2-3系统误差
第三章系统误差
P(T T T ) 1
所以（T-，T+）是T的1-α的臵信区间，给定显著性水平α，便 可求得相应的臵信区间。
例：对某量测得两组数据，判断两组间有无系统误差
xi 14.7, 14.8, 15.2, 15.6 yi 14.6, 15.0, 15.1
将两组数据混合排列成下表
若 K 2 3N 2 应怀疑存在系统误差
6、秩和检验法——用于检验两组数据间的系统误差
秩和检验是一种非参数检验法。它主要研究两个样本是否来 自同一总体，也就是检验两个总体是否相同的问题。严格地讲， 秩和检验只能解决两个总体分布的中心位臵是否相同的问题。 秩和检验最早是由wilcoxon做出的，后来Mann和Whitney算 出了小的n1和n2的T分布，并且找到了一般情况下的T的矩，证明 了对于大的T的n1和n2，T近似服从正态分布。
vi v i '
i 1 i 1 K
K
j k 1 n j k 1
v
n
j K
v ' ( l
j i 1
i
x )
j k 1
( l
n
j
x )
当测量次数足够多时有
v ' v
i 1 i j k 1
K
n
j
'0
设独立测得两组数据为：
x1, x2 , xn1
y1, y2 , yn 2
令变量
t (x y) n1n2 (n1 n2 2)
2 2 (n1 n2 )( n1S1 n2 S 2 )
由数理统计知，变量t是服从自由度为( n1 n2 2 )的t分布变量 其中
第三章系统误差
第二节 系统误差的发现方法
由于形成系统误差的原因复杂，目前尚没有能够适用 于发现各种系统误差的普遍方法。但是……
实验对比法 残差观察法 残余误差校核法 发现系统误差的方法 计算数据比较法 误差的直接计算法 秩和检验法 t检验法
1、实验对比法
在确信没有明显的变化系统误差的前提下，通过改变产生 系统误差的条件（通常是改用更高准确度的仪器和基准），在 不同的条件下进行检定性测量，通过比较来发现系统误差。
已知：n1=3，n2=4 计算秩和：T=1+4+5=10
查表得：T-=7，T+=17 因为 （T-=7）< (T=10) < (T+=17)
故无根据怀疑两组间存在系统误差。
7、t 检验法
当两组测量数据服从正态分布，或偏离正态不大但样本数不 是太少（最好不少于20）时，可用t检验法判断两组间是否存在 系统误差。
所以得：
vi
i 1 K i 1
K
j K 1
v
n
j
(li x )
j K 1
(l
n
j
x )
若上式的两部分值Δ显著不为O，则有理由认为测量列存在 线性系统误差。这种校核法又称“马列科夫准则”，它能有效 地发现线性系统误差。但要注意的是，有时按残余误差校核法 求得差值Δ=0，仍有可能存在系统误差。
则有：
P(T T T ) 1
所以（T-，T+）是T的1-α的臵信区间，给定显著性水平α，便 可求得相应的臵信区间。
例：对某量测得两组数据，判断两组间有无系统误差
xi 14.7, 14.8, 15.2, 15.6 yi 14.6, 15.0, 15.1
误差理论及数据处理第三章 课后答案
修正值=)(4321l l l l ∆+∆+∆+∆- =)1.03.05.07.0(+-+-- =0.4)(m μ 测量误差: l δ=4321lim 2lim 2lim 2lim 2l l l l δδδδ+++±=2222)20.0()20.0()25.0()35.0(+++± =)(51.0m μ±3-2 为求长方体体积V ，直接测量其各边长为mm a 6.161=，mm 44.5b =,mm c 2.11=,已知测量的系统误差为mm a 2.1=∆，mm b 8.0-=∆，mm c 5.0=∆，测量的极限误差为mm a 8.0±=δ，mm b 5.0±=δ，mm c 5.0±=δ， 试求立方体的体积及其体积的极限误差。
abc V = ),,(c b a f V = 2.115.446.1610⨯⨯==abc V)(44.805413mm =体积V 系统误差V ∆为：c ab b ac a bc V ∆+∆+∆=∆)(74.2745)(744.274533mm mm ≈=立方体体积实际大小为：)(70.7779530mm V V V =∆-=222222lim )()()(c b a V cf b f a f δδδδ∂∂+∂∂+∂∂±= 222222)()()(c b a ab ac bc δδδ++±=)(11.37293mm ±=测量体积最后结果表示为:V V V V lim 0δ+∆-=3)11.372970.77795(mm ±=3—3 长方体的边长分别为α1，α2, α3测量时：①标准差均为σ；②标准差各为σ1、σ2、 σ3 。
试求体积的标准差。
解：长方体的体积计算公式为：321a a a V ⋅⋅= 体积的标准差应为：232322222121)()()(σσσσa V a V a V V ∂∂+∂∂+∂∂=现可求出：321a a a V ⋅=∂∂；312a a a V ⋅=∂∂；213a a a V⋅=∂∂ 若：σσσσ===321 则有：232221232322222121)()()()()()(a V a V a V a V a V a V V ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=σσσσσ221231232)()()(a a a a a a ++=σ若：321σσσ≠≠ 则有：232212223121232)()()(σσσσa a a a a a V ++=3-4 测量某电路的电流mA I 5.22=，电压V U 6.12=，测量的标准差分别为mA I 5.0=σ，V U 1.0=σ，求所耗功率UI P =及其标准差P σ。
分析化学第六版课后答案2-3章
第二章：误差及分析数据的统计处理思 考 题２．下列情况分别引起什么误差如果是系统误差，应如何消除（1） 砝码被腐蚀； （2） 天平两臂不等长； （3） 容量瓶和吸管不配套； （4） 重量分析中杂质被共沉淀； （5）天平称量时最后一位读数估计不准；（6）以含量为99%的邻苯二甲酸氢钾作基准物标定碱溶液。
