高三数学一轮复习第九篇平面解析几何第5节抛物线课件理

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高考数学(新课标人教)一轮总复习课件：第8章平面解析几何第5节抛物线

第八章平面解析几何第5节抛杨线> 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程I I及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心I I 率）•I 、2.理解数形结合的思想. | I辭硕物缓的续赊晋1:灰册物线白勺商車亞用.•［要点梳理］• 1.抛物线的概念木等•平面内与一个定点何口一条定韋线/（尺/）册距离准线的点的轨迹叫做抛物线.点做抛物线的________ ,直线/叫做抛物线的________ •质疑探究仁若抛物线定义中定点F在定直线/ 上时，动点的轨迹是什么图形？•提示：当定点琏定直线/上时,动点的轨迹是过点FB与直线睡直的直线.• 2.抛物线的标准方程与几何性质•质疑探究2：抛物线的标准方程中P的几何意义是什么？亠•提示：p的几何意义是焦点到准线的距离•［基础自测］1.（201牛安徽高考）抛物线y=^x2的准线方程是（）A. 1B. 2C・ x= —1 D・x=—2［解析］因为抛物线的标准方程为_?=4y,所以其准线方程为y= 一 1 •故选A.［答案］A2.从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M,且\PM\ = 5,设抛物线的焦点为F,则AMPF的面积为()A. 5B. 10C. 20D.V15［解析］由抛物线方程于=4兀易得抛物线的准线I的方程为x= — l,又由IPMU5可得点P的横坐标为4,代入y2=4x, 可求得其纵坐标为±4,故S AMPF=|X5X4=10,选B.［答案］B3.设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点若过点0的直线I与抛物线有公共点，则直线I的斜率的取值范围是（）B.[-2,2]A.C.[ —1,1]D. [—4,4]•[解析]Q(・2,0),设直线的方程为y二k(x+ 2)，代入抛物线方程,消去燿理得用0 + (4k2 - 8)x+4k2 = 0 ,•由2l = (4k2-8)2-4k2-4k2 = 64(1 ■曆)20 ,•解得-1 .•[答案]C-4.若点P到直线—1的距离比它到点(0,3) 的距离小2,则点P的轨迹方程是______________________•［解析］由题意可知点P到直线y二-3的距离等于它到点(0,3)的距离,故点刊勺轨迹是以点(0,3)为焦点,以y二-3为准线的抛物线, 且P二6 ”所以其标准方程为护二12y.•［答案］x2=12y5・已知点P是抛物线y2=2x上的动点，点P到准线的距仃\禺为仏且点P在y轴上的射影是点4© 4J,则PA\ + \PM\ 的最小值是 ____________ .（\ \［解析］设抛物线/ = 2x的焦点为F,则F刁0 ,又点 a 丿仃）1彳刁£在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x=-^则PMI1 Q =d_勺5L\PA\+d=\PA\ + \PF\^\AF\ = 59所以IB4I + IPMI2》9［答案］|•［典例透析］•考向一抛物线的定义及应用•例1已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点，又有点力(3,2),求\PA\ + |P鬥的最小值，并求岀取最小值时P点的坐标■•思路点拨把尸鬥转化为P到准线的距离,两点之间线段最短.［解］将x=3代入抛物线方程y2 = 2x,得y=±yj6・・・・4在抛物线内部.设抛物线上点P到准线/： x=—£的距离为d,由定义知IB4I + \PF\ = \PA\+d,当B4丄/时,\PA\+d最小,7最小值为㊁7即IB4I + IPFI的最小值为此时戶点纵坐标为2,代入y1 = 2x,得x=2, •••点P坐标为(2,2)・•拓展提高（1）利用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线. • （2）涉及抛物线上的点到焦点（准线）的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线（焦点）的距离问题求解.•活学活用1 (2015 -辽宁省五校联考)设抛物线x2=12y的焦点为F,经过点P(2,1)的直线/ 与抛物线相交于力，3两点，又知点P恰为力3 的中点，则\AF\ + \BF\= _______________ .•解析］分别过点& , B , P作准线的垂线, 垂足分别为M, N, Q,根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离,得/鬥+ \BF\ = \AM\ + \BN\ = 2\PQ\ = 8.•［答案］8•考向二抛物线标准方程及性质•例2 (1)如图是抛物线形拱桥，当水面在/时 ,拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1 米后，水面米厂(2)抛物线y2=4x的焦点为已点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为()A. 2书C. 6B. 4 D. 4^3思路点拨(1)建立坐标系，利用点待定抛物线方程，再求横坐标・(2)利用抛物线定义性质及等边三角形性质求解.•解析］⑴如图建立平面直角坐标系,设抛物线方程为0二-2py(p > 0)・由题忌、4(2, —2)代入x^= 得故x2=—2y ・得x=召,故水面宽为2&米.(2)依题意，过点P作抛物线的准线的垂线，垂足为M］, 记抛物线的准线％= — 1与x轴的交点为N,则有IPMil = IPFI = IPMI.又点Mi、M均在抛物线的准线上，因此点Mi与M重合.由△FPM为等边三角形得ZPMF=6Q°,又PM平行于x轴，因此/MFN=/PMF=60。

抛物线课件-2025届高三数学一轮复习

A. 2
B. 3
[解析]

2
C. 4
2
D. 8

由题意，知抛物线的焦点坐标为( ，0)，椭圆的焦点坐标为(±
2
所以＝ 2 ，解得 p ＝8，故选D.
D )
2 ，0)，
5. 已知抛物线 y 2＝2 px ( p ＞0)的焦点为 F ，点 M (2，2 2 )为抛物线上一点，则
｜MF｜＝(
A. 2
2
即 p ＝2，所以A选项正确.
＝ − 3（ − 1),
对于B，不妨设 M ( x 1， y 1)， N ( x 2， y 2)， x 1＜ x 2，联立方程得 2
= 4，
1
消去 y 并整理得3 x 2－10 x ＋3＝0，解得 x 1＝， x 2＝3.由抛物线的定义得，｜ MN｜＝
x 1＋ x 2＋ p ＝
B )
B. 3
C. 4
D. 5
[解析] 因为点 M (2，2 2 )为抛物线上一点，所以将点 M 的坐标代入抛物线的方程
y 2＝2 px ( p ＞0)，可得 p ＝2，所以抛物线的方程为 y 2＝4 x ，可得其准线方程为 x ＝
－1.根据抛物线的定义，得｜ MF ｜＝2－(－1)＝3.故选B.
三、知识点例题讲解及方法技巧总结
1

