《二次根式的性质》课件PPT
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二次根式的性质ppt课件
特点：①都是形如 a 的式子，
②a都是非负数.
2.因为 a (a ≥ 0)表示a的算术平方根，所以 a ≥ 0(a ≥ 0)；
( a )2 a(a≥ 0); a ( a )2 (a≥ 0).
观察与思考
(1)计算 22 , 32 , 1 2 , 02的值,你发现了什么? 2
(2)当a ≥ 0时, a2的算术平方根是多少?由此你能得到 一个怎样的等式? 当a ≥ 0时, a2 a.
7.2 二次根式的性质（1）
( a)2 a
明确目标
1.理解掌握a2的算术平方根公式 （a≥0），并会利用它进行计算和化简.
( a)2 a
2.理解积的算术平方根 和化简.
= · （a≥0，b≥0）并利用它进行计算
ab a b
知识铺垫
1. 形如 a（a≥0）的式子叫可以计 算、化简一些二次根式.
例题引领
例1
（1） 36
（2） 9 4
3
0.5
4
a
x2
2
6 20
=
6 20
ab a b（a≥0，b≥0）
利用它可以对二次根式进行化简.
（2） 27
（3） 4 a 2
65 10 7
12 15x4y3
小试牛刀
化简:
(1) 12 ( 2) 2715
(3) 4a3
化简二次根式，就要把被开方数 中的平方数（或平方式）从根号里 开出来.
1. 当a ≥ 0时, a2 a.
2. 当a ≥ 0时, ( a )2 a2 .
3.
当堂达标
• 请完成导学案中当堂达标题目.
课本P36： 习题7.2 1、2题
②a都是非负数.
2.因为 a (a ≥ 0)表示a的算术平方根，所以 a ≥ 0(a ≥ 0)；
( a )2 a(a≥ 0); a ( a )2 (a≥ 0).
观察与思考
(1)计算 22 , 32 , 1 2 , 02的值,你发现了什么? 2
(2)当a ≥ 0时, a2的算术平方根是多少?由此你能得到 一个怎样的等式? 当a ≥ 0时, a2 a.
7.2 二次根式的性质（1）
( a)2 a
明确目标
1.理解掌握a2的算术平方根公式 （a≥0），并会利用它进行计算和化简.
( a)2 a
2.理解积的算术平方根 和化简.
= · （a≥0，b≥0）并利用它进行计算
ab a b
知识铺垫
1. 形如 a（a≥0）的式子叫可以计 算、化简一些二次根式.
例题引领
例1
（1） 36
（2） 9 4
3
0.5
4
a
x2
2
6 20
=
6 20
ab a b（a≥0，b≥0）
利用它可以对二次根式进行化简.
（2） 27
（3） 4 a 2
65 10 7
12 15x4y3
小试牛刀
化简:
(1) 12 ( 2) 2715
(3) 4a3
化简二次根式，就要把被开方数 中的平方数（或平方式）从根号里 开出来.
1. 当a ≥ 0时, a2 a.
2. 当a ≥ 0时, ( a )2 a2 .
3.
当堂达标
• 请完成导学案中当堂达标题目.
课本P36： 习题7.2 1、2题
二次根式的性质复习PPT课件
∵-1<x<3 , ∴x-3＜0 , x+1>0
∴原式 = (3-x) + (x+1) = 4
2
(1) (2
1 2
)
(2) (7)2
(3) ( 4）2
（4）（1 3）2 （1 3）2
(5)( 1 a )2 a2 4a 4
要点、考点聚焦
4.积的算术平方根 (1)积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的 积. (2)公式 ab = a b (a≥0，b≥0).
解：由 x-2≥0 且 2-x≥0， 得 x≥2 且 x≤2 ∴x=2。
∴y= 0 + 0 +3=3
∴x y=23=8
2 ：要使
x-2 x-3
有意义，字母
x
的取值必须满足
什么条件？ 解：由 x - 2 ≥ 0 ，且 x - 3 ≠ 0,
得 x ≥ 2 且x≠3。 x-2
想一想：假如把题目改为：要使x-1 有意义，
5.商的算术平方根 (1)商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式 的算术平方根. (2)公式 a （a a≥0,b＞0）.
bb
1. (3) (75) 2. 25 33 3. 8.1 4. 32 42 52 5. 302 602
172 82 6.
125
要点、考点聚焦
1、什么叫做二次根式？ 形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式。
2、二次根式有哪两个形式上的特点？
（1）根指数为 2；
（2）被开方数必须是非负数。
3、二次根式具有哪些性质？ 性质 1： a ≥0 (a≥0) （双重非负性）
性质 2：( a )2 = a (a≥0) 性质 3：当 a≥0 时， a2 = a ；
二次根式的性质精选教学PPT课件
x 1;
2 2 4 x ;
1 ; x
4
3 x .
