杆的拉伸与压缩
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2.第二章 直杆的拉伸与压缩
21
§2-3 材料的力学性能
力学性能（机械性能）：指材料在外力作用下在
强度与变形等方面所表现出的性能。
材料的力学性能是通过材料的力学试验得到的， 常做的力学性能试验有拉伸、压缩、弯曲、冲击、 疲劳、硬度等试验。
22
一、拉伸试验
实验条件：室温、静载（缓慢加载）、小变形等 金属标准试件：圆截面长试件标距L=10d； 短试件 L=5d，d =10mm。 试件材料：低碳钢（Q235-A）、灰铸铁 试验仪器：万能试验机
8
二、外力与内力的概念
外力：物体所受其它物体所给的作用力。包括载荷 和约束反力。 内力：由于外力作用引起同一构件内部各质点间的 附加相互作用力。 内力与外力的关系： 外力增加，内力随之增加，但内力达到某一限 度时就会引起构件破坏，因此内力与构件的承载能力 密切相关。研究构件强度问题时首先必须求内力。
蠕变极限σn 、持久极限σD ⑵应力松弛
如高温管道的法兰连接螺栓
36
3. 低温对材料力学性能的影响
低温对材料力学性能的影响主要表现为材料的塑 性、韧性指标随温度的降低而减小。
当温度低于某一数值后，材料的塑性指标将急剧 下降，从而转变为脆性材料，这一温度称为无塑 性转变温度NDT（或脆性转变温度）。
于1900年提出
d
F F HB A D D 2 d2 D 2
39
σ b≈3.6HB(MPa)
B. 洛氏硬度
由美国人Rockwell 于1919年 提出。 用金刚石圆锥体或硬度钢球做 压头，根据试样的压痕深度来 表示硬度高低。 常见有：HRA、HRB、HRC HB=10HRC
弹性性能：抵抗弹性变形的能力，
用弹性模量E表示
第4章 拉伸、压缩1234
σbc
σbc >>σbt
目 录
三、其它常用材料力学性能简介
（一）其它金属材料力学性能简介
σ
高强钢 低合金钢 低碳钢
σ0.2
02％ .
铝合金 黄铜
条件屈服极限： 条件屈服极限 σ0.2
ε
第六节 轴向拉伸和压缩时杆件的强度计算
一、极限应力 许用应力 安全因数 失效－构件不能正常工作。如发生断裂、塑性变形、弹性 构件不能正常工作。如发生断裂、塑性变形、 构件不能正常工作 大变形过大或稳定性不足等， 大变形过大或稳定性不足等，都将导致构件失效。 构件失效时的最小应力， 构件失效时的最小应力，称为极限应力 σ0
F
F
m
F
一截为二， 一截为二， 去一留一， 去一留一，
m
FN =F FN =F
平衡求力。 平衡求力。
F
三、轴力和轴力图
轴向拉( 轴向拉(压)时，其内力与杆轴线重合，称为轴力, 其内力与杆轴线重合，称为轴力, 用FN表示。 表示。 轴力符号规则：与截面外法线方向一致时为正； 轴力符号规则：与截面外法线方向一致时为正；否则为 负。 正的轴力表示拉伸，负的轴力表示压缩。 正的轴力表示拉伸，负的轴力表示压缩。 表示压缩
第二节 拉伸与压缩时横截面上的内力
一、内力的概念 物体内部各部分因相对位置改变而引起的 相互作用力。 相互作用力。 由于是载荷作用引起的内力称为附加内力，简称内力。 由于是载荷作用引起的内力称为附加内力，简称内力。 附加内力 内力 内力引起变形，起着传递外力的作用， 内力引起变形，起着传递外力的作用，随着 外力而改变,并与外力平衡。 外力而改变,并与外力平衡。 二、计算内力的截面法 （1）截面法
10
x
5 材料力学第二章 轴向拉伸和压缩
μ
16锰钢
合金钢 铸铁 混凝土 石灰岩 木材（顺纹）
196-216
186-216 59-162 15-35 41 10-12
0.25-0.30
0.25-0.30 0.23-0.27 0.16-0.18 0.16-0.34
橡胶
0.0078
0.47
25
材料力学
§2-5
轴向拉伸时材料的机械性能
一、试验条件及试验仪器
P BC段：N 2 3 P
1
3P + P
AB段：N
3
2 P
+
–
12
2P
三、横截面上的应力
问题提出： P P （一）应力的概念 P P
度量横截面 上分布内力 的集度
1.定义：作用在单位面积上的内力值。 2.应力的单位是： Pa KPa MPa GPa
3.应力：a：垂直截面的应力－－正应力σ 拉应力为正，压应力为负。
※E为弹性模量，是衡量材料抵抗弹 性变形能力的一个指标。“EA”称 为杆的抗拉压刚度。
l E Sl S E E l l EA A
胡克定律：
＝Eε
23
四、横向变形
d d 1 d 0
泊松比（或横向变形系数）
d d 1 d 0 相对变形： ' d0 d0
e
DE段：颈缩阶段。
• 材料的分类：根据试件断裂时的残余相对变形率将材料分类： 延伸率（δ ）>5% 塑性变形：低碳钢，铜，塑料，纤维。 延伸率（δ ）<5% 脆性变形：混凝土，石块，玻璃钢，陶瓷， 玻璃，铸铁。 • 冷作硬化：材料经过屈服而进入强化阶段后卸载，再加载时，弹 性极限明显增加，弹性范围明显扩大，承载能力增大的现象。 • 强度指标：对塑性材料，在拉断之前在残余变形0.2 %（产生 0.2%塑性应变）时对应的应力为这种材料的名义屈服应力，用 0.2表示 ，即此类材料的失效应力。 锰钢、镍钢、铜等 • 脆性材料拉伸的机械性能特点： 1.断裂残余相对变形率δ <5% 0.2 or s max b 2.弹性变形基本延伸到破坏 3.拉伸强度极限比塑性材料小的多 4.b是脆性材料唯一的强度指标
