公钥密码学与RSA-422
公钥密码学及RSA
给定 M = 88 加密:
C = 887mod 187 =(884 mod187)(882 mod187 ) (881mod187) =11
解密:
M = 1123 mod 187=88
公钥密码体制的加密
公钥密码体制的认证
A向B发送消息X A的公钥为KUa,私钥为KRa “加密”: Y = EKRa(X) （数字签名） “解密”： X = DKUa(Y) 思考：能保证消息的保密性吗？ 请问：利用公钥密码体制，n个用户通信
需要多少个密钥？
公钥密码体制的认证
具有保密与认证的公钥体制
除了要指定n的大小外,研究者还提出了 其他一些限制条件，为了防止可以很容 易地分解n，RSA算法的发明者建议p 和q还应满足下列条件
1. P和q的长度应仅相差几位。这样对 1024位的密钥而言，p和q都应约在 1075到10100之间
2. (p-1)和(q-1)都应有一个大的素因子。
3. gcd(p-1, q-1)应该比较小
关于公钥密码的几种误解
公钥密码比传统密码安全？ ➢ 事实上,任何加密方法的安全性依赖于密
钥的长度和破译密文所需要的计算量。 从抗密码分析的角度看，原则上不能说 传统密码优于公钥密码，也不能说公钥 密码优于传统密码
公钥密码是通用方法,所以传统密码已经 过时？
➢ 由于现有的公钥密码方法所需的计算量 大，所以取缔传统密码似乎不太可能
三种数学攻击方法
分解 N=p.q, 因此可计算出 ø(N),从而确定d 直接确定ø(N)，然后找到d 直接确定d
由N确定ø(N)等价于因子分解
RSA公钥密码算法
RSA公钥密码算法RSA公钥密码算法RSA（Rivest-Shamir-Adleman）是一种公钥密码算法，也是目前公认的最安全的加密算法之一。
它是由三位数学家Rivest、Shamir和Adleman在1977年提出的，由他们的姓氏命名。
RSA算法是第一个既能用于数据加密、又能用于数字签名的算法。
在RSA加密算法中，生成一对密钥，一个是公开的（称为公钥），一个是保密的（称为私钥）。
公钥和私钥是一对，用公钥加密的数据只能用私钥解密。
用私钥加密的数据只能用公钥解密。
而且公钥是可以公开的，它通常用于加密的数据，私钥通常用于解密的数据，用于签名的也是私钥。
RSA的安全基于大整数分解的难度。
RSA加密算法是非对称加密算法。
“非对称”指的是加密和解密使用的密钥是不同的，即一个用来加密，一个用来解密。
RSA加密算法的实现过程主要包括密钥生成、加密和解密三个部分。
密钥生成。
密钥生成包括选择两个不同的大质数p和q，计算n=p*q，然后计算欧拉函数φ(n)=(p-1)(q-1)，然后获得整数e，使得1<e<φ(n)且e与φ(n)互素，e和φ(n)构成一对公钥，然后计算整数d，使得d*e ≡1(mod φ(n))，d和φ(n)构成一对私钥。
其中n是密钥长度，e是公钥指数，d是私钥指数。
加密和解密。
加密过程是明文M经过公钥e加密成密文C：C ≡ M^e(mod n)。
解密过程是密文C经过私钥d解密成明文M：M ≡ C^d(mod n)。
公钥(n, e)用于加密，私钥(n, d)用于解密。
RSA算法的安全性依赖于大数分解的困难性。
即使是今天最快的计算机，在有限的时间内也无法很好地分解一个非常大的、合数的公共模数。
这使得RSA算法成为一种安全可靠的加密方法。
同时RSA算法也被广泛应用于数字签名和密钥交换等领域。
除了加密和解密外，RSA算法还可以用于数字签名，这是因为私钥可以用于对数据进行签名，公钥可以用于验证签名。
422偶校验算法
422偶校验算法【简介】在数字通信系统中，为了确保数据传输的正确性和完整性，通常会在数据帧中加入校验位，以检测和纠正传输过程中的错误。
422偶校验算法是一种广泛应用的校验方法，其名字来源于RS-422通信标准。
本文将详细介绍422偶校验算法的原理、实现、应用场景、优缺点及总结。
【422偶校验算法原理】422偶校验算法是一种基于奇偶性的校验方法，其原理如下：1.在数据帧中，除校验位外，其他所有位都遵循“0”或“1”的规律。
2.校验位根据数据帧中1的个数来确定。
如果1的个数为偶数，校验位为0；如果1的个数为奇数，校验位为1。
例如，一个数据帧为：11010101，其中1的个数为4，为偶数，所以校验位为0。
如果数据帧改为：110101011，1的个数为5，为奇数，所以校验位为1。
【422偶校验算法实现】1.计算校验位：根据数据帧中的1的个数，计算校验位。
2.将校验位添加到数据帧中，形成一个新的数据帧。
3.接收方在接收到数据帧后，计算数据帧中1的个数，并根据奇偶性判断校验位是否正确。
【应用场景】422偶校验算法广泛应用于数字通信系统中，如RS-422、以太网等通信协议。
在这些场景中，422偶校验算法能够有效地检测和纠正传输过程中的错误。
【优缺点】优点：1.简单易懂，实现成本低。
2.对传输过程中的单个位错误具有较高的检测能力。
缺点：1.对连续多个位错误的检测能力较弱。
2.当数据帧长度较短时，校验效果较差。
【总结】422偶校验算法是一种基于奇偶性的校验方法，在数字通信系统中得到了广泛应用。