答：（1）引起系统误差，校正砝码； （2）引起系统误差，校正仪器； （3）引起系统误差，校正仪器； （4）引起系统误差，做对照试验； （5）引起偶然误差；（6）引起系统误差，做对照试验或提纯试剂。
４．如何减少偶然误差如何减少系统误差答： 在一定测定次数范围内，适当增加测定次数，可以减少偶然误差。
针对系统误差产生的原因不同，可采用选择标准方法、进行试剂的提纯和使用校正值等办法加以消除。
如选择一种标准方法与所采用的方法作对照试验或选择与试样组成接近的标准试样做对照试验，找出校正值加以校正。
对试剂或实验用水是否带入被测成分，或所含杂质是否有干扰，可通过空白试验扣除空白值加以校正。
第三章 滴定分析思 考 题2．能用于滴定分析的化学反应必须符合哪些条件答：化学反应很多，但是适用于滴定分析法的化学反应必须具备下列条件：（１） 反应定量地完成，即反应按一定的反应式进行，无副反应发生，而且进行完全（％），这是定量计算的基础。
（２） 反应速率要快。
对于速率慢的反应，应采取适当措施提高其反应速率。
（３） 能用较简便的方法确定滴定终点。
凡是能满足上述要求的反应，都可以用于直接滴定法中，即用标准溶液直接滴定被测物质。
3．什么是化学计量点什么是终点答：滴加的标准溶液与待测组分恰好反应完全的这一点，称为化学计量点。
在待测溶液中加入指示剂，当指示剂变色时停止滴定，这一点称为滴定终点。
4．下列物质中哪些可以用直接法配制标准溶液哪些只能用间接法配制H 2SO 4,KOH, KMnO 4, K 2Cr 2O 7, KIO 3, Na 2S 2O 3·5H 2O答：K 2Cr 2O 7, KIO 3可以用直接法配制标准溶液，其余只能用间接法配制。
2-3 控制系统的结构图与信号流图
输入节点（源节点）：只有输出支路的节点。 混合节点：既有输入支路，又有输出支路的节点。 输出节点（阱点或汇点）：只有输入支路的节点。
17:19 28
② 信号流图中常用术语 （ⅰ）、通道（通路）：从一个节点开始，沿支路箭头方向 穿过各相连支路的路径。 开通道：通道与任何一个节点只相交一次。 闭通道（回环）：通路的终点回到起点，而通道与任何其它节 点只相交一次。“自环”即闭通道的一种特殊情况。 前向通道：从源点开始到汇点结束的开通道。
H1 G1 1/ G1 1/ G2
17:19
G2
（2） 同时进行串联、并联
26
G 1G2 1/G1＋1/G2＋H1 （3）系统的C（S）/ R（S）
G1G2 ———————— 1+ G1＋G2＋G1G2H
C（s） G1(s)G2(s) —— = —————————————— R（s） 1+ G1(s)＋G2(s)＋G1(s)G2(s)H(s)
C ( S ) G3 G4 G1G2 R( S ) 1 G2G3 H
方法2：B移动到A （略）
17:19 25
例题6 试利用结构图等效变换原则，简化下述结构图，并求取系统 的C（S）/ R（S）。
R（S）
H（S）
A
G1（S）
BC
C（S）
G2（S）
解：（1） 同时将B处相加点前移、C处分支点后移：
17:19 18
⑸ 分支点的移动：移动原则同“⑷相加点的移动”。 ① 前往后移
X1
G（S）
X2 X1
X1
G（S）
X2 X1
1/ G（S）
② 后往前移
X1
G（S）
3-3 第三节 系统误差分析与计算
第三节 系统误差分析与计算对于一个控制系统来说，不但要求其是稳定的，而且还要求其动态特性要好。
但这还不够，因为系统在输入作用下的过渡过程和稳态过程组成了时间响应的全部内容，因而研究系统的稳态过程也是相当重要的。
评定稳态过程的质量指标为稳态误差，是系统控制准确度的一种量度，是一项重要的性能指标。
控制系统设计的课题之一，就是如何使系统的稳态误差小于某个允许值。
一、误差与稳态误差1、误差误差——严格说就是被控对象的实际输出信号与理论输出信号之差。
工程上有两种误差定义。
①按输出端定义的误差含义：误差为系统希望输出量与系统实际输出量之差。
即： ()()()r e t c t c t =−或： ()()()r E s C s C s =−一般来说，这种误差信号直观实用，但是常无法进行测量，具有明显的数学意义，工程实际中相对前一种误差较少使用。
②按输入端定义的误差。
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()11111E s R s B s R s H s C s R s H s s R s R s H s s G s H s R s G s H s R s G s H s =−=−=−Φ⎡⎤=−Φ⎣⎦⎡⎤=−⋅⋅⎢⎥+⎣⎦=⋅+有时也将()()()11e s G s H s Φ=+称为误差传递函数。
或者，误差表示为时间的函数：()()()e t r t b t =−这种形式的误差可以进行测量，具有一定的物理意义。
2、稳态误差在时域中误差是时间t 的函数()e t 。
一个稳定的闭环控制系统，在外加输入作用下，经过一段时间，其瞬态响应分量衰减到可以忽略的程度，其输出信号()c t 趋于稳态分量，同样其误差信号()ss c t ()e t 也将趋于一个稳态的。
()ss e t 稳态误差——当时间当t 时，→∞()e t 的稳态分量称为稳态误差，既稳定系统误差的终值。
记为()ss e t ()。
《误差理论与数据处理》答案
《误差理论与数据处理》第一章绪论1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。
答：研究误差的意义为：(1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差；(2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据；(3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。
误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。
1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。
