2-3系统误差

5．统计检验法

误差正负号个数检验准则 用Si表示误差δi的正负号，即：当δi为正 时，Si＝＋1；当δi为负时，Si＝－1；当 δi＝0时，Si＝0。 n 令统计量 S S i ，则 S 限差 2 n。
i 1
若 S S 限差
，则可认为无系统误差，否 则可认为存在系统误差。

i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
xi
50.74 50.76 50.82 50.85 50.83 50.74 50.75 50.81 50.85 50.85
vi
－0.06 －0.04 ＋0.02 ＋0.05 ＋0.03 －0.06 －0.05 ＋0.01 ＋0.05 ＋0.05
v i2
0.0036 0.0016 0.0004 0.0025 0.0009 0.0036 0.0025 0.0001 0.0025 0.0025
例2-7 等精度测量一电感器的电感量十次， 测量列如下：50.74，50.76，50.82， 50.85，50.83，50.74，50.75，50.81， 50.85，50.85（mH）。试检验此测量列有 无系统误差。 解：采用表格形式进行数据处理。 计算算术平均值 x 50 .80 mH 求各测得值的残余误差，将计算结果填中。 用贝塞尔公式估算标准偏差，得s=0.045。
过程检测技术及仪表
第二章
测量误差与数据处理
2.3
系统误差
索引
一、系统误差的产生和处理原则 二、系统误差的类型 三、系统误差存在的判定 四、消除或削弱系统误差的方法
一、系统误差的产生和处理原则
系统误差是固定不变或按一定规律变化的 误差。 系统误差的产生原因是比较复杂的，它可 能是一个原因在起作用，也可能是多个原 因同时在起作用。主要是由于测量装置误 差、环境误差造成的。

2．残余误差观察法
通过观察残余误差的变化状况来发现系统 误差的存在。 将测量列中各测得值的残余误差按测量的 先后次序排列绘制散点图，观察残余误差 的变化。

2．残余误差观察法
若残余误差大体上是正负相同，无显著变 化规律，如图（a）所示，则无根据怀疑测 量中存在系统误差。 若残余误差的大小有规则的向一个方向变 化，如图（b）所示，则可认为测量中存在 累积系统误差。

2．残余误差观察法
若残余误差的符号作有规律的交替变化， 如图（c）所示，则可认为测量中存在周期 性系统误差。 若残余误差如图（d）所示作有规律的变化， 则可认为测量中存在累积系统误差和周期 性系统误差。

3．残余误差校核法
把n次测量所得的测量值按测量先后次序， 分为前k次和后k次两组。若n为偶数，则k ＝n／2；若n为奇数，则k＝（n+1）／2。 分别求两组测得值的残余误差的代数和， 再求两代数和之差Δ，即

4．不同公式计算标准偏差比较法
设采用贝塞尔公式计算所得的标准差为σ1， 采用佩捷尔斯公式计算所得的标准差为σ2。 令

如果
2 1 u 1
u 2
n 1 则可怀疑测量列中存在系统误差。
5．统计检验法
根据测量值计算某个统计量，将计算值与 该统计量的限差进行比较，再根据比较结 果来判断测量是否存在系统误差。若计算 值不大于限差，则可认为无系统误差；否 则可认为存在系统误差。 根据此原理可确立以下几个检验准则。
si
－1 －1 ＋1 ＋1 ＋1 －1 －1 ＋1 ＋1 ＋1
sisi+1
＋1 －1 ＋1 ＋1 －1 ＋1 －1 ＋1 ＋1
vivi+1
＋0.0024 －0.0008 ＋0.0010 ＋0.0015 －0.0018 ＋0.0030 －0.0005 ＋0.0005 ＋0.0025
系统误差存在的判定例题
i 1
若
D D 限差 ，则可认为无系统误差，否 则可认为存在系统误差。
5．统计检验法

