参数估计点估计
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i 1 k i
n
解出
ˆi g i ( X 1 , X 2 , , X n ) , i 1, 2, , s
例3 设总体X的分布律为 其中参数 0 未知，现有一组样本值
1, 1, 1, 3, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 1, 2 试求θ的矩估计值。
1 7 解 n 16, A1 x 1 1 2 16 4 1 E ( X ) 1 2 3 (1 2 ) 3 3 7 令 A1 1 , 3 3 4
k 1 k 2
X 1, X 2 ,
,Xn
n
k
存在，
为X的样本，则
X ,X ,
k i
,X
k n
独立、 同分布
E(X ) E(X )
k
k , i 1, 2, , n
辛钦大数定律
1 n k P Ak X i k n i 1
矩估计的基本思想：令
Ak k
k 1, 2,
, Xn)
用它的观察值 ( x1 , x2 , 近似值。
, xn ) 作为θ的
( X 1 , X 2 , , X n ) 称为θ的估计量，
( x1 , x2 , , xn )
称为θ的估计值。
1.矩估计法
由英国统计学家K.皮尔逊提出. 理论依据：辛钦大数定律 K.皮尔逊
设随机变量序列X1 , X2 , … 独立同分布，
5 ˆ θ的矩估计值为 12
Question: 设X的概率密度为
f x , 0, x 2 2 1 x
1
设 X1, X2,…,Xn为X的样本，求参数θ的矩估计量。 Answer:θ的矩估计量不存在。
练 习
P 68：1, 3, 4
2. 最大似然估计
◆ 1821年,德国数学家高斯提出最大似
然估计法； Gauss
◆ 1922年,费歇重新发现了这一方法，
并研究了这种方法的统计性质 。
Fisher
最大似然法的基本思想：
问题：请推断兔子
是谁打中的？
例 1 袋中放有白球和黑球共 4 个，今进行 3 次有放回
抽样，每次抽取1个，结果抽得2次白球1次黑球，试
且具有数学期望 E ( X i ) , i 1, 2, 则对任意ε>0，有
1 n lim P X i 1 n n i 1
辛钦
命题 若总体X 的 k 阶矩
E( X )
k
证
1 P k Ak X i k n i 1 X 1 , X 2 , , X n 独立、 同分布
估计袋中白球个数。
解 设袋中白球个数为m， X为3次抽样中抽得的白球数，则
X ~ b 3, p ,
p m/4
当袋中白球数m分别为1,2,3时，
p对应的值分别为1/4,2/4,3/4，
X对应的分布律见下表
袋中白 球数m
1 2 3
抽到白球数x
p 1/4 2/4 3/4
x=0
x=1
x=2
x=3
袋中白 球数m
1 2 3
抽到白球数x
p 1/4 2/4 3/4
x=0
27/64
x=1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x=2
x=3
袋中白 球数m
1 2 3
抽到白球数x
p 1/4 2/4 3/4
x=0
27/64
x=1
27/64
x=2
x=3
袋中白 球数m
1 2 3
抽到白球数x
p 1/4 2/4 3/4
x=0
27/64
x=1
27/64
称为θ的矩估计量。
例1 设总体X 的概率密度为
( 1) x , 0 x 1 其中 1 f ( x) 其它 是未知参数, 0, X1,X2,…,Xn是取自X 的样本,求参数α的矩估计量. 1 1 1 E ( X ) x ( 1) x dx 解 0 2 n 1 A1 X i X n i 1 1
第三章 参数估计
点估计 参数估计 矩估计 最大似然估计 最小二乘估计
区间估计
统计推断
参数假设检验
假设检验 非参数假设检验
§3.1 点估计
设总体 X 的分布函数为 F ( x ; θ ), θ 为待估计参数， X1,X2,…,Xn是X的样本， x1, x2,…, xn是相应样本值。 Question：如何利用这些信息估计参数θ？ Answer：构造一个适当的统计量 ( X 1 , X 2 ,
pi P{ X xi } p ( x ,1 , , s ) , 1 , , s未知
令
A1 1 A 2 2 As s
其中
X 1,
,Xn
为样本，
1 n k Ak X i n i 1
k
k E ( X ) x p ( xi ,1 , s )
⑴若X为连续型随机变量，设概率密度为
f ( x , 1 ,
令
, s ) , 1 ,
, s未知
A1 1 其中 X 1 , , X n 为X的样本， A n 1 2 2 Ak X ik n i 1 k k E ( X ) x f ( x,1 , , s ) dx k A s s 解出 ˆi g i ( X 1 , X 2 , , X n ) , i 1, 2, , s
令
A1 1
，
则
2
X
α的矩估计量为
2X 1 ˆ . 1 X
例2 设总体
一个样本，求
X ~ N ( , ) , X 1 , X 2
2
, X n 为X 的
,
2
的矩估计量。
Answer:
1 n ˆ Xi n i 1
n 1 2 ˆ S n
2
⑵若X为离散型随机变量，设其分布律为
x=2
9/64
x=3
袋中白 球数m
1 2 3
抽到白球数x
p 1/4 2/4 3/4
x=0
27/64
x=1
27/64
x=2
9/64
x=3
1/64
袋中白 球数m
1 2 3
抽到白球数x
p 1/4 2/4 3/4
x=0
27/64 8/64
x=1
