5第三节延迟系统的根轨迹 求取闭环系统零极点的方法汇总
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自动控制原理4.4 求取闭环零极点的方法
求取闭环零极点的方法（续）
实际上，在 G(s)的 1 和H(s)的 s 1 中， s1 轨迹从s=-1到s=-1，即 K1 0 , 有一条轨迹一直
在s=-1。
0（2阶）,
且Gk
K1
ss 2
只能得到两条轨迹。
处理方法： R
Gs H s
1
C
H
在GH中丢失的闭环极点在 1 中补回来。
H
例上述系统：先按 Gk
GH
K1
ss 2
画根轨迹，则最后
的闭环极点由根轨迹中的两条及 1 中的s=-1组成。
H
§4--4 求取闭环零极点的方法
n1
s pi
n2
KGm1Leabharlann s zjn2
s pl
j1
l 1
s pl
KG K H
m1
s zj
m2
s zk
i 1
l 1
j1
k 1
即闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点组成。
三、特殊情况：
G(s)的极点与H(s)的零点相抵消时的闭环极点。
实际中可能会遇到G(s)的极点与H(s)的零点相
斜坡下
ess
1 K
1 0.525
1.9
二、求取闭环零点的方法：
1、单位反馈系统：
m
K1 s zj
Gk
j1 n
s pi
i 1
m
Gk 1 Gk
n
K1 s zj j1 m
s pi K1
s zj
实际上，在 G(s)的 1 和H(s)的 s 1 中， s1 轨迹从s=-1到s=-1，即 K1 0 , 有一条轨迹一直
在s=-1。
0（2阶）,
且Gk
K1
ss 2
只能得到两条轨迹。
处理方法： R
Gs H s
1
C
H
在GH中丢失的闭环极点在 1 中补回来。
H
例上述系统：先按 Gk
GH
K1
ss 2
画根轨迹，则最后
的闭环极点由根轨迹中的两条及 1 中的s=-1组成。
H
§4--4 求取闭环零极点的方法
n1
s pi
n2
KGm1Leabharlann s zjn2
s pl
j1
l 1
s pl
KG K H
m1
s zj
m2
s zk
i 1
l 1
j1
k 1
即闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点组成。
三、特殊情况：
G(s)的极点与H(s)的零点相抵消时的闭环极点。
实际中可能会遇到G(s)的极点与H(s)的零点相
斜坡下
ess
1 K
1 0.525
1.9
二、求取闭环零点的方法：
1、单位反馈系统：
m
K1 s zj
Gk
j1 n
s pi
i 1
m
Gk 1 Gk
n
K1 s zj j1 m
s pi K1
s zj
5第三节延迟系统的根轨迹 求取闭环系统零极点的方法
（2）在根轨迹图上画出阻尼比线；
（3）求出根轨迹与阻尼比线的交点得到闭环主导极
点的位置；
（4）根据幅值条件，求出对应的开环增益；
（5）利用闭环特征方程的根之和和根之积确定
其它闭环极点。
阻尼比线
sd
闭环主 导极点
闭环主导极点为 sd 0.4 j 0.69
根据幅值条件开环增益为
n
s pi
终点 s z j ,
（3）、实轴上的根轨迹：实轴上根轨迹区段的右侧(实轴上)开 环实零、极点数目之和相应为奇数。
（4）、根轨迹的渐近线：
根轨迹渐近线有无数条，且平行于实轴
m
K1
j 1
s
z
j
n
e
1
s pi
i 1
K1 0
n
K1
s
i 1
z0 z 1 z2 z3
附加一个零点相当于增加一个比例微分环节，在实际中，
能够得到的比例微分作用的环节是比例环节与惯性环节串联而
成的复合环节。
Gf (s) K f
sz s p
只要选取P>5Z，可以产生类似附加单纯零点的作用。
增加的零点相对靠近虚轴而起主导作用
零极点对应的矢量幅角
c c
1 n
1 n 1 2
1 2
并与其它极点接近原点的程度有关，调整时间主要取决于主 导极点的实部
1 n
（5）如果系统中存在非常接近的零点和极点，其相互距离比 其本身的模值小一个数量级以上，则把这对闭环零、极点称为 偶极子。偶极子的位置距离原点非常近时，其对暂态响应的影 响一般需要考虑，但不会影响闭环主导极点的主导作用。偶极 子的位置距离原点较远时，其对暂态响应的影响可以忽略。
自动控制第五章根轨迹法
15
绘制根轨迹的规则
【例5-2】已知负反馈系统的开环传递函数为：
解：(1)根轨迹的分支数和对称性 开环极点分别为： 系统的根轨迹有三条分支 (2)根轨迹的起点与终点 起始于系统的三个开环极点，并趋向于无穷远处
K1 Kb
j Kc
K1
(3)根轨迹的渐近线
Kc K1
16
绘制根轨迹的规则
闭环特征根s1，s2 随着K1值得 改变而变化。
(1) K1= 0：s1 = 0，s2 = 2，是根轨迹的起点，用“”表示。 j K1 (2) 0 < K1<1 ：s1 ，s2 均是负实数。 K1 s1 ，s2 。 s1从坐标原点开 始沿负实轴向左移动； s2从（2， K1= 0 K1= 0 K1=1 j0）点开始沿负实轴向右移动。 1 0 2 (3) K1= 1： s1 = s2 = 1，重根。
+
﹣
K s(0.5s+1)
C(s)
式中，K为系统的开环比例系数。 K1 = 2K 称为系统的开环 根轨迹增益。
系统的闭环传递函数为：
K1 ( s) 2 s 2s K1
系统的闭环特征方程为： s2 + 2s + 2K1 = 0
4
一、根轨迹
用解析法求得系统的两个闭环特征根为：
s1,2 1 1 K1
K1
分离角为：
Kb
Kc K1
17
绘制根轨迹的规则
一般情况下，如果根轨迹位于实轴上相邻的开环极点之间， 则在这两个极点之间至少存在一个分离点；同样，如果根 轨迹位于实轴上两个相邻的开环零点之间（其中一个可在 无穷远处），则这两个零点之间至少存在一个汇合点。
自动控制原理第4章根轨迹法精
上式称为根轨迹开环传递函数的标准形式。所以，绘制根轨迹图 时，首先要把开环传递函数改写成这种标准形式。
m
( zj )
K K*
J 1 n
( pi )
i 1
zj
1
j
(j
1,2,, m);
pi
1 Ti
(i
1,2,, n)
可写出幅值方程与相角方程，即
G(s)H (s) 1
G(s)H(s) 1
开环零点: z1 1.5; z2,3 2 j
（1）实轴（0~1.5）和（ 2.5 ~ ）有根轨迹。
（2）渐近线n=4 m=3，故只有一条根轨迹趋向无穷远。由实根
轨迹可知 180 。
（3）根轨迹出射角与入射角。
