八年级数学上册 第11章 数的开方 11.1 平方根与立方根 1 平方根 第2课时 算数平方根练习
(人教版)2020八年级数学上册 第11章 数的开方 11.1 平方根与立方根 1 平方根 第2课时 算术平方根教案
A.重点□B．难点□C．易错点□
这节课的重点是算术平方根的概念教学和正数的算术平方根的求法，在讲解概念时应注意概念的自然的引导和概念的解释，注意平方根与算术平方根的区别与联系，这里一定要强调清楚.
③[师生互动反思]
通过师生间频繁的互动，使学生深刻理解概念，准确表述，并通过练习巩固掌握.
例5若 ＝2，则(m＋2)2＝________．
例6算术平方根等于它本身的数有________．
例7若已知 ＋ ＝0，则x－y的算术平方根为________．
使学生通过所学的知识，在原来的基础上有拓宽、有提升，并能与过去的知识相结合，达到综合应用的目的.
活动
四：
课堂
总结
反思
当堂训练：
1．求下列各数的算术平方根：
例2[课本P3例2]将下列各数开平方：
(1)49(2)
例3[课本P4例3]用计算器求下列各数的算术平方根．
(1)529；(2)44.81(精确到0.01)．
体验求一个正数的算术平方根的过程，利用平方运算求一个正数的算术平方根的方法，让学生明白有的正数的算术平方根可以开出来，有的正数的算术平方根只能用根号表示，如14的算术平方根是 .
旨在检测学生对算术平方根的概念和性质的掌握情况，以便根据学生情况调整教学进程．练习注意了问题的梯度性，由浅入深，一步步加深对算术平方根的概念以及性质的认识．
让学生知道平方的逆运算是开平方．
例2是由求算术平方根来得到一个数的平方根，是求平方根的另一种方法
例3是了解用计算器求算术平方根.
【拓展提升】
例4 的算术平方根为________； 的算术平方根是________．
问题解决
经历算术平方根激起性质的产生过程，能用概念及性质解决有关问题.
华师版八年级上册数学精品教学课件 第11章 数的开方 立方根
猜一猜: 你能从上述问题中总结出互为相反数的两个数 a 与 -a
的立方根的关系吗？ 3 a 3 a
典例精析
例1 计算：
3 23 2
3 (3)3 -3
3 (2)3 -2
3 43 4
3 03 0
规律：对于任何数 a 都有： 3 a3 a
3 8 3 8
3 27 3 27
(3 8)3 -8
所以正方体的边长是 3 5 cm.
求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
立方
互逆 开立方
到现在我们学了几种运算？
+，-，×，÷，乘方，开方（开平方，开立方）
二 立方根的性质
想一想：通过这些题
根据立方根的意义填空目：的解答，你能看出
80，.1所25以，所8 的以正方立0根数.方1各、2根5有0的是、什立（负么方数2特根）的点是；立？（
解：设正方体的棱长为 x cm，则
x3 216
这就是要求一个数，使它的立方等于216. 因为 63 =216 所以 x = 6，即正方体的棱长为 6 cm.
思考： 如果问题中正方体的体积为 5 cm3，正方体的 棱长又该是多少？
讲授新课
一 认识立方根
立方根的概念 如果一个数的立方等于 a，那么这个数就叫做 a
1 2
）；
因为 (0 )3 ＝ 0，所以 0 的立方根是（0 ）；
因为(-2)3 ＝ －8，所以 －8 的立方根是（-2）；
因为
2 3
3
＝
8 27
，所以
8 27
的立方根是（
2
3 ）.
知识要点 立方根的性质
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根，
最新八年级上册数学精品课件第11章 数的开方
11.1 平方根与立方根
知识点 平方根
平方根节是数学爱好者的节日,这一天的月份和日期的数字正 好是当年年份最后两位数字的算术平方根,例如2009年的3月3 日,2016年的4月4日.
知识点 平方根
√ + a 是求非负数a的平方根,因为没有一个数的平方等于负数,所以负
数没有平方根.
知识点 实数的性质
存在两个和为零的无理数,所以互为相反数的两个实数可都为 无理数.
知识点 实数的大小比较
边长为a的正方形的面积是5,下图三个小伙伴的两次站队的位 置完美诠释了边长a的整数部分的确定方法. 第一次:
第二次:
知识点 实数的运算
某丝巾的形状是等腰钝角三角形.
知识点 实数的运算
某厂在下图所示的方格纸中设计出面积最大的丝巾,求出三边 的长的过程就是实数运算的过程.
知识点 利用计算器求一个数的立方根
利用科学计算器可以求出一个数的立方根.
第11章 数的开方
11.2 实 数
知识点 无理数的概念
公元前500年,希伯索斯发现了一个惊人的事实,一个正方形的 对角线与其一边的长度是不可公度的(若正方形的边长为1,则对 角线的长不是一个有理数),这一不可公度性与毕氏学派的“万 物皆为数”(指有理数)的哲理大相径庭.人们为了纪念希伯索斯 这位为真理而献身的可敬学者,就把不可通约的量取名“无理 数”——这就是无理数的由来.
知识点 开平方
开平方时,被开方数a必须是非负数.
知识点 利用计算器求一个正数的算术平方根(了解)
知识点 立方根
两个正方体的对话完美诠释了立方根的概念及其求法.
知识点 立方根
知识点 开立方
4阶魔方,又称“魔方的复仇”,由四层完全相同的64个小正方 体组成,求体积为64的4阶魔方的边长的过程就是开立方运算.
华师版八年级数学上册第11章 数的开方1 平方根
试一试
1. 144的平方根是什么？
12
2. 0的平方根是什么？
0
4
3.25
的平方根是什么？
2
5
4. -4有没有平方根？为什么？ 没有，因为一个数的平
方不可能是负数
试 一 试
（1）144的平方根是什么？
±12
（2）0的平方根是什么？
0
通过这些题
目的解答，你能
发现什么？
（3）-4有没有平方根？为什么？
平方根可以记作 a，其中a称为被开方数.
特殊：0的算术平方根是0. 记作 0=0 .
根号
± a
（a是非负数，a≥
被开方数
0）
典例精析
【例2】若|x|=5，y是9的算术平方根，则x+y的值是（ ）
A．8
B．-8
C．-2
D．-2或8
【详解】解：∵|x|=5，y是9的算术平方根，
∴x=±5，y=3
第11章 数的开方
11.1 平方根与立方根
第1课时 平方根
1．了解一个数的平方根与算术平方根的意义,会用根号表示一
个数的平方根、算术平方根；
2．了解开方与乘方是互逆运算,会利用这个逆运算关系求某些
非负数的算术平方根；
问题1：已知一幅正方形的油画的面积是36cm2，这幅油画的
边长是多少？
( 6 )2=25.
4
3
，
2
(4)∵(±0.7)2=0.49，
，
∴0.49的平方根为±0.7．
知识点二 算术平方根的概念
一个正数如果有平方根，那么必定有两个，它们互为相
反数.显然，如果我们知道了这两个平方根中的一个，那么立
八年级数学上册第11章数的开方11.1平方根与立方根11.1.1平方根习题课件
5. 设 441＝a，则下列结论正确的是( D ) A．a＝441 C．a＝－21 B．a＝4412 D．a＝21
2
6. 若 a、b 为实数，且满足│a－2│＋ －b ＝0， 则 b－a 的值为( C ) A．2 C．－2 B．0 D．以上都不对
知识点
利用计算器求算术平方根
7. ( 教材习题变式 ) 与 10 最接近 的两个整数 是 ( C ) A．1 和 2 C．3 和 4 B．2 和 3 D．4 和 5 8 · 4 1 ＝ ，其
8. 在计算器上依次键入 结果显示为 2.9 ．
1. 16 的平方根是±4 的数学表达式是( D ) A. 16＝4 C. 16＝±4 B．± 16＝4 D．± 16＝±4
2. (2017·包头)a2＝1，b 是 2 的相反数，则 a＋b 的值为( C ) A．－3 C．－1 或－3 B．－1 D．1 或－3
【解析】∵一个自然数的算术平方根为 a，∴这个 自然数为 a2，∴下一个自然数是 a2＋1，它的算术平方根 是 a2＋1.
5. 计算： 25－(－1)2＝ 4 ． 6. 一个正数的平方根是 2m－1 与－m＋2，则 m ＝ －1 ，这个正数是
9 ．
7. 把下图折成正方体后，如果相对面所对应的值 相等，那么x的平方根与y的算术平方根之积为 ± 2 .
第11章 数的开方 11.1 平方根与立方根
11.1.1 平方根
1. 如果一个数的平方等于 a，那么这个数就叫做 a 的平方根，即：若 x2＝a(a≥0)，则 x＝
± a ．
， 算
2. 一个正数 a 有两个平方根， 表示为 ± a 术平方根表示为
a
． ，负数 没Байду номын сангаас 平方根．
八年级数学上册 第十一章 数的开方 11.1 平方根与立方根 11.1.1 平方根1教案 (新版)华
平方根1教学目标知识与技能：1、了解平方根的概念、开平方的概念.会用根号表示一个数的平方根.2、了解平方运算与开平方运算是互为逆运算.3、会用平方根的概念求某些非负数的平方根.过程与方法：1、让学生经历概念形成过程，提高学生的思维水平.2、培养学生的求同和求异思维，能从相似的事物中观察到他们的共同点和不同点. 情感态度与价值观：创设学生熟悉的问题情景，培养他们对数学的好奇心和求知欲.在学生已有数学经验的基础上，探求新知，让学生获得成功的快乐.提高学生“用数学”的意识.教学重点：会用平方根的概念求某些非负数的平方根.教学难点：对只有非负数才有平方根的理解.课堂导入到目前为止我们已学过哪些运算？一个正方形边长为5厘米，它的面积为多少？是什么运算？它的逆运算是什么呢？ 教学过程一、创设问题情景学校要举行美术作品比赛，小明很高兴，她想裁出一块面积为25平方分米的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？如果画布的面积依次改为：9、16、36……那么相应的边长是多少？二、探索归纳(1) 平方根的概念若a x 2，则x 叫做a 的平方根.(2) 举例：∵2552=∴5是25的一个平方根问：25的平方根只有一个吗？还有哪些数的平方也等于25？(3)总结求一个数平方根的方法.三、举例应用例1 求100的平方根.解 因为102＝100， （－10）2＝100，除了10和－10以外，任何数的平方都不等于100，所以100的平方根是10和－10，也可以说，100的平方根是±10.例2 求36的平方根.解：因为,36)6(2=±所以36的平方根为±6. 四、试一试（1） 144的平方根是什么？（2） 0的平方根是什么？（3） －4有没有平方根？为什么？答案：（1）12144±=± 00)2(=±、（3）－4没有平方根，因为没有一个数的平方是－4. 