然而，它也存在一定的局限性，如对连续多个位错误的检测能力较弱。
《无线网络安全技术》研讨课-第三讲
单向函数：
函数值计算很容易 逆计算是不可行的。
单向陷门函数：
函数值计算很容易 若知道某种附加的信息，则逆计算是可行的，否则不 可行。
Principles of PKC
公钥密码的要求
Diffie and Hellman(1976)
1. 密钥对的生成在计算上是容易的 2. 加密在计算上是容易的 3. 解密在计算上是容易的 4. 已知公钥的情况下，攻击者想要确定私钥 在计算上是不可行的 5. 已知公钥和密文的情况下，攻击者想要恢 复明文在计算上是不可行的 6. 加密和解密的顺序可以交换：
a : primitive root
模算术的对数
对任意整数b和素数p的本原根g，存在唯一指数i，有：
b ≡ gi mod p where 0 ≢ i ≢ (p-1)
指数 i 称为：b以g为底模p的离散对数，dlogg,p(b) 。
gdlogg,p(b) = b mod p dlogg,p(1) = 0, (g0 mod p = 1) dlogg,p(g) = 1, (g1 mod p = g)
9099 mod 101 =55
欧拉函数(Euler Totient Function)：对正整数n，欧拉 函数(n)是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。
例： (8)=4，(1,3,5,7和8互素)
性质：
(1)(1) = 1 (2)若p为素数，(p) = p-1 (3)若p为素数，a为一非负整数，则有：
ed≡1 mod φ(n) d=e-1 mod φ(n)
发布
发布(e,n)，这是公钥ke d保密，(d, n)是私钥 kd
RSA加密解密
加密
信息安全导论-公钥密码学
• 思路
– 隐藏一个密钥 – 公开另外一个密钥
• 好处
– 不用像DH算法那样来回折腾
公钥密码对应的双重加密
• 任何人只要按一下就能关箱子 • 只有有钥匙才能开箱子 • 如何保守秘密？
– A把信放入箱子 – 按一下关箱子 – B有钥匙可以打开箱子
• Diffie提出了这一思路
– 但是没有找到具体的实现方法
• 团队组成
– 开始研究密钥分发 – 科摩尔来了
科摩尔
• 流亡者 • 原来工作的地方的教授对他研究密钥分发 没有兴趣
密钥分发问题
• 就像第22条军规
– 如果两人想通话：必须加密信息 – 而要加密：发送者必须使用密钥
• 必须事先有共享的秘密
双重加密方案
• 双重加密方案
1.Alice把消息放到箱子里，用自己的锁锁上发送给Bob 2.Bob收到箱子后加上自己的锁，在把箱子返回给Alice 3.Alice除掉自己的锁，再把箱子寄给Bob 4.Bob除掉自己的锁，读取消息
• 私钥如下
RSA加解密过程
• 前提条件
– 加密者拥有公钥K={e,N} – 节密者拥有私钥K-1={d,p,q}
• 对明文M的加密过程
– 计算C=Me mod N（其中0<=M<N ） – C是密文
• 对密文C的解密过程
– 计算Cd mod N,则Cd mod N等于M
• 说明
– RSA 加密解密是可交换的
为什么M=Cd mod N
• 原因
– Cd mod N=(Me mod N) d mod N= Med mod N – 而ed=1mod ø(N)=1+R ø(N) – 所以Med mod N=M(1+R ø(N)) mod N=M*MR ø(N)mod N – 由于Mø(N)modN=1 (fermat定义) – 所以M*MR ø(N)mod N=MmodN=M – 即Cd mod N=M
ch公钥密码学与RSA
X
消息宿
KRa 密钥对源
KUa
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公钥密钥的应用范围
加密/解密 数字签名(身份鉴别) 密钥交换 加密/解密 数字签名 是 是 否 否 否 是
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RSA Dieff
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基本思想和要求*
涉及到各方：发送方、接收方、攻击者 涉及到数据：公钥、私钥、明文、密文 公钥算法的条件：
A B: Z= DKRa ( EKUb (X))
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公钥密码体制：保密性*
密码分析者 源A
ˆ X ˆR K
b
宿B
消息源
X
Y 加密算法 解密算法
X
消息宿
KUb
KRb 密钥对源
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公钥密码体制：认证*
密码分析者 源A
ˆR K a
宿B
消息源
X
Y 加密算法 解密算法
如果Bob能够用Alice的公钥解密消息，说明 消息却是来自Alice。因为除Alice以外，没有 人拥有Alice的私钥。
