3-1群同态与同构

∈ H,
( H ) ≤ G, 且显然 ϕ 诱导 ϕ .
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-1
( H )到 H
的一个同态映射
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定理4 定理4
群G到G的同态映射 ϕ是单射的充分与 必要条件是 , 群G的单位元 e的逆象只有 e.
证 : 必要性显然, 下证充分性. 设ϕ是群G到群G的任一同态映射, 且在ϕ 之下 e的逆象只有e.又设在ϕ之下 a → a, b → b , 当a ≠ b时, 必a ≠ b : 因a = b, 则由于 ab → ab = e,
定理3 定理3
设 ϕ 是群 G 是群 G 的一个同态映射 是满射 ), 则
( 不一定
1) 当 H ≤ G 时 , 有 ϕ (H) ≤ G , 且 H ~ ϕ (H); 2) 当 H ≤ G 时 , 有 ϕ -1 ( H ) ≤ G, 且在 ϕ 之下诱导 出 ϕ ( H ) 到 H 的一个同态映射
-1
-1 -1
故ab = e, a = b, 矛盾.因此, ϕ是单射.
-1
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例4
பைடு நூலகம்
设6阶群G不是循环群.证明 : G ≅ S3 .
证 : 因为 G 不是循环群 , 故 G 没有 6阶元 . 从而由 Lagrange 定理知 , G 必有 2阶元 或 3阶元 .
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定理3 定理3
2 )当 H ≤ G 时 , 由于 ϕ a → a, 则 从而 ab 即ϕ
-1 -1 -1
( H ) 显然非空
, 任取
a, b ∈ ϕ -1 ( H ), 且在 ϕ 之下令 b → b. → a b -1 ,
-1
ab
-1
其中 a , b ∈ H , 而 H ≤ G , 故 a b ∈ ϕ -1 ( H ).
(3) H ≤ G ⇒ H = ϕ −1 ( H ) ≤ G 是循环群， 也是循环群. (4) G 是循环群，则 G 也是循环群.
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定理2 定理2 两个代数系统 G 与 G 同态， 若 G 是群， 同态， 是群， 则 G 也是群 也是群. ϕ 证明： 是群，有结合律， 证明： G ~ G ，G 是群，有结合律，则 G 也有结合律； 是同态满射， 也有结合律；ϕ 是同态满射，有
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例3 {全体正负奇数 ， G 全体正负奇数}， 全体正负奇数 代数运算均为数的普通乘法 1 ϕ : 正奇数 负奇数 是 -1
G=
= {1, −1}
的同态满射， G 到 G 的同态满射，∴ G ~ G . 是群， 不是群. G 是群，而 G 不是群
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−1
s ⊂ A ，称 s = φ ( s ) = { a | φ ( a ) = a , a ∈ s }
s
之下的逆象. 在 φ 之下的逆象.
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二、群同态性质 定理1 定理1 群 G 与 G 同态， 同态， 的同态满射， 的同态满射，则
ϕ 是G 到 G
ϕ ( e ) = e , ϕ ( a −1 ) = ϕ ( a ) −1 . (1) (2) H ≤ G ⇒ H = ϕ ( H ) ≤ G
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K = { e , a , a 2 }, N = { e , b , b 2 }( 其中 b ∉ K ). 且 K I N = { e }. 于是 KN = K ⋅ N K I N = 9 , 这与 G = 6 矛盾 . :
因此 , G 必有 2 阶元 a 和 3 阶元 b .由此可知 G = { e , a , b , b 2 , ab , ab 2 }, 且易知 ϕ : e → (1), a → (12), b → (123) ab → (23), b 2 → (132), ab 是群 G 到对称群
∀a ∈ G , ∃a ∈ G , st . ϕ ( a) = a ϕ ( e )ϕ ( a) = ϕ ( ea) = ϕ ( a), ∴ e = ϕ ( e ) 是 G 的左单位元； 的左单位元； −1 −1 ϕ ( a )ϕ ( a) = ϕ ( a a) = ϕ ( e ) = e , −1 ∴ϕ ( a ) 是 a = ϕ ( a) 的左逆元 也是群. ∴ G 也是群
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例2 证明
G = {0,1, 2, 3} 关于 a o b = ( a + b ) mod 4
做成群. 做成群 证明： 证明：取
G = ( Z , +)
ϕ : x → x mod 4, (∀x ∈ Z )
是 G 到 G 的同态满射， G ~ G 的同态满射， ∴ 而 G 是群， 因此 G 是群 是群. 是群，
2
→ (13) ,故 G ≅ S3.
S 3的一个同构映射
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小结 群同态的性质
作业： 作业：5.6
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.
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定理3 定理3
证 : 1) 任取 a , b ∈ ϕ (H), 且在 ϕ 之下令 a → a, b → b, 其中 a, b ∈ H.由于 H ≤ G, 故 ab ∈ H, 且 ab → a b , 从而 a b ∈ ϕ (H), 即 ϕ (H) 对 G 的乘法封闭 , 且 H ~ ϕ (H). 但 H 是子群 , 从而 ϕ (H) 也是群且是 G 的子群 .
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除e外G中元素不能都是 2阶元 : 若不然 , 则有习题 2.1第6题知, G为交换群 .于是 在G中任取互异的 2阶元 a, b , 则易知 H = {e, a , b , ab} ≤ G. 这与 Lagrange 定理矛盾 . 又除 e外G中元素不能都是 3阶元 : 若不 然, 则在 G中任取 3阶元 a , b, 可知 G有子群
近世代数
第三章 正规子群和群的同态与 同构 群同态、 §1 群同态、同构
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定义1 一、定义1 若存在群 G 到群 G 的同态满射 ϕ 同态； ，则称群 G 与群 G 同态；
若存在群 G 到群 G 的同构映射 ϕ 同构. ，则称群 G 与群 G 同构.
s⊂
s在φ
为
假定 φ 是集合 A 到 A 的一个满射， 的一个满射， A ，称 s = φ ( s ) = {φ ( a ) | a ∈ s} 为 之下的象； 之下的象；
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注：在本定理中同态映射必须是满射. 在本定理中同态映射必须是满射 是正有理数乘群， 例1 设G是正有理数乘群， 是全体正偶数对 是正有理数乘群 G ： 到 ab＝2作成的半群 则显然 φ：x →2 是G到 ＝ 作成的半群 作成的半群. 不是群. 的一个同态映射.G是群但是 G 的一个同态映射 是群但是 G 不是群