请你自己也编三道求平方根的题目，并给出解答.通过以上题目的解答，你发现了什么？概括：一个正数必定有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.五、课堂练习1、平方得81的数是 ，因此81的平方根是 .2、平方根是它本身的数是 .3、如果-b 是a 的平方根，那么A.2a b =；B.2b a = ；C.2a b -=；D.2b a -=4、求下列各式中的x 的值⑴1962=x ⑵01052=-x答案：1、±9，±9，2、03、B4、x=±16，x=±2六、课堂小结1、平方根的定义.2、平方根的性质：正数有两个平方根它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根. 课堂作业1、求下列各数的平方根： （1）49（2）8116（3）36（4）()22-.2、已知2a-1的一个平方根是+3，求2a-1的另一个平方根及a 的值.答案：1、（1）∵()4972=± （3）∵()4972=± ∴±7是49的平方根. ∴±7是49的平方根.（2）∵8116942=⎪⎭⎫ ⎝⎛± （4）∵()422=- ∴94±是8116的平方根.()422=± ∴±2是()22-的平方根.2a-1的一个平方根是+3，所以2a-1的另一个平方根是-3.∵2a-1=()23±∴ a=5教学反思易错点：对平方根的意义不理解；对平方与开平方两种运算之间的互逆关系不理解.（1）在求一个正数的平方根时，容易只写正的平方根，丢掉负的平方根.（2）如果已知一个数的一个平方根，求这个数.不知道该怎么做.。
芮城县某中学八年级数学上册 第11章 数的开方11.1 平方根与立方根 1平方根教学反思 华东师大
平方根这一节是《数的开方》的第一课时，主要是一节以概念为主的新授课。
求平方根与开平方是互逆运算，因此在本课的教学中，我充分利用这一点来引人新课的教学。
在新课引入时，我先利用已知正方形边长求面积，然后反过来已知正方形面积求边长，一个面积是恰好能开出来的，另一个面积是开不出来的，从而让学生明白以上两种运算过程恰好是相反的，同时让学生明白已知正方形面积边长用现有的知识是不能准确表示出来的。
这样顺利成章的引出本课的概念平方根。
第二部分是利用平方根的定义求平方根，先让学生填空，什么数的平方等于16，反之，16的平方根是多少，0的平方是0，0的平方根是多少，负数的平方是什么数，从而说明了什么。
在这部分教学中我重在多举出实例，让学生通过例子自己去归纳总结平方根的求法和正数、零、负数的平方根的情况，理解负数没有平方根。
然后是平方根和算术平方根的表示方法，这部分主要是学生多练，逐步熟悉平方根和算术平方根的符号。
然后是处理练习，进行小结，在小结时对比了平方运算和开平方运算这两者之间的关系，也运用表格对比平方根、算术平方根、负的平方根之间的区别，同时指出开不出来的数应该保留在根号里，是一个精确数。
在这堂课的教学中，由于我所教的班级接手时数学基础较差，所以在教学中以实例为主，尽量引导学生去观察、去归纳总结，整个教学的节奏虽然比较快，但是进度却是比较慢的，因此在习题的处理上时间显得比较仓促。
同时部分学生对用符号表示仍然显得不熟练，需要在今后的教学中进一步加强。
4 应用二元一次方程组——增收节支【知识与技能】1.会用列表的方式分析问题中所蕴含的数量关系，列出二元一次方程组.2.培养学生分析问题、解决问题的能力,进一步体会二元一次方程组的应用价值.【过程与方法】进一步经历用方程组解决实际问题的过程,体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型.【情感态度】培养学生勤于思考,勇于探索的精神.【教学重点】用列表的方式分析题目中的各个量的关系.【教学难点】借助列表分析问题中所蕴含的数量关系.一、创设情境，导入新课在现实生活中,我们常常会听到这样一个词语,增收节支.当我们遇到实际问题的时候,该如何解决呢？例如:某工厂去年的利润（总收入-总支出）为200万元.今年总收入比去年增加了20%,总支出比去年减少了10%,今年的利润为780万元.去年的总收入、总支出各是多少万元?如果设去年的总产值为x万元,总支出为y万元.为了帮助同学们理清各个数量之间的关系,你能否采用表格的形式用x，y的代数式来表示题目中的各个量呢?【教学说明】以一道生活热点问题引入具有现实意义和教育意义,激发学生学习兴趣,同时培养学生勤俭节约的优良传统.理解题意是关键通过解题,旨在培养学生的解题能力和收集信息能力.二、思考探究，获取新知采用列表格的形式解决实际问题.同学们,根据上面的方法你能解决下面的问题吗?【教学说明】本例所涉及的数据较多,数量关系较以前复杂,具有一定的挑战性.借助表格辅助分析题中较复杂的数量关系,不失为一种好方法,以提升他们解决问题的能力.为了给学生一个参考,教师展示完整的过程.【分析】设每餐需甲原料xg,需乙原料yg,则有:解:设每餐需甲原料xg,需乙原料yg,根据题意得:0507350440，.x .y x .y .+=+=⎧⎨⎩ 解这个方程组得2830，x y .==⎧⎨⎩所以每餐需甲原料28g,乙原料30g.三、运用新知，深化理解1.甲、乙两仓库共有粮450吨,甲仓库运出60%,乙仓库运出40%,结果乙仓库所余的粮食比甲仓库所余的粮食多30吨,若设甲仓库原有粮食x 吨,乙仓库原有粮食y 吨,则可列方程组为 .2.我区某学校原计划向内蒙察右旗地区的学生捐赠3500册图书,实际共捐赠了4125册,其中初中学生捐赠了原计划的120%,高中学生捐赠了原计划的115%,初中学生和高中学生各比原计划多捐赠的图书的册数为（ ）A.400,225B.300,335C.400,335D.225,4003.某天,一蔬菜经营户用60元钱从蔬菜批发市场批了西红柿和豆角共40kg 到菜市场去卖,西红柿和豆角这天的批发价与零售价如下表所示:问:他当天卖完西红柿和豆角能赚多少钱?【教学说明】让学生自主完成,加深如何利用表格的形式解决稍微复杂的数量关系的应用题,检测学生应用能力,对有困难的学生及时点拨纠正,得以强化提高.【答案】1.45016030140（）（）x y %x %y;+=-+=-⎧⎨⎩2.A.3.解:设批发了xkg 西红柿,ykg 豆角,则12166040，.x .y x y .+=+=⎧⎨⎩ 解得1030x y .==⎧⎨⎩（1.8-1.2）×10+（2.5-1.6）×30=6+27=33（元）答:他当天卖完西红柿和豆角能赚33元.四、师生互动，课堂小结1.在用二元一次方程组解决实际问题时,你会怎样设定未知数？可借助哪些方式辅助分析问题中的相等关系?2.这节课你掌握了哪些知识?还有哪些疑问?请与同学们交流.【教学说明】引导学生思考、归纳、总结得出,便于及时纠正,达到共同提高.1.布置作业：习题5.5第2、3、4题.2.完成练习册中本课时相应练习.对于较复杂的应用题,我们可以采用多种形式辅助解答.学生考虑的角度和思考方法比较单一,不利于问题的解答,平时的教学要让学生逐步得到体验,不断提高他们解决实际问题的能力.什么是函数的图象？怎样画函数的图象？答：一般地，对于一个函数，如果把自变量x与函数y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象．函数的图象概念的基础是有序实数对与坐标平面内的点之间一一对应的原理，概念的实质是建立了函数的解析式与其图象间对应关系，开创了数(式)与形互相转化的雏型．函数的图象，以满足函数解析式的每个有序实数对为坐标的点都在函数的图象上；函数图象上任意一点的坐标(x，y)都满足函数的解析式．于是，根据函数解析式与其图象的相依关系，可以由函数解析式的结构特征研究函数的图象的形状、升降等形态，或利用函数的图象发现、研究函数的一些性质，渗透数形结合的思想方法．【例1】已知函数y＝－2x3＋1，不作函数的图象，解答：(2)若点C(a，17)在这个函数的图象上，求a的值．解：(1)因为9≠－2×23＋1，所以点A(2，9)不在函数y＝－2x3＋1的图象上．(2)因为点C(a，17)在已知函数的图象上，所以17＝－2a3＋1，解得a＝－2．由函数的解析式画其图象的一般步骤是：(1)列表．列表给出自变量与函数的一些对应值，关键是选取自变量的值，通常要求是：在函数自变量的取值范围内，按从小到大的顺序均匀取值；还应根据函数解析式的结构特点，决定自变量取值的对称分布，疏密程度，等等．(2)描点．以表中的对应值为点的坐标，在坐标平面内描出相应的点时，要明白、记住自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，顺序不能巅倒(横、纵坐标相等例外)．必要时需复习一下平面直角坐标系一节，根据坐标找出对应点的知识．(3)连线．按照自变量从小到大的顺序，用平滑的曲线把所描各点连结起来．其中，“平滑”的意义是根据所描各点之间的变化趋势连成曲线(包括直线)，从整体看是平滑的，其近似程度也会更好些．如果相邻两点间的变化趋势不太清楚时，可在两点之间再多描几个点．一般说来，描出的点越多，图象就越精确．以上是由函数解析式画其图象的一般步骤，通过画图，能进一步体会函数的图象的意义，为利用图象研究其性质、解决实际问题作准备．。
吉林省长市双阳区八年级数学上册 第11章 数的开方 11.1 平方根与立方根 11.1.1 平方根教
五.课堂练习：
1、见课本练习（略）。
2. 的算术平方根是______.
（-4）2的算术平方根是。
3、若 有意义，则a能取的最小整数为______.
六.课后小结：
平方根的意义及表示。
七.课后作业：复印给学生
创设问题情境，把学生置于研究新的未知的问题气氛中，使学生提出问题、思考问题、解决问题的动态过程中学习问题。
为学生创设表现才华的平台。
三.归纳知识，培养能力：
1、算 术平方根定义以及表示。
我们把正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，0的算术平方根为0.
2、平方根的表示法
3.平方根的意义。
正数a的平方根表示为
四.运用知识，分析 解题：
例2将下列各数开平方：
（1）49；（2）1.69
解（1）因为7 ＝49，所以 ＝7，因此49的平方根为±７；
平方根
教学目标
知识与技能
了解算术平方根的概念、会用根号表示一个数的平方根与算术平方根。进步明确平方与开平方是互为逆运算，会利用开方运算求某些非负数的平方根与算术平方根。会用计算器求某些非负数 的算术平方根。
过程与方法
让学生经历概念形成过程，提高学生学习兴趣。鼓励学生进行探索和交流，培养他们的创新意识和合作精神。
通过对数的平方根的运算，说明求正数的正的平方根叫做这个正数的算术平方根。0的算术平方根是0.
