参数估计点估计
参数估计三要素
参数估计三要素参数估计是统计学中非常重要的一部分，它涉及到如何通过样本数据来得到总体参数的估计值。
而参数估计的实质就是利用样本信息来推断总体信息。
在进行参数估计的过程中需要掌握三要素，分别是点估计、区间估计以及最小二乘估计。
一、点估计点估计就是通过样本数据，估计总体参数的具体数值，也就是说利用样本数据来估计总体参数的单个值，这个单个值有可能等于总体参数，但也有可能不等于总体参数。
因为样本数据是有误差的，并且不能代表总体，所以点估计得到的估计量只是在数值上比较接近总体参数，而不是完全等于总体参数。
常见的点估计方法有矩估计和最大似然估计。
矩估计就是通过样本的前几个矩来估计总体参数的值，并且要求估计量是样本矩的函数。
最大似然估计是通过知道样本中观测值的概率分布，来确定估计量的值。
而在实际应用中，矩估计和最大似然估计常常同时使用，这样能够提高估计量的精确度。
点估计通过样本数据，确定总体参数的具体数值，它有其实际意义，但在实际应用中不能确定它的准确性。
二、区间估计点估计得到的估计量通常由于样本误差，不能代表总体参数。
在进行参数估计时，我们还需要确定一个区间，使得这个区间内的任一数值均可能是总体参数的真实值，这个区间就是区间估计。
对于总体参数的区间估计，我们可以利用统计量来求解。
如对于正态分布总体，其参数$\mu$，则样本均值是其最佳估计，而其标准差是未知的，所以我们的目的是得到一个包含总体参数的置信区间来进行估计。
假设总体的分布是正态分布，求出样本均值和样本标准差，以及统计学的知识，可以得到一个置信区间。
这个置信区间就是在某个置信水平下，总体参数落在这个区间内的概率为这个置信水平。
总体参数的置信区间是通过样本统计量计算而来的，而这个样本统计量的置信区间大小和置信水平有关，也和样本数量有关。
在实际应用中，当样本数量越大时，区间估计的精度就会越高。
三、最小二乘估计在线性回归分析中，最小二乘估计是一种广泛使用的估计方法。
统计学中的参数估计方法
统计学中的参数估计方法统计学中的参数估计方法是研究样本统计量与总体参数之间关系的重要工具。
通过参数估计方法，可以根据样本数据推断总体参数的取值范围，并对统计推断的可靠性进行评估。
本文将介绍几种常用的参数估计方法及其应用。
一、点估计方法点估计方法是指通过样本数据来估计总体参数的具体取值。
最常用的点估计方法是最大似然估计和矩估计。
1. 最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation）最大似然估计是指在给定样本的条件下，寻找最大化样本观察值发生的可能性的参数值。
它假设样本是独立同分布的，并假设总体参数的取值满足某种分布。
最大似然估计可以通过求解似然函数的最大值来得到参数的估计值。
2. 矩估计（Method of Moments）矩估计是指利用样本矩与总体矩的对应关系来估计总体参数。
矩估计方法假设总体参数可以通过样本矩的函数来表示，并通过求解总体矩与样本矩的关系式来得到参数的估计值。
二、区间估计方法区间估计是指根据样本数据来估计总体参数的取值范围。
常见的区间估计方法有置信区间估计和预测区间估计。
1. 置信区间估计（Confidence Interval Estimation）置信区间估计是指通过样本数据估计总体参数，并给出一个区间，该区间包含总体参数的真值的概率为预先设定的置信水平。
置信区间估计通常使用标准正态分布、t分布、卡方分布等作为抽样分布进行计算。
2. 预测区间估计（Prediction Interval Estimation）预测区间估计是指根据样本数据估计出的总体参数，并给出一个区间，该区间包含未来单个观测值的概率为预先设定的置信水平。
预测区间估计在预测和判断未来观测值时具有重要的应用价值。
三、贝叶斯估计方法贝叶斯估计方法是一种基于贝叶斯定理的统计推断方法。
贝叶斯估计将先验知识与样本数据相结合，通过计算后验概率分布来估计总体参数的取值。
贝叶斯估计方法的关键是设定先验分布和寻找后验分布。
参数估计知识点总结
参数估计知识点总结一、参数估计的基本概念参数估计是统计学中的一个重要问题，它是指从样本数据中估计总体参数的值。
在实际问题中，我们往往对总体的某个特征感兴趣，比如总体的均值、方差等，而这些特征通常是未知的。
参数估计就是利用样本数据来估计这些未知的总体参数值的方法。
在参数估计中，有两种主要的估计方法：点估计和区间估计。
点估计是指利用样本数据来估计总体参数的一个具体值，它通常用一个统计量来表示。
而区间估计则是利用样本数据来估计总体参数的一个区间范围，通常用一个区间来表示。
二、点估计点估计是参数估计中的一种方法，它是利用样本数据来估计总体参数的一个具体值。
在点估计中，我们通常使用一个统计量来表示参数的估计值，这个统计量通常是样本数据的函数。
1. 无偏估计无偏估计是指估计量的期望值等于所估计的总体参数的真实值。
对于一个无偏估计而言，平均来说，估计值和真实值是相等的。