例4当x=-4时，求二次根式
1 2x
的值。
解 将x=-4代入二次根式，得
1 2x
=
= 1 2 （ 4）
9
=3
1当x=-2时，求二次根式
2 1 2 x
的值。
2 当x分别取下列值时，求二次根式 （1）x=0； （2）x=1；
4 2 x 的值：
（3）x=-1
一艘轮船先向东北方向航行2小时，再向西北方向 航行t小时。船的航速是每时25千米。 1、用关于t的代数式表示船离开出发地的距离。 2、求当t=3时，船离开出发地多少千米。 （精确到头0.01千米） 北
东
轮船
1、若二次根式 x2 的值为3，求x的值. 2.物体自由下落时，下落距离h（米）可用公 式 h=5t2来估计,其中t（秒）表示物体下落所 经过的时间. （1）把这个公式变形成用h表示t的公式
①观察配方法; ② 列不等式或不等式组法来求解.
③分母不能为0
⑶ 求二次根式的值
作业：
作业本（1）P1－2
1 、1
再见
长久以来，一颗流浪的心忽然间找到了一个可以安歇的去处。坐在窗前，我在试问我自己：你有多久没有好好看看这蓝蓝的天，闻一闻这芬芳的花香，听一听那鸟儿的鸣唱？有多久没有回家看看，听听家人的倾诉？有多久没和他们一起吃饭了，听听那年老的欢笑？有多久没与他们谈心，听听他门的烦恼、他们的心声呢？是不是因为一路风风雨雨， 而忘了天边的彩虹？是不是因为行色匆匆的脚步，而忽视了沿路的风景？除了一颗疲惫的心，麻木的心，你还有一颗感恩的心吗？不要因为生命过于沉重，而忽略了感恩的心！ 也许坎坷，让我看到互相搀扶的身影； 也许失败，我才体会的一句鼓励的真诚； 也许不幸，我才更懂得珍惜幸福。 生活给予我挫折的同时，也赐予了我坚强，我也就有了另一种阅历。对于热爱生活的人，它从来不吝啬。 要看你有没有一颗包容的心，来接纳生活的恩赐。酸甜苦辣不是生活的追求，但一定是生活的全部。试着用一颗感恩的心来体会，你会发现不一样的人生。不要因为冬天的寒冷而失去对春天的希望。我们感谢上苍，是因为有了四季的轮回。拥有了一颗感恩的心，你就没有了埋怨，没有了嫉妒，没有了愤愤不平，你也就有了一颗从容淡然的心！ 我常常带着一颗虔诚的心感谢上苍的赋予，我感谢天，感谢地，感谢生命的存在，感谢阳光的照耀，感谢丰富多彩的生活。 清晨，当欢快的小鸟把我从睡中唤醒，我推开窗户，放眼蓝蓝的天，绿绿的草，晶莹的露珠，清清爽爽的早晨，我感恩上天又给予我一个美好的一天。 入夜，夜幕中的天空繁星点点，我打开日记，用笨拙的笔描画着一天的生活感受，月光展露着温柔的笑容，四周笼罩着夜的温馨，我充满了感恩，感谢大地赋予的安宁。 朋友相聚，酒甜歌美，情浓意深，我感恩上苍，给了我这么多的好朋友，我享受着朋友的温暖，生活的香醇，如歌的友情。 走出家门，我走向自然。放眼花红草绿，我感恩大自然的无尽美好，感恩上天的无私给予，感恩大地的宽容浩博。生活的每一天，我都充满着感恩情怀，我学会了宽容，学会了承接，学会了付出，学会了感动，懂得了回报。用微笑去对待每一天，用微笑去对待世界，对待人生，对待朋友，对待困难。所以，每天，我都有一个好心情，我幸福的生活着每一天。 我感恩，感恩生活，感恩网络，感恩朋友，感恩大自然，每天，我都以一颗感动的心去承接生活中的一切。 我感谢…… 感谢伤害我的人，因为他磨练了我的心志； 感谢欺骗我的人, 因为他增进了我的见识； 感谢遗弃我的人, 因为他教导了我应自立； 感谢绊倒我的人，因为他强化了我的能力； 感谢斥责我的人，因为他助长了我的智慧； 感谢藐视我的人，因为他觉醒了我的自尊； 感谢父母给了我生命和无私的爱； 感谢老师给了我知识和看世界的眼睛； 感谢朋友给了我友谊和支持； 感谢完美给了我信任和展示自己能力的机会； 感谢邻家的小女孩给我以纯真无邪的笑脸； 感谢周围所有的人给了我与他人交流勾通时的快乐； 感谢生活所给予我的一切，虽然并不全都是美满和幸福; 感谢天空，给我提供了一个施展的舞台 感谢大地，给我无穷的支持与力量； 感谢太阳，给我提供光和热； 感谢天上所有的星，与我一起迎接每一个黎明和黄昏。 