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3、用公钥密码实现鉴别+保密
鉴别+保密:
A B: Z= EKUb(DKRa(X))
B:
EKUa(DKRb(Z)) =X
思考：如果将上述两个过程倒过来，会发生 什么情况？即
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本将主要内容
公钥密码学的起源 公钥密码体制的基本原理 有关的数论知识 RSA公钥算法 素数的产生
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4
对称算法的不足
密钥管理量的困难
• 传统密钥管理：两两分别用一个密钥时，则n个用户需要 C(n,2)=n(n-1)/2个密钥，当用户量增大时，密钥空间急剧 增大。如: • n=100 时， C(100,2)=4,995 • n=5000时， C(5000,2)=12,497,500
密码学中的公钥密码算法及其应用
密码学中的公钥密码算法及其应用密码学是一门研究通信安全和信息保密的科学，而公钥密码学算法则是其中最为重要的一种算法。
公钥密码学算法是指在加密和解密过程中，使用不同的密钥来实现。
本文将介绍公钥密码学算法的基本概念和应用。
一、公钥密码学算法概述公钥密码学算法也称为非对称密码学算法，它是一种使用两个密钥来进行加密和解密的算法。
这两个密钥是一对，一个称为公钥，一个称为私钥。
其中，公钥是公开的，任何人都可以知道，私钥则是秘密的，只有拥有者才会知道。
公钥密码学算法的加密过程是这样的：发送方使用接收方的公钥对数据进行加密，接收方使用自己的私钥对加密数据进行解密。
这样，就可以保证通信内容的安全性和保密性。
二、公钥密码学算法的分类公钥密码学算法分为两种类型：基于离散对数问题的算法和基于椭圆曲线问题的算法。
1、基于离散对数问题的算法基于离散对数问题的算法包括RSA和DH两种算法。
RSA算法是由三位数学家Rivest、Shamir和Adleman于1977年发明的。
它主要是利用了大数分解的难度来保证信息的安全性，而公钥就是由两个大素数的乘积得出的。
DH算法是Diffie和Hellman在1976年提出来的，它主要是利用数论中离散对数问题的难度来保证信息的安全性，而公钥则是通过一定计算得出的。
2、基于椭圆曲线问题的算法基于椭圆曲线问题的算法包括ECIES和ECDSA两种算法。
ECIES算法是可扩展加密标准中的一种，它主要是利用椭圆曲线上的点运算来实现加密和解密，公钥就是椭圆曲线上的一个点。
ECDSA算法是可扩展数字签名算法中的一种，它主要是利用椭圆曲线上的点运算来实现数字签名的生成和验证。
三、公钥密码学算法的应用公钥密码学算法在信息安全领域有着广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景。
1、TLS/SSL协议TLS/SSL协议是一种用于保护互联网通信安全的协议。
在TLS/SSL协议中，使用公钥密码学算法来实现通信内容加密和身份认证的过程，从而保证通信的安全性和保密性。
公钥密码学
公钥密码学公钥密码学是一种通用的加密技术，用于保护用户数据，保证私密性和安全性。
它是一种非对称加密技术，意思是，它使用一对密钥公开的公钥和保密的私钥来加密和解密信息。
它可以用来保护网络通信等。
公钥密码学的发明者是美国数学家兼集合理论专家Whitfield Diffie和加拿大数学家Martin Hellman于 1976年。
他们被称为Diffie-Hellman对，或仅称为Diffie-Hellman。
他们的原理是在数学上基于离散对数问题，这是一个求解以费马小定理为基础的问题，它由他们提出。
费马小定理说，在具有质数参数的数论环上，一个大整数的任意次幂都等于另一个大整数，只要它们不相等。
不同的加密系统使用一种称为“秘密双方协议”的技术，通过共享一些信息，双方可以安全地通信。
Diffie-Hellman协议使用公钥密码学来加密它们的会话，重点是发送方使用接收方的公开密钥来加密数据，而接收方使用自己的私钥解密数据。
与其他安全性算法相比，公钥密码学有许多优势。
首先，它更安全，因为它使用非对称密钥，而不是对称密钥，可以更好地保护用户数据。
其次，它提供了更高的安全性，因为攻击者无法从用户传输的信息中推断出加密的密钥。
第三，它拥有更多的功能，可以有效地实现签名功能，防止信息抵赖。
在当今日新兴网络技术领域，公钥密码学发挥着重要作用。
许多机密信息传输方案都使用公钥密码学来保护网络安全。
公钥密码学也用于互联网支付系统，以及基于手机的缴费系统，从而保护支付信息的安全性。
公钥密码学已经成为当今社会日新月异的发展的重要技术，它为社会的发展和安全安全提供了坚实的技术支持，同时也为网络传输提供了坚强的保护。
随着技术的发展，人们应该充分了解公钥密码学在社会发展中所起的作用，并一如既往地努力改进和发展这一技术，以满足当今社会的不断变化的安全需求。
公钥密码学和RSA
(k为某个正整数). （6）n与e决定公钥, n与d决定私钥.
