材料力学课件-扭转弯曲
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材料力学第四版课件 第三章 扭转
2
例1：图示空心圆轴外径D=100mm,内径 图示空心圆轴外径D=100mm,内径 d=80mm, M1=6kN·m, M2=4kN·m, 材料的切变 =6kN· 模量 G=80GPa. （1） 试画轴的扭矩图； 试画轴的扭矩图； （2） 求轴的最大切应力,并指出其位置. 求轴的最大切应力,并指出其位置.
平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。
横截面上无σ 1）横截面上无σ 2）横截面上只有τ
F O1 a d dφ d1 dx O2
dd1 ρdφ γ ρ ≈ tanγ ρ = = ad dx
4
πd
3 0
(
)
16T ∴d0 ≥ 3 = 76.3mm 4 π (1−α )[τ ]
取 d0 = 76.3mm、 、 (3)比较空心轴与实心轴的重量 比较空心轴与实心轴的重量 积之比： 二者重量之比等于横截面 积之比：
π (d − di ) 4 = 0.395 β= 2 4 πd
2 0 2
可见空心轴比实心轴的重量轻 可见空心轴比实心轴的重量轻
任一点处的切应变 切应变与到 距圆心为 ρ 任一点处的切应变与到 成正比。 圆心的距离ρ成正比。
2. 物理方面
dφ γρ = ρ dx
dφ τ ρ = Gρ dx
3. 静力学方面
dφ 2 T = ∫ ρτ ρ dA = G ∫ ρ dA dx A A
Ip = ∫ ρ dA 称为极惯性矩
2 A
ρ
dA
MB
1
MC
MA
2 2
A
3
MD
例1：图示空心圆轴外径D=100mm,内径 图示空心圆轴外径D=100mm,内径 d=80mm, M1=6kN·m, M2=4kN·m, 材料的切变 =6kN· 模量 G=80GPa. （1） 试画轴的扭矩图； 试画轴的扭矩图； （2） 求轴的最大切应力,并指出其位置. 求轴的最大切应力,并指出其位置.
平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。
横截面上无σ 1）横截面上无σ 2）横截面上只有τ
F O1 a d dφ d1 dx O2
dd1 ρdφ γ ρ ≈ tanγ ρ = = ad dx
4
πd
3 0
(
)
16T ∴d0 ≥ 3 = 76.3mm 4 π (1−α )[τ ]
取 d0 = 76.3mm、 、 (3)比较空心轴与实心轴的重量 比较空心轴与实心轴的重量 积之比： 二者重量之比等于横截面 积之比：
π (d − di ) 4 = 0.395 β= 2 4 πd
2 0 2
可见空心轴比实心轴的重量轻 可见空心轴比实心轴的重量轻
任一点处的切应变 切应变与到 距圆心为 ρ 任一点处的切应变与到 成正比。 圆心的距离ρ成正比。
2. 物理方面
dφ γρ = ρ dx
dφ τ ρ = Gρ dx
3. 静力学方面
dφ 2 T = ∫ ρτ ρ dA = G ∫ ρ dA dx A A
Ip = ∫ ρ dA 称为极惯性矩
2 A
ρ
dA
MB
1
MC
MA
2 2
A
3
MD
材料力学-扭转1ppt课件
横截面上 —
max
T IP
max
IP
T
max
T WP
Ip—截面的极惯性矩，单位：m4 , mm 4
WP
Ip
max
WP —抗扭截面模量，单位：m3, mm3.
整个圆轴上——等直杆：
max
Tm a x WP
三、公式的使用条件： 1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
30
四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
d
dx
d / dx－扭转角变化率
二）物理关系：
弹性范围内 max P
G → G
G
d
dx
方向垂直于半径。
28
三）静力关系：
T A dA
T A dA
G d 2dA dx A
I p
2dA
A
Ip
横截面对形心的极惯性矩
T
GI p
d
dxp
29
二、圆轴中τmax的确定
结论：
横截面上 0, 0 0 0
根据对称性可知剪应力沿圆周均匀分布；
t D, 可认为剪应力沿壁厚均匀分布,
且方向垂直于其半径方向。
t
D
20
3、剪应力的计算公式：
T
AdA.r0
2 0
r0
2td
r02t2
d
T
2r0 2t
薄壁圆筒横截面上的剪应力计算式
21
二、关于剪应力的若干重要性质
例题： 1、一传动轴作200r／min的匀速转动，轴上装有五个轮子。 主动轮2输入的功率为60kW，从动轮1、3、4、5依次输出的 功率为18kW、12kW、22kW和8kW。试作出该轴的扭矩图。
材料力学第5章弯曲变形ppt课件
qL
4.22kNm
4.22kNm
M
max
32 M
max
76.4MPa
WZ
d 3
例题
20kN m
A
4m
FA
20kN m
A
MA
4m
试求图示梁的支反力
40kN
B
D
2m
2m
B
B1 FB
FB 40kN
B
D
B2
2m
2m
在小变形条件下,B点轴向力较小可忽略不
计,所以为一次超静定.