感谢我爱的人和爱我的人，使我的生命不再孤单； 感谢我的敌人，让我认识自己和看清别人； 感谢鲜花的绽放， 绿草的如茵，鸟儿的歌唱， 让我拥有了美丽，充满生机的世界； 感谢日升，让我在白日的光辉中有明亮的心情； 感谢日落，让我在喧嚣疲惫过后有静夜可依。 感谢快乐，让我幸福地绽开笑容，在美好生活着； 感谢伤痛，让我学会了坚忍，也练就了我释怀生命之起落的本能； 感谢生活，让我在漫长岁月的季节里拈起生命的美丽； 感谢有你，尽管远隔千里，可你寒冬里也给我温暖的心怀； 感谢关怀，生命因你而多了充实与清新； 感谢所有的一切~ ~ ~ ~ ~ ~ 感谢我身边每一位好友，为你祝福，为的敲起祈祷钟！伴你走过每一天。他是一个劫匪，坐过牢，之后又杀了人，穷途末路之际他又去抢银行。 是一个很小的储蓄所。抢劫遇到了从来没有过的不顺利，两个女子拼命反抗，他把其中一个杀了，另一个被劫持上了车。因为有人报了警，警车越来越近了，他劫持着这个女子狂逃，把车都开飞了，撞了很多人，轧了很多小摊。 这个刚刚21岁的女孩子才参加工作，为了这份工作，她拼命读书，毕业后又托了很多人，没钱送礼，是她哥卖了血供她上学为她送礼，她父母双亡，只有这一个哥哥。 她想她真是命苦，刚上班没几天就遇到了这样恐怖的事情，怕是没有生还的可能了。 终于他被警察包围了，所有的警察让他放下枪，不要伤害人质，他疯狂地喊着：“我身上好几条人命了，怎么着也是个死，无所谓了。”说着，他用刀子在她颈上划了一刀。 她的颈上渗出血滴。她流了眼泪，她知道自己碰上了亡命徒，知道自己生还的可能性不大了。 “害怕了？”劫匪问她。 她摇头：“我只是觉得对不起我哥。” “你哥？”“是的，”她说，“我父母双亡，是我哥把我养大，他为我卖过血，供我上学，为了我的工作送礼，他都二十八了，可还没结婚呢，我看你和我哥年龄差不多呢。” 劫匪的刀子在她脖子上落了下来，他狠着心说：“那你可真是够不幸的。” 围着他的警察继续喊话，他无动于衷，接着和她说着她哥。他身上不仅有枪，还有雷管，可以把这辆车引爆，但他忽然想和人聊聊天，因为他的身世也同样不幸，他的父母早离了婚，他也有个妹妹，他妹妹也是他供着上了大学，但他却不想让他妹妹知道他是杀人犯！ 她和他讲着小时候的事，说她哥居然会织手套，在她13岁来例假之后曾经去找一个20多岁的女孩子帮她，她一边说一边流眼泪。他看着前方，看着那些喊话的警察，再看着身边讲述的女孩，他忽然感觉尘世是那么美好，但一切已经来不及了。 他拿出手机，递给她：“来，给你哥打个电话吧。” 她平静地接过来，知道这是和哥哥最后一次通话了，所以，她几乎是笑着说：“哥，在家呢？你先吃吧，我在单位加班，不回去了……” 这样的生离死别竟然被她说得如此家常，他的妹妹也和他说过这样的话，看着这个自己劫持的人，听着她和自己哥哥的对话，他伏在方向盘上哭了。 “你走吧。”他说。 她简直不敢相信自己的耳朵。 “快走，不要让我后悔，也许我一分钟之后就后悔了！” 她下了车，走了几步，居然又回头看了他一眼。她永远不知道，是她那个家常电话救了她，那个电话，唤醒了劫匪心中最后仅存的善良，那仅有的一点善良，救了她的命！ 她刚走到安全地带，便听到一声枪响，回过头去，她看到他倒在方向盘上。 劫匪饮弹自尽。 很多人问过她到底说了什么让劫匪居然放了她，然后放弃了惟一生存的机会。她平静地说，我只说了几句话，我对我哥说的最后一句话是：“哥，天凉了，你多穿衣。” 她没有和别人说起劫匪的眼泪，说出来别人也不相信，但她知道那几滴眼泪，是人性的眼泪，是善良的眼泪。
浙教版八年级下册 1.2 二次根式的性质 课件(共17张ppt)
记作 a . 2. 2是什么数的平方根？所以 2的平方等于什么？
2的一个平方根.