无偏估计是统计学中一个很重要的性质，在实际问题中，我们希望能够得到一个无偏估计。
2. 一致估计一致估计是指当样本大小趋于无穷时，估计量收敛于真实参数的概率接近于1。
一致性是估计量的另一个重要性质，它保证了在样本较大的情况下，估计值能够越来越接近真实值。
3. 最大似然估计最大似然估计是一种常用的参数估计方法，它是利用样本数据来选择最有可能产生观测数据的参数值。
最大似然估计的原理是选择一个参数值，使得样本数据出现的概率最大。
最大似然估计的优点在于它的统计性质良好，且通常具有较好的渐近性质。
4. 贝叶斯估计贝叶斯估计是另一种常用的参数估计方法，它是基于贝叶斯定理的一种参数估计方法。
贝叶斯估计将参数视为随机变量，通过引入先验分布和后验分布来对参数进行估计。
贝叶斯估计的优点在于它能够利用先验知识对参数进行更为准确的估计。
三、区间估计区间估计是另一种常用的参数估计方法，它是利用样本数据来估计总体参数的一个区间范围。
区间估计的优点在于它能够提供参数值的估计范围，同时也能够反映估计的不确定性。
参数的点估计及区间估计
参数的点估计及区间估计点估计的基本思想是根据样本数据，通过统计量来估计总体参数的值。
常用的点估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是找到一个参数值，使得样本观察值的概率最大。
矩估计是根据样本矩的性质来估计总体参数的值。
例如，如果总体服从正态分布，那么样本均值和样本方差就是总体均值和总体方差的估计量。
区间估计的基本思想是给出一个区间，使得总体参数落在该区间内的概率达到一定的置信水平。
在区间估计中，置信水平通常是根据统计学的理论设定的，常见的有95%和99%置信水平。
区间估计的计算方法主要有正态分布法和t分布法。
正态分布法适用于大样本情况下，而t分布法适用于小样本情况下。
对于点估计，我们需要考虑估计量的偏倚和方差。
偏倚表示估计量的期望值与总体参数的真实值之间的差异。
如果估计量的期望值与总体参数的真实值之间没有差异，就称为无偏估计；否则，就称为有偏估计。
方差表示估计量的离散程度。
我们通常希望找到无偏估计，并且方差越小越好。
对于区间估计，我们需要考虑置信水平和置信区间的宽度。
置信区间的宽度越小，说明估计的精度越高。
但是，要得到一个狭窄的置信区间就需要使用更大的样本量，或者降低置信水平。
在进行区间估计时，需要根据具体需求平衡估计的精度和置信水平。
在实际应用中，点估计和区间估计通常是一起使用的。
点估计提供了一个具体的估计值，而区间估计提供了一个参数值可能的范围。
通过点估计和区间估计，我们可以对总体参数进行合理的估计，并且给出估计的精度和可靠性的度量。
总之，参数的点估计和区间估计是统计学中常用的两种估计方法。
点估计通过选择适当的统计量来估计总体参数的值，而区间估计通过给出参数值可能的范围来表示估计的不确定性。
点估计和区间估计是统计学中重要的概念，对于数据分析和决策制定具有重要的指导意义。
五种估计参数的方法
五种估计参数的方法在统计学和数据分析中，参数估计是一种用于估计总体的未知参数的方法。
参数估计的目标是通过样本数据来推断总体参数的值。
下面将介绍五种常用的参数估计方法。
一、点估计点估计是最常见的参数估计方法之一。
它通过使用样本数据计算出一个单一的数值作为总体参数的估计值。
点估计的核心思想是选择一个最佳的估计量，使得该估计量在某种准则下达到最优。
常见的点估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，简称MLE）是一种常用的点估计方法。
它的核心思想是选择使得样本观测值出现的概率最大的参数值作为估计值。
最大似然估计通常基于对总体分布的假设，通过最大化似然函数来寻找最优参数估计。
矩估计（Method of Moments，简称MoM）是另一种常用的点估计方法。
它的核心思想是使用样本矩和总体矩之间的差异来估计参数值。
矩估计首先计算样本矩，然后通过解方程组来求解参数的估计值。
二、区间估计点估计只给出了一个参数的估计值，而没有给出该估计值的不确定性范围。
为了更全面地描述参数的估计结果，我们需要使用区间估计。
区间估计是指在一定的置信水平下，给出一个区间范围，该范围内包含了真实参数值的可能取值。
常见的区间估计方法有置信区间和预测区间。
置信区间是对总体参数的一个区间估计，表示我们对该参数的估计值的置信程度。
置信区间的计算依赖于样本数据的统计量和分布假设。
一般来说，置信区间的宽度与样本大小和置信水平有关，较大的样本和较高的置信水平可以得到更准确的估计。
预测区间是对未来观测值的一个区间估计，表示我们对未来观测值的可能取值范围的估计。
预测区间的计算依赖于样本数据的统计量、分布假设和预测误差的方差。
与置信区间类似，预测区间的宽度也与样本大小和置信水平有关。
三、贝叶斯估计贝叶斯估计是一种基于贝叶斯理论的参数估计方法。
它将参数看作是一个随机变量，并给出参数的后验分布。