16锰钢
合金钢 铸铁 混凝土 石灰岩 木材（顺纹）
196-216
186-216 59-162 15-35 41 10-12
0.25-0.30
0.25-0.30 0.23-0.27 0.16-0.18 0.16-0.34
橡胶
0.0078
0.47
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材料力学
§2-5
轴向拉伸时材料的机械性能
一、试验条件及试验仪器
P BC段：N 2 3 P
1
3P + P
AB段：N
3
2 P
+
–
12
2P
三、横截面上的应力
问题提出： P P （一）应力的概念 P P
度量横截面 上分布内力 的集度
1.定义：作用在单位面积上的内力值。 2.应力的单位是： Pa KPa MPa GPa
3.应力：a：垂直截面的应力－－正应力σ 拉应力为正，压应力为负。
※E为弹性模量，是衡量材料抵抗弹 性变形能力的一个指标。“EA”称 为杆的抗拉压刚度。
l E Sl S E E l l EA A
胡克定律：
＝Eε
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四、横向变形
d d 1 d 0
泊松比（或横向变形系数）
d d 1 d 0 相对变形： ' d0 d0
e
DE段：颈缩阶段。
• 材料的分类：根据试件断裂时的残余相对变形率将材料分类： 延伸率（δ ）>5% 塑性变形：低碳钢，铜，塑料，纤维。 延伸率（δ ）<5% 脆性变形：混凝土，石块，玻璃钢，陶瓷， 玻璃，铸铁。 • 冷作硬化：材料经过屈服而进入强化阶段后卸载，再加载时，弹 性极限明显增加，弹性范围明显扩大，承载能力增大的现象。 • 强度指标：对塑性材料，在拉断之前在残余变形0.2 %（产生 0.2%塑性应变）时对应的应力为这种材料的名义屈服应力，用 0.2表示 ，即此类材料的失效应力。 锰钢、镍钢、铜等 • 脆性材料拉伸的机械性能特点： 1.断裂残余相对变形率δ <5% 0.2 or s max b 2.弹性变形基本延伸到破坏 3.拉伸强度极限比塑性材料小的多 4.b是脆性材料唯一的强度指标
杆件轴向拉伸与压缩_图文
极限应力（危险应力、失效应力）：材料发生破坏或产生过大变形而 不能安全工作时的最小应力值，即材料丧失工作能力时的应力，以符号 σu表示，其值由实验确定。
许用应力：构件安全工作时的最大应力，即构件在工作时允许承受的
最大工作应力，以符号[σ]表示。计算公式为：
式中，n为安全系数，它是一个大于1的系数，一般来说，确定安全系数 时应考虑以下几个方面的因素。(1) 实际荷载与设计荷载的出入。(2) 材料 性质的不均匀性。(3) 计算结果的近似性。(4) 施工、制造和使用时的条件 影响。可见，确定安全系数的数值要涉及工程上的各个方面，不单纯是个 力学问题。通常，安全系数由国家制定的专门机构确定。
根据上述现象，对杆件内部的变形作如下假设：变形之前横截面为平 面，变形之后仍保持为平面，而且仍垂直于杆轴线，只是每个横截面沿 杆轴作相对平移。这就是平面假设。
ac
F
a' c'
F
b' d'
bd
11
建筑力学
推论：
1、等直拉（压）杆受力时没有发生剪切变形，因而横截 面上没有切应力。 2、拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段的伸长 (缩短)变形是均匀的。亦即横截面上各点处的正应力 都相等。
p t
s M
10
建筑力学
拉(压)杆横截面上的正应力
推导思路：实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式
简单实验如下。用弹性材料做一截面杆(如下图)，在受拉力前，在截 面的外表皮上画ab和cd两个截面，在外力F的作用下，两个截面ab和cd的 周线分别平行移动到a`b`和c`d`。根据观察，周线仍为平面周线，并且截 面仍与杆件轴线正交。
一般来说，在采用截面法之前不要使用力的可传性原理， 6
许用应力：构件安全工作时的最大应力，即构件在工作时允许承受的
最大工作应力，以符号[σ]表示。计算公式为：
式中，n为安全系数，它是一个大于1的系数，一般来说，确定安全系数 时应考虑以下几个方面的因素。(1) 实际荷载与设计荷载的出入。(2) 材料 性质的不均匀性。(3) 计算结果的近似性。(4) 施工、制造和使用时的条件 影响。可见，确定安全系数的数值要涉及工程上的各个方面，不单纯是个 力学问题。通常，安全系数由国家制定的专门机构确定。
根据上述现象，对杆件内部的变形作如下假设：变形之前横截面为平 面，变形之后仍保持为平面，而且仍垂直于杆轴线，只是每个横截面沿 杆轴作相对平移。这就是平面假设。