3（. 7）2，（ 1）2呢？ 2
（ 2）2 =2. （ 7）2 =7,（ 1）2 = 1 .
22
你能猜想 ( a )2 ?
二次根式的性质1: 二次根式的平方等于被开方数
2
a aa 0
4.能用几何图形作出直观解释吗？
1.2 二次根式的性质
（1）
复习回顾
1.怎样的式子叫二次根式？
一般地，我们把形如 a(a≥0)的式子叫做二次根式。
2.怎样判断一个式子是不是二次根式？
（1）形式上： a ； （2）被开方数a≥0.
3.如何确定二次根式中字母的取值范围？
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零.
复习回顾
72
7
(5) 22 52
解:(1)原式=
4 7
1 2
4 7
1
4 7
1 2
1
4 7
=
4 7
1 2
4 7
+1=
1 2
.
(2)原式= 1 2 2+1 2-1+ 2+1 =2 2 .
拓展提升
1.若 (1 x)2 1 x,则x的取值范围为 ( )
A. x≤1 B. x≥1 C. 0≤x≤1 D.一切有理数
a2
|
a
|
a a≥0； a a＜0.
1 102
2
15 ;
2
2
7
25 9 ;
(4)（ 11）2 （－13）2 .
2
(5)
2 5
－
0.12－
1. 4
二次根式ppt课件
02
二次根式的化简与求值
化简二次根式的方法
因式分解法
将被开方数进行因式分解，提取 完全平方数。例如，√(24) = √(4×6) = 2√6。
分母有理化
当分母含有二次根式时，通过与其 共轭式相乘使分母变为有理数。例 如，1/(√3 + 1) = (√3 - 1)/[(√3 + 1)(√3 - 1)] = (√3 - 1)/2。
计算$(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} - sqrt{2})$。
利用平方差公式进行计算，即 $(sqrt{3} + sqrt{2})(sqrt{3} sqrt{2}) = (sqrt{3})^2 (sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$。
04
二次根式在方程中的应用
二次根式与一元二次方程的关系
二次根式ppt课件
目录
• 二次根式基本概念与性质 • 二次根式的化简与求值 • 二次根式的运算与变形 • 二次根式在方程中的应用 • 二次根式在不等式中的应用 • 二次根式在函数中的应用
01
二次根式基本概念与性质
二次根式的定义
01
02
03geq 0$）的式子叫做二次根式 。
二次根式的变形技巧
分母有理化
利用平方差公式将分母化为有理 数，同时保持分子的形式不变。
提取公因式
将多项式中相同的部分提取出来 ，简化计算过程。
完全平方公式
将某些二次根式化为完全平方的 形式，便于进行开方运算。
典型例题解析
例题1
解析
例题2
解析
计算$sqrt{8} + sqrt{18}$。
先将$sqrt{8}$和$sqrt{18}$化 为最简二次根式，即$sqrt{8} = 2sqrt{2}$，$sqrt{18} = 3sqrt{2}$，然后根据同类二次 根式的加法法则进行计算，即 $2sqrt{2} + 3sqrt{2} = 5sqrt{2}$。
二次根式的概念和性质 PPT教学课件(数学人教版八年级下册)
a中的a≥0； a≥ 0． 双重非负性
（3）二次根式与算术平方根有什么关系？ 二次根式都是非负数的算术平方根，带有根号的算术平方根
是二次根式．
数学初中 二次根式的概念和性质
课堂小结
（4）你知道了二次根式的哪些性质？
（ a ）2= a（a≥0） a2 =a（a≥0）
a2 a
（5）我们以前学习过的整式、分式都能像数一样进行运算，你认为 对于二次根式应该进一步研究哪些问题？
数学初中 二次根式的概念
上面问题中，得到的结果分别是： 3， S， 65 ， h． 5
1 这些式子分别表示什么意义？ 2 这些式子有什么共同特征？
h 分别表示 3，S，65，5 的算术平方根．
这些式子的共同特征是： 都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根．
数学初中 二次根式的概念
t
1 含有数或表示数的字母； 2 用基本运算符号连接数或表示数的字母． 用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来得到的式子叫代数式．
数学初中
课堂小结
二次根式的概念和性质
1 本节课你学到了哪一类新的式子？ 2 二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？ 3 二次根式与算术平方根有什么关系？
数学初中 二次根式的概念
变式 a 取何值时，下列二次根式有意义？ （1） a2 -2a+1 ；（2） -（a-1）2 ．
答案：（1） a为任何实数； （2） a =1．
总结：被开方数不小于零．
数学初中 二次根式的性质
问题1 根据算术平方根的意义填空．
（ 4 ）2= __4___；（ 2 ）2= ___2__；
（2）由 x-2≥0，得 x≥2
数学初中 二次根式的性质
（3）二次根式与算术平方根有什么关系？ 二次根式都是非负数的算术平方根，带有根号的算术平方根
是二次根式．
数学初中 二次根式的概念和性质
课堂小结
（4）你知道了二次根式的哪些性质？
（ a ）2= a（a≥0） a2 =a（a≥0）
a2 a
（5）我们以前学习过的整式、分式都能像数一样进行运算，你认为 对于二次根式应该进一步研究哪些问题？
数学初中 二次根式的概念
