高三数学一轮复习 第九篇 平面解析几何 第5节 抛物线课件 理
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11 2
则 d1+d2 的最小值为 5 2 -1.故选 D. 2
答案: (1)D
(2)(2015 忻州联考)已知 P 为抛物线 y2=4x 上一个动点,Q 为圆 x2+(y-4)2=1 上
知识梳理
1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离 相等 的点的轨迹 叫做抛物线.点F叫做抛物线的 焦点 ,直线l叫做抛物线的 准线 .
2.抛物线的标准方程及其简单几何性质
标准 方程
y2=2px (p>0)
y2=-2px (p>0)
x2=2py (p>0)
x2=-2py (p>0)
|EG|= | AC | | BD | = | AF | | FB | = | AB | =5,
2
2
2
|EH|=|EG|-1=4.则 AB 的中点到 y 轴的距离等于 4.故选 D.
(2)已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,抛物线 y2=4x 上一动点 P 到直线 l1 和 直线 l2 的距离之和的最小值是( )
所以点 C 的横坐标是 x1 x2 = 3 . 22
4.(2015 广州模拟)设抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 A(0,2),若线段 FA 的
中点 B 在抛物线上,则 B 到该抛物线准线的距离为
.
解析:依题意知 F 坐标为( p ,0),所以 B 的坐标为( p ,1),代入抛物线方程得
(1)x1x2= p2 ,y1y2=-p2. 4
(2)弦长|AB|=x1+x2+p=
2 sin
p
2
(α为弦 AB 的倾斜角).
(3)以弦AB为直径的圆与准线相切. (4)通径:过焦点垂直于对称轴的弦,长等于2p.
夯基自测
1.若点 P 到直线 x=-1 的距离比它到点(2,0)的距离小 1,则点 P 的轨迹为( D )
所以准线方程为 y=- p =-1. 2
3.(2015 辽宁五校联考)已知 AB 是抛物线 y2=2x 的一条焦点弦,|AB|=4,则 AB 中点 C 的横坐标是( C )
(A)2
(B) 1 2
(C) 3 2
(D) 5 2
解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|=x1+x2+p=4, 又 p=1,所以 x1+x2=3,
(A) 5 2 +2 2
(B) 5 2 +1 (C) 5 2 -2 (D) 5 2 -1
2
2
2
解析:(1)如图,点 P 到准线的距离等于点 P 到焦点 F 的距离,从而 P 到 y 轴的距离等于点 P 到焦点 F 的距离减 1,过焦点 F 作直线 x-y+4=0 的垂线,此时 d1+d2=|PF|+d2-1 最小. 因为 F(0,1),则|PF|+d2= |1 0 4 | = 5 2 ,
而抛物线的焦点为( p ,0), 2
所以 p =2, 2
所以抛物线的准线方程为 x=- p =-2. 2
答案:x=-2
考点专项突破 在讲练中理解知识
考点一 抛物线的定义及其应用
【例 1】 (1)(2016 淄博模拟)过抛物线 y2=4x 焦点的直线交抛物线于 A,B 两点,
若|AB|=10,则 AB 的中点到 y 轴的距离等于( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:(1)抛物线 y2=4x 焦点为(1,0), 准线为 l:x=-1. 设 AB 的中点为 E,过 A,E,B 分别作准线的垂线,垂足分别为 C,G,D.EG 交 y 轴于点 H.(如图所示) 则由 EG 为直角梯形 ACDB 的中位线知
(A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线
解析:依题意,点P到直线x=-2的距离等于它到点(2,0)的距离,故点P的 轨迹是抛物线.
2.抛物线 y= 1 x2 的准线方程是( A ) 4
(A)y=-1 (B)y=-2 (C)x=-1 (D)x=-2
解析:由 y= 1 x2 得 x2=4y,2p=4,所以 p=2, 4
2
4
p2 =1,解得 p= 2 , 2
所以抛物线准线方程为 x=- 2 , 2
所以点 B 到抛物线准线的距离为 2 + 2 = 3 2 . 4 24
答案: 3 2 4
5.若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 x2 + y 2 =1 的右焦点重合,则该抛物线的准 95
线方程为
.