出射角
3
4
p2 ( 2K 1) ( p2 zi ) ( p2 pi )
d= -3.7
s2 4s 1 0
解法2 用公式有
1 1 1
d 1 j 2 d 1 j 2 d 2
解此方程 d1 3.7, d2 0.3
d1在根轨迹上，即为所求的分离点，d2不在根轨迹上舍去。 因为
z1 2, p1,2 1 j 2 n=2,m=1
系统有两条根轨迹，一条消失于零点，另一条趋于负无穷远 在实轴（－2，－∞）区段有根轨迹。 出射角
4.1根轨迹与根轨迹方程
什么是时域分析? 指控制系统在一定的输入下，根据输出量的时
域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。
4.1.1 根轨迹 4.1.2 根轨迹方程
4.1.1 根轨迹
[根轨迹定义]：系统开环传递函数增益K（或某一参数）由零到 无穷大变化时，闭环系统特征根在S平面上移动的轨迹。
例：如图所示二阶系统，
m
( zj )
K K*
J 1 n
( pi )
i 1
zj
1
j
(j
1,2,, m);
pi
1 Ti
(i
1,2,, n)
可写出幅值方程与相角方程，即
G(s)H (s) 1
G(s)H(s) 1
开环零点: z1 1.5; z2,3 2 j
（1）实轴（0~1.5）和（ 2.5 ~ ）有根轨迹。
（2）渐近线n=4 m=3，故只有一条根轨迹趋向无穷远。由实根
轨迹可知 180 。
（3）根轨迹出射角与入射角。
出射角
3
4
p2 ( 2K 1) ( p2 zi ) ( p2 pi )
d= -3.7
s2 4s 1 0
解法2 用公式有
1 1 1
d 1 j 2 d 1 j 2 d 2
解此方程 d1 3.7, d2 0.3
d1在根轨迹上，即为所求的分离点，d2不在根轨迹上舍去。 因为
z1 2, p1,2 1 j 2 n=2,m=1
系统有两条根轨迹，一条消失于零点，另一条趋于负无穷远 在实轴（－2，－∞）区段有根轨迹。 出射角
4.1根轨迹与根轨迹方程
什么是时域分析? 指控制系统在一定的输入下，根据输出量的时
域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。
4.1.1 根轨迹 4.1.2 根轨迹方程
4.1.1 根轨迹
[根轨迹定义]：系统开环传递函数增益K（或某一参数）由零到 无穷大变化时，闭环系统特征根在S平面上移动的轨迹。
例：如图所示二阶系统，
4.7 根轨迹法的应用
100% 34.6% 2.6s
ts
4
n
s22
-j4
-j6
4.8 4.8 Kf 25.6 0.9
s12
-j8
8
例 设单位负反馈系统的开环传递函数为 K* G( s) 2 (s 3s)(s 2 2s 2) 试绘制系统的根轨迹法，并分析K*=4时系统的性能。
系统的单位阶跃响应为：
1 c(t ) L [ ( s ) ] 1 1.04e 0.24t sin( 0.86t 74.03 ) s
1
超调量 峰值时间
p% e
tp
ts
1 2
100% 41.4%
n
3.5
3.65s 1 2 d
当闭环极点在实轴上取不同值，对应的根轨迹增 益如上表所示。当K*=4时，用试探法求得：
s1=-2 s2=-2.52
-3
0
特征多项式为 D(s) s 4 5s3 8s 2 6s 4
10
特征多项式为 D(s) s 4 5s3 8s 2 6s 4 用长除法得 D(s) s 4 5s3 8s 2 6s 4 s 2 0.48s 0.79 (s s1)(s s 2 ) (s 2)(s 2.52) 由s2+0.48s+0.79=0解得另两个闭环复数极点为： S3,4=-0.24±j0.86 (3)分析系统性能
16
1、增加开环极点 通常，增加位于s左半平面的开环极点，将 使根轨迹向右半平面移动，系统的稳定性能下降。 对系统的动态性能不利。 2、增加开环零点 通常，增加位于s左半平面的开环零点，将 使根轨迹向左半平面移动，系统的相对稳定性得 到改善。有利于改善系统的动态性能。
的闭环零、极点
2
1 参数根轨迹
例7: 系统的开环传递函数为
5(1 Ta s) G( s) H ( s) s(1 5s)
R( s )
5 (1 Ta s ) s (5 s 1)
C ( s)
j -0.1+0.995j 1
5(1 Ta s) 闭环传递函数为: ( s) s(1 5s) 5(1 Ta s)
主导极点与闭环简化模型：一对共轭主 导极点加闭环实零点模型
闭环实零点K=1的放大环节和s/z纯微分 环节相并联的环节
K T 2 s 2 2Ts 1
1 1 s z
系统性能的影响
振荡加剧，超调量增大，上升时间减小
第四章 线性系统的根轨迹法
18
4－4－1 闭环零、极点对系统性能的影响
主导极点与闭环简化模型：一对共轭主 导极点加闭环实极点模型
1 1 1 1 2 1 3
o
分离点d:
1 1 1 1 d 2 d 3 d 1 j d 1 j
d 0.8
p2
1
临界开环增益Kc对应坐标原点,由模值条件
K
* c
0 (1 j ) 0 (1 j ) 0 (3) 0 (2)
K c 1时, 3 K c 1 系统稳定 .
1 1 j 1 d z j i 1 d pi 分离角等于 (2k 1) / l
m
i
6
根轨迹的起始角和终 止角
起始角: p 2k ( z p p p )
j 1
j i
n
j 1 ( j i )
j i
终止角: z 2k ( z p p p )
1 参数根轨迹
例7: 系统的开环传递函数为
5(1 Ta s) G( s) H ( s) s(1 5s)
R( s )
5 (1 Ta s ) s (5 s 1)
C ( s)
j -0.1+0.995j 1
5(1 Ta s) 闭环传递函数为: ( s) s(1 5s) 5(1 Ta s)
主导极点与闭环简化模型：一对共轭主 导极点加闭环实零点模型
闭环实零点K=1的放大环节和s/z纯微分 环节相并联的环节
K T 2 s 2 2Ts 1
1 1 s z
系统性能的影响
振荡加剧，超调量增大，上升时间减小
第四章 线性系统的根轨迹法
18
4－4－1 闭环零、极点对系统性能的影响
主导极点与闭环简化模型：一对共轭主 导极点加闭环实极点模型
1 1 1 1 2 1 3
o
分离点d:
1 1 1 1 d 2 d 3 d 1 j d 1 j
d 0.8
p2
1
临界开环增益Kc对应坐标原点,由模值条件
K
* c
0 (1 j ) 0 (1 j ) 0 (3) 0 (2)
K c 1时, 3 K c 1 系统稳定 .