上面问题中，得到的结果分别是： 3， S， 65 ， h． 5
1 这些式子分别表示什么意义？ 2 这些式子有什么共同特征？
h 分别表示 3，S，65，5 的算术平方根．
这些式子的共同特征是： 都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根．
数学初中 二次根式的概念
t
1 含有数或表示数的字母； 2 用基本运算符号连接数或表示数的字母． 用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来得到的式子叫代数式．
数学初中
课堂小结
二次根式的概念和性质
1 本节课你学到了哪一类新的式子？ 2 二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？ 3 二次根式与算术平方根有什么关系？
数学初中 二次根式的概念
变式 a 取何值时，下列二次根式有意义？ （1） a2 -2a+1 ；（2） -（a-1）2 ．
答案：（1） a为任何实数； （2） a =1．
总结：被开方数不小于零．
数学初中 二次根式的性质
问题1 根据算术平方根的意义填空．
（ 4 ）2= __4___；（ 2 ）2= ___2__；
（2）由 x-2≥0，得 x≥2
数学初中 二次根式的性质
人教版八年级下册数学16.1.2二次根式的性质课件 (共18张PPT)
(
1 )2 3
1
___3_____;(
0 )2
__0_______ .
例2：计算
(1) ( 1.5)2
(2) (2 5)2
解：(2) (2 5)2 22 ( 5)2 4 5 20
(ab )2 a 2b 2
练习 计算：
(1). ( 3)2
(2) ( 3 2)2
(3) ( 0.2)2
人民教育出版社 八年级下册数学
16.1.2二次根式的性质
复习回顾
什么样的式子叫二次根式？
形如 a(a 0)的式子叫二次根式.
说一说:
下列各式哪些是二次根式?
(1) 32, (2) 6, (3) 12, (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
探索新知
思考：性质1：二次根式的双重非负性 完成下列各空：
当a>0时，a表示a的__算__术__平_方__根__，因此 a__>__0 当a=0时，a表示0的__算_术__平__方__根__，因此 a__=__0
当a<0时, a__无__意__义____
归纳与小结： 当a 0时，总有 a 0成立.
1:从运算顺序来看,
a 2先开方,后平方
2.从取值范围来看,
2 a
a≥0
a2
a2 先平方,后开方
a取任何实数
3.从运算结果来看:
a 2 =a
a (a≥ 0)
a2 =∣a∣= 0 (a=0) -a (a<0)
课堂检测
相信你是 最棒的！
（1）计算： ① ( 1.5)2;
③ (4 2 )2. 3
也就是说a是非负数，a也是非负数。
二次根式的性质课件
案例二
求解$sqrt{2x + 1} + sqrt{x - 2} leq 5$。同样先确定定 义域，再利用二次根式的性质和不等式的解法进行求解。
实践操作
给出一些具体的一元二次不等式问题，让学生尝试利用二 次根式的性质进行求解，并引导学生总结求解过程中的注 意事项和技巧。
05
二次根式在函数图像和性质中应 用
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
• 二次根式的定义：$\sqrt{a}$（$a \geq 0$）是一个二次根式 ，其中$a$是被开方数，$\sqrt{}$是根号。
关键知识点总结回顾
二次根式的性质 $sqrt{a^2} = |a|$（$a$为任意实数）
$(sqrt{a})^2 = a$（$a geq 0$）
04
解
$sqrt{12} + sqrt{27} = sqrt{4 times 3} + sqrt{9 times 3} = 2sqrt{3} + 3sqrt{3} = 5sqrt{3}$。
06
解
$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) = [(sqrt{3} + 1) + (sqrt{3} - 1)][(sqrt{3} + 1) - (sqrt{3} - 1)] = (2sqrt{3})(2) = 4sqrt{3}$。
二次函数图像和性质回顾
二次函数的一般形式：$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。
当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上；当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下。
二次函数的图像是一条抛物线，对称 轴为 $x = -frac{b}{2a}$，顶点坐标 为 $left(-frac{b}{2a}, c frac{b^2}{4a}right)$。
求解$sqrt{2x + 1} + sqrt{x - 2} leq 5$。同样先确定定 义域，再利用二次根式的性质和不等式的解法进行求解。
实践操作
给出一些具体的一元二次不等式问题，让学生尝试利用二 次根式的性质进行求解，并引导学生总结求解过程中的注 意事项和技巧。
05
二次根式在函数图像和性质中应 用
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
• 二次根式的定义：$\sqrt{a}$（$a \geq 0$）是一个二次根式 ，其中$a$是被开方数，$\sqrt{}$是根号。