教学反思
必须手写，是检 查备课的重要依据。
情感态度与价值观
培养学生在学习中互相帮助、相互合作的团队精神。培养学生认真仔细的学习态度，以及思维的严谨性。
教学重点
会利用开 方运算求某些非负数的平方根与算术平方根。
11章数的开方
第十一章 数的开方§11.1 平方根与立方根第一课时 平方根与算术平方根一、新知探究 要点导航知识点1 平方根的概念及表示知识点2 平方根的性质知识点3 算术平方根的概念及表示知识点4 开平方运算二、新知巩固 典例精析 题型1 平方根【例1】将下列各数开平方:（1）36； （2）25.2；（3）24； （4）164.题型2 算术平方根【例2】求下列各数的算术平方根： （1）1； （2）()27-； （3）49151；（4）16.题型3 利用开平方运算求未知数的值 【例3】求下列各式中未知数的值.（1）22(5)x =-； （2）22180x -=.（3）()4572=+x ；（4）()16222=-y .题型4 平方根的性质【例4】当x 为何值时，代数式310x + （1）有两个互为相反数的平方根；(2)只有一个平方根；（3）没有平方根.三、即学即用 触类旁通1.在0，21(3)2-，()22-，22，41-中，有平方根的数有（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个 2.16的平方根是____,9的平方根是______.()216-的平方根是________. 3.11±是____的平方根，其中被开方数是_______，根指数是_________.4.若a 的平方根是2±，则a =________. 四、基础过关 拓展演练 1.如果a 是负数，那么2a 的平方根是（ ） A.a B.a - C.a ± D.a ± 2.若a 是()24-的平方根，b 的一个平方根是2，则代数式b a +的值是（ ）A.8B.0C.8或0D.4或-4第二课时平方根与算术平方根的性质一、新知探究要点导航知识点算术平方根的双重非负性二、新知巩固典例精析题型1 平方根的性质的应用【例1】已知yx-2的平方根为3±，4-是yx+3的平方根，求yx-的平方根．【例2】若m是169的正的平方根，n是121的负的平方根，求：（1）nm+的值；（2）()2nm+的平方根．题型2 平方根与算术平方根的性质的综合题型3 利用算术平方根的双重非负性求值或化简【例4】已知084=--+-myxx，当yx>时，求m的取值范围.【例5】已知233+-+-=xxy，求xyyx+的值.【例6】（15x-，则x的取值范围是 .（2）若5x=-，则x的取值范围是 .（3）40x-=，则x的取值范围是 .（4）若225x=-，则x的取值是 .三、即学即用触类旁通1.若2a的算术平方根是4，则为a（）A.16B.4C.4± D.2±2.要使2a-有意义，则a的范围为（）A.0≤a B.0<a C.0≥a D.0=a3.6251的算术平方根是________.4.已知一个数的平方根是23-x和65+x，则这个数是__________.5.若x117是整数，则x的最小正整数是________.第三课时 立方根一、新知探究 要点导航知识点1 立方根的概念及表示知识点2 立方根的性质知识点3 立方根与平方根的区别与联系二、新知巩固 典例精析 题型1 求一个数的立方根【例1】求下列各数的立方根：1（）8；2（）8-； 3（）27125-； （4）0.064；（5）64 ； （6）23-564； （7）0．题型2 立方根有意义的条件【例2】(1)若31-a 与3-1a 都有意义，则a 的取值范围是（ ）.A a 1≥ .B a 1≤ C.a 1= .D 一切实数 (2)若式子12-x +3-1x 有意义，则x 的取值范围是 ．题型3 将一个数开立方【例3】将下列各数开立方：（1）12564； （2）0.001-； （3）1；（4）1-； （5）0； （6）27102．题型4 求未知数的值【例4】已知381125x +=（），求x 的值．题型5 平方根与立方根的综合应用【例5】已知2-x 的平方根是2±，72++y x 的立方根是3，求22y x +的平方根．三、即学即用 触类旁通 1．若一个数的算术平方根与它的立方根的值相同，则这个数是（ ）A.1B.0C.0或1D.非负数 2.在下列式子中：①43； ②10.1=-；③0.1=±；④ 2.7；⑤ 4832±=±）（．其中正确的有（ ）个．A.1B.2C.3D.4§11.2 实数第一课时实数的性质一、新知探究要点导航知识点1 无理数的定义知识点2 常见的无理数的形式知识点3 实数的定义及分类二、巩固新知典例精析题型1 无理数、实数概念解析【例1】概念解析（正确的画∨）（1）实数不是有理数就是无理数. （）（2）无理数都是无限不循环小数. （）（3）无理数都是无限小数. （）（4）带根号的数都是无理数. （）（5）无理数一定都带根号. （）（6）无理数都是开方开不尽的数. （）（7）无理数包括正无理数、零、负无理数.（）（8）有理数都是有限小数. （）题型2 实数归类【例2】将下列各数的序号填在相应的集合里．②π③0 ④3.1415 ⑤0.456⑥3.030030003…⑦－67157⑧2．实数的分类.___________________________________⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩有理数实数无理数或者________________________⎧⎪⎨⎪⎩实数题型3 实数与数轴的关系【例3】实数与数轴上的点成一一对应关系，即：实数可以用数轴上的______来表示，反过来数轴上的每一个点都表示_________.【例4】已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：ab题型4 求实数的相反数、倒数、绝对值【例5】填空：的相反数是，倒数是 .的相反数是，绝对值是，倒数是 .的相反数是 .三、即学即用触类旁通1.下列命题中正确的个数有（）①零是最小的实数；②数轴上的所有点都表示实数；③无理数就是带根号的数；•④不带根号的数都是有理数；⑤无限小数不能化成分数；⑥无限不循环小数是无理数．A.2个B.3个C.4个D.5个第二课时 实数的运算一、新知探究 要点导航知识点1 算术平方根的乘除计算,= ；,= ；=,= ；=,； 总结规律：a )0,0≥≥b a0,0)a b ≥> 算）知识点3 实数大小的比较二、巩固新知 典例精析 题型1实数的混合运算 【例1】计算：221111.()()342--；；3.222---题型2 实数的整数部分和小数部分【例2】已知9的小数部分分别为x ，y ，求3+2y 的值．题型3 实数大小的比较 方法一：差值比较法差值比较法的基本思路是a ，b 为任意两个实数，先求出a 与b 的差，再根据当0a b ->时，得到a b >.当0a b -<时，得到a b <.当0a b -=，得到a b =.【例3】15的大小.方法二：商值比较法商值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个正实数，先求出a 与b 的商.当ab＜1时，a ＜b ；当a b ＞1时，a ＞b ；当a b=1时，a=b .来比较a 与b 的大小.【例4】15的大小.第十一章 《数的开方》章末复习 第一课时 平方根、立方根的概念性质一、知识梳理1.平方根若2x = a , 则x 叫做a 的平方根.记作x =a ±（a ≥0）.2.算术平方根正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作a （a ≥0），0的算术平方根是0.注意：当a ≥0时，a ≥0；3.平方根的性质：（1）正数有两个平方根，且互为相反数；零只有一个平方根；负数没有平方根. （2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2a a a a a a a （3）)0()(2≥=a a a4.立方根若a x =3, x 叫做a 的立方根.记作x =3a 5.立方根的性质（1）正数的立方根是一个正数；负数的立方根是一个负数；零的立方根是零.（2）a a =33， a a =33)(，33a a -=-. （3）若0=+b a ，则033=+b a .6.实数与数轴（1）无理数：无限不循环小数叫无理数. 如：2，5，π，33 ,2.030030003……等.（2）实数：有理数与无理数统称为实数.（3）实数的分类①按定义分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负有理数正有理数有理数数实数0②按正负分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负有理数负实数正无理数正有理数正实数实数0 （4）实数与数轴上的点一一对应. （5）有理数范围内的数的性质、运算法则和运算律在实数范围内全部适用. 二、典型例题精讲 题型 1 平方根、算术平方根、立方根的概念 【例1】求下列各数的平方根与算术平方根. （1）144； （2）0； （3）2)135(1- ； （4）0.49； （5）2243+； （6）49151. 【例2 】（1）64的立方根是（ ） A.4 B.－4 C.8 D.－8 (2) 38-=________． 题型 2 利用平方根、算术平方根、立方根的概念解方程 【例3】求下列各式中x 的值. （1）26250x -=； （2）12622=-x ；（3）04)57(2=-+x ； (4) 3193x =.题型3 利用平方根的性质建立方程【例4】已知一个正数的两个平方根分别是a +3与2a －15,求a 的值及这个数.【变式训练】已知62-m 和13+m 是一个数的两个平方根,求m 的值及这个数.题型4 算术平方根的性质应用【例5】已知0a <= .【变式训练】1.若a a -=-5)5(2，求a 的取值范围.2.已知,,a b c 实数在数轴上的对应点如图所示，a b c a -+-【例6】（1）已知△ABC 的三边为a 、b 、c ，且a 和ｂ满足 ()0522=-+-b a ，求c 的取值范围. （2）若y =9-a +a -9+7，求 a y + 的平方根及立方根. 题型5 平方根与立方根的综合应用 【例7】已知2+a 的算术平方根是3，3-b 的立方根是-2，求b a +2的平方根. 【变式训练】已知2216x =（），y 是25-（）的正的平方根，求代数式y x x y x x -++的值.第二课时 实数与数轴的应用题型1 无理数、实数的概念【例1】下列说法正确的是( )A.π3÷π3是无理数B.33是有理数C.4是无理数D.3－8是有理数 题型2 实数的分类【例2】把下列各数填入相应的大括号内. 5， 0， 3.1415 , 722, 31- , 38-,2π, ， 1.121221222122221… （两个1之间依次多个2）.(1)无理数集合：{ …}；(2)非负数集合：{ …}；(3)整数集合：{ …}；(4)分数集合：{ …} 题型3 实数的大小比较与估算【例3】比较下列数的大小.（1；（2）57-3.（3）若ab数部分，a b -的平方根是 .（4）所有满足x 的整数的和是 . 题型4 实数的运算【例4】计算:（1）；(2) ；(3) +. 题型5 实数的实际应用 【例5】如图11－1，矩形OABC 的边OA 长为2，边AB 长为1，OA 在数轴上，以原点O 为圆心，对角线OB 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是( ) A.2.5 B.2 C.－ 5 D.5 【例6】已知：23(7)121,(1)0.064,x y -=+=-. 【例7】若实数a.b()2-2=0ab 求111...(1)(1)(2004)(2004)ab a b a b +++++++ 的值.第十二章 整式的乘除§12.1 幂的运算第一课时 同底数幂的乘法一、新知探究 要点导航知识点1 同底数幂的乘法法则（重点）知识点2 法则的拓展=⋅⋅p n m a a a 知识点3 法则的逆用二、新知巩固 典例精析题型1 用同底数幂的乘法法则计算【例1】计算：（1）x x x ⋅⋅35； （2）24x x -⋅；（3）23()()x x -⋅-； （4）()()52x y x y -⋅-；（5）()()122-+⋅+m m x x ；（6）2()()x y y x --.题型2 同底数幂的乘法法则的逆用【例2】求下列各式的值.（1）已知42,32==n m ，求n m +2的值；（2）已知32=x ，求32+x 的值．题型 3 同底数幂的乘法与同底数幂的加法综合 【例3】计算： （1）4243a a a a a ⋅⋅+⋅； （2）()()()a a a m m m 211222---⋅-+-. 题型4 利用法则求未知数的值 【例4】若81a a a n m m =⋅++，且12=-n m ，求n m 、的值． 三、即学即用 触类旁通 1.计算下列各题： ______;146=⋅-a a ）（()()________;243=-⋅-x x ）（ ________;3652=⋅⋅⋅m m m m ）（ ()________;432=-⋅-x x ）（_______;52332=⋅⋅+⋅⋅x x x x x x ）（ ._______622=⋅⋅-⋅++m n n m x y y y x ）（2.已知62a a a n m =⋅+，且2=-n m ，求1+n m 的值．3.已知032=-+b a ，求b a 255⋅的值．五、基础过关 拓展演练1.计算42a a ⋅的结果是（ ）A.8aB.6aC.82aD.62a 2.16a 可以写成（ ）A.88a a +B.28a a ⋅C.88a a ⋅D.44a a ⋅3.已知35==y x a a ，，则y x a +的值为（） A.15 B.35C.2aD.以上都不对4.若6322=⋅m ，则m =（ ）A.2B.4C.6D.85.化简()()23x x -⋅-的结果，正确的是（） A.6x - B.6xC.5xD.5x -6.