ac
F
a' c'
F
b' d'
bd
11
建筑力学
推论：
1、等直拉（压）杆受力时没有发生剪切变形，因而横截 面上没有切应力。 2、拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段的伸长 (缩短)变形是均匀的。亦即横截面上各点处的正应力 都相等。
p t
s M
10
建筑力学
拉(压)杆横截面上的正应力
推导思路：实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式
简单实验如下。用弹性材料做一截面杆(如下图)，在受拉力前，在截 面的外表皮上画ab和cd两个截面，在外力F的作用下，两个截面ab和cd的 周线分别平行移动到a`b`和c`d`。根据观察，周线仍为平面周线，并且截 面仍与杆件轴线正交。
一般来说，在采用截面法之前不要使用力的可传性原理， 6
杆件的拉伸与压缩
第2章杆件的拉伸与压缩杆件的拉伸与压缩是杆件的基本变形形式之一，也是最简单的一种变形形式。
本章主要通过对于拉伸与压缩的研究，我们将对杆件变形与内力的关系以及材料基本力学性质的研究建立初步的概念。
因此,对拉伸与压缩的研究具有重要的意义。
本章将建立拉压杆内力的概念和应力、应变的概念，讨论截面法在求解拉压杆内力中的具体应用，研究应变与应力的关系及材料拉伸压缩时的力学性能，建立强度计算的基本概念，并对超静定问题的求解作初步的了解。
§ 2.1引言在实际工程中，我们经常会遇到承受轴向拉伸和轴向压缩的等直杆件。
例如组成起重机塔架的杆件（图2.1），房屋的屋盖珩架中的杆件（图2.2）等。
如图2.2（a）所示的房屋的屋盖椅架，是由很多等直杆件绞接而成的。
现取出拉杆和压杆来进行分析。
拉杆的计算简图如图2.2（c），它是一根受拉的等直杆，由节点处传来的合力P，作用在杆件的两端，与杆的轴线重合，并且大小相等方向相反，它们使杆件产生轴向的伸长变形，图2.1 图 2.2 (a)我们称之为轴向拉伸；作用在压杆图2.2（b）两端的力P使杆产生轴向压缩变形，称为轴向压缩。
通过上述实例得知轴向拉伸和压缩具有如下特点:受力特点：作用于杆件两端的外力大小相等，方向相反，作用线与杆件轴线重合，即称轴向力。
变形特点：杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩。
§ 2.2用截面法计算拉（压）杆的内力、拉（压）杆内力的概念内力的概念：杆件在受到轴向拉力作用时，会产生变形而伸长，同时，在杆件内任何截面处截面两侧相连部分之间产生相互作用力，它的存在保证了截面两侧部分不被分开，这种作用力,这种作用力本来是分布在整个截面的所示。
(c)就是杆件的拉伸内力。
类似地，杆件在受到轴向压力作用时，杆件内部会产生压缩内力。
二、用截面法求轴力根据1.5节所介绍计算杆件内力的方法即截面法的原理和一般步骤 ，现在研究拉(压)杆的内力计算方法。
图2.3(a)所示拉杆，两端各作用一轴向外力 P,内力的计算步骤如下：(1) 在该杆任一横截面 m-m 处将其假想地切开，取其左半部分(或右半部分)为脱离体。
直杆轴向拉伸与压缩时的变形与应力分析和拉伸与压缩时材料的力学性能——教案
直杆轴向拉伸与压缩时的变形与应力分析和拉伸与压缩时材料的力学性能——教案第一章：直杆轴向拉伸与压缩的基本概念1.1 学习目标1. 了解直杆轴向拉伸与压缩的基本概念；2. 掌握直杆轴向拉伸与压缩的变形与应力分析方法。
1.2 教学内容1. 直杆轴向拉伸与压缩的定义；2. 直杆轴向拉伸与压缩的变形与应力分析方法。
1.3 教学活动1. 讲解直杆轴向拉伸与压缩的基本概念；2. 分析直杆轴向拉伸与压缩的变形与应力分析方法。
第二章：直杆轴向拉伸与压缩的变形分析2.1 学习目标1. 了解直杆轴向拉伸与压缩的变形规律；2. 掌握直杆轴向拉伸与压缩的变形分析方法。
2.2 教学内容1. 直杆轴向拉伸与压缩的变形规律；2. 直杆轴向拉伸与压缩的变形分析方法。
2.3 教学活动1. 讲解直杆轴向拉伸与压缩的变形规律；2. 分析直杆轴向拉伸与压缩的变形分析方法。
3.1 学习目标1. 了解直杆轴向拉伸与压缩的应力分布；2. 掌握直杆轴向拉伸与压缩的应力分析方法。
3.2 教学内容1. 直杆轴向拉伸与压缩的应力分布；2. 直杆轴向拉伸与压缩的应力分析方法。
3.3 教学活动1. 讲解直杆轴向拉伸与压缩的应力分布；2. 分析直杆轴向拉伸与压缩的应力分析方法。
第四章：拉伸与压缩时材料的力学性能4.1 学习目标1. 了解拉伸与压缩时材料的力学性能指标；2. 掌握拉伸与压缩时材料的力学性能分析方法。
4.2 教学内容1. 拉伸与压缩时材料的力学性能指标；2. 拉伸与压缩时材料的力学性能分析方法。
4.3 教学活动1. 讲解拉伸与压缩时材料的力学性能指标；2. 分析拉伸与压缩时材料的力学性能分析方法。
第五章：实例分析与应用5.1 学习目标2. 能够应用所学知识解决实际问题。
5.2 教学内容1. 直杆轴向拉伸与压缩的实例分析；2. 应用所学知识解决实际问题。