27/64 24/64
x=2
9/64 24/64
x=3
1/64 8/64
n
解出
ˆi g i ( X 1 , X 2 , , X n ) , i 1, 2, , s
例3 设总体X的分布律为 其中参数 0 未知，现有一组样本值
1, 1, 1, 3, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 1, 2 试求θ的矩估计值。
1 7 解 n 16, A1 x 1 1 2 16 4 1 E ( X ) 1 2 3 (1 2 ) 3 3 7 令 A1 1 , 3 3 4
k 1 k 2
X 1, X 2 ,
,Xn
n
k
存在，
为X的样本，则
X ,X ,
k i
,X
k n
独立、 同分布
E(X ) E(X )
k
k , i 1, 2, , n
辛钦大数定律
1 n k P Ak X i k n i 1
矩估计的基本思想：令
Ak k
k 1, 2,
, Xn)
用它的观察值 ( x1 , x2 , 近似值。
, xn ) 作为θ的
( X 1 , X 2 , , X n ) 称为θ的估计量，
( x1 , x2 , , xn )
称为θ的估计值。
1.矩估计法
由英国统计学家K.皮尔逊提出. 理论依据：辛钦大数定律 K.皮尔逊
设随机变量序列X1 , X2 , … 独立同分布，
5 ˆ θ的矩估计值为 12
Question: 设X的概率密度为
f x , 0, x 2 2 1 x
1
设 X1, X2,…,Xn为X的样本，求参数θ的矩估计量。 Answer:θ的矩估计量不存在。
练 习
P 68：1, 3, 4
2. 最大似然估计
◆ 1821年,德国数学家高斯提出最大似
然估计法； Gauss
◆ 1922年,费歇重新发现了这一方法，
并研究了这种方法的统计性质 。
Fisher
最大似然法的基本思想：
问题：请推断兔子
是谁打中的？
例 1 袋中放有白球和黑球共 4 个，今进行 3 次有放回
抽样，每次抽取1个，结果抽得2次白球1次黑球，试
且具有数学期望 E ( X i ) , i 1, 2, 则对任意ε>0，有
1 n lim P X i 1 n n i 1
辛钦
命题 若总体X 的 k 阶矩
E( X )
k
证
1 P k Ak X i k n i 1 X 1 , X 2 , , X n 独立、 同分布
估计袋中白球个数。
解 设袋中白球个数为m， X为3次抽样中抽得的白球数，则
X ~ b 3, p ,
p m/4
当袋中白球数m分别为1,2,3时，
p对应的值分别为1/4,2/4,3/4，
X对应的分布律见下表
袋中白 球数m
1 2 3
抽到白球数x
p 1/4 2/4 3/4
x=0
x=1
x=2
x=3
袋中白 球数m
1 2 3
抽到白球数x
p 1/4 2/4 3/4
x=0
27/64
x=1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x=2
x=3
袋中白 球数m
1 2 3
抽到白球数x
p 1/4 2/4 3/4
x=0
27/64
x=1
27/64
x=2
x=3
袋中白 球数m
1 2 3
抽到白球数x
p 1/4 2/4 3/4
x=0
27/64
x=1
27/64
称为θ的矩估计量。
例1 设总体X 的概率密度为
( 1) x , 0 x 1 其中 1 f ( x) 其它 是未知参数, 0, X1,X2,…,Xn是取自X 的样本,求参数α的矩估计量. 1 1 1 E ( X ) x ( 1) x dx 解 0 2 n 1 A1 X i X n i 1 1
第三章 参数估计
点估计 参数估计 矩估计 最大似然估计 最小二乘估计
区间估计
统计推断
参数假设检验
假设检验 非参数假设检验
§3.1 点估计
设总体 X 的分布函数为 F ( x ; θ ), θ 为待估计参数， X1,X2,…,Xn是X的样本， x1, x2,…, xn是相应样本值。 Question：如何利用这些信息估计参数θ？ Answer：构造一个适当的统计量 ( X 1 , X 2 ,
pi P{ X xi } p ( x ,1 , , s ) , 1 , , s未知
令
A1 1 A 2 2 As s
其中
X 1,
,Xn
为样本，
1 n k Ak X i n i 1
k
k E ( X ) x p ( xi ,1 , s )
⑴若X为连续型随机变量，设概率密度为
f ( x , 1 ,
令
, s ) , 1 ,
, s未知
A1 1 其中 X 1 , , X n 为X的样本， A n 1 2 2 Ak X ik n i 1 k k E ( X ) x f ( x,1 , , s ) dx k A s s 解出 ˆi g i ( X 1 , X 2 , , X n ) , i 1, 2, , s
令
A1 1
，
则
2
X
α的矩估计量为
2X 1 ˆ . 1 X
例2 设总体
一个样本，求
X ~ N ( , ) , X 1 , X 2
2
, X n 为X 的
,
2
的矩估计量。
Answer:
1 n ˆ Xi n i 1
n 1 2 ˆ S n
2
⑵若X为离散型随机变量，设其分布律为
x=2
9/64
x=3
袋中白 球数m
1 2 3
抽到白球数x
p 1/4 2/4 3/4
x=0
27/64
x=1
27/64
x=2
9/64
x=3
1/64
袋中白 球数m
1 2 3
抽到白球数x
p 1/4 2/4 3/4
x=0
27/64 8/64
x=1
27/64 24/64
x=2
9/64 24/64
x=3
1/64 8/64