系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化；粗大误差的特点是可取性。
1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。
答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量；绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。
+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。
(2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差解：绝对误差等于：相对误差等于：1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm，已知其最大绝对误差为 1μm，试问该被测件的真实长度为多少？解：绝对误差＝测得值－真值，即：△L＝L－L0已知：L＝50，△L＝1μm＝0.001mm，测件的真实长度Ｌ0＝L－△L＝50－0.001＝49.999（mm）1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。
二级注册计量师2-3习题答案
第三节测量结果1、什么是被测量?举例说明影响量与被测量的区别?被测量:作为被测对象的特定量。
影响量:不是被测量但对测量结果有影响的量。
2、约定值与真值的区别是什么?实际检定工作中常以什么值作为约定真值?约定值:对于给定目的具有适当不确定度的，赋予特定量的值，有时该值是约定采用的。
真值:与给定的特定量的定义一致的值。
3、什么是测量结果? 测量结果:测量所得的赋予被测量的值。
4、什么是测量误差,系统误差,随机误差?测量误差:测量结果减去被测量的真值。
系统误差:在重复性条件下,对同一测量进行无穷多次测量所得结果的平均值与被测量真值之差。
随机误差:测量结果与在重复性条件下对同一被测量进行无穷多次测量所得结果的平均值之差。
5、测量准确度,测量精密度有什么区别?如何正确应用这些术语?测量准确度是指测量结果与被测量真值之间的一致程度。
准确度是一个定性的概念，不能将其量化。
精密度和准确度有区别，不同领域对精密度一词的理解和用法也不相同，难以统一，现在没有对“精密度”一词下定义。
过去常将精密度理解为规定条件下各独立测量结果间的分散性，多次测量结果间的分散性可能很小，但并不表明测得值与真值之间的差值一定很小。
6什么是测量不确定度?什么是标准不确定度,合成标准不确定度和扩展不确定度?测量不确定度:表征合理赋予被测量之值的分散性。
标准不确定度:以标准偏差表示的测量不确定度。
扩展不确定度:确定测量结果的区间的量,合理赋予被测量之值的分布的大部分可望含于次区间。
合成标准不确:当测量结果由若干其他量的值求得时,按其他各量的方差(和)协方差算得的标准不确定度。
7、测量不确定度与测量误差有那些区别?测量误差表明了测量结果偏离真值的多少。
测量误差按性质可分为随机误差和系统误差两类，都是理想的概念。
由于真值未知，现在测量误差一般已不再用于定量描述测量结果的准确程度。
由参考值代替真值时，可得到测量误差的估计值，它是一个有正号或负号的量值，其值为测量结果与被测量的参考值之差，大于参考值时为正，小于参考值为负。
2-3晶体学基础
2 L
2 sin i
• 指数标定，计算晶胞参数。
a d ( HKL ) H 2 K 2 L2
2 sin
Fhkl = fa e2i(h0+k0+l0) = fa [cos2(0)+isin2(0)] = fa
讨论点阵消光的时候，只考虑每个 点阵点对应一个原子的最简单情况。 讨论结构消光的时候，考虑到一个 点阵点对应多个原子的情况。
欧拉公式： e+ix = cos(x) +isin(x) e-ix = cos(x) -isin(x).
4
面心点阵
(相同)
cos2n+isin2n = 1
cos(2n+1)+isin(2n+1) =-1
结论：在面心点阵情况下，hkl 为全奇或全偶时，都 能产生衍射。奇偶混合时出现消光。
5
• 底心点阵
– 每个晶胞中有2个同类原子，其坐标分别为0,0,0 和1/2,1/2,0。 – 在底心点阵中，h + k 为奇数时出现消光。
H 2 K 2 L2
33
f. •
•
34
衍射角为 7.5
35
2. 聚焦法
利用发散度较大的入射 X 射线束，照射试样上较大区域，由多晶体试 样中某一组 (hkl) 晶面族所发生的衍射线束在照相底片上仍然聚焦到一 点 (或一条细线) 的衍射方法，称为聚焦法。该方法比德拜-谢乐法具有 更高的灵敏度。
不对称装片法计算 时，不需要相机半径 数据，可减少误差来源。
3系统误差概念
p (− tσ ∆x ≤ x1 − x2 < tσ ∆x ) = pa
pa = p ( x1 − x2 < tσ ∆x )
pa 为与 t 对应的置信概率，也可写成
在给定置信概率 pa 时 ，若 x1 − x2 ≥ tσ ∆x ，则测量含有定值系统误差 。
7
3.2 系统误差的发现方法
例3.1 在不同条件下测某一尺寸，第一组测得的 x = 10.0236mm ， 1 σ x = 0.2 µm ；第二组测得的 x2 = 10.0248mm ， σ x = 0.2 µm 。
15
3.2 系统误差的发现方法
例3.3 测量一尺寸，将连续获得的测得值按先后顺序列于表3.2。试判断其 中是否含有系统误差。
表3.2
测量顺序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n=10
数据表
测得值 xi / mm 残差 34.588 34.589 34.588 34.590 34.592 34.594 34.596 34.600 34.600 34.603 －6 －5 －6 －4 －2 0 ＋2 ＋6 ＋6 ＋9
