5第三节延迟系统的根轨迹 求取闭环系统零极点的方法汇总

其它闭环极点。
阻尼比线
sd
闭环主 导极点
闭环主导极点为
sd 0.4 j 0.69
根据幅值条件开环增益为
K g＝
s p sz
i 1 i 1 m
n
i
sd pi 2.70
i 1
4
i
特征方程
s3 5s 2 4s 4K 0
si a1 5
（5）、根轨迹的分离点：
dK1 d[esG(s)] 0 ds ds
（6）、根轨迹的出射角和入射角：

i 1
m
(s zi )

i 1
n
(s pi ) 57.3 (2k 1)
p j＝57.3 (2k 1)＋
( p j zi ) ( p j pi )
m
e 1
j 1 n i 1
s zj s pi
m
e
1 K1
起点
s pi
,
终点
s zj
,
（3）、实轴上的根轨迹：实轴上根轨迹区段的右侧(实轴上)开 环实零、极点数目之和相应为奇数。 （4）、根轨迹的渐近线：
根轨迹渐近线有无数条，且平行于实轴
m
1

i 1
m
(s zi )

i 1
n
(s pi ) 57.3 (2k 1)
k 0 , 1 , 2 ,
绘制滞后系统根轨迹的基本规则
（1）、滞后系统的根轨迹是连续的并对称于实轴
（2）、根轨迹的起点和终点
K1
j 1 n i 1
s zj s pi
k 0、 1、 2、
趋于无穷远
（2）实轴上的根轨迹

N 57.3

（-∞，-1]
N 2 , 1 , 0 , 1 , 2 ,
（3）根轨迹的渐近线平行于实轴并与虚轴交于

（4）令k=0画出主根轨迹
57.3 (s 1) (2k 1)
k 0、 1、 2、
第三节 求取闭环零极点
§4—3 控制系统系统的根轨迹的绘制 5 延迟系统：在自动控制系统中有时会出现纯时间滞后现象
R( s)

G ( s)
e
s
C (s)
滞后环节的存在使系统的根轨迹具有一定的特殊 性，对系统的稳定性会带来不利的影响。 系统闭环传递函数 特征方程
C (s) e s G ( s ) R ( s ) 1 e s G ( s )
G( s) H ( s) K s( s 1)(0.25s 1)
若要求闭环系统的阻尼比ξ =0.5,求系统闭环极点。
解： （1）根据根轨迹画法基本规则画出根轨迹图； （2）在根轨迹图上画出阻尼比线； （3）求出根轨迹与阻尼比线的交点得到闭环主导极
点的位置；
（4）根据幅值条件，求出对应的开环增益； （5）利用闭环特征方程的根之和和根之积确定
i 1
m
n
z j＝57.3 (2k 1)＋
( z j pi ) ( z j zi )
i 1 i 1 i j
n
i 1 i j
m
k 0、 1、 2、
（7）、根轨迹与虚轴的交点：
令s j代入特征方程
1 e s G ( s ) 0 求解
K1
j 1 n i 1
s zj s pi
m
e 1
K1
i 1 m
s pi
n
e
j 1
s zj
K1 0
K1

i 1
m
(s zi )

i 1
n
(s pi ) 57.3 (2k 1)
G ( s ) K1
j 1 n i 1
(s z j ) ( s pi )
m
esG( s) K1
j 1 n i 1
(s z j ) ( s pi )
m
es 1
幅值条件
j 1 K1 n i 1
相角条件

s zj e s pi
k=0 的根轨迹，称为主根轨迹 k=1、2、… 的根轨迹，称为辅助根轨迹 作 图 方 法
( s 1) 180 57.3 j s
1
1
180 57.3 1
p 1 1

系统中滞后环节的存在对系统的稳定性带来不利影响, 如果系统的开环增益较大,即使原来为一阶的系统也 可能变为不稳定系统。
1 esG(s) 0
这是一个超越方程，闭环系统的特征根不再是有限个， 而是无限多个，这是滞后系统的重要特征。
滞后系统根轨迹幅值相位条件
esG(s) 1 e s e ( j ) e e j e 180 ( ) 57.3
m
s s
源自文库
(s zi ) m
i 1 m
(s pi ) n
i 1
n
(s zi ) 0
i 1
(s pi ) 0
i 1
n
57.3 N
根轨迹渐近线仅与虚轴相交，交点为

N 57.3


N 2 , 1 , 0 , 1 , 2 ,
1 1 es s 1 2 2 e 1 s s 2! 1 1 s / 2 es es 1 s e s 1 s 1 s / 2
说明： 1、以近似式画出的根轨迹图与主根轨迹近似。 2、当开环增益较大时，近似方法误差很大。
第四节、闭环极点、零点的确定 例 : 设反馈控制系统的开环传递函数为
i 1
n
s3 4.2
闭环零点的确定
例：设滞后系统的开环传递函数为
G （s)e s K g e s s 1
要求绘制此系统的根轨迹图。 解： 系统特征方程为
1 K g e s s 1 0
绘制根轨迹的相角条件为 57.3 (s 1) (2k 1) （1）根轨迹的起点和终点 起点 p1=-1 , σ= -∞ 终点