关键知识点总结回顾
二次根式的性质 $sqrt{a^2} = |a|$（$a$为任意实数）
$(sqrt{a})^2 = a$（$a geq 0$）
04
解
$sqrt{12} + sqrt{27} = sqrt{4 times 3} + sqrt{9 times 3} = 2sqrt{3} + 3sqrt{3} = 5sqrt{3}$。
06
解
$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) = [(sqrt{3} + 1) + (sqrt{3} - 1)][(sqrt{3} + 1) - (sqrt{3} - 1)] = (2sqrt{3})(2) = 4sqrt{3}$。
二次函数图像和性质回顾
二次函数的一般形式：$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。
当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上；当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下。
二次函数的图像是一条抛物线，对称 轴为 $x = -frac{b}{2a}$，顶点坐标 为 $left(-frac{b}{2a}, c frac{b^2}{4a}right)$。
《二次根式》PPT课件 (共31张PPT)
练习：
x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1
x 1 (2) 3x
x0
(3) 4 x
2 x为全体实数
(5) x
3
x0
1 a< 2
1 (4) x
x0
1 (7) 1 2a
1 (6) x0 2 x 3 x (8) | x | 4
求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数大于等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
2 2
x=5，y=11
(2 x - y)
2011
=- 1
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
1、（ a） ＝a （a 0）
2
2、（ a ）＝|a| =
2
a (a>0) 0 (a=0)
-a (a＜0)
( a ) 与 a 有区别吗?
2
2
( a) 与 a
1:从运算顺序来看,
2
2
a
a
2
2
先开方,后平方
先平方,后开方
2.从取值范围来看, 2 a≥0 a
a
2
a取任何实数
3.从运算结果来看:
①被开方数大于等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。 ③多个条件组合时，应用不等式组求解
二次根式的双重非负性
a 吵0, a 0.
二次根式的性质
二次根式的性质课件(共31张PPT)
(1) ( a)2 a
(2) (a)2 a
(3) (a2)2 2a
例5:已知:x<0,化简: 16x2
解 :1 6 x 2(4x)24x
∵x<0 , ∴4x＜0, ∴原式 = -4x
练一练:
化 :x 2 简 6 x 9 x 2 2 x 1
(其 中 -1x3)
化简：
(1) 210 （2） a 4
算 一 算 ： (1 ) （ -9 ） 2 (2 )
(
1 3
)2
(3 ) 6 4
(4 ) (x 2+ 1 )2
归纳
a2 a
a ( a >0 ) 0 ( a =0 ) -a ( a <0 )
由 a2 aa0,可以得 a a2a0。
利用这个式子，可以把任何一个非负数写成 带有“ ”的形式，例： 5 25,
x1 y 3 0
∴ x 1 ＝０， y 3 ＝０
∴x＝１，y＝－３
∴x＋y＝－２
例 求下列二次根式的值
解：(1)
∵3 0
∴ (3 )2
3
(2)
当x＝ 3 时，x－１<０
∴ x2 2x11x 1 3
∴当x＝ 3 时， x2 2x 1 1 3
初中阶段的三个非负数： (a≥０) ≥０
题型:二次根式的非负性的应用.
(2)(3)a 2b 2
(a＜0,b＞0)
(4) 12aa2 (a＞1 )
(5) (x1)296xx2
(1＜x＜3 )
( a)2 a(a0)
a(a0)
a 2 a a(a0)
注意区a别 2与( a） 2
1. 求式子 x＋1－5－有x意义时X的取值范围。
(2) (a)2 a
(3) (a2)2 2a
例5:已知:x<0,化简: 16x2
解 :1 6 x 2(4x)24x
∵x<0 , ∴4x＜0, ∴原式 = -4x
练一练:
化 :x 2 简 6 x 9 x 2 2 x 1
(其 中 -1x3)
化简：
(1) 210 （2） a 4
算 一 算 ： (1 ) （ -9 ） 2 (2 )
(
1 3
)2
(3 ) 6 4
(4 ) (x 2+ 1 )2
归纳
a2 a
a ( a >0 ) 0 ( a =0 ) -a ( a <0 )
由 a2 aa0,可以得 a a2a0。
利用这个式子，可以把任何一个非负数写成 带有“ ”的形式，例： 5 25,
x1 y 3 0
∴ x 1 ＝０， y 3 ＝０
∴x＝１，y＝－３
∴x＋y＝－２
例 求下列二次根式的值
解：(1)
∵3 0
∴ (3 )2
3
(2)
当x＝ 3 时，x－１<０
∴ x2 2x11x 1 3
∴当x＝ 3 时， x2 2x 1 1 3
初中阶段的三个非负数： (a≥０) ≥０
题型:二次根式的非负性的应用.