贝叶斯估计的核心思想是根据样本数据和先验知识来更新参数的分布，从而得到参数的后验分布。
参数估计方法与实例例题和知识点总结
参数估计方法与实例例题和知识点总结一、参数估计的概念参数估计是指根据从总体中抽取的样本估计总体分布中包含的未知参数。
参数通常是描述总体分布的特征值，比如均值、方差、比例等。
二、参数估计的方法（一）点估计点估计就是用样本统计量来估计总体参数，给出一个具体的数值。
常见的点估计方法有矩估计法和最大似然估计法。
1、矩估计法矩估计法的基本思想是用样本矩来估计总体矩。
比如，用样本均值估计总体均值，用样本方差估计总体方差。
2、最大似然估计法最大似然估计法是求使得样本出现的概率最大的参数值。
它基于这样的想法：如果在一次抽样中得到了某个样本，那么这个样本出现概率最大的参数值就是总体参数的估计值。
（二）区间估计区间估计则是给出一个区间，认为总体参数以一定的概率落在这个区间内。
区间估计通常包含置信水平和置信区间两个概念。
置信水平表示区间包含总体参数的可靠程度，常见的置信水平有90%、95%和 99%。
置信区间则是根据样本数据计算得到的一个区间范围。
三、实例例题假设我们要研究某地区成年人的身高情况。
随机抽取了 100 名成年人，他们的身高数据如下（单位：厘米）：165, 170, 172, 168, 175, 180, 160, 178, 176, 169,（一）点估计1、用样本均值估计总体均值：计算这 100 个数据的均值，得到样本均值为 172 厘米。
因此，我们估计该地区成年人的平均身高约为 172 厘米。
2、用样本方差估计总体方差：计算样本方差，得到约为 25 平方厘米。
（二）区间估计假设我们要以 95%的置信水平估计总体均值的置信区间。
首先，根据样本数据计算样本标准差，然后查找标准正态分布表或使用相应的统计软件，得到置信系数。
最终计算出置信区间为（168，176）厘米。
这意味着我们有 95%的把握认为该地区成年人的平均身高在 168 厘米到 176 厘米之间。
四、知识点总结（一）点估计的评价标准1、无偏性：估计量的期望值等于被估计的参数。
参数估计的类型和优缺点
参数估计的类型和优缺点
参数估计是一种统计学方法，用于估计未知参数的值。
根据所使用的数据类型和模型假设，参数估计可以分为不同的类型，每种类型都有其优缺点。
以下是一些常见的参数估计类型及其优缺点：
1.点估计：点估计是最简单的参数估计形式，它使用单一的观测值或样本统计量来估计未
知参数的值。
优点是简单直观，计算方便；缺点是精度较低，且无法给出估计的不确定性或误差范围。
2.区间估计：区间估计使用样本统计量和某些统计方法来估计未知参数的可能取值范围。
优点是能够给出估计的不确定性或误差范围，从而更好地了解参数的精度；缺点是计算较为复杂，需要更多的数据和计算资源。
3.贝叶斯估计：贝叶斯估计基于贝叶斯定理，使用先验信息、样本信息和似然函数来估计
未知参数的后验分布。
优点是能够结合先验信息和样本信息，更好地了解参数的不确定性；缺点是需要主观设定先验分布，可能会受到主观因素的影响。
4.极大似然估计：极大似然估计通过最大化似然函数来估计未知参数的值。
优点是方法简
单、计算方便，且在某些情况下具有一致性和渐近正态性等优良性质；缺点是对某些复杂的模型或数据分布可能不适用。
5.最小二乘估计：最小二乘估计通过最小化误差的平方和来估计未知参数的值。
优点是计
算简便，适用于多种线性回归模型；缺点是对模型的假设要求较高，且容易受到异常值的影响。
参数估计的三种方法
参数估计的三种方法参数估计是统计学中的一项重要任务，其目的是通过已知的样本数据来推断未知的总体参数。
常用的参数估计方法包括点估计、区间估计和最大似然估计。
点估计是一种常见的参数估计方法，其目标是通过样本数据估计出总体参数的一个“最佳”的值。
其中最简单的点估计方法是样本均值估计。
假设我们有一个总体，其均值为μ，我们从总体中随机抽取一个样本，并计算出样本的平均值x。
根据大数定律，当样本容量足够大时，样本均值会无偏地估计总体均值，即E(x) = μ。
因此，我们可以用样本的平均值作为总体均值的点估计。
另一个常用的点估计方法是极大似然估计。
极大似然估计的思想是寻找参数值，使得给定观测数据出现的概率最大。
具体来说，我们定义一个参数θ的似然函数L(θ|x)，其中θ是参数，x是观测数据。
极大似然估计即求解使得似然函数取得最大值的θ值。
举个例子，假设我们有一个二项分布的总体，其中参数p表示成功的概率，我们从总体中抽取一个样本，得到x个成功的观测值。
那么，样本观测出现的概率可以表示为二项分布的概率质量函数，即L(p|x) = C(nx, x) * p^x * (1-p)^(n-x)，其中C(nx, x)是组合数。
我们通过求解使得似然函数取得最大值的p值，来估计总体成功的概率。
与点估计相比，区间估计提供了一个更加全面的参数估计结果。
区间估计指的是通过样本数据推断总体参数的一个区间范围。
常用的区间估计方法包括置信区间和预测区间。