自由度 ν = n1 + n2 − 2 = 15，取置信概率 pa = 0.99 ，查附录表2得 t = 2.95 。 此时，∆x 的随机误差限为
tσ ∆x = 2.95 × 0.0174 = 0.051mm
∆x = x1 − x2 = 14.223 − 14.176 = 0.047mm ∆x < tσ ∆x
xi′ =
i =1 i
∑ x′ ∑ ( x + ∆ ) ∑ x′
n =
i =1 i 0
n
n
n
=
i =1
i
检验科室内质控制度
检验科室内质控制度一、定量检测项目的每日质控（1）.如质控结果在阈限(2SD)范围内,可以报告分析结果。
（2）12s（1-2s）警告,质控中一个是大于±2SD但小于3SD，仅作警告，并启动其他规则判断质控数据，其他规则均符合，判断是随机错误，报告可发。
（3）13s（1-3s）失控：一个质控是大于±3SD，判断失控，对随机误差敏感。
（4）22s（2-2s）失控：如果两个连续的质控结果超过均值的+2s或-2s，判断失控，对系统误差敏感。
（5）R4s (R-4S)失控：R代表范围，两份质控物中，一个结果超过均值+2s 另一个结果超过均值-2s，判断失控，对随机误差敏感。
（6）41s（4-1s）失控：有4个连续的结果连续超过-1s或+1s，判断失控，对系统误差敏感。
（7）10X失控：指10个连续的质控同时大于均值，或小于均值,（对于在一侧偏离中心线的距离没有限制）判断失控，对系统误差敏感。
用于发现系统出现偏移的情况。
可用质控规则：(1)、1-2S； (2)、1-2S/1-3S/2-2S/4-1S； (3)、1-3S/2-2S。
(4)、1-3S/2-2S/4-1S/R-4S。
误差检出概率（Ped）理想状态是100%，在实际工作中一般认为在90%以上就达到了检出误差的要求。
质控规则的假失控率（pfr）一般认为小于5%是可以接受的，而过高的pfr将增加室内质控分析的难度并消耗不必要的人力和物力资源。
Levey-Jennings质控方法：其质控规则为单独的13s（1-3s）或12s（1-2s）简单易行。
Westgard多规则质控方法：12s/13s /22s/R4s/41s/10X，其中12s被认为是警告规则，当有一个质控结果触发此项规则时，提示本批次的检测结果可能存在问题，但是尚不能确定为失控，需要依次启动13s 、22s、R4s、41s、10X规则进行判断，如果符合其中的任何一项质控规则的标准，即可判断为失控，患者的检测报告不能发放，同时根据违背规则的情况判断误差可能属于随机误差（13s 、R4s）还是系统误差（22s、41s、10X）。
测控仪器设计第2章——第3节
4
P33
一、误差分析的理论基础：误差独立作用原理 误差分析的理论基础：
P33
除仪器输入以外， 除仪器输入以外，另有影响仪器输出的因素 qi (i = 1,2,L n ) 。假设某一 因素的变动（源误差） 使仪器产生一个附加输出，称为局部误差。 因素的变动（源误差）∆qi 使仪器产生一个附加输出，称为局部误差。
运行误差总结： 运行误差总结：
仪器在使用过程中产生的误差，属于随机误差。始终存在，无法消除。 仪器在使用过程中产生的误差，属于随机误差。始终存在，无法消除。
3
第三节 仪器误差的分析
精度：是误差的反义词。 精度：是误差的反义词。误差大 精度低； 精度低；误差小 精度高 所以，仪器误差分析又称为仪器精度分析
∆Qi = Pi ∆qi
局部误差 影响系数 源误差
∆y = ∑ Pi ∆qi = ∑ ∆Qi
i =1 i =1
n
n
仪器总误差
误差独立作用原理的内容： 误差独立作用原理的内容： ①一个源误差仅使仪器产生一个局部误差。局部误差是源误差的线性函 一个源误差仅使仪器产生一个局部误差。 与其他源误差无关。 数，与其他源误差无关。 ②仪器总误差是局部误差的综合。 仪器总误差是局部误差的综合。 意义： 意义：
具体步骤： 具体步骤： 1. 列出仪器的作用方程； 列出仪器的作用方程；
∆y =
∑
i =1
n
∂y ∆ qi = ∂ qi
∑ P ∆q
i i =1
n
i
=
∑ ∆Q
i =1
n
测量误差的分类
在相同条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号均发生变化，其值时大、时小，其符号时正、时负，投有确定的变化规律，也不可以预见的误差称为随机误差c
随机误差主要是由那些对测量值影响较微小，又互相关的多种因素共同造成的。例如热骚动，噪声干扰，电磁场的微变，空气扰动，测量人员感觉器官的各种无规律的微小变化等等。由于上述这些因素的影响，从宏观上来看，或者从平均意义上来说，虽然测量条件没变，比如使用的仪器准确的程度相同，周围环境相同，测量人员以同样的细心进行工作等等，但只要测量装置的灵敏度足够高，就会发现测量结果有上、下起伏的变化，这种变化就是由于随机误差造成的。就一次测量而言，随机误差没有规律，不可预见，但是当足够多次测量时，其总体服从统计的规律，多数情况下接近于正态分布。
②周期性系差，它是指在测量过程中，误差的数值发生周期性变化的系统误差。例如测角仪，如果它存在偏心，则各分度线误差的变化就符合这种规律。
②按复杂规律变化的系差，如电工仪表整个分度线上存在的系统误差，其变化规律就属于此类系差。通常只能用曲线、表格或经验公式来表示。
系统误差的特点是，测量条件一经确定，误差就为一确切的数值。用多次测量取平均值的方法，并不能改变误差的大小。系统误差的产生原因是多方面的，但总是有规律的。我们应旧能设法事先预见或找出系统误差的产生根源，针对其产生原因，采取相应的技术措施消除或减弱影响，也可以估计出其影响程度，在测量结果中加以修正。
这种误差的特点与正态分布的特点和规律是相同的，而与按复杂规律变化的系统误差有着本质的区别。因为系统误差服从确切的函数关系，无论规律怎样复杂，如果多次重复测量，该规律仍然不变。随机误差却没有这种重复性。
3．疏忽误差 在一定的测量条件下，测量值明显地偏离其真值(或实际值)所形成的误差称为疏忽误差，又叫做粗大误差。
现代控制2-3 系统方框图
n为相并联的环节数， 为相并联的环节数， 为相并联的环节数 G(s) = Gi (s) 当然还有“ 的情况 当然还有“-”的情况 i =1