C
B1 B2
FBBBMF12AA2383qFEqELBqqLI84LI2LLZZ32F35BFF4FEFB83PBPLIEL7Z3L12IZ.218352.k75N5kFkN2PNmEL2IZ2
x
边界条件
A
L2
B
L2
C
y
连续条件
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
全梁仅一个挠曲线方程
C
q
EA
共有两个积分常数 边界条件
L1
A
x
B
EI Z
L
y
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问在列各梁 的挠曲线近似微分方程时应分几段;将分别出现几个 积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
q
a
B C LBC
B
2a
FN
B
q2a4
8EIZ
FN 2a3
3EIZ
C
FN
a
D
《材料力学》课件3-5等直圆杆扭转时的变形.刚度条
3
在不同扭矩作用下，杆的变形表现出非线性特征， 这表明我们需要考虑非线性效应对杆刚度的影响。
研究不足与展望
01
虽然我们得到了杆在扭矩作用下的变形公式，但该公式是在一定假设条件下得 到的，可能存在一定的误差。未来可以通过更精确的实验和数值模拟方法来验 证和修正该公式。
02
目前的研究主要集中在等直圆杆的扭转问题上，对于其他形状的杆或复杂结构 的研究尚不够充分。未来可以进一步拓展研究范围，探究不同形状和结构的杆 在扭矩作用下的变形和刚度问题。
刚度条件的数学表达
刚度条件的数学表
达式
根据材料力学和弹性力学的基本 理论，等直圆杆扭转时的刚度条 件可以用数学表达式表示。
刚度常数
在数学表达式中，涉及到一些与 杆件材料、截面尺寸等有关的常 数，这些常数称为刚度常数。
刚度常数的意义
刚度常数是衡量杆件刚度的具体 数值，可以通过试验和计算获得， 是杆件设计和选用的重要依据。
ERA
刚度条件的定义与意义
刚度条件定义
在等直圆杆扭转时，杆件抵抗扭转变 形的能力称为刚度条件。
刚度条件的物理意义
刚度条件的意义
在工程实际中，刚度条件是设计、制 造和选用杆件的重要依据，满足刚度 条件的杆件才能保证结构的稳定性和 安全性。
它反映了杆件在承受扭矩作用时，抵 抗扭转变形的能力，是衡量杆件扭转 变形能力的重要参数。
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
3-5等直圆杆扭转时的变形
与刚度条件
• 等直圆杆扭转时的基本概念 • 等直圆杆扭转时的变形分析 • 等直圆杆扭转时的刚度条件 • 等直圆杆扭转时的工程应用 • 结论与展望
目录
CONTENTS
材料力学_ 组合变形_：扭转与弯曲的组合_
M2 T2 W
M 2 0.75T 2 W
式中W为杆的抗弯截面系数.M,T分别为危险截面的弯矩和扭 矩. 以上两式只适用于弯扭组合变形下的圆截面杆.
例题4 空心圆杆AB和CD杆焊接成整体结构,受力如图.AB杆的外
径 D=140mm,内外径之比α= d/D=0.8,材料的许用应力[] =
160MPa.试用第三强度理论校核AB杆的强度
A
C
D
F1
F2
解:将F2向AB杆的轴线简化得
400
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
400
F2 1kN Me 0.4kN m
AB为弯扭组合变形
B
A
C
D
F1
固定端截面是危险截面 F2
Mmax 0.8F1 0.4F2 0.8kN m
Tmax 0.4kN m
400
400
r3
Mm2 ax Tm2ax
W
d 38.5mm
W πd 3
32
d 44.83mm
MeC F=3F2
T=1kN·m + 1kN·m
+
例题6 F1=0.5kN,F2=1kN,[]=160MPa.
（1）用第三强度理论计算 AB 的直径 （2）若AB杆的直径 d = 40mm,并在B端加一水平力
F3 = 20kN,校核AB杆的强度.
400
400
B
对于许用拉压应力相等的塑性材
料制成的杆,这两点的危险程度是相同 的.可取任意点C1 来研究.
C1 点处于平面应力状态, 点的单元体如图示
该
C1
A截面
C3
C4
C2
C1
C3
T
C4
材料力学-第4章 扭转 ppt课件
dA
T
O
dA
23
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
A dA T
代入：
G
G
d dx
得到：
G d 2dA T dx A
记： IP －2dA称为圆截面的极惯性矩
A
则：圆轴扭转角的变化率 d T
dx GIP
圆截面切应力
采用右手螺旋法则，如果用四指表示扭矩的转向， 拇指的指向与截面的外法线n的方向相同时，该扭矩为 正；反之，规定扭矩为负
正扭矩
负扭矩
——保证了无论从哪一段计算，扭矩的大小和符号 都相同
12
材料力学－第4章 扭转
扭力偶矩计算与扭矩
讨论：如图受扭圆轴，m-m截面上扭矩为多少？
Me
m
2M e
m m
T Me
17
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
几何变形：
1. 横截面绕圆轴的轴线转动
？
主要
2. 圆轴中段的横截面缩小 几何变形特征
有剪切应变 rz 次要
3. 圆轴的长度略有增长
有轴向应变 z 次要
– 变形后，横截面仍保持为平面，其形状和大小均不
改变，半径仍为直线
– 变形后，相邻横截面的间距保持不变，相邻横截面 绕圆轴轴线转动一定的角度
外力偶矩的计算
• 工程中的传动轴，通常给出传动轴所传递的功率和转 速，而不直接给出外力偶矩的数值
• 设外力偶矩为Me，传动轴的功率为P，角速度为w，则
有（理论力学）
Me
P
w
外力偶矩Me 单位：N·m (牛顿·米) 功率为P 单位：J (焦耳)
材料力学扭转(共56张PPT)
例题： ：空心轴和实心轴材料相同，面积相同, α= 0.5。试比较空心轴和实心轴的强度和刚度情况。
解： 1〕确定两轴尺寸关系
面积相同 (1)校核空心轴及实心轴的强度〔不考虑键槽的影响〕；
扭转角单位：弧度〔rad〕 在B、C轮处分别负载N2=75kW，N3=75kW。
D1 d1
D d 2 2可G、I见P扭—在矩—载计抗荷算扭相1、2刚同符度的号。条规件定下和，扭空矩2心图轴绘的制重量仅为实2心轴的31% 。