解析:由题意得,椭圆的右焦点为(2,0),
第5节 抛物线
最新考纲 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何 性质(范围、对称性、顶点、离心率).
2.理解数形结合 的思想. 3.了解抛物线的 简单应用.
知识链条完善 考点专项突破 解题规范夯实
知识链条完善 把散落的知识连起来
【教材导读】 1.若抛物线定义中定点F在定直线l上时,动点的轨迹是什么图形? 提示:当定点F在定直线l上时,动点的轨迹是过点F且与直线l垂直的 直线. 2.抛物线的标准方程中p的几何意义是什么? 提示:p的几何意义是焦点到准线的距离.
(A)2 (B)3 (C) 11 (D) 37
5ห้องสมุดไป่ตู้
16
解析:(2)如图所示,过点 P 作 PM⊥l1,PN⊥l2,过抛物线焦点 F(1,0)作 FQ
⊥l1 于 Q.由抛物线定义知|PN|=|PF|.显然点 F,P,Q 三点共线时,动点 P
到直线 l1 和直线 l2 的距离之和最小,最小值为 4 6 =2,故选 A. 5
反思归纳 利用抛物线的定义可解决的常见问题 (1)轨迹问题:用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨 迹是否为抛物线. (2)距离问题:涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时,注 意在解题中利用两者之间的关系相互转化.
【即时训练】 (1)(2016 玉溪模拟)已知抛物线方程为 y2=4x,直线 l 的方程为 x-y+4=0,在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d1,P 到直线 l 的距离为 d2, 则 d1+d2 的最小值是( )
图形
顶点 对称轴
焦点
离心率 准线 方程
F ( p ,0) 2
x轴 F ( p ,0) 2
x p 2
x p 2
(0,0)
F (0, p ) 2
e=1 y p 2
y轴 F (0, p ) 2
y p 2
【重要结论】 抛物线焦点弦的几个常用结论 设 AB 是过抛物线 y2=2px(p>0)焦点 F 的弦,若 A(x1,y1),B(x2,y2),则
则 d1+d2 的最小值为 5 2 -1.故选 D. 2
答案: (1)D
(2)(2015 忻州联考)已知 P 为抛物线 y2=4x 上一个动点,Q 为圆 x2+(y-4)2=1 上
知识梳理
1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离 相等 的点的轨迹 叫做抛物线.点F叫做抛物线的 焦点 ,直线l叫做抛物线的 准线 .
2.抛物线的标准方程及其简单几何性质
标准 方程
y2=2px (p>0)
y2=-2px (p>0)
x2=2py (p>0)
x2=-2py (p>0)
|EG|= | AC | | BD | = | AF | | FB | = | AB | =5,
2
2
2
|EH|=|EG|-1=4.则 AB 的中点到 y 轴的距离等于 4.故选 D.
(2)已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,抛物线 y2=4x 上一动点 P 到直线 l1 和 直线 l2 的距离之和的最小值是( )
所以点 C 的横坐标是 x1 x2 = 3 . 22
4.(2015 广州模拟)设抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 A(0,2),若线段 FA 的
中点 B 在抛物线上,则 B 到该抛物线准线的距离为
.
解析:依题意知 F 坐标为( p ,0),所以 B 的坐标为( p ,1),代入抛物线方程得
(1)x1x2= p2 ,y1y2=-p2. 4
(2)弦长|AB|=x1+x2+p=
2 sin
p
2
(α为弦 AB 的倾斜角).
(3)以弦AB为直径的圆与准线相切. (4)通径:过焦点垂直于对称轴的弦,长等于2p.