2、加密过程
（1）取两个素数p和q（p，q保密）；
（2）计算n=p*q（公开），φ（n）=（p-1） （q-1）；
（3）随机选取整数e满足 gcd（e，φ（n））=1 （e公开），gcd为求最大公约数；
证： E(S) S eA mod N A m
5.3.7 RSA算法的优点
（1）数学表达式简单。 （2）RSA的安全性基于大数分解的困难性。 （3）RSA公钥密码体制具有一些传统密码体制
不能实现的一些功能，如认证、鉴别和数字签 名等，特别适合于现代密码通信。
5.3.8 RSA算法的技术难题
（3）假设网络中每对用户使用不同的密钥，则密钥总 数随着用户数的增加迅速以N平方次递增。N个用户的 网络需要 N（N-1）/2个密钥。若n=1000，则NK500 000。 如此众多的密钥如何建立，如何保存？
5.3 非对称密码体制
是密码学一次伟大的革命 1976年，Diffie和Hellman 在“密码学新方
5.3.5 RSA算法的安全性
RSA体制的安全性基于数论中的Euler 定理和计算复杂性理论中的下述论断：求 两个大素数的乘积是很容易计算的，但要 分解两个大素数的乘积，求出它们的素因 子则是非常困难的。
因式分解的计算量
5.3.6 RSA系统的应用
1、数据加密 设B欲秘密传递明文m给A，则B首先由公开
非对称密码体制（公钥密码体制）
用于加密的密钥与用于解密的密钥是不同的，而且从加密 的密钥无法推导出解密的密钥。
用公钥KP对明文加密可表示为：EKP(M)=C 用相应的私钥KS对密文解密可表示为：DKS(C)=M
RSA公钥密码算法
RSA公钥密码算法RSA公钥密码算法是一种非对称密码算法，由三位数学家Rivest、Shamir和Adleman于1977年提出，它利用了两个大素数的乘积的因子难以分解的特性来确保数据的安全性。
RSA算法一直被广泛应用于加密通信、数字签名和身份认证等领域，在信息安全领域具有非常重要的地位。
RSA算法的安全性基于大数分解猜想，该猜想认为任何一个大数都可以分解成几个素数的乘积。
目前为止，尚未有有效的算法可以在合理的时间内对大数进行分解，因此RSA算法在理论上是安全的。
这种安全性使得RSA算法成为了目前最为安全和可靠的非对称密码算法之一。
RSA算法的原理比较简单，它使用了两个密钥来进行加密和解密操作，分别是公钥和私钥。
公钥用于加密数据，私钥用于解密数据，这种设计使得数据的发送方和接收方都可以安全地进行通信而不必担心数据的泄露。
简单来说，RSA算法的流程如下：1. 选择两个大素数p和q，并计算它们的乘积n，n=pq。
2. 计算n的欧拉函数φ(n)=(p-1)(q-1)。
3. 选择一个整数e，使得1<e<φ(n)，并且e与φ(n)互质。
4. 计算e的模φ(n)的乘法逆元d，即de≡1(mod φ(n))。
5. 公钥是(n, e)，私钥是(n, d)。
6. 加密数据m时，使用公钥(n, e)进行加密运算后得到密文c，c≡m^e(mod n)。
7. 解密密文c时，使用私钥(n, d)进行解密运算后得到明文m，m≡c^d(mod n)。
通过上述流程，我们可以看到RSA算法的加密和解密操作分别使用了公钥和私钥，这样就保证了数据的安全性。
RSA算法还可以用于数字签名，可以通过私钥对数据进行签名，然后可以由持有公钥的人验证签名的有效性，这样就可以确保数据的完整性和真实性。
除了加密通信和数字签名外，RSA算法还可以用于身份认证，因为私钥是唯一的，可以用于证明数据的来源身份。
RSA算法还可以用于密钥交换，可以通过RSA算法协商一个对称密钥，然后使用对称密钥进行加密通信，这样可以提高数据传输的效率和安全性。
rsa 公钥密码算法
rsa 公钥密码算法摘要：1.什么是RSA公钥密码算法2.RSA算法的基本原理3.RSA算法的应用领域4.RSA算法的安全性5.RSA算法的发展趋势正文：RSA公钥密码算法是一种非对称加密算法，由三位数学家Ron Rivest、Adi Shamir和Leonard Adleman于1977年发明。
该算法以其公开密钥和私有密钥的组合而闻名，允许用户以一种安全的方式进行加密和解密。
RSA算法的基本原理是利用两个大素数的乘积来生成公钥和私钥。
公钥由两个大素数的乘积以及一个与这两个素数互质的整数构成。
私钥则由两个大素数的乘积以及一个与这两个素数互质的整数构成。
公钥用于加密数据，私钥用于解密数据。
RSA算法的应用领域非常广泛，主要包括网络安全、电子商务、数字签名等。
在网络安全领域，RSA算法常用于保护数据的机密性和完整性；在电子商务领域，RSA算法常用于保护用户的账户信息和安全支付；在数字签名领域，RSA算法常用于验证文件的完整性和身份认证。
RSA算法的安全性主要取决于密钥的长度和生成方式。
如果密钥足够长，那么破解RSA算法将变得非常困难。
此外，RSA算法还采用了一种称为“公钥加密”的方式，使得即使密钥被盗，数据的安全性也不会受到影响。
随着计算机技术的发展，RSA算法的安全性面临着越来越大的挑战。
为了应对这些挑战，研究人员不断地提出了新的改进方案，如RSA-2048、RSA-4096等。
此外，一些新的非对称加密算法，如椭圆曲线密码算法，也在逐渐取代RSA算法。
总之，RSA公钥密码算法是一种非常重要的非对称加密算法，在现代通信和网络安全领域发挥着重要作用。
密码学中的RSA算法
密码学中的RSA算法RSA算法是公钥密码学中最经典的算法之一。
它的名字来源于它的发明者Ronald L. Rivest, Adi Shamir和Leonard Adleman三人的姓氏的首字母缩写。
RSA算法被广泛应用于数字签名、加密通讯和数据加密等领域。
1. 公钥密码学和RSA算法公钥密码学使用两个密钥：公钥和私钥。
公钥可以公开，私钥则要保密。
使用这两个密钥进行加密和解密操作。
公钥用于加密数据，私钥用于解密数据。