5.3 教学活动1. 分析直杆轴向拉伸与压缩的实例；2. 解决实际问题，巩固所学知识。
第六章：弹性模量的概念与应用6.1 学习目标1. 理解弹性模量的定义及其物理意义；2. 掌握弹性模量在材料力学中的应用。
轴向拉伸和压缩—轴向拉(压)杆的变形(建筑力学)
FNl EA
轴向拉伸与压缩
例7-6 试求 例7-5中砖柱顶面位移。已知E=3GPa， lAB=3m， lBC=4m。
解 由于砖柱底端是固定端，所以 柱顶面位移等于全柱的总缩短变形。
AB段：
l AB
FNAB lAB EAAB
60 103 3103 3103 250 250 mm
0.96mm
长度的纵向变形，即纵向线应变，简称应变。
纵向线应变
l
l
线应变--每单位长 度的变形，无量纲。
△l以杆件伸长时为正，缩短时为负； 的正负号与△l
一致，因此，拉应变为正，压应变为负。
FP
a1
a
FP
l l1
杆的横向变形为
∆a =a1－a
杆在轴向拉伸时的横向变形为负值，压缩时为正值。
同理，将杆件的横向变形 除以杆的原截面边长，得杆件单
轴向拉伸与压缩
对于长度相同，轴力相同的杆件，分母EA越大，杆的纵向 变形⊿ l 就越小。
可见EA反映了杆件抵抗拉（压）变形的能力，称为杆件的 抗拉（压）刚度。
胡克定律的另一表达形式 或 E
E
在弹性范内，正应力与线应变成正比。
对于各段杆件截面面积不同或内力分段不同的拉压杆 ，在计算杆件变形量时，应分段计算，然后叠加，即：
轴向拉伸与压缩
三、胡克定律
实验表明：工程中使用的大部分材料都有一个弹性范围。
在弹性范围内， 杆的纵向变形量⊿ l 与杆所受的轴力FN ，杆的原长 l 成正比，而与杆的横截面积 A 成反比，用式
子表示为：
l Fl A
引进比例常数 E 后，得
l FN l EA
胡克定律
比例常数E称为材料的弹性模量，可由实验测出。
轴向拉伸与压缩
例7-6 试求 例7-5中砖柱顶面位移。已知E=3GPa， lAB=3m， lBC=4m。
解 由于砖柱底端是固定端，所以 柱顶面位移等于全柱的总缩短变形。
AB段：
l AB
FNAB lAB EAAB
60 103 3103 3103 250 250 mm
0.96mm
长度的纵向变形，即纵向线应变，简称应变。
纵向线应变
l
l
线应变--每单位长 度的变形，无量纲。
△l以杆件伸长时为正，缩短时为负； 的正负号与△l
一致，因此，拉应变为正，压应变为负。
FP
a1
a
FP
l l1
杆的横向变形为
∆a =a1－a
杆在轴向拉伸时的横向变形为负值，压缩时为正值。
同理，将杆件的横向变形 除以杆的原截面边长，得杆件单
轴向拉伸与压缩
对于长度相同，轴力相同的杆件，分母EA越大，杆的纵向 变形⊿ l 就越小。
可见EA反映了杆件抵抗拉（压）变形的能力，称为杆件的 抗拉（压）刚度。
胡克定律的另一表达形式 或 E
E
在弹性范内，正应力与线应变成正比。
对于各段杆件截面面积不同或内力分段不同的拉压杆 ，在计算杆件变形量时，应分段计算，然后叠加，即：
轴向拉伸与压缩
三、胡克定律
实验表明：工程中使用的大部分材料都有一个弹性范围。
在弹性范围内， 杆的纵向变形量⊿ l 与杆所受的轴力FN ，杆的原长 l 成正比，而与杆的横截面积 A 成反比，用式
子表示为：
l Fl A
引进比例常数 E 后，得
l FN l EA
胡克定律
比例常数E称为材料的弹性模量，可由实验测出。
杆件拉伸和压缩强度计算ppt课件
6
第二节 轴向拉伸和压缩的应力应变
一、应力的概念
图3-5 应力概念
7
第二节 轴向拉伸和压缩的应力应变
二、横截面上的应力
图3-6 正应力与切应力
8
第二节 轴向拉伸和压缩的应力应变
图3-7 拉杆横截面上的应力 0.tif
9
第二节 轴向拉伸和压缩的应力应变
图3-8 支架
例3-2 如图3-8a所示支架，其水平圆杆直径为30mm,矩形截面斜 杆的尺寸为60mm×100mm,tanα=3/4,F=24kN。
10
第二节 轴向拉伸和压缩的应力应变
试确定各杆的正应力。 解 由图3-8b所示的受力图，用平衡方程可得 三、拉伸或压缩时的变形
11
第二节 轴向拉伸和压缩的应力应变
3M9.tif 表2-1 几种常用材料的E和μ值
例3-3 阶梯形杆AC，在A、B两压缩的应力应变
图3-19 名义屈服极限
25
第三节 材料在拉伸和压缩时的力学性 能
3M20.tif
26
第三节 材料在拉伸和压缩时的力学性 能
3M21.tif
27
第三节 材料在拉伸和压缩时的力学性 能
图3-22 铸铁压缩时的σ-ε曲线
28
第四节 拉压杆的强度计算
一、极限应力许用应力安全系数 二、拉伸和压缩时的强度计算 (1)校核强度 若已知杆件的尺寸、所受载荷和材料的许用应力，即 可用强度条件验算杆件是否满足强度要求。 (2)设计截面 若已知杆件所承受的载荷及材料的许用应力，由强度 条件确定杆件所需要的截面面积，即A≥。 (3)确定许用载荷 若已知杆件横截面尺寸及材料的许用应力，由强 度条件确定杆件所能承受的最大轴力，即FNmax≤［σ］A。