S △ AOB ＝ ×｜ AB ｜× ×
2
2
由(2)的推导过程可得，
sin
1
｜｜

2
＋
＝ 2 ，
1−cos
1+cos
si
1
2

α＝ × 2 × ×
2
si
2
＋

高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.7抛物线文

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第九章平面解析几何 9.7 抛物线文1.抛物线的概念平面内到一个定点F 和一条定直线l (F 不在l 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程与几何性质【知识拓展】1.抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离PF ＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径.2.y 2＝ax 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( × ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是(a4，0)，准线方程是x ＝－a4.( × )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( × )(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F (p 2，0)的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长AB ＝x 1＋x 2＋p .( √ )(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( √ )1.(2015·陕西改编)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为__________. 答案 (1,0)解析由于抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p 2，由题意得－p2＝－1，p ＝2，焦点坐标为()1，0.2.已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，AF ＝54x 0，则x 0＝________.答案 1解析由抛物线的定义，可得AF ＝x 0＋14，∵AF ＝54x 0，∴x 0＋14＝54x 0，∴x 0＝1.3.已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0).若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则OM ＝________. 答案 2 3解析设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则点M (2，±2p ).∵焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，点M 到该抛物线焦点的距离为3， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2－p 22＋4p ＝9，解得p ＝2(负值舍去)，故M (2，±22). ∴OM ＝4＋4×2＝2 3.4.(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________________. 答案 y 2＝－8x 或x 2＝－y解析设抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)，或x 2＝2py (p ≠0).将P (－2，－4)代入，分别得方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y .5.已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为________. 答案 43解析 ∵A (－2,3)在抛物线y 2＝2px 的准线上， ∴－p2＝－2，∴p ＝4，∴y 2＝8x ，设直线AB 的方程为x ＝m (y －3)－2，① 将①与y2＝8x 联立，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m y －－2，y 2＝8x ，得y 2－8my ＋24m ＋16＝0，②则Δ＝(－8m )2－4(24m ＋16)＝0，即2m 2－3m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－12(舍去)，将m ＝2代入①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝8，即B (8,8)，又F (2,0)，∴k BF ＝8－08－2＝43.题型一抛物线的定义及应用例1 已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求PA ＋PF 的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标. 解将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝± 6.∵6>2，∴A 在抛物线内部，如图.设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知PA ＋PF ＝PA ＋d ，当PA ⊥l 时，PA ＋d 最小，最小值为72，即PA ＋PF 的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，∴点P 的坐标为(2,2). 引申探究将本例中点A 的坐标改为(3,4)，求PA ＋PF 的最小值. 解当P 、A 、F 共线时，PA ＋PF 最小，PA ＋PF ≥AF ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－122＋42＝ 254＋16＝892. 即PA ＋PF 的最小值为892. 思维升华与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.(1)设抛物线x 2＝12y 的焦点为F ，经过点P (2,1)的直线l 与抛物线相交于A ，B两点，又知点P 恰为AB 的中点，则AF ＋BF ＝________.(2)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，若B (3,2)，则PB ＋PF 的最小值为________. 答案 (1)8 (2)4解析 (1)分别过点A ，B ，P 作准线的垂线，垂足分别为M ，N ，Q ，根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，得AF ＋BF ＝AM ＋BN ＝2PQ ＝8.(2)如图，过点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P 1，则P 1Q ＝P 1F .则有PB ＋PF ≥P 1B ＋P 1Q ＝BQ ＝4.即PB ＋PF 的最小值为4.题型二抛物线的标准方程和几何性质命题点1 求抛物线的标准方程例2 已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为____________. 答案 x 2＝16y解析 ∵x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为2，∴c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，∴b 2a 2＝3，ba＝ 3. x 2＝2py 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，x 2a 2－y2b2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±3x .由题意得p21＋32＝2，∴p ＝8.故C 2的方程为x 2＝16y .命题点2 抛物线的几何性质例3 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点.若AF ＝3，则△AOB 的面积为________. 答案322解析由题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)，如图所示，AF ＝x 1＋1＝3，∴x 1＝2，y 1＝2 2.设AB 的方程为x －1＝ty ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x －1＝ty消去x 得y 2－4ty －4＝0.∴y 1y 2＝－4.∴y 2＝－2，x 2＝12，∴S △AOB ＝12×1×|y 1－y 2|＝322.思维升华 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.(1)(2015·陕西)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________. 答案 2 2解析由于双曲线x 2－y 2＝1的焦点为(±2，0)，故应有p2＝2，p ＝2 2.(2)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：①y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；②1AF ＋1BF为定值；③以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. 证明 ①由已知得抛物线焦点坐标为(p2，0).由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫my ＋p 2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*)则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2. 因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2，所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24.②1AF ＋1BF ＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2 ＝x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2x 1＋x 2＋p 24.因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝AB －p ，代入上式，得1AF ＋1BF ＝ABp4＋p2AB －p ＋p4＝2p(定值).③设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M作准线的垂线，垂足为N ，则MN ＝12(AC ＋BD )＝12(AF ＋BF )＝12AB . 所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. 题型三直线与抛物线的综合问题命题点1 直线与抛物线的交点问题例4 已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点.若MA →·MB →＝0，则k ＝________. 答案 2解析抛物线C 的焦点为F (2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 则x 1＋x 2＝4＋8k2，x 1x 2＝4.所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16.因为MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋8＝0，将上面各个量代入，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2. 命题点2 与抛物线弦的中点有关的问题例5 (2014·浙江)如图，已知△ABP 的三个顶点都在抛物线C ：x 2＝4y 上，F 为抛物线C 的焦点，点M 为AB 的中点，PF →＝3FM →.(1)若PF ＝3，求点M 的坐标； (2)求△ABP 面积的最大值. 解 (1)由题意知焦点F (0,1)，准线方程为y ＝－1. 设P (x 0，y 0)，由抛物线定义知PF ＝y 0＋1，得到y 0＝2，所以P (22，2)或P (－22，2).由PF →＝3FM →得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，23或M ⎝ ⎛⎭⎪⎫223，23.(2)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝4y 得x 2－4kx －4m ＝0.于是Δ＝16k 2＋16m >0，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ，所以AB 的中点M 的坐标为(2k,2k 2＋m )，由PF →＝3FM →，得(－x 0,1－y 0)＝3(2k,2k 2＋m －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－6k ，y 0＝4－6k 2－3m .由x 20＝4y 0，得k 2＝－15m ＋415.由Δ>0，k 2≥0，得－13<m ≤43.又因为AB ＝41＋k 2·k 2＋m ，点F (0,1)到直线AB 的距离为d ＝|m －1|1＋k2，所以S △ABP ＝4S △ABF ＝8|m －1|k 2＋m ＝16153m 3－5m 2＋m ＋1.记f (m )＝3m 3－5m 2＋m ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－13<m ≤43，令f ′(m )＝9m 2－10m ＋1＝0，解得m 1＝19，m 2＝1.可得f (m )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，19上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫19，1上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43上是增函数. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝256243>59＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，所以，当m ＝19时，f (m )取到最大值256243，此时k ＝±5515.所以，△ABP 面积的最大值为2565135.思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式AB ＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.已知过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的直线l 与抛物线y 2＝2px (p >0)交于A ，B 两点，且OA →·OB →＝－3，其中O 为坐标原点. (1)求p 的值；(2)当AM ＋4BM 最小时，求直线l 的方程. 解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为x ＝my ＋p2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋p 2，y 2＝2px ，消去x 得y 2－2pmy －p 2＝0.∴y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2. ∵OA →·OB →＝－3，∴x 1x 2＋y 1y 2＝－3.又x 1x 2＝y 212p ·y 222p ＝p 24，∴p 24－p 2＝－3⇒p 2＝4.∵p >0，∴p ＝2. (2)由抛物线定义，得AM ＝x 1＋p2＝x 1＋1，BM ＝x 2＋p2＝x 2＋1，∴AM ＋4BM ＝x 1＋4x 2＋5≥24x 1x 2＋5＝9，当且仅当x 1＝4x 2时取等号. 将x 1＝4x 2代入x 1x 2＝p 24＝1，得x 2＝12(负值舍去).将x 2＝12代入y 2＝4x ，得y 2＝±2，即点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，±2.将点B 代入x ＝my ＋1，得m ＝±24. ∴直线l 的方程为x ＝±24y ＋1，即4x ±2y －4＝0.7.直线与圆锥曲线问题的求解策略典例 (16分)(2014·山东)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有FA ＝FD .当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形. (1)求C 的方程；(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ， ①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由. 规范解答解 (1)由题意知F (p2，0).设D (t,0)(t >0)，则FD 的中点为(p ＋2t4，0).因为FA ＝FD ，由抛物线的定义知3＋p 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －p 2，解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去). 由p ＋2t4＝3，解得p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .[4分] (2)①由(1)知F (1,0).设A (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D (x D,0)(x D >0). 因为FA ＝FD ，则|x D －1|＝x 0＋1，由x D >0得x D ＝x 0＋2，故D (x 0＋2,0)，故直线AB 的斜率k AB ＝－y 02. 因为直线l 1和直线AB 平行，设直线l 1的方程为y ＝－y 02x ＋b ，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8b y 0＝0，由题意得Δ＝64y 20＋32b y 0＝0，得b ＝－2y 0.[7分]设E (x E ，y E )，则y E ＝－4y 0，x E ＝4y 20.当y 20≠4时，k AE ＝y E －y 0x E －x 0＝－4y 0－y 04y 20－y 204＝4y 0y 20－4，可得直线AE 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4(x －x 0). 由y 20＝4x 0，整理可得y ＝4y 0y 20－4(x －1)，直线AE 恒过点F (1,0).当y 20＝4时，直线AE 的方程为x ＝1，过点F (1,0)，所以直线AE 过定点F (1,0).[10分] ②由①知直线AE 过焦点F (1,0)，所以AE ＝AF ＋FE＝(x 0＋1)＋⎝⎛⎭⎪⎫1x＋1＝x 0＋1x 0＋2.设直线AE 的方程为x ＝my ＋1. 因为点A (x 0，y 0)在直线AE 上，故m ＝x 0－1y 0. 设B (x 1，y 1)，直线AB 的方程为y －y 0＝－y 02(x －x 0)，由于y 0≠0，可得x ＝－2y 0y ＋2＋x 0，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8－4x 0＝0，所以y 0＋y 1＝－8y 0，可求得y 1＝－y 0－8y 0，x 1＝4x 0＋x 0＋4.所以点B 到直线AE 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0＋x 0＋4＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋8y 0－11＋m2＝x 0＋x 0＝4⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0.[14分]则△ABE 的面积S ＝12×4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0＋2≥16，当且仅当1x 0＝x 0，即x 0＝1时等号成立.所以△ABE 的面积的最小值为16.[16分]解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤：第一步：联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)；第三步：根据题目要求列出关于x 1x 2，x 1＋x 2(或 y 1y 2，y 1＋y 2)的关系式，求得结果；第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况.温馨提醒 (1)解决直线与圆锥曲线结合的问题，一般都采用设而不求的方法，联立方程，由根与系数的关系去找适合该问题的等量关系.(2)在解决此类问题时常用到焦半径、弦长公式，对于距离问题，往往通过定义进行转化. (3)利用“点差法”可以将曲线的二次关系转化为一次关系即直线的关系，从而求直线斜率.[方法与技巧]1.认真区分四种形式的标准方程(1)区分y ＝ax 2与y 2＝2px (p >0)，前者不是抛物线的标准方程.(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝my (m ≠0).2.抛物线的离心率e ＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简化.抛物线上的点到焦点的距离根据定义转化为到准线的距离，即PF ＝|x |＋p 2或PF ＝|y |＋p2.[失误与防范]1.求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求出p 值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程.2.注意应用抛物线的定义解决问题.3.直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式.A 组专项基础训练 (时间：40分钟)1.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与曲线x 2＋y 2－4x －5＝0相切，则p 的值为________. 答案 2解析曲线的标准方程为(x －2)2＋y 2＝9，其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x ＝－p 2，∴由抛物线的准线与圆相切得2＋p2＝3，解得p ＝2.2.已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为__________. 答案 x ＝－1解析 ∵y 2＝2px 的焦点坐标为(p2，0)，∴过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p2，即x ＝y ＋p2，将其代入y 2＝2px ，得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2p ，∴y 1＋y 22＝p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.3.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于____________. 答案－4解析 ①若焦点弦AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝p 2，所以x 1x 2＝p 24；∴y 1＝p ，y 2＝－p ，∴y 1y 2＝－p 2， ∴y 1y 2x 1x 2＝－4. ②若焦点弦AB 不垂直于x 轴，可设AB 的直线方程为y ＝k (x －p2)，联立y 2＝2px 得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋p 2k 24＝0，则x 1x 2＝p 24.所以y 1y 2＝－p 2.故y 1y 2x 1x 2＝－4. 4.已知抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，过抛物线上一点M (p ，2p )和抛物线的焦点F 作直线l 交抛物线于另一点N ，则NF ∶FM ＝______. 答案 1∶2解析由题意得，直线l ：y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，解得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫p4，－22p ，∴NF ＝p 4＋p 2＝34p ，∴FM ＝p ＋p 2＝32p ，∴NF ∶FM ＝1∶2.5.(2014·课标全国Ⅱ改编)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则AB ＝________.答案 12解析焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，方法一直线AB 的斜率为33，所以直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即y ＝33x －34，代入y 2＝3x ，得13x 2－72x ＋316＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212，所以AB ＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12.方法二由抛物线焦点弦的性质可得AB ＝2p sin 2θ＝3sin 230°＝12. 6.已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A 、B 两点，若△ABF为等边三角形，则p ＝________.答案 6解析由题意知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 3，－p 2，代入方程x 23－y 23＝1得 p ＝6.7.如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线l 于点C ，若BC ＝2BF ，且AF ＝3，则此抛物线的方程为________.答案 y 2＝3x解析如图，分别过A 、B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知：AF ＝AA 1，BF ＝BB 1，∵BC ＝2BF ， ∴BC ＝2BB 1，∴∠BCB 1＝30°，∴∠AFx ＝60°，连结A 1F ，则△AA 1F 为等边三角形，过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于K ，则KF ＝A 1F 1＝12AA 1＝12AF ，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x .8.已知一条过点P (2,1)的直线与抛物线y 2＝2x 交于A ，B 两点，且P 是弦AB 的中点，则直线AB 的方程为_____________________________________________________________. 答案 x －y －1＝0解析依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减得y 21－y 22＝2(x 1－x 2)，即y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝1，直线AB 的斜率为1，直线AB 的方程是y －1＝x －2，即x －y －1＝0.9.如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA 与OB 的长分别为1和8，求抛物线的方程.解设直线OA 的方程为y ＝kx ，k ≠0，则直线OB 的方程为y ＝－1kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2px ，得x ＝0或x ＝2pk2.∴A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k2，2p k ，同理得B 点坐标为(2pk 2，－2pk )，由OA ＝1，OB ＝8，可得⎩⎪⎨⎪⎧4p 2k 2＋1k 4＝1， ①4p 2k 2k 2＋＝64， ②②÷①得k 6＝64，即k 2＝4.则p 2＝16k2k 2＋＝45. 又p >0，则p ＝255，故所求抛物线方程为y 2＝455x .10.抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点. (1)若AF →＝2FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值. 解 (1)依题意知F (1,0)，设直线AB 的方程为x ＝my ＋1. 将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.① 因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2.② 联立①和②，消去y 1，y 2，得m ＝±24. 所以直线AB 的斜率是±2 2.(2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB .因为2S △AOB ＝2×12·OF ·|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝41＋m 2，所以当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4.B 组专项能力提升 (时间：30分钟)11.(2015·四川改编)设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是__________. 答案 (2,4) 解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，当l 的斜率不存在时，符合条件的直线l 必有两条；当直线l 的斜率k 存在时，如图x 1≠x 2，则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2，即y 0·k ＝2，由CM ⊥AB 得，k ·y 0－0x 0－5＝－1，y 0·k ＝5－x 0,2＝5－x 0，x 0＝3，即M 必在直线x ＝3上，将x ＝3代入y 2＝4x ，得y 2＝12，∴－23＜y 0＜23，∵点M 在圆上， ∴(x 0－5)2＋y 20＝r 2，r 2＝y 20＋4＜12＋4＝16，又y 20＋4＞4，∴4＜r 2＜16，∴2＜r ＜4.12.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A 的坐标为__________. 答案 (2，±22)解析如图所示，由题意，可得OF ＝1，由抛物线的定义，得AF ＝AM ，∵△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1， ∴S △AMFS △AOF＝12×AF ×AM ×sin∠MAF 12×OF ×AF π－∠MAF＝3，∴AF ＝AM ＝3，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0， ∴y 204＋1＝3，∴y 204＝2，y 0＝±22，∴点A 的坐标是(2，±22).13.对于抛物线y 2＝4x 上任意一点Q ，点P (a,0)都满足PQ ≥|a |，则a 的取值范围是________. 答案 (－∞，2] 解析设Q (t 24，t )，由PQ ≥|a |，得(t 24－a )2＋t 2≥a 2，t 2(t 2＋16－8a )≥0，t 2＋16－8a ≥0，t 2≥8a －16恒成立，则8a －16≤0，a ≤2.14.(2014·江西)如图，已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点M (0,2)任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点).(1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)，与直线y ＝2相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2，证明：MN 22－MN 21为定值，并求此定值.(1)证明依题意可设AB 方程为y ＝kx ＋2，代入x 2＝4y ，得x 2＝4(kx ＋2)，即x 2－4kx －8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1x 2＝－8. 直线AO 的方程为y ＝y 1x 1x ；BD 的方程为x ＝x 2.解得交点D 的坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2，y ＝y 1x 2x 1，注意到x 1x 2＝－8及x 21＝4y 1，则有y ＝y 1x 1x 2x 1＝－8y 14y 1＝－2. 因此D 点在定直线y ＝－2上(x ≠0).(2)解依题设，切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的方程为y ＝ax ＋b (a ≠0)，代入x 2＝4y 得x 2＝4(ax ＋b )，即x 2－4ax －4b ＝0. 由Δ＝0得(－4a )2＋16b ＝0，化简整理得b ＝－a 2. 故切线l 的方程可写为y ＝ax －a 2. 分别令y ＝2，y ＝－2得N 1，N 2的坐标为N 1(2a ＋a,2)，N 2(－2a＋a ，－2)，则MN 22－MN 21＝(2a －a )2＋42－(2a＋a )2＝8，即MN 22－MN 21为定值8.15.(2015·福建)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且AF ＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切.方法一 (1)解由抛物线的定义得AF ＝2＋p2.因为AF ＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x . (2)证明因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22). 由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1). 由⎩⎨⎧y ＝22x －，y 2＝4x得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1,0)，所以k GA ＝22－02－－＝223，k GB ＝－2－012－－＝－223.所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切. 方法二 (1)解同方法一.(2)证明设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r .因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22). 由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1). 由⎩⎨⎧y ＝22x －，y 2＝4x21 得2x 2－5x ＋2＝0.解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2.又G (－1,0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0.从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217.又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0.所以点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r .这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切.。