(2)(3)a 2b 2
(a＜0,b＞0)
(4) 12aa2 (a＞1 )
(5) (x1)296xx2
(1＜x＜3 )
( a)2 a(a0)
a(a0)
a 2 a a(a0)
注意区a别 2与( a） 2
1. 求式子 x＋1－5－有x意义时X的取值范围。
二次根式的性质ppt课件
33aa可以是数也可以是式子可以是数也可以是式子44表示表示aa的算术平方根的算术平方根5既可表示开方运算也可表示运算的结果
1
一、预习与反馈
二次根式
式，“
一般地，我们把形如 a（a≥0）的式子叫做二次根
”称为二次根号。 （1）被开方数a≥0；
二次根式
（5）既可表示开方运算, 三类非负数： 也可表示运算的结果.
归纳
a a
2
(a≥0)
例1:计算
2
3 2 （ 1 ）（ ） 2
（2）（ 2 5）
2
（3）（ 2 3）
（4）（ 3 5）
2
7 2 （5）（ ） 2
2
（6）（ a ）
2
2 2
（7）（ a 2a 1 ）
练习：利用算术平方根的意义填空
4 4
2
0.01 0.01
2
0 0
2
4 4___ （ 4） __________
2
m4 思考：若 (m 4) 2 m 4, 则m的取值范围是_________ m4 思考：若 (m 4) 2 4 m, 则m的取值范围是_________
练习
计算： ( 10) (3 3)
2
2
解： (
10) (3 3 )
2 2
2 2
10 (3) ( 3 ) 10 27 17
（2）根指数为2（含有二次根号）.
（3）a可以是数，也可以是式子 （4）表示a的算术平方根
（1）a 0; （2） a 0; （3） a 0
2
二、新课精讲
练习：利用算术平方根的意义填空
( 4)
1
一、预习与反馈
二次根式
式，“
一般地，我们把形如 a（a≥0）的式子叫做二次根
”称为二次根号。 （1）被开方数a≥0；
二次根式
（5）既可表示开方运算, 三类非负数： 也可表示运算的结果.
归纳
a a
2
(a≥0)
例1:计算
2
3 2 （ 1 ）（ ） 2
（2）（ 2 5）
2
（3）（ 2 3）
（4）（ 3 5）
2
7 2 （5）（ ） 2
2
（6）（ a ）
2
2 2
（7）（ a 2a 1 ）
练习：利用算术平方根的意义填空
4 4
2
0.01 0.01
2
0 0
2
4 4___ （ 4） __________
2
m4 思考：若 (m 4) 2 m 4, 则m的取值范围是_________ m4 思考：若 (m 4) 2 4 m, 则m的取值范围是_________
练习
计算： ( 10) (3 3)
2
2
解： (
10) (3 3 )
2 2
2 2
10 (3) ( 3 ) 10 27 17
（2）根指数为2（含有二次根号）.
（3）a可以是数，也可以是式子 （4）表示a的算术平方根
（1）a 0; （2） a 0; （3） a 0
2
二、新课精讲
练习：利用算术平方根的意义填空
( 4)
二次根式的性质-ppt下载
1 3
；
(6)3-4x＞6；(7)(a+b)(a-b)；(8) x y . x2
分析：代数式是运用运算符号把数或表示数的字母连起来
的式子.(1)(3)是等式，所以不是代数式；(6)是不等 式，所以不是代数式；(2)(5)(7)(8)是运用运算符号 连接起来的式子，所以代数式；(4)是单独的一个数， 也是代数式. 解：(2)(4)(5)(7)(8)是代数式；(1)(3)(6)不是代数式.
B．－ 3 . 6 ＝－0.6
C. 1 3 2 ＝13
D. 3 6 ＝±6
3 如果 2a 12 ＝1－2a，则( )
A．a<
1 2
B．a≤12
C．a> 1 2
D．a≥
1 2
（教学提纲）二次根式的性质-ppt下 载【优 质公开 课推荐 】
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三角形的个数是________．
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(1) a 具有双重非负性：①a≥0；② a ≥0.
