实验二应用快速傅里叶变换对信号进行频谱分析

实验二、应用快速傅里叶变换对信号进行频谱分析

一、 实验目的

1、 加深对DFT 算法原理和基本性质的理解，熟悉FFT 算法原理。

2、 掌握应用FFT 对信号进行频谱分析的方法。

3、 通过本实验进一步掌握频域采样定理。

4、 了解应用FFT 进行信号频谱分析过程中可能出现的问题，以便在实际中

正确应用FFT 。

二、

实验原理

1、 一个连续时间信号()a x t 的频谱可以用它的傅里叶变换表示为：

()()j t a a X j x t e dt +∞

-Ω-∞

Ω=⎰

如果对信号进行理想采样，得：

()()a x n x nT =，

其中，T 为采样周期。对()x n 进行Z 变换，得：

()()n n X Z x n z +∞

-=-∞

=

∑

当jwt

z e -=时，我们便得到序列傅氏变换SFT ：

()()jw jwn

n X e x n e +∞

-=-∞

=

∑

其中w 称为数字角频率：/s w T F =Ω=Ω。

2、12()[()]jw

a m w m X e X j T T T

π+∞=-∞=-∑，序列的频谱是原模拟信号频谱的周期延拓，这样，可以通过分析序列的频谱，得到相应连续信号的频谱。

3、离散傅里叶变换（DFT ）能更好的反映序列的频域特性。 当序列()x n 的长度为N 时，它的离散傅氏变换为：

1

0()[()]()N kn

N

n X k DFT X n x n W -===∑

它的反变换为：

1

1

()[()]()N kn

N n x n IDFT X k X k W N

--===

∑ 比较Z 变换式和DFT 式，令k N z W -=，则

10

()|()[()]k N

N kn

N z W n X z x n W DFT X n --====∑

因此有

()()|k N

z W X k X z -==

即k N W -是z 平面单位圆上幅角为2/w k

N π=的点，也即是将单位圆

N 等分后的第k 点。所以()X k 是()x n 的Z 变换在单位圆上的 等距采样，或者说是序列傅氏变换的等距采样。

三、

如何提高估计精度 增大做FFT 运算的点数

四、

幅频特性曲线及结果分析

1、观察高斯序列的时域及频率特性

结论：q值影响时域的最大值，q值过大，会造成频域混叠。

2、观察正弦序列的时域及频率特性

结论：（1）FFT运算点数过大会出现泄露现象，原因：FFT运算点数过大，使得参与运算的信号长度过小，造成频率泄露。

（2）当f=0.265625,N=32,FFT点数为32时，从幅频特性曲线上看，当k=9时，可以观察到原信号的模拟频率，FFT点数为64时，当k=18时，可

以观察到原信号的模拟频率；当N=64，FFT点数为32时，当k=9时，可

以观察到原信号的模拟频率，FFT点数为64时，当k=18时，可以观察

到原信号的模拟频率。

（3）f=0.245,N=256时，能通过选择FFT点数，使该信号频谱出现单线谱。

F=1.96kHz,Fs=8kHz,N=256时，此时频谱分辨率F=31.25Hz，通过FFT

离散谱观察到的信号模拟频率为2000Hz,与实际频谱相差40Hz.

3、观察衰减正弦序列的时域及频率特性

结论：都存在混叠现象，无泄露现象，当f=0.5625时，混叠现象最为严重。原因：f越大，说明模拟频率越大，FFT运算后，频域上高频分量大，周期延拓后会造成频谱混叠。另外，由于FFT运算的点数都不是很大，使得参与运算的信号长度相对较长，即对信号加窗的长度满足不泄露条件，所以不存在泄露现象。

4、观察三角波序列和反三角波序列的时域及频率特性

结论：（1）三角波序列时域上是一个正三角形状，反三角波序列时域上是一个倒三角形状，频域上看都是低通滤波器，且三角波序列滤波效果更好。

（2）FFT点数为256时，幅频特性曲线都出现了泄露现象。反三角波序列的泄漏现象较为严重。