1 1 j 1 d z j i 1 d pi 分离角等于 (2k 1) / l
m
i
6
根轨迹的起始角和终 止角
起始角: p 2k ( z p p p )
j 1
j i
n
j 1 ( j i )
j i
终止角: z 2k ( z p p p )
根轨迹法(自动控制原理)
i1
l 1
nm
规则4：实轴上的根轨迹
➢ 实轴上的开环零点和开环极点将实轴分为若干段，对其中任一段，如果其右
边实轴上的开环零、极点总数是奇数，那么该段就一定是根轨迹的一部分。
❖ 该规则用相角条件可以证明，设实轴上有一试验点s0。 ➢ 任一对共轭开环零点或共轭极点（如p2，p3），与其对应的相角（如θ2，θ3）
第四章 根轨迹法
4.1 根轨迹的基本概念 4.2 绘制典型根轨迹 4.3 特殊根轨迹图 4.4 用MATLAB绘制根轨迹图 4.5 控制系统的根轨迹分析
内容提要
➢ 根轨迹法是一种图解法，它是根据系统的开环零 极点分布，用作图的方法简便地确定闭环系统的 特征根与系统参数的关系，进而对系统的特性进 行定性分析和定量计算。
规则3：渐近线
❖ 当n>m时，根轨迹一定有n－m支趋向无穷远；当n<m时，根轨迹一定有m－n支 来自无穷远。可以证明：
➢ 当n≠m时，根轨迹存在|n－m|支渐近线，且渐近线与实轴的夹角为：
所有渐近线交于k实轴上(2的k一n点1，)m1其8坐00标,为 k 0,1,2,,| n m | 1
n
m
pi zl
之和均为360°，也就是说任一对共轭开环零、极点不影响实轴上试验点s0的相 角条件。
➢ 对于在试验点s0左边实轴上的任一开环零、极点，与其对应的相角（如θ4，φ3） 均为0。
➢ 而试验点s0右边实轴上任一开环零、极点，与其对应的相角（如θ1，φ1，φ2） 均为180°。
所以要满足相角条件，s0右边实轴上的开环零、极点总数必须是奇数。
❖ 1948年伊凡思(W.R.Evans)提出了根轨迹法，它不 直接求解特征方程,而用图解法来确定系统的闭环 特征根。
第四章根轨迹分析
GK ( s ) K g ( s zi )
i 1 m
(s p )
j 1 j
n
1
由于GK(s)是复数s的函数，故上式为一矢量方程
根轨迹的基本概念(续)
幅值方程： 确定根轨迹上某点对应的Kg值
K g s zi
i 1 m
s p
j 1
n
1
Kg
f ( s ) D( s ) K g N ( s ) 0 D( s ) N ( s ) N ( s ) D( s ) 0 f ( s ) D( s ) K g N ( s ) 0
即由D( s) N ( s) N ( s) D( s) 0解出的s就是分离点
幅值条件和相角条件的应用
例2：单位反馈系统的Gk ( s )
Kg s( s 1)
, 试判断s1(-
1,j1)、 s2(-0.5,-j1)是否是根轨迹上的点。
解: 由相角方程得：
0 [( s2 p1 ) ( s2 p2 )] 116.6 63.4） 180 （
第四章 根轨迹法
§4-1 根轨迹的基本概念 §4-2 绘制根轨迹的基本法则 §4.3 §4.4 §4.5 §4.6 控制系统根轨迹的绘制 求取闭环系统零极点的方法 增加开环零极点对根轨迹的影响 控制系统根轨迹分析举例
1
第4章
根轨迹
本章序言
•时域分析中，高阶系统解析法求闭环极点较困 难。 •1948年，伊万斯（W.R.Evans）提出了根轨迹法。
由幅值件得：K g
n
s p s z
i 1 j 1 m
j
i
1）当Kg=0时，有s=-pi； 则根轨迹必起始于开环极点。
i 1 m
(s p )
j 1 j
n
1
由于GK(s)是复数s的函数，故上式为一矢量方程
根轨迹的基本概念(续)
幅值方程： 确定根轨迹上某点对应的Kg值
K g s zi
i 1 m
s p
j 1
n
1
Kg
f ( s ) D( s ) K g N ( s ) 0 D( s ) N ( s ) N ( s ) D( s ) 0 f ( s ) D( s ) K g N ( s ) 0
即由D( s) N ( s) N ( s) D( s) 0解出的s就是分离点
幅值条件和相角条件的应用
例2：单位反馈系统的Gk ( s )
Kg s( s 1)
, 试判断s1(-
1,j1)、 s2(-0.5,-j1)是否是根轨迹上的点。
解: 由相角方程得：
0 [( s2 p1 ) ( s2 p2 )] 116.6 63.4） 180 （
第四章 根轨迹法
§4-1 根轨迹的基本概念 §4-2 绘制根轨迹的基本法则 §4.3 §4.4 §4.5 §4.6 控制系统根轨迹的绘制 求取闭环系统零极点的方法 增加开环零极点对根轨迹的影响 控制系统根轨迹分析举例
1
第4章
根轨迹
本章序言
•时域分析中，高阶系统解析法求闭环极点较困 难。 •1948年，伊万斯（W.R.Evans）提出了根轨迹法。
由幅值件得：K g
n
s p s z
i 1 j 1 m
j
i
1）当Kg=0时，有s=-pi； 则根轨迹必起始于开环极点。
第4章 根轨迹法
，即系统的开环极点。
时，由根轨迹方程知根轨迹的终点为
，即系统的开环零点。
但是，当
时，
条根轨迹趋向于开环零点（称为有限零点），还有
条根轨迹将趋于无穷远处（称为无限零点）。
如果出现
的情况，必有
条根轨迹的起点在无穷远处。
规则2 根轨迹的分支数、对称性和连续性根轨迹的分支 数等于 ， 根轨迹对称于实轴并且连续变化。
由根轨迹的对称性和连续性，根轨迹只需作出上半部分，对称画出另一部分，且根轨迹连续变化。
规则3 根轨迹的渐近线 当开环极点数大于开环零点数时，有n-m条根轨迹 趋于无穷远处，无穷远处的渐近线与实轴的交点为 ， 渐近线与实轴正方向的夹角(倾角)为