夯基自测
1.若点 P 到直线 x=-1 的距离比它到点(2,0)的距离小 1,则点 P 的轨迹为( D )
所以准线方程为 y=- p =-1. 2
3.(2015 辽宁五校联考)已知 AB 是抛物线 y2=2x 的一条焦点弦,|AB|=4,则 AB 中点 C 的横坐标是( C )
(A)2
(B) 1 2
(C) 3 2
(D) 5 2
解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|=x1+x2+p=4, 又 p=1,所以 x1+x2=3,
(A) 5 2 +2 2
(B) 5 2 +1 (C) 5 2 -2 (D) 5 2 -1
2
2
2
解析:(1)如图,点 P 到准线的距离等于点 P 到焦点 F 的距离,从而 P 到 y 轴的距离等于点 P 到焦点 F 的距离减 1,过焦点 F 作直线 x-y+4=0 的垂线,此时 d1+d2=|PF|+d2-1 最小. 因为 F(0,1),则|PF|+d2= |1 0 4 | = 5 2 ,
而抛物线的焦点为( p ,0), 2
所以 p =2, 2
所以抛物线的准线方程为 x=- p =-2. 2
答案:x=-2
考点专项突破 在讲练中理解知识
考点一 抛物线的定义及其应用
【例 1】 (1)(2016 淄博模拟)过抛物线 y2=4x 焦点的直线交抛物线于 A,B 两点,
若|AB|=10,则 AB 的中点到 y 轴的距离等于( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:(1)抛物线 y2=4x 焦点为(1,0), 准线为 l:x=-1. 设 AB 的中点为 E,过 A,E,B 分别作准线的垂线,垂足分别为 C,G,D.EG 交 y 轴于点 H.(如图所示) 则由 EG 为直角梯形 ACDB 的中位线知
(A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线
解析:依题意,点P到直线x=-2的距离等于它到点(2,0)的距离,故点P的 轨迹是抛物线.
2.抛物线 y= 1 x2 的准线方程是( A ) 4
(A)y=-1 (B)y=-2 (C)x=-1 (D)x=-2
解析:由 y= 1 x2 得 x2=4y,2p=4,所以 p=2, 4
2
4
p2 =1,解得 p= 2 , 2
所以抛物线准线方程为 x=- 2 , 2
所以点 B 到抛物线准线的距离为 2 + 2 = 3 2 . 4 24
答案: 3 2 4
5.若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 x2 + y 2 =1 的右焦点重合,则该抛物线的准 95
线方程为
.
解析:由题意得,椭圆的右焦点为(2,0),
第5节 抛物线
最新考纲 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何 性质(范围、对称性、顶点、离心率).
2.理解数形结合 的思想. 3.了解抛物线的 简单应用.
知识链条完善 考点专项突破 解题规范夯实
知识链条完善 把散落的知识连起来
【教材导读】 1.若抛物线定义中定点F在定直线l上时,动点的轨迹是什么图形? 提示:当定点F在定直线l上时,动点的轨迹是过点F且与直线l垂直的 直线. 2.抛物线的标准方程中p的几何意义是什么? 提示:p的几何意义是焦点到准线的距离.
(A)2 (B)3 (C) 11 (D) 37
5ห้องสมุดไป่ตู้
16
解析:(2)如图所示,过点 P 作 PM⊥l1,PN⊥l2,过抛物线焦点 F(1,0)作 FQ
⊥l1 于 Q.由抛物线定义知|PN|=|PF|.显然点 F,P,Q 三点共线时,动点 P
到直线 l1 和直线 l2 的距离之和最小,最小值为 4 6 =2,故选 A. 5
反思归纳 利用抛物线的定义可解决的常见问题 (1)轨迹问题:用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨 迹是否为抛物线. (2)距离问题:涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时,注 意在解题中利用两者之间的关系相互转化.
【即时训练】 (1)(2016 玉溪模拟)已知抛物线方程为 y2=4x,直线 l 的方程为 x-y+4=0,在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d1,P 到直线 l 的距离为 d2, 则 d1+d2 的最小值是( )
图形
顶点 对称轴
焦点
离心率 准线 方程
F ( p ,0) 2
x轴 F ( p ,0) 2
x p 2
x p 2
(0,0)
F (0, p ) 2
e=1 y p 2
y轴 F (0, p ) 2
y p 2
【重要结论】 抛物线焦点弦的几个常用结论 设 AB 是过抛物线 y2=2px(p>0)焦点 F 的弦,若 A(x1,y1),B(x2,y2),则