1、扭转杆件的内力〔截面法〕
m
m
左段：
mx 0, T m 0
T m
右段：
m x
0,
mT 0
T m
m
Tx
T
m
x
内力偶矩——扭矩 T
2、扭矩的符号规定：按右手螺旋法那么判断。
+
T
T
-
3、内力图〔扭矩图〕
扭矩图作法：同轴力图：
例题： 1、一传动轴作200r／min的匀速转动，轴上装有五个轮子。主动轮 2输入的功率为60kW，从动轮1、3、4、5依次输出的功率为18kW、 12kW、22kW和8kW。试作出该轴的扭矩图。
二、 扭转杆的变形计算
1、扭转变形：〔相对扭转角〕
d T
dx GI P
扭转变形与内力计算式
d T dx
GIP
T dx
L GIP
1) 扭矩不变的等直轴
Tl GI p
扭转角单位：弧度〔rad〕 GIP——抗扭刚度。
2)各段扭矩为不同值的阶梯轴
Tili GI pi
3)变截面轴
T (x) dx l GI p (x)
2)、设计截面尺寸:
T
Ip
材料力学——第三章 扭转
33
材 料 力 学
表明： 当薄壁圆筒扭转时，其横截面和包含轴线的纵向截
面上都没有正应力； 横截面上便只有切于截面的切应力；
34
材 料 力 学
4、切应力分布规律假设
因为筒壁的厚度很小，可以认为沿筒壁厚度切应力均匀分布；
35
材 料 力 学
5、薄壁圆筒的扭转切应力
T
rm
2 rm t T
m1
m4
15.9(kN m)
A
P2 m2 m3 9.549 4.78 (kN m) n P4 m4 9.549 6.37 (kN m) n
17
B
C
D
材 料 力 学
2、求扭矩
m2
T1 m2 0
T1 4.78kN m
T2 m2 m3 0
材 料 力 学
三、切应变
纯剪切单元体的相对两侧面 发生微小的相对错动， a
´
c
´
b
d
t
使原来互相垂直的两个棱边 的夹角改变了一个微量γ；
圆筒两端的相对扭转角为υ，圆筒 的长度为L，则切应变为
L r
r L
39
材 料 力 学
四、剪切虎克定律：
当剪应力不超过材料的剪切比例
齿轮轴
9
材 料 力 学
§3-2、外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
一.外力偶矩的计算 ——直接计算
M=Fd
10
材 料 力 学
按输入功率和转速计算
已知 轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 计算：力偶矩M
电机每秒输入功： 外力偶作功：
W P 1000(N.m)
材料力学扭转教学课件PPT
200 kW。试做轴力图。
(a)
P2
P3
P1
n
P4
B
C
D
A
例题3-2图
m P2 2
m P3 3
P1
m1
m n
4 P4
B
C
D
A
m2
m3
m1
m4
(b)
B
C
A
D
解:1.计算外力偶矩
m1
m2
9.55 P1 15.9kN .m
m3
n
9.55
P2
n
4.78kN
.m
m4
9.55 P4 n
6.37kN .m
2.由计算简图用截面法计算各段轴内的扭矩，然后画扭矩图
§3.1 扭转的概念和实例
➢ 扭转变形 ——作用在垂直于杆件轴线的平面内 的力偶矩，使得杆件的任意两个 横截面都发生了绕轴线的相对转 动。
➢ 扭转变形杆件的内力 ——扭矩（T ）
➢ 轴 ——主要承受扭矩的构件
m A'
g
A
m B j B'
扭转的受力特征 ：在杆件的两端作用两个大小相等、
转向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。
dA
O r
dA
dA
O
A
G 2
dj
dx
dA
G
dj
dx
A
2dA
T
GI p
dj
dx
令 Ip A 2dA
dj
dx
T GI p
代入物理关系式
G
dj
dx
得：
T
Ip
T
Ip
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。
(a)
P2
P3
P1
n
P4
B
C
D
A
例题3-2图
m P2 2
m P3 3
P1
m1
m n
4 P4
B
C
D
A
m2
m3
m1
m4
(b)
B
C
A
D
解:1.计算外力偶矩
m1
m2
9.55 P1 15.9kN .m
m3
n
9.55
P2
n
4.78kN
.m
m4
9.55 P4 n
6.37kN .m
2.由计算简图用截面法计算各段轴内的扭矩，然后画扭矩图
§3.1 扭转的概念和实例
➢ 扭转变形 ——作用在垂直于杆件轴线的平面内 的力偶矩，使得杆件的任意两个 横截面都发生了绕轴线的相对转 动。
➢ 扭转变形杆件的内力 ——扭矩（T ）
➢ 轴 ——主要承受扭矩的构件
m A'
g
A
m B j B'
扭转的受力特征 ：在杆件的两端作用两个大小相等、
转向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。
dA
O r
dA
dA
O
A
G 2
dj
dx
dA
G
dj
dx
A
2dA
T
GI p
dj
dx
令 Ip A 2dA
dj
dx
T GI p
代入物理关系式
G
dj
dx
得：
T
Ip
T
Ip
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。
材料力学课件 第四章扭转
4. 公式讨论： ① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面
直杆。
② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
—该点到圆心的距离。
Ip—截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
17
Ip A 2dA 单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，
只是Ip值不同。
一、传动轴的外力偶矩 传递轴的传递功率、转数与外力偶矩的关系：
m
9.55
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）
m
7.024
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（rpm）
m
7.121
