数理金融学作业13：期权价值的计算(3)单期

期权价值的计算（3）单期

5某个股票现价为50美元。已知在6个月后，股票价格为60美元或42美元。无风险年利率为12%（连续复利）。计算执行价格为48美元的有效期为6个月的欧式看涨期权的价值为多少？证明无套利原理与风险中性定价得出的结果相同

6.5.解：股票的价格二叉树模型为：

060

50,12%,1/2142u f d q

S S r q S τ====-=

第1步：从股票二叉树得到风险中性概率q

由无套利原理知：

1.06506042(1)q q ?+-

从536042(1)q q =+-,得到 11604218q q q =-= ,所以, 1118q =

第2步：对衍生产品价值u C 和d C 求平均

(1) 执行价格为48美元的6个月后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为：

012

10u d q C C q C =-=

看涨期权的价格为： 01122[12(1)0] 6.921.06 1.063C q q （美元）=?-??

6某个股票现价为40美元。已知在3个月后，股票价格为45美元或35美元。无风险年利率为8%（连续复利）。计算执行价格为40美元的有效期为3个月的欧式看跌期权的价值为多少？证明无套利原理与风险中性定价得出的结果相同。

6.6解：股票的价格二叉树模型为：

045

40,8%,1/4135u f d q

S S r q S τ====-=

第1步：从股票二叉树得到风险中性概率q

由无套利原理知：

1.02404535(1)q q ?+-

从40.84535(1)q q =+-,得到 5.8453510q q q =-= ,所以, 0.58q =

第2步：对衍生产品价值u C 和d C 求平均

(1) 执行价格为40美元的3个月后到期的欧式看跌期权的二叉树模型为：

00

15u d q C C q C =-=

看跌期权的价格为： 011[0(1)5] 2.1 2.061.02 1.02C q q （美元）=?-??

7.已知某股票在时刻0的价格为100元，在时刻1股票价格有两种可能：股票价格为120元的概率为P ；股票价格为90元的概率为1-P.以该股票为表的资产的欧式看涨期权的执行价格为105元，无风险利率r=0.05.试求欧式看涨期权的无套利价格。

解：设时刻0的欧式看涨期权价值即无套利价格为C ,

由Cox Ross Rubinstein --二项式期权定价公式1()()h k R k h R C C C R h k h k

轾--犏=? 犏--臌， 其中0,k R h <<<00max(0,)()h C hS E hS E +=-=-

00max(0,)()k C kS E kS E +=-=-，

由题意知，0100, 1.2,0.9,105,S h k E ====

0(0,)max(0,120105)15

h C hS E +=-=-=；

0(0,)max(0,90105)0k C kS E +=-=-=

0.05,1 1.05r R r ==+=

所以，欧式看涨期权的无套利价格 1 1.050.9 1.2 1.05()15()01.05 1.20.9

1.20.97.57.141.05C 轾--犏=? 犏--臌=

8.已知某股票在时刻0的价格为100元，在一年以后的时刻1股票价格有两种可能： 120元或90元.以该股票为标的资产的一年期欧式看涨期权的执行价格为95元，无风险利率r=0.06.试求欧式看涨期权的无套利价格。

解：股票的价格二叉树模型为：

0120

100,6%,1190u f d q

S S r q S τ====-=

第1步：从股票二叉树得到风险中性概率q

由无套利原理知：

1.0610012090(1)q q ?+-

从10612090(1)q q =+-,得到 161209030q q q =-= ,所以, 815q =

第2步：对衍生产品价值u C 和d C 求平均

(1) 执行价格为95美元的一年期后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为： 025

10u d q C C q C =-=看涨期权的价格为： 011840[25(1)0]2512.581.06 1.0615 3.18

C q q （美元）=?-?创== 9.设020, 1.2,0.06,10%,21.1f S u d r K t ======计算欧式看涨 期权的价格。其中0S 为股票在时刻0的价格，u 为股票在时刻1价格的上涨率，d 为股票在时刻1的下跌率。K 为期权到期的执行价格

9解：股票的价格二叉树模型为：

024

20,8%,1112u f d q

S S r q S τ====-=

第1步：从股票二叉树得到风险中性概率q

由无套利原理知： 1.08202412(1)q q ?+-

从21.62412(1)q q =+-,得到 9.612q = ,所以, 0.8q = 第2步：对衍生产品价值u C 和d C 求平均

(1) 执行价格为21美元的一年期后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为： 03

10u d q C C q C =-=看涨期权的价格为：

011[3(1)0] 2.4 2.221.08 1.08C q q （美元）=

?-??