置信区间是指通过已知样本数据得到的一个参数估计区间，使得这个估计区间能以一个预先定义的置信水平包含总体参数的真值。
置信水平通常由置信系数（1-α）来表示，其中α为显著性水平。
置信区间的计算方法根据不同的总体分布和参数类型而异。
举个例子，当总体为正态分布且总体方差已知时，可以利用正态分布的性质计算得到一个置信区间。
预测区间是指通过对总体参数的一个估计，再结合对新样本观测的不确定性，得到一个对新样本值的一个区间估计。
参数估计——点估计
1 n 2 A2 X i n i 1 1 n 2 2 2 Xi n i 1
2
所以 X
பைடு நூலகம்
1 n 1 2 ( X i X )2 Xi X n i 1 n i 1
2
结论：不管总体X服从何种分布，总体期望和方差
的矩估计量分别为样本均值、样本二阶中心距，即
设总体的分布函数为F(x,)（未知），X1，X2，…，Xn
为样本，构造一个统计量 ( X1 , X 2 ,, X n ) 来估计 参数，则称 ( X1 , X 2 ,, X n ) 为参数的估计量。
点估计（point estimation) ：如果构造一个统计量
1 n k 样本的 k 阶原点矩，记作 Ak X i n i 1 1 n 样本的 k 阶中心矩，记作 Bk ( X i X )k n i 1
参数的矩法估计
矩法估计：用样本的矩作为总体矩的估计量，即
1 n k Ak (1 , 2 ,, m ) X i n i 1
2
1 2
区间长度的矩估计量为 2 12A 12X 2 2 1 2
例3 对容量为n的子样，求下列密度函数中参数 a的
2 2 (a x), (0 x a) f ( x) a 0, 其它 a 2 a 解 由于 EX x (a x)dx 0 a 2 3 a 所以由矩法估计，得 X 3 3 n 解得 a 3 X X i n i 1 3 n 所以，参数 a 的矩估计量为 a X i n i 1
i 1
n
②若总体X为连续型随机变量
L( ) f ( x1 , x2 ,, xn , ) f ( xi , )
常用的参数估计方法
常用的参数估计方法参数估计是统计分析中的一个重要概念，指的是通过已有的样本数据来估计未知的参数。
常见的参数估计方法包括点估计和区间估计两种。
下面将分别介绍这两种方法及其常见的应用。
一、点估计点估计是通过样本数据来估计总体参数的方法之一，通常用样本的统计量（如样本均值、样本方差等）作为总体参数的估计值。
点估计的特点是简单直观，易于计算。
但是点估计的精度不高，误差较大，因此一般用在总体分布已知的情况下，用于快速估计总体参数。
常见的点估计方法包括最大似然估计、矩估计和贝叶斯估计。
1.最大似然估计最大似然估计是目前最常用的点估计方法之一。
其基本思想是在已知的样本信息下，寻找一个未知参数的最大似然估计值，使得这个样本出现的概率最大。
最大似然估计的优点是可以利用样本数据来估计参数，估计量具有一定的无偏性和效率，并且通常具有渐进正常性。
常见的应用包括二项分布、正态分布、泊松分布等。
2.矩估计矩估计是另一种常用的点估计方法，其基本思想是利用样本矩（如一阶矩、二阶矩等）与相应的总体矩之间的关系，来进行未知参数的估计。
矩估计的优点是计算简单，适用范围广泛，并且具有一定的无偏性。
常见的应用包括指数分布、伽马分布、weibull分布等。
3.贝叶斯估计贝叶斯估计是另一种常用的点估计方法，其基本思想是先对未知参数进行一个先验分布假设，然后基于样本数据对先验分布进行修正，得到一个后验分布，再用后验分布来作为估计值。
贝叶斯估计的优点是能够有效处理小样本和先验信息问题，并且可以将先验偏好考虑进去。
常见的应用包括正态分布、伽马分布等。
二、区间估计区间估计是通过样本数据来构造总体参数的置信区间，从而给出总体参数的不确定性范围。
区间估计的特点是精度高，抗扰动性强，但是计算复杂度高，需要计算和估计的样本量都很大。
常见的区间估计方法包括正态分布区间估计、t分布区间估计、置信区间估计等。
1.正态分布区间估计正态分布区间估计是一种用于总体均值和总体方差的区间估计方法，其基本思想是在已知样本数据的均值和标准差的情况下，根据正态分布的性质得到总体均值和总体方差的置信区间。
参数点估计
例 1 设总体 X 服从参数为λ 的指数分布，其中参
数λ 未知， (X1, X2,, Xn) 是来自总体的一个样本，
求参数λ 的矩估计量.
解: 其概率密度函数为
f
(x,
)
e x
,
x0
0, x 0
总体X的期望为 E( X ) xexdx 1
0
从而得到方程
设 (x1, x2,, xn ) 为总体 X 的一个样本观察值,若似然函数
n
L(1 ,2 ,,k ) L( x1 , x2 ,, xk ;1 ,2 ,,k ) f ( xi ;1 ,2 ,,k ) i 1
将其取对数,然后对1,2 ,,k 求偏导数,得
ˆ1 X;
ˆ 2
1 2
X1
1 3
X2
1 6
X3;
ˆ3 X1
且ˆ1较ˆ2 , ˆ3都有效.