∑
n
结论： 结论：并联环节的等效传递函数等于所有并联环 节传递函数的代数和 节传递函数的代数和
U i (s) － U o (s) （d）
10
1 R+ Ls
I ( s)
1 Cs
Uo (s)
如例2.1.4 试列写速度控制系统的微分方程 如例
R
2
R R1 C
+ 功放 -
ui
R1 R1
K1 +
+K2
ωm
ua SM
减ω 负 速 载
uf
测速机
ui uf
ue
1级运放 级运放
u1
2级运放 级运放
u2
功放
ua
R(s)
G(s)
C(s)
(2)方框 环节)：表示输入到 方框(环节 ： 方框 环节 输出单向传输间的函数关系
信号线
方框
3
(3)引出点 引出点（分支点、测量点） 引出点 表示信号测量或引出的位置
R(s)
G1(s)
P(s)
G2 (s)
C(s)
P(s)
注意： 注意：同一位置引出的信号大小和性质完全一样
4
27
（6）负号的移动 负号的移动
负号可以在回路中任意移动， 负号可以在回路中任意移动，但不能越过 任何一个引出点或比较点。 任何一个引出点或比较点。 R(s)
m
E(s)
G(s) H(s)
稳态误差计算
稳态误差计算稳态误差是指控制系统在稳定状态下输出与期望输出之间的差异。
在控制系统中，我们希望输出能够尽量接近期望输出，从而实现优化和准确的控制。
稳态误差的大小直接影响到控制系统的性能和精确度。
本文将介绍稳态误差的计算方法及其普通解法。
稳态误差的计算可以通过以下步骤进行：1.确定系统的开环传递函数系统的开环传递函数是控制系统的输入与输出之间的关系。
它描述了控制系统的动态特性。
通常，开环传递函数可以由系统的物理方程或实验数据拟合得出。
2.确定系统的期望输入信号期望输入信号是控制系统的期望输出值。
它可以是一个固定值或者一个随时间变化的函数。
期望输入信号决定了控制系统的目标。
3.计算系统的闭环传递函数闭环传递函数描述了控制系统的反馈路径对输出的影响。
它是开环传递函数与控制器传递函数的乘积。
4.计算系统的稳态误差在进行稳态误差计算之前，需要确定系统的类型。
根据系统是否包含积分环节，可以将系统分为4种类型：类型0系统、类型1系统、类型2系统和类型3系统。
-类型0系统：开环传递函数中不包含积分环节。
例如，开环传递函数为G(s)=K/(s+a)。
类型0系统的稳态误差可以通过输入信号的阶数来确定。
对于阶数为n的输入信号，稳态误差为0。
-类型1系统：开环传递函数中包含一个积分环节。
例如，开环传递函数为G(s)=K/(s*(s+a))。
类型1系统的稳态误差可以通过输入信号的阶数来确定。
对于阶数为n的输入信号，稳态误差为1/((n+1)*K)。
-类型2系统：开环传递函数中包含两个积分环节。
例如，开环传递函数为G(s)=K/(s^2*(s+a))。
类型2系统的稳态误差可以通过输入信号的阶数来确定。
对于阶数为n的输入信号，稳态误差为1/(n*K)。
-类型3系统：开环传递函数中包含三个积分环节。
例如，开环传递函数为G(s)=K/(s^3*(s+a))。
类型3系统的稳态误差可以通过输入信号的阶数来确定。
对于阶数为n的输入信号，稳态误差为1/((n-1)*K)。
自动控制原理第三版习题答案
《自动控制理论》习题参考答案第二章2-1 (a)()()1121211212212122112+++⋅+=+++=CS R R R R CS R R R R R R CS R R R CS R R s U s U (b)()()1)(12221112212121++++=s C R C R C R s C C R R s U s U 2-2 (a)()()RCsRCs s U s U 112+= (b)()()141112+⋅-=Cs RR R s U s U (c)()()⎪⎭⎫⎝⎛+-=141112Cs R R R s U s U 2-3 设激磁磁通f f i K =φ恒定()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=Θφφπφm e a a a a m a C C f R s J R f L Js L s C s U s 2602 2-4()()()φφφπφm A m e a a a a m A C K s C C f R i s J R f L i Js iL C K s R s C +⎪⎭⎫⎝⎛++++=260232-5 ()2.0084.01019.23-=⨯--d d u i2-8 (a)()()()()3113211G H G G G G s R s C +++=(b)()()()()()31243212143211H G H G G G H G G G G G G s R s C +++++=2-9 框图化简中间结果如图A-2-1所示。
图A-2-1 题2-9框图化简中间结果()()()()52.042.018.17.09.042.07.023++++++=s k s k s s s R s C 2-10()()4232121123211G H G G H G G H G G G G s R s C ++-+=2-11 系统信号流程图如图A-2-2所示。
图A-2-2 题2-11系统信号流程图()()()()2154214212654212215421421321111H H G G G G G G G H G G G G G s R s C H H G G G G G G G G G G s R s C -++=-++=2-12 (a)()()()adgi abcdi agdef abcdef cdhs R s C +++-=11(b)()()()1221211222112++++=s C R C R C R s C R C R R s R s C2-13 由选加原理,可得()()()()()()[]s D H G G s D G s D G s R G G G H G H s C 3121221221221111--+++=第三章3-1 分三种情况讨论 (a) 