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，马力（HP） n — 转速，转/分（rpm）
22
[例2]有一阶梯形圆轴，如图(a)所示轴的直径分别d为1 50mm,d2 80mm 。扭转力偶矩分别为 Me1 0.8kN m ，Me2 1.2kN m ，M e3 2kN m。若 材料的许用切应力 [ ] 40MPa ，试校核该轴的强度。
解： 方法一（理论计算法） 用截面法求出圆轴各段的扭矩，如图(b)所示。 由扭矩图可见，CD段和DB段的直径相同，但DB段的扭矩大 于CD段，故这两段只要校核DB段的强度即可。AC段的扭矩 虽然也小于DB段，但其直径也比DB段小，故AC段的强度也 需要校核。
2GI p
W
U ;
64PR3n Gd 4
P K
;
K
Gd 4 64R3n
为弹簧常数。
36
[例3] 圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直 径为：d =18mm，受拉力 P=500N 的作用，试求最大剪应力 的近似值和精确值；若 G =82GPa，欲使弹簧变形等于 6mm， 问：弹簧至少应有几圈？
直杆。
② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。
—该点到圆心的距离。
Ip—截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
17
Ip A 2dA 单位：mm4，m4。
③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，
只是Ip值不同。
一、传动轴的外力偶矩 传递轴的传递功率、转数与外力偶矩的关系：
m
9.55
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm）
m
7.024
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（rpm）
m
7.121
P n
(kN
m)
其中：P — 功率，马力（HP） n — 转速，转/分（rpm）
22
[例2]有一阶梯形圆轴，如图(a)所示轴的直径分别d为1 50mm,d2 80mm 。扭转力偶矩分别为 Me1 0.8kN m ，Me2 1.2kN m ，M e3 2kN m。若 材料的许用切应力 [ ] 40MPa ，试校核该轴的强度。
解： 方法一（理论计算法） 用截面法求出圆轴各段的扭矩，如图(b)所示。 由扭矩图可见，CD段和DB段的直径相同，但DB段的扭矩大 于CD段，故这两段只要校核DB段的强度即可。AC段的扭矩 虽然也小于DB段，但其直径也比DB段小，故AC段的强度也 需要校核。
2GI p
W
U ;
64PR3n Gd 4
P K
;
K
Gd 4 64R3n
为弹簧常数。
36
[例3] 圆柱形密圈螺旋弹簧的平均直径为：D=125mm，簧丝直 径为：d =18mm，受拉力 P=500N 的作用，试求最大剪应力 的近似值和精确值；若 G =82GPa，欲使弹簧变形等于 6mm， 问：弹簧至少应有几圈？
《材料力学》课件8-4扭转与弯曲
航空航天领域
举例扭转和弯曲在飞机机翼、直 升机旋翼、卫星结构等方面的应 用实例。
土木工程领域
讲解扭转和弯曲在桥梁、地基和 地下管道等土木工程中的应用实 例。
机械工程领域
举例扭转和弯曲在机械零部件、 轴承、液压机等机械工程中的应 用实例。
6. 总结
1 重要性和应用范围
总结扭转和弯曲在工程中的重要性和应用范围，以及同学们的学习收获。
2
扭转试验
介绍扭转试验的方法和流程，以及扭转试验数据的处理和分析。
3
扭转刚度的计算
讲解扭转刚度计算公式和实例，帮助同学们掌握扭转性能的评价方法。
3. 弯曲
应力和应变的概念
讲解弯曲产生的应力和应变的概 念和计算方法，以及弯曲性能的 评价方式。
弯曲试验
介绍常见的弯曲试验方法和实验 流程，讲解实验数据的处理和分 析。
材料力学：扭转与弯曲
本课件将介绍扭转和弯曲在材料力学中的概念、试验、计算和应用实例，希 望为同学们提供一定的指导和帮助。
1. 引言
扭转和弯曲的定义
了解扭转和弯曲在力学中的基本概念和区别。
背景知识
了解扭转和弯曲在工程中的实际应用和重要性。
2. 扭转
1
切应力和切应变
理解扭转产生的切应力和切应变，以及其在工程中的应用。
2 本章主要内容和知识点
总结本章的主要内容和学习重点，帮助同学们复习和梳理知识。
弯曲刚度和挠度的计算
讲解弯曲刚度和挠度的计算公式 和实例，帮助同学们深入理解弯 曲的本质和应用。
4. 扭转和弯曲的联系
对比与联系
对比分析扭转和弯曲在应力、应变、刚度、变形 等方面的区别和联系，帮助同学们深入理解。
扭转、弯曲、压缩、带缺口的静拉伸下材料力学性能-材料性能学-金属力学性能-课件-北京工业大学-02
（3）曲线的意义
图为某材料的缺口弯 曲曲线,它反映了缺口 试样变形和断裂的整 个过程。弹性变形区 Ⅰ、塑性变形区Ⅱ和 断裂区Ⅲ,则各区所占 面积分别为弹性功、 塑性工和断裂功。
三、材料缺口敏感性及其影响因素
缺口敏感度：抗拉强度σbN与等截面尺寸光滑试样的抗 拉强度σb的比值作为材料的缺口敏感性指标,并称为缺 口敏感度,用qe或NSR(Notch Sensitivity Ratio)表示。
2.压缩试验的特点及应用
（1）单向压缩的状态软性系数α=2。因此,压缩试验主 要用于脆性材料,以显示其在静拉伸时所不能反映的材料在 韧性状态下的力学行为.. （2）压缩与拉伸的受力方向不仅相反，且两种试验所得 的载荷⎯变形曲线、塑性及断裂形态也存在较大差别，特 别是压缩试验不能使塑性材料断裂。故塑性材料一般不采 用压缩方法检验。 （3）多向不等压缩试验的应力状态软性系数α>2。此方 法适用于脆性更大的材料，它可以反映此类材料的微小塑 性差异。
σ bN qe = σb
对脆性材料,qe永远小于1,高强度材料的qe一般小于 1。对缺口不太尖的塑性材料,拉伸时可能产生塑性变形, 此时qe总会大于1。缺口试样的拉伸塑性比光滑试样要 低。
第四节 材料的硬度
一． 硬度试验的意义
1.定义
硬度是衡量材料软硬程度的一种力学性能。硬度的物理意 义随试验方法的不同,其含义不同，至今尚无统一的表达方 式。 可以将其定义为“材料抵抗残余变形和破坏的能力”或 “材料抵抗弹性变形、塑性变形和破裂的能力”等。实际上， 材料的硬度是材料的微观结构，键合方式、键合强度、弹性 模量、屈服强度和加工硬化能力等一系列与力学性能有关因 素的综合表现。