例4-1单位负反馈系统的开环传递函数为
规则10 根之积 根据特征方程根和系数的关系，得
第1章 引 论
例：系统的开环传递函数为
开环极点为
渐近线于实轴的交点为
渐近线的倾角为
与虚轴的交点为
第1章 引 论
根轨迹的分会点：
第1章 引 论
第1章 引 论
第1章 引 论
例：系统的开环传递函数为
开环极点为
渐近线于实轴的交点为
4.6 MATLAB绘制系统的根轨迹 对于比较复杂的系统，人工绘制根轨迹十分复杂和困难，MATLAB绘制系统根轨迹是十分方便的。 通常将系统的开环传递函数写成如下形式
分别为分子和分母多项式。
采用MATLAB命令： pzmap(num,den)可以绘制系统的零、极点图； rlocus(num,den)可以绘制系统的根轨迹图； rlocfind(num,den)可以确定系统根轨迹上某些点的增益。
渐近线的倾角为
与虚轴的交点为
时，由根轨迹方程知根轨迹的终点为
，即系统的开环零点。
但是，当
时，
条根轨迹趋向于开环零点（称为有限零点），还有
条根轨迹将趋于无穷远处（称为无限零点）。
如果出现
的情况，必有
条根轨迹的起点在无穷远处。
规则2 根轨迹的分支数、对称性和连续性根轨迹的分支 数等于 ， 根轨迹对称于实轴并且连续变化。
由根轨迹的对称性和连续性，根轨迹只需作出上半部分，对称画出另一部分，且根轨迹连续变化。
规则3 根轨迹的渐近线 当开环极点数大于开环零点数时，有n-m条根轨迹 趋于无穷远处，无穷远处的渐近线与实轴的交点为 ， 渐近线与实轴正方向的夹角(倾角)为
例4-1单位负反馈系统的开环传递函数为
规则10 根之积 根据特征方程根和系数的关系，得
第1章 引 论
例：系统的开环传递函数为
开环极点为
渐近线于实轴的交点为
渐近线的倾角为
与虚轴的交点为
第1章 引 论
根轨迹的分会点：
第1章 引 论
第1章 引 论
第1章 引 论
例：系统的开环传递函数为
开环极点为
渐近线于实轴的交点为
4.6 MATLAB绘制系统的根轨迹 对于比较复杂的系统，人工绘制根轨迹十分复杂和困难，MATLAB绘制系统根轨迹是十分方便的。 通常将系统的开环传递函数写成如下形式
分别为分子和分母多项式。
采用MATLAB命令： pzmap(num,den)可以绘制系统的零、极点图； rlocus(num,den)可以绘制系统的根轨迹图； rlocfind(num,den)可以确定系统根轨迹上某些点的增益。
渐近线的倾角为
与虚轴的交点为
根轨迹法讲解和性能指标
根轨迹在[s]平面上的分支数等于闭环特征方程 式的阶数n。也就是说根轨迹的分支数与系统闭环 极点数目相同。
26
因系统特征方程式的某些系数是系统开环 根轨迹增益K 的函数，所以当 K在0~∞之间连续 变化时，系统闭环特征方程式的某些系数也随之 连续变化，因此，闭环特征根的变化也是连续的， 根轨迹也是连续的。
23
规则1 ：起点和终点 根轨迹一定开始于开环极点，终止于开环零点。
因为根轨迹是闭环特征方程的根，当K=0时 方程的根就是它的n个开环极点，当K→∞时方程 的根就是它的m个开环零点。根轨迹的起点和终 点是根轨迹的特殊点。
当n=m时，开始于n个开环极点的n支根轨迹， 正好终止于m个开环零点。
24
当n>m时，开始于n个开环极点的n支根轨迹， 有m支终止于开环零点，有n-m支终止于无穷远处。 用式（4-9）可以解释这一规则：终点就是K→∞的 点，要K→∞只有两种情况，一是s=zl(l=1,2,…,m)， 二是s→∞。这时，无穷远处也称为‘无穷远零点’。
根据复数等式两边的幅值和相角应分别相等的 原则，可以得到绘制系统根轨迹的基本条件，即幅 值条件和相角条件：
G(s)H(s) 1
G(s)H(s)(2q1)
q0,1,2,...
该条件是判断复平面上某点是否在系统根轨迹 上的充要条件。
11
系统开环传递函数通常可以写成零极点达式：
m
K1 (s zi )
图4-4 实轴上的根轨迹
29
这个规则用相角条件可以证明。考虑实轴上的 某一试验点s0（见图4-4），任一对共轭开环零点或 共轭极点（如p2，p3）对应的相角（如θ2，θ3）之和 均为3600，也就是说任一对共轭开环零、极点不影 响实轴上试验点s0的相角条件。再看实轴上的开环零、 极点，对试验点s0，其左边实轴上任一开环零、极点 对应的相角（如θ4,φ3）均为0，其右边实轴上任一开 环零、极点对应的相角（如θ1,φ1,φ2）均为1800。所 以要满足相角条件，s0右边实轴上的开环零极点总数 必须是奇数。
26
因系统特征方程式的某些系数是系统开环 根轨迹增益K 的函数，所以当 K在0~∞之间连续 变化时，系统闭环特征方程式的某些系数也随之 连续变化，因此，闭环特征根的变化也是连续的， 根轨迹也是连续的。
23
规则1 ：起点和终点 根轨迹一定开始于开环极点，终止于开环零点。
因为根轨迹是闭环特征方程的根，当K=0时 方程的根就是它的n个开环极点，当K→∞时方程 的根就是它的m个开环零点。根轨迹的起点和终 点是根轨迹的特殊点。
当n=m时，开始于n个开环极点的n支根轨迹， 正好终止于m个开环零点。
24
当n>m时，开始于n个开环极点的n支根轨迹， 有m支终止于开环零点，有n-m支终止于无穷远处。 用式（4-9）可以解释这一规则：终点就是K→∞的 点，要K→∞只有两种情况，一是s=zl(l=1,2,…,m)， 二是s→∞。这时，无穷远处也称为‘无穷远零点’。
根据复数等式两边的幅值和相角应分别相等的 原则，可以得到绘制系统根轨迹的基本条件，即幅 值条件和相角条件：
G(s)H(s) 1
G(s)H(s)(2q1)
q0,1,2,...