当1>ζ时()()()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+----+-=-+-=---=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛---221221222211112121,122ζζζζωζωζωζζωζζωζζωζζt t n n nn n n e e t t c s s (b) 当10<<ζ时()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----+-=---+---=-+-=---=---22222222222121121sin 1121sin 1211cos 221,1ζζζωζωζωζωζωζζωζωζωζωζζωζζζωζωζωarctg t et t e t et t c j s j s n tnnn t nn tnnn n n n n(c) 当1=ζ时设系统为单位反馈系统,有()()()()()2222nn n r s s s s R s c s R s E ωζωζω+++=-= 系统对单位斜坡输入的稳态误差为()nn n n s sr s s s s s s im e ωζωζωζω22212220=+++⋅⋅=→ 3-2 (1) 0,0,50===a v p K K K(2) 0,,==∞=a v p K K K K (3) 10,,KK K K a v p =∞=∞= (4) 0,200,==∞=a v p K KK K 3-3 首先求系统的给定误差传递函数()101.0)11.0()(11)()(2+++=+==Φs s s s s G s R s E s e 误差系数可求得如下()⎪⎭⎫⎝⎛++-=-=-t e t t c s n t n nn n 21222,1ωωωωω()()()0)101.0()12.0(20)101.0(2lim lim 1.0)101.0()12.0(10lim lim 0101.0)11.0(lim lim 32220220222001200=+++-++=Φ==+++=Φ==+++=Φ=→→→→→→s s s s s s ds d C s s s s ds d C s s s s s C s e s s e s s e s(1) 0)(R t r =，此时有0)()(,)(0===t r t r R t r s s s ，于是稳态误差级数为()0)(0==t r C t e s sr ，0≥t(2) t R R t r 10)(+=，此时有0)(,)(,)(110==+=t r R t r t R R t r s s s ，于是稳态误差级数为()1101.0)()(R t rC t r C t e s s sr =+= ，0≥t (3) 221021)(t R t R R t r ++=，此时有t R R t rt R t R R t r s s 212210)(,21)(+=++= ，2)(R t r s= ，于是稳态误差级数为 ())(1.0)(!2)()(21210t R R t r C t rC t r C t e s s s sr +=++= ，0≥t 3-4 首先求系统的给定误差传递函数()5001.0)11.0()(11)()(2+++=+==Φs s s s s G s R s E s e 误差系数可求得如下()()()232220220222001200050098)5001.0()12.0(1000)5001.0(100lim lim 5001)5001.0()12.0(500lim lim 05001.0)11.0(lim lim =+++-++=Φ==+++=Φ==+++=Φ=→→→→→→s s s s s s ds d C s s s s ds d C s s s s s C s e s s es s e stt r t t rt t r s s s 5sin 25)(5cos 5)(5sin )(-===稳态误差级数为()[][][]tt tC t C C t e sr 5cos 1015sin 109.45cos 55sin 25224120 -⨯++⨯=-⨯+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯-=-3-5 按技术条件（1）~（4）确定的二阶系统极点在s 平面上的区域如图A-3-1 (a) ~ (d)的阴影区域。
自控实验中三线性系统校正的误差分析
自控实验中三线性系统校正的误差分析在自控实验中，三线性系统校正是一个重要的步骤，它可以帮助我们对系统的误差进行分析和修正。
本文将详细讨论三线性系统校正的误差分析。
一、三线性系统校正的概述三线性系统是指输入、输出和校正信号之间存在线性关系的系统。
在实验中，我们常常需要进行系统校正，以减小或消除系统的误差。
三线性系统校正便是其中一种常见的方法。
二、误差来源三线性系统校正的误差主要来自以下几个方面：1. 传感器误差：传感器在测量时可能存在零点漂移、灵敏度变化等问题，这些误差会影响校正的准确性。
2. 测量仪表误差：测量仪表的误差也是校正误差的重要来源之一。
例如，仪表可能存在不准确的刻度，或者受到环境温度、湿度等因素的影响而产生误差。
3. 校正方法误差：选择不合适的校正方法或者使用不当的参数，也会导致校正误差的产生。
4. 环境因素：环境因素如温度、湿度等的变化也可能对校正造成一定的干扰。
三、误差分析方法为了准确地分析三线性系统校正的误差，我们可以采用以下几种方法：1. 对比法：在实验中，我们可以通过对比校准前后的数据差异来评估校准的效果。
如果经过校准后，系统的测量结果能够更加准确地符合所期望的数值，那么可以认为校正是有效的。
2. 统计分析：通过统计方法对实验数据进行分析，我们可以得到各种误差的分布情况和大小。
例如，可以计算误差的均值、方差等统计指标，以此评估校正的准确性。
3. 标准曲线法：在某些情况下，我们可以通过建立标准曲线来进行校正。
通过对已知标准值和实际测量值进行对比，可以得到校正的误差，并进一步修正系统。
四、误差分析实例以下是一个具体的误差分析实例：假设我们需要校正一个温度传感器。