RSA算法是一种基于大数分解的公钥密码算法。
同时也是一个非对称加密算法。
它的加密过程如下：- 选择两个不同的大质数p和q，计算它们的积n=pq。
n是RSA算法中的公共模数。
- 选取一个整数e，使它满足1< e < φ(n)，其中φ(n)=(p-1)*(q-1)是n的欧拉函数，e和φ(n)互质。
- 找到一个整数d，它满足de ≡ 1(mod φ(n))。
d是e的模逆元，可以使用扩展欧几里得算法得出。
公钥就是{n，e}，私钥就是{n，d}。
原始明文m加密成密文c 的过程是：c = m^e(mod n)密文c解密成原始明文m的过程是：m = c^d(mod n)RSA算法的安全性基于一个数学问题：找到一个大数的质因数分解。
这一问题是目前已知的最难的问题之一。
因此RSA算法被广泛应用于安全领域。
2. RSA算法的应用RSA算法可以用于数字签名、加密通讯和数据加密等领域。
数字签名是指用私钥对一份文档进行签名，以证明该文档是由签名者本人所签署的。
RSA算法可以实现数字签名。
签名者使用自己的私钥对文档进行签名，然后将文档和签名一起发送给接收者。
接收者使用签名者的公钥对签名进行验证，以确定该签名是否属于签名者。
加密通讯指通信双方使用公钥和私钥来加密和解密数据。
RSA 算法可以实现加密通讯。
发送方使用接收方的公钥对数据进行加密，接收方使用自己的私钥对加密数据进行解密。
该过程可以保证通讯内容的安全性。
公钥密码学
公钥密码学
公钥密码学是一种新型的数字复杂算法，用来保护在网络上传输的信息和数据的安全性，是一种加密算法体系，它将源信息转化成一种难以解读的形式，而且只有猜测解密密钥的对象才能够解读。
公钥密码是一种新型的加密算法，它可以简单快捷，安全可靠地实现信息的传输和存储。
公钥密码学以公钥和私钥为核心，是一种不对称的密码算法。
公钥密码利用公钥和私钥加密和解密，这两个密钥体系是独立的，公钥可以向任何人公开，而私钥则只能由它本身的持有者独享，这样就可以大大提高数据的安全性。
公钥密码的特点是可以同时实现加解密，也就是说不论是发送者还是接收者，都可以使用同一密钥进行信息的加解密，而不用降低安全性。
公钥密码学的传输过程是这样的：发送者先将信息进行加密，然后通过公钥将加密后的信息发送给接收者，接收者使用私钥将发送的信息解密，这样就可以实现无疑问的信息传输，而不被拦截或攻击。
在这个过程中，信息的安全性可以得到充分的保证。
由于公钥密码学支持广泛的应用，它已经成为当今智能设备上的一种重要的安全加密技术。
公钥密码技术可以应用于Web安全以及访问控制，可以用于电子商务安全，远程银行注册，电子签名，多人协同工作，电子邮件，数据加密及安全存储等多领域。
公钥密码学是一种抗拦截，安全可靠的加密技术，它具有传统密码技术无法提供的安全性，而且可以应用到智能设备上，被广泛应用
于各种互联网服务，可以有效地提高网络安全性和系统的可靠性。
2.公钥加密算法与RSA[共2页]
![2.公钥加密算法与RSA[共2页]](https://img.taocdn.com/s3/m/d9b1be1bda38376bae1faeac.png)
226Kerberos采用对称密钥体制对信息进行加密。
其基本思想是：能正确对信息进行解密的用户就是合法用户。
用户在对应用服务器进行访问之前，必须先从第三方（Kerberos服务器）获取该应用服务器的访问许可证（ticket）。
Kerberos密钥分配中心KDC（即Kerberos服务器）由认证服务器AS和许可证颁发服务器TGS构成。
Kerberos认证过程具体如下。
①用户想要获取访问某一应用服务器的许可证时，先以明文方式向认证服务器AS发出请求，要求获得访问TGS的许可证。
②AS以证书（credential）作为响应，证书包括访问TGS的许可证和用户与TGS间的会话密钥。
会话密钥以用户的密钥加密后传输。
③用户解密得到TGS的响应，然后利用TGS的许可证向TGS申请应用服务器的许可证，该申请包括TGS的许可证和一个带有时间戳的认证符（authenticator）。
认证符以用户与TGS间的会话密钥加密。
④TGS从许可证中取出会话密钥、解密认证符，验证认证符中时间戳的有效性，从而确定用户的请求是否合法。
TGS确认用户的合法性后，生成所要求的应用服务器的许可证，许可证中含有新产生的用户与应用服务器之间的会话密钥。
TGS将应用服务器的许可证和会话密钥传回到用户。
⑤用户向应用服务器提交应用服务器的许可证和用户新产生的带时间戳的认证符（认证符以用户与应用服务器之间的会话密钥加密）。
⑥应用服务器从许可证中取出会话密钥、解密认证符，取出时间戳并检验有效性；然后向用户返回一个带时间戳的认证符，该认证符以用户与应用服务器之间的会话密钥进行加密。
据此，用户可以验证应用服务器的合法性。
至此，双方完成了身份认证，并且拥有了会话密钥。
其后进行的数据传递将以此会话密钥进行加密。
Kerberos将认证从不安全的工作站移到了集中的认证服务器上，为开放网络中的两个主体提供身份认证，并通过会话密钥对通信进行加密。
对于大型的系统可以采用层次化的区域（realm）进行管理。
第八讲 公钥密码学与RSA
C
≡ (Me)d (mod n) ≡ M (mod n)
因为0<M<n，因此M
= Cd (mod n)
RSA公钥算法举例
密钥生成 选素数p=47和q＝71，得n=3337, (n)=(p-1)(q-1)=46×70＝3220； 选择e=79，求得私钥 d=e -1 1019(mod 3220)。 公开n=3337和e=79. 加密 要发送明文688 计算：
RSA算法（教科书版）
Diffie和Hellman开创性的论文为密码学带来新的方
法和挑战。
RSA公钥算法是由Rivest,Shamir和Adleman在1978
年提出来的
Communications of the ACM. Vol.21.No.2.