计算：（1）201423x x x x ⋅⋅⋅；（2）26-41010100010n ⨯⨯⨯；（3）2511()()33-⋅-； （4）()()()458y x x y y x -⋅-⋅-； 7.已知192221232=-++x x ，求x 的值． 8.已知11225252253m m m m ++⋅-⋅=⨯⨯，求m 的值.第二课时 幂的乘方一、新知探究 要点导航 知识点1 幂的乘方知识点2 幂的乘方的推广知识点3 幂的乘方的逆用二、新知巩固 典例精析 题型1 幂的乘方【例1】计算：（1）()2310； （2）2232⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-；（3）()[]432b a -； （4）()[]222a b -；（5）n n n 2793⋅⋅.【例2】计算：（1）()3524m m m ⋅+ ； （2）()()2253a a ⋅.题型2 幂的乘方的逆用 【例3】(1)计算：()600019992125.0⋅-. 【例4】比较下列各组数的大小. （1）1002和753； （2）5552和2225. 【例5】若0332=-+y x ，求y x 279⋅的值． 【例6】若125103=x ，求x +110．三、即学即用 触类旁通1.下列计算正确的是（ ）A.()63293y y =-B.()63262x x -=-C.()n n y x y x 323=D.()2293a a =-2．计算()()201320122011175.034-⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛的结果( ) A.34 B.34- C.43 D.43-3.若2=n x ，3=n y ，则()n xy = .四、基础过关 拓展演练1.计算：（1）()42ab -； （2）()n b a 32；（3）()32102⨯-； （4）()()3332332x x x -；（5）20132012367715⎪⎭⎫⎝⎛⨯⎪⎭⎫⎝⎛-；（6）()20142012201315.132-⨯⨯⎪⎭⎫⎝⎛.2.已知553=a ，444=b ，335=c ，则有( ) A.c b a << B.a b c << C.b a c << D.b c a <<3.已知58=a ，74=b ，求b a 462+的值.4.一个细胞的形状近似于一个棱长为3102⨯的正方体，在某种物质作用下，其体积以每秒扩大为原来210倍的速度膨胀，求s 10后的细胞的体积.5.请用学过的有关知识探究202120732++的个位数字是多少？第三课时 积的乘方一、新知探究 要点导航知识点1 积的乘方（符号公式）知识点2 积的乘方逆运用（符号公式）二、学习新知 典例精析 题型1 积的乘方运算 【例1】计算：①2323()()x y xy ； ②3243()a a b ⎡⎤--⎣⎦；③5333110910)3⨯⋅⨯（）（；④2332242)(4)(2)()x x x x -+---（.题型2 积的乘方公式的逆用 【例2】计算：（1）20092010532135⨯（）（）；（2）200960300.1252⨯； ⋅（3）200420042(0.04)[(5)]⨯-；（4）2002200323(0.53)(2)311⨯⨯-⨯；（5）2009201067020100.25480.5⨯-⨯.题型 3 运用幂的性质及运算律进行幂的简单混合运算 【例3】计算：（1）322326(3)(2)()4x y x y x y -+⋅-+；（2）63223(2)(3)[(2)]a a a ---+-；（3）2010200920105(1)()( 1.2)6-⨯⨯-；（4）920930.2522564⨯⨯⨯；()()()3333(5)3.mn m n ab b a b b ⋅-题型4 综合运用幂的性质及运算律进行运算【例4】（1）2()9,n a =已知：求32221)3()3n n a a -（ 的值.（2）已知105,106,m n ==求2310m n +的值.（3）已知4,5,x x a b ==求2()x ab 的值.四、基础过关 拓展演练 1.()3423a b -等于_________.2.已知332=-b a ，则69a b =______.若33125100x x x +++⨯= ，则x =________. 3.已知43482x ⨯=，则x 的值=_______. 4.已知3n x =，5n y =，则2()n x y =________. 5.若51015()m n a b ab a b ⋅=，则23(1)m n +的值是（ ）A.15B.8C.12D.10 6.以下运算正确的是（ ）A.347()x x =B.3412x x x ⋅=C.22(3)9x x =D.22(3)6x x = 7.如果3915(),n m a b b a b ⋅=那么m ，n 的值等于（ ）A.m =9，n =－4B.m =3，n =4C.m =4，n =3D.m =9，n =6 8.下列式子结果为1210的是（ ） A.751010+ B.993(25)⨯ C.56(2510)10⨯⨯⨯ D.39(10)9.下列计算正确的是（ ）A.235()b b =B.3262()a b a b -=-C.325a a a +=D.236(2)8a a = 10.计算：（1）5132212332()()()m m n m n n x x y x y y y -+-----；（2）已知5n x =，3n y =，求代数式2()n xy 的值.（3）已知 11225252253,m m m m ++⨯-⨯=⨯⨯求m的值.第四课时 同底数幂的除法一、新知探究 要点导航知识点1 同底数幂的除法法法则知识点2 同底数幂除法法则的逆用二、新知巩固 典例精析 题型1 同底数幂的除法运算 【例1】填空：（1）6( )=x x ÷；(2) 37()()()y y ÷-=-；（3）1681010÷= ， ()235y y =÷ ； （4）1185()m m m ÷÷= ， ()()53x y y x -÷-= .【例2】计算：（1）35423y y y ÷⋅（）（）； （2）22m m x x +÷（-)；（3）1328()()x x x -÷-÷.题型2 同底数幂的除法综合运算【例3】计算：15210238)()()x x x x ÷-÷-÷（- .【例4】计算：7632)()()()x y y x x y x y -÷-+--÷+（.题型3 逆用同底数幂除法法则解决问题 【例5】1.已知：3223,24,2m n m n -==求的值. 2.已知：529,3,x y y x a a a -==求的值.3.已知：33126,84,2x y x y --==求的值. 题型4 有关幂的混合运算 【例5】计算： 1.13534x x x x x ÷+⋅； 2. 541224[()]a a a ÷⋅； 3. 42222126()()()x x x x x ÷⋅-÷-.三、即学即用 触类旁通1.已知5,4,m n a a == 求32m n a -的值.2.已知322,a b -=求279a b ÷的值.3.已知2168,x y ÷=求28x y -的值.四、基础过关 拓展演练 1.3223()()a a -÷-= .2.下列计算中，做错的是（ ）A.235a a a ⋅=B.224a a a +=C.326()a a =D.32a a a ÷=3.若5320,x y --=，则531010x y ÷= . 4.若103m =，10=2n ，则210m n -= . 5.已知36,92,m n ==，求2413m n -+的值．6.已知4,8,m n a a ==求32m n a -的值.7.若()3,()4,m n a b a b +=+=求32()m n a b -+.8.已知11252000,802000,x y xy==+求的值.§12.2 整式的乘法第一课时 单项式乘以单项式一、新知探究 要点导航知识点1 单项式与单项式相乘的法则（重点）知识点2 单项式与单项式相乘的依据二、新知巩固 典例精析题型1 用单项式与单项式相乘的法则计算 【例1】计算：（1）()()32210510⨯⨯⨯；（2）3225x x ⋅；（3）()2332x y xy ⋅-；（4）()()23254a b b c -⋅-.题型2 含乘方、加减的运算 【例2】计算：（1）2332(3)(2)a a -⋅-； （2）343a a a ⋅+；（3）()21212n n n x y x y +-⋅；（4）()()24122x y y x ⎡⎤----⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦.题型3 化简求值【例4】先化简，再求值：3233(3)x y xy ⋅-- 23()x y -⋅23()x y -，其中2, 3.x y ==题型3 实际问题 【例3】有一块长a 米、宽b 米的长方形空地，修花园用去一部分，已知用去的这块地长23a 米，宽12b 米，剩下部分的面积是多少平方米？三、即学即用 触类旁通1.下列各式计算正确的是（ ） A.326428a a a ⋅= B.82a a ⋅ C.88a a ⋅ D.44a a ⋅2.计算()2133n n a b a b --⋅的结果是（ ）A.3129n a b -B.31212n a b -C.27n a bD.31327n a b - 3.计算：（1）()32525x y xy ⋅-；（2）()2322123x y xy ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭；（3）()()()2233102100.510⨯⨯-⨯⨯⨯.四、基础过关 拓展演练 1.计算325x x ⋅的结果是（ ）A.6xB.56xC.66xD.96x2.用科学记数法表示262101510⨯⨯⨯（）（）的结果为（ ）A.83010⨯B.73.010⨯C.93.010⨯D.103.010⨯ 3.如果单项式423a b x y --与3213a x y 是同类项，那么它们的积为（ ） A.64x y B.32x y -C.3283x y - D.64x y -4．若133a b =-=-，，则()221n n a ab +⋅=．5.已知卫星脱离地球进入太阳系的速度是41.1210m s⨯，则经过33.610s ⨯，卫星走了千米 ． 6.计算：（1）23231353x y x y xy ⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭；（2）()()2322223xy z x y -⋅-.7．已知()()1221253m n n m a b a b a b ++-⋅=，求m n +的值．第二课时 单项式乘以多项式一、新知探究 要点导航知识点 单项式乘以多项式法则二、新知巩固 典例精析 题型1 单项式乘以多项式 【例1】计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-12122x x x .【例2】计算：23332()2(41)x x x x x ⎡⎤--+⎣⎦.题型2 化简求值【例3】化简求值：()()12322+-+-x x x x x ，其中2x =-.【例4】已知22xy =-，求253()xy x y xy y ---的值.题型3 化简后不含未知数的某项【例5】已知：()()23223632x x ax x x +----中不含x 的三次项，试确定a 的值.【例6】已知22()(22)a x x c b x x +-+--2743x x =++,求a ，b ，c 的值.三、即学即用 触类旁通1.单项式乘以多项式依据的运算律是( ) A .加法结合律 B .加法交换律 C .乘法结合律 D.乘法分配律2.计算()()y x xy xy 22397--正确的是( )A .435297y x y x +-B .435297y x y x -C .455479x y x y -+ D .455497y x y x +3.化简()121--x x 的结果是（ ） A .21+x B.2121+xC .123-xD .121+x 4.计算：()m c b a --=___________.5.计算：()12523-+--a a a =__________. 6.化简：()()x x x x --+11的结果是______.7.计算：（1）()xy y xy y x 422122-⎪⎭⎫⎝⎛+-；（2）2342213126⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-mn mn mn .四、基础过关 拓展演练 1.已知02=+b a ，则式子()3342b b a ab a +++的值是___________．2.若()()52312523=-+-k k k k ，则=k ____.3.规定一种运算：b a ab b a -+=*，其中a 、b 为实数，则()=*-+*b a b b a __________. 4.求方程()()521212-+=-x x x x 的解．5.化简再求值：ab b a ab ab 321362⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--，其中2-=a ，31-=b .6.若()562332+-=-+-x x b x a x x 成立，请求出a 、b 的值.7.若无论x 取何值时，多项式32241x x x ---与21()2()2x x mx n mx +++-的值相等，求m n 、的值.第三课时多项式乘以多项式（一）一、新知探究要点导航知识点多项式乘以多项式法则二、新知巩固典例精析题型1 多项式乘以多项式【例1】计算：()()14372-+-baba.题型2 整式的混合运算【例2】计算：()()()()51213282-+-+--xxxxx.题型3 化简求值【例3】先化简，再求值：()()()()312682+--+-xxxx，其中5-=x.【例4】已知x满足等式2514x x-=，求2(1)(21+1x x--）-(x+1）的值.题型4 化简后不含未知数的某项【例5】若()()12-+-xax的结果中不含x的一次项，求常数a的值.三、即学即用触类旁通1.