校准方法是在不同温度下分别测量标准温度计和待校准传感器的输出，并比较两者之间的差异。
我们首先记录标准温度计的读数，得到一组标准值。
然后，将标准温度计放入待校准传感器的测量环境中，记录传感器的输出，并与标准值进行对比。
通过统计分析，我们可以计算出校正前后的误差分布情况。
自动控制原理(3-2)
arccos 1.09(rad )
1 0.7
d n 1 2 3.14(rad / s)
0.65( s ) d
td
n
3.5
0.37( s )
tr
ts
n
4.4
2.15( s ) 0.05
ts
n
2.70( s)
对上式取拉氏反变换，求得单位阶跃响应为：
h(t ) 1 e sin d t cos d t 2 1 1 1 e nt 1 2 cos d t sin d t 1 2
n t
1
1 1 2
e nt sin( d t ) , t 0
式中， arctan( 1 2 ) ，或者
arccos
欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应有两部分组成：
稳态分量为1，系统在单位阶跃函数作用下不存在
稳态位臵误差；
瞬态分量为阻尼正弦振荡项，其振荡频率为ωd，
故称为阻尼振荡频率。
t 0
系统的误差为：
e(t ) r (t ) c(t ) 2
n
2
n
1 2 e nt sin 1 2 n t 2arctg 1 2 1
1 2
e t T1 e t T2 h(t ) 1 , t0 T2 T1 1 T1 T2 1
4.无阻尼（ζ=0）二阶系统的单位阶跃响应
h(t ) 1 cos nt , t 0
可见，这是一条平均值为1的正、余弦形式的等幅振 荡，其振荡频率为ωn，故可称为无阻尼振动频率。 实际的控制系统通常都有一定的阻尼比，因此不可能 通过实验方法测得ωn，而只能测得ωd，且小于ωn。
误差理论和数据处理 第三章系统误差-PPT文档资料
v x x ( ) i i i i
i 0 由上式可看出，因 i 且其数值不易确定，故变值系统误差 直接影响 残差 的数值，因此也必然要影响标准误差 σ的计算，且其影响难于确定， vi 即变值系统误差不仅使随机误差的分布密度曲线的形状和分布范围发生变 化 ，也使曲线的位置产生平移。
二、系统误差产生的原因
系统误差是有固定不变的或按确定规律变化的因素造成，这些因素是 可以掌握的。 计量校准后发现的偏差、仪器 ① 测量装置方面的因素 设计原理缺陷、仪器制造和安 装的不正确等。 ② 环境方面的因素 测量时的实际温度对标准温度 的偏差、测量过程中的温度、 湿度按一定规律变化的误差等。
如对于刻度盘或标尺的刻度误差，就全量程而言，属复杂规
律性的系统误差。因为虽然对各刻度点的误差的大小和符号 是确定的，但对整个量程的误差变化规律只能用实验曲线表 出，属复杂变化规律。
各类特征系统误差图示
b a c
e d t
1
t t2
3
t
4
t
已定系统误差和未定系统误差
指误差的大小和符号均已确切掌握了的，因此在 处理和表征测量结果时，是属于可修正的系统误差。
第三章 系统误差
教学目的和要求
通过本章内容的教学，使学生对系统误差的
产生原因、特征和消除方法，有一个整体的 认识。要求学生清楚系统误差的产生原因、 特点和分类方法；了解系统误差处理的原则，
了解系统误差的发现方法；初步掌握定值系
统误差和变值系统误差的减弱和消除方法。
主要内容
第一节 系统误差概述
四、系统误差的分类
① 线性变化的系统误差：在整个测量过程中，随某因素而线
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若
D D 限差 ，则可认为无系统误差，否 则可认为存在系统误差。
5．统计检验法
正误差平方和与负误差平方和之差检验准 则 n 2 令统计量 K Si i2 ，则 K 限差 4 n 。
i 1
若 K K 限差 ，则可认为无系统误差，否
则可认为存在系统误差。
5．统计检验法
异号的有3个 n 1 统计量
i 1
W S i S i 1 3
限差
W
2 n 1 2 10 1 6
W W 限差 ，故可认为不存在系统误差。
系统误差存在的判定例题
误差数值总和检验准则
统计量
D vi 0
i 1
n
D 限差 2 n s 2 10 0.045 0.285
过程检测技术及仪表
第二章
测量误差与数据处理
2.3
系统误差
索引
一、系统误差的产生和处理原则 二、系统误差的类型 三、系统误差存在的判定 四、消除或削弱系统误差的方法
一、系统误差的产生和处理原则
系统误差是固定不变或按一定规律变化的 误差。 系统误差的产生原因是比较复杂的，它可 能是一个原因在起作用，也可能是多个原 因同时在起作用。主要是由于测量装置误 差、环境误差造成的。
K K 限差，故可认为不存在系统误差。
系统误差存在的判定例题
阿贝—赫梅特检验准则
统计量
C vi vi 1 0.0078
i 1
n 1
C 限差 n 1s 2 10 1 0.045 2 0.00608
，故可认为存在系统误差， 且为周期性系统误差。
C C 限差
5．统计检验法
误差正负号个数检验准则 用Si表示误差δi的正负号，即：当δi为正 时，Si＝＋1；当δi为负时，Si＝－1；当 δi＝0时，Si＝0。 n 令统计量 S S i ，则 S 限差 2 n。
i 1
若 S S 限差
，则可认为无系统误差，否 则可认为存在系统误差。
3．已定系统误差和未定系统误差
未定系统误差 在测量过程中，误差的大小和符号未知 或变化规律未被充分认识的系统误差， 称为未定系统误差。 对未定系统误差，通常用其变化范围±e 来表示，±e称为误差限。
三、系统误差存在的判定
为了在测量中消除或减小系统误差对测量 的影响，首先必须判定测量过程是否存在 系统误差。 由于在各种测量过程中形成系统误差的因 素错综复杂，目前还未有一种能查明所有 系统误差的方法，因而只能根据已有的经 验，归纳和总结出一些发现系统误差的一 般方法。
vi
i 1
k
i n k 1
v
n
i
3．残余误差校核法
若两代数和之差Δ显著不为零，则可认为测 量中存在着累积系统误差。 这个准则也称为马林科夫判据。