正误差平方和与负误差平方和之差检验准 则 n 2 令统计量 K Si i2 ，则 K 限差 4 n 。
i 1
若 K K 限差 ，则可认为无系统误差，否
则可认为存在系统误差。
5．统计检验法
1．恒值系统误差和变值系统误差
恒值系统误差 在整个测量过程中，误差的大小和符号 都恒定不变，这种误差称为恒值系统误 差。 变值系统误差 在测量过程中，误差的大小和符号按一 定规律变化，这种误差称为变值系统误 差。

2．累积系统误差、周期性系统误差 和复杂规律系统误差

累积系统误差 在测量过程中，随着测量时间或某些影 响因素，误差值逐渐增大或减小的系统 误差，称为累积系统误差。 累积系统误差又可分为线性系统误差和 非线性系统误差。 线性系统误差随着测量时间或某些影响 因素，误差值线性增大或线性减小。
异号的有3个 n 1 统计量
i 1
W S i S i 1 3
限差
W

2 n 1 2 10 1 6
W W 限差 ，故可认为不存在系统误差。
系统误差存在的判定例题
误差数值总和检验准则
统计量
D vi 0
i 1
n
D 限差 2 n s 2 10 0.045 0.285
2．累积系统误差、周期性系统误差 和复杂规律系统误差
周期性系统误差 在测量过程中，随着测量时间或测量值 的变化，误差值呈现周期性变化的系统 误差，称为周期性系统误差。 复杂规律系统误差 除上述两种变化规律以外的变值系统误 差，称为复杂规律系统误差。

3．已定系统误差和未定系统误差

已定系统误差 在整个测量过程中，误差的大小和符号 已知或变化规律已被掌握的系统误差， 称为已定系统误差。

替代法 用检测装置对被测量进行测量后，再用 同一检测装置对一已知标准量进行同样 的测量，并使指示值相同，则已知标准 量的量值即为被测量的量值。
3．采用能消除系统误差的 典型测量方法
例：用等臂天平测量物体的质量x。
为消除因天平臂长l1≠l2而造成的系统误差，
取下x后，再用已知标准砝码P代替x。若天 平仍平衡，则x＝P；若天平不平衡，需加砝 码ΔP才能达到平衡，则x＝P＋ΔP。
四、消除或削弱系统误差的方法
1．从产生系统误差的根源上消除系统误差 2．利用修正值消除系统误差 3．采用能消除系统误差的典型测量方法

1．从产生系统误差的根源上 消除系统误差
从产生系统误差的根源上消除系统误差， 这是最根本的方法。 要在测量之前就去掉产生系统误差的根源， 这就要求测量人员详细检查测量过程中可 能产生系统误差的环节，把它们调整到最 佳状态。

6．计算数据比较法

任意两组数据 x i 和 x j 的标准偏差为：
i2 2 j

如果下面的不等式
xi x j 2 i2 2 j
成立，则说明两组数据 x i 和 x j 之间不存在 系统误差，否则，可认为这两组数据和之 间存在系统误差。
系统误差存在的判定例题

统计检验法 误差正负号个数检验准则 误差为正号的有6个，为负号的有4个 n 统计量 S Si 2
i 1
S 限差 2 n 2 10 6.325

S S 限差 ，故可认为不存在系统误差。
系统误差存在的判定例题
误差正负号分配检验准则
相邻两误差同号的有6个，相邻两误差

K K 限差，故可认为不存在系统误差。
系统误差存在的判定例题
阿贝—赫梅特检验准则
统计量
C vi vi 1 0.0078
i 1
n 1
C 限差 n 1s 2 10 1 0.045 2 0.00608

，故可认为存在系统误差， 且为周期性系统误差。
C C 限差

2．利用修正值消除系统误差
通过对测量装置的标定，事先求出修正值， 或给出修正曲线或修正公式。 实际测量时，将测得值加上相应的修正值 就可以得到被测量的实际值，以消除或减 小系统误差。 此种方法不能完全消除系统误差，因为修 正值也存在一定的小误差，但系统误差被 大大削弱了。