第二节 轴向拉伸和压缩的应力应变
一、应力的概念
图3-5 应力概念
7
第二节 轴向拉伸和压缩的应力应变
二、横截面上的应力
图3-6 正应力与切应力
8
第二节 轴向拉伸和压缩的应力应变
图3-7 拉杆横截面上的应力 0.tif
9
第二节 轴向拉伸和压缩的应力应变
图3-8 支架
例3-2 如图3-8a所示支架，其水平圆杆直径为30mm,矩形截面斜 杆的尺寸为60mm×100mm,tanα=3/4,F=24kN。
10
第二节 轴向拉伸和压缩的应力应变
试确定各杆的正应力。 解 由图3-8b所示的受力图，用平衡方程可得 三、拉伸或压缩时的变形
11
第二节 轴向拉伸和压缩的应力应变
3M9.tif 表2-1 几种常用材料的E和μ值
例3-3 阶梯形杆AC，在A、B两压缩的应力应变
图3-19 名义屈服极限
25
第三节 材料在拉伸和压缩时的力学性 能
3M20.tif
26
第三节 材料在拉伸和压缩时的力学性 能
3M21.tif
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第三节 材料在拉伸和压缩时的力学性 能
图3-22 铸铁压缩时的σ-ε曲线
28
第四节 拉压杆的强度计算
一、极限应力许用应力安全系数 二、拉伸和压缩时的强度计算 (1)校核强度 若已知杆件的尺寸、所受载荷和材料的许用应力，即 可用强度条件验算杆件是否满足强度要求。 (2)设计截面 若已知杆件所承受的载荷及材料的许用应力，由强度 条件确定杆件所需要的截面面积，即A≥。 (3)确定许用载荷 若已知杆件横截面尺寸及材料的许用应力，由强 度条件确定杆件所能承受的最大轴力，即FNmax≤［σ］A。
《直杆的拉伸与压缩》课件
《直杆的拉伸与压缩》 PPT课件
直杆的拉伸与压缩概念、性质、应力应变关系、杨氏模量、横向变形、临界 载荷等主题，为您精心准备的详细讲解。
பைடு நூலகம்
一、引言
直杆的基本概念
直杆是一种在一个方向上受力的长杆，常见于建筑、桥梁和机械结构中。
拉伸和压缩的定义
拉伸是指直杆在受力方向上的拉长，压缩是指直杆在受力方向上的压缩变形。
直杆的压缩试验可以测量材料的抗压能力和变形特性。
2
应力——应变关系曲线
压缩试验生成的应力——应变关系曲线可以帮助分析直杆在受力下的变形。
3
杨氏模量的定义和计算
杨氏模量的计算可以用来评估直杆材料在压缩状态下的刚性。
四、直杆的拉压变形
横向压缩与拉伸
直杆在受压和受拉时会出现横 向变形，对于工程设计需要考 虑这种变形。
二、直杆的拉伸
普通拉伸试验和 材料性质
通过拉伸试验可以了解直 杆材料的力学性质，包括 强度、延伸性和断裂韧性。
应力——应变关 系曲线
拉伸试验得到的应力—— 应变关系曲线可以用来分 析直杆的变形特性。
杨氏模量的定义 和计算
杨氏模量是用来衡量直杆 材料的刚度和弹性恢复能 力。
三、直杆的压缩
1
普通压缩试验和材料性质
工程应用举例
了解直杆失稳对工程结构 和设计的影响，并探索相 关的实际例子。
六、结论
1 直杆的拉伸和压缩对工程的影响
2 发展与应用展望
直杆的拉伸和压缩性质对工程设计和结构 稳定性有重要影响。
探索直杆材料的新发展和应用领域，提出 未来的研究方向。
泊松比的概念和计算
泊松比描述了材料横向变形与 纵向变形之间的关系。
工程应用举例
直杆的拉伸与压缩概念、性质、应力应变关系、杨氏模量、横向变形、临界 载荷等主题，为您精心准备的详细讲解。
பைடு நூலகம்
一、引言
直杆的基本概念
直杆是一种在一个方向上受力的长杆，常见于建筑、桥梁和机械结构中。
拉伸和压缩的定义
拉伸是指直杆在受力方向上的拉长，压缩是指直杆在受力方向上的压缩变形。
直杆的压缩试验可以测量材料的抗压能力和变形特性。
2
应力——应变关系曲线
压缩试验生成的应力——应变关系曲线可以帮助分析直杆在受力下的变形。
3
杨氏模量的定义和计算
杨氏模量的计算可以用来评估直杆材料在压缩状态下的刚性。
四、直杆的拉压变形
横向压缩与拉伸
直杆在受压和受拉时会出现横 向变形，对于工程设计需要考 虑这种变形。
二、直杆的拉伸
普通拉伸试验和 材料性质
通过拉伸试验可以了解直 杆材料的力学性质，包括 强度、延伸性和断裂韧性。
应力——应变关 系曲线
拉伸试验得到的应力—— 应变关系曲线可以用来分 析直杆的变形特性。
杨氏模量的定义 和计算
杨氏模量是用来衡量直杆 材料的刚度和弹性恢复能 力。
三、直杆的压缩
1
普通压缩试验和材料性质
工程应用举例
了解直杆失稳对工程结构 和设计的影响，并探索相 关的实际例子。
六、结论
1 直杆的拉伸和压缩对工程的影响
2 发展与应用展望
直杆的拉伸和压缩性质对工程设计和结构 稳定性有重要影响。
探索直杆材料的新发展和应用领域，提出 未来的研究方向。
泊松比的概念和计算
泊松比描述了材料横向变形与 纵向变形之间的关系。
工程应用举例
拉伸和压缩
构件特点——等截面直杆。
§5－2 拉伸（压缩）时横截面上的内力——轴力
一、内力 二、内力的计算——截面法 三、轴力图
一、内力 1．定义