4．不同公式计算标准偏差比较法
对于等精度测量，可以采用不同的公式估 计标准偏差。通过比较估算结果，亦可发 现系统误差。 一般采用贝塞尔公式和佩捷尔斯公式进行 计算比较。
2．利用修正值消除系统误差
通过对测量装置的标定，事先求出修正值， 或给出修正曲线或修正公式。 实际测量时，将测得值加上相应的修正值 就可以得到被测量的实际值，以消除或减 小系统误差。 此种方法不能完全消除系统误差，因为修 正值也存在一定的小误差，但系统误差被 大大削弱了。
3．采用能消除系统误差的 典型测量方法
残余误差观察法： 作vi～n图，如图 所示。 由图可判断存在 周期性系统误差。
系统误差存在的判定例题
残余误差校核法： n＝10，则k＝5。
v
i 1
5 i 1
5
i
0
10
v
i 6
10
i
0
v v
i i 6
i
0 0 0
由此可判断测量列无累积性系统误差。
系统误差存在的判定例题
一、系统误差的产生和处理原则
系统误差的处理原则 首先应当对测量装置、测量对象和测量 数据进行全面的分析，检查和判定测量 过程是否存在系统误差，若存在系统误 差，则采取一定的措施消除或减小系统 误差对测量结果的影响。
二、系统误差的类型
为便于对系统误差进行分析和处理，系统 误差可按不同的角度进行分类。 根据误差是否变化，系统误差可分为恒 值系统误差和变值系统误差。 根据误差变化的规律，变值系统误差又 可分为累积系统误差、周期性系统误差 和复杂规律系统误差。 根据对误差掌握的程度，系统误差可分 为已定系统误差和未定系统误差。
2．残余误差观察法
通过观察残余误差的变化状况来发现系统 误差的存在。 将测量列中各测得值的残余误差按测量的 先后次序排列绘制散点图，观察残余误差 的变化。
2．残余误差观察法
若残余误差大体上是正负相同，无显著变 化规律，如图（a）所示，则无根据怀疑测 量中存在系统误差。 若残余误差的大小有规则的向一个方向变 化，如图（b）所示，则可认为测量中存在 累积系统误差。
6．计算数据比较法
任意两组数据 x i 和 x j 的标准偏差为：
i2 2 j
如果下面的不等式
xi x j 2 i2 2 j
成立，则说明两组数据 x i 和 x j 之间不存在 系统误差，否则，可认为这两组数据和之 间存在系统误差。
系统误差存在的判定例题
统计检验法 误差正负号个数检验准则 误差为正号的有6个，为负号的有4个 n 统计量 S Si 2
i 1
S 限差 2 n 2 10 6.325
S S 限差 ，故可认为不存在系统误差。
系统误差存在的判定例题
误差正负号分配检验准则
相邻两误差同号的有6个，相邻两误差
例2-7 等精度测量一电感器的电感量十次， 测量列如下：50.74，50.76，50.82， 50.85，50.83，50.74，50.75，50.81， 50.85，50.85（mH）。试检验此测量列有 无系统误差。 解：采用表格形式进行数据处理。 计算算术平均值 x 50 .80 mH 求各测得值的残余误差，将计算结果填中。 用贝塞尔公式估算标准偏差，得s=0.045。
4．不同公式计算标准偏差比较法
设采用贝塞尔公式计算所得的标准差为σ1， 采用佩捷尔斯公式计算所得的标准差为σ2。 令
如果
2 1 u 1
u 2
n 1 则可怀疑测量列中存在系统误差。
5．统计检验法
根据测量值计算某个统计量，将计算值与 该统计量的限差进行比较，再根据比较结 果来判断测量是否存在系统误差。若计算 值不大于限差，则可认为无系统误差；否 则可认为存在系统误差。 根据此原理可确立以下几个检验准则。
5．统计检验法
误差正负号分配检验准则 n 1 令统计量 W S S ，则 W 限差 2 n 1 。 i i 1
i 1
若 W W 限差
，则可认为无系统误差，否 则可认为存在系统误差。
5．统计检验法
误差数值总和检验准则 n 令统计量 D ，则 D 2 n 。 i 限差
2．累积系统误差、周期性系统误差 和复杂规律系统误差
周期性系统误差 在测量过程中，随着测量时间或测量值 的变化，误差值呈现周期性变化的系统 误差，称为周期性系统误差。 复杂规律系统误差 除上述两种变化规律以外的变值系统误 差，称为复杂规律系统误差。
3．已定系统误差和未定系统误差
已定系统误差 在整个测量过程中，误差的大小和符号 已知或变化规律已被掌握的系统误差， 称为已定系统误差。
si
－1 －1 ＋1 ＋1 ＋1 －1 －1 ＋1 ＋1 ＋1
sisi+1
＋1 －1 ＋1 ＋1 －1 ＋1 －1 ＋1 ＋1
vivi+1
＋0.0024 －0.0008 ＋0.0010 ＋0.0015 －0.0018 ＋0.0030 －0.0005 ＋0.0005 ＋0.0025
系统误差存在的判定例题
2．残余误差观察法
若残余误差的符号作有规律的交替变化， 如图（c）所示，则可认为测量中存在周期 性系统误差。 若残余误差如图（d）所示作有规律的变化， 则可认为测量中存在累积系统误差和周期 性系统误差。
3．残余误差校核法
把n次测量所得的测量值按测量先后次序， 分为前k次和后k次两组。若n为偶数，则k ＝n／2；若n为奇数，则k＝（n+1）／2。 分别求两组测得值的残余误差的代数和， 再求两代数和之差Δ，即
替代法 用检测装置对被测量进行测量后，再用 同一检测装置对一已知标准量进行同样 的测量，并使指示值相同，则已知标准 量的量值即为被测量的量值。
3．采用能消除系统误差的 典型测量方法
例：用等臂天平测量物体的质量x。
为消除因天平臂长l1≠l2而造成的系统误差，
取下x后，再用已知标准砝码P代替x。若天 平仍平衡，则x＝P；若天平不平衡，需加砝 码ΔP才能达到平衡，则x＝P＋ΔP。
四、消除或削弱系统误差的方法
1．从产生系统误差的根源上消除系统误差 2．利用修正值消除系统误差 3．采用能消除系统误差的典型测量方法
1．从产生系统误差的根源上 消除系统误差
从产生系统误差的根源上消除系统误差， 这是最根本的方法。 要在测量之前就去掉产生系统误差的根源， 这就要求测量人员详细检查测量过程中可 能产生系统误差的环节，把它们调整到最 佳状态。
1．恒值系统误差和变值系统误差