高三数一轮复习课件：第九章平面解析几何. .ppt..

解：如图，因为 kAP＝12－－01＝1，
kBP＝ 03－－10＝－ 3，所以 k∈(－∞，－ 3]∪[1，＋∞)．故填(－∞，－ 3]∪[1，＋∞)．
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类型二求直线方程
根据所给条件求直线的方程． (1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为 1100； (2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距相等； (3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为 5.
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类型一直线的倾斜角和斜率
(1)设直线 2x＋my＝1 的倾斜角为 α，若 m∈(－∞，－2 3)∪[2，＋∞)，则角 α 的取值范围是________．
解：据题意知 tanα＝－m2 ，因为 m<－2 3或 m≥2.
所以 0<tanα< 33或－1≤tanα<0.
(3)过点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程 ①若 x1＝x2，且 y1≠y2 时，直线垂直于 x 轴，方程为____________； ②若 x1≠x2，且 y1＝y2 时，直线垂直于 y 轴，方程为____________； ③若 x1＝x2＝0，且 y1≠y2 时，直线即为 y 轴，方程为____________； ④若 x1≠x2，且 y1＝y2＝0，直线即为 x 轴，方程为____________．
x＝
，

y＝
.
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2．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴____________与直线 l 向上方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角．当直线 l 与 x 轴________或________ 时，我们规定它的倾斜角为 0°.因此，直线的倾斜角 α 的取值范围为 __________________． (2)斜率：一条直线的倾斜角 α 的____________叫做这条直线的斜率，常用小写字母 k 表示，即 k＝______(α≠______)．当直线平行于 x 轴或者与 x 轴重合时，k______0；当直线的倾斜角为锐角时，k______0；当直线的倾斜角为钝角时，k______0；倾斜角为 ______的直线没有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同．因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度．

2025届高中数学一轮复习课件《抛物线(一)》ppt

答案
高考一轮总复习•数学
第29页
解析：(1)∵抛物线方程为 y2＝2px(p>0)，∴准线为 x＝－p2.
∵点 P(2，y0)到其准线的距离为 4，∴－p2－2＝4. ∴p＝4(负值舍去)，∴抛物线的标准方程为 y2＝8x.
(2)因为△FPM 为等边三角形，则|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得 PM 垂直于抛物线的准线，设 Pm，m2p2，则点 Mm，－p2.因为焦点为 F0，p2，△FPM 是等边三角形，所以|PM|＝4，
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抛物线定义的应用策略
第17页
高考一轮总复习•数学
第18页
对点练 1 (1)(2024·陕西榆林模拟)如图 1，某建筑物的屋顶像抛物线，若将该建筑外形弧线的一段按照一定的比例处理后可看成如图 2 所示的抛物线 C：x2＝－2py(p>0)的一部分， P 为抛物线 C 上一点，F 为抛物线 C 的焦点．若∠OFP＝120°，且|OP|＝ 221，则 p＝( )
高考一轮总复习•数学
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2．过抛物线 y2＝4x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果 x1＋x2 ＝6，则|PQ|＝( )
A．9
B．8
C．7
D．6
解析：抛物线 y2＝4x 的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x＝－1.根据题意，得|PQ|＝|PF|＋ |QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.故选 B．
即 px0＝4.又 C 的准线方程为 x＝－p2，易知|FM|＝x0＋p2，显然|DM|＝x0－p2.
由焦点联想准线．
因为 cos∠MFG＝2 3 2，所以 sin∠MFG＝13，因此||DFMM||＝sin∠MFG＝13，即xx00＋－p2p2＝13，整理得 x0＝p，与 px0＝4 联立，解得 p＝x0＝2，

高三第一轮复习抛物线课件理

特点：对称性、不变性、可逆性
应用：解决实际问题，如求抛物线的顶点、焦点等
注意事项：选择合适的对称点或对称直线，避免出现错误
抛物线在实际生活中的应用
物理中的抛物线运动
抛物线运动是物体在重力作用下，沿着抛物线轨迹运动的一种运动形式。抛物线运动的特点是物体在运动过程中，速度、加速度和位移都是变化的。抛物线运动的应用广泛，如炮弹、火箭、卫星等物体的运动都可以用抛物线运动来描述。抛物线运动在物理学中具有重要的理论意义和实际应用价值。
抛物线与直线、圆的区别：抛物线是二次函数，其图像是一条曲线，而直线是直线方程，其图像是一条直线；抛物线是二次函数，其图像是一条曲线，而圆是圆方程，其图像是一个圆。
与双曲线的联系与区别
抛物线与双曲线都是二次曲线，具有共同的性质和特点
抛物线是开口向上的曲线，双曲线是开口向下的曲线
抛物线与双曲线的焦点位置不同，抛物线的焦点在x轴上，双曲线的焦点在y轴上
抛物线在工程学中的应用：如桥梁设计、建筑设计等
抛物线在生物学中的应用：如种群增长、生态平衡等
抛物线与其他曲线的联系与区别
与直线、圆的关系
抛物线与直线的关系：抛物线是二次函数，其图像是一条曲线，而直线是直线方程，其图像是一条直线。
抛物线与圆的关系：抛物线是二次函数，其图像是一条曲线，而圆是圆方程，其图像是一个圆。
抛物线的几何变换
平移变换
平移变换的定义：将抛物线沿x轴或y轴移动一定距离平移变换的公式：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数平移变换的图形：抛物线沿x轴或y轴移动后的图形平移变换的应用：解决实际问题，如求抛物线的顶点、对称轴等
伸缩变换
定义：将抛物线沿x轴或y轴进行伸缩变换，得到新的抛物线伸缩变换公式：x'=kx，y'=ky，其中k为伸缩系数伸缩变换对抛物线形状的影响：k>1时，抛物线变长；k<1时，抛物线变短伸缩变换对抛物线顶点的影响：k>1时，顶点向上移动；k<1时，顶点向下移动伸缩变换对抛物线对称轴的影响：伸缩变换不改变抛物线的对称轴位置

高考数学一轮复习第九章平面解析几何 98 抛物线课件

(2)一个转化：抛物线上某点到焦点的距离与该点到准线的距
离相互转化．如：已知抛物线 C：y2＝x 的焦点为 F，A(x0，y0)是
C 上一点，|AF|＝54x0，则 x0＝ 1
.
提示：由 y2＝x 得 p＝12，则 F14，0，准线 l 方程为 x＝－14，设 A 点到准线的距离为 d.则 d＝|AF|，从而 x0＋14＝54x0，解得 x0 ＝1.
2．抛物线的标准方程与几何性质
[温馨提示] (1)关于标准方程的 3 点说明 ①只有顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线有标准方程；②p 是抛物线的焦点到准线的距离，所以 p>0；③标准方程的左边为 y(或 x)的平方，而右边则为 x(或 y)的一次项；对称轴看一次项，符号决定开口方向．即一次项变量为 x(y)则焦点在 x 轴 (y 轴)上；系数为正(负)，则焦点在正(负)半轴上．
的点的轨迹叫做抛物线．点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线．
其数学表达式： |MF|＝d(其中 d 为点 M 到准线的距离)．
[温馨提示 ] (1)抛物线的定义实质上可归结为 “一动三
定”，一个动点设为 M；一定点 F(焦点)；一条定直线 l(准线)；
一个定值(点 M 到点 F 的距离和它到定直线 l 的距离比等于 1)
点，点 P 的坐标为(3,2)．若点 M 为该抛物线上的动点，则|MP|
＋|MF|的最小值为__________．
[思路引导]
(1)
设动圆圆心为 P，半径为r
→
根据两圆外切列关系式，与x＝1相切
写出抛物线 (2) 根据椭圆的右焦点求出p → 的焦点、准线 →
根据抛物线定义将|MF| 转化为到准线的距离

高考总复习一轮数学精品课件第九章平面解析几何指点迷津(八)

(2)定义法:利用曲线的定义,判断曲线类型,再由曲线的定义直接写出曲线
方程;
(3)代入法(相关点法):题中有两个动点,一个为所求,设为(x,y),另一个在已
知曲线上运动,设为(x0,y0),利用已知条件找出两个动点坐标的关系,用所求
表示已知,即
0 = (,),
将 x0,y0 代入已知曲线即得所求曲线方程;
0 = (,),
= (),
(4)参数法:引入参数 t,求出动点(x,y)与参数 t 之间的关系
消去参数即
= (),
得所求轨迹方程;
(5)交轨法:引入参数表示两动曲线的方程,将参数消去,得到两动曲线交点
的轨迹方程.
一、直接法求轨迹方程
例1.已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,O为坐标原点,动点P在圆C外,过点P作圆C
=(x1-x,-y)=(0,-y).
因为=λ,所以(0,y-y1)=λ(0,-y),
所以 y-y1=-λy,即 y1=(1+λ)y.
因为点
2 2
P(x1,y1)在椭圆 4 +y =1
2
+(1+λ)2y2=1
4
21
上,所以 4
2

+ 12 =1,所以 4 +(1+λ)2y2=1,所以
第九章
指点迷津(八)
求曲线轨迹方程的方法
曲线C与方程F(x,y)=0满足两个条件:(1)曲线C上点的坐标都是方程
F(x,y)=0的解;(2)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.则称曲线C
为方程F(x,y)=0的曲线,方程F(x,y)=0为曲线C的方程.求曲线方程的基本方

适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第7节抛物线课件新人教A版

弦.p越大,通径越大,抛物线的开口就越大;p越小,通径越小,抛物线的开口就
越小.
常用结论
设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,α为弦AB所在直线的倾斜角,若
A(x1,y1),B(x2,y2),如图所示,则
2
(1)x1x2= 4 ,y1y2=-p2;
2
(2)弦长|AB|=x1+x2+p= 2 ;