该条件是判断复平面上某点是否在系统根轨迹 上的充要条件。
11
系统开环传递函数通常可以写成零极点达式：
m
K1 (s zi )
图4-4 实轴上的根轨迹
29
这个规则用相角条件可以证明。考虑实轴上的 某一试验点s0（见图4-4），任一对共轭开环零点或 共轭极点（如p2，p3）对应的相角（如θ2，θ3）之和 均为3600，也就是说任一对共轭开环零、极点不影 响实轴上试验点s0的相角条件。再看实轴上的开环零、 极点，对试验点s0，其左边实轴上任一开环零、极点 对应的相角（如θ4,φ3）均为0，其右边实轴上任一开 环零、极点对应的相角（如θ1,φ1,φ2）均为1800。所 以要满足相角条件，s0右边实轴上的开环零极点总数 必须是奇数。
自动控制原理大纲
《自动控制原理》课程教学大纲课程编号：课程名称：自动控制原理英文名称：Automatic Control Theory课程类型:专业必修课总学时：63讲课学时：45 上机学时：18学分：2.5（0.5）适用对象：能源动力及其自动化专业先修课程：高等数学、大学物理、积分变换、电路、数字电子技术、模拟电子技术一、课程性质、目的和任务本课程为能源动力及其自动化专业的主要专业基础课程之一，目的是使学生掌握负反馈控制原理、控制系统数学模型的建立和系统性能分析、设计的基本方法，培养学生分析和设计自动控制系统性能的基本能力并能满足其它后续专业课程对自动控制理论知识的需要。
二、教学基本要求本课程采用时域法、根轨迹法和频率特性法对自动控制系统的性能进行分析和设计，学完本课程应达到以下基本要求。
1．掌握负反馈控制原理掌握负反馈控制原理，能够分析负反馈控制系统的调节过程并画出相应的控制系统方框图。
了解控制系统的基本构成和分类。
2．熟悉建立控制系统数学模型的方法熟悉用拉氏变换法求解线性系统微分方程的基本方法。
掌握控制系统传递函数、动态结构图建立和简化方法。
3．熟悉运用时域分析法分析系统性能的方法掌握典型二阶系统的单位阶跃响应以及性能指标的求取。
掌握用劳斯代数稳定判据判断系统的稳定性的方法。
掌握求系统的稳态误差及误差系数的方法。
4．熟悉用根轨迹分析法分析控制系统性能的方法掌握根据系统开环传递函数的零、极点分布绘制闭环系统根轨迹图的基本方法。
根据根轨迹图分析控制系统的性能。
了解开环零、极点对系统性能的影响。
5．熟悉频率分析法分析控制系统性能的方法熟悉典型环节频率特性的求取以及频率特性曲线，掌握系统开环对数频率特性曲线、极坐标曲线绘制的基本方法。
了解根据开环对数频率特性曲线分析闭环系统性能的方法。
熟悉用奈奎斯特稳定判据判断系统稳定性的方法。
掌握稳定裕度的计算方法。
6．熟悉非线性控制系统的分析方法了解非线性控制系统的特点和常见非线性特性。
自动控制理论第五章
kg K 2K s (0.5s 1) s ( s 2) s ( s 2)
k g 2K
开环有两个极点： p1= 0， p2=－2 开环没有零点。 闭环特征方程为： D(s) = s2 +2s + kg = 0 s 解得闭环特征根（亦即闭环极点） s1 1 1 k g ；2 1 1 k g 可见，当kg 变化，两个闭环极点也随之连续变化。 当kg 从0→∞变化时，直接描点作出两个闭环极点的变化轨迹
（1）当 kg = 0时，s1 = 0、s2 = －2，此时闭环极点 就是开环极点。 （2）当0＜kg＜1时，s1、s2均为负实数，且位于负 实轴的（－2，0） 一段上。 （3）当kg = 1时，s1 = s2 = －1，两个负实数闭环极 点重合在一起。 （4）当1＜kg＜∞时，s1，2 =－1± j k g 1 ，两个闭 环极点变为一对共轭复数极点。s1、s2的实部不随kg 变化，其位于过（－1，0）点且平行于虚袖的直线 上。 （5）当kg＝∞时， s1 = －1+ j∞、s2 = －1－j∞， 此时s1、s2将趋于无限远处。
例：求上例中根轨迹上
s2 (0.5, j1)
点对应的kg 。
k 解 ：g s2 p1 s2 p2 0.5 j 0 0.5 j 1 1.118 1.118 1.25 s2 p1 、 s2 p2 也可以用直尺测量向量的长度。
5．2 绘制根轨迹的基本规则
不符合相角条件， s1不在根轨迹上。
满足相角条件， s2在根轨迹上。
2. 用幅植条件确定kg的值 幅值条件：
n
kg
s p
j 1 m i 1
j
s zi
自动控制原理_第4章_线性系统的根轨迹法
4.2 绘制根轨迹的依据--根轨迹方程
R(s)
G ( s) H ( s)
C(s)
一、闭环零极点与开环零极点的关系
* KG
* KH d
G( s)
Π ( s z j )
j 1
a
( s pi ) Π i 1
* a
b
* KG A( s)
B( s)
c
H ( s)
Π ( s zl )
K* G( s) s( s 1)(s 2)
试绘制系统的概略根轨迹。 解：开环极点 p1=0， p2=-1， p3=-2，无开环零点。
实轴上的根轨迹 (-∞，-2]， [-1，0]。 渐进线 n=3，m=0，有三条渐进线。
0 1 2 1 交点 a nm 3
i 1
pi
1/4<K<∞时，s1,s2为一对共轭复根； K=1/2时，s1,2=－1/2±j0.5。
注意：一组根对应同一个K；K 一变，一组根变；K一停， 一组根停；
K=0.5 K=0 -1
jω
j0.5 0
σ
-j0.5 根轨迹：简称根迹，它是指系统中某一 K=0.1875 K=0.25
参数在可能的取值范围内连续变化时， 闭环系统特征根在s平面上的变化轨迹。
a
pi z j
i 1 j 1
n
m
nm
a
(2k 1) nm
k 0,1,2,, 直到获得(n m)个夹角为止 .