因外力作用而引起构件内部之间的相互作用 压变形时的内力，FN或N。 剪力——剪切变形时的内力，FQ。 扭矩——扭转变形时的内力，MT或T。 弯矩与剪力——弯曲变形时的内力，Mw与FQ。
[σ] =σs /ns
[σ] =Rm /nb
安全系数n
ns按屈服极限规定 nb按强度极限规定 取值，ns = 1.5~2.0 取值，nb = 2.5~3.5
三、强度条件
拉压强度条件方程： σ= FNmax/A ≤ [σ]
利用强度条件可解决工程中三类强度问题： 校核强度 选择截面尺寸 确定许可载荷
绝对变形
拉杆
压杆
绝对变形只表示了杆件变形的大小，但不能表示杆 件变形的程度。
2．相对变形
为了消除杆件长度的影响，通常以绝对变形除以原长 得到单位长度上的变形量——相对变形（又称线应变）来 度量杆件的变形程度。用符号表示为ε：
ε= ΔL/Lo =（Lu—Lo）/Lo
ε无单位，通常用百分数表示。对于拉杆，ε为正值； 对于压杆，ε为负值。
二、胡克定律
胡克定律——当杆横截面上的正应力不超过一 定限度时，杆的正应力σ与轴向线应变ε成正比。
σ=εE
常数E称为材料的弹性模量，它反映了材料的弹性性 能。材料的E值愈大，变形愈小，故它是衡量材料抵抗弹 性变形能力的一个指标。
胡克定律的另一种表达形式：
ε=ΔL/Lo
代入 σ=εE
得
σ= FN/A
FN ≤[σ] ·A
在载荷、材料、截面尺寸和工作条件这 四个因素中，工作应力与哪些因素有关？许 用应力[σ]与哪些因素有关？
§5－2 拉伸（压缩）时横截面上的内力——轴力
一、内力 二、内力的计算——截面法 三、轴力图
一、内力 1．定义
因外力作用而引起构件内部之间的相互作用 压变形时的内力，FN或N。 剪力——剪切变形时的内力，FQ。 扭矩——扭转变形时的内力，MT或T。 弯矩与剪力——弯曲变形时的内力，Mw与FQ。
[σ] =σs /ns
[σ] =Rm /nb
安全系数n
ns按屈服极限规定 nb按强度极限规定 取值，ns = 1.5~2.0 取值，nb = 2.5~3.5
三、强度条件
拉压强度条件方程： σ= FNmax/A ≤ [σ]
利用强度条件可解决工程中三类强度问题： 校核强度 选择截面尺寸 确定许可载荷
绝对变形
拉杆
压杆
绝对变形只表示了杆件变形的大小，但不能表示杆 件变形的程度。
2．相对变形
为了消除杆件长度的影响，通常以绝对变形除以原长 得到单位长度上的变形量——相对变形（又称线应变）来 度量杆件的变形程度。用符号表示为ε：
ε= ΔL/Lo =（Lu—Lo）/Lo
ε无单位，通常用百分数表示。对于拉杆，ε为正值； 对于压杆，ε为负值。
二、胡克定律
胡克定律——当杆横截面上的正应力不超过一 定限度时，杆的正应力σ与轴向线应变ε成正比。
σ=εE
常数E称为材料的弹性模量，它反映了材料的弹性性 能。材料的E值愈大，变形愈小，故它是衡量材料抵抗弹 性变形能力的一个指标。
胡克定律的另一种表达形式：
ε=ΔL/Lo
代入 σ=εE
得
σ= FN/A
FN ≤[σ] ·A
在载荷、材料、截面尺寸和工作条件这 四个因素中，工作应力与哪些因素有关？许 用应力[σ]与哪些因素有关？
拉伸与压缩(工程力学)
A
FN A
•公式适用范围
（1） 等截面杆（Bars with uniform cross sections） 有锥度的杆，上述公式不 能使用。但是，如果杆的 锥度很小（a<15°时）， 可以近似用上述公式计算 应力，与弹性力学的精确 解相比，误差在5%以内 （2） 均匀材料（Homogeneous materials）
N AB 38.7 103 123 106 Pa AAB பைடு நூலகம் 3 2 (20 10 ) 4
§2-4
轴向拉伸或压缩时的 变形 b b
l l l
一、纵向线应变与横向线应变 纵向应变
b
l l
横向应变
b b
二、拉（压）胡克定律
当构件工作应力
0.272 mm ( 缩短）
AB长2m, 面积为200mm2。AC面积 为250mm2。E=200GPa。F=10kN。 试求节点A的位移。
解：1、计算轴力。（设斜杆 为1杆，水平杆为2杆）取节 点A为研究对象
F
FN 1
FN 2
300
x
0 0
FN 1 cosa FN 2 0 FN 1 sin a F 0
（1） 杆轴为直线 （2） 外力合力作用线与杆轴重合 计算模型
• §2-2 轴向拉压时横截面的内力
应用截面法
FN P
FN ' P
符号规定：拉伸为正，压缩为负
例1.1：求图示杆1-1、2-2、3-3截面 上的轴力
解：
N 1 10 kN
N 2 5 kN
N3 20kN
N 1 10 kN
FN 1l1 l1 1mm E1 A1 FN 2l2 l2 0.6mm E2 A2
FN A
•公式适用范围
（1） 等截面杆（Bars with uniform cross sections） 有锥度的杆，上述公式不 能使用。但是，如果杆的 锥度很小（a<15°时）， 可以近似用上述公式计算 应力，与弹性力学的精确 解相比，误差在5%以内 （2） 均匀材料（Homogeneous materials）