计算公式： HB= F/=2 F/{πD[D—(D2—d2)1/2]} 布氏硬度值一般不标出单位。一般记为“数字+硬度符号 （HBS或HBW）+数字/数字/数字” 。第一组 数字表示硬度 值；当压头为淬火钢球时,用符号HBS表示,适用于布氏硬度 值低于450的材料；当压头为硬质合金球时，用符号HBW表 示，适用于布氏硬度值为450～650的材料；第二组数字表示 压头直径；第三组 数字表示载荷值；第四组 数字表示加载 保持时间。硬度值越高，表示材料越硬。 例如，280 HBS/3000/30，表示用直径为10mm 的淬火钢 球，在3000Kgf 的作用下30秒时的硬度值。当保持时间为 10～15秒时可不标注。
材料力学课件第三章 扭转
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。
3.4 圆轴扭转时横截面上的应力
3.4.2 最大扭转切应力和强度条件
第三章 扭转
1. 最大扭转切应力：
由
T
Ip
知：当
R , max
max
TR Ip
T Ip R
T Wp
(令 Wp I p R )
max
T Wp
Wp — 扭转截面系数，单位：mm3或m3。
对于实心圆截面： 对于空心圆截面：
Wp
d3
16
Wp
(D4
16
d4)
D3(1 4 )
16
3.4 圆轴扭转时横截面上的应力
2、强度条件
强度条件：
max
Tm a x Wp
[ ]
第三章 扭转
许用切应力 u
n
τ s---- 扭转屈服极限 ——塑性材料 τ b---- 扭转强度极限 ——脆性材料 τ u---- 扭转极限应力 ——τs和τb的统称
MB
MC
MA
MD
B
C
解：计算外力偶矩
A
D
MA
9549 PA n
1592N m
MB
MC
9549 PB n
477.5N m
MD
9549 PD n
637N m
3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
第三章 扭转
3.2.2 扭矩和扭矩图
1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。
2 截面法求扭矩
剪应力在互相垂直的面上同时存在，数值相等，其方向都垂直于这 两个面的交线，且都指向或者都背离该交线。
材料力学课件-扭转
T
max
max
WP
即须使抗扭截面系数 Wp 相等
18
例 如图的轴的许用切应力为 60 MPa ， 校核强度。若将实心 圆轴改为内外径之比为 0.7 的空心圆轴，在强度相等的条件下， 求空心圆轴外径，并求两者的重量比。
m1=1kNm
D = 60
m2 =3kNm
D1
2 kNm
T
1 kNm
[解] （1）内力扭矩图：
y
Fx x
水平方向和竖直方向分量为
T
x (r)sin
T r sin
IP
y
(r)cos
T r cos
IP
水平方向合力为
Fx
xdA
A
A
Tr sin
IP
rdr d
T IP
d2
π2
r 2dr sin d
0
0
Td 3 24 I P
27
竖直方向合力为
Fy
A
ydA
A
Tr IP
cos
TC tL
C max
TC WP C
tL [ ]
πd
3 2
16
d2
16 t L
π[ ]
13
22
t
C
例5.3 图中结构由两段等截面圆轴
d1 A
L1 B L2
d2 构成。圆轴总长度为 L ，全长上作 用着均布力偶矩 t 。材料许用切应
L
力为 [ ]。要使圆轴重量为最轻，确
tL1
tL
定两段轴的长度 L1 和 L2 ，以及直
A
T
GI P
d
dx
d T
dx GIP
材料力学课件(路桥)第4章扭转
计算过程中需要考虑材料的弹性模量、泊松比、剪切模量等参数，以及 结构的几何尺寸和边界条件。
强度条件的工程意义
满足强度条件是保证路桥工程安全性和 稳定性的基础。
通过满足强度条件，可以防止桥梁结构 在承受外力矩和扭矩时发生破坏或过度
变形。
在路桥工程的设计、施工和运营过程中 ，需要定期进行检测和维护，以确保结
扭矩的量纲
扭矩的量纲是力和长度（L）的乘积，表示为ML^2。
量纲是描述物理量本质属性的方式，通过量纲可以判断物理量的性质和相互关系 。
03
扭转的应力分析
切应力与剪切应变的关系
切应力与剪切应变的关系是线 性的，即剪切应变与切应力成 正比。
在剪切弹性范围内，切应力与 剪切应变之间的关系可以用剪 切弹性模量来描述。
扭转过程中，杆件上各点的角位移和 剪切变形程度不同，导致杆件横截面 绕其自身轴线发生转动。
扭转的物理现象
01
杆件在扭转时，横截面上的正应 力分布不均匀，呈现出剪切变形 的特点。
02
杆件上各点的剪切变形程度与该 点到轴线的距离成正比，导致横 截面上的切向力分布不均匀。
扭转的分类
根据杆件上所受外力矩的方向， 扭转可分为左旋和右旋两种类型
构的强度和稳定性。
05
扭转的刚度条件
刚度条件的定义
刚度条件是指在材料力学中，杆件在受到扭矩作用时，其横 截面上的剪切应力和剪切变形之间的关系。
刚度条件是材料力学中一个重要的基本概念，它描述了杆件 在扭矩作用下抵抗变形的能力。
刚度条件的计算方法
根据材料力学的基本理论，刚度条件可以通过杆件的剪切 弹性模量和剪切应变来计算。
材料力学课件(路桥)第4章 扭转
目录 CONTENTS
强度条件的工程意义
满足强度条件是保证路桥工程安全性和 稳定性的基础。
通过满足强度条件，可以防止桥梁结构 在承受外力矩和扭矩时发生破坏或过度
变形。
在路桥工程的设计、施工和运营过程中 ，需要定期进行检测和维护，以确保结
扭矩的量纲
扭矩的量纲是力和长度（L）的乘积，表示为ML^2。
量纲是描述物理量本质属性的方式，通过量纲可以判断物理量的性质和相互关系 。
03
扭转的应力分析
切应力与剪切应变的关系
切应力与剪切应变的关系是线 性的，即剪切应变与切应力成 正比。
在剪切弹性范围内，切应力与 剪切应变之间的关系可以用剪 切弹性模量来描述。
扭转过程中，杆件上各点的角位移和 剪切变形程度不同，导致杆件横截面 绕其自身轴线发生转动。
扭转的物理现象
01
杆件在扭转时，横截面上的正应 力分布不均匀，呈现出剪切变形 的特点。
02
杆件上各点的剪切变形程度与该 点到轴线的距离成正比，导致横 截面上的切向力分布不均匀。
扭转的分类
