：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则

垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边。婆罗摩笈多是印度

数学家。p1EanqFDPw

3. 凡·奥贝尔定理

出两条线段。线段的长度相等且垂直。DXDiTa9E3d

4. 芬斯勒–哈德维格尔定理

5. 莫雷角三分线定理

边三角形。此定理由法兰克·莫雷在1899年发现。对外角作外角三

分线，也会有类似的性质，可以再作出4个等边三角形。

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此定理有趣的地方是我们没办法用尺规作图作出其等边三角形，因为已经证明出尺规做图无法做出三等分角。

6. 拿破仑定理，是拿破仑发现的平面几何学定理：“以三角形各边为边分别向外侧作等边三角形，则他们的中心构成一个等边三角形。”该等边三角形称为拿破仑三角形。如果向内作三角形，结论同样成立。jLBHrnAILg

同时拿破仑留下这样的名言:

''一个国家只有数学蓬勃发展，才能表现他的国力强大。

——拿破仑

7. 泰博定理是法国几何学家维克多·泰博）提出的平面几何问题。xHAQX74J0X

取平行四边形的边为正方形的边，作四个正方形<同时在平行

四边形内或外皆可）。正方形的中心点所组成的四边形为正方形。<此为凡·奥贝尔定理的特例。）LDAYtRyKfE

取正方形的两条邻边为三角形的边，作两个等边三角形<同时

在正方形内或外皆可）。这两个三角形不在正方形边上的顶点，和正方形四个顶点中唯一一个不是三角形顶点的顶点，组成一

等边三角形。Zzz6ZB2Ltk

给定任意三角形ABC，BC上任意一点M。作两个圆形，均与AM、BC、外接圆相切。该两圆的圆心和三角形内切圆心共线。<应

用：日本定理）dvzfvkwMI1

第三题是最难的。1938年《美国数学月刊》曾刊出第三题，但直至1973年才为荷兰数学家H. Streefkerk证出。2003年，Ayme发现

早在1905年Y. Sawayama已解决这题。rqyn14ZNXI

8. 维维亚尼(Viviani>定理说明：在等边三角形内任意一点P跟三

边的垂直距离之和，等于三角形的高。EmxvxOtOco

这个定理可一般化为：等角多边形内任意一点P跟各边的垂直距离

之和，是不变的，跟该点的位置无关。

它以温琴佐·维维亚尼命名。

9. 西姆松定理说明：有三角形ABC，平面上有一点P。P在三角形

三边上的投影<即由P到边上的垂足）共线<此线称为西姆松线, Simson line）当且仅当P在三角形的外接圆上。SixE2yXPq5

相关的结果有：

•称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。

•两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。

•若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。

10. 卡诺定理

设ABC为三角形，O为其外心。则O到ABC各边的距离之和为

OOA + OOB + OOC = R + r，

其中r为内切圆半径，R为外接圆半径。这个定理叫做卡诺定理。11. 塞瓦线段

连接而成的直线段。塞瓦定理指出：如果的塞瓦线段AD、BE、CF通过同一点O，则6ewMyirQFL

它的逆定理同样成立：若D、E、F分别在的边BC、CA、AB

或其延长线上，且满足

，

则直线AD、BE、CF共点或彼此平行<于无限远处共点）。当AD、BE、CF中的任意两直线交于一点时，则三直线共点；当AD、BE、CF中

的任意两直线平行时，则三直线平行。kavU42VRUs

它最先由意大利数学家乔瓦尼·塞瓦证明。

12. 梅涅劳斯定理

劳斯首先证明的。它指出：如果一直线与的边BC、CA、AB

分别交于L、M、N，则有：y6v3ALoS89

。

它的逆定理也成立：若有三点L、M、N分别在的边BC、CA、AB或其延长线上<至少有一点在延长线上），且满足M2ub6vSTnP

则L、M、N三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。

case 1. 直线LMN穿过三角形ABC case 2. 直

线LMN在三角形ABC外面0YujCfmUCw

13. 蝴蝶定理

彩的结果之一。

设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ

于点X和Y，则M是XY的中点。

14. 密克定理

三圆定理：设三个圆C1, C2, C3交于一点O，而M, N, P分别

是C1 和C2, C2和C3, C3和C1的另一交点。设A为C1的点，

直线MA交C2于B，直线PA交C3于C。那么B, N, C这三点共线。eUts8ZQVRd