(2) a 2 与( a )2的区别与联系：
区别：①取值范围不同： a 2 中a为全体实数，( a )2中
总结
知2－讲
计算 a 2 一般有两个步骤：①去掉根号及被开方数
的指数，写成绝对值的形式，即 a 2 ＝|a|；②去掉绝对
值符号，根据绝对值的意义进行化简，即|a|＝
a
a
a
0 a＜
0
,
.
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口答：
2
1
1 5
1 5.
(2)(3 7 )2 63 .
• 公式的逆用：
• 把下列各数写成一个非负数的平方
的形式：
2
• (1)5= 5
(2) 2 =
2
2
(3)3.4=
2
3.4
(4)x=
x 2 (x≥0)
例2在实数范围内分解因式：
(1)x2 3; (2) y4 4 y2 4.
解：(1)x2 3 x 3 x 3 .
(2) y4 4y2 4
y2
2
2
y
2
2
2 2
2
2
y 2 y 2 .
归纳 本题逆用了( a)2 aa≥0在实数范围内分解因式,
其实在实数范围内分解因式的方法和公式就是在有理 数范围内分解因式的方法和公式。
探究三:利用算术平方根的意义填空
1.计算:
1 42 164 2 52 25 5
3 102 1_0_ 4 02 0__
提问：由上可知：a2 当a 0 时，a2 =？ a2 当 a 0 时，a2 =? 2.规律总结：当a 0时，a2 a 当a 0 时， a2 a
3.回顾绝对值的性质：
当a 0时，a a 当a 0时，a a
拓展延伸：
1. 计算： ( 10 )2 (3 3)2
解： ( 10 )2 (3 3)2 10 (3)2 ( 3)2 10 27 17
2.若 (1 x)2 x -1,则x的取值范围为 (B )
A. x≤1 B. x≥1 C. 0≤x≤1 D.一切有理数
对应练习
3、计算：
(1) (7)2 ( 7)2 (2) ( 11)2 (13)2
(
1 )2 3
1 3
( 0)2 0
二次根式性质2：
2 a a (a≥0)
典例精析
例1 计算：
(1) ( 1.5)2; (2) (2 5)2；
解：(1) ( 1.5)2 1.5.
(2)可以用到幂 的哪条基本性 质呢？
(2) (2 5)2 22 ( 5)2 4 5 20.
积的乘方： （ab）2=a2b2
0.0001 0.01
00
a ≥0 (a≥0)——双重非负性
已知 2 a | 3b 1| 0,求a 、b 的值.
如果几个非负数（a2 、|a|、 a (a 0) ）的和为0， 那么每一个非负数都是0.
探究二 利用算术平方根的意义填空
( 4)2 22= 4 ( 0.01)2 0.12=0.01
2
2
5
2 ___5___,3
2
3 _____,
4 4
1
1 3
2
_1__13__, 5
42 ____,6
22
3
____8.
概念学习
代数式
用基本运算符号（包括加、减、乘、
除、乘方和开方）把_ 数 或表示数的字母 连接起来的式子，我们称这样的式子为
代数式.
代数式
整式 分式 二次根式
a
b
•
•
解：由数轴可知a＜0，b＞0，a-b＜0， ∴原式=|a|-|b|+|a-b| =-a-b-（a-b） =-2a.
课堂小结
（一）二次根式具有哪些性质？
性质 1： a ≥0 (a≥0) （双重非负性） 性质 2：( a )2 = a (a≥0) 性质 3：当 a≥0 时， a2 = a ；
当 a＜0 时， a2 = -a 。 也就是说： a2 = |a| 。
由此可知： a2 a
二次根式的性质3
计算：
02 0 112 11
32 3
72 7 区别吗?
( a )2
a2
从运算顺序看
先开方,后平方
先平方，后开方
从取值范围看
a≥0
a取任何实数
从运算结果看
a
|a|
做一做
1 3 1
12 _____,2
（二）代数式的概念
作业：教材第5页 习题16.1题第2，4, 9题
• 第十六章 二次根式
• • 第2课时 二次根式的性质
•
•
问题： （1）2的平方是多少？用算式如何表示？ （2）4的算术平方根是多少？如何表示？ （3）什么是一个正数的算术平方根？ 如何表示？规定0的算术平方根是多少？ （4）形如什么样的式子叫二次根式？
探究一：计算
1 1 42
93
二次根式的性质1：
=0
(3) ( 5)2 16 (2)2
=3
=24
(4) ( 2 )2 0.12 1
5
4
=-0.2
(5) ( a)2 a2 (a 0) (6) ( 4 1 )2 ( 4 1)2
=2a
72
7
(7) 3( 3 1) 3 =0.5
=3
例4 实数a、b在数轴上的对应点如图所
示，请你化简: a2 b2 a b2 .