根据杆件上所受外力矩的方向， 扭转可分为左旋和右旋两种类型
构的强度和稳定性。
05
扭转的刚度条件
刚度条件的定义
刚度条件是指在材料力学中，杆件在受到扭矩作用时，其横 截面上的剪切应力和剪切变形之间的关系。
刚度条件是材料力学中一个重要的基本概念，它描述了杆件 在扭矩作用下抵抗变形的能力。
刚度条件的计算方法
根据材料力学的基本理论，刚度条件可以通过杆件的剪切 弹性模量和剪切应变来计算。
材料力学课件(路桥)第4章 扭转
目录 CONTENTS
《材料力学》课件3-2薄壁圆筒的扭转
切应力计算
根据材料力学的基本原理，切应力的大小可以通过扭矩和横截面 面积的比值计算得到。
变形量计算
通过测量薄壁圆筒在扭转变形前后的长度变化，可以计算出其变 形量。
弹性模量
在一定条件下，切应力和变形量之间的关系可以用弹性模量来描 述。
薄壁圆筒的变形特性
变形方向
薄壁圆筒的扭转变形是沿着圆筒轴线的方向进行的。
04
根据实验结果，讨论薄壁圆筒在纯扭状态 下横截面上的应力分布规律。
实验结论与讨论
01
实验结果表明，薄壁圆筒在纯扭 状态下横截面上的应力分布符合 剪切应力与剪切应变线性关系；
02
与理论公式对比，实验结果与理 论公式基本一致，验证了理论公
式的正确性；
在实验过程中，应采取措施减小 误差，提高实验精度；
薄壁圆筒的扭转原理
当薄壁圆筒受到一对大小相等、 方向相反的力偶作用时，圆筒
就会发生扭转。
薄壁圆筒的剪切模量是衡量 其抗扭能力的物理量，剪切 模量越大，抗扭能力越强。
薄壁圆筒的弯曲应力与轴向应 力在剪切模量中得到体现，弯 曲应力与轴向应力的比值决定
了圆筒的形状变化。
薄壁圆筒的扭转应用
薄壁圆筒广泛应用于机械、化工、建筑等工程领域，如管道、压力容器、塔器等。
计算时应根据实际情况选择合适的 公式进行计算。
薄壁圆筒的应力特性
01
薄壁圆筒的应力特性主要表现为剪切应力和弯曲应力的共同作 用。
02
在扭转载荷作用下，圆筒的外侧受到较大的剪切应力和弯曲应
力，而内侧受到较小的剪切应力和弯曲应力。
圆筒的应力特性与圆筒的材料属性、几何形状以及扭转载荷的
03
大小有关。
03
《材料力学》课件3-2薄壁圆 筒的扭转
材料力学课件第3章扭转
扭转外力及变 形特点:
杆件受到大小相等,方向相反且作用平 面垂直于杆件轴线的力偶作用, 杆件的横截 面绕轴线产生相对转动。
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横 截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴 扭转。
第3章-扭 转
圆轴扭转的内力
3-2 圆轴扭转的内力
1.外力偶矩 直接计算
3-2 圆轴扭转的内力
dx
也发生在垂直于
半径的平面内。
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
2.物理关系
根据剪切胡克定律
G
距圆心为
处的切应力：
G
G
d
dx
垂直于半径
横截面上任意点的切应力 与该点到圆心的距离 成正比。
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
3.静力学关系
T A dA
T A dA
令
Wt
Ip R
抗扭截面系数
在圆截面边缘上，有最 大切应力
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
I
与
p
Wt
的计算
实心轴
T
Ip
max
T Wt
Wt I p / R 1 D3
16
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
空心轴
则
令
Wt I p /(D / 2)
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
实心轴与空心轴 I p 与 Wt 对比
m1=1000Nm，m2=600Nm，m3=200Nm，m4=200Nm，G=79GPa，试求：
（1）各段轴内的最大切应力 （2）若将外力偶m1和m2的位置互换一下，问轴的直径可否减小
3-4 圆轴扭转的强度条件和强度计算
4.强度条件及应用
B
C
杆件受到大小相等,方向相反且作用平 面垂直于杆件轴线的力偶作用, 杆件的横截 面绕轴线产生相对转动。
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横 截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴 扭转。
第3章-扭 转
圆轴扭转的内力
3-2 圆轴扭转的内力
1.外力偶矩 直接计算
3-2 圆轴扭转的内力
dx
也发生在垂直于
半径的平面内。
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
2.物理关系
根据剪切胡克定律
G
距圆心为
处的切应力：
G
G
d
dx
垂直于半径
横截面上任意点的切应力 与该点到圆心的距离 成正比。
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
3.静力学关系
T A dA
T A dA
令
Wt
Ip R
抗扭截面系数
在圆截面边缘上，有最 大切应力
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
I
与
p
Wt
的计算
实心轴
T
Ip
max
T Wt
Wt I p / R 1 D3
16
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
空心轴
则
令
Wt I p /(D / 2)
3-3 圆轴扭转横截面上的切应力
实心轴与空心轴 I p 与 Wt 对比
m1=1000Nm，m2=600Nm，m3=200Nm，m4=200Nm，G=79GPa，试求：
（1）各段轴内的最大切应力 （2）若将外力偶m1和m2的位置互换一下，问轴的直径可否减小
3-4 圆轴扭转的强度条件和强度计算
4.强度条件及应用
B
C
材料力学第四版课件 第六章 弯曲变形
)F
ql
3
()
2
24 EI
Fl ()
(q
A
16 EI
3
q
A
ql
Fl
2
( )
24 EI
16 EI
例6.5：图示外伸梁，其抗弯刚度为EI,求B截 面的转角和C截面的挠度.