()()1212+-+xx的计算结果是（）A.142+x B.241x-C.241x+D.142--x2.下列各式中，计算结果是1872-+xx的是（）A．()()181+-xx B.()()92++xxC.()()63+-xx D.()()92+-xx3.一个长方体的长、宽、高分别是43-x、12-x和x，则它的体积是（）A.xxx45623+-B.xxx411623+-C.2346xx-D.44623++-xxx4.计算：()()37-+xx=__________.5.三个连续奇数，中间的一个是x，则这三个奇数的积是_________．6.若2=-ba，323=+ba，则()+-baa3()=-bab2．7.化简：()()()babbaba82122---+．四、基础过关 拓展演练1.计算：()()1225-+b b = _.2.计算：()()2223--x x = .3.计算：()()112+-+x x x = ． 4.若()()c bx x x x ++=+-258，则b = ，c = ．5.下列多项式相乘的结果是62--a a 的是（ ）A .()()32+-a aB .()()32-+a aC .()()16+-a aD .()()16-+a a6.要使()N x x M x ++=⋅-23成立，且M 是一个多项式，N 是一个整数，则（ ） A .4-=x M ，12=N B .5-=x M ，15=N C .4+=x M ，12-=ND .5+=x M ，15-=N 7.计算：（1）()()213-+x x ；（2）()()()222322----+a a a a a ；（3）()()25+-x x ；（4）()()25-+x x ；第四课时多项式乘以多项式（二）一、新知探究要点导航知识点多项式乘以多项式拓展运用二、新知巩固典例精析题型1 化简方程与不等式【例1】解方程：()()()()15873-+=+-+xxxx.【例2】求不等式(34)(34)9(2)(3)x x x x+->-+的正整数解.题型2 整式乘法在恒等式求值中的运用【例3】如果22()()2mx y x y x nxy y+-=+-，求m、n的值．题型3 与整式乘法有关的自定义运算【例4】规定一种新运算：baba+=*，baba-=⊗，其中a b、为有理数，如21a b==，时，2+1=3a b*=，21=1a b⊗=-根据以上的运算法则化简+*abba32abba452⊗，并求出当5=a，3=b时多项式的值．题型4 利用整式乘法解决图形问题【例5】课本中多项式与多项式相乘是利用平面几何图形的面积来表示的，例如：22(2)()23a b a b a ab b++=++就可以用图1或图2的面积来表示．（1）请写出图3图形的面积表示的代数恒等式；（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示22()(3)43a b a b a ab b++=++．三、即学即用触类旁通1.若3(25)2(13)52k k k k-+-=，k=_____．2.如果4-=+yx，8=-yx，那么代数式22yx-的值是______________.3.当3=x，1=y时，代数式()()x y x y+-+ 2y的值是__________.4.计算：()()73-+xx =__________.()()1212---aa=__________．5.将一个长为x，宽为y的长方形的长减少1，宽增加1，则面积增加________．四、基础过关 拓展演练1.下列各式计算正确的是（ ） A .()()2510552+-=-+x x x xB .()()923322-=-+x x xC .()()23913232-+=-+x x x xD .()()76712--=+-x x x x2.已知()()b ax x x x ++=-+223，则a 、b 的值分别是（ ）A .1-=a ，6-=bB .1=a ，6-=bC .1-=a ，6=bD .1=a ，6=b 3.计算()()22b ab a b a ++-的结果是（ ）A .33b a -B .322333b ab b a a -+-C .33b a +D .322322b ab b a a -+-4.已知m 和n 满足()0312=-++n m ，化简()()n x m x --=_________．5.若1a b -=，2ab =，则(1)(1)a b +-= .6.已知215(3)()x mx x x n +-=++，m n -的值为 . 7．若()()n x x mx x +-++3822的展开式中不含3x 和2x 项，求m 和n 的值.8.探索发现（1）计算下列各式： ①()()11+-x x ；②()()112++-x x x ；③()()1123+++-x x x x .（2）观察你所得到的结果，你发现了什么规律？并根据你的结论填空：()()=++⋅⋅⋅++---1121x x x x x n n n .（n 为正整数）§12.3 乘法公式第一课时 平方差公式一、新知探究 要点导航 知识点 平方差公式二、学习新知 典例精析题型1 利用平方差公式计算【例1】观察下列各式，能用平方差公式计算的是（ ）A.()()a b b a +-B.(21)(21)x x +--C.(53)(53)y y -+-D.(2)(2)m n m n -+-【例2】乘积等于m 2－n 2的式子是（ ）A.2()m n -B.()()m n m n ---C.()()n m m n ---D.()()n m m n +-+【例3】计算：(1)22(3)(3)x x -+--；(2)()()2323x x ---.题型2 灵活运用平方差公式计算 【例4】计算：（1）22(32)(32)x y x y ---；（2）2(1)(1)(1)x x x +-+；题型3 平方差公式的常见变形（1）位置变化：()()b a b a +-+= （2）符号变化：()()a b a b ---= （3）系数变化：(35)(35)a b a b +-= （4）指数变化：3333()()a b a b +-= （5）连用公式：2244()()()()a b a b a b a b -+++= （6）增项公式：()()a b c a b c ---+= （7）逆用变化：22()()a b c a b c -+-+-= 题型4 运用平方差公式进行简便运算 【例5】计算：(1)121×119；(2)2200220012003-⨯；(3) 100991011⨯+.题型5 逆用平方差公式1.若12a b +=，5a b -=，则22a b -= .2．若222,10x y x y -=-=，则x y +=_____. 3.已知两条线段长的差为5，平方差为35，求用这两条的长为边长的长方形的周长.4.已知228,a b -=求22)()a b a b -+（的值.三、基础过关 拓展演练1.下列式子可用平方差公式计算的式子是 （ ）A.()()a b b a --B.(1)(1)x x -+-C.()()a b a b ---+D.(1)(1)x x --+2.计算()()a b c a b c -+--等于（ ）A.2()a b c -+B.22(a b c --）C.22a b c --（）D.22a b c -+（） 3.化简22(1)(1)a a +--的值为（ ） A.2 B.4 C.4a D.222a + 4.()()()2224x x x +-+的计算结果是 ( )A.416x +B.416x --C.416x -D.416x -5.计算：（1）1111()()3232a b a b +- ；（2）(2)(2)m n m n ---；（3）2222(5)(5)y x x y -+；（4）2(2)(4)(2)x x x -++.6.先化简，后求值.()()()2339a a a -++，其中1a =.7.先化简，后求值.2(2)(2)(2)x x y x x y y x ----+，其中1x =，2.y =.8.解方程：(95)(31)(31)51x x x x --+-=.9．用简便方法计算： （1）22003;200320042002-⨯（2）22003200420021⨯+ .第二课时 平方差公式的应用一、新知探究 要点导航知识点1 用等积法进行平方差公式验证知识点2 应用平方差公式进行计算（复习巩固）二、学习新知 典例精析题型1 用等积法进行平方差公式验证 【例1】如图，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形（a >b ），•把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算两个图形的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）A.22()()a b a b a b -=+-B.222()2a b a ab b +=++C.222()2a b a ab b -=-+D.22(2)()2a b a b a ab b +-=+-题型2 用平方差公式计算 【例2】计算：(1)(14)(14)m m -+--2(2)(2)(2)(4)x x x -++【例3】化简求值：(3)(3)(3)y x x y y x +--- (3)y x +其中2, 3.x y =-=题型3 用平方差公式巧算【例4】请你利用平方差公式计算：1.()()()()()248642121212121++++⋅⋅⋅+.2.2222221990-1989+198819872 1.-+⋅⋅⋅+-.3.222211111)(1)1)(1)2319992000--⋅⋅⋅--（（.三、基础过关 拓展演练1.下列各式中不能用平方差公式计算的是（ ）A.(2)(2)x y y x -+B.(2)(2)x y y x --+C.()()x y y x +-D.(23)(32)x y y x -+ 2.下列各式中计算正确的是（ ） A.22()()a b a b a b +--=- B.232346()()a b a b a b -+=-C.22(2)(2)4x y x y x y ---+=--D.244()(2)2x y x y x y +-=-3.与(9)a b -的积等于2281b a -的因式为（ ）A.9a b -B.9a b +C.9a b --D.9b a -4.为了应用平方差公式计算(21)x y +-(21)x y -+，下列变形正确的是（ ）A.[]2(21)x y -+B.[][](21)(21)x y x y --+-C.[][](2)1(2x y x y -+-）-1D.[]2(21)x y ++5.已知a +b =2,则224a b b -+的值是（ ）A.2B.3C.4D.66.32－12=8×1，52－32=8×2，72－52=8×3，92－72=8×4，…，观察上式，•把你猜想的规律用只含一个字母n （n 为正整数）的式子表示出来____________．7.如图，小红家有一块L 形的菜地，要把L•型菜地按图那样分成面积相等的梯形，种上不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是a 米，下底都是b 米，高都是（b －a ）米，请你给小红家算一算，小红家的菜地面积共有多少？当a =10，b =30时，面积是多少？8.化简：（1）24()(2)(2)a b a b b a --+-+；（2）5062+1012×505+5052-10102...9.已知21)()(),4b c a b c a -=--≠（且a 0,b c a +求的值.第三课时 完全平方公式（一）一、新知探究 要点导航 知识点1 两数和的平方公式知识点2 两数差的平方公式知识点3 完全平方公式及其特点二、新知巩固 典例精析 题型1 用完全平方公式计算 【例1】计算：（1）()23b a +； （2）()22y x +-；（3）()()n m n m --+； （4）()23b a --；（5）2312x ⎛⎫- ⎪⎝⎭； （6）22121⎪⎭⎫ ⎝⎛+-m .题型2 利用完全平方公式简化计算 【例2】计算：（1）21002 ； （2）28(999)9-.题型3 综合运用公式 【例3】计算：（1）()()z y x z y x --++；（2）()()()9332--+x x x ；（3）()()[]255x x --+-.三、即学即用 触类旁通1.下列各式计算正确的是（ ） .A 842a a a =⋅.B ()()6322-=-+x x x C.()4222-=-x x.D a a a 532=+2.下列各式计算正确的是（ ） .A ()222y x y x +=+.B ()2222y xy x y x --=- C.()()22222y x y x y x -=-+ .D ()2222y xy x y x +-=+-3.已知一个正方形的边长为a cm ，若边长增加6cm ，则得到的新正方形面积增加了（ ）cm 2．.A 36cm 2 .B a 12cm 2C.()a 1236+ cm 2.D 以上都不对 4．计算：（1）()23b a +；（2）2312⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ；（3）()242b a -；（4）23121⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a .四、 基础过关 拓展演练1.下列计算中错误的是（ ） .A ()2222y xy x y x ++=--.B 949433222++=⎪⎭⎫⎝⎛+x x xC.4121621422+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x .D 2241-21a a a +-=⎪⎭⎫⎝⎛2.计算：（1）()23n m -；（2）()243y x --；（3）()()y x y x --+-22；（4）()()1212--+a a ；3.先化简，再求值：()()()()221211513-+-+-+a a a a ，其中21=a .