证明 显然有 E(ˆ1 ) E(ˆ2 ) E(ˆ3 ) 且 D(ˆ1 ) D( X ) D( X ) / 3
D(ˆ2 ) D( X1 / 2 X 2 / 3 X 3 / 6) 14D( X ) / 36
设总体的分布类型已知,但含有未知参数θ .设 (x1, x2 ,, xn ) 为总体 X 的一个样本观察值，若似然函数 L( ) 关于θ 可导. 令 d L( ) 0
d
解此方程得θ的极大似然估计值ˆ(x1, x2,, xn ) , 从而得到θ的极大似然估计量ˆ(X1, X2,, Xn) .
又由于 X1, X 2 ,, X n 相互独立且都服从泊松分布
于是有
E(ˆ1)
E(
X
参数的点估计
例2 设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本 其中 >0,
求 的最大似然估计值. 解 似然函数为
对数似然函数为
对数似然函数为 求导并令其为0
=0
从中解得
即为 的最大似然估计值 .
=0
得 即为 p 的最大似然估计值 . 从而 p 的最大似然估计量为
求最大似然估计的一般步骤是：
(1) 由总体分布导出样本的联合分布律(或联 合密度);
(2) 把样本联合分布律 ( 或联合密度 ) 中自变 量看成已知常数,而把参数 看作自变量,得到似然 函数L( );
(3) 求似然函数L( ) 的最大值点(常常转化为 求ln L( )的最大值点) ，即 的最大似然估计;
达到最大值的
称 为 的最大似然估计值 . 而相应的统计量 称为 的最大似然估计量 .
说明： 求似然函数L( ) 的最大值点，可以应用 微积分中的技巧。由于ln(x)是 x 的增函数, lnL( ) 与L( )在 的同一值处达到它的最大值，假定 是一实数，且lnL( )是 的一个可微函数。通过 求解方程：
(4) 在最大值点的表达式中, 用样本值代入就 得参数的最大似然估计值 .
例6 设总体 X ~N( ) , 未知 . 是来自 X 的样本值 , 试求 的最大似然估计量 .
解 X 的概率密度为
似然函数为
于是
(2π)n 2(σ 2 )n 2 exp[ 1 n
2σ 2 i1
( xi μ)2]
LnL n ln(2π) n ln σ2 1
这里我们主要介绍前面两种方法 .
1. 矩估计法
矩估计法是英国统计学家K.皮尔逊 最早提出来的 . 由辛钦大数定律 ,
若总体 的数学期望
统计学中的参数估计方法
统计学中的参数估计方法统计学是一门研究收集、分析和解释数据的学科。
在统计学中，参数估计是其中一个重要的概念，它允许我们通过样本数据来推断总体的特征。
本文将介绍统计学中常用的参数估计方法，包括点估计和区间估计。
一、点估计点估计是一种通过样本数据来估计总体参数的方法。
在点估计中，我们选择一个统计量作为总体参数的估计值。
常见的点估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是一种基于样本数据的估计方法，它通过选择使得观察到的数据出现的概率最大的参数值来估计总体参数。
最大似然估计的核心思想是找到一个参数估计值，使得观察到的数据在该参数下出现的概率最大化。
最大似然估计方法在统计学中被广泛应用，它具有良好的渐进性质和统计学性质。
矩估计是另一种常用的点估计方法，它基于样本矩的性质来估计总体参数。
矩估计的核心思想是将样本矩与总体矩相等，通过求解方程组来得到参数的估计值。
矩估计方法相对简单，易于计算，但在样本较小或总体分布复杂的情况下，可能会出现估计不准确的问题。
二、区间估计区间估计是一种通过样本数据来估计总体参数的方法，它提供了参数估计的置信区间。
在区间估计中，我们通过计算样本数据的统计量和抽样分布的性质，得到一个包含真实参数的区间。
置信区间是区间估计的核心概念，它是一个包含真实参数的区间。
置信区间的计算依赖于样本数据的统计量和抽样分布的性质。
常见的置信区间计算方法有正态分布的置信区间和bootstrap置信区间。
正态分布的置信区间是一种常用的区间估计方法，它基于样本数据的统计量服从正态分布这一假设。
通过计算样本数据的均值和标准差，结合正态分布的性质，我们可以得到一个包含真实参数的置信区间。
Bootstrap置信区间是一种非参数的区间估计方法，它不依赖于总体分布的假设。
Bootstrap方法通过从原始样本中有放回地抽取样本，生成大量的重采样数据集，并计算每个重采样数据集的统计量。
通过分析这些统计量的分布，我们可以得到一个包含真实参数的置信区间。
参 数 估 计
1.总体平均数的区间估计
用区间估计的方法来估计总体平均数 x ，必须具备三要
素：点估计量即样本平均数、平均数的抽样极限误差Δx 和置信度F(t)。公式如下：
P(x x X x x) F (t) 1
其中
x tx t x
9
1.总体平均数的区间估计
例6.7：从某校全部学生中，随机抽取 100名学生，x 平均体重 =58kg，x 抽样
（2）允许误差（极限误差）Δ，即Δ的数值。 （3）概率度t 。 （4）抽样方法。 （5）抽样的组织方式。
14
（二）必要抽样数目的计算
1．重复抽样条件下平均数的必要抽样数目的确定
因为
x tx
t x
t
n
所以
t 2 2
n x2
15
（二）必要抽样数目的计算
例6.10：某城市组织职工家庭生活抽样 调查，根据历史资料知，职工家庭平均每 户每月收入的标准差为11.50元 ,要求把 握程度为95.45% ,允许误差为1元,问需 抽选多少户?