Feb.1978, PP.120-126)
该算法的数学基础是初等数论中的Euler定理，并
建立在大整数因子分解问题（NP问题）的困难性 之上
RSA是最早的公钥体制的挑战响应者，也是最受
广泛接受和实现的公钥体制
RSA公钥密码算法
RSA公钥密码算法RSA公钥密码算法是一种非对称加密算法，由Ronald Rivest、Adi Shamir和Leonard Adleman三位密码学家于1977年共同提出。
RSA算法是目前最常用的公钥算法之一，它能够实现加密和数字签名等功能，并且在安全性和效率方面取得了良好的平衡。
RSA算法的基本原理是基于数论中的两个重要问题：大数的质因数分解和模幂运算。
具体来说，RSA算法包括以下几个步骤：1. 密钥生成：生成一对互质的大素数p和q，并计算它们的乘积n=p*q。
接着，选择一个整数e（1 < e < φ(n)）作为公钥的指数，其中φ(n)=(p-1)*(q-1)是n的欧拉函数值。
然后，计算e的模φ(n)的乘法逆元d，即满足(e*d) mod φ(n) = 1。
将{n, e}作为公钥，{n, d}作为私钥。
2. 加密：假设明文m小于n，将明文m通过公钥加密为密文c，计算公式为：c=(m^e) mod n。
^表示幂运算，mod表示取模运算。
RSA算法的安全性依赖于大数的质因数分解问题的困难性。
因为在没有私钥的情况下，要从公钥n和e推导出私钥d，需要知道n的质因数分解，这是一个极其困难的问题。
目前没有找到一种有效的算法能够在多项式时间内解决大数的质因数分解问题。
RSA算法在实际应用中有以下特点和注意事项：1. RSA算法适用于小数据量的加密，通常只能加密一段对称加密算法的密钥或数字签名等关键信息。
2. RSA算法的加密和解密速度较慢，特别是密钥长度较长时，计算量更大，因此在实际使用中需要权衡安全性和效率。
3. RSA算法的安全性依赖于私钥的保密性，因此需要注意私钥的安全存储和传输。
4. RSA算法还可以用于数字签名，即使用私钥对消息进行签名，并使用公钥验证签名的真实性和完整性。
5. RSA算法的密钥长度一般为1024位或2048位，较长的密钥长度可以提供更高的安全性，但同时也会增加计算复杂度。
7-公钥密码
Public Key Cryptography
加密密钥
解密密钥
公钥密码学思想
公钥密码算法的基本工具不再是代换和置换，而是 数学函数。 公钥密码算法是以非对称的形式使用两个密钥，两 个密钥的使用对 保密性、密钥分配、认证 等都有 着深刻的意义。 公钥密码体制的出现在密码学史上是一个最大的而 且是惟一真正的革命。
安全性要求： 1、密钥必须保密 2、没有密钥，解密不可行 3、知道算法和若干密文不足 以确定密钥
RSA算法概况
美国麻省理工学院 MIT三位年青数学家R.L.Rivest， A.Shamir和L.Adleman[Rivest等1978, 1979]发现了一 种用数论构造双钥的方法，称作MIT体制，后来被 广泛称之为RSA体制。 它是世界上第一个既能用于数据加密也能用于数字 签名的非对称性加密算法 。 该算法利用了数论领域的一个事实，那就是虽然把 两个大质数相乘生成一个合数是件十分容易的事情 ，但要把一个合数分解为两个质数却十分困难。合 数分解问题目前仍然是数学领域尚未解决的一大难 题，至今没有任何高效的分解方法。
每个用户都有一对 选定的密钥(公钥 k1；私钥k2)
加密密钥可以 像电话号码一样进 行注册公布。
公钥密码体制的特点
加密和解密能力分开。 多个用户加密的消息只能由一个用户解读，（用 于公共网络中实现保密通信）。 只能由一个用户加密消息而使多个用户可以解读 （可用于认证系统中对消息进行数字签字）。 无需事先分配密钥。
RSA算法描述
1. 密钥产生
独立地选取两大素数 p 和 q (各100～200位十进制数 字) 计算 n =p×q，其欧拉函数值(n)=(p－1)(q－1) 随机选一整数e，1 < e<(n)，gcd((n), e)=1 在模(n)下，计算e 的乘法逆元d=e -1 mod (n) 以n，e 为公钥。秘密钥为d 。(p, q不再需要，可以销 毁。)
5..公钥密码学
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公钥密钥的应用范围
加密/解密 数字签名(身份鉴别) 密钥交换
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下图是公钥密码技术示意图：
公钥密码的加密变换E(eB,m)与解密交换D(dB,c)应满足：
D(dB,c)是E(eB,m)的逆变换，即对任何的明文m有：D(dB,c)= D(dB, E(eB,m))=m； 在已知加密密钥eB时，E(eB,m)的计算不难；在已知解密密钥dB时， D(dB,c)的计算也不难； 若不知道dB，那么即使知道eB，具体的加密与解密算法过程及密文 c，确定明文的计算是不可行的。
设计公开密钥密码体制就变成了寻找陷门单向函数。可提供 单向函数的数学难题是：整数分解问题（简称IFP）； 离散对数 问题（简称DLP）；椭圆曲线离散对数问题（简称ECDLP,也时 被归为离散对数问题类）。
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构造公钥密码系统的关键是如何在求解某个单向 函数的逆函数的NP完全问题中设置合理的“后 门”。 并非所有的困难问题都可以用于设计公钥密码系 统。
NP完全问题，即多项式复杂程度的非确定性问题。简单的 写法是 NP=P？，问题就在这个问号上，到底是NP等于P， 还是NP不等于P，还没有人证明:P=NP？，是世界七大数 学难题之一。
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公钥密码算法
公钥密码算法是公钥密码体制的核心。
这些算法基于不同的计算问题，但在理论上都保证了
(x)推测x是不可行的。
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基于公开密钥的加密过程
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基于公开密钥的鉴别过程
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用公钥密码实现保密
用户B拥有自己的密钥对(eB,dB)
密码编码学与网络安全 向金海 06-公钥密码学与rsa
2020/4/30
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11
公钥密码体制：保密性和认证
2020/4/30
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12
公钥算法分类
Public-Key Distribution Schemes (PKDS) 用于交换秘密信息(依赖于双方主体) 常用于对称加密算法的密钥
Chapter 9
公钥密码学与RSA
§9.1 公钥密码体制的基本原理
传统密码体制只使用一个密钥 收发双方共享这个单一的密钥 密钥是对称的，双方是对等的； 因此，不能确保接收方伪造信息，并声
称是该信息是发送方发送的
2020/4/30
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2
对称密码体制的缺陷
1） 密钥分配问题 通信双方要进行加密通信，需要通过秘密 的安全信道协商加密密钥，而这种安全信道可能很难实现；
3
公钥密码体制
密码学发展历史中最伟大的一次革命 采用两个密钥：一个公钥，一个私钥 参与方不对等，所以是非对称的； 基于数论中的结论 是私钥密码的补充而不是代替
2020/4/30
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4
为什么需要公钥密码?