N AB 38.7 103 123 106 Pa AAB பைடு நூலகம் 3 2 (20 10 ) 4
§2-4
轴向拉伸或压缩时的 变形 b b
l l l
一、纵向线应变与横向线应变 纵向应变
b
l l
横向应变
b b
二、拉（压）胡克定律
当构件工作应力
0.272 mm ( 缩短）
AB长2m, 面积为200mm2。AC面积 为250mm2。E=200GPa。F=10kN。 试求节点A的位移。
解：1、计算轴力。（设斜杆 为1杆，水平杆为2杆）取节 点A为研究对象
F
FN 1
FN 2
300
x
0 0
FN 1 cosa FN 2 0 FN 1 sin a F 0
（1） 杆轴为直线 （2） 外力合力作用线与杆轴重合 计算模型
• §2-2 轴向拉压时横截面的内力
应用截面法
FN P
FN ' P
符号规定：拉伸为正，压缩为负
例1.1：求图示杆1-1、2-2、3-3截面 上的轴力
解：
N 1 10 kN
N 2 5 kN
N3 20kN
N 1 10 kN
FN 1l1 l1 1mm E1 A1 FN 2l2 l2 0.6mm E2 A2
第5章 杆件的轴向拉伸与压缩变形
变形”，用 △d表示，则有
在同样大小的外力作用下，不同长度和直径（宽度）的杆件，
其绝对变形量是不一样的，相反，在不同大小的外力作用下，相同长
度和直径（宽度）的杆件，其绝对变形量也可能相同，也就是说绝对
变形量不能准确地反应杆件的变形程度。
第5章 杆件的轴向拉伸与压缩变形
使5用.5规.2范说相明对变形
正应力的正负号与轴力的正负号一致，即拉应力为正，压应力
为负。
第5章 杆件的轴向拉伸与压缩变形
使5用.5规范拉说压明 杆的变形
当杆件被轴向拉伸时，其纵向尺寸增大，而横向尺寸缩小。反
之，当杆件被轴向压缩时，其纵向尺寸减小，而横向尺寸增大。如图
5-10所示，一杆件原长为l，直径为d，当受到拉力F的作用时，长度
第5章 杆件的轴向拉伸与压缩变形
使5用.4规范轴说向明 拉伸与压缩时的应力
5.4.1 应力的概念
内力在截面上的分布集度称为应力，它以分布在单位面积上的内
力来衡量。如图5-6a所示，在杆件横截面 上围绕任一点K取微小面积
△ A，并设△ A 上分布内力的合力为△ FR ，则△ FR 的大小和方向 与所取K点的位置和面积 △ A有关。
第5章 杆件的轴向拉伸与压缩变形
3．强化阶段
使用规屈范服说阶段明后，图上出现上凸的曲线cd段。这表明，若要使材料
继续变形，必须增加应力，即材料又恢复了抵抗变形的能力，这种现
Байду номын сангаас
象称为材料的强化。cd段对应的过程称为材料的强化阶段。曲线最高
点d所对应的应力值用 σb表示，称为材料的强度极限或抗拉强度， 它确定了材料所能承受的最大应力，是衡量材料强度的另一个重要指
杆的弹力的方向特点
杆的弹力的方向特点
杆的弹力方向特点取决于外部施加在杆上的力和杆的结构。
以下是一些常见情况下杆的弹力方向的特点：
1. 拉伸：如果一个杆被拉伸，即施加的力使其长度增加，那么弹力将与拉力的方向相反，试图将杆恢复到其原始长度。
这意味着弹力将沿着杆的轴线方向拉回，与拉力的方向相反。
2. 压缩：相反地，如果一个杆被压缩，即施加的力使其长度减少，那么弹力也将与压力的方向相反，试图将杆恢复到其原始长度。
这时弹力将沿着杆的轴线方向推出，与压力的方向相反。
3. 弯曲：当一个杆被弯曲时，弹力的方向将取决于杆的形状、材料和施加在杆上的外力。
在弯曲的情况下，弹力可能会在杆内部产生，试图恢复杆的形状，使其尽可能回到原始的直线状态。
总的来说，弹力的方向通常与外部施加力的方向相反，试图将杆恢复到其原始状态。
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拉杆体积
长度（与 有关）
横截面积
轴力（与 有关）
45° a
b N
A L
例 如图的结构中荷载可在刚性梁上
移动。结构中距离 b 不可改动。求在
满足强度要求下，使拉杆用料最省的
FN
角度 。
考虑横梁的平衡
mA=0 (N co )(b sta)= n FL
拉杆中的轴力
FN
=
N
= FL
bsin
拉杆横截面上的正应力
40.8
40.8
例 设 AB 、CD 均为刚体, ①号杆直径 为 25 mm， ②号杆直径为 35 mm，两杆
[s ] = 160MPa , 试求许用荷载 [ F ]。
分析①号杆：
②
A 3m
N1
B
F
D 3.2 m
0.75 m 0.6 m
MA=0 ( 3 0.N 1 7 3 F 5 = 0 ) F N 1=N 1=0.8F
F N 2=N 2=7.1 4kN ②号杆更危险，故只需校核②号杆的强度。
s = FN 2 =474.1103 =15 M 1 P [s]a故结构安全
A 3.14252
例 设 AB 、CD 均为刚体, F = 39 kN ,
①、 ② 两杆 [s ] = 160 MPa , 试求两杆
所需直径。