20
（二）必要抽样数目的计算
例6.12，设某工地有土方工人2000名，拟用不重复抽 样推断，来测定其平均工作量，要求抽样误差不超过0.1 立方米，把握程度为99.73%，已知上次抽样调查所得 的方差为2.25，试求必要抽样数目。
3
一、点估计
(1) 无偏性。如果估计量 的ˆ数学期望值等于总体参数θ， 即E( )=θ，则是θ的ˆ 无偏估计量。
ˆ
(2) 即
有效,性。则如是果2 θ对 的比2*有任ˆ效何估一计个量估。计量
, 有最小方差，
ˆ (3)一致性。如果估计nl量im P[，ˆ 随着样 ]本 1容量n的增大而趋
近于θ，即ˆ 则 是θ的一致估计量。
参数的点估计及区间估计
参数的点估计及区间估计1.点估计点估计是通过样本数据得出一个单一的数值作为参数的估计值。
常见的点估计方法有最大似然估计、矩估计等。
最大似然估计是通过寻找参数值，使得给定样本出现的可能性最大化，从而估计参数的值。
矩估计则是通过样本矩的估计值来估计参数的值。
点估计的优点是简单直观，计算方便，但它只给出了一个数值，无法反映参数估计的准确程度。
2.区间估计区间估计是通过样本数据得出一个区间，该区间内的值有一定概率包含着未知参数的真实值。
常见的区间估计方法有置信区间、预测区间等。
置信区间是通过样本数据得出一个区间，该区间内的值有一定程度的置信度来包含着未知参数的真实值。
预测区间是通过样本数据得出一个区间，该区间内的值有一定程度的置信度来包含着新的观测值。
区间估计的优点是可以反映参数估计的不确定性，给出了一个范围，但计算复杂，要求样本量较大。
对于点估计和区间估计，我们需要考虑一些概念和原则：1.无偏性：一个点估计量如果在大样本下的期望等于被估计参数的真实值，则称其为无偏估计量。
无偏估计量估计的是总体参数的中心值。
2.有效性：如果两个估计量都是无偏估计量，但一个估计量的方差较小，则称这个估计量为有效估计量。
3.一致性：一个估计量如果在样本量趋向于无穷大时，以概率1收敛于被估计参数的真实值，则称该估计量为一致估计量。
4.置信水平：置信区间是估计参数范围的一种方法，置信水平是指在重复抽样条件下，这个估计参数范围包含真实参数的概率。
总结起来，点估计提供了一个单一的参数估计值，简单直观，但没有反映参数估计的准确程度；区间估计提供了一个范围，可以反映参数估计的不确定性，但计算较复杂。
在实际应用中，可以根据问题的具体要求选择适当的估计方法，或者同时使用点估计和区间估计方法来对参数进行估计。
参数的点估计
ˆ
2 矩
Eˆ(X 2) Eˆ 2(X )
1 n
n i 1
X
2 i
X
2
1 n
n i1
(Xi
X )2
Sn2
例3 设总体 X ~ E(), X1, X2,…, Xn为总体的样本, 求的矩法估计量。
解 E(X ) 1
故 ˆ 1
X
则
Eˆ ( X
)
1
ˆ
X
例4 设从某灯泡厂某天生产的一大批灯泡中
点估计 区间估计
参数估计的类型
点估计 —— 估计未知参数的值
区间估计—— 估计未知参数的取值范围， 使得这个范围包含未知参数 真值的概率为给定的值.