第四课时 完全平方公式（二）一、新知探究 要点导航知识点1 （公式推广）三数和的平方()2a b c ++=知识点2 完全平方式及其特点二、新知巩固 典例精析 题型1 用完全平方公式计算 【例3】 计算： （1）()22a b c ++；（2）()22x y +-；（3）()()a b c d a b c d -+---+.题型2 完全平方式【例2】如果29x ax ++是完全平方式，那么a = ．变式1：如果226x x k ++恰好是另一个整式的平方，那么常数k = .变式2：要使221254x y +成为完全平方式，则还应添加的一项是 ．题型3 完全平方公式的逆用【例3】已知222220x y x y +-++=,求代数式20142015x y +的值.变式1：已知2214404a b a b +-++=，求代数式22a b +的值变式2：已知222a b c ab bc ac ++=++，求证：a b c ==．三、即学即用 触类旁通 1.()22a b - = ．2.212x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ．3.()2312x x y ++= ．4.计算：（1）()232x y z --；（2）()223a b --；（3）212n x ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（4）()()223131a a +-；四、 基础过关 拓展演练1.若2249x Mxy y -+是两数和的平方,则M 的值是 ( )A.36B.36±C.12D.12± 2.若))(3(152n x x mx x ++=-+，则m 的值为( )A.5－B.5C.2－D.23.多项式291x +加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是 ．4.计算：（1）()()()2122x x x +-+-；（2）()22x y z -+；（3）()()()222a b b c c a +++++（可作公式用）；5.解方程：224(3)2(2+1=31)x x x --+）（(1- 23)9x x +.第五课时 完全平方公式（三）一、知识回顾 引入新课 平方差公式完全平方公式三数和的平方()=++2c b a二、新知探究 要点导航 知识点1 平方和的表示 ()-+=+222b a b a . ()+-=+222b a b a .知识点2 和的完全平方与差的完全平方的关系()()=--+22b a b a . ()()+-=+22b a b a . ()()-+=-22b a b a .知识点3 互为倒数的两数的和或差的平方=⎪⎭⎫ ⎝⎛+21a a=⎪⎭⎫ ⎝⎛-21a a三、新知巩固 典例精析题型1 用公式变形求代数式的值【例1】已知5=+y x ，6=xy ，求下列代数式的值：（1）22y x +； （2）y x -；题型2 综合运用【例2】已知：()82=+b a ，()62=-b a ，求下列代数式的值：（1）22b a +； （2）ab .变式：已知0132=+-x x ，求：（1）221x x +； （2）441xx +的值．四、即学即用 触类旁通1.()()222233++-x x = ． 2.()()+-=+2222b a b a ． 3.运算结果为4221x x +-的是（ ）A.()221x +-B.()221x +C.()221x -- D. ()41x -4.计算：（1）22)()(n n n m -+；（2）()()[]222y x y x -++.5.已知：10-=+b a ，且4=-b a ，试求ab 2与22b a +的值．五、基础过关 拓展演练 1.下列计算中正确的是（ ） .A ()222a b a b +=+ .B ()222x y x xy y -=-+C.()()222x m x m x xm m ++=++ .D ()()222x y x y x xy y ---=-+2.若1222=+b a ，3-=ab ，则()2b a +的值为（ ）A.6B.18C.3D.12 3.已知31=+x x ，则221xx += , 441x x += .4.已知5=+b a ，6-=ab ，求下列各式的值： （1）22b a +； （2）22b ab a +-.5.如图所示，两个正方形的边长分别为a 和b ，如果10a b +=,20ab =，求阴影部分的面积.6.对于任意自然数n ，试说()()--+1313n n ()()n n +-33的值一定是10的倍数．Aa§12.4整式的除法第一课时 单项式除以单项式二、新知探究 要点导航 知识点1 单项式除法法则知识点2 单项式除法的实质知识点3 单项式除法的注意事项 1．注意商的符号；2．系数相除为带分数时，商的系数用假分数表示；3．单项式相除的结果还是单项式； 4．注意整体思想．三、新知巩固 典例精析题型1 单项式除法法则的运用 【例1】计算： （1）56412m m ÷；（2）()()3282a b a b -÷-；（3）()32233ba a b -÷；（4）()()46315b a b a -÷-.题型2 综合运用【例2】 第一宇宙速度（卫星围绕地球运动的速度）约为97.910/m s ⨯，那么卫星约多长时间运动m 61037.2⨯？变式：若()()22223443y x y x y x a n m =÷，求n m a 、、的值．四、即学即用 触类旁通 1.ab c b a 32132÷= ． 2.()425328y x z y x -÷＝ ． 3.下列运算结果正确的是（ ） A.()1255512232b abc c b a =-÷B.2233533b a b a b a =÷C.n mn mn 2482=÷-D.n m n m mn n m 22245326=⋅÷4.计算：（1）ab b a 3153÷；（2）223537y x z y x ÷-；（3）()()3439n m n m +÷+.5.计算：()223234426ac b a c b a ⋅÷.五、基础过关 拓展演练 1.下列计算中正确的是（ ） A.632a a a =⋅ B.()642a a =C.235a a a =÷D.()222y x y x +=+ 2.已知22372288b b a b a n m =÷，那么m n 、的取值为（ ）A.34==n m ，B.14==n m ，C.31==n m ，D.32==n m ，3.如果（ ）b a ab 233=⨯，则（ ）里应填的代数式是（ ）A.abB.ab 3C.aD.a 34.计算：（1）⎪⎭⎫⎝⎛-÷-334265axy y x ax ；（2）()[]⎪⎭⎫⎝⎛-÷÷-2344443734y x y z y x ；（3）()()225226ab c b a -÷-；（4）()()n n m n m y x y x y x 521322126-⋅-÷++++；第二课时 多项式除以单项式一、新知探究 要点导航知识点`1 多项式除以单项式的法则知识点2 用多项式除以单项式的法则进行运算知识点3 多项式除以单项式的综合运用二、新知巩固 典例精析题型1 探究多项式除以单项式的法则 1.已知一个多项式与单项式547x y -的积为54746421287x y x y x y -+，这个多项式为________________.2.将一多项式22(1734)x x ax bx c ⎡⎤-+---⎣⎦， 除以(56)x +后，得商式为(21)x +，余式为 0.则a b c --=（ ）A.3B.23C.25D.29 题型2 多项式除以单项式的计算 【例1】计算下列各题： （1）(32)ab a a -÷；（2）2(515)15ax x x +÷；（3）22(1215)6m mn mn +÷；（4）322(2)()x x y x -÷-；（5）332352(462)(2)a b a b c ab ab --÷-；（6）233222211(2)22x y x y x y xy -+÷；题型3 多项式除以单项式的化简求值 【例2】化简求值：(1) 32223[(2)(2)][()]4a x a x a x ax ---÷-，其中1,42a x ==-.(2)已知：210x y -=，求式子222[()()2()]2x y x y y x y y +--+-÷的值.三、即学即用 触类旁通1.一个多项式除以22x y ，其商为32342(462)x y x y x y -+，则多项式为_______2.一个矩形的面积是223()x y -, 如果它的一边长为()x y +, 则它的周长是3.若24(1)=(1x )A x --，那么A 为（ ）A.2(1)x -B.21x -C.21x + D.2(1)x + 4.计算下列各题： （1）108623(469)(2)a a a a -+÷-；（2）2211(2)22x y xy xy xy --÷；（3）271564(5102)(5)n n n n a b a b a b c a b ++--÷-；（4）2()()()2()4x y y x x y y x y y ⎡⎤+-+--+-÷⎣⎦. 5．已知多项式32241x x --除以一个多项式A ，所得的商式为2x ，余式为1x -，求这个多项式.6.化简求值： 473826323111()()4293a b a b a b ab +-÷-，其中1, 4.2a b ==-第三课时 多项式除以单项式综合运用一、新知巩固 典例精析题型1 多项式除以单项式的计算 【例1】计算：1. 3432432(12206)(2)p q p q p q pq +-÷-；2.2[(2)(2)(2)2(2)]2x y x y x y x x y x -+-+--÷； 3. ()()()()()22222222b a b b a b a b a b b ⎡⎤--+⋅--+⋅-÷-⎣⎦.题型2 利用乘除的互逆性解题【例2】1．一个多项式与单项式23a b -的积是32222629a b a b a b -+求这个多项式.2.已知：432356(),65m n p Aa x y ax y ax y ÷-=求A,m ,n , p 的值.3.若3234x kx -+被31x -除后余3，求k 的值.题型3 多项式除以单项式的整体思想的利用【例3】1.多项式2x x m ++能被多项式5x +整除，则此多项式也能被下列多项式整除的是（ ）A.6x -B.6x +C.4x -D.4x + 2．若2341x x --=，则2200926x x -+的值为_______3.如果210x x +-=,则3223x x ++=_____ 【例4】解答下列各题：1.已知多项式3231x ax bx +++能被21x +整除，且商式为31x +，求()b a -的值.。
华东师大版八年级数学上册第十一单元《数的开方》教案
第11章数的开方11.1 平方根与立方根1.平方根【基本目标】1.理解并掌握平方根与算术平方根的概念.2.理解平方运算与开平方的互逆关系.3.理解算术平方根的非负性，会用计算器求一个数的算术平方根.【教学重点】理解平方根与算术平方根概念；会求一个正数的平方根.【教学难点】算术平方根的非负性与算术平方根的特征.一、创设情景，导入新课同学们，2013年6月17时38分神十成功发射，其飞行速度大于第一宇宙速度v1，而小于第二宇宙速度v2,v1,v2满足v12=gR，v22=2gR，要求v1与v2就要用到平方根的概念.多媒体展示教科书导图提出的问题，( )2=25.二、师生互动，探究新知1.用平方运算求平方根.【教师活动】自学课本P2到例1止，什么是平方根？我们是根据什么求25的平方根的？【学生活动】小组交流讨论后，代表发言.【教学说明】教师板书平方根概念并强调：弄清楚“谁”是“谁”的平方根，且正数有两个平方根，它们互为相反数，负数没有平方根.在此基础上完成例1，并注意学生利用平方运算求一个数的平方根时语言的规范性.2.算术平方根【教师活动】正数a的正的平方根叫做a，正数a,0的平方根是0，0的算术平方根是0.【学生活动】完成例2.表示平方表示算术平方根.3.利用计算器求算术平方根【学生活动】用计算器操作.【教学说明】教师强调：正确的操作程序与精确度.三、随堂练习，巩固新知完成练习册中本课时对应的课堂练习部分，教师根据完成情况指导小组进行点评，特别是平方根与算术平方根的区别.四、典例精析，拓展新知例三角形的三边长为a、b、c，c为偶数，求△ABC的周长.表示a-2的算术平方根，故a-2≥00，而|b-3|≥0，利用非负数和为0，则分别为0，求出a、b,再由三边关系求解.【答案】△ABC的周长为7或9.【教师点拨】a表示a的算术平方根，具有双重非负性，非负数和为0，则各非负数为0.五、运用新知，深化理解1.3a-2的平方根是它的本身，b+1的算术平方根是它本身，则a= ，b= .2. .3.n为整数，1m=，则m+n= .【答案】1.23-1或0 2.±2 3.3或4【教学说明】从跟踪练习中，查漏补缺、并注意审题准确.4，再求4的平方根.六、师生互动，课堂小结这节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？并与同伴交流，在学生交流发言的基础上教师归纳总结.完成练习册中本课时对应的课后作业部分.本节课概念较多，从神十飞天入手导入新课，抓住了学生的兴趣点.从正方形的面积为25，求它的边长，进行平方根与算术平方根的教学.整堂课师生互动，以学生为主体，考虑到概念课的特殊性，呈现教师引导、学生表达，教师归纳、学生理解模式.求平方根时，利用平方运算，方根.典例精析对a的双重非负性，学生可能有困难，教师给予适当的关注.2.立方根【基本目标】1.了解立方根的概念，初步学会用根号表示一个数的立方根.2.了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根.3.让学生体会一个数的立方根的惟一性 .4.分清一个数的立方根与平方根的区别，并会用计算器求一个数的立方根.【教学重点】立方根的概念，并会求一个数的立方根.【教学难点】立方根与平方根的区别.一、创设情景，导入新课（出示电热水器图片）问题（1）：同学们在家里或者商场里都见过电热水器，像一般家庭常用的是容积50L 的.如果要生产这种容积为50L 的圆柱形热水器，使它的高等于底面直径的2倍，这种容器的底面直径应取多少？