轴力分析与上题相同。 FN1=3.12kN FN2=7.41kN
分析②号杆：
A 3m
②N2
CN1
①E
30° D
N1 B
F 3.2 m
0.75 m 0.6 m
MD=0 (3 0 .2 N .1 6 3 .2 )N 2sio n = 0 30
F N 2=N 2=1.9F
s(2)
= FN2 =1.9F[s]
πd22 4 πd22 4
F πd22[s] =3.1 432516=8 0.0 1kN故有 [F]=81kN
杆的拉伸与压缩
Chapter Eight
Tension and Compression
背景材料 本章基本要求 8.1 拉压杆的应力 8.2 拉压杆的变形和位移 8.3 拉压杆的超静定问题 本章内容小结 综合训练
背景材料
背景材料
背景材料
本章基本要求
正确理解和应用杆件拉压正应力公式和变形公 式，能熟练地进行拉压问题的强度和刚度分析。
s=FN= FL [s] A Absin
A FL
[s]bsin
拉杆的重量
G=gaA=gcbos[s]F bsLin=
C
cos sin
使拉杆重量最小的角度 = π 4
数学工具箱
41பைடு நூலகம்9
41.9
分析与讨论
载荷可在 AB 上水平移动 在校核强度时应如何考虑荷载？
②
C
30°
①E
D
B
AF
3.2 m
3.75 m 0.6 m
与上面的例子相比较，所确定的两杆直径有何变化？
与上面的例子相比较，所确定的许用荷载有何变化？
注意 在荷载有作用位置或角度变化的情况下，应在对
构件的最不利位置上考察强度。
A
根据平截面假设，能得到横截面上有关切应力的结论吗？
结论 在拉压杆的横截面上切应力为零。
2. 正应力公式的应用
s = FN
A
◆ 强度校核 ◆ 许用荷载计算
◆ 截面尺寸设计
s = FN [s]
A
FN[s]A
A FN [s ]
例 设 AB 、CD 均为刚体, F = 39 kN ,
①、② 两杆 [s ] = 160 MPa , 直径均为
25 mm ,试校核此结构的强度。
分析 ①号杆和②号杆的受力不同，故 应先分析哪一根杆件更危险。
②
C
30°
①E
D
A
B
3 m F 3.2 m
0.75 m 0.6 m
分别以 AB 和 CD 作为平衡分析对象，在分析中，两根杆 件的轴力转化为刚性梁的外力。
例 设 AB 、CD 均为刚体, F = 39 kN ,
[s ] = 160MPa , 试求许用荷载 [ F ]。
分析①号杆：
A 3m
②
CN1
①E
30° D
B
F 3.2 m
0.75 m 0.6 m
MA=0 ( 3 0.N 1 7 3 F 5 = 0 ) F N 1=N 1=0.8F
s(1)
= FN1 =0.8F[s]
πd12 4 πd12 4
F πd12[s] =3.1 422516=0 9.2 8kN
①、② 两杆 [s ] = 160 MPa , 直径均为
25 mm ,试校核此结构的强度。
分析危险杆件
MA=0 ( 3 0.N 1 7 3 F 5 = 0 )
A 3m
②N2
CN1
①E
30° D
N1 B
F 3.2 m
0.75 m 0.6 m
F N 1=N 1=3.2 1kN
MD=0 (3 0 .2 N .1 6 3 .2 )N 2sio n = 0 30
能正确计算简单桁架结点的位移。
正确理解和应用求解拉压超静定问题的主要环 节，能进行简单的装配应力和热应力问题的计算。
了解圣维南原理，了解应力集中现象。
8.1 拉压杆的应力
8.1.1 横截面上的应力 1. 横截面上正应力公式
拉压杆的平截面假设
利用平截面假设，能得到横截面上正应力分布的规律吗？
各点轴应向变力重位相要移同公相式同 s = FN
②
C
30°
①E
D
A
B
3 m F 3.2 m
0.75 m 0.6 m
直径确定
s = FN [s]
πd2 4
d 4FN π [s ]
①号杆：
d1
43.12130=1.58mm取 3.1 4160
d1 = 16 mm
②号杆：
d2
47.4 1130=2.4 3mm取 3.1 4160
d2
= 25 mm
例 设 AB 、CD 均为刚体, ①号杆直径 为 25 mm， ②号杆直径为 35 mm，两杆
过过小大
a aa
b
A
F
L
例 如图的结构中荷载可在刚性梁上 移动。结构中距离 b 不可改动。求在 满足强度要求下，使拉杆用料最省的
角度 。
分析 由于荷载的位置是变化的，不同的位置在斜撑中所引起 的轴力是不同的。因此，从安全性角度考虑，应选择荷载对斜 撑强度的 最不利位置 进行分析。
过小或过大所用的材料都不是最省的，故应在满足强度 的前提下建立斜撑体积关于 的函数关系，再取其极小值。
s(1)
= FN1 =0.8F[s]
πd12 4 πd12 4
F πd12[s] =3.1 422516=0 9.2 8kN
40.8
40.8
例 设 AB 、CD 均为刚体, ①号杆直径 为 25 mm， ②号杆直径为 35 mm，两杆
[s ] = 160MPa , 试求许用荷载 [ F ]。
分析①号杆： F9.82kNN1=0.8F