开环传递函数
G ( s) H (s) K * Π ( s z j )
j 1 m
( s pi ) Π i 1
n
K*
第五章根轨迹分析方法自测题__参考答案
第五章 根轨迹分析方法 自测题__参考答案5-1 设闭环系统的开环传递函数为2(5)()0(48)K s G s K s s s +=>++，请用相位条件检验下列S 平面上的点是不是根轨迹上的点，如果是根轨迹上的点，则用幅值条件计算该点所对应的K 值。
（1）（－1，j0）；（2）（-1.5，j2）；（3）（－6，j0）；（4）（－4，j3）；（5）（－3，j2.37）解： （1）是; K ＝5/4（2）是; K ＝5/4（3）不是根轨迹上的点。
（4）不是根轨迹上的点。
（5）是; K ＝7。
5-2 单位负反馈系统的开环传递函数为：()0(1)KG s K s Ts =>+，，若希望闭环系统所有特征根实部均小于-2，请绘制根轨迹草图确定T 的取值范围。
若再要求系统阻尼比ζ不小于0.5，请画出期望的特征根在S 平面上的分布范围。
解：分离点的位置是： 0<T<1/45-3 控制系统结构如图5-3所示，试由根轨迹的方法确定使闭环系统稳定的KK t 的取值范围。
解：系统开环传递函数为：()(0.251)t KG s s s KK =-+有2个开环极点：120, 4(1)t s s KK ==-由于K>0，故欲保证闭环系统稳定，只需要2个开环极点均位于S 左半平面即可 故101t t KK KK -<⇒>R (s )s )图5-3 控制系统示意图即只要满足条件 1t KK >。
5-4 单位负反馈系统的开环传递函数为：123()()()()()K s z G s s p s p s p +=+++其零、极点分布如图5-4所示，试采用根轨迹方法确定使系统稳定的K 的范围。
解：可以绘制根轨迹的概略图。
从+1、－1出发的2条根轨迹相向而行，在分离点离开实轴进入复域。
由已知的零极点分布容易判断，分离点一定是在左半平面。
渐近线与实轴的交点：－0.5，为平行于虚轴的垂直线容易看出，当一个极点从s=1出发，往S 左半平面移动，过原点为系统稳定与否的分界点。
自动控制理论第四章 线性系统的根轨迹分析
由以上分析得知：
根轨迹表明了系统参数对闭环极点分布的影 响，通过它可以分析系统的稳定性、稳态和 暂态性能与系统参数之间的关系。
利用根轨迹，可对系统动态特性进行下述分析： （1）判断该系统在K1从0到变化时的稳定性； （2）判断系统在K1从0到变化时根轨迹的条数； （3）判断该系统K1取值在何范围时处于过阻尼、 临界阻尼和 欠阻尼状态； （4）判断系统的“型”，从而计算系统稳态特性； （5）当K1值确定后，在根轨迹上找到闭环极点，从而计算系 统闭环性能指标；或反之；
•根轨迹法作为经典控制理论的基本方法,与频率特性法 互为补充,是分析和研究自动控制系统的有效工具。
•实际上，我们可以利用matlab方便地绘制系统的根轨 迹图。
本章内容
第一节 根轨迹的基本概念 第二节 绘制根轨迹的方法 第三节 参量根轨迹和多回路系统根轨迹 第四节 正反馈系统和零度根轨迹 第五节 利用根轨迹分析系统的暂态性能 第六节 延迟系统的根轨迹 本章小结、重点和习题
当K1由0变化到时，试按一般步骤与规则绘制 其根轨迹图。 解: （1）本系统为3阶系统，有3条根轨迹； （2）起始点：系统没有开环零点，只有三个开环 极点，分别为p1=0，p2=-1，p3=-2。 （3）渐近线：K1时， p1 p2 p3 0 1 2 a 1 有3条根轨迹趋向无穷远处， nm 30 其渐近线与实轴的交点和 (2q 1)180 (2q 1)180 a nm 3 倾角分别为：
满足相角条件,s1=-1.5+j2.5是该系统根轨迹上的点。
（3）利用幅值条件求得与s1 相对应的K1值。
K1
s1 ( s1 2) ( s1 6.6) ( s1 4)
1.5 j 2.5 0.5 j 2.5 5.1 j 2.5 2.5 j 2.5
5第三节延迟系统的根轨迹 求取闭环系统零极点的方法汇总
m
s s
(s zi ) m
i 1 m
(s pi ) n
i 1
n
(s zi ) 0
i 1
(s pi ) 0
i 1
n
57.3 N
根轨迹渐近线仅与虚轴相交，交点为
N 57.3
N 2 , 1 , 0 , 1 , 2 ,
i 1
n
s3 4.2
闭环零点的确定
单位负反馈系统的闭环零点
非单位负反馈系统的闭环零点 有零极点相消的情况
系统闭环零、极点位置与暂态响应的关系： （1）系统的稳定性只取决于闭环极点的位置。 （2）为了得到快速性，闭环极点要远离虚轴。如果闭环极 点均为负实数，且无零点，则系统的暂态响应为非振荡的， 响应时间取决于距离虚轴最近的极点，若其它极点距离虚 轴的距离比最近极点的距离大5倍以上，可以忽略不计。 （3） 平稳性：一般取阻尼角为45度 （4）如果系统具有一对闭环主导极点，则系统的暂态响应 呈振荡性质，其超调量主要取决于主导极点的衰减率
K1
j 1 n i 1
s zj s pi
m
e 1
K1
i 1 m
s pi
n
e
j 1
s zj
K1 0
K1
i 1
m
(s zi )
i 1
n
(s pi ) 57.3 (2k 1)
k 0、 1、 2、
趋于无穷远
（2）实轴上的根轨迹
N 57.3
（-∞，-1]
N 2 , 1 , 0 , 1 , 2 ,
s s
(s zi ) m
i 1 m
(s pi ) n
i 1
n
(s zi ) 0
i 1
(s pi ) 0
i 1
n
57.3 N
根轨迹渐近线仅与虚轴相交，交点为
N 57.3
N 2 , 1 , 0 , 1 , 2 ,
i 1
n
s3 4.2
闭环零点的确定
单位负反馈系统的闭环零点
非单位负反馈系统的闭环零点 有零极点相消的情况
系统闭环零、极点位置与暂态响应的关系： （1）系统的稳定性只取决于闭环极点的位置。 （2）为了得到快速性，闭环极点要远离虚轴。如果闭环极 点均为负实数，且无零点，则系统的暂态响应为非振荡的， 响应时间取决于距离虚轴最近的极点，若其它极点距离虚 轴的距离比最近极点的距离大5倍以上，可以忽略不计。 （3） 平稳性：一般取阻尼角为45度 （4）如果系统具有一对闭环主导极点，则系统的暂态响应 呈振荡性质，其超调量主要取决于主导极点的衰减率
K1
j 1 n i 1
s zj s pi
m
e 1
K1
i 1 m
s pi
n
e
j 1
s zj
K1 0
K1
i 1
m
(s zi )
i 1
n
(s pi ) 57.3 (2k 1)
k 0、 1、 2、
趋于无穷远
（2）实轴上的根轨迹
N 57.3
（-∞，-1]
N 2 , 1 , 0 , 1 , 2 ,
闭环极点的确定
i 1
m
n
规则5：根轨迹分离点与分离角 两条或两条以上的根轨迹分支在 s 平面上相遇又立即 分开的点称为分离点（会合点）。 分离点（会合点）的坐标 d 由下列方程所决定：
(1)