§8.1 点估计方法
点估计的思想方法
设总体X 的分布函数的形式已知，但它含有
一个或多个未知参数：1,2, ,k
设 X1, X2,…, Xn为总体的一个样本 构造 k 个统计量：
ˆ 2
1 10
10 i 1
xi2
x2
6821(h2 )
Dˆ (X ) 79.25(h)
n
n i 1
Xi
Eˆ ( X )
1
n
n i 1
X
2 i
Eˆ ( X 2 )
ˆ Eˆ(X ) X
ˆ
2
Eˆ ( X
2)
Eˆ Байду номын сангаас(X )
1 n
n i 1
X
2 i
X
2
1 n
n i1
(Xi
X )2
Sn2
即：以样本均值估计总体均值，
以样本的2阶中心距估计方差
参数估计公式点估计与区间估计方法的公式整理
参数估计公式点估计与区间估计方法的公式整理在统计学中，参数估计是通过从样本数据中获得的统计量推断总体参数值的方法。
通过参数估计，我们可以利用样本数据来了解总体的特征。
参数估计有两种主要方法，即点估计与区间估计。
本文将对参数估计的公式进行整理，包括点估计和区间估计的常用方法。
一、点估计公式点估计是用样本数据来估计总体参数的方法，其中最常用的是样本均值和样本方差。
下面是一些常见的点估计公式：1. 样本均值的点估计公式总体均值的点估计通常由样本均值给出。
假设我们有一个样本数据集X={x₁, x₂, ..., xn}，其中n是样本大小。
总体均值μ的点估计公式为：μ̂= (x₁ + x₂ + ... + xn) / n2. 样本方差的点估计公式总体方差的点估计通常由样本方差给出。
假设我们有一个样本数据集X={x₁, x₂, ..., xn}，其中n是样本大小。
总体方差σ²的点估计公式为：σ̂² = ((x₁ - μ̂)² + (x₂ - μ̂)² + ... + (xn - μ̂)²) / (n - 1)3. 样本比例的点估计公式总体比例的点估计通常由样本比例给出。
假设我们有一个二分类样本数据集X={x₁, x₂, ..., xn}，其中n是样本大小，p是正例的比例。
总体比例p的点估计公式为：p = (x₁ + x₂ + ... + xn) / n二、区间估计公式区间估计是用来估计参数的可信区间的方法，即给出参数值的一个范围。
下面是一些常见的区间估计公式：1. 总体均值的区间估计公式总体均值的区间估计可以使用置信区间进行。
假设我们有一个样本数据集X={x₁, x₂, ..., xn}，其中n是样本大小，s是样本标准差，Z是对应于所需置信度的Z分位数。
总体均值μ的置信区间估计公式为：μ̂± Z * (s / √n)2. 总体比例的区间估计公式总体比例的区间估计可以使用置信区间进行。
第七章__参数估计
三、区间估计与标准误
㈠区间估计的定义 是根据样本统计量，利用抽样分布的原理，在一定的
可靠程度上，估计出总体参数所在的范围，即以数 轴上的一段距离表示未知参数可能落入的范围。 ㈡置信区间与显著性水平 ⑴置信区间：也称置信间距，指在一定可靠程度上，总体参
数所在的区域距离或区域长度。
⑵置信界限（临界值）：置信区间的上下两端点值。 ⑶显著性水平：指估计总体参数落在某一区间时，可能犯错
⑶区间估计的原理是样本分布理论。在计算区间估计值解释估 计的正确概率时，依据的是该样本统计量的分布规律及样本 分布的标准误。样本分布可提供概率解释，而标准误的大小 决定区间估计的长度。一般情况下，加大样本容量可使标准 误变小。
当总体方差已知时，样本平均数的分布为正态分布或
渐近正态分布，此时，样本平均数的平均数uX u， 平均数的离散程度即平均数分布的标准差（简称
例4
解:由题意知,其总体方差未知,但其总体分布为正态分布，
则此样本均数的分布服从t分布， 可以依t分布对总平 均身高μ进行估计。
SEX
S 4.8 0.81; df n 1 36 1 35 n 1 35
查t值表可知 : t0.05 230 2.042;t0.01 230 2.75
例2 已知某区15 岁男生立定跳远的方差 为 436.8cm ，现从该区抽取58名15岁男生， 测得该组男生立定跳远的平均数为198.4cm， 试求该区15岁男生立定跳远平均成绩的95%和 99%的置信区间。
例2
解：由题意知：由于样本容量（n=58）大于30 ，
该样本的抽样分布为渐进正态分布。
SEX
因此, 的95%的置信区间为 :
82 2.0211.12 82 2.0211.12
参数的区间估计和点估计
参数的区间估计和点估计在统计学中，参数是描述总体的量，如总体均值、总体方差等。
当我们研究总体时，除了掌握总体参数的点估计外，我们还需要对总体参数进行区间估计。
本文就对参数的区间估计和点估计进行详细的介绍。
一、参数点估计参数点估计是指用样本数据推断出总体参数的一个近似值。
比如，从总体中抽取一些样本，计算出它们的平均值，把这个平均值作为总体均值的近似值。
常用的参数点估计方法有：1.极大似然估计极大似然估计法是指假设参数值已知，用样本数据来确定这个参数估计值，即找到一个参数估计值，使得这个参数值下，样本的似然函数取得最大值。
例如，抛硬币实验中，随机变量X表示正面出现的次数。
当硬币的正面概率p未知时，用样本求出p的极大似然估计，即：P（X=k|p） = Cnkp^k(1-p)^(n-k)为了找到样本数据下的极大似然估计值，将似然函数求导，令导数等于0，求得估计值。
在实际中，极大似然估计可以被广泛应用于估计均值、方差、参数等。
2.矩估计矩估计是利用样本的矩来推断总体参数的方法。
常见的矩估计方法有：（1）样本均值估计总体均值。
用矩估计法时，对于同一参数，不同样本可能得到不同的结果，但随着样本数的增加，结果会更加接近。
1.基于正态分布的参数区间估计如果总体服从正态分布，且总体方差未知，我们通常采用t分布来进行参数区间估计。
我们假设一个区间，称之为置信区间，该区间可以以某个概率（置信度）包含总体参数，置信度通常取0.9或0.95或0.99等常用值。