所以 2 =3,2p=12,其方程为x2=-12y.
(3)(2024·北京丰台模拟)在水平地面竖直定向爆破时,在爆破点炸开的每块
碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分.这些碎片能达到的区域
的边界和该区域轴截面的交线是抛物线的一部分(如图中虚线所示),称该
条抛物线为安全抛物线.若某次定向爆破中碎片达到的最大高度为40米,碎
有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4,即|PB|+|PF|的最小值为4.
(3)(2024·北京海淀模拟)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于点A,B,
线段AB的中点的横坐标为4,则AB的长为( A )
A.10
B.8
C.5
D.4
解析设AB的中点为C,则点的横坐标xC=4.过A,B,C分别作准线x=-1的垂线,
C:x2+(y+3)2=1外切,则动圆圆心M的轨迹方程为( A )
A.x2=-12y
B.x2=12y
C.y2=12x
D.y2=-12x
解析设动圆圆心为M(x,y),半径为r,由题意可得点M与点C(0,-3)的距离是
r+1,点M到直线y=2的距离是r,则点M到直线y=3的距离是r+1.由抛物线的

高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.7抛物线理

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第九章平面解析几何 9.7 抛物线理1.抛物线的概念平面内到一个定点F 和一条定直线l (F 不在l 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程与几何性质【知识拓展】1.抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离PF ＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径.2.y 2＝ax 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a4.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( × ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是(a4，0)，准线方程是x ＝－a4.( × )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( × )(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F (p 2，0)的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长AB ＝x 1＋x 2＋p .( √ )(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( √ )1.(2015·陕西改编)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为__________. 答案 (1,0)解析由于抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p 2，由题意得－p2＝－1，p ＝2，焦点坐标为()1，0.2.已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，AF ＝54x 0，则x 0＝________.答案 1解析由抛物线的定义，可得AF ＝x 0＋14，∵AF ＝54x 0，∴x 0＋14＝54x 0，∴x 0＝1.3.已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0).若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则OM ＝________. 答案 2 3解析设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则点M (2，±2p ).∵焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，点M 到该抛物线焦点的距离为3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2－p 22＋4p ＝9，解得p ＝2(负值舍去)，故M (2，±22). ∴OM ＝4＋4×2＝2 3.4.(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________________. 答案 y 2＝－8x 或x 2＝－y解析设抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)，或x 2＝2py (p ≠0).将P (－2，－4)代入，分别得方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y .5.已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为________. 答案 43解析 ∵A (－2,3)在抛物线y 2＝2px 的准线上， ∴－p2＝－2，∴p ＝4，∴y 2＝8x ，设直线AB 的方程为x ＝m (y －3)－2，① 将①与y2＝8x 联立，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m y －－2，y 2＝8x ，得y 2－8my ＋24m ＋16＝0，②则Δ＝(－8m )2－4(24m ＋16)＝0，即2m 2－3m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－12(舍去)，将m ＝2代入①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝8，即B (8,8)，又F (2,0)，∴k BF ＝8－08－2＝43.题型一抛物线的定义及应用例1 已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求PA ＋PF 的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标.解将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝± 6.∵6>2，∴A 在抛物线内部，如图.设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知PA ＋PF ＝PA ＋d ，当PA ⊥l 时，PA ＋d 最小，最小值为72，即PA ＋PF 的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，∴点P 的坐标为(2,2). 引申探究将本例中点A 的坐标改为(3,4)，求PA ＋PF 的最小值. 解当P 、A 、F 共线时，PA ＋PF 最小，PA ＋PF ≥AF ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－122＋42＝ 254＋16＝892. 即PA ＋PF 的最小值为892. 思维升华与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.(1)设抛物线x 2＝12y 的焦点为F ，经过点P (2,1)的直线l 与抛物线相交于A ，B两点，又知点P 恰为AB 的中点，则AF ＋BF ＝________.(2)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，若B (3,2)，则PB ＋PF 的最小值为________. 答案 (1)8 (2)4解析 (1)分别过点A ，B ，P 作准线的垂线，垂足分别为M ，N ，Q ，根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，得AF ＋BF ＝AM ＋BN ＝2PQ ＝8.(2)如图，过点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P 1，则P 1Q ＝P 1F .则有PB ＋PF ≥P 1B ＋P 1Q ＝BQ ＝4.即PB ＋PF 的最小值为4.题型二抛物线的标准方程和几何性质命题点1 求抛物线的标准方程例2 已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为____________. 答案 x 2＝16y解析 ∵x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为2，∴c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，∴b 2a 2＝3，ba＝ 3. x 2＝2py 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，x 2a 2－y2b2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±3x .由题意得p21＋32＝2，∴p ＝8.故C 2的方程为x 2＝16y . 命题点2 抛物线的几何性质例3 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点.若AF ＝3，则△AOB 的面积为________. 答案322解析由题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)，如图所示，AF ＝x 1＋1＝3， ∴x 1＝2，y 1＝2 2.设AB 的方程为x －1＝ty ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x －1＝ty 消去x 得y 2－4ty －4＝0.∴y 1y 2＝－4.∴y 2＝－2，x 2＝12，∴S △AOB ＝12×1×|y 1－y 2|＝322.思维升华 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.(1)(2015·陕西)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________. 答案 2 2解析由于双曲线x 2－y 2＝1的焦点为(±2，0)，故应有p2＝2，p ＝2 2.(2)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：①y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；②1AF ＋1BF为定值；③以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. 证明 ①由已知得抛物线焦点坐标为(p2，0).由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫my ＋p 2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*)则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2. 因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2，所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24.②1AF ＋1BF ＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2 ＝x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2x 1＋x 2＋p 24.因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝AB －p ，代入上式，得1AF ＋1BF ＝ABp24＋p2AB －p ＋p24＝2p(定值).③设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则MN ＝12(AC ＋BD )＝12(AF ＋BF )＝12AB .所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. 题型三直线与抛物线的综合问题命题点1 直线与抛物线的交点问题例4 已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点.若MA →·MB →＝0，则k ＝________. 答案 2解析抛物线C 的焦点为F (2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 则x 1＋x 2＝4＋8k，x 1x 2＝4.所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16.因为MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋8＝0，将上面各个量代入，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2. 命题点2 与抛物线弦的中点有关的问题例5 已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q .(1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.解 (1)∵抛物线C ：x 2＝1m y ，∴它的焦点F (0，14m ).(2)∵RF ＝y R ＋14m ，∴2＋14m ＝3，得m ＝14.(3)存在，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx 2，2x －y ＋2＝0，消去y 得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)>0⇒m >－12.设A (x 1，mx 21)，B (x 2，mx 22)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2m，x 1·x 2＝－2m.(*)∵P 是线段AB 的中点，∴P (x 1＋x 22，mx 21＋mx 222)，即P (1m ，y P )，∴Q (1m ，1m ).得QA →＝(x 1－1m ，mx 21－1m)，QB →＝(x 2－1m ，mx 22－1m)，若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则QA →·QB →＝0，即(x 1－1m )·(x 2－1m )＋(mx 21－1m )(mx 22－1m)＝0，结合(*)化简得－4m 2－6m＋4＝0，即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－12，而2∈(－12，＋∞)，－12∉(－12，＋∞).∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形.思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式AB ＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.(2014·大纲全国)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且QF ＝54PQ .(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程.解 (1)设Q (x 0,4)，代入y 2＝2px 得x 0＝8p.所以PQ ＝8p ，QF ＝p 2＋x 0＝p 2＋8p.由题设得p 2＋8p ＝54×8p，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2. 所以C 的方程为y 2＝4x . (2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0). 代入y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 故AB 的中点为D (2m 2＋1,2m )，AB ＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1).又l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1my ＋2m 2＋3.将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4my －4(2m 2＋3)＝0.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m，y 3y 4＝－4(2m 2＋3).故MN 的中点为E (2m 2＋2m 2＋3，－2m)，MN ＝ 1＋1m2|y 3－y 4|＝m 2＋2m 2＋1m 2，由于MN 垂直平分AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于AE ＝BE ＝12MN ，从而14AB 2＋DE 2＝14MN 2，即4(m 2＋1)2＋(2m ＋2m )2＋(2m2＋2)2＝m 2＋2m 2＋m 4，化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1. 所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.7.直线与圆锥曲线问题的求解策略典例 (16分)(2014·山东)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有FA ＝FD .当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形. (1)求C 的方程；(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ， ①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由. 规范解答解 (1)由题意知F (p2，0).设D (t,0)(t >0)，则FD 的中点为(p ＋2t4，0).因为FA ＝FD ，由抛物线的定义知3＋p 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －p 2，解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去). 由p ＋2t4＝3，解得p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . [4分](2)①由(1)知F (1,0).设A (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D (x D,0)(x D >0). 因为FA ＝FD ，则|x D －1|＝x 0＋1，由x D >0得x D ＝x 0＋2，故D (x 0＋2,0)，故直线AB 的斜率k AB ＝－y 02. 因为直线l 1和直线AB 平行，设直线l 1的方程为y ＝－y 02x ＋b ，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8b y 0＝0，由题意得Δ＝64y 20＋32b y 0＝0，得b ＝－2y 0.[7分]设E (x E ，y E )，则y E ＝－4y 0，x E ＝4y 20.当y 20≠4时，k AE ＝y E －y 0x E －x 0＝－4y 0－y 04y 20－y 204＝4y 0y 20－4，可得直线AE 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4(x －x 0). 由y 20＝4x 0，整理可得y ＝4y 0y 0－4(x －1)，直线AE 恒过点F (1,0).当y 20＝4时，直线AE 的方程为x ＝1，过点F (1,0)，所以直线AE 过定点F (1,0).[10分]②由①知直线AE 过焦点F (1,0)，所以AE ＝AF ＋FE＝(x 0＋1)＋⎝⎛⎭⎪⎫1x＋1＝x 0＋1x 0＋2.设直线AE 的方程为x ＝my ＋1. 因为点A (x 0，y 0)在直线AE 上，故m ＝x 0－1y 0. 设B (x 1，y 1)，直线AB 的方程为y －y 0＝－y 02(x －x 0)，由于y 0≠0，可得x ＝－2y 0y ＋2＋x 0，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8－4x 0＝0，所以y 0＋y 1＝－8y 0，可求得y 1＝－y 0－8y 0，x 1＝4x 0＋x 0＋4.所以点B 到直线AE 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0＋x 0＋4＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋8y 0－11＋m2＝x 0＋x 0＝4⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0.[14分]则△ABE 的面积S ＝12×4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0＋2≥16，当且仅当1x 0＝x 0，即x 0＝1时等号成立.所以△ABE 的面积的最小值为16. [16分]解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤：第一步：联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)；第三步：根据题目要求列出关于x 1x 2，x 1＋x 2(或y 1y 2，y 1＋y 2)的关系式，求得结果；第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况.温馨提醒 (1)解决直线与圆锥曲线结合的问题，一般都采用设而不求的方法，联立方程，由根与系数的关系去找适合该问题的等量关系.(2)在解决此类问题时常用到焦半径、弦长公式，对于距离问题，往往通过定义进行转化. (3)利用“点差法”可以将曲线的二次关系转化为一次关系即直线的关系，从而求直线斜率.[方法与技巧]1.认真区分四种形式的标准方程(1)区分y ＝ax 2与y 2＝2px (p >0)，前者不是抛物线的标准方程.(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝my (m ≠0).2.抛物线的离心率e ＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简化.抛物线上的点到焦点的距离根据定义转化为到准线的距离，即PF ＝|x |＋p 2或PF ＝|y |＋p2.[失误与防范]1.求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求出p 值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程.2.注意应用抛物线的定义解决问题.3.直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式.A 组专项基础训练 (时间：40分钟)1.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与曲线x 2＋y 2－4x －5＝0相切，则p 的值为________. 答案 2解析曲线的标准方程为(x －2)2＋y 2＝9，其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x ＝－p 2，∴由抛物线的准线与圆相切得2＋p2＝3，解得p ＝2.2.已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为__________. 答案 x ＝－1解析 ∵y 2＝2px 的焦点坐标为(p2，0)，∴过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p2，即x ＝y ＋p2，将其代入y 2＝2px ，得y 2＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2p ，∴y 1＋y 22＝p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1.3.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于________. 答案－4解析 ①若焦点弦AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝p 2，所以x 1x 2＝p 24；∴y 1＝p ，y 2＝－p ，∴y 1y 2＝－p 2， ∴y 1y 2x 1x 2＝－4. ②若焦点弦AB 不垂直于x 轴，可设AB 的直线方程为y ＝k (x －p2)，联立y 2＝2px 得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋p 2k 24＝0，则x 1x 2＝p 24.所以y 1y 2＝－p 2.故y 1y 2x 1x 2＝－4. 4.如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是________(填序号).①BF －1AF －1； ②BF 2－1AF 2－1； ③BF ＋1AF ＋1； ④BF 2＋1AF 2＋1. 答案 ① 解析由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点F ，且A ，B ，C 三点共线，易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于BCAC.由抛物线方程知焦点F (1，0)，作准线l ，则l 的方程为x ＝－1. ∵点A ，B 在抛物线上，过A ，B 分别作AK ，BH 与准线垂直，垂足分别为点K ，H ，且与y 轴分别交于点N ，M .由抛物线定义，得BM ＝BF －1，AN ＝AF －1.在△CAN 中，BM ∥AN ，∴BC AC ＝BM AN＝BF －1AF －1. 5.(2014·课标全国Ⅱ改编)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则AB ＝________.答案 12解析焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，方法一直线AB 的斜率为33，所以直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即y ＝33x －34，代入y 2＝3x ，得13x 2－72x ＋316＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212，所以AB ＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12.方法二由抛物线焦点弦的性质可得AB ＝2p sin θ＝3sin 30°＝12. 6.已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A 、B 两点，若△ABF为等边三角形，则p ＝________. 答案 6解析由题意知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 3，－p 2，代入方程x 23－y 23＝1得 p ＝6.7.如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线l 于点C ，若BC ＝2BF ，且AF ＝3，则此抛物线的方程为________.答案 y 2＝3x 解析如图，分别过A 、B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知：AF ＝AA 1，BF ＝BB 1，∵BC ＝2BF ，∴BC ＝2BB 1，∴∠BCB 1＝30°，∴∠AFx ＝60°，连结A 1F ，则△AA 1F 为等边三角形，过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于K ，则KF ＝A 1F 1＝12AA 1＝12AF ，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x .8.已知一条过点P (2,1)的直线与抛物线y 2＝2x 交于A ，B 两点，且P 是弦AB 的中点，则直线AB 的方程为_____________________________________________________________. 答案 x －y －1＝0解析依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，两式相减得y 21－y 22＝2(x 1－x 2)，即y 1－y 2x 1－x 2＝2y 1＋y 2＝1，直线AB 的斜率为1，直线AB 的方程是y －1＝x －2，即x －y －1＝0. 9.如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA 与OB 的长分别为1和8，求抛物线的方程.解设直线OA 的方程为y ＝kx ，k ≠0，则直线OB 的方程为y ＝－1kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2px ，得x ＝0或x ＝2pk2.∴A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2p k2，2p k ，同理得B 点坐标为(2pk 2，－2pk )，由OA ＝1，OB ＝8，可得⎩⎪⎨⎪⎧4p 2k 2＋1k 4＝1， ①4p 2k 2k 2＋＝64， ②②÷①得k 6＝64，即k 2＝4.则p 2＝16k2k 2＋＝45. 又p >0，则p ＝255，故所求抛物线方程为y 2＝455x .10.(2015·福建)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且AF ＝3. (1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切.方法一 (1)解由抛物线的定义得AF ＝2＋p2.因为AF ＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x . (2)证明因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22). 由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1).由⎩⎨⎧y ＝22x －，y 2＝4x得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1,0)，所以k GA ＝22－02－－＝223，k GB ＝－2－012－－＝－223.所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切. 方法二 (1)解同方法一.(2)证明设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r . 因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22). 由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1). 由⎩⎨⎧y ＝22x －，y 2＝4x得2x 2－5x ＋2＝0.解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 又G (－1,0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0. 从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217.又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0. 所以点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r .这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切.B 组专项能力提升 (时间：30分钟)11.(2015·四川改编)设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是__________. 答案 (2,4) 解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，当l 的斜率不存在时，符合条件的直线l 必有两条；当直线l 的斜率k 存在时，如图x 1≠x 2，则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2，即y 0·k ＝2，由CM ⊥AB 得，k ·y 0－0x 0－5＝－1，y 0·k ＝5－x 0,2＝5－x 0，x 0＝3，即M 必在直线x ＝3上，将x ＝3代入y 2＝4x ，得y 2＝12，∴－23＜y 0＜23，∵点M 在圆上， ∴(x 0－5)2＋y 20＝r 2，r 2＝y 20＋4＜12＋4＝16，又y 20＋4＞4，∴4＜r 2＜16，∴2＜r ＜4.12.已知抛物线y 2＝x ，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是________. 答案 3 解析如图，设A (m 2，m )，B (n 2，n )，点C 为直线AB 与x 轴的交点.其中m >0，n <0，则OA →＝(m 2，m )，OB →＝(n 2，n )，OA →·OB→＝m 2n 2＋mn ＝2，解得mn ＝1(舍)或mn ＝－2. ∴l AB ：(m 2－n 2)(y －n )＝(m －n )·(x －n 2)，即(m ＋n )(y －n )＝x －n 2，令y ＝0，解得x ＝－mn ＝2，∴C (2,0).S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝12×2×m ＋12×2×(－n )＝m －n ，S △AOF ＝12×14×m ＝18m ，则S △AOB ＋S △AOF ＝m －n ＋18m ＝98m －n ＝98m ＋2m≥298m ·2m ＝3，当且仅当98m ＝2m ，即m ＝43时等号成立.故△ABO 与△AFO 面积之和的最小值为3.13.抛物线C ：x 2＝8y 与直线y ＝2x －2相交于A ，B 两点，点P 是抛物线C 上异于A ，B 的一点，若直线PA ，PB 分别与直线y ＝2相交于点Q ，R ，O 为坐标原点，则OR →·OQ →＝________. 答案 20解析设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 218，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 228，P ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，x 208，Q (x 3,2)，R (x 4,2).将y ＝2x －2代入x 2＝8y 得x2－16x ＋16＝0，则x 1＋x 2＝x 1x 2＝16.直线PA 的方程为y －x 208＝x 208－x 218x 0－x 1(x －x 0)，即y －x 208＝x 0＋x 18·(x －x 0).令y ＝2，解得x 3＝x 1x 0＋16x 1＋x 0；同理可得x 4＝x 2x 0＋16x 2＋x 0.所以x 3x 4＝x 1x 0＋16x 1＋x 0×x 2x 0＋16x 2＋x 0＝x 2x 1x 20＋16x 0x 1＋x 2＋162x 2x 1＋16x 0＋x 2＝x 2x 1＋16x 0＋x 20x 2x 1＋16x 0＋x 2＝16，所以OR →·OQ →＝x3x 4＋4＝20. 14.(2014·江西)如图，已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点M (0,2)任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点). (1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)，与直线y ＝2相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2，证明：MN 22－MN 21为定值，并求此定值.(1)证明依题意可设AB 方程为y ＝kx ＋2，代入x 2＝4y ，得x 2＝4(kx ＋2)，即x 2－4kx －8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1x 2＝－8.直线AO 的方程为y ＝y 1x 1x ； BD 的方程为x ＝x 2.解得交点D 的坐标为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 2，y ＝y 1x 2x 1，注意到x 1x 2＝－8及x 21＝4y 1，则有y ＝y 1x 1x 2x 1＝－8y 14y 1＝－2. 因此D 点在定直线y ＝－2上(x ≠0).(2)解依题设，切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的方程为y ＝ax ＋b (a ≠0)，代入x 2＝4y 得x 2＝4(ax ＋b )，即x 2－4ax －4b ＝0.由Δ＝0得(－4a )2＋16b ＝0，化简整理得b ＝－a 2.故切线l 的方程可写为y ＝ax －a 2.分别令y ＝2，y ＝－2得N 1，N 2的坐标为 N 1(2a ＋a,2)，N 2(－2a＋a ，－2)，则MN 22－MN 21＝(2a －a )2＋42－(2a＋a )2＝8，即MN 22－MN 21为定值8. 15.如图，已知抛物线C 的顶点为O (0,0)，焦点为F (0,1).(1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点.若直线AO ，BO 分别交直线l ：y ＝x －2于M ，N 两点，求MN 的最小值.解 (1)由题意可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，则p 2＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋1. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，x 2＝4y 消去y ，整理得x 2－4kx －4＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 从而|x 1－x 2|＝4k 2＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1x 1x ，y ＝x －2，解得点M 的横坐标x M ＝2x 1x 1－y 1＝2x 1x 1－x 214＝84－x 1.同理，点N 的横坐标x N ＝84－x 2.所以MN ＝2|x M －x N |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪84－x 1－84－x 2＝82⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－x 2x 1x 2－x 1＋x 2＋16＝82k 2＋1|4k －3|，令4k －3＝t ，t ≠0，则k ＝t ＋34.当t >0时，MN ＝2 2 25t 2＋6t ＋1>2 2.当t <0时，MN ＝2 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫5t ＋352＋1625≥85 2.综上所述，当t ＝－253，即k ＝－43时，MN 的最小值是85 2.。