n 1 1 j 1 d z j i 1 d p i m
(3)
dK * ds
s d
0
或
K * M ( s) 1 G( s) H ( s) 1 0 (2) N ( s)
第四章 线性系统的根轨迹法
●本章主要内容与重点 ● 根轨迹方程
●根轨迹绘制的基本法则
●根轨迹系统的性能分析
本章主要内容
本章阐述了控制系统 的根轨迹分析方法。包 括根轨迹的基本概念、 绘制系统根轨迹的基本 条件和基本规则,以及利 用根轨迹如何分析控制 系统的性能。
本章重点
学习本章内容, 应重点掌握根轨迹的 基本概念、绘制根轨 迹的条件、系统根轨 迹的绘制规则和利用 根轨迹分析系统性能
四、根轨迹方程
由闭环传递函数
G (s) (s) 1 G (s) H (s)
1 G(s) H (s) 0
K* 0
* j 1 K n i 1
(s z j ) 1
m
根轨迹方程
(s pi )
当 求出相应的根，就可以在s平面上绘制出根轨迹。 根轨迹变化的参数不一定是参数 K * 也可使其他参数
1 ( k * ) n m 1
nm k * [cos
(2k 1) (2k 1) sin ] nm nm
另s j带入上述方程
方程两边实部和虚部分别相等即可求出下式
( a )tg a
(2k 1) a nm
m
n
规则5：根轨迹分离点与分离角 两条或两条以上的根轨迹分支在 s 平面上相遇又立即 分开的点称为分离点（会合点）。 分离点（会合点）的坐标 d 由下列方程所决定：
(1)
n 1 1 j 1 d z j i 1 d p i m
(3)
dK * ds
s d
0
或
K * M ( s) 1 G( s) H ( s) 1 0 (2) N ( s)
第四章 线性系统的根轨迹法
●本章主要内容与重点 ● 根轨迹方程
●根轨迹绘制的基本法则
●根轨迹系统的性能分析
本章主要内容
本章阐述了控制系统 的根轨迹分析方法。包 括根轨迹的基本概念、 绘制系统根轨迹的基本 条件和基本规则,以及利 用根轨迹如何分析控制 系统的性能。
本章重点
学习本章内容, 应重点掌握根轨迹的 基本概念、绘制根轨 迹的条件、系统根轨 迹的绘制规则和利用 根轨迹分析系统性能
四、根轨迹方程
由闭环传递函数
G (s) (s) 1 G (s) H (s)
1 G(s) H (s) 0
K* 0
* j 1 K n i 1
(s z j ) 1
m
根轨迹方程
(s pi )
当 求出相应的根，就可以在s平面上绘制出根轨迹。 根轨迹变化的参数不一定是参数 K * 也可使其他参数
1 ( k * ) n m 1
nm k * [cos
(2k 1) (2k 1) sin ] nm nm
另s j带入上述方程
方程两边实部和虚部分别相等即可求出下式
( a )tg a
(2k 1) a nm
5闭环系统的极点和零点
i
1 + Kg 0
∏ (s + zi ) ∏ (s + p )
s + zi )
i =1
m1
∏ (s + p j ) + Kg0 ∏ (s + zi )
j =1 i =1
n1
m1
非单位反馈系统： {闭环零点}＝{前向通道零点}＋{反馈通道极点} 单位反馈系统： {闭环零点}＝{前向通道零点}
=−
∑ p −∑z
j
i
4. 分离点：θ d = π
n−m
=−
0 +1+ 2 = −1 3
θ=
2k π + π π = ± ,π n−m 3
2
3 = -0.423,-1.577(舍) 3
N ' ( s ) D( s ) − N ( s) D ' ( s) = 0 ⇒ 3s 2 + 6 s + 2 = 0 ⇒ s1,2 = −1 ±
R(s) G(s) C(s)
⇒
，H ( s) = ( s + 1)( s + 3) ，求闭环系统的极零点
H0(s)H1(s)
【例 2】设系统 G ( s ) =
Kg s ( s + 1)( s + 2)
方法一：直接使用1/H(s)，变换
GH = Kg ( s + 3) s ( s + 2)
1/ H = ( s + 1)( s + 3)
用闭环极点和的定理， ∑ − s j = ∑ − p j ⇒ − s3 − = −3 ⇒ − s3 = −7 / 3 = −2.333 3
−7 / 3
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1 1 es s 1 2 2 e 1 s s 2! 1 1 s / 2 es es 1 s e s 1 s 1 s / 2
说明： 1、以近似式画出的根轨迹图与主根轨迹近似。 2、当开环增益较大时，近似方法误差很大。
第四节、闭环极点、零点的确定 例 : 设反馈控制系统的开环传递函数为
m
s s
(s zi ) m
i 1 m
(s pi ) n
i 1
n
(s zi ) 0
i 1
(s pi ) 0
i 1
n
57.3 N
根轨迹渐近线仅与虚轴相交，交点为
N 57.3
N 2 , 1 , 0 , 1 , 2 ,
G( s) H ( s) K s( s 1)(0.25s 1)
若要求闭环系统的阻尼比ξ =0.5,求系统闭环极点。
解： （1）根据根轨迹画法基本规则画出根轨迹图； （2）在根轨迹图上画出阻尼比线； （3）求出根轨迹与阻尼比线的交点得到闭环主导极
点的位置；
（4）根据幅值条件，求出对应的开环增益； （5）利用闭环特征方程的根之和和根之积确定
例：设滞后系统的开环传递函数为
G （s)e s K g e s s 1
要求绘制此系统的根轨迹图。 解： 系统特征方程为
1 K g e s s 1 0
绘制根轨迹的相角条件为 57.3 (s 1) (2k 1) （1）根轨迹的起点和终点 起点 p1=-1 , σ= -∞ 终点
i 1
m
n
z j＝57.3 (2k 1)＋
( z j pi ) ( z j zi )
i 1 i 1 i j
n
i 1 i j
m
k 0、 1、 2、
（7）、根轨迹与虚轴的交点：
令s j代入特征方程
1 e s G ( s ) 0 求解
k=0 的根轨迹，称为主根轨迹 k=1、2、… 的根轨迹，称为辅助根轨迹 作 图 方 法
( s 1) 180 57.3 j s
1
1
180 57.3 1
p 1 1
系统中滞后环节的存在对系统的稳定性带来不利影响, 如果系统的开环增益较大,即使原来为一阶的系统也 可能变为不稳定系统。
G ( s ) K1
j 1 n i 1
(s z j ) ( s pi )
m
esG( s) K1
j 1 n i 1
(s z j ) ( s pi )
m
es 1
幅值条件
j 1 K1 n i 1
相角条件
s zj e s pi
1 esG(s) 0
这是一个超越方程，闭环系统的特征根不再是有限个， 而是无限多个，这是滞后系统的重要特征。
滞后系统根轨迹幅值相位条件
esG(s) 1 e s e ( j ) e e j e 180 ( ) 57.3
其它闭环极点。
阻尼比线
sd
闭环主 导极点
闭环主导极点为
sd 0.4 j 0.69