置信区间估计是指在某个置信度下，估计出总体参数的一个区间，称这个区间为置信区间。
置信区间可以通过以下步骤计算。
（1）计算样本平均数和标准差，以此估计总体均值和总体标准差，分别记为X和S。
（2）确定置信度和自由度n-1，从t分布表中查找t分布值tα/2。
（3）计算置信区间：X - ts/√n ≤ $\mu$ ≤ X + ts/√n，其中t为样本t统计量，s为标准差，n为样本量，α/2为置信水平。
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1 n lim P X i 1 n n i 1
辛钦
命题 若总体X 的 k 阶矩
E( X )
k
证
1 P k Ak X i k n i 1 X 1 , X 2 , , X n 独立、 同分布
第三章 参数估计
点估计 参数估计 矩估计 最大似然估计 最小二乘估计
区间估计
统计推断
参数假设检验
假设检验 非参数假设检验
§3.1 点估计
设总体 X 的分布函数为 F ( x ; θ ), θ 为待估计参数， X1,X2,…,Xn是X的样本， x1, x2,…, xn是相应样本值。 Question：如何利用这些信息估计参数θ？ Answer：构造一个适当的统计量 ( X 1 , X 2 ,
⑴若X为连续型随机变量，设概率密度为
f ( x , 1 ,
令
, s ) , 1 ,
, s未知
A1 1 其中 X 1 , , X n 为X的样本， A n 1 2 2 Ak X ik n i 1 k k E ( X ) x f ( x,1 , , s ) dx k A s s 解出 ˆi g i ( X 1 , X 2 , , X n ) , i 1, 2, , s
5 ˆ θ的矩估计值为 12
Question: 设X的概率密度为
f x , 0, x 2 2 1 x
1
设 X1, X2,…,Xn为X的样本，求参数θ的矩估计量。 Answer:θ的矩估计量不存在。
练 习
P 68：1, 3, 4
2. 最大似然估计
称为θ的矩估计量。
例1 设总体X 的概率密度为
( 1) x , 0 x 1 其中 1 f ( x) 其它 是未知参数, 0, X1,X2,…,Xn是取自X 的样本,求参数α的矩估计量. 1 1 1 E ( X ) x ( 1) x dx 解 0 2 n 1 A1 X i X n i 1 1
x=2
9/64
x=3
袋中白 球数m
1 2 3
抽到白球数x
p 1/4 2/4 3/4
x=0
27/64
x=1
27/64
x=2
9/64
x=3
1/64
袋中白 球数m
1 2 3
抽到白球数x
p 1/4 2/4 3/4
x=0
27/64 8/64
x=1
27/64 24/64
x=2
9/64 24/64
x=3
1/64 8/64
◆ 1821年,德国数学家高斯提出最大似
然估计法； Gauss
◆ 1922年,费歇重新发现了这一方法，
并研究了这种方法的统计性质 。
Fisher
最大似然法的基本思想：
问题：请推断兔子
是谁打中的？
例 1 袋中放有白球和黑球共 4 个，今进行 3 次有放回
抽样，每次抽取1个，结果抽得2次白球1次黑球，试
k 1 k 2
X 1, X 2 ,
,Xn
n
k
存在，
为X的样本，则
X ,X ,
k i
,X
k n
独立、 同分布
E(X ) E(X )
k
k , i 1, 2, , n
辛钦大数定律
1 n k P Ak X i k n i 1
矩估计的基本思想：令
Ak k
k 1, 2,
袋中白 球数m
1 2 3
抽到白球数x
p 1/4 2/4 3/4
x=0
27/64
x=1
x=2
x=3
袋中白 球数m
1 2 3
抽到白球数x
p 1/4 2/4 3/4
x=0
27/64
x=1
27/64
x=2
x=3
袋中白 球数m
1 2 3
抽到白球数x
p 1/4 2/4 3/4
x=0
27/64
x=1
27/64
, Xn)
用它的观察值 ( x1 , x2 , 近似值。
, xn ) 作为θ的
( X 1 , X 2 , , X n ) 称为θ的估计量，
( x1 , x2 , , xn )
称为θ的估计值。
1.矩估计法
由英国统计学家K.皮尔逊提出. 理论依据：辛钦大数定律 K.皮尔逊
设随机变量序列X1 , X2 , … 独立同分布，
pi P{ X xi } p ( x ,1 , , s ) , 1 , , s未知
令
A1 1 A 2 2 An
为样本，
1 n k Ak X i n i 1
k
k E ( X ) x p ( xi ,1 , s )
估计袋中白球个数。
解 设袋中白球个数为m， X为3次抽样中抽得的白球数，则
X ~ b 3, p ,
p m/4
当袋中白球数m分别为1,2,3时，
p对应的值分别为1/4,2/4,3/4，
X对应的分布律见下表
袋中白 球数m
1 2 3
抽到白球数x
p 1/4 2/4 3/4
x=0
x=1
x=2
x=3
令
A1 1
，
则
2
X
α的矩估计量为
2X 1 ˆ . 1 X
例2 设总体
一个样本，求
X ~ N ( , ) , X 1 , X 2
2
, X n 为X 的
,
2
的矩估计量。
Answer:
1 n ˆ Xi n i 1
n 1 2 ˆ S n
2
⑵若X为离散型随机变量，设其分布律为
i 1 k i
n
解出
ˆi g i ( X 1 , X 2 , , X n ) , i 1, 2, , s
例3 设总体X的分布律为 其中参数 0 未知，现有一组样本值
1, 1, 1, 3, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 1, 2 试求θ的矩估计值。
1 7 解 n 16, A1 x 1 1 2 16 4 1 E ( X ) 1 2 3 (1 2 ) 3 3 7 令 A1 1 , 3 3 4