（学生小组讨论，并推选代表发言，教师板演.）解：设容积的底面直径为xdm ，则2·()?22=50x x π 可得，x 3=100π ≈31.84问题是什么数的立方会等于31.84呢？学生百思不得其解，教师可在此处设置一个台阶.再设问：要制作一种容积为27m 3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？二、师生互动,探究新知1.立方根的概念在学生充分讨论的基础上教师给出解决问题的过程：设这种包装箱的边长为xm ，则x 3=27.这就是求一个数，使它的立方等于27.因为33=27，所以x=3.即这种包装箱的边长应为3m.归纳：如果一个数的立方等于a，那么这个数是a的立方根.例1根据立方根的意义，求下列各数的立方根：125/8，-64，-1/27，1，-1.（1）对于23=8，可以进一步追问学生，除了2以外是否有其他的数，它的立方也等于8呢？对于下面几个问题可以类似设问.（2）思考正数、0、负数的立方根各有什么特点？并追问一个正数有几个立方根？一个负数有几个立方根？零的立方根是什么？（学生独立探究，再小组合作交流，给出立方根的性质.）即：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.2.用数学符号表示立方根例2见教材P6解略.【教学说明】注意立方根定义及用3表示一个数的立方根，教师可设问3a 中a取什么数？a中a取什么数以引起学生对平方根、立方根区别的认识.3.用计算器求一个数的立方根.【教学说明】教师提醒学生注意操作的程序与精确度的要求.三、随堂练习，巩固新知完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师及时点评.四、典例精析，拓展新知例3求下列各式的值：【教学说明】通过以上求值让学生能熟练运用与3求平方根与立方根，进一步区分平方根与立方根.五、运用新知，深化理解1.-64的立方根是.2.3355-=-成立吗？.3.（x+1）3=-64的解是.4.立方根是本身的数有.5.38的立方根是.6.一个正方体的体积是0.512m3，则它的边长是m.【答案】1.-4； 2.成立； 3.x=-5； 4.0、±1；5.32；6.0.8六、师生互动，课堂小结这节课你学到了什么?有什么收获？有何疑问，与同伴交流，在学生交流发言的基础上教师归纳总结.完成练习册中本课时对应的课后作业部分.本节课的教学设计是以课程标准为依据，在教学上体现了创设情景——提出问题——建立模型——解决问题思路，在教学中体现了自主学习思路.在导入新课时，创设了一个学生生活实际中常常见到的热水器制造问题，让学生从实际问题情境中感受立方根的计算在生活中有着广泛的应用，体会学习立方根的必要性，激发学生的学习兴趣.“平方根”“立方根”在内容安排上也有很多类似的地方，因此在教学中利用类比方法，让学生通过类比旧知识学习新知识.教学中突出立方根与平方根的对比，分析它们之间的联系与区别，这样新旧知识联系起来，既有利于复习巩固平方根，又有利于立方根的理解和掌握.通过独立思考，小组讨论，合作交流，学生在“自主探索，合作交流”中充分发挥了他们的主观能动性，感受了立方运算与开立方运算之间的互逆关系，并学会了从立方根与立方的互逆运算中寻找解题途径.11.2 实数第1课时 实数的有关概念【基本目标】1.理解无理数与实数的概念.2.知道实数与数轴上的点的一一对应关系，进一步培养数形结合的思想.3.会比较两个实数的大小.【教学重点】实数的概念.【教学难点】实数与数轴上的点一一对应的关系.一、创设情景，导入新课如图，将两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形.容易知道，这个大正方形的面积是2，所以大正方形的边长为2.通过观察教材P8的计算你发现了什么？它是一个什么数？二、师生互动，探究新知1.无理数与实数的概念教师启发归纳，任何一个有理数都可以写成有限小数，或无限循环小数，而2是无限不循环小数，是无理数.无理数与有理数统称实数.(1)概念反馈：33228,497π，，， 中是无理数的是39π、它们全部都属于实数.（2）判断：无限小数是无理数.（×）无理数是无限小数.（√）【教学说明】无理数、实数的概念由2引出用无限不循环小数进行定义，进而辨析无理数时不能只看形式，还要看结果，即带根号的数不一定是无理数.2.实数与数轴上的点一一对应利用边长为1的正方形的对角线为2，进而在数轴上画出表示2的点，-2的点.教师在学生操作的基础上归纳：实数与数轴上的点一一对应.【教学说明】无理数在数轴上表示目前较为困难,利用课前操作方法作出2.让学生亲身经历数轴上表示2的点的方法，进而建立实数与数轴一一对应的关系.三、随堂练习，巩固新知完成练习册中本课时对应的课后作业部分.四、典例精析，拓展新知【教学说明】在完成上述例题中，引导学生掌握有理数比较大小的方法，有理数运算法则，进而让学生很自然的迁移实数的大小比较与运算，并体会到一种重要的数学思想“类比”.五、运用新知，深化理解1.在数221.442333.14817-、、、、、）个.A.1B.2C.3D.42.与数轴上的点一一对应的数是（）A.有理数B.无理数C.实数D.整数3.实数a在数轴上的位置如图：化简：|a-1|+（a-2）2=【答案】1.B 2.C 3.1【教学说明】跟踪练习中暴露的问题及时分析原因.六、师生互动，课堂小结这节课你学到了什么？有什么收获？有何疑问，与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师归纳总结.完成练习册中本课时对应的课后作业部分.波利亚认为，“头脑不活动起来，是很难学到什么东西的，也肯定学不到更多的东西”、“学东西最好的途径是亲自去发现它”、“学生在学习中寻求欢乐”.在本节课的教学设计中注意从学生的认知水平和亲身感受出发，创设学习情境，提高学生教学的积极性和学习兴趣，设计系列活动让学生经历不同的学习过程.在活动过程中让学生动手试一试，说说自己的发现并与同学交流结论，从而得出数轴上的点与实数是一一对应的关系.注意类比思考，以旧迎新.第2课时实数的性质及运算【基本目标】1.了解有理数的相反数、绝对值等概念、运算法则、运算律在实数范围内仍然适用.2.能对实数进行大小比较和四则混合运算.【教学重点】实数的性质、实数的大小比较及运算.【教学难点】实数的大小比较.一、复习回顾1.用字母来表示有理数的乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律.2.用字母表示有理数的加法交换律和结合律.3.平方差公式、完全平方公式.4.有理数的相反数是什么？不为0的数的倒数是什么？有理数的绝对值等于什么？二、师生互动，探究新知1.填空32与互为相反数，5与互为倒数，33|= .2.概括在实数范围内，有关有理数的相反数、倒数和绝对值等概念、大小比较、运算法则及运算律仍然适用．三、随堂练习，巩固新知完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师及时点评.四、典例精析，拓展新知例32解:用计算器求得3＋2≈3.14626437，而π≈3.141592654，因此3＋2＞π.五、运用新知，深化理解1.请你试着计算下列各题.2.比较下列各组数中两个实数的大小：3.试解答下列问题：（1）指出5在数轴上位于哪两个整数之间；（2）写出绝对值小于4的所有整数.【答案】1.(1)1 (2)22(3)0 2.(1)＜(2)＞3.(1)2和3 (2)0，1，2，3，-1，-2，-3【教学说明】跟踪练习中暴露的问题及时分析原因.六、师生互动，课堂小结这节课你学到了什么？有什么收获？有何疑问，与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师归纳总结.完成练习册中本课时对应的课后作业部分.1.比较两个实数的大小的方法：（1）比较被开方数的大小；（2）平方法；（3）近似取值法.2.实数的运算包括加减、乘除、乘方、开方三级（6种）运算，以前的运算法则、运算律仍然适用.本章复习【基本目标】1.了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示.2.了解平方与开平方，立方与开立方互为逆运算，会用平方与立方的运算求某些数的平方根与立方根.3.了解无理数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应.4.能进行实数的运算，会估算无理数的大小.【教学重点】平方根与立方根，实数及运算.【教学难点】实数的估算，平方根的性质.一、知识框图，整体建构二、知识梳理，快乐晋级本章通过问题的形式来梳理知识，以加深学生对基础知识的理解.问题1：平方根与立方根的定义是什么？它们有什么性质？问题2：有理数与实数的定义是什么？问题3：数轴上的点与实数有什么关系？你是怎么理解的？问题4：实数的相反数、绝对值、倒数与有理数相同吗？问题5：实数运算法则、运算律与有理数相同吗？【教学说明】教师提出问题以小组竞赛的形式回答，教师根据回答的情况，进行必要的讲解与说明，做到切中要害、言简意赅.三、典例精析，升华旧知例1（1）（-2）2的平方根是（）A.-2B.2C.±2D.±4（2）下列说法中，正确的是（）A.正数的立方根是正数B.负数的平方根是负数C.无理数是开方开不尽的数D.数轴上的点只能表示有理数（3）-61164的立方根是.（4）81的算术平方根是.（5）实数a、b满足+(b-2)2=0，则ab= .【答案】（1）C （2）A （3）-5/4 （4）3 （5）-2.【教学说明】这四道小题学生小组内自评自改.教师指出（4）中应转化为9的算术平方根，应将间接条件直接化.例2 的小数部分为a，整数部分为b，求a-b的值.【分析】∵34，4＜5，的整数部分b=4，小数部分，∴a-b=）的整数部分b的值.特别估算能力数学课程标准较重视.例3已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示.-|c-a|+|a+c|.【分析】由数轴知道b＜0,c-a＜0，a+c＞0, b2的算术平方根，故原式=-b+（c-a）+（a+c）=2c-b.【教学说明】利用数形结合，判断绝对值里面的数的正负性，其中b2的意义是解题的关键.四、师生互动，课堂小结这节课你有什么收获？有何疑惑？复习了哪些数学思想方法？与同伴交流.在学生交流发言的基础上，教师归纳总结.完成练习册中本课时对应的课后作业部分.本节复习课从知识构建到知识梳理应让学生积极自主的完成，在完成知识构建（梳理）过程中寻找薄弱环节，从而抓住复习的针对性.典例精析部分，教师应注意根据教学的实际动态进行及时归纳，点评，让知识类化，形成能力.在复习的过程中，学生难免有遗漏的地方，教师应以激励为主.。
八年级数学上册 第11章 数的开方 11.1 平方根与立方根 1 平方根 第2课时 算数平方根课堂反馈导学课件 (新
2019/10/17
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谢谢欣赏！
2019/10/17
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课堂反馈
1．25的算术平方根是( A ) A．5 B．±5 C．－5 D．25
2．下列说法正确的是( D ) A．2 的平方根是±1 B．(－1)2 的平方根是－1 C．平方根等于本身的数是 0 和 1 D.295的算术平方根是35
3．因为(±5)2＝25，所以25的平方根是___±_5____ ，25的算术平方根是__5______.
4．若一个数的算术平方根是3，则这个数是____9 ____．
5. 64Байду номын сангаас平方根为___±__8___．
6．求下列各式的值：
(1) 9；
3
(4)± 0.25；
±0.5
(2)－ 81；
－9
(5)－ 214；
－32
(3) 215；
1 5
(6)± 22.
±2
编后语
折叠课件作用 ①向学习者提示的各种教学信息; ②用于对学习过程进行诊断、评价、处方和学习引导的各种信息和信息处理; ③为了提高学习积极性，制造学习动机，用于强化学习刺激的学习评价信息; ④用于更新学习数据、实现学习过程控制的教学策略和学习过程的控制方法。 对于课件理论、技术上都刚起步的老师来说，POWERPOINT是个最佳的选择。因为操作上非常简单，大部分人半天就可以基本掌握。所以，就可以花
华师大版八年级上册数学全册课件
例3 将下列各数开平方.
(1) 49；
(2) 4 .
25
解：(1)因为7²=49，所以 49 =7，
所以49的平方根为± 49 =±7.Fra bibliotek(2)
.
知3－讲
总结
知3－讲
我们是通过观察，利用开平方与平方的关系来 求平方根的. 通常可用计算器直接求出一个正数的 算术平方根(有时得到的是近似值).
（此讲解来源于《教材》）
5 ②a2的平方根是a；
6 ③2是4的平方根；
7 ④4的平方根是2.
8 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知1－练
知识点 2 平方根的性质
知2－导
试一试
1. 144的平方根是什么？ 2. 0的平方根是什么？ 3. －4有没有平方根？为什么？
请你自己也编三道求平方根的题目，并给出解答.
知2－讲
知2－讲
解：(1)由平方根的定义得3＋a＝52.所以a＝22. (2)因为正数x有两个平方根，分别是－a＋2与2a－1，
所以(－a＋2)＋(2a－1)＝0，解得a＝－1. 所以x＝(－a＋2)2＝(1＋2)2＝9.
总结
知2－讲
本题 (1)运用平方根的定义列方程； (2)运用平方根性质中两个平方根的关系列方程；通
华师大版八年级上册数学 全册课件
2021/9/24
第十一章 数的开方
11.1 平方根与立方根
第1课时 平方根
要剪出一张面积为25cm²的正方形纸片，正方形的 边长是多少？
知识点 1 平方根的定义
知1－导
本章导图中提出的问题，就是已知正方形的面 积为 25 cm²,求这个正方形的边长.
容易知道，这个正方形的边长是5 cm. 上述问题实质上就是要求一个数，这个数的平方 等于25.