根据幅值条件开环增益为
K g＝
s p sz
i 1 i 1 m
n
i
sd pi 2.70
i 1
4
i
特征方程
s3 5s 2 4s 4K 0
si a1 5
m
e 1
j 1 n i 1
s zj s pi
m
e
1 K1
起点
s pi
,
终点
s zj
,
（3）、实轴上的根轨迹：实轴上根轨迹区段的右侧(实轴上)开 环实零、极点数目之和相应为奇数。 （4）、根轨迹的渐近线：
根轨迹渐近线有无数条，且平行于实轴
K1
j 1 n i 1
s zj s pi
m
e 1
K1
i 1 m
s pi
n
e
j 1
s zj
K1 0
K1
i 1
m
(s zi )
i 1
n
(s pi ) 57.3 (2k 1)
m
1
i 1
m
(s zi )
i 1
n
(s pi ) 57.3 (2k 1)
k 0 , 1 , 2 ,
绘制滞后系统根轨迹的基本规则
（1）、滞后系统的根轨迹是连续的并对称于实轴
（2）、根轨迹的起点和终点
K1
j 1 n i 1
s zj s pi
第三节 求取闭环零极点
§4—3 控制系统系统的根轨迹的绘制 5 延迟系统：在自动控制系统中有时会出现纯时间滞后现象
R( s)
G ( s)
e
s
C (s)
滞后环节的存在使系统的根轨迹具有一定的特殊 性，对系统的稳定性会带来不利的影响。 系统闭环传递函数 特征方程
C (s) e s G ( s ) R ( s ) 1 e s G ( s )
k 0、 1、 2、
趋于无穷远
ห้องสมุดไป่ตู้
（2）实轴上的根轨迹
N 57.3
（-∞，-1]
N 2 , 1 , 0 , 1 , 2 ,
（3）根轨迹的渐近线平行于实轴并与虚轴交于
（4）令k=0画出主根轨迹
57.3 (s 1) (2k 1)
k 0、 1、 2、
（5）、根轨迹的分离点：
dK1 d[esG(s)] 0 ds ds
（6）、根轨迹的出射角和入射角：
i 1
m
(s zi )
i 1
n
(s pi ) 57.3 (2k 1)
p j＝57.3 (2k 1)＋
( p j zi ) ( p j pi )
i 1
n
s3 4.2
闭环零点的确定
说明： 1、以近似式画出的根轨迹图与主根轨迹近似。 2、当开环增益较大时，近似方法误差很大。
第四节、闭环极点、零点的确定 例 : 设反馈控制系统的开环传递函数为
m
s s
(s zi ) m
i 1 m
(s pi ) n
i 1
n
(s zi ) 0
i 1
(s pi ) 0
i 1
n
57.3 N
根轨迹渐近线仅与虚轴相交，交点为
N 57.3
N 2 , 1 , 0 , 1 , 2 ,
G( s) H ( s) K s( s 1)(0.25s 1)
若要求闭环系统的阻尼比ξ =0.5,求系统闭环极点。
解： （1）根据根轨迹画法基本规则画出根轨迹图； （2）在根轨迹图上画出阻尼比线； （3）求出根轨迹与阻尼比线的交点得到闭环主导极
点的位置；
（4）根据幅值条件，求出对应的开环增益； （5）利用闭环特征方程的根之和和根之积确定
例：设滞后系统的开环传递函数为
G （s)e s K g e s s 1
要求绘制此系统的根轨迹图。 解： 系统特征方程为
1 K g e s s 1 0
绘制根轨迹的相角条件为 57.3 (s 1) (2k 1) （1）根轨迹的起点和终点 起点 p1=-1 , σ= -∞ 终点
i 1
m
n
z j＝57.3 (2k 1)＋
( z j pi ) ( z j zi )
i 1 i 1 i j
n
i 1 i j
m
k 0、 1、 2、
（7）、根轨迹与虚轴的交点：
令s j代入特征方程
1 e s G ( s ) 0 求解
k=0 的根轨迹，称为主根轨迹 k=1、2、… 的根轨迹，称为辅助根轨迹 作 图 方 法
( s 1) 180 57.3 j s
1
1
180 57.3 1
p 1 1
系统中滞后环节的存在对系统的稳定性带来不利影响, 如果系统的开环增益较大,即使原来为一阶的系统也 可能变为不稳定系统。
G ( s ) K1
j 1 n i 1
(s z j ) ( s pi )
m
esG( s) K1
j 1 n i 1
(s z j ) ( s pi )
m
es 1
幅值条件
j 1 K1 n i 1
相角条件
s zj e s pi
1 esG(s) 0
这是一个超越方程，闭环系统的特征根不再是有限个， 而是无限多个，这是滞后系统的重要特征。
滞后系统根轨迹幅值相位条件
esG(s) 1 e s e ( j ) e e j e 180 ( ) 57.3
其它闭环极点。
阻尼比线
sd
闭环主 导极点
闭环主导极点为
sd 0.4 j 0.69
根据幅值条件开环增益为
K g＝
s p sz
i 1 i 1 m
n
i
sd pi 2.70
i 1
4
i
特征方程
s3 5s 2 4s 4K 0
si a1 5
m
e 1
j 1 n i 1
s zj s pi
m
e
1 K1
起点
s pi
,
终点
s zj
,
（3）、实轴上的根轨迹：实轴上根轨迹区段的右侧(实轴上)开 环实零、极点数目之和相应为奇数。 （4）、根轨迹的渐近线：
根轨迹渐近线有无数条，且平行于实轴
K1
j 1 n i 1
s zj s pi
m
e 1
K1
i 1 m
s pi
n
e
j 1
s zj
K1 0
K1
i 1
m
(s zi )
i 1
n
(s pi ) 57.3 (2k 1)
m
1
i 1
m
(s zi )
i 1
n
(s pi ) 57.3 (2k 1)
k 0 , 1 , 2 ,
绘制滞后系统根轨迹的基本规则
（1）、滞后系统的根轨迹是连续的并对称于实轴
（2）、根轨迹的起点和终点
K1
j 1 n i 1
s zj s pi
第三节 求取闭环零极点
§4—3 控制系统系统的根轨迹的绘制 5 延迟系统：在自动控制系统中有时会出现纯时间滞后现象
R( s)
G ( s)
e
s
C (s)
滞后环节的存在使系统的根轨迹具有一定的特殊 性，对系统的稳定性会带来不利的影响。 系统闭环传递函数 特征方程
C (s) e s G ( s ) R ( s ) 1 e s G ( s )
k 0、 1、 2、
趋于无穷远
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（2）实轴上的根轨迹
N 57.3
（-∞，-1]
N 2 , 1 , 0 , 1 , 2 ,
（3）根轨迹的渐近线平行于实轴并与虚轴交于
（4）令k=0画出主根轨迹
57.3 (s 1) (2k 1)
k 0、 1、 2、
（5）、根轨迹的分离点：
dK1 d[esG(s)] 0 ds ds
（6）、根轨迹的出射角和入射角：
i 1
m
(s zi )
i 1
n
(s pi ) 57.3 (2k 1)
p j＝57.3 (2k 1)＋
( p j zi ) ( p j pi )
i 1
n
s3 4.2
闭环零点的确定