高考数学压轴题：数列

高考数学压轴题：数列

一、解答题（共30小题）

1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*(1)()n S n n n N =+∈． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足：3122331313131

n n n b b b b

a =+++⋯+++++，求数列{}n

b 的通项公式； （Ⅲ）令*()4

n n

n a b c n N =

∈，求数列{}n 的前n 项和n T ． 2．数列{}n a 满足12a =，2

166()n n

n a a a n N ⨯+=++∈ （Ⅰ）设5log (3)n n C a =+，求证{}n C 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）设21166n n n n b a a a =

--+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：51164

n T -<-．

3．已知数列{}n a 的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足5452S a a =+，934a a a =+． （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若12m m m a a a ++=，求正整数m 的值； （3）是否存在正整数m ，使得

221

m

m S S -恰好为数列{}n a 中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由．

4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11

2

a =，120(2)n n n a S S n -+=． （1）判断1

{

}n

S 是否为等差数列？并证明你的结论； （2）求n S 和n a ；

（3）求证：222

1211

24n S S S n

++⋯+-． 5．已知数列{}n a ，{}n b 满足1n n n b a a +=-，其中1n =，2，3，⋯． （Ⅰ）若11a =，n b n =，求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若11(2)n n n b b b n +-=，且11b =，22b =．

（ⅰ）记

61(1)n

n a n -=，求证：数列{}n 为等差数列；

（ⅱ）若数列{}n a

n

中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．求1a 应满足的条件．

6．数列{}n a 中，11a =，22a =，数列{}n b 满足1(1)n n n n b a a +=+-，n N +∈． （Ⅰ）若数列{}n a 是等差数列，求数列{}n b 的前100项和100S ； （Ⅱ）若数列{}n b 是公差为2的等差数列，求数列{}n a 的通项公式．

7．已知数列{}n a 的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列．数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足34S a =，3542a a a +=+ （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 前2k 项和2k S ；

（3）在数列{}n a 中，是否存在连续的三项m a ，1m a +，2m a +，按原来的顺序成等差数列？若存在，求出所有满足条件的正整数m 的值；若不存在，说明理由．

8．已知数列{}n a 是无穷数列，1a a =，2(a b a =，b 是正整数），11

1

11

(1),(1)n

n

n n n n n n

n a a a a a a a

a a --+--⎧>⎪⎪=⎨⎪⎪⎩．

（Ⅰ）若12a =，21a =，写出4a ，5a 的值；

（Ⅱ）已知数列{}n a 中*1()k a k N =∈，求证：数列{}n a 中有无穷项为1；

（Ⅲ）已知数列{}n a 中任何一项都不等于1，记21{n n b max a -=，2}(1n a n =，2，3，⋯；{max m ，}n 为m ，n 较大者）

．求证：数列{}n b 是单调递减数列． 9．设a 是一个自然数，f （a ）是a 的各位数字的平方和，定义数列1{}:n a a 是自然数，

*1()(n n a f a n N -=∈，2)n ． （Ⅰ）求(99)f ，(2014)f ； （Ⅱ）若1100a ，求证：12a a >； （Ⅲ）求证：存在*m N ∈，使得100m a <．

10．已知数列{}n a 满足11a =，23a =，且2(12|cos |)|sin |22

n n n n a a ππ+=++，*n N ∈， （1）求*21()k a k N -∈；

（2）数列{}n y ，{}n b 满足21n n y a -=，11b y =，且当2n 时2

222121

111

(

)n n n b y y y y -=++⋯+．证明当2n 时，有

1222

1

(1)n n b b n n n +-=

+； （3）在（2）的条件下，试比较1231111

(1)(1)(1)(1)n

b b b b +++⋯+与4的大小关系．

11．对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点．如果函数

2()x a

f x bx c

+=

-有且仅有两个不动点0和2． （1）试求b 、c 满足的关系式．

（2）若2c =时，各项不为零的数列{}n a 满足14()1n n S f a =，

求证：1111

(1)(1)n n a a n n

a e a +-<<-． （3）设1

n n

b a =-

，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：2009200812009T ln T -<<． 12．数列{}(*)n a n N ∈有100项，1a a =，对任意[2n ∈，100]，存在n i a a d =+，[1i ∈，1]n -，若k a 与前n 项中某一项相等，则称k a 具有性质P ． （1）若11a =，2d =，求4a 所有可能的值；

（2）若{}n a 不为等差数列，求证：数列{}n a 中存在某些项具有性质P ；

（3）若{}n a 中恰有三项具有性质P ，这三项和为c ，使用a ，d ，c 表示12100a a a ++⋯+． 13．设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列．已知14a =，16b =，2222b a =-，3324b a =+． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）设数列{}n c 满足11c =，1

1,22,

,2,

k k n k

k n c b n +⎧<<⎪=⎨=⎪⎩其中*k N ∈． ()i 求数列22{(1)}n n a c -的通项公式； ()ii 求2*1()n

i i i a c n N =∈∑．

14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =．数列{}n b 满足：对每个*n N ∈，n n S b +，