2019届高考数学一轮复习第九章平面解析几何 9-8 抛物线课件文

[小题速练] 1．(2016·四川卷)抛物线 y2＝4x 的焦点坐标是( ) A．(0,2) B．(0,1) C．(2,0) D．(1,0)
[解析] 因为抛物线 y2＝2px 的焦点为p2，0，所以抛物线 y2 ＝4x 的焦点为(1,0)．故选 D.
[答案] D
2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为 x＝－2，则抛物线的方程是( )
2．抛物线的标准方程与几何性质
[温馨提示] (1)关于标准方程的 3 点说明 ①只有顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线有标准方程；②p 是抛物线的焦点到准线的距离，所以 p>0；③标准方程的左边为 y(或 x)的平方，而右边则为 x(或 y)的一次项；对称轴看一次项，符号决定开口方向．即一次项变量为 x(y)则焦点在 x 轴 (y 轴)上；系数为正(负)，则焦点在正(负)半轴上．
(2)分别过点 A，B 作准线的垂线，分别交准线于点 D，E，准线与 y 轴交点为 G，设|BF|＝a，
则由已知得：|BC|＝2a，由定义得：|BE|＝a，故∠BCE＝30°，在直角三角形 ACD 中， ∵|AF|＝2，∴|AD|＝2，∴|AC|＝4，∴|CF|＝2，
∴|GF|＝1，∴p＝1，故选 A. [答案] (1)D (2)A
第
九
平面解析几何
章
第八节
抛物线(一)
高考概览 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单填记一记厚积薄发
[知识梳理]
1．抛物线的定义平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不过 F)的距离相等
A．y2＝－8x B．y2＝8x C．y2＝－4x D．y2＝4x [解析] 由－p2＝－2，∴p＝4，则方程为 y2＝8x.