2
2
l
EIw 2 M 2 F
x F ( x a)
2
转角方程
b x F ( x a) C2 l 2 2
3 3
b x F ( x a) C 2x D 2 挠度方程 EIw 2 F l 6 6
F A a l C b B
(3)确定积分常数 边界条件： 在 x = 0 处, w1 0 在 x = l 处, w2 0 C点的连续条件： 在 x = a 处， w1 w2 , w1 w2 再将边界条件和连续条件分别代入 AC与CB的转角方程与闹曲轴方程中。
F B
当 x 0 时 ： q 0， w 0
q
w 1 EI
1 EI
( FLx
1 2
2
1 2
Fx
2
C)
3
(
FLx
1 6
Fx
Cx D )
4.根据边界条件确定积分常数
当 x 0 时 ： q 0， w 0
解得
C 0; D 0
5.得到转角方程和挠度方程，计算B截面的 挠度和转角
B
(4) 根据边界条件求积分常数 当x=0 和 x=l 时, w = 0
EIq EIw
EIw ql 12 x
3
ql
3
()
2
24 EI
Fl ()
(q
A
16 EI
3
q
A
ql
Fl
2
( )
24 EI
16 EI
例6.5：图示外伸梁，其抗弯刚度为EI,求B截 面的转角和C截面的挠度.
2
2
l
EIw 2 M 2 F
x F ( x a)
2
转角方程
b x F ( x a) C2 l 2 2
3 3
b x F ( x a) C 2x D 2 挠度方程 EIw 2 F l 6 6
F A a l C b B
(3)确定积分常数 边界条件： 在 x = 0 处, w1 0 在 x = l 处, w2 0 C点的连续条件： 在 x = a 处， w1 w2 , w1 w2 再将边界条件和连续条件分别代入 AC与CB的转角方程与闹曲轴方程中。
F B
当 x 0 时 ： q 0， w 0
q
w 1 EI
1 EI
( FLx
1 2
2
1 2
Fx
2
C)
3
(
FLx
1 6
Fx
Cx D )
4.根据边界条件确定积分常数
当 x 0 时 ： q 0， w 0
解得
C 0; D 0
5.得到转角方程和挠度方程，计算B截面的 挠度和转角
B
(4) 根据边界条件求积分常数 当x=0 和 x=l 时, w = 0
EIq EIw
EIw ql 12 x
3
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§3.3 圆轴扭转时的应力和强度计算
§3.3 圆轴扭转时的应力和强度计算
§3.3 圆轴扭转时的应力和强度计算
§6.3 圆轴扭转时的应力和强度计算
§3.3 圆轴扭转时的应力和强度计算
§3.3 圆轴扭转时的应力和强度计算
§3.3 圆轴扭转时的应力和强度计算
§3.3 圆轴扭转时的应力和强度计算
[例]已知：如图，P，a，l。
求：距A端x处截面上内力。 解：①求外力
A
X 0, XA 0 Pa mA 0 , RB l P(l a) Y 0 , YA l
XA A
YA
P
B
RB
§4.2 梁的剪力与弯矩、剪力图与弯矩图
②求内力——截面法
Y 0 , Q YA
Fs
无变化FsxFra bibliotekFs<0 M
x
x
x
Fs1 C
Fs>0
斜直线
M x x
增函数 降函数 自左向右折角 自左向右突变 曲线
M M x M x
Fs2 Fs1–Fs2=P
x
C
x
增函数 降函数
折向与P反向
与 m 同
M
M1 x
M2 M 2 M1 m
§4.1 平面弯曲的概念及梁的计算简图 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩的作 用时,其轴线变成了曲线，这种变形称为 弯曲。以弯曲变形为主的构件通常称为梁。
受力特点：外力垂直于杆轴线,力偶作
用于轴线所在平面内。 变形特点：杆轴线由直变弯。
§4.1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
§4.1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
§4.1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
§4.1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
§4.1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
§4.1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
§4.1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
①固定铰支座 2个约束，1个自由度。
如：桥梁下的固定支座，止
推滚珠轴承等。 ②可动铰支座 1个约束，2个自由度。 如：桥梁下的辊轴支座，滚 珠轴承等。
杆件受到大小相等,方向相反且作用平 面垂直于杆件轴线的力偶作用, 杆件的横截 面绕轴线产生相对转动。
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横 截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴 扭转。
§3.1 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
1.外力偶矩
直接计算
§3.1 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
按输入功率和转速计算
§4.1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
③固定端 3个约束，0个自由度。
如：游泳池的跳水板支座，
木桩下端的支座等。 4. 梁的三种基本形式 ①简支梁
XA
YA
MA
M — 集中力偶
q(x) — 分布力 ②悬臂梁
§4.1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
③外伸梁 q — 均布力 P — 集中力
5. 静定梁与超静定梁