(完整版)华师大版八年级数学上册知识点总结
八年级数学上册复习提纲第11章数的开方§11.1平方根与立方根一、平方根1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
（也叫做二次方根）即：若x2=a，则x叫做a的平方根。
2、平方根的性质：（1）一个正数有两个平方根。
它们互为相反数；（2）零的平方根是零；（3）负数没有平方根。
二、算术平方根1、算术平方根的定义：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。
2、算术平方根的性质：（1）一个正数的算术平方根只有一个且为正；（2）零的算术平方根是零；（3）负数没有算术平方根；（4）算术平方根的非负性：≥0。
a三、平方根和算术平方根是记号：平方根±（读作：正负根号a）；算术a平方根（读作根号a）a即：“±”表示a的平方根，或者表示求a的平方根；“”表示a的a a算术平方根，或者表示求a的算术平方根。
其中a叫做被开方数。
∵负数没有平方根，∴被开方数a必须为非负数，即：a≥0。
四、开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。
其实质就是：已知指数和二次幂求底数的运算。
五、立方根1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。
（也叫做三次方根）即：若x3=a，则x叫做a的立方根。
2、立方根的性质：（1）一个正数的立方根为正；（2）一个负数的立方根为负；（3）零的立方根是零。
3、立方根的记号：（读作：三次根号a），a称为被开方数，“3”称为3a根指数。
中的被开方数a的取值范围是：a为全体实数。
3a六、开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
其实质就是：已知指数和三次幂求底数的运算。
七、注意事项：1、“±”、“”、“”的实质意义：“±”→问：哪个数的平方是a a3a aa；“”→问：哪个非负数的平方是a；“”→问：哪个数的立方是a。
a3a2、注意和中的a的取值范围的应用。
a3a如：若有意义，则x取值范围是。
（∵x-3≥0，∴x≥3）x3（填：x ≥3）若有意义，则x 取值范围是 。
【配套K12】[学习]八年级数学上册 第11章 数的开方 11.1 平方根与立方根 第1课时 平方根
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11.1 平方根【教学目标】知识与与技能理解一个数的平方根的意义；会用根号表示一个数的平方根过程与方法通过训练，提高学生对概念的明辨能力；通过学习平方根，认识数学与生活的密切关系.情感、态度与价值观通过学习乘方和开方运算是互为逆运算，体验各事物间的对立统一的辩证关系，激发学生探索数学奥秘的兴趣.【重点难点】重点平方根的概念及求法．难点平方根与一个数的平方的联系与区别．【学前准备】学生剪出面积为25cm2的正方形纸片.【教学过程】一、创设情境，导入新课1．要剪出一块面积为25cm2的正方形纸片，纸片的边长应是多少？2．如果一个数的平方等于100，那么这个数是多少？3．一只容积为0.125立方米的正方体容器，它的棱长应为多少？这些问题的共同特点：已知乘方的结果，求底数的值，如何解决这些问题呢？这就是本节内容所要学习的．下面作一个小练习：填空：1．( )2=9；2．( )2 =0.25；3．( )2=0.0081．学生在完成此练习时，最容易出现的错误是丢掉负数解，在教学时应注意纠正．由练习引出平方根的概念．二、师生互动，探究新知1.平方根概念如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根(二次方根)．用数学语言表达即为：若x2=a，则x叫做a的平方根．由练习知：是9的平方根；是0.25的平方根；的平方根是0.由此我们看到+3与-3均为9的平方根，0的平方根是0，下面看这样一道题，填空：( )2=-4.学生思考后，得到结论此题无答案．反问学生为什么？因为正数、0、负数的平方为非负数．由此我们可以得到结论:负数是没有平方根的．下面总结一下平方根的性质(可由学生总结，教师整理)．2.平方根性质（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数．（2）0有一个平方根，它是0本身．（3）负数没有平方根．3.开平方求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方运算．由练习我们看到+3与-3的平方是9，9的平方根是+3和-3，可见平方运算与开平方运算互为逆运算．根据这种关系，我们可以通过平方运算来求一个数的平方根．与其他运算法则不同之处在于只能对非负数进行运算，而且正数的运算结果是两个.4.平方根的表示方法一个正数a 的正的平方根，用符号“a ”表示，a 叫做被开方数，2叫做根指数，正数a 的负的平方根用符号“a - ”表示，a 的平方根合起来记作a ± ，其中“2a ” 读作“二次根号下a ”．根指数为2时，通常将这个2省略不写，所以正数a 的平方根也可记作“a ± ”读作“正、负根号a ”.5.例题探索例1.求100的平方根.(分析：根据定义，考虑（ ）2=100)例2.将下列各数开平方： (1)49；(2)1.69.（剖题：就是求这些数的平方根）三、随堂练习,巩固新知1.求下列各数的平方根：64；0.25；8149；0.0196；5（注：设计“5”主要是为了让学生明确平方根的表示，同时也为用计算器求平方根打下伏笔）.2.下列说法正确吗？为什么？如果不正确，那么请你写出正确答案.（1）0.09的平方根是0.3； （2）525±=.四、课堂小结1.本课主要学习了哪两个重要概念，它们有何区别与联系？2.求一个数的平方根，方法是什么？五、作业设计1.361的平方根是 ； 16的平方根是 .2.若a >0，且3.1 a ，则a = ； 3.若a <10<b ，且A.b 均为整数，则a = ,b =. 六、板书设计。
华东师大版八年级数学上册全册教案
第十一章 数的开方 11.1平方根与立方根（1）【教学目标】：以实际问题的需要出发，引出平方根的概念，理解平方根的意义，会求某些数的平方根。
【教学重、难点】：重点：了解平方根的概念，求某些非负数的平方根。
难点：平方根的意义 【教具应用】：老师：三角板、小黑板 学生： 【教学过程】：一、 提出问题，创设情境。
问题1、要剪出一块面积为25cm ²的正方形纸片，纸片的边长应是多少？ 问题2、已知圆的面积是16πcm ²，求圆的半径长。
要想解决这些问题，就来学习本节内容 二、 自学提纲：1、 你能解决上面两个问题吗？这两个问题的实质是什么？2、 看第2页，知道什么是一个数的平方根吗？3、 25的平方根只有5吗？为什么？4、 会求110的平方根吗？试一试5、 －4有平方根吗？为什么？6、 想一想，你是用什么运算来检验或寻找一个数的平方根？7、 根据平方根的定义你能指出正数、0、负数的平方根的特征吗？8、 什么叫开平方？ 三、 能力、知识、提高同学们展示自学结果，老师点拔① 情境中的两个问题的实质是已知某数的平方，要求这个数。
② 概括：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。
如5²＝25，（－5）²＝25 ∴25的平方根有两个：5和－5 ③ 根据平方根的意义，可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根。
④ 任何数的平方都不等于－4，所以－4没有平方根。
⑤ 0的平方等于0。
所以0只有一个平方根为0。
⑥ 概括：一个正数有两个平方根，它们互为相反数;0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。
⑦ 求一个数a （a ≥0）的平方根的运算，叫做开平方。
四、 知识应用1、 求下列各数的平方根① 49 ②1.69 ③8116④（－0.2）²2、 将下列各数开平方①1 ②0.09 ③（－53）² 五、 测评1、 说出下列各数的平方根①81 ②0.25 ③1254 2、 求未知数x 的值①（3x ）²＝16 ②（2x -1）²=9六、 小结：1、 什么叫做平方根？2、 一个正数的平方根有几个？零的平根有几个？负数的平方根呢？3、 平方和开平方运算有什么区别和联系？区别：①平方运算中，已知的是底数和指数，求的是幂。
八年级数学上册 第11章 数的开方 教学课件华东师大版
当堂训练
1、（1）绝对值等于 3 的实数是
是 2 的实数是
。
2
（2）（
7 5
2） 的相反数是
绝对值是
。
，绝对值 ，
2、比较 2010 1与 1949 1的大小。
解：因为
＞
故
＜
＜
=45－1=44，
=43+1=44，
3、由于水资源缺乏，B，C两地不得不从河上的抽水站A处 引水，这就需要在A，B，C之间铺设地下管道。有人设计 了三种方案：如图甲，图中实线表示管道铺设线路，在 图乙中，AD⊥BC于D，在图丙中，OA=OB=OC，为减少渗漏、 节约水资源，并降低工程造价，铺设线路尽量缩短。已 知△ABC是一个边长为a的等边三角形，请你通过计算，判
新课导入
问题 回忆有理数的分类，及与有理数相关的概念等。教师引导得出下列结论： 任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式，如
等
任何一个有限小数或无限循环小数都能化成分数吗？
能
推进新课
例1 （1）试着写出几个无理数。
0.32154……；
2
π
2 2
（2）判断下列各数中，哪此是有理数？哪此是无理数？
断哪个铺设方案好。
甲
乙
丙
解：
课堂小结
让学生回顾本节知识，思考整个学习过程， 看看知道了什么，还有什么疑惑？
例2 求下列各式的值。
（1）3 512
3
（2） 729
8
（3）
3
0.008
（4）3 2912
解：（1）-8； （3）-0.2；
（2） （4）6；
例3 求下列各式中的x。
（1）27x3－8=0；
八年级数学上册第11章数的开方11.1平方根与立方根1平方根第2课时算术平方根教案华东师大版(20
八年级数学上册第11章数的开方11.1 平方根与立方根1 平方根第2课时算术平方根教案（新版）华东师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级数学上册第11章数的开方11.1 平方根与立方根1 平方根第2课时算术平方根教案（新版）华东师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第2课时算术平方根【拓展提升】例4 错误!的算术平方根为________；错误!的算术平方根是________．例5 若错误!＝2，则（m＋2)2＝________．例6 算术平方根等于它本身的数有________．例7 若已知错误!＋错误!＝0,则x－y的算术平方根为________．使学生通过所学的知识,在原来的基础上有拓宽、有提升，并能与过去的知识相结合，达到综合应用的目的。
活动四：课堂总结反思当堂训练:1．求下列各数的算术平方根：36，错误!,15，0.64，错误!。
2．已知错误!＋错误!＝0，求y x的算术平方根．当堂检测,及时反馈学习效果。
【知识网络】提纲挈领,重点突出。
【教学反思】①[授课流程反思］A.新课导入□B．情景导入□要想让学生正确、牢固地树立起算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深化．概反思，更进一步提升。
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第2课时 算术平方根
知|识|目|标
1．经过学习，理解算术平方根的概念，能求出一个非负数的算术平方根． 2．在理解算术平方根与平方根概念的基础上，会进行开平方运算．
3．通过自学阅读，理解开平方的意义，会用科学计算器求一个非负数的算术平方根．
目标一 会求一个非负数的算术平方根
例1 [教材补充例题] 求下列各数的平方根和算术平方根： (1)16； (2)2536； (3)21
4； (4)0.09.
【归纳总结】平方根与算术平方根的区别与联系：
平方根
算术平方根
表示
a (a ≥0)的平方根是±a
a (a ≥0)的算术平方根是a 区别 正数的平方根有两个，它们互为相反数
正数的算术平方根是一个正数
联系
(1)被开方数都是非负数，负数没有平方根和算术平方根；
(2)正数a 的正的平方根就是a 的算术平方根，正数a 的算术平方根是a 的一个平
方根；
(3)0的平方根与算术平方根都是0
例2 [教材补充例题] 求下列各式的值：
(1)625； (2)－
1
4
； (3)±0.01；
(4)（－2）2；(5)32＋42.
【归纳总结】
1．开平方是一种运算，它与平方互为逆运算，是求一个非负数的平方根的过程．
2．平方与开平方的关系可以这样来理解：
①平方运算是已知底数a，求它的平方的值，即求a2等于多少；
②已知一个数平方的结果m(m≥0)，求底数即为开平方，即求m为多少．
目标三会用科学计算器求一个非负数的算术平方根
例3 教材例3针对训练在计算器上依次键入■4·225＝显示结果为________，若要求结果精确到0.01，则 4.225≈________．
【归纳总结】用计算器求一个数的平方根的“两注意”：
(1)注意计算时的按键顺序；
(2)不同型号的计算器按键顺序可能有所不同．
,知识点一算术平方根的概念
定义：正数a的________平方根，叫做a的算术平方根，记作a，读作“根号a”，a 称为____________．特别地，0的算术平方根是0，通常记作0＝0.
[解读] 当a≥0时，a表示a的______________，它是一个非负数，－a表示a的算术平方根的相反数，±a表示a的__________．
知识点二开平方
定义：求一个非负数的__________的运算，叫做开平方．
知识点三计算器的使用
使用计算器可以求出任何非负数的算术平方根，然后根据平方根与算术平方根的关系，可以写出其平方根．
使用计算器(课本上的型号)求一个非负数的算术平方根的一般步骤：先按开机键，然后按“■”键，再输入被开方数，最后按“＝”键读数(即直接按书写顺序按键)．
求16的算术平方根．
解：因为±4的平方等于16，故16的算术平方根是4.
请指出以上解答过程错在哪里，并写出正确的解答过程．
详解详析
【目标突破】
例1 解：(1)因为(±4)2＝16，所以16的平方根是±16＝±4，算术平方根是16＝4. (2)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫±562＝25
36
，所以2536的平方根是±
2536＝±5
6，算术平方根是2536＝5
6
. (3)将214转化为94，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫±322＝9
4，所以214的平方根是±
94＝±3
2，算术平方根是9
4
＝3
2
. (4)因为(±0.3)2＝0.09，所以0.09的平方根是±0.09＝±0.3，算术平方根是0.09＝0.3. 例2 [解析] 第(1)(2)(3)小题主要在于理解“是求平方根还是算术平方根”，第(4)(5)小题除了分清各式所表示的意义外，还要注意运算顺序．
解：(1)∵252＝625，∴625＝25.
(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1
4
，∴－
14＝－12
. (3)∵(±0.1)2＝0.01，∴±0.01＝±0.1.
(4)∵(－2)2＝22＝4，∴（－2）2＝2.
(5)∵32＋42＝25＝52，∴32＋42＝5. 例3 2.055480479 2.06 【总结反思】 [小结]
知识点一正的被开方数算术平方根平方根知识点二平方根
[反思] 此题误将求16的算术平方根看成求16的算术平方根．因为16＝4，故此题实际是求4的算术平方根，因为4的算术平方根是2，故16的算术平方根为2.
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