高三数学一轮复习课件--平面解析几何

A．45° C．120°
B．60° D．135°
答案：D
(2)(2012·金华模拟)已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l： y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是 ( )
答案：D
直线方程
(2)(2012·东城模拟)若点P(1,1)为圆 (x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为_________．
3．(2012·东北三校联考)已知直线l过点M(2,1)，且分别与 x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点． (1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程； (2)当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．
[典例] (2012·西安模拟)设直线l的方程为(a＋1)x＋ y＋2－a＝0(a∈R)．
)
A．x＋3y－5＝0
B．x＋3y－15＝0
C．x－3y＋5＝0
D．x－3y＋15＝0
答案：B
2．(2012·吴忠调研)若过点P(1－a,1＋a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是________．
答案：(－2,1)
3.已知直线l过点P(3,2)，且与x轴，y 轴的正半轴分别交于A，B两点如图，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．
3．用截距式写方程时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需要分类讨论．
直线的倾斜角与斜率
A．－1 B．－3
C．0
D．2
1．求倾斜角的取值范围的一般步骤： (1)求出斜率k＝tan α的取值范围； (2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围． 2．求倾斜角时要注意斜率是否存在．
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋ By＋m＝0(m∈R且m≠C)；

高考总复习一轮数学精品课件第9章平面解析几何课时规范练73 直线与抛物线

=

2 +1
221 +1-21 2 -221
−
2 +1
由 m1m2=-1,即
当 x=3 时,有

y=
2 +1
=
221 +1
−
2 +1

2 +1
1+2
−
2 +1
=
21 (2 +1 )
+
2 +1
1-21 2
−
,
2 +1
1
(x-3),
2 +1
1
y= + (3-3)=0,此时直线
=
4 3
.
3
综合提升练
6.设经过点F(3,0)的直线与抛物线y2=12x相交于A,B两点,若线段AB中点的
横坐标为9,则|AB|=( B )
A.18
B.24
C.30
D.36
解析因为经过点 F(3,0)的直线与抛物线 y2=12x 相交于 A,B 两点,
所以该直线的斜率不等于 0,所以可设直线方程为 x=ty+3,A(x1,y1),B(x2,y2),
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 4
+ + ,
4
2
2 4 (3 +1 )-1 3 (4 +2 )
有 x=
4(4 +2 -3 -1 )
,由(1)知 y1y2=-4,同理 y3y4=-4,
2 4 (3 +1 )-1 3 (4 &#模拟)写出一条过点A(1,2)且与抛物线C:y2=4x仅有一
个公共点的直线方程: y=2(答案不唯一) .

高考数学第9章平面解析几何第五节抛物线及其性质课件理

焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图. ①y1y2＝－p2，x1x2＝p42. ②|AF|＝x1＋p2，|BF|＝x2＋p2. |AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥2 x1x2＝p，即当 x1＝x2 时，弦长最短为 2p. ③|A1F|＋|B1F|为定值2p.
④弦长 AB＝sin22pα(α 为 AB 的倾斜角).
[方法总结] 弦中点问题的解决方法 (1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意，使用条件Δ＞0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.
(2)用“点差法”求解步骤
离心率 e
e＝1
e＝1
e＝1
e＝1
准线方程
x＝－2p
x＝p2
y＝p2
y＝－2p
焦半径公式
|PF|＝x0＋p2 |PF|＝－x0＋2p
|PF|＝－y0＋2p
|PF|＝y0＋p2
范围
x≥0
x≤0
y≤0
y≥0
►两个易错点：不把抛物线方程标准化；忽略p的符号. (3)[把抛物线方程化成标准方程y2＝mx或x2＝ny的形式再进行相关求解 ] 若抛物线 y ＝ ax2 的准线方程是 y ＝ 2 ，则 a 的值为 ______. 解析由 y＝ax2 得 x2＝1ay，所以－41a＝2，a＝－18. 答案－18
因为 l1⊥l2，所以 l2 的斜率为－1k.设 D(x3，y3)，E(x4，y4)，则同理可得 x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1. 故A→D·E→B＝(A→F＋F→D)·(E→F＋F→B) ＝A→F·E→F＋A→F·F→B＋F→D·E→F＋F→D·F→B ＝|A→F|·|F→B|＋|F→D|·|E→F|＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1) ＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1 ＝1＋2＋k42＋1＋1＋(2＋4k2)＋1