材料力学
袭良贵主编 北航出版社
目录
第3章
扭 转
第3 章 扭 转
§3.0 §3.1 §3.2 §3.3 §3.4 扭转的概念和实例 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 薄壁圆筒的扭转 圆轴扭转时的应力 圆轴扭转时的变形
§3.0 扭转的概念和实例
汽车传动轴
汽车方向盘
§3.0 扭转的概念和实例 扭转受力特点 及变形特点:
YO Fs(x)
x
Fs(x)
②写出内力方程
P
Q( x ) YO P
x
M ( x) x –PL
M ( x ) YO x M O P( x L )
③根据方程画内力图
§4.2 梁的剪力与弯矩、剪力图与弯矩图
Fs 解：①写出内力方程 L Fs(x) x Fs(x) M ( x)
Fs( x) qx
已知 轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 求：力偶矩Me
电机每秒输入功： 外力偶作功完成：
W P 1000(N m) n W M e 2 60
P
P
§3.1 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
2.扭矩和扭矩图 用截面法研究横 截面上的内力
MT = Me
§3.1 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
M ( x)
3q0 L2 27
x
q0 x 2 2 M ( x) (L x ) 6L
③根据方程画内力图
二、剪力、弯矩与外力间的关系 外 力 无外力段
q=0
均布载荷段
q>0 q<0
集中力
F C
集中力偶
m C
Fs Fs 图 特 征 M 图 特 征
水平直线
Fs Fs
斜直线
Fs
自左向右突变
§3.2 薄壁圆筒的扭转
§3.2 薄壁圆筒的扭转
§3.2 薄壁圆筒的扭转
§3.3 圆轴扭转时的应力和强度计算
§3.3 圆轴扭转时的应力和强度计算
§3.3 圆轴扭转时的应力和强度计算
§3.3 圆轴扭转时的应力和强度计算
§3.3 圆轴扭转时的应力和强度计算
§3.3 圆轴扭转时的应力和强度计算
①剪力Fs: 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。 Fs(+) Fs(+) Fs(–) 左上右下为正 Fs(–)
②弯矩M：使微段梁产生下弯趋势的为正弯矩；反之为负弯矩。 M ( +) M(+) 下弯为正
M(–)
M(–)
§4.2 梁的剪力与弯矩、剪力图与弯矩图
1. 内力方程：内力与横截面位置坐标（x）间的函数关系式。
§3.4 圆轴扭转时的变形和刚度计算
§3.4 圆轴扭转时的变形和刚度计算
§3.4 圆轴扭转时的变形和刚度计算
§3.4 圆轴扭转时的变形和刚度计算
第4章
弯
曲
第4章 弯曲
§4.1 弯曲的概念及梁的计算简图 §4.2 梁和剪力及弯矩，剪力图与弯矩图 §4.3 梁的正应力和强度计算 §4.4 梁的切应力和强度计算 §4.5 提高梁弯曲强度的措施 §4.6 梁的变形和刚度计算
Fs Fs(x ) M M ( x)
剪力方程 弯矩方程
2. 剪力图和弯矩图： 剪力图 弯矩图
Fs Fs(x ) 的图线表示
M M ( x) 的图线表示
§4.2 梁的剪力与弯矩、剪力图与弯矩图
[例3] 求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。 MO
L
P 解：①求支反力 M ( x)
YO P ; MO PL
§3.3 圆轴扭转时的应力和强度计算
§3.3 圆轴扭转时的应力和强度计算
§3.3 圆轴扭转时的应力和强度计算
§3.3 圆轴扭转时的应力和强度计算
§6.4 圆轴扭转时的变形和刚度计算
§3.4 圆轴扭转时的变形和刚度计算
§3.4 圆轴扭转时的变形和刚度计算
§3.4 圆轴扭转时的变形和刚度计算
P(l a) l
XA A YA
m
P
B RB
m x Fs C M Fs M C
mC 0 , M YA x
∴ 弯曲构件内力 剪力Fs 弯矩M 1. 弯矩：M 构件受弯时，横
YA
P
截面上位于轴线所在平面内的内
力偶矩，矩心为横截面形心.
RB
§4.2 梁的剪力与弯矩、剪力图与弯矩图
2. 剪力：Fs 受弯时横截面上过截面形心且平行于截面的内力。 3.内力的正负规定:
1 M ( x ) qx2 2
②根据方程画内力图
M ( x)
– FsL
x
qL2 2
§4.2 梁的剪力与弯矩、剪力图与弯矩图
q0 解：①求支反力
L
RA
q0 L2 6
RB Fs(x)
3 L 3
q0L q0L RA ; RB 6 3
②内力方程
q0 L2 3
x
Q( x )
q0 2 (L 3x2) 6L
静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本 形式的静定梁。 超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全 部支反力。
§4.1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
[例1]贮液罐如图示，钢罐内装有0.8m深的液体。贮液罐的 计算简图如下。
q — 均布力
§4.2 梁的剪力与弯矩、剪力图与弯矩图
一、剪力与弯矩 a P B l
扭矩正负规定
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-)
§3.1 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
扭矩图
§3.1 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
§3.1 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
§6.1 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
§3.1 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
§3.2 薄壁圆筒的扭转