两个考虑： 密钥分配 - KDC 数字签名
公认该发明属于Stanford Uni 的Whitfield Diffie 和 Martin Hellman ，于1976年。
最大的改进就是对改进算法的改良
QS to GHFS to LS
当前假设1024-2048bit RSA 是安全的
确保 p, q 有相似的大小并满足其它约束
2020/4/30
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华中农业大学信息学院
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计算复杂性可以被用作设计加密算法的基础，而NP完全问 题则是一个理想的解决途径。
Diffie和Hellman曾推测，密码学可以汲取NP复杂性问题， 通过检验找出NP完全问题中可用于密码的问题。
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信息可通过编码被加密在一个NP完全问题之中，使得要
破译这种密码以普通的方法就要解这个NP完全问题。但
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Diffie和Hellman
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1978年，RSA算法作为第一个比较完善的公钥密码算法面世。
算法的取名采用其创始者Rivest,Shamir和Adleman名字的
首字母，以纪念三位学者对密码学的杰出贡献。
公钥密码技术研究的基本工具不再象对称密码技术那样是代
NP完全问题，即多项式复杂程度的非确定性问题。简单的写 法是 NP=P？，问题就在这个问号上，到底是NP等于P，还是 NP不等于P，还没有人证明:P=NP？，是世界七大数学难题之 一。
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公钥密码算法
公钥密码算法是公钥密码体制的核心。
这些算法基于不同的计算问题，但在理论上都保证了由加密密
信息安全导论
第九章
公钥密码学与RSA
2016/2/28
1
公钥密码体制 RSA公钥密码体制 RSA的安全性
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2
对称密钥（私钥）密码体制中的分组密码和流密码，它们的一
个共同点是加密密钥与相应的解密密钥相同（或者由加密密钥 容易推导得到与之相对应的解密密钥）。 对称密码系统中，消息的发送方和接收方必须在密文传输之前 通过安全信道进行密钥传输。 实际的传输信道安全性并不理想，密钥在传输过程中被暴露的 风险很大，增加了系统的脆弱性。
存在δ，已知δ 时,对给定的任何y，若相应的x存在，则计算 x使y=f(x)是容易的。
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注：1. 仅满足(1)、(2)两条的称为单向函数；第(3)条称为陷门性， δ 称为陷门信息。 2. 当用陷门函数 f 作为加密函数时，可将 f 公开，这相当于公 开加密密钥。此时加密密钥便称为公开钥，记为Pk。 F 函数的
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算法复杂性
算法复杂性用‚大O”的符号来表示，它表示算法复杂性的数量 级。f(n)=O(g(n))意味着存在常数c和n0，使得对一切n≥n0,有 f(n)≤c|g(n)|。 通常按时间（或空间）复杂性对算法进行分类。一个输入的大小 为n的算法被称为是： 线性的： 如果运行时间是O(n) 多项式的：如果运行时间是O(nt),其中t是一个常数 指数的： 如果运行时间是O(th(n)),其中t是一个常数,h(n)是 一个多项式 一般地，一个可以在多项式时间内解决的问题被认为是可解的， 而任何比多项式时间更长的时间，尤其是指数时间，被认为是不 可解的。
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公钥密码的加密变换E(eB,m)与解密交换D(dB,c)应满足： D(dB,c)是E(eB,m)的逆变换，即对任何的明文m有：D(dB,c)= D(dB,E(eB,m))=m； 在已知加密密钥eB时，E(eB,m)的计算不难；在已知解密密钥 dB时，D(dB,c)的计算也不难； 若不知道dB，那么即使知道eB，具体的加密与解密算法过程 及密文c，确定明文的计算是不可行的。
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目前，许多函数被认为是单向函数，然而，还没有通过严
格的证明得到某个函数的确为单向函数这一结论。
可提供单向函数的数学难题是： 整数分解问题（简称IFP）； 离散对数问题（简称DLP）； 椭圆曲线离散对数问题（简称ECDLP,也时被归为离散 对数问题类）。
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注： 1. 从另一个角度考虑，由于令人满意的加密与解密过程都 必须尽可能的迅速，所以更难的问题并不适合用于设计 加密算法。
若使用解密密码，就可能有捷径求解。
为构造这样的密码，秘密的‘陷门’信息必须被嵌在一个 涉及单向函数求逆的计算困难问题中。
单向函数是公钥密码体制的一个重要概念。
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单向陷门函数是满足下列条件的函数f：
计算y=f(x)是容易的； 给定y, 计算x使y=f(x)是困难的； 所谓计算x=f-1(Y)困难是指计算上相当复 杂，已无实际意义。