北师大版版高考数学一轮复习第九章平面解析几何抛物线教学案理

一、知识梳理１．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：（１）在平面内．（２）动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等．（３）定点不在定直线上．２．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y２＝２px（p＞0）y２＝—２px（p＞0）x２＝２py（p＞0）x２＝—２py（p＞0）p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O（0，0）对称轴y＝0x＝0焦点F错误!F错误!F错误!F错误!离心率e＝１准线方程x＝—错误!x＝错误!y＝—错误!y＝错误!范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向向右向左向上向下焦半径（其中P （x0，y0））|PF|＝x0＋错误!|PF|＝—x0＋错误!|PF|＝y0＋错误!|PF|＝—y0＋错误!１．抛物线y２＝２px（p＞0）上一点P（x0，y0）到焦点F错误!的距离|PF|＝x0＋错误!，也称为抛物线的焦半径．２．y２＝ax（a≠0）的焦点坐标为错误!，准线方程为x＝—错误!.３．如图，设A（x１，y１），B（x２，y２）．（１）y１y２＝—p２，x１x２＝错误!.（２）|AB|＝x１＋x２＋p＝错误!（θ为AB的倾斜角）．（３）错误!＋错误!为定值错误!.（４）以AB为直径的圆与准线相切．（５）以AF或BF为直径的圆与y轴相切．二、教材衍化１．过点P（—２，３）的抛物线的标准方程是（）Ａ．y２＝—错误!x或x２＝错误!yＢ．y２＝错误!x或x２＝错误!yＣ．y２＝错误!x或x２＝—错误!yＤ．y２＝—错误!x或x２＝—错误!y解析：选Ａ．设抛物线的标准方程为y２＝kx或x２＝my，代入点P（—２，３），解得k＝—错误!，m＝错误!，所以y２＝—错误!x或x２＝错误!y.故选Ａ．２．抛物线y２＝8x上到其焦点F距离为５的点P有（）Ａ．0个Ｂ．１个Ｃ．２个Ｄ．４个解析：选Ｃ．设P（x１，y１），则|PF|＝x１＋２＝５，y错误!＝8x１，所以x１＝３，y１＝±２错误!.故满足条件的点P有两个．故选Ｃ．３．过抛物线y２＝４x的焦点的直线l交抛物线于P（x１，y１），Q（x２，y２）两点，如果x１＋x２＝6，则|PQ|＝________．解析：抛物线y２＝４x的焦点为F（１，0），准线方程为x＝—１．根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x１＋１＋x２＋１＝x１＋x２＋２＝8．答案：8一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．（）（２）若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．（）（３）若一抛物线过点P（—２，３），则其标准方程可写为y２＝２px（p>0）．（）（４）抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．（）答案：（１）×（２）×（３）×（４）×二、易错纠偏错误!错误!（１）忽视抛物线的标准形式；（２）忽视p的几何意义；（３）忽视k＝0的讨论；（４）易忽视焦点的位置出现错误．１．抛物线8x２＋y＝0的焦点坐标为（）Ａ．（0，—２）Ｂ．（0，２）Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｃ．由8x２＋y＝0，得x２＝—错误!y.２p＝错误!，p＝错误!，所以焦点为错误!，故选Ｃ．２．已知抛物线C与双曲线x２—y２＝１有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是（）Ａ．y２＝±２错误!xＢ．y２＝±２xＣ．y２＝±４xＤ．y２＝±４错误!x解析：选D.由已知可知双曲线的焦点为（—错误!，0），（错误!，0）．设抛物线方程为y２＝±２px （p＞0），则错误!＝错误!，所以p＝２错误!，所以抛物线方程为y２＝±４错误!x.故选Ｄ．３．设抛物线y２＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．解析：由已知可得Q（—２，0），当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为y＝k （x＋２），代入抛物线方程，消去y整理得k２x２＋（４k２—8）x＋４k２＝0，当k＝0时，l与抛物线有公共点；当k≠0时，Δ＝6４（１—k２）≥0得—１≤k＜0或0＜k≤１．综上，—１≤k≤１．答案：[—１，１]４．若抛物线的焦点在直线x—２y—４＝0上，则此抛物线的标准方程为________．解析：令x＝0，得y＝—２；令y＝0，得x＝４．所以抛物线的焦点是（４，0）或（0，—２），故所求抛物线的标准方程为y２＝１6x或x２＝—8y.答案：y２＝１6x或x２＝—8y抛物线的定义（典例迁移）设P是抛物线y２＝４x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B（３，２），则|PB|＋|PF|的最小值为________．【解析】如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P１，则|P１Q|＝|P１F|.则有|PB|＋|PF|≥|P１B|＋|P１Q|＝|BQ|＝４．即|PB|＋|PF|的最小值为４．【答案】４【迁移探究１】（变条件）若将本例中“B（３，２）”改为“B（３，４）”，如何求解？解：由题意可知点B（３，４）在抛物线的外部．因为|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，由例题知，F（１，0），所以|PB|＋|PF|≥|BF|＝错误!＝２错误!，即|PB|＋|PF|的最小值为２错误!.【迁移探究２】（变问法）在本例条件下，求点P到点A（—１，１）的距离与点P到直线x＝—１的距离之和的最小值．解：如图，易知抛物线的焦点为F（１，0），准线是x＝—１，由抛物线的定义知点P到直线x＝—１的距离等于点P到F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A（—１，１）的距离与点P到F（１，0）的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点P，此时最小值为错误!＝错误!.【迁移探究３】（变问法）在本例条件下，求点P到直线l１：４x—３y＋6＝0和l２：x＝—１的距离之和的最小值．解：由题可知l２：x＝—１是抛物线y２＝４x的准线，设抛物线的焦点为F（１，0），则动点P到l的距离等于|PF|，故动点P到直线l１和直线l２的距离之和的最小值，即焦点F到直线l１：４x—３y＋6２＝0的距离，所以最小值是错误!＝２．错误!（１）与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．（２）注意灵活运用抛物线上一点P（x，y）到焦点F的距离|PF|＝|x|＋错误!或|PF|＝|y|＋错误!.１．（２0２0·江西萍乡一模）已知动圆C经过点A（２，0），且截y轴所得的弦长为４，则圆心C的轨迹是（）Ａ．圆Ｂ．椭圆Ｃ．双曲线Ｄ．抛物线解析：选Ｄ．设圆心C（x，y），弦为BD，过点C作CE⊥y轴，垂足为E，则|BE|＝２，则有|CA|２＝|BC|２＝|BE|２＋|CE|２，所以（x—２）２＋y２＝２２＋x２，化为y２＝４x，则圆心C的轨迹为抛物线．故选Ｄ．２．（２0２0·成都模拟）已知抛物线C：y２＝２px（p＞0）的焦点为F，准线l：x＝—１，点M在抛物线C上，点M在直线l：x＝—１上的射影为A，且直线AF的斜率为—错误!，则△MAF的面积为（）Ａ．错误!Ｂ．２错误!Ｃ．４错误!Ｄ．8错误!解析：选Ｃ．如图所示，设准线l与x轴交于点N.则|FN|＝２．因为直线AF的斜率为—错误!，所以∠AFN＝60°.所以∠MAF＝60°，|AF|＝４．由抛物线的定义可得|MA|＝|MF|，所以△AMF是边长为４的等边三角形．所以S△AMF＝错误!×４２＝４错误!.故选Ｃ．抛物线的标准方程（师生共研）如图，过抛物线y２＝２px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝２|BF|，且|AF|＝３，则此抛物线的方程为（）Ａ．y２＝9xＢ．y２＝6xＣ．y２＝３xＤ．y２＝错误!x【解析】如图，过点A，B分别作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝２a，由抛物线定义得|BD|＝a，故∠BCD＝３0°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝３，|AC|＝３＋３a，２|AE|＝|AC|，所以３＋３a＝6，从而得a＝１，|FC|＝３a＝３，所以p＝|FG|＝错误!|FC|＝错误!，因此抛物线的方程为y２＝３x，故选Ｃ．【答案】C错误!求抛物线的标准方程应注意以下几点（１）当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线的标准方程属于四种类型中的哪一种．（２）要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系．（３）要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．１．（２0２0·重庆调研）已知抛物线y２＝２px（p＞0），点C（—４，0），过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线，与抛物线交于A，B两点，若△CAB的面积为２４，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是（）Ａ．y２＝４xＢ．y２＝—４xＣ．y２＝8xＤ．y２＝—8x解析：选Ｄ．因为AB⊥x轴，且AB过点F，所以AB是焦点弦，且|AB|＝２p，所以S△CAB＝错误!×２p×错误!＝２４，解得p＝４或—１２（舍），所以抛物线方程为y２＝8x，所以直线AB的方程为x＝２，所以以直线AB为准线的抛物线的标准方程为y２＝—8x.故选Ｄ．２．已知双曲线C１：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的离心率为２，若抛物线C２：x２＝２py（p ＞0）的焦点到双曲线C１的渐近线的距离为２，则抛物线C２的方程是（）Ａ．x２＝１6yＢ．x２＝8yＣ．x２＝错误!yＤ．x２＝错误!y解析：选Ａ．因为双曲线C１：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的离心率为２，所以错误!＝２．因为双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，抛物线C２：x２＝２py（p＞0）的焦点错误!到双曲线的渐近线的距离为２，所以错误!＝错误!·错误!＝错误!＝２，解得p＝8，所以抛物线C２的方程是x２＝１6y.抛物线的性质（师生共研）已知抛物线y２＝２px（p>0）的焦点为F，A（x１，y１），B（x２，y２）是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：（１）y１y２＝—p２，x１x２＝错误!；（２）错误!＋错误!为定值；（３）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．【证明】（１）由已知得抛物线焦点坐标为F（错误!，0）．由题意可设直线方程为x＝my＋错误!，代入y２＝２px，得y２＝２p错误!，即y２—２pmy—p２＝0．（*）则y１，y２是方程（*）的两个实数根，所以y１y２＝—p２.因为y错误!＝２px１，y错误!＝２px２，所以y错误!y错误!＝４p２x１x２，所以x１x２＝错误!＝错误!＝错误!.（２）错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!.因为x１x２＝错误!，x１＋x２＝|AB|—p，|AB|＝x１＋x２＋p，代入上式，得错误!＋错误!＝错误!＝错误!（定值）．（３）设AB的中点为M（x0，y0），如图，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|＝错误!（|AC|＋|BD|）＝错误!（|AF|＋|BF|）＝错误!|AB|.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．错误!抛物线几何性质的应用技巧（１）涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．（２）与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标还是由交点纵坐标定，是p与交点横（纵）坐标的和还是与交点横（纵）坐标的差，这是正确解题的关键．１．（２0２0·河南郑州二模）已知抛物线C：y２＝２x，过原点作两条互相垂直的直线分别交C于A，B两点（A，B均不与坐标原点重合），则抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为（）Ａ．２Ｂ．３Ｃ．错误!Ｄ．４解析：选Ｃ．设直线AB的方程为x＝my＋t，A（x１，y１），B（x２，y２）．由错误!⇒y２—２my—２t＝0⇒y１y２＝—２t，由OA⊥OB⇒x１x２＋y１y２＝错误!＋y１y２＝0⇒y１y２＝—４，所以t＝２，即直线AB过定点（２，0）．所以抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为２—错误!＝错误!.故选Ｃ．２．（２0２0·洛阳模拟）已知F是抛物线C１：y２＝２px（p＞0）的焦点，曲线C２是以F为圆心，错误!为半径的圆，直线４x—３y—２p＝0与曲线C１，C２从上到下依次相交于点A，B，C，D，则错误!＝（）Ａ．１6 Ｂ．４Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．因为直线４x—３y—２p＝0过C１的焦点F（C２的圆心），故|BF|＝|CF|＝错误!，所以错误!＝错误!.由抛物线的定义得|AF|—错误!＝x A，|DF|—错误!＝x D.由错误!整理得8x２—１7px＋２p２＝0，即（8x—p）（x—２p）＝0，可得x A＝２p，x D＝错误!，故错误!＝错误!＝错误!＝１6．故选Ａ．直线与抛物线的位置关系（师生共研）（２0１9·高考全国卷Ⅰ）已知抛物线C：y２＝３x的焦点为F，斜率为错误!的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.（１）若|AF|＋|BF|＝４，求l的方程；（２）若错误!＝３错误!，求|AB|.【解】设直线l：y＝错误!x＋t，A（x１，y１），B（x２，y２）．（１）由题设得F错误!，故|AF|＋|BF|＝x１＋x２＋错误!，由题设可得x１＋x２＝错误!.由错误!可得9x２＋１２（t—１）x＋４t２＝0，则x１＋x２＝—错误!.从而—错误!＝错误!，得t＝—错误!.所以l的方程为y＝错误!x—错误!.（２）由错误!＝３错误!可得y１＝—３y２.由错误!可得y２—２y＋２t＝0．所以y１＋y２＝２．从而—３y２＋y２＝２，故y２＝—１，y１＝３．代入C的方程得x１＝３，x２＝错误!.故|AB|＝错误!.错误!解决直线与抛物线位置关系问题的方法（１）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．（２）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝|x１|＋|x２|＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．（３）涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．[提醒] 涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．１．（２0２0·河南郑州二模）已知抛物线C：y２＝４x的焦点为F，直线l过焦点F与抛物线C分别交于A，B两点，且直线l不与x轴垂直，线段AB的垂直平分线与x轴交于点T（５，0），则S△AOB＝（）Ａ．２错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．３错误!解析：选Ａ．如图所示，F（１，0）．设直线l的方程为y＝k（x—１）（k≠0），A（x１，y１），B（x，y２），线段AB的中点E（x0，y0）．２则线段AB的垂直平分线的方程为y＝—错误!（x—５）．联立错误!化为ky２—４y—４k＝0，所以y１＋y２＝错误!，y１y２＝—４，所以y0＝错误!（y１＋y２）＝错误!，x0＝错误!＋１＝错误!＋１，把E错误!代入线段AB的垂直平分线的方程y＝—错误!（x—５），可得错误!＝—错误!·错误!，解得k２＝１．S△OAB＝错误!×１×|y１—y２|＝错误!错误!＝错误!错误!＝２错误!.故选Ａ．２．设A，B为曲线C：y＝错误!上两点，A与B的横坐标之和为２．（１）求直线AB的斜率；（２）设M为曲线C上一点，曲线C在点M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB 的方程．解：（１）设A（x１，y１），B（x２，y２），则x１≠x２，y１＝错误!，y２＝错误!，x１＋x２＝２，故直线AB的斜率k＝错误!＝错误!＝１．（２）由y＝错误!，得y′＝x.设M（x３，y３），由题设知x３＝１，于是M错误!.设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为N（１，１＋m），|MN|＝错误!.将y＝x＋m代入y＝错误!，得x２—２x—２m＝0．由Δ＝４＋8m＞0，得m＞—错误!，x１，２＝１±错误!.从而|AB|＝错误!|x１—x２|＝２错误!.由题设知|AB|＝２|MN|，即错误!＝错误!，解得m＝错误!或m＝—２（舍）．所以直线AB的方程为y＝x＋错误!.