3．采用能消除系统误差的 典型测量方法

三、系统误差存在的判定

常用的发现系统误差的方法
实验对比法 残余误差观察法 残余误差校核法 不同公式计算标准偏差比较法 统计检验法 计算数据比较法

例题
1．实验对比法
改变测量条件或方法进行多次测量，通过 测量结果的对比来发现系统误差的存在。 这种方法适用于发现恒值系统误差。
3．已定系统误差和未定系统误差

未定系统误差 在测量过程中，误差的大小和符号未知 或变化规律未被充分认识的系统误差， 称为未定系统误差。 对未定系统误差，通常用其变化范围±e 来表示，±e称为误差限。
三、系统误差存在的判定
为了在测量中消除或减小系统误差对测量 的影响，首先必须判定测量过程是否存在 系统误差。 由于在各种测量过程中形成系统误差的因 素错综复杂，目前还未有一种能查明所有 系统误差的方法，因而只能根据已有的经 验，归纳和总结出一些发现系统误差的一 般方法。
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阿贝—赫梅特检验准则 n 1 令统计量 C ，则 C 限差 n 1 2。 i i 1
i 1
若
，则可认为无系统误差，否 C C 限差 则可认为存在系统误差，且为周期性系 统误差。
6．计算数据比较法
对同一个量进行多组测量，得到多组测量 值，通过对各组计算数据的比较，可以发 现系统误差。 如果对同一个量进行m组测量，并计算得到 各组的算术平均值为： x1 , x2 , , xm 各组的标准差为： 1 , 2 ,, m

残余误差观察法： 作vi～n图，如图 所示。 由图可判断存在 周期性系统误差。
系统误差存在的判定例题

残余误差校核法： n＝10，则k＝5。
v
i 1
5 i 1
5
i
0
10
v
i 6
10
i
0
v v
i i 6
i
0 0 0
由此可判断测量列无累积性系统误差。
系统误差存在的判定例题
3．采用能消除系统误差的 典型测量方法

交换法 用平衡法对被测量进行一次测量，然后 把被测量与标准量的位置交换再进行一 次测量，取两次测量的标准量值的平均 值作为测量结果。
3．采用能消除系统误差的 典型测量方法
5．统计检验法

误差正负号分配检验准则 n 1 令统计量 W S S ，则 W 限差 2 n 1 。 i i 1
i 1
若 W W 限差
，则可认为无系统误差，否 则可认为存在系统误差。
5．统计检验法

误差数值总和检验准则 n 令统计量 D ，则 D 2 n 。 i 限差

vi
i 1
k
i n k 1
v
n
i
3．残余误差校核法
若两代数和之差Δ显著不为零，则可认为测 量中存在着累积系统误差。 这个准则也称为马林科夫判据。

4．不同公式计算标准偏差比较法
对于等精度测量，可以采用不同的公式估 计标准偏差。通过比较估算结果，亦可发 现系统误差。 一般采用贝塞尔公式和佩捷尔斯公式进行 计算比较。

一、系统误差的产生和处理原则

系统误差的处理原则 首先应当对测量装置、测量对象和测量 数据进行全面的分析，检查和判定测量 过程是否存在系统误差，若存在系统误 差，则采取一定的措施消除或减小系统 误差对测量结果的影响。
二、系统误差的类型

为便于对系统误差进行分析和处理，系统 误差可按不同的角度进行分类。 根据误差是否变化，系统误差可分为恒 值系统误差和变值系统误差。 根据误差变化的规律，变值系统误差又 可分为累积系统误差、周期性系统误差 和复杂规律系统误差。 根据对误差掌握的程度，系统误差可分 为已定系统误差和未定系统误差。

D D 限差 ，故可认为不存在系统误差。
系统误差存在的判定例题
正误差平方和与负误差平方和之差检验
准则 正误差平方和为0.0089，负误差平方 和为0.0113 n K Si i2 0.0089 0.0113 0.0024, 统计量
i 1
K 限差 4 n s 2 4 10 0.045 2 0.0256