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公钥加密体制的原理
公钥密码的基本思想是将传统密码的密钥一分为二，分为加密 密钥和解密密钥，而且由计算复杂性确保由加密密钥在计算上 推导出相对应的解密密钥不具有可实现性。 这样，即使是将加密密钥公开也不会暴露解密密钥，不会损害 密码的安全。
于是，可将加密密钥公开（即公钥），而只对解密密钥保密
设计者将δ 保密，用作解密密钥，此时δ 称为秘密钥匙，记为Sk。
由于加密函数是公开的，任何人都可以将信息x加密成y=f(x)，
然后送给函数的设计者（当然可以通过不安全信道传送）；由 于设计者拥有Sk，他自然可以解出x=f-1(y)。
3.单向陷门函数的第(2)条性质表明窃听者由截获的密文y=f(x)
推测x是不可行的。
和KDC之间的密钥如何获得
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密钥管理问题: 在有多个用户的网络中，任何两个用户之 间都需要有共享的加密密钥，当网络中的用户n很大时， 需要管理的密钥数目是非常大。 没有签名功能: 当主体A收到主体B的电子文挡(电子数据) 时，无法向第三方证明此电子文档确实来源于B。
2016/2/28
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公钥密码的最大优点同时也是最重要的创新之处在于针对密
钥管理方法的改进。
加密密钥是公开的，任何人都可以采用这些公开的加密 密钥对自己准备传输的消息进行加密。
同时，只有正确的接收方才能用自己所保管的解密密钥 对密文进行解密。解密密钥需要妥善保存。
与对称密钥密码体制相比，公钥体制的密钥在处理和发
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公钥密码体制概述
2016/2/28
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公钥密码体制概述
公钥密码体制是密码学研究的一个具有里程碑意义的重要事件。
公钥密码技术又称为双钥密码或非对称密码技术。
1976年由Diffie和Hellman在其<<密码学新方向>>一文中首次提 出公钥密码思想，对密码学的发展起到了极其重要的促进作用。 见划时代的文献： W.Diffie and M.E.Hellman, New Directrions in Cryptography, IEEE Transaction on Information Theory, V.IT-22.No.6, Nov 1976, PP.644-654
（即私钥）。
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至此，密码体制解脱了必须对密钥进行安全传输的束缚，使 密码学的应用前景豁然明朗。 它的主要特点是将加密和解密能力分开，因而可以实现多个 用户加密的信息只能由一个用户解读，或由一个用户加密的 信息而多个用户可以解读。 前者可以用于公共网络中实现通信保密，而后者可以用于实 现对用户的认证。
设计公开密钥密码体制就变成了寻找陷门单向函数。
2016/2/28
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构造公钥密码系统的关键是如何在求解某个单向函数的逆函数 的NP完全问题中设置合理的‚后门‛。 并非所有的困难问题都可以用于设计公钥密码系统。 通过检验，人们已经找到若干可用于密码的这类问题，如大 整数分解问题和背包问题、离散对数问题等。 某些被用于设计公钥密码系统的这类问题在计算上的难易程度 也不完全代表该密码系统的强弱程度。
钥得到解密密钥是不可行的。
当然，公钥密码体制的这种安全性理论基础只是基于复杂性理 论的一种计算安全性，非绝Fra bibliotek的安全性。
实际上，在密码学中，绝对的安全一般是不存在的。
2016/2/28
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由于利用目前现有的技术无法在多项式时间里对NP完全问题
进行求解，公钥密码思想的首创者Diffie和Hellmen在其研究中
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对称密码体制的缺陷
密钥分配问题：加密者指定一个密钥后，必须得想方设法 把密钥分发出去给解密者，同时还得小心翼翼确保密钥不 被泄露。这是对称密码算法固有的一个矛盾，如何解决呢？
对称密码进行密钥分配的要求： 已经共享一个密钥： 第一个密钥如何获得 利用密钥分配中心：
送上更为方便而且安全。
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邮箱的例子 任何人可以向邮箱投举报信 用户(审计人员)才能打开邮箱，读信的内容
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涉及到各方：发送方、接收方、攻击者 涉及到数据：公钥、私钥、明文、密文 公钥算法的条件： 产生一对密钥是计算可行的 已知公钥和明文，产生密文是计算可行的 接收方利用私钥来解密密文是计算可行的 对于攻击者，利用公钥来推断私钥是计算不可行的 已知公钥和密文，恢复明文是计算不可行的 (可选)加密和解密的顺序可交换
个密钥协商协议；
1978年 Rivest,Shamir和Adleman提出应用广泛的RSA算法； 1984年 Shamir提出基于身份的密码体制，没有实现加密体制， 只给出一个基于身份的数字签名算法
2001年 Boneh,Franklin和Cocks分别独立提出基于身份的加密算 法
2003年 Al-Riyami提出的无证书的密码体制
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