解析几何中的“设而不求”“设而不求”是简化运算的一种重要手段，它的精彩在于设而不求，化繁为简．解题过程中，巧妙设点，避免解方程组，常见类型有：（１）灵活应用“点、线的几何性质”解题；（２）根据题意，整体消参或整体代入等．类型一巧妙运用抛物线定义得出与根与系数关系的联系，从而设而不求在平面直角坐标系xOy中，双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的右支与焦点为F的抛物线x２＝２py（p>0）交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝４|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．【解析】设A（x１，y１），B（x２，y２），由抛物线的定义可知|AF|＝y１＋错误!，|BF|＝y２＋错误!，|OF|＝错误!，由|AF|＋|BF|＝y１＋错误!＋y２＋错误!＝y１＋y２＋p＝４|OF|＝２p，得y１＋y２＝p.k AB＝错误!＝错误!＝错误!.由错误!得k AB＝错误!＝错误!＝错误!·错误!，则错误!·错误!＝错误!，所以错误!＝错误!⇒错误!＝错误!，所以双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x.【答案】y＝±错误!x类型二中点弦或对称问题，可以利用“点差法”，“点差法”实质上是“设而不求”的一种方法△ABC的三个顶点都在抛物线E：y２＝２x上，其中A（２，２），△ABC的重心G是抛物线E 的焦点，则BC边所在直线的方程为________．【解析】设B（x１，y１），C（x２，y２），边BC的中点为M（x0，y0），易知G错误!，则错误!从而错误!即M错误!，又y错误!＝２x１，y错误!＝２x２，两式相减得（y１＋y２）（y１—y２）＝２（x１—x２），则直线BC 的斜率k BC＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝—１，故直线BC的方程为y—（—１）＝—错误!，即４x ＋４y＋５＝0．【答案】４x＋４y＋５＝0类型三中点弦或对称问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ>0已知双曲线x２—错误!＝１，过点P（１，１）能否作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？【解】假设存在直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点．设A（x１，y１），B（x２，y２），易知x１≠x２，由错误!两式相减得（x１＋x２）（x１—x２）—错误!＝0，又错误!＝１，错误!＝１，所以２（x１—x２）—（y１—y２）＝0，所以k AB＝错误!＝２，故直线l的方程为y—１＝２（x—１），即y＝２x—１．由错误!消去y得２x２—４x＋３＝0，因为Δ＝１6—２４＝—8<0，方程无解，故不存在一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点．类型四求解直线与圆锥曲线的相关问题时，若两条直线互相垂直或两直线斜率有明确等量关系，可用“替代法”，“替代法”的实质是设而不求已知F为抛物线C：y２＝２x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l１，l２，直线l１与C交于A，B两点，直线l２与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为________．【解析】法一：由题意知，直线l１，l２的斜率都存在且不为0，F错误!，设l１：x＝ty＋错误!，则直线l１的斜率为错误!，联立方程得错误!消去x得y２—２ty—１＝0．设A（x１，y１），B（x２，y２），则y１＋y２＝２t，y１y２＝—１．所以|AB|＝错误!|y１—y２|＝错误!·错误!＝错误!错误!＝２t２＋２，同理得，用—错误!替换t可得|DE|＝错误!＋２，所以|AB|＋|DE|＝２错误!＋４≥４＋４＝8，当且仅当t２＝错误!，即t＝±１时等号成立，故|AB|＋|DE|的最小值为8．法二：由题意知，直线l１，l２的斜率都存在且不为0，F错误!，不妨设l１的斜率为k，则l１：y＝k错误!，l２：y＝—错误!错误!.由错误!消去y得k２x２—（k２＋２）x＋错误!＝0，设A（x１，y１），B（x２，y２），则x１＋x２＝１＋错误!.由抛物线的定义知，|AB|＝x１＋x２＋１＝１＋错误!＋１＝２＋错误!.同理可得，用—错误!替换|AB|中k，可得|DE|＝２＋２k２，所以|AB|＋|DE|＝２＋错误!＋２＋２k２＝４＋错误!＋２k２≥４＋４＝8，当且仅当错误!＝２k２，即k＝±１时等号成立，故|AB|＋|DE|的最小值为8．【答案】8[基础题组练]１．（２0１9·高考全国卷Ⅱ）若抛物线y２＝２px（p>0）的焦点是椭圆错误!＋错误!＝１的一个焦点，则p＝（）Ａ．２Ｂ．３Ｃ．４Ｄ．8解析：选Ｄ．由题意，知抛物线的焦点坐标为错误!，椭圆的焦点坐标为（±错误!，0），所以错误!＝错误!，解得p＝8，故选Ｄ．２．（２0２0·河北衡水三模）设F为抛物线y２＝４x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若A，B，C三点坐标分别为（１，２），（x１，y１），（x２，y２），且|错误!|＋|错误!|＋|错误!|＝１0，则x１＋x２＝（）Ａ．6 Ｂ．５Ｃ．４Ｄ．３解析：选Ａ．根据抛物线的定义，知|错误!|，|错误!|，|错误!|分别等于点A，B，C到准线x＝—１的距离，所以由|错误!|＋|错误!|＋|错误!|＝１0，可得２＋x１＋１＋x２＋１＝１0，即x１＋x２＝6．故选Ａ．３．（２0２0·河北邯郸一模）位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为５m，跨径为１２m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为（）Ａ．错误!m Ｂ．错误!mＣ．错误!m Ｄ．错误!m解析：选Ｄ．建立如图所示的平面直角坐标系．设抛物线的解析式为x２＝—２py，p＞0，因为抛物线过点（6，—５），所以３6＝１0p，可得p＝错误!，所以桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为错误!m．故选Ｄ．４．（２0２0·河南安阳三模）已知抛物线C：y２＝２px（p＞0）的焦点为F，准线为l，l与x轴的交点为P，点A在抛物线C上，过点A作AA′⊥l，垂足为A′.若四边形AA′PF的面积为１４，且cos∠FAA′＝错误!，则抛物线C的方程为（）Ａ．y２＝xＢ．y２＝２xＣ．y２＝４xＤ．y２＝8x解析：选Ｃ．过点F作FF′⊥AA′，垂足为F′.设|AF′|＝３x，因为cos∠FAA′＝错误!，故|AF|＝５x，则|FF′|＝４x，由抛物线定义可知，|AF|＝|AA′|＝５x，则|A′F′|＝２x＝p，故x＝错误!.四边形AA′PF的面积S＝错误!＝错误!＝１４，解得p＝２，故抛物线C的方程为y２＝４x.５．已知直线y＝k（x＋２）（k＞0）与抛物线C：y２＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝２|FB|，则k＝（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｄ．设抛物线C：y２＝8x的准线为l，易知l：x＝—２，直线y＝k（x＋２）恒过定点P（—２，0），如图，过A，B分别作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N，由|FA|＝２|FB|，知|AM|＝２|BN|，所以点B为线段AP的中点，连接OB，则|OB|＝错误!|AF|，所以|OB|＝|BF|，所以点B的横坐标为１，因为k＞0，所以点B的坐标为（１，２错误!），所以k＝错误!＝错误!.故选Ｄ．6．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝４错误!，|DE|＝２错误!，则C的焦点到准线的距离为________．解析：由题意，不妨设抛物线方程为y２＝２px（p＞0），由|AB|＝４错误!，|DE|＝２错误!，可取A错误!，D错误!，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得错误!＋8＝错误!＋５，得p＝４．答案：４7．过抛物线C：y２＝２px（p＞0）的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若|MN|＝|AB|，则l的斜率为________．解析：设抛物线的准线为m，分别过点A，N，B作AA′⊥m，NN′⊥m，BB′⊥m，垂足分别为A′，N′，B′.因为直线l过抛物线的焦点，所以|BB′|＝|BF|，|AA′|＝|AF|.又N是线段AB的中点，|MN|＝|AB|，所以|NN′|＝错误!（|BB′|＋|AA′|）＝错误!（|BF|＋|AF|）＝错误! |AB|＝错误!|MN|，所以∠MNN′＝60°，则直线MN的倾斜角为１２0°.又MN⊥l，所以直线l的倾斜角为３0°，斜率是错误!.答案：错误!8．（一题多解）已知点M（—１，１）和抛物线C：y２＝４x，过C的焦点且斜率为k的直线与C 交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________．解析：法一：由题意知抛物线的焦点为（１，0），则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y＝k（x—１）（k≠0），由错误!消去y得k２（x—１）２＝４x，即k２x２—（２k２＋４）x＋k２＝0，设A（x１，y），B（x２，y２），则x１＋x２＝错误!，x１x２＝１．由错误!消去x得y２＝４错误!，即y２—错误!y—４１＝0，则y１＋y２＝错误!，y１y２＝—４，由∠AMB＝90°，得错误!·错误!＝（x１＋１，y１—１）·（x２＋１，y２—１）＝x１x２＋x１＋x２＋１＋y１y２—（y１＋y２）＋１＝0，将x１＋x２＝错误!，x１x２＝１与y＋y２＝错误!，y１y２＝—４代入，得k＝２．１法二：设抛物线的焦点为F，A（x１，y１），B（x２，y２），则错误!所以y错误!—y错误!＝４（x１—x），则k＝错误!＝错误!，取AB的中点M′（x0，y0），分别过点A，B作准线x＝—１的垂线，垂足分别２为A′，B′，又∠AMB＝90°，点M在准线x＝—１上，所以|MM′|＝错误!|AB|＝错误!（|AF|＋|BF|）＝错误!（|AA′|＋|BB′|）．又M′为AB的中点，所以MM′平行于x轴，且y0＝１，所以y１＋y２＝２，所以k＝２．答案：２9．已知过抛物线y２＝２px（p>0）的焦点，斜率为２错误!的直线交抛物线于A（x１，y１），B（x，y２）（x１<x２）两点，且|AB|＝9．２（１）求该抛物线的方程；（２）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若错误!＝错误!＋λ错误!，求λ的值．解：（１）由题意得直线AB的方程为y＝２错误!·错误!，与y２＝２px联立，消去y有４x２—５px＋p２＝0，所以x１＋x２＝错误!.由抛物线定义得|AB|＝x１＋x２＋p＝错误!＋p＝9，所以p＝４，从而该抛物线的方程为y２＝8x.（２）由（１）得４x２—５px＋p２＝0，即x２—５x＋４＝0，则x１＝１，x２＝４，于是y１＝—２错误!，y２＝４错误!，从而A（１，—２错误!），B（４，４错误!），设C（x３，y３），则错误!＝（x３，y３）＝（１，—２错误!）＋λ（４，４错误!）＝（４λ＋１，４错误!λ—２错误!）．又y错误!＝8x３，所以[２错误!（２λ—１）]２＝8（４λ＋１），整理得（２λ—１）２＝４λ＋１，解得λ＝0或λ＝２．１0．（２0２0·河北衡水二模）已知抛物线C：x２＝２py（p＞0）的焦点为F，点M（２，m）（m ＞0）在抛物线上，且|MF|＝２．（１）求抛物线C的方程；（２）若点P（x0，y0）为抛物线上任意一点，过该点的切线为l0，证明：过点F作切线l0的垂线，垂足必在x轴上．解：（１）由抛物线的定义可知，|MF|＝m＋错误!＝２，１又M（２，m）在抛物线上，所以２pm＝４，２由１２解得p＝２，m＝１，所以抛物线C的方程为x２＝４y.（２）证明：１当x0＝0，即点P为原点时，显然符合；２x0≠0，即点P不在原点时，由（１）得，x２＝４y，则y′＝错误!x，所以抛物线在点P处的切线的斜率为错误!x0，所以抛物线在点P处的切线l0的方程为y—y0＝错误!x0（x—x0），又x错误!＝４y0，所以y—y0＝错误!x0（x—x0）可化为y＝错误!x0x—y0.又过点F且与切线l0垂直的方程为y—１＝—错误!x.联立方程得错误!消去x，得y＝—错误!（y—１）x错误!—y0.（*）因为x错误!＝４y0，所以（*）可化为y＝—yy0，即（y0＋１）y＝0，由y0＞0，可知y＝0，即垂足必在x轴上．综上，过点F作切线l0的垂线，垂足必在x轴上．[综合题组练]１．（２0２0·陕西西安一模）已知F为抛物线C：y２＝6x的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B 两点，且|AF|＝３|BF|，则|AB|＝（）Ａ．6 Ｂ．8Ｃ．１0 Ｄ．１２解析：选Ｂ．抛物线y２＝6x的焦点坐标为错误!，准线方程为x＝—错误!，设A（x１，y１），B（x２，y２），因为|AF|＝３|BF|，所以x１＋错误!＝３错误!，所以x１＝３x２＋３，因为|y１|＝３|y２|，所以x１＝9x２，所以x１＝错误!，x２＝错误!，所以|AB|＝错误!＋错误!＝8．故选Ｂ．２．过抛物线y２＝４x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝３，则△AOB的面积为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．２错误!解析：选Ｃ．由题意设A（x１，y１），B（x２，y２）（y１>0，y２<0），如图所示，|AF|＝x１＋１＝３，所以x１＝２，y１＝２错误!.设AB的方程为x—１＝ty，由错误!消去x得y２—４ty—４＝0．所以y１y２＝—４，所以y２＝—错误!，x２＝错误!，所以S△AOB＝错误!×１×|y１—y２|＝错误!，故选Ｃ．３．（２0２0·江西九江二模）已知抛物线C：x２＝４y的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，连接AF并延长交抛物线C于点D，若AB中点的纵坐标为|AB|—１，则当∠AFB最大时，|AD|＝（）Ａ．４Ｂ．8Ｃ．１6 Ｄ．错误!解析：选Ｃ．设A（x１，y１），B（x２，y２），D（x３，y３），由抛物线定义得y１＋y２＋２＝|AF|＋|BF|，因为错误!＝|AB|—１，所以|AF|＋|BF|＝２|AB|，所以cos∠AFB＝错误!＝错误!≥错误!＝错误!，当且仅当|AF|＝|BF|时取等号．所以当∠AFB最大时，△AFB为等边三角形，联立错误!消去y得，x２—４错误!x—４＝0，所以x１＋x３＝４错误!，所以y１＋y３＝错误!（x１＋x３）＋２＝１４．所以|AD|＝１6．故选Ｃ．４．已知直线y＝a交抛物线y＝x２于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则实数a的取值范围为________．解析：如图，设C（x0，x错误!）（x错误!≠a），A（—错误!，a），B（错误!，a），则错误!＝（—错误!—x0，a—x错误!），错误!＝（错误!—x0，a—x错误!）．因为CA⊥CB，所以错误!·错误!＝0，即—（a—x错误!）＋（a—x错误!）２＝0，（a—x错误!）（—１＋a—x错误!）＝0，所以x错误!＝a—１≥0，所以a≥１．答案：[１，＋∞）５．已知抛物线的方程为x２＝２py（p>0），其焦点为F，点O为坐标原点，过焦点F作斜率为k（k≠0）的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M.（１）求错误!·错误!；（２）设直线MF与抛物线交于C，D两点，且四边形ACBD的面积为错误!p２，求直线AB的斜率k.解：（１）设直线AB的方程为y＝kx＋错误!，A（x１，y１），B（x２，y２），由错误!得x２—２pkx—p２＝0，则错误!所以y１·y２＝错误!，所以错误!·错误!＝x１·x２＋y１·y２＝—错误!p２.（２）由x２＝２py，知y′＝错误!，所以抛物线在A，B两点处的切线的斜率分别为错误!，错误!，所以直线AM的方程为y—y１＝错误!（x—x１），直线BM的方程为y—y２＝错误!（x—x２），则可得M错误!.所以k MF＝—错误!，所以直线MF与AB相互垂直．由弦长公式知，|AB|＝错误!|x１—x２|＝错误!·错误!＝２p（k２＋１），用—错误!代替k得，|CD|＝２p错误!，四边形ACBD的面积S＝错误!·|AB|·|CD|＝２p２错误!＝错误!p２，解得k２＝３或k２＝错误!，即k＝±错误!或k＝±错误!.6．已知抛物线C：x２＝２py（p＞0）和定点M（0，１），设过点M的动直线交抛物线C于A，B 两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.（１）若N在以AB为直径的圆上，求p的值；（２）若△ABN的面积的最小值为４，求抛物线C的方程．解：设直线AB：y＝kx＋１，A（x１，y１），B（x２，y２），将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x２—２pkx—２p＝0，则x１＋x２＝２pk，x１x２＝—２p.１（１）由x２＝２py得y′＝错误!，则A，B处的切线斜率的乘积为错误!＝—错误!，因为点N在以AB为直径的圆上，所以AN⊥BN，所以—错误!＝—１，所以p＝２．（２）易得直线AN：y—y１＝错误!（x—x１），直线BN：y—y２＝错误!（x—x２），联立，得错误!结合１式，解得错误!即N（pk，—１）．|AB|＝错误!|x２—x１|＝错误!错误!＝错误!错误!，点N到直线AB的距离d＝错误!＝错误!，则△ABN的面积S△ABN＝错误!·|AB|·d＝错误!≥２错误!，当k＝0时，取等号，因为△ABN的面积的最小值为４，所以２错误!＝４，所以p＝２，故抛物线C的方程为x２＝４y.。