安徽省滁州高二数学《231 数学归纳法》教案 新人教A版选修2-2

安徽省滁州二中高二数学《231 数学归纳法》教案新人教A版选修

2-2

【教学目标】

1、知识与技能：

（1）了解归纳法，理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤。（2）会证明简单的与正整数有关的命题。

2、过程与方法：

努力创设课堂愉悦的情境，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会类比的数学思想。

3、情感、态度与价值观：

通过本节课的教学，使学生领悟数学思想和辩证唯物主义观点，激发学生学习热情，提高学生数学学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证的辩证思维素质，以及发现问题、提出问题的意见和数学交流能力。

【教学重点】

借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些简单的与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题。

【教学难点】

（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明。

（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。

【教学方法】运用类比启发探究的数学方法进行教学；

【教学手段】借助多媒体呈现多米诺骨牌等生活素材辅助课堂教学；

【教学程序】

第一阶段：创设问题情境，启动学生思维

情境1、法国数学家费马观察到：

归纳猜想：任何形如（n∈）的数都是质数，这就是著名的费马猜想。

半个世纪以后，数学家欧拉发现，第5个费马数不是质数,从而推翻了费马的猜想。——“不完全归纳有时是错误的”

（培养学生大胆猜想的意识和数学概括能力．概括能力是思维能力的核心．鲁宾斯坦指出：思维都是在概括中完成的．心理学认为“迁移就是概括”，这里知识、技能、思维方法、数学原理的迁移，我找的突破口就是学生的概括过程．）

情境2 、数列通过对前4项归纳，

猜想——可以让学生通过数列的知识加以验证——“不完全归纳有时是正确的”。

通过对上述两个情况的探究可以发现用“不完全归纳法”得到的结论不一定可靠。

为了寻求一种能够证明与正整数有关的数学问题的方法，从而引入本节课的新课内容一数学归纳法。

第二阶段：搜索生活实例，激发学习兴趣

1、“多米诺骨牌”游戏动画演示：

探究“多米诺骨牌”全部倒下的条件

引导学生思考并分析“多米诺骨牌”全部倒下的两个条件；

①第一块骨牌倒下；

②任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。

强调条件②的作用：是一种递推关系（第k块倒下，使第k+1块倒下）。

2、类比“多米诺骨牌”的原理来验证情境2中对于通项公式的猜想。

“多米诺骨牌”原理

①第一块骨牌倒下；②若第k块倒下，则使得第k+1块倒下

验证猜想↓↓

①验证猜想成立②如果时，猜想成立。即，则

当时，即时猜想成立

3、引导学生概括, 形成科学方法

证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下：

(1) 证明当n取第一个值时结论正确；（归纳奠基）

(2) 假设当n＝k (k∈，k≥) 时结论正确, 证明当n＝k＋1时结论也正确．（归纳递推）

完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从开始的所有正整数n都正确．

这种证明方法叫做数学归纳法．

第三阶段：巩固认知结构，充实认知过程

例1.用数学归纳法证明

证明：（1）当n=1时，左边，右边，等式成立。

（2

）假设当n=k时，等式成立，即

则当n=k+1时，左边=

=右边

由（1）、（2）可知，n